第十九章 位移法
第一节 位移法的基本概念
力法是以结构的某些力作为基
本未知量，而位移法是以结构的
结点位移作为基本未知量。
例
刚架 (a)在荷载
作用下，刚结点
1 既没有水平线
位移，也没有竖
向线位移，仅有
转角 Z1，相当两
个单跨超静定梁
的情况。
L
L
P
B
A
1
Z 1
(a)
刚架 (b) 结
点 1 的转角 Z1
便是位移法计
算超静定结构
的基本未知量。
P
B
A
1
Z 1
(b)
Z 1
1
为了将 (a)转化成 (b)的情况，假
想在结点 1上加上一个附加刚臂
(c),其作用是限制结点 1的转动，
因此结点 1变成固定端，原结构
就可成两端均为固定端的单跨梁
1A 和 1端固定 B端铰支的单跨梁
1B，称之为位移法的基本结构。
B
A
1
Z 1
(d)
B
A
1
(c)
为使基本结构的受力与变
形与原结构一致，将荷载 P 加
在基本结构上，并使附加刚臂
转动与实际情况相同的转角 Z1，
如图 (d)，这样基本结构与原结
构完全一致。这样求解基本未
知量 Z1是位移法的关键所在。
B
A
P
(e)
3P l
16 R
1p 当荷载作用在基
本结构上时，由
于附加刚臂限制
结点 1 转动，必
然产生反力矩，
以 P1p 表示，见
图 (e)
1
B Z 1
( f )
R11
A
2EI
l
4EI
l Z 1
Z 1
3EI
l Z 1
强令附加刚臂转动
Z1角，附加刚臂上
产生的反力矩，以
R11表示，见图 (f)，
那么当荷载与转角
共同作用时，基本
结构附加刚臂上的
反力矩 R1应等于以
上两项之和，即,
R1 = R11 + R1P
由于基本结构的受力和变形
与原结构一致，而原结构结点可
以自由转动，不存在限制转动的
反力矩，因此，基本结构附加臂
上的反力矩 R1 应等于 0，即,
R11 + R1P = 0
令 Z1 = 1时附加刚臂上的反力矩为 r11，
则 R11 = r11 Z1,即,
r11 Z1 +R1P =0 (19-1)
式 (19-1)称为位移法典型方程，其
物理意义是：基本结构由于转角 Z1及
荷载共同作用，附加刚臂 1处产生的
反力矩的总和等于 0。
为了从典型方程中解出 Z1，需首先确定
r11,R1P,取 1 结点为脱离体，由力矩平衡条
件得,
r11 = + =
由 (e)图取结点 1为脱离体,
R1P = -
3EI
l
4EI
l
7EI
l
3PL
16
3EI
l
r11
1
4EI
l
将系数和自由项代入 (19-1)式，得,
Z1= - = - = ( )
求得 Z1后，将 (e)
(f)两种情况叠加,
即可得出原结构的
最终弯矩图，见右。
R1P
r11
- 3PL
16
7EI
L
3PL
112EI
B
A
6P l
56
P l
4
3 P l
56 M图
根据绘出的弯矩图，由平衡条
件绘出剪力图，再由剪力图的
平衡条件绘出轴力图。
第二节 单跨超静定梁的杆端力
位移法是以单跨超静定梁的组合
体为基本结构，以结点的角位移或线
位移作为基本未知量。由位移典型方
程求解未知量。在求典型方程的系数
和自由项时需用到单跨超静定梁在外
荷载以及杆端产生单位转角或单位线
位移时的杆端弯矩。
为了应用方便，我们将用力
法算得的常用单跨静定梁在不
同情况下的杆端弯矩和剪力放
于 (19-1) 表中，使用时只要查
表即可，但须注意以下几点,
一、为计算方便，令 EI / L = i,
称为线刚度，其物理意义是表示
杆件单位长度的抗弯刚度。
二、杆端力正、负号规定
对杆端来说，弯矩绕杆端顺时
针转动为正，逆时针转动为负。对
结点来说，逆时针转动为正，顺时
针转动为负。
至于剪力和轴力正负号规定与前
相同。
三、杆端位移正、负号规定
1、支座截面转角规定为顺时针
转动为正，逆时针转动为负。
2、杆端相对线位移使整个杆件
顺时针转动为正，逆时针转动为负。
四、固端弯矩、固端剪力
由外荷载引起的单跨杆端弯矩,
剪力称为固端弯矩、固端剪力，用
MAB,QAB表示。 F F
第三节 位移法基本结构、基本
未知量的确定
如前所述，位移法的基本结构
是一组单跨超静定梁，结点的转角
是位移法计算超静定结构的基本未
知量。为得到位移法基本结构，我
们在结点加入附加刚臂以阻止其转
动，为了阻止结点的水平线位移，
可在结点加入一个附加链杆。
一、附加刚臂
结构的所有刚结点、组合结点处
需要加附加刚臂，有多少刚结点和
组合结点就有多少个附加刚臂。
二、附加链杆
附加链杆的个数就是结点独立线
位移的个数。有几个独立的结点线
位移，就加几根附加链杆。
第四节 位移法典型方程及计算例题
一、位移法典型方程
对于具有一个基本未知量的结构，
需要加入 1 个附加联系的位移法典型方
程，为,
r11 Z1 + r12 Z2 + R1P = 0
r21 Z1 + r22 Z2 + R2P = 0
对于具有几个基本未知量的结构，需要
加入几个附加联系的位移法典型方程，为,
r11 Z1 + r12 Z2 +…+ r 1i Zi +…+ r 1n Zn + R1P = 0
r21 Z1 + r22 Z2 +…+ r 2i Zi +…+ r 2n Zn + R2P = 0
……
ri1 Z1 + ri2 Z2 +…+ r ii Zi +…+ r in Zn + RiP = 0
……
rn1 Z1 + rn2 Z2 +…+ r ni Zi +…+ r nn Zn + RnP = 0
式中 rii称为主系数,rij称为副系数,RiP
称为自由项。
二、计算例题
用位移法计算超静定结构的步骤可归纳为,
1、加入附加联系，阻止结点的转动和移
动，得到一组以单跨超静定梁为组合体的基
本结构。
2、建立位移法典型方程。
3、绘出基本结构的各单位弯矩图和荷载弯
矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。
4、解方程，求出基本未知量。
5、用叠加法画弯矩图。
6、根据弯矩图画剪力图，根据剪力图绘轴
力图（视题要示）
例 19－ 1用位移法计算图 (a)所示连续梁，
绘 M图
解,1、该连续梁没有结点线位移，有两
个刚结点 B和Ｃ，加入两个附加刚臂得基
本结构如图 (b)所示。
２、列位移法典型方程
r11Z1+R12Z2+R1p=0
r21Z1+R22Z2+R2p=0
3、为求典型方程中的系数和自由项，绘出
Ｍ 1、Ｍ 2、Ｍ p图，如图 (c), (d),(e)所示。
这些系数和自由项均为附加刚臂上的反力
矩，可从图中截取结点 B|和 C为脱离体，用
力矩平衡条件 ∑M=0求出。也可从图中结点
B和 C处的杆端弯矩值直接读出。
由 M1图读出,r11= 4i+4i = 8i
r21= 2i
由 M2图读出,r12= 2i
r22= 4i +3i = 7i
由 Mp图读出,R1p= -200+60 = -140kW·m
R2p= 200 kW·m
由反力互等定理知,r12 = r21,只需计算其
中一个便可。
4、将以上各系数和自由项之值代入位移
法典型方程，有,
8iZ1 + 2iZ2 – 140 = 0
2iZ1 + 7iZ2 + 200 = 0
解联立方程，求得,
Z1 = 26.539/i,Z2 = -36.154/I
Z1值为正，说明结点 B顺时针方向转动；
Z2值为负，说明结点 C逆时针方向转动。
5、按 M=M1Z1+M2Z2+Mp用叠加法绘制 M图
MAB = 2i× 26.539／ i + (-60) = -6.922kN·m
MBA = 4i× 26.539／ i + 60 = 166.156kN·m
将二值连成虚线，叠加简支梁在均布荷载
作用下的弯矩图，见图 (f)。
对于杆 BC，有,
MCB = 2i× 26.539／ i + 4i× (-36.154)／ i +200
= 108.462 kN·m
MBC = 4i× 26.539／ i + 2i× (-36.154)／ i -200
= -166.156 kN·m
将该二值连成虚线，叠加得弯矩图，见图 (f)。
对于杆 CD，有 MDC = 0
MCD = 3i× (-36.154)／ i = -108.462 kN·m
杆 CD上无荷载，直接将该二值连成一直线。
由图 (f)可见,B,C点满足 ∑M=0的平衡条件。
例 19－ 2用位移法计算图 (a)所示刚架，
绘弯矩图。
解,1、此刚架为无侧移刚架，在结点 1
和结点 2加入附加刚臂，得图 (b)所示的基
本结构。
2、建立位移法典型方程
r11 Z1 + r12 Z2 + R1P = 0
r21 Z1 + r22 Z2 + R2P = 0
3、绘出基本结构的 M1,M2和荷载弯矩
图 Mp如图 (c),(d),(e)所示。计算典型
方程中的各系数及自由项。
由 M1图读出,r11= 6 i + 4 i + 8 i = 18 i
r21= 4i = r12
由 M2图读出,r22= 8 i + 4 i + 6 i = 18 i
由 Mp图读出,R1p= ql ／８
R2p= 0
2
4、将以上各系数和自由项之值代入位移
法典型方程，有,
18iZ1 + 4iZ2 – ql ／ 8 = 0
4iZ1 + 18iZ2 = 0
解联立方程，求得,
Z1 = -9ql /1232i,Z2 = ql /616i
2
2 2
5、按 M=M1Z1+M2Z2+Mp叠加绘出最终
弯矩图 (f)。从最终 M图中截出结点 1于图
(g)中，由 ∑M=0.052+0.0292-0.0812=0 确
认 M图绘制无误。
第五节 结构对称性的利用
利用位移法求解对称超静定结
构，可以将一般荷载分为对称荷载
和反对称两种情况，分别利用各自
的等代结构进行计算，然后将两者
的计算结果进行叠加便得到原结构
所求的解答。下面以例子加以说明。
例 19－ 3分析图 (a)所示刚架的计算方
法，设 EI=常数。
解：该刚架为对称刚架，受一般荷载作
用，用位移法计算需加两个附加刚臂一
根链杆。基本未知量三个；力法计算为
三次超静定，基本未知量亦为三个。因
此，无论用那种方法计算，都需要解三
元一次联立方程组。为使计算简化，把
荷载分解为对称荷载（图 (b)）和反对称
荷载（图 (c) ）两种情况，分别用其等代
结构计算，然后将两种计算结果叠加。
1、对称荷载作用
下（图 (b)），取等
代结构如图 (d)所示。
由图示可见，用力
法计算为二次超静
定，需要解除二个
多余联系，多余未
知力有二个；用位
移法计算，仅有一
个结点角位移，基
本未知量为一个，
用位移法计算方便。
2、反对称荷载作
用下（图 (c) ），取
等代结构如图（ e）
所示。由图示可见，
用力法计算为一次
超静定，基本未知
量为一；用位移法
计算，有一个结点
角位移和一个独立
的线位移，基本未
知量为二，可见用
力法计算简便。
可见，对称荷载作用和反对称荷载作用，
可以分别选取合适的计算方法，使求知
量的数目大为减少，因而带来较大方便。
一般说来，对称荷载作用下位移法未知
量个数较力法未知量个数少，宜选用位
移法。反对称带荷载作用下，力法未知
量个数较位移法未知量个数少，宜选用
力法，这种计算方法称为联合法，适合
计算较复杂的结构。
第一节 位移法的基本概念
力法是以结构的某些力作为基
本未知量，而位移法是以结构的
结点位移作为基本未知量。
例
刚架 (a)在荷载
作用下，刚结点
1 既没有水平线
位移，也没有竖
向线位移，仅有
转角 Z1，相当两
个单跨超静定梁
的情况。
L
L
P
B
A
1
Z 1
(a)
刚架 (b) 结
点 1 的转角 Z1
便是位移法计
算超静定结构
的基本未知量。
P
B
A
1
Z 1
(b)
Z 1
1
为了将 (a)转化成 (b)的情况，假
想在结点 1上加上一个附加刚臂
(c),其作用是限制结点 1的转动，
因此结点 1变成固定端，原结构
就可成两端均为固定端的单跨梁
1A 和 1端固定 B端铰支的单跨梁
1B，称之为位移法的基本结构。
B
A
1
Z 1
(d)
B
A
1
(c)
为使基本结构的受力与变
形与原结构一致，将荷载 P 加
在基本结构上，并使附加刚臂
转动与实际情况相同的转角 Z1，
如图 (d)，这样基本结构与原结
构完全一致。这样求解基本未
知量 Z1是位移法的关键所在。
B
A
P
(e)
3P l
16 R
1p 当荷载作用在基
本结构上时，由
于附加刚臂限制
结点 1 转动，必
然产生反力矩，
以 P1p 表示，见
图 (e)
1
B Z 1
( f )
R11
A
2EI
l
4EI
l Z 1
Z 1
3EI
l Z 1
强令附加刚臂转动
Z1角，附加刚臂上
产生的反力矩，以
R11表示，见图 (f)，
那么当荷载与转角
共同作用时，基本
结构附加刚臂上的
反力矩 R1应等于以
上两项之和，即,
R1 = R11 + R1P
由于基本结构的受力和变形
与原结构一致，而原结构结点可
以自由转动，不存在限制转动的
反力矩，因此，基本结构附加臂
上的反力矩 R1 应等于 0，即,
R11 + R1P = 0
令 Z1 = 1时附加刚臂上的反力矩为 r11，
则 R11 = r11 Z1,即,
r11 Z1 +R1P =0 (19-1)
式 (19-1)称为位移法典型方程，其
物理意义是：基本结构由于转角 Z1及
荷载共同作用，附加刚臂 1处产生的
反力矩的总和等于 0。
为了从典型方程中解出 Z1，需首先确定
r11,R1P,取 1 结点为脱离体，由力矩平衡条
件得,
r11 = + =
由 (e)图取结点 1为脱离体,
R1P = -
3EI
l
4EI
l
7EI
l
3PL
16
3EI
l
r11
1
4EI
l
将系数和自由项代入 (19-1)式，得,
Z1= - = - = ( )
求得 Z1后，将 (e)
(f)两种情况叠加,
即可得出原结构的
最终弯矩图，见右。
R1P
r11
- 3PL
16
7EI
L
3PL
112EI
B
A
6P l
56
P l
4
3 P l
56 M图
根据绘出的弯矩图，由平衡条
件绘出剪力图，再由剪力图的
平衡条件绘出轴力图。
第二节 单跨超静定梁的杆端力
位移法是以单跨超静定梁的组合
体为基本结构，以结点的角位移或线
位移作为基本未知量。由位移典型方
程求解未知量。在求典型方程的系数
和自由项时需用到单跨超静定梁在外
荷载以及杆端产生单位转角或单位线
位移时的杆端弯矩。
为了应用方便，我们将用力
法算得的常用单跨静定梁在不
同情况下的杆端弯矩和剪力放
于 (19-1) 表中，使用时只要查
表即可，但须注意以下几点,
一、为计算方便，令 EI / L = i,
称为线刚度，其物理意义是表示
杆件单位长度的抗弯刚度。
二、杆端力正、负号规定
对杆端来说，弯矩绕杆端顺时
针转动为正，逆时针转动为负。对
结点来说，逆时针转动为正，顺时
针转动为负。
至于剪力和轴力正负号规定与前
相同。
三、杆端位移正、负号规定
1、支座截面转角规定为顺时针
转动为正，逆时针转动为负。
2、杆端相对线位移使整个杆件
顺时针转动为正，逆时针转动为负。
四、固端弯矩、固端剪力
由外荷载引起的单跨杆端弯矩,
剪力称为固端弯矩、固端剪力，用
MAB,QAB表示。 F F
第三节 位移法基本结构、基本
未知量的确定
如前所述，位移法的基本结构
是一组单跨超静定梁，结点的转角
是位移法计算超静定结构的基本未
知量。为得到位移法基本结构，我
们在结点加入附加刚臂以阻止其转
动，为了阻止结点的水平线位移，
可在结点加入一个附加链杆。
一、附加刚臂
结构的所有刚结点、组合结点处
需要加附加刚臂，有多少刚结点和
组合结点就有多少个附加刚臂。
二、附加链杆
附加链杆的个数就是结点独立线
位移的个数。有几个独立的结点线
位移，就加几根附加链杆。
第四节 位移法典型方程及计算例题
一、位移法典型方程
对于具有一个基本未知量的结构，
需要加入 1 个附加联系的位移法典型方
程，为,
r11 Z1 + r12 Z2 + R1P = 0
r21 Z1 + r22 Z2 + R2P = 0
对于具有几个基本未知量的结构，需要
加入几个附加联系的位移法典型方程，为,
r11 Z1 + r12 Z2 +…+ r 1i Zi +…+ r 1n Zn + R1P = 0
r21 Z1 + r22 Z2 +…+ r 2i Zi +…+ r 2n Zn + R2P = 0
……
ri1 Z1 + ri2 Z2 +…+ r ii Zi +…+ r in Zn + RiP = 0
……
rn1 Z1 + rn2 Z2 +…+ r ni Zi +…+ r nn Zn + RnP = 0
式中 rii称为主系数,rij称为副系数,RiP
称为自由项。
二、计算例题
用位移法计算超静定结构的步骤可归纳为,
1、加入附加联系，阻止结点的转动和移
动，得到一组以单跨超静定梁为组合体的基
本结构。
2、建立位移法典型方程。
3、绘出基本结构的各单位弯矩图和荷载弯
矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。
4、解方程，求出基本未知量。
5、用叠加法画弯矩图。
6、根据弯矩图画剪力图，根据剪力图绘轴
力图（视题要示）
例 19－ 1用位移法计算图 (a)所示连续梁，
绘 M图
解,1、该连续梁没有结点线位移，有两
个刚结点 B和Ｃ，加入两个附加刚臂得基
本结构如图 (b)所示。
２、列位移法典型方程
r11Z1+R12Z2+R1p=0
r21Z1+R22Z2+R2p=0
3、为求典型方程中的系数和自由项，绘出
Ｍ 1、Ｍ 2、Ｍ p图，如图 (c), (d),(e)所示。
这些系数和自由项均为附加刚臂上的反力
矩，可从图中截取结点 B|和 C为脱离体，用
力矩平衡条件 ∑M=0求出。也可从图中结点
B和 C处的杆端弯矩值直接读出。
由 M1图读出,r11= 4i+4i = 8i
r21= 2i
由 M2图读出,r12= 2i
r22= 4i +3i = 7i
由 Mp图读出,R1p= -200+60 = -140kW·m
R2p= 200 kW·m
由反力互等定理知,r12 = r21,只需计算其
中一个便可。
4、将以上各系数和自由项之值代入位移
法典型方程，有,
8iZ1 + 2iZ2 – 140 = 0
2iZ1 + 7iZ2 + 200 = 0
解联立方程，求得,
Z1 = 26.539/i,Z2 = -36.154/I
Z1值为正，说明结点 B顺时针方向转动；
Z2值为负，说明结点 C逆时针方向转动。
5、按 M=M1Z1+M2Z2+Mp用叠加法绘制 M图
MAB = 2i× 26.539／ i + (-60) = -6.922kN·m
MBA = 4i× 26.539／ i + 60 = 166.156kN·m
将二值连成虚线，叠加简支梁在均布荷载
作用下的弯矩图，见图 (f)。
对于杆 BC，有,
MCB = 2i× 26.539／ i + 4i× (-36.154)／ i +200
= 108.462 kN·m
MBC = 4i× 26.539／ i + 2i× (-36.154)／ i -200
= -166.156 kN·m
将该二值连成虚线，叠加得弯矩图，见图 (f)。
对于杆 CD，有 MDC = 0
MCD = 3i× (-36.154)／ i = -108.462 kN·m
杆 CD上无荷载，直接将该二值连成一直线。
由图 (f)可见,B,C点满足 ∑M=0的平衡条件。
例 19－ 2用位移法计算图 (a)所示刚架，
绘弯矩图。
解,1、此刚架为无侧移刚架，在结点 1
和结点 2加入附加刚臂，得图 (b)所示的基
本结构。
2、建立位移法典型方程
r11 Z1 + r12 Z2 + R1P = 0
r21 Z1 + r22 Z2 + R2P = 0
3、绘出基本结构的 M1,M2和荷载弯矩
图 Mp如图 (c),(d),(e)所示。计算典型
方程中的各系数及自由项。
由 M1图读出,r11= 6 i + 4 i + 8 i = 18 i
r21= 4i = r12
由 M2图读出,r22= 8 i + 4 i + 6 i = 18 i
由 Mp图读出,R1p= ql ／８
R2p= 0
2
4、将以上各系数和自由项之值代入位移
法典型方程，有,
18iZ1 + 4iZ2 – ql ／ 8 = 0
4iZ1 + 18iZ2 = 0
解联立方程，求得,
Z1 = -9ql /1232i,Z2 = ql /616i
2
2 2
5、按 M=M1Z1+M2Z2+Mp叠加绘出最终
弯矩图 (f)。从最终 M图中截出结点 1于图
(g)中，由 ∑M=0.052+0.0292-0.0812=0 确
认 M图绘制无误。
第五节 结构对称性的利用
利用位移法求解对称超静定结
构，可以将一般荷载分为对称荷载
和反对称两种情况，分别利用各自
的等代结构进行计算，然后将两者
的计算结果进行叠加便得到原结构
所求的解答。下面以例子加以说明。
例 19－ 3分析图 (a)所示刚架的计算方
法，设 EI=常数。
解：该刚架为对称刚架，受一般荷载作
用，用位移法计算需加两个附加刚臂一
根链杆。基本未知量三个；力法计算为
三次超静定，基本未知量亦为三个。因
此，无论用那种方法计算，都需要解三
元一次联立方程组。为使计算简化，把
荷载分解为对称荷载（图 (b)）和反对称
荷载（图 (c) ）两种情况，分别用其等代
结构计算，然后将两种计算结果叠加。
1、对称荷载作用
下（图 (b)），取等
代结构如图 (d)所示。
由图示可见，用力
法计算为二次超静
定，需要解除二个
多余联系，多余未
知力有二个；用位
移法计算，仅有一
个结点角位移，基
本未知量为一个，
用位移法计算方便。
2、反对称荷载作
用下（图 (c) ），取
等代结构如图（ e）
所示。由图示可见，
用力法计算为一次
超静定，基本未知
量为一；用位移法
计算，有一个结点
角位移和一个独立
的线位移，基本未
知量为二，可见用
力法计算简便。
可见，对称荷载作用和反对称荷载作用，
可以分别选取合适的计算方法，使求知
量的数目大为减少，因而带来较大方便。
一般说来，对称荷载作用下位移法未知
量个数较力法未知量个数少，宜选用位
移法。反对称带荷载作用下，力法未知
量个数较位移法未知量个数少，宜选用
力法，这种计算方法称为联合法，适合
计算较复杂的结构。
