超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，仅
由静力平衡条件不能完全求出它的反力和内力。
第十八章 力 法
§ 18-1 结构的超静定次数
结构的超静定次数＝结构的多余约束数
第二部分 超静定结构的内力和位移
结构超静定次数的判定方法（拆除约束法）
一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到使
结构成为一个无多余约束的几何不变体系（静定结
构）为止。
１）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆
除１个约束；
２）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆
除２个约束；
３）去掉一个固定支座或切开一根梁式杆，相当拆
除３个约束；
４）在一根梁式杆上加一个单铰，相当拆除１个约
束。
x1 x
1
x2 x
2
x3
例 18-1-1 判断图示结构的超静定次数。
x1
x2
x3
x5 x7
x4 x4
x6
x7 x7
x1
x2 x
3
x5 x6
一、力法基本思路
有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决
多余约束中的多余约束力是解超静定的关键 。
D1=0 D11 + D1P =0
D11=d11x1 d11x1+ D1P =0
§ 18-2 力法基本概念
1、力法基本未知量
结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多
余力）。
2、力法基本体系
力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的
静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束
后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余
力共同作用的体系。
3、力法基本方程
力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移
一致的条件。
方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算
问题，显然，超静定转化为静定问题。
例 18-2-1 用力法计算图示梁，并作 M图。
解：１）确定力法基本未知量、基本体系
２）力法方程 d11x1+ D1P =0
３）作 M1,MP图，计算 d11,D1P
d11= l/3EI D1P =ql3/24EI
４）代入力法方程，求 x1
x1 = - D1P /d11 = -ql2/8
５）作 M图
M1图
MP图
x1
力法典型方程，指可用于多次（有限ｎ次）超静定
结构的力法一般方程。
一、两次超静定结构的力法方程
两次超静定刚架在荷载及支座移动作用下原结构
和力法基本体系。
基本体系与原结构位移一致条件,D1= 0
D2= -DB
18- 3 力法典型方程
D1= 0 D11+D12+D1P+D1D=0
D2= -DB D21+D22+D2P+D2D= - DB
因为,Dij=dij xj
所以,d11x1+ d12x2+ D1P + D1D =0
d21x1+ d22x2+ D2P + D2D = - DB (a)
d11x1+ d12x2+ D1P + D1D =0
d21x1+ d22x2+ D2P + D2D = - DB (a)
该式为两次超静定结构在荷载和支座位移共同作
用下的力法方程。有支座移动因素时，力法方程的
右边项可能不为零。
根据位移互等定理,有,d12=d21
二、力法典型方程
n次超静定结构的力法方程,
d11x1+ d12x2+… d1ixi+ d1jxj+… d1nxn+ D1P + D1D= D1
d21x1+ d22x2+… d2ixi+ d2jxj+… d2nxn+ D2P + D2D= D2
… …
di1x1+ di2x2 +… diixi + dijxj+ … dinxn + DiP + DiD = Di
dj1x1+ dj2x2 +… djixi + djjxj+… djnxn + DjP + DjD = Dj
… …
dn1x1+dn2x2+… dnixi+ dnjxj+… dnnxn+ DnP + DnD= Dn
系数、自由项的物理意义,
dii — 基本结构在 xi= 1作用下，沿 xi 方向的位移 ；
dij — 基本结构在 xj= 1作用下，沿 xi 方向的位移 ；
DiP — 基本结构在荷载作用下，沿 xi 方向的位移 ；
DiD — 基本结构在支座移动下，沿 xi 方向的位移 ；
Di — 基本结构沿 xi 方向的总位移＝原结构在 xi 方
向上的实际位移。
d11 d12 … d1i d1j … d1n
d21 d22… d2i d2j … d2n
… …
F = di1 di2 … dii dij … din
dj1 dj2 … dji djj … djn
… …
dn1 dn2 … dni dnj … dnn
力法方程的系数矩阵是一个对称方阵。由其物理
意义可知,
主系数 dii恒大于零，位于方阵左上角到右下角的
主对角线上；
副系数 dij 可大于、等于、小于零，位于主对角线
两侧对称位置上；
由于 dii = dij, 独立的系数为 [n+(n2-n)/2] 个 。
例 18-4-1 用力法计算图示刚架，并作 M图。
解：１）确定力法基本未知量和基本体系
力法方程,d11x1+ d12x2+ D1P=0
d21x1+ d22x2+ D2P=0
２）作 M1,M2,MP图
基本体系
§ 18- 4 荷载作用下力法计算示例
基本体系
M1
M2 MP
３）计算系数、自由项
d11=5l/12EI d22=3l/4EI d12=d21 =0
D1P= FPl2/32EI D2P = 0
４）代入力法方程，求多余力 x1,x2
（ 5l/12EI） x1 + FPl2/32EI =0 x1 = -3FPl/40
( 3l/4EI )x2= 0 x2= 0
５）叠加作 M图
MAC=x1M1+x2M2+MP= (-3FPl/40)/2= -3FPl/80
(右侧受拉）
说明：力法计算刚架时，力
法方程中系数和自由 项只
考虑弯曲变形的影响,
dii = ∑∫l (Mi2 /EI)ds
dij = ∑∫l (MiM j /EI)ds
DiP= ∑∫l (Mi MP /EI)ds
例 18-4-2 计算图示桁架的内力，各杆 EＡ =常数 。
解：１）力法基本体系，基本
方程,d11x1+ D1P =0
２） 计算 Fni,FNP及 d11,D1P
d11 = ∑FN12 l/EA
=4a(1+√2)/EA
D1P = ∑FN1 FNPl/EA
=2FPa(1+√2)/EA
3)代入力法方程中，求解 x1
x1 = - D1P /d11 = -FP/2
4) 叠加计算个杆轴力
FN21=FN1x1+FNP=-√2FP/2
FN02=FP/2
说明：力法计算桁架时，力法方程中系数和自由
项只考虑轴向变形的影响,
dii = ∑FNi2 l/EA
dij = ∑FNiFNjl/EA
DiP= ∑FNiFNPl/EA
例 18-4-3 计算图示排架，并作 M图。
解：１）力法基本体系，力法方程,
d11x1+ D1P =0
２）作 M1,MP图,计算 d11,D1P
d11 =144/EI
D1P =3240/EI
3) 代入力法方程，求 x1
x1 = - D1P /d11 = -22.5kN
4) 作 M图
一、超静定结构的位移计算
１、荷载作用下的位移计算
超静定结构和静定结构在荷载作用下的位移计算公式
是相同的。如梁和刚架的位移计算公式,
D= ∑∫l (MCM/EI) ds
超静定结构的位移计算要点,
虚单位力设在原结构的任意一个基本结构上。
例 18-6-1 求示梁Ｂ端的转角位移 ?B。 EI=常数,杆长为
l。
解：１）作 MC,M图 ２）计算 ?B
§ 18- 5 超静定结构的位移
?B = [(ql2/8)l/2-(2/3) (ql2/8) /2]/EI=-ql3/48EI (?)
或,?B = {[(ql2/8)l/2](1/3)1-(2/3) (ql2/8) /2}/EI
=-ql3/48EI (?)
======tu7-6-2
力法计算Ｍ图
2、支座移动时的位移计算
例 18-5-2 求图示梁中点Ｃ处的竖向位移 DCV。
解：１）作超静定梁 M图
２）作 MC图
３）该基本结构支座发
生位移时有刚体位移。
４）计算位移 DCV
DCV = ∫(MC M/EI)ds-∑FRc
=[l2/4/2(-3EIa/l2/2)](a/2)
=5a/16 (↓)
或, DCV =[(l/2) 2/2](5/6) (3EIa/l2)]=5a/16 (↓)
结构具有对称性时应满足,
１）结构的几何形状（由杆轴围成的图形）和支座形式
正对称于某一轴线；
２）结构的材料性质及截面形状特征（ E,I,A）也对
称于同一轴线。
如果结构是对称的，利用对称性力法计算可获得简化。
§ 18-6 力法的对称性利用
力法对称性利用要点,
取对称的力法基本结构；并使其上的多余力具
有对称性和（或）反对称性。
一、一般荷载作用下（不考虑荷载情况）
取满足上述要点的基本体系，力法方程,
d11x1+ d12x2+ d13x3 + D1P=0
d21x1+ d22x2+ d23x3+ D2P = 0
d31x1+ d32x2+ d33x3+ D3P = 0 (a)
一般情况下，该方程是联立方程。
考虑对称性后,
d13= d31
= d23= d32= 0
代入式（ a），得：
d11x1+d12x2+D1P=0
d21x1+d22x2+D2P=0
d33x3+D3P=0
(b)
原方程分解成两相
互独立的方程。
d11x1+d12x2+D1P=0 D3P=0 x3 =0
d21x1+d22x2+D2P=0 d11x1+d12x2+D1P=0
d33x3+D3P=0 d21x1+d22x2+D2P=0
二、荷载具有正或反对称性（考虑荷载情况）
正对称荷载作用下：只有正对称的多余力
反对称荷载作用下：只有反对称的多余力
d11x1+d12x2+D1P=0 D1P=D2P=0
d21x1+d22x2+D2P=0 x1 =x2 = 0
d33x3+D3P=0 d33x3+D3P=0
３）代入力法方程，并计算多余力
d11x1+ d12x2+ D1P=0 x1=-9.375
d21x1+ d22x2+ D2P=0 x2=6.429
４）叠加作弯矩图
MAB =-36.963 kNm (右侧受拉 )
MBA = 19.287 kNm (左侧受拉 )
MA`B` =104.463 kNm (右侧受拉 )
MA`B`中 =47.412 kNm (左侧受拉 )
MAB中 =8.838 kNm (右侧受拉 )
