第十一章：弯曲变形
第十一章 弯曲变形
§ 11-1 概述
§ 11-2 用积分法求梁的变形
§ 11-3 用叠加法求梁的变形
§ 11-4 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
§ 11-5 用变形比较法解简单超静定梁
目录 目录
§ 11-1 概 述
目录
§ 11-1 概 述
目录
§ 11-1 概 述
目录
1.基本概念 挠曲线方程,
)( xyy ?
由于小变形，截面形心在 x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为,
dx
dy?? ?? t an
挠曲线 y
xx
y
挠度
? 转角
挠度 y：截面形心
在 y方向的位移
y 向上为正
转角 θ,截面绕中性轴转过的角度。 ? 逆钟向为正
§ 11-2 挠曲线的近似微分方程
目录
2.挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到,
zEI
M
ρ
1 ?
忽略剪力对变形的影响
zEI
xM
x
)(
)(
1 ?
?
?
§ 11-2 挠曲线的近似微分方程
目录
由数学知识可知,
32
2
2
])(1[
1
dx
dy
dx
yd
?
??
?
略去高阶小量，得
2
21
dx
yd??
?
所以
zEI
xM
dx
yd )(
2
2
??
2
M ( x ) > 0 M ( x ) > 0
O
d y
d x
2 > 0
x
y
M ( x ) < 0
O
d x
d y
< 02
2
y
x
M ( x ) < 0
§ 11-2 挠曲线的近似微分方程
目录
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲
线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方
程为,
zEI
xM
dx
yd )(
2
2
?
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角
和挠度。
§ 11-2 挠曲线的近似微分方程
目录
)(2
2
xME I y ''dx ydEI ??
设梁上有 n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩
为 M(x)，转角为,挠度为 y，则有,?
)( xMEI y '' ii ?
若梁上只有第 i个载荷单独作用，截面上弯矩
为,转角为,挠度为,则有,i?
iy)(xMi
由弯矩的叠加原理知,)()(
1
xMxM
n
i
i ??
?
所以,)('')(''
11
xMyEIyEI
n
i
i
n
i
i ?? ??
??
§ 11-3 用叠加法求梁的变形
目录
故 '')(''
1
?
?
?
n
i
iyy
由于梁的边界条件不变，因此
,
1
?
?
?
n
i
i???
?
?
n
i
iyy
1
重要结论,
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。
这就是 计算弯曲变形的叠加原理 。
§ 11-3 用叠加法求梁的变形
目录
例 11-3-1 已知简支梁受力如
图示,q,l,EI均为已知。求 C
截面的挠度 yC ； B截面的转角 ?B
1）将梁上的载荷分解
321 CCCC yyyy ???
321 BBBB ???? ???
yC1
yC2
yC3
2）查表得 3种情形下 C截面的
挠度和 B截面的转角 。
EI
ql
B 24
3
1 ??
EI
ql
B 16
3
1 ??
EI
ql
B 3
3
3 ???
EI
qly
C 3 8 4
5 4
1 ??
EI
qly
C 48
4
2 ??
EI
qly
C 16
4
3 ?
解
§ 11-3 用叠加法求梁的变形
目录
yC1
yC2
yC3
3） 应用叠加法，将简单载荷
作用时的结果求和
)(
3 8 4
11
16483 8 4
5
4
4443
1
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
yy
i
CiC
?
????? ?
?
)(
48
11
31624
3
3333
1
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
i
BiB
??
???? ?
?
??
§ 11-3 用叠加法求梁的变形
目录
例 11-3-2 已知：悬臂梁受力
如图示,q,l,EI均为已知。
求 C截面的挠度 yC和转角 ?C
1）首先，将梁上的载荷变成
有表可查的情形
为了利用梁全长承受均
布载荷的已知结果，先将均
布载荷延长至梁的全长，为
了不改变原来载荷作用的效
果，在 AB 段还需再加上集
度相同、方向相反的均布载
荷。
Cy
解
§ 11-3 用叠加法求梁的变形
目录
Cy
2Cy
1Cy
2By
,8 41 EIqly C ??
,
2481 28
2
34
222
l
EI
ql
EI
ql
l
yy BBC
???
??? ?EI
ql
C 6
3
1 ???
EI
ql
C 48
3
2 ??
EI
qlyy
i
CiC 384
41 42
1
??? ?
?
3）将结果叠加
EI
ql
i
CiC 48
7 32
1
??? ?
?
??
2）再将处理后的梁分解为简单
载荷作用的情形，计算各自 C截
面的挠度和转角。
§ 11-3 用叠加法求梁的变形
目录
讨 论
叠加法求变形有什么优缺点？
§ 11-3 用叠加法求梁的变形
目录
1.刚度条件
][],[ m a xm a x ?? ?? yy
建筑钢梁的许可挠度,
1 0 0 0~2 5 0
ll
机械传动轴的许可转角,
3000
1
精密机床的许可转角,
5000
1
§ 11-4 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
目录
根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承 B
处转角不超过许用数值。
B
1） 由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁 B 处的转角为,
EI
F la
B 3??
解
§ 11-4 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
目录
例 11-4-1 已知钢制圆轴左端受
力为 F＝ 20 kN,a＝ l m,l＝ 2
m,E=206 GPa。轴承 B处的许可
转角 ?θ ? =0.5° 。根据刚度要
求确定轴的直径 d。
例 11-4-2 已知钢制圆轴左端受
力为 F＝ 20 kN,a＝ l m,l＝ 2
m,E=206 GPa。轴承 B处的许可
转角 ?θ ? =0.5° 。根据刚度要
求确定轴的直径 d。
B
2） 由刚度条件确定轴的直径,? ??? ?B
? ?
11 1m mm10111
5.0102063
18012102064
3
18064
3
4
29
3
4
???
????
?????
?
?
?
?
????E
F l a
d
§ 11-4 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
目录
? ??? ?? 18 03 EIF la ? ???EF laI 3 1 8 0?? ? ???? EFl ad 3 18064 4 ??
§ 11-4 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
2.提高梁刚度的措施
1）选择合理的截面形状
目录
2）改善结构形式，减少弯矩数值
改
变
支
座
形
式
§ 11-4 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
目录
2）改善结构形式，减少弯矩数值
改
变
载
荷
类
型
§ 11-4 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
目录
%5.62
1
2 ?
C
C
w
w
3）采用超静定结构
§ 11-4 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
目录