第二十章 力矩分配法
力矩分配法是位移法的演变，其优
点是用逐次的计算来代替解方程，
适用于连续梁及无侧称刚架。
第一节 力矩分配法的概念
如图所示刚架，在荷载作用下，其结点 1发
生转角 ?，用力矩分配法 处工的步骤为,
L
L L
B
A
q
?
?
?
1 C
1、固定结点 1，得到固端弯矩；
2、放松节点 1，使其恢复转角 ?，得
到杆端分配弯矩和传递弯矩。
3、将杆端的固端弯矩与分配弯矩或
传递弯矩相加，得到杆端最终弯矩。
一、固定结点
在结点 1上附加刚臂，限制结点 1的转动，原刚
架被解体成三个单跨梁，此时单跨梁 A1两端
产生的弯矩即是位移法中所提到的固端弯矩。
B
A
q
1
M1
?
C
1
M1
?
M1A
?
M1B
?
M1C
?
查表得,MA1 = 0
M1A = ql
由于附加刚臂阻止了结点 1转动，附加
刚臂上将产生反力矩，称之为“不平衡”
力矩，用 M 1 表示。
按力矩平衡条件可求出不平衡力矩 M 1
M 1 = M1A+M1B+M1C = ql
F
1
8
2
?
1
8
2 ? ? ? ?
F
?
二、放松节点
为使刚架恢复自然状态，必须消除不平衡力
矩 M 1 的作用，需加上一个反向的不平衡力矩
M 1,施加反向不平衡力矩想当于放松节点 1。
B
A C
M1
?
我们将各梁转动端产生的弯矩称为分配
弯矩，以 M 1A,M 1B,M 1C表示。各梁
远端产生的弯矩称为传递弯矩，以 M A1、
M B1,M C1表示。为了计算分配弯矩和传
递弯矩，需引入转动刚度，分配系数和
传递系数。
? ?
?
? ? ?
C
C C
1、转动刚度
为了使杆件的某一端产生单位转角，
在该端所需施加的力矩作为杆件在该端
的转动刚度，用,S”表示。
转动刚度表示杆端抵抗转动的能力，
其值与线刚度 i = 有关，还与杆件远
端支承情况有关。
EI
l
?A=1
A
B
B
SAB=i
B A
?A=1
SAB=4i
?A=1
A SAB=3i
B
截取结点 1，由平衡条件得,
M 1A + M 1B + M 1C + M 1 =0
式中,M 1 A = S 1 A ?
M 1 B = S 1 B ?
M 1 C = S 1C ?
? =- = -
2、分配系数分配弯矩
? ? ? ?
?
?
?
M 1
?
S 1A+ S 1A+ S 1A
M 1
?
∑S
M1B
? 1
M1
?
M1A
?
M1C
?
各杆 1 端的分配弯矩为,
式中,M 1 A = -
M 1 B = -
M 1 C = -
式中的,, 称为 1A,1B,
1C杆的分配系数，用 ? 表示。
?
?
?
M 1
?
∑S
S1A
M 1
?
∑S
S1B
M 1
?
∑S
S1C
∑S
S1A
∑S
S1B
∑S
S1C
∑S
S1A ?
1A=
?1B=
?1C=
写成一般形式，杆件近端用 i,远端用 j,
则有 ?ij =,而且结点 1 上各杆分配系
数的总和等于 1，即 ∑ ?ij = 1。
∑S
S1B
∑S
S1C
∑S
Sij
3、传递系数与传递弯矩
各杆传递弯矩与各杆远端支承情况有关。
远端固定端时,M ij = 4 i?,M ji = 2 i?
远端铰支座时,M ij = 3 i?,M ji =0
远端定向支座时,M ij = i?,M ji = - i?
为了利用近端弯矩求远端弯矩，将远端与
近端的弯矩比值称为传递系数，用 C表示。
C = Mjc Mij
远端固定端时,C = 1/2
远端铰支座时,C = 0
远端定向支座时,C = -1
三、最终弯矩
将第一步固定结点各杆端的固端弯矩与
第二步放松节点时相应杆端的分配弯矩
或传递弯矩相加即得出杆端的最终弯矩。
例 20-1用力矩分配法计算图 (a)所示的两
跨连续梁，画出弯矩图。
8m 8m
B A
q=10kN/m
C
M= 10kN·m
i i
(a)
解：计算连续梁时，其过程可以直接在
梁的下方列表进行。具体说明如下,
1、求分配系数
?BA = = =
?BC = = =
校核,∑? = + = 1
将它们填入表中第一行结点 B的两端。
SBA+SBC 4i+3i 7
SBA 4i 4
SBA+SBC 4i+3i 7
SBC 3i 3
4 3
7 7
分配系数 4
7
3
7
固端弯矩
0 0
+150
-80+150 0
分配与传递 - 20 ← - 40 - 30 → 0
杆端弯矩 - 20 - 40 - 110 0
2、求固端弯矩
固定结点 B，杆 BA为两端固定端的单跨梁，
杆 BC为 B端固定 C端铰支的单跨梁，查表达
式 8-1算出
MAB = MBA =0
MBC = -ql ／ 8 = -10× 8 ／ 8 = - 80kN·m
MCB =0
将它们填入表中第二行相应杆端下面。
由表可求得 B点的不平衡力矩。但因 B点有
外力偶，故不平衡力矩等于,
MB = -80 +150 = 70 kN·m
2 2 F
F F
F
?
3、计算分配弯矩与传递弯矩
将结点 B的不平衡力矩反号乘以各杆分配系
数得各杆近端分配弯矩。将所得分配弯矩
乘以相应杆的传递系数即得远端传递弯矩。
4、计算杆端最终弯矩
将表中第二、三行相应的固端弯矩与分配
弯矩或传递弯矩相加即得杆端最终弯矩。
B A
C
80
110
40
20
(b) M图 (kN·m)
将所得最终杆端弯矩填入表中第四行。
最终弯矩绘制连续梁 M图示于图 (b)。
例 20-2计算图 (a)所示连续梁，并绘 M
图及剪力图。 EI=常数。
12m
B A
q=25kN/m
C
50kN
(a)
4m 6m 8m 3m
D
10kN
B A
q=25kN/m
C
50kN
D
10kN
(a’)
30kN·m
1.2i i 1.5i
解：连续梁 DE部分为静定，其内力为,
MDE = -10× 3 = -30kNm
Q = 10kN
将受力图进行简化，变为图 (a’)
? 0.545 0.455 0.417 0.529
M -72 48 -300 300 15 30
分
配
与
传
递
88.9 ← 177.8
4.8 ← 9.5
0.3 ← 0.5
-74.2 ← -148.4
148.4 → 74.2
-17.5 ← -34.9
8 → 4
-0.9 ← -1.9
0.4 → 0.2
-0.1
-166.6
-39.3
-2.1
-0.1
M 22 235.8 -235.8 193.1 -193.1 30
F
1、计算分配系数
为计算方便，令 i=EI／ 12,iAB=1.2i，
iBC=i,iCD=1.5i
2、计算固端弯矩
MCD=M/2=30/2=15 kN·m
MDC=M=30 kN·m
MAB=-Pab /l =-50× 4× 6 /10 =-72 kN·m
MBA= Pa b/l = 50× 4 × 6/10 = 48 kN·m
MBC=-ql /12=-25× 12 /12=-300 kN·m
MCB= ql /12= 25× 12 /12= 300 kN·m
将以上分配系数、固端弯矩数据填入连续
梁相应杆端下面。
F
F
F
F
F
F
2
2
2
2 2
2
2
2
3、分配与传递
从不平衡力矩大的结点 C开始循环，交
替进行分配与传递，直到传递弯矩小于
0.1为止。整个运算过程均可在表上进行。
4、将固端弯矩与相应杆端分配弯矩或传递
弯矩相加得最终杆端弯矩。
5、由最终杆端弯矩绘出 M图 (b)
6、剪力图的绘制方法与位移法相同。分
别截出各杆画受力图，受力图除包括已
知外荷载外还有图 (b)求得的各杆端弯矩。
然后据平衡条件即可求出杆端剪力。
如杆 AB,QAB=4.22kN QBA=45.78kN
剪力图如图（ c）所示。
第二节 力矩分配法计算连续梁及
无侧移刚架
上次介绍只有一个结点的连续梁的力矩分配法
计算，一个循环的固定，放松节点就可以使刚
架恢复自然状态。而对于多个结点角位移的连
续梁和无侧移刚架，应将具有多个结点角位移
的情况转换成一个结点角位移的情况。首先固
定全部刚结点，然后采取逐个结点轮流放松的
办法，即每次只放松一个结点，其它结点暂时
固定，把各结点的不平衡力矩轮流逐次进行消
除，使逐渐接近原来状态。
例 20-3用力矩分配法计算图 (a)所示刚
架，绘制 M图及 Q图。
结点 D A B E C
杆端 DA AD AB BA BC BE EB CB
? 固端 0.6 0.4 0.25 0.375 0.375 固端 铰支
M -40 40 -26.67 53.33
分
配
与
传
递
-2
-0.05
-6.67
-4 -2.66
0.16
-0.1 -0.06
-13.33 -20 -20
-1.33
0.33 0.5 0.5
-0.03
0.01 0.01 0.01
-10
0.25
M -42.05 35.9 -35.9 38.98 -19.49 -19.49 -9.75 0
F
1、计算分配系数
令 i=EI/6,iAD=iBE=1.5i,iAB=i,iBC=2i
?AD= =0.6 4iAD 4iAD+4iAB
?AB= =0.4 4iAB 4iAD+4iAB
?BA= = 0.25 4iAB 4iAB+4iBE +3iBC
?BA= = 0.375 4iBE 4iAB+4iBE +3iBC
?BA= = 0.375 3iBC 4iAB+4iBE +3iBC
2、计算固端弯矩
MBA= = 53.33 kN·m F 60× 4 × 2
2
6 2
MDA= - = -40 kN·m F 30× 4
2
12
MAD= = 40 kN·m F 30× 4
2
12
MAB= - = -26.67 kN·m F 60× 4× 2
2
6 2
分配、传递弯矩及最终杆端弯矩的
计算结果见上表。结点 A,B均满足
静力平衡条件 ∑M=0。最终 M图及 Q
图见图 (b)及图 (c)
力矩分配法是位移法的演变，其优
点是用逐次的计算来代替解方程，
适用于连续梁及无侧称刚架。
第一节 力矩分配法的概念
如图所示刚架，在荷载作用下，其结点 1发
生转角 ?，用力矩分配法 处工的步骤为,
L
L L
B
A
q
?
?
?
1 C
1、固定结点 1，得到固端弯矩；
2、放松节点 1，使其恢复转角 ?，得
到杆端分配弯矩和传递弯矩。
3、将杆端的固端弯矩与分配弯矩或
传递弯矩相加，得到杆端最终弯矩。
一、固定结点
在结点 1上附加刚臂，限制结点 1的转动，原刚
架被解体成三个单跨梁，此时单跨梁 A1两端
产生的弯矩即是位移法中所提到的固端弯矩。
B
A
q
1
M1
?
C
1
M1
?
M1A
?
M1B
?
M1C
?
查表得,MA1 = 0
M1A = ql
由于附加刚臂阻止了结点 1转动，附加
刚臂上将产生反力矩，称之为“不平衡”
力矩，用 M 1 表示。
按力矩平衡条件可求出不平衡力矩 M 1
M 1 = M1A+M1B+M1C = ql
F
1
8
2
?
1
8
2 ? ? ? ?
F
?
二、放松节点
为使刚架恢复自然状态，必须消除不平衡力
矩 M 1 的作用，需加上一个反向的不平衡力矩
M 1,施加反向不平衡力矩想当于放松节点 1。
B
A C
M1
?
我们将各梁转动端产生的弯矩称为分配
弯矩，以 M 1A,M 1B,M 1C表示。各梁
远端产生的弯矩称为传递弯矩，以 M A1、
M B1,M C1表示。为了计算分配弯矩和传
递弯矩，需引入转动刚度，分配系数和
传递系数。
? ?
?
? ? ?
C
C C
1、转动刚度
为了使杆件的某一端产生单位转角，
在该端所需施加的力矩作为杆件在该端
的转动刚度，用,S”表示。
转动刚度表示杆端抵抗转动的能力，
其值与线刚度 i = 有关，还与杆件远
端支承情况有关。
EI
l
?A=1
A
B
B
SAB=i
B A
?A=1
SAB=4i
?A=1
A SAB=3i
B
截取结点 1，由平衡条件得,
M 1A + M 1B + M 1C + M 1 =0
式中,M 1 A = S 1 A ?
M 1 B = S 1 B ?
M 1 C = S 1C ?
? =- = -
2、分配系数分配弯矩
? ? ? ?
?
?
?
M 1
?
S 1A+ S 1A+ S 1A
M 1
?
∑S
M1B
? 1
M1
?
M1A
?
M1C
?
各杆 1 端的分配弯矩为,
式中,M 1 A = -
M 1 B = -
M 1 C = -
式中的,, 称为 1A,1B,
1C杆的分配系数，用 ? 表示。
?
?
?
M 1
?
∑S
S1A
M 1
?
∑S
S1B
M 1
?
∑S
S1C
∑S
S1A
∑S
S1B
∑S
S1C
∑S
S1A ?
1A=
?1B=
?1C=
写成一般形式，杆件近端用 i,远端用 j,
则有 ?ij =,而且结点 1 上各杆分配系
数的总和等于 1，即 ∑ ?ij = 1。
∑S
S1B
∑S
S1C
∑S
Sij
3、传递系数与传递弯矩
各杆传递弯矩与各杆远端支承情况有关。
远端固定端时,M ij = 4 i?,M ji = 2 i?
远端铰支座时,M ij = 3 i?,M ji =0
远端定向支座时,M ij = i?,M ji = - i?
为了利用近端弯矩求远端弯矩，将远端与
近端的弯矩比值称为传递系数，用 C表示。
C = Mjc Mij
远端固定端时,C = 1/2
远端铰支座时,C = 0
远端定向支座时,C = -1
三、最终弯矩
将第一步固定结点各杆端的固端弯矩与
第二步放松节点时相应杆端的分配弯矩
或传递弯矩相加即得出杆端的最终弯矩。
例 20-1用力矩分配法计算图 (a)所示的两
跨连续梁，画出弯矩图。
8m 8m
B A
q=10kN/m
C
M= 10kN·m
i i
(a)
解：计算连续梁时，其过程可以直接在
梁的下方列表进行。具体说明如下,
1、求分配系数
?BA = = =
?BC = = =
校核,∑? = + = 1
将它们填入表中第一行结点 B的两端。
SBA+SBC 4i+3i 7
SBA 4i 4
SBA+SBC 4i+3i 7
SBC 3i 3
4 3
7 7
分配系数 4
7
3
7
固端弯矩
0 0
+150
-80+150 0
分配与传递 - 20 ← - 40 - 30 → 0
杆端弯矩 - 20 - 40 - 110 0
2、求固端弯矩
固定结点 B，杆 BA为两端固定端的单跨梁，
杆 BC为 B端固定 C端铰支的单跨梁，查表达
式 8-1算出
MAB = MBA =0
MBC = -ql ／ 8 = -10× 8 ／ 8 = - 80kN·m
MCB =0
将它们填入表中第二行相应杆端下面。
由表可求得 B点的不平衡力矩。但因 B点有
外力偶，故不平衡力矩等于,
MB = -80 +150 = 70 kN·m
2 2 F
F F
F
?
3、计算分配弯矩与传递弯矩
将结点 B的不平衡力矩反号乘以各杆分配系
数得各杆近端分配弯矩。将所得分配弯矩
乘以相应杆的传递系数即得远端传递弯矩。
4、计算杆端最终弯矩
将表中第二、三行相应的固端弯矩与分配
弯矩或传递弯矩相加即得杆端最终弯矩。
B A
C
80
110
40
20
(b) M图 (kN·m)
将所得最终杆端弯矩填入表中第四行。
最终弯矩绘制连续梁 M图示于图 (b)。
例 20-2计算图 (a)所示连续梁，并绘 M
图及剪力图。 EI=常数。
12m
B A
q=25kN/m
C
50kN
(a)
4m 6m 8m 3m
D
10kN
B A
q=25kN/m
C
50kN
D
10kN
(a’)
30kN·m
1.2i i 1.5i
解：连续梁 DE部分为静定，其内力为,
MDE = -10× 3 = -30kNm
Q = 10kN
将受力图进行简化，变为图 (a’)
? 0.545 0.455 0.417 0.529
M -72 48 -300 300 15 30
分
配
与
传
递
88.9 ← 177.8
4.8 ← 9.5
0.3 ← 0.5
-74.2 ← -148.4
148.4 → 74.2
-17.5 ← -34.9
8 → 4
-0.9 ← -1.9
0.4 → 0.2
-0.1
-166.6
-39.3
-2.1
-0.1
M 22 235.8 -235.8 193.1 -193.1 30
F
1、计算分配系数
为计算方便，令 i=EI／ 12,iAB=1.2i，
iBC=i,iCD=1.5i
2、计算固端弯矩
MCD=M/2=30/2=15 kN·m
MDC=M=30 kN·m
MAB=-Pab /l =-50× 4× 6 /10 =-72 kN·m
MBA= Pa b/l = 50× 4 × 6/10 = 48 kN·m
MBC=-ql /12=-25× 12 /12=-300 kN·m
MCB= ql /12= 25× 12 /12= 300 kN·m
将以上分配系数、固端弯矩数据填入连续
梁相应杆端下面。
F
F
F
F
F
F
2
2
2
2 2
2
2
2
3、分配与传递
从不平衡力矩大的结点 C开始循环，交
替进行分配与传递，直到传递弯矩小于
0.1为止。整个运算过程均可在表上进行。
4、将固端弯矩与相应杆端分配弯矩或传递
弯矩相加得最终杆端弯矩。
5、由最终杆端弯矩绘出 M图 (b)
6、剪力图的绘制方法与位移法相同。分
别截出各杆画受力图，受力图除包括已
知外荷载外还有图 (b)求得的各杆端弯矩。
然后据平衡条件即可求出杆端剪力。
如杆 AB,QAB=4.22kN QBA=45.78kN
剪力图如图（ c）所示。
第二节 力矩分配法计算连续梁及
无侧移刚架
上次介绍只有一个结点的连续梁的力矩分配法
计算，一个循环的固定，放松节点就可以使刚
架恢复自然状态。而对于多个结点角位移的连
续梁和无侧移刚架，应将具有多个结点角位移
的情况转换成一个结点角位移的情况。首先固
定全部刚结点，然后采取逐个结点轮流放松的
办法，即每次只放松一个结点，其它结点暂时
固定，把各结点的不平衡力矩轮流逐次进行消
除，使逐渐接近原来状态。
例 20-3用力矩分配法计算图 (a)所示刚
架，绘制 M图及 Q图。
结点 D A B E C
杆端 DA AD AB BA BC BE EB CB
? 固端 0.6 0.4 0.25 0.375 0.375 固端 铰支
M -40 40 -26.67 53.33
分
配
与
传
递
-2
-0.05
-6.67
-4 -2.66
0.16
-0.1 -0.06
-13.33 -20 -20
-1.33
0.33 0.5 0.5
-0.03
0.01 0.01 0.01
-10
0.25
M -42.05 35.9 -35.9 38.98 -19.49 -19.49 -9.75 0
F
1、计算分配系数
令 i=EI/6,iAD=iBE=1.5i,iAB=i,iBC=2i
?AD= =0.6 4iAD 4iAD+4iAB
?AB= =0.4 4iAB 4iAD+4iAB
?BA= = 0.25 4iAB 4iAB+4iBE +3iBC
?BA= = 0.375 4iBE 4iAB+4iBE +3iBC
?BA= = 0.375 3iBC 4iAB+4iBE +3iBC
2、计算固端弯矩
MBA= = 53.33 kN·m F 60× 4 × 2
2
6 2
MDA= - = -40 kN·m F 30× 4
2
12
MAD= = 40 kN·m F 30× 4
2
12
MAB= - = -26.67 kN·m F 60× 4× 2
2
6 2
分配、传递弯矩及最终杆端弯矩的
计算结果见上表。结点 A,B均满足
静力平衡条件 ∑M=0。最终 M图及 Q
图见图 (b)及图 (c)
