第十七章 静定结构的位移
一、位移概念
在外因作用下，结构某一截面相对于初始状态
位置的变化叫作该截面的位移。
位移是矢量，即有大小，方向，起点和终点
平面杆件结构的位移,
１、线位移：水平位移
竖向位移
２、转角位移（角位移）
§ 17-1 概 述
广义位移概念,
１、绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移；
２、相对位移：一个截面相对另一个截面的位移。
二、计算结构位移的目的
１、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出
规定的范围，满足结构的功能和使用要求。
２、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的
反方向予先采取措施。
３、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提
供基础。
三、位移计算中的基本假定
位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即，
结构的位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，
结构的位移也随之消失。并应满足如下基本假定,
１、应力和应变服从虎克定律（物理线性）；
２、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原
尺寸和叠加法计算其位移；
３、所有约束为理想约束，即约束力不作功 。
结构力学的位移计算依据变形体的虚功原理。
刚体虚功原理是其特殊（简单）情况。
一、实功
１、常力实功
实功的力和位移两要素相关。在外力 FP作用下，
刚体沿力的方向发生位移△ 。
W=FP△
= FP△ `cosa
§ 17-２ 虚功原理
2、静力实功
在静外力 FP1作用下，变形体在力的作用点沿力的
方向发生位移△ 11 。静力实功为,
W=FP1△ 11 /2
二、虚功
在简支梁上先加载 FP1,使力 FP1作用点的位移达
到终值△ 11，再加载 FP2，使力 FP1的作用点发生位移
△ 12，力 FP1在位移△ 12上作的功叫虚功,即,
W12=FP1△ 12
虚功中的力和位移两个
要素不相关。即无因果
关系。虚功具有常力功
的形式
三、刚体的虚功原理及应用
１、刚体的虚功原理
在具有理想约束的刚体体系中，若力状态中的力
系满足静力平衡条件，位移状态中的刚体位移与约
束几何相容，则该力在该相应的刚体位移上所作的
外力虚功之和等于零，即 W12＝０。
利用虚功原理和虚功的力和位移不相关的特性，
可虚设位移（或力）状态，求实际的力（或位移）。
因此，虚功原理有两种应用。
分析：梁在荷载作
用下其支座反力有
静定解，即荷载与
支座反力组成满足
静力平衡条件的力
状态。若再有一个
恰当的与支座约束
相容的刚体位移状
态，就可由虚功原
理求支座反力。
例 17-2-1 用虚位移原理求图示简支梁的Ｂ支座的反
力 FBy。
解：１）切断Ｂ支座链杆，使由此得到的机构发生
沿 Fby方向的刚体虚位移。
２）令实际力系在刚体位移的虚位移上作虚功，代
入 W12=0 得虚功方程,
FBy△ B﹣ FP △ P=0
由虚位移图的几何关系可知 △ P/△ B ＝ a/l 得,
FBy＝ FP a/l (↑)
（实际）力状态
（虚）位移状态
说明：本例应用虚功原理求结构支座反力的方法叫
虚位移法。为简单起见，可设虚位移△ B ＝ 1，则本
题求解过程如下,
FBy× 1﹣ FP dP=0 即,FBy﹣ FP d P=0
由 d P= a／ l 得,FBy＝ FP a／ l (↑)
这样处理后的方法叫虚单位位移法（简称单位位移
法）。
单位位移法步骤,
１）去掉与拟求力相应的约束，并代以拟求力（力
的方向是先假定的），并使得到的体系（机构）沿
拟求力的方向发生单位虚位移；
３）令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立虚
位移方程并求解。
４）结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；
结果为负，所得力的方向与假定的方向相反。
２、静定结构在支座移动时的位移计算
例 17-2-2 图示简支梁在Ｂ支座有沉陷 b，用虚力
原理求梁Ｃ点的竖向位移 DCV。
分析：图示梁由于支座Ｂ的位移而发生如图示满足
约束的实际刚体位移状态。若再有一个恰当的满足
平衡条件的力状态，就可利用虚功原理求位移。
解：１）在结构的拟求位移点Ｃ虚设力 FP，由静力
平衡条件求出支座反力 FBy ＝ FP a／ l (↑) 显然虚
力系是满足静力平衡条件的力状态。
２）令虚力系在实际位移上作虚功，由 W=0，得虚
功方程,
FP △ CV﹣ （ FPa／ l)b=0
△ CV ＝ ab／ l (↓)
说明：利用虚功原理求结构位移的方法叫虚力法。
同上例一样，本例可设一个虚单位力 FP =１,
则有 FBy＝ a／ l (↑) 虚功方程为,
1×△ CV﹣ （ a／ l)b=0 △ CV＝ ab／ l (↓)
这种处理后的方法又可叫虚单位荷载法（简称单
位荷载法或单位力法）。
单位力法步骤,
１）在结构某指定点拟求位移的方向上，虚设一个
单位力，并由静力平衡条件求出结构由此产生的支
座反力。
２）令虚力系中的所有外力在结构的实际位移上作
虚功，建立虚功方程并求解。
３）结果为正，所得位移方向与虚单位力的方向相
同；结果为负，所得位移方向与虚单位力的方向相
反。
静定结构在支座移动时的位移计算公式
１）公式推导
左图，静定刚架发生了支座位移，拟求某点Ｅ沿截
面 Ⅰ － Ⅰ 方向的位移 D。
右图，在Ｅ点沿拟求位移方向虚设单位力，并求出
支座反力。
令虚力系中的力在实际位移上作虚功，建立虚功方
程,
1× D+Axc1+ Ayc2+ MAc3=0
整理后，得,D = -(Axc1+Avc2+MAc3)
写成一般式,
D = -∑rici (6-2-1)
该式即为静定结构在支座发生位移时的位移计算公式。
位移计算步骤是,
１）虚设单位力系，并求该力系的支座反力；
２）代入计算公式，计算位移。
３）按是否与单位力的方向一致确定所得位移方向 。
例 17-2-3 图示多跨静定梁支座Ｂ发生沉陷 a，求
Ｅ截面的竖向位移 DEV和Ｄ铰两侧截面的相对转角 ? 。
解,１）求 DEV
位移公式
D = -∑rici (6-2-1)
DEV=-(3/4)a=3a/4(↑)
２） 求 ?
? = -(-5/2l)a=5a/(2l) (??)
一、杆件局部（微段）变形时的位移
图示梁，仅在ＢＣ微段 ds上发生变形，其它部分
仍保持刚性。若仅考虑 CA段，相当于悬臂梁ＣＡ在
固定端Ｃ处有支座位移。因此，可利用刚体的虚功
原理，由静定结构支座移动时求位移的方法来研究。
即沿拟求位移方向虚设单位力，并求出Ｃ 截面的内
力 。 代入公式,D = -∑rici (17-3-1)
d D = -(-MCd?-QCd? -NCd?)
d D =MCd?＋ QCd?＋ NCd?
§ 17-3 位移计算的一般公式
二、变形杆件的位移
D = ∫ d D = ∫(MCd?＋ QCd? ＋ NC d? )
当同时考虑支座位移，且又为杆件结构时,
D = ∑ ∫(MCd?＋ QCd? ＋ NC d? ) -∑rici （ a）
该式即为计算杆件结构位移的一般公式。 并可写成,
１ × D ＋ ∑rici = ∑ ∫(MCd?＋ QCd? ＋ NC d? )
变形体的虚功原理,
若变形体有满足变形协调及约束允许的可能位移，
那么，满足静力平衡条件的任一力系在该变形体的变
形和位移上所作的 总外力虚功等于总内力虚功 （虚应
变能），即 W=V。
因为 d?=?ds d?=?ds d?=?ds 代入式 (a)
D=∑∫MC?ds＋ ∑∫QC?ds＋ ∑∫NC?ds -∑rici
(c)
对于线性弹性变形体在荷载作用下时，有,
?=MP/EI ? =FQP/GA? = FNP/EA
同时 考虑一般性和书写方便，将虚内力中表示单位
力位置的下标省略,则式（ c）可写,
D = ∑∫(M1MP /EI) ds ＋ ∑∫(FQP/GA) ds
＋ ∑∫(NFNP/EA) ds -∑ric (17-3-1)
D=∑∫MC?ds＋ ∑∫QC?ds＋ ∑∫NC?ds -∑rici
(c)
对于线性弹性变形体在荷载作用下时，有,
?=MP/EI ? =FQP/GA ? = FNP/EA
同时 考虑一般性和书写方便，将虚内力中表示单位
力位置的下标省略,则式（ c）可写,
D = ∑∫(M1MP /EI) ds ＋ ∑∫(Q FQP/GA) ds
＋ ∑∫(NFNP/EA) ds -∑rici (6-3-1)
一、各类静定结构的位移计算公式
１）梁、刚架：只考虑弯曲变形的影响
D = ∑∫(M1 MP /EI) ds (6-4-1)
２）桁架：只考虑轴向变形的影响
D = ∑∫(N FNP/EA) ds
D = ∑NFNPl/EA (6-4-2)
３）组合结构,
D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋ ∑∫(N FNP/EA) ds
(6-4-3)
４）拱
D= ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋ ∑∫(NFNP/EA) ds
(6-4-4)
§ 17-4 静定结构在荷载作用下的位移
二、静定梁、刚架的位移计算
１、积分法,
例 17-4-1 求图示刚架Ｃ截面的水平位移 DCH和Ａ、
Ｂ两截面的相对转角 ? 。各杆 EI=常数。
解：建立拟求的两个指定位移相应的虚力系。分别
对各杆件写出弯矩函数 M1,Ｍ Ｐ,代入积分公式计
算位移。
１）求 DCH
AB杆 (0≤x1≤l) MP=qlx1/2-qx12/2 M1 =-x1/2
AC杆 (0≤ x1≤ l/2) MP=0 M1 =x2
DCH = (1/EI)∫l (-x1/2) (qlx1/2-qx12/2)dx1= -ql4/48EI
(→)
２）求 ?
AB杆 (0≤x1≤l) MP= M1 =0
AC杆 (0≤ x1≤ l/2) MP=qlx1/2-qx12/2 M1 = -1
?=(1/EI)∫l (-1) (qlx1/2-qx12/2)dx1= - ql3/12EI(??)
说明,注意利用 D = ∑∫(M1 MP /EI) ds 时，两种状
态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函数
也应先规定受拉侧，以确定积分的正负。
2、图乘法
１、图乘公式推导
一根杆件结构位移公式,
D = ∫ (M1 MP /EI) ds (a)
若杆件为等截面直杆,
D =( 1/EI) ∫ M1 MPdx
=( 1/EI) ∫ydAP
=( 1/EI) tan ? ∫lxdAP
=( 1/EI) xC tan ? AP
=( 1/EI) yC AP
整理并考虑杆件结构的
应用,
D = ∑ AP yC /EI
(6-4-5)
∫lxdAP =xCAP
xC tan ? =yC
图乘公式的应用条件,
１）结构杆件分别为等截面直杆，即 EI=常数。
２） yC必须取自直线段弯矩图，而相应该直线段
的另一弯矩图的面积 AP及面积形心可求出。
例 17-5-1 用图乘法求图示简支梁在Ｂ端截面的转
角位移 ?和跨中点Ｃ截面的竖向位移 DCV 。 EI=常数
解：１）作 MP图，并分别作两拟求位移的 M1图
２）由图乘公式求各位移
?=(1/EI)（ 2/3)(ql2/8)l(-1/2) = -ql3/24EI(?)
DCV=(1/EI)(2/3)(ql2/8)(l/2)(5/8)(l/4)2=5ql4/384EI(↓)
说明,注意求 DCV时的图乘，当取竖标的弯矩图是
折线图形时，应分段图乘。
例 17-4-1 求图示伸臂梁Ｃ端的竖向位移 DCV 。
解, DCV=(1/EI){[(1/2)(ql2/18)l][(2/3)(l/3)]
- [(2/3)(ql2/8)l][(1/2)(l/3)]
+[(1/3)(ql2/18)(l/3)][(3/4)(l/3)]}
= -ql4/72EI(↑)
说明：１）熟练运用弯矩叠加法分解图形后再图乘
是应用图乘法必须掌握的基本功。
２）弯矩图的叠加或分解是竖标的叠加，而不是
图形的简单叠加。
３）注意标准抛物线图形的定义。
图乘法中常用图形及数据,
A=hl/2
yc=2h/3
y1=2a/3+b/3
y2=(a+b)/2
y1=2c/3-d/3
y2=(c-d)/2
A=2hl/3
xc=l/2
A=hl/3
xc=3l/4
例 17-4-2 求图示刚架Ｄ截面的竖向位移 DDV 。
各杆 EI=常数。
解,DDV= [(51× 6/2)(2× 3/3)- (20× 6/2)(3/3)
-(2/3)(10× 62× 6/8)(3/2)]/EI
= 237/EI(↓)
三、静定桁架的位移计算
位移计算公式, D = ∑N FNPl/EA (17-4-2)
例 17-4-2 求图示桁架Ｄ点的竖向位移 DDV和ＣＤ
杆的转角 ? 。
解,１）计算 FNP,FN
３）代入公式求位移
DDV= [(-5/6)(-4.2)× 5+(- 5/6)(-29.2)× 5
+1× 20× 3+(2/3)(23.3)× 4× 2)]/EA
= 2.643× 10-3 m(↓)
? = [（ -5/24)(-4.2) × 5+(5/24)(-29.2)× 5
+23.3× 4/6-23.3 × 4/6 ]/EA
= -3.052× 10-3 (?)
说明：在计算桁架某杆件的角位移或某两
个杆件的相对角位移时，虚单位力偶是设
在相应杆两端的且与杆轴垂直的一对大小
相等方向相反得一对平行力，力的值为
1/d(d为杆长）。
一、位移概念
在外因作用下，结构某一截面相对于初始状态
位置的变化叫作该截面的位移。
位移是矢量，即有大小，方向，起点和终点
平面杆件结构的位移,
１、线位移：水平位移
竖向位移
２、转角位移（角位移）
§ 17-1 概 述
广义位移概念,
１、绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移；
２、相对位移：一个截面相对另一个截面的位移。
二、计算结构位移的目的
１、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出
规定的范围，满足结构的功能和使用要求。
２、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的
反方向予先采取措施。
３、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提
供基础。
三、位移计算中的基本假定
位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即，
结构的位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，
结构的位移也随之消失。并应满足如下基本假定,
１、应力和应变服从虎克定律（物理线性）；
２、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原
尺寸和叠加法计算其位移；
３、所有约束为理想约束，即约束力不作功 。
结构力学的位移计算依据变形体的虚功原理。
刚体虚功原理是其特殊（简单）情况。
一、实功
１、常力实功
实功的力和位移两要素相关。在外力 FP作用下，
刚体沿力的方向发生位移△ 。
W=FP△
= FP△ `cosa
§ 17-２ 虚功原理
2、静力实功
在静外力 FP1作用下，变形体在力的作用点沿力的
方向发生位移△ 11 。静力实功为,
W=FP1△ 11 /2
二、虚功
在简支梁上先加载 FP1,使力 FP1作用点的位移达
到终值△ 11，再加载 FP2，使力 FP1的作用点发生位移
△ 12，力 FP1在位移△ 12上作的功叫虚功,即,
W12=FP1△ 12
虚功中的力和位移两个
要素不相关。即无因果
关系。虚功具有常力功
的形式
三、刚体的虚功原理及应用
１、刚体的虚功原理
在具有理想约束的刚体体系中，若力状态中的力
系满足静力平衡条件，位移状态中的刚体位移与约
束几何相容，则该力在该相应的刚体位移上所作的
外力虚功之和等于零，即 W12＝０。
利用虚功原理和虚功的力和位移不相关的特性，
可虚设位移（或力）状态，求实际的力（或位移）。
因此，虚功原理有两种应用。
分析：梁在荷载作
用下其支座反力有
静定解，即荷载与
支座反力组成满足
静力平衡条件的力
状态。若再有一个
恰当的与支座约束
相容的刚体位移状
态，就可由虚功原
理求支座反力。
例 17-2-1 用虚位移原理求图示简支梁的Ｂ支座的反
力 FBy。
解：１）切断Ｂ支座链杆，使由此得到的机构发生
沿 Fby方向的刚体虚位移。
２）令实际力系在刚体位移的虚位移上作虚功，代
入 W12=0 得虚功方程,
FBy△ B﹣ FP △ P=0
由虚位移图的几何关系可知 △ P/△ B ＝ a/l 得,
FBy＝ FP a/l (↑)
（实际）力状态
（虚）位移状态
说明：本例应用虚功原理求结构支座反力的方法叫
虚位移法。为简单起见，可设虚位移△ B ＝ 1，则本
题求解过程如下,
FBy× 1﹣ FP dP=0 即,FBy﹣ FP d P=0
由 d P= a／ l 得,FBy＝ FP a／ l (↑)
这样处理后的方法叫虚单位位移法（简称单位位移
法）。
单位位移法步骤,
１）去掉与拟求力相应的约束，并代以拟求力（力
的方向是先假定的），并使得到的体系（机构）沿
拟求力的方向发生单位虚位移；
３）令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立虚
位移方程并求解。
４）结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；
结果为负，所得力的方向与假定的方向相反。
２、静定结构在支座移动时的位移计算
例 17-2-2 图示简支梁在Ｂ支座有沉陷 b，用虚力
原理求梁Ｃ点的竖向位移 DCV。
分析：图示梁由于支座Ｂ的位移而发生如图示满足
约束的实际刚体位移状态。若再有一个恰当的满足
平衡条件的力状态，就可利用虚功原理求位移。
解：１）在结构的拟求位移点Ｃ虚设力 FP，由静力
平衡条件求出支座反力 FBy ＝ FP a／ l (↑) 显然虚
力系是满足静力平衡条件的力状态。
２）令虚力系在实际位移上作虚功，由 W=0，得虚
功方程,
FP △ CV﹣ （ FPa／ l)b=0
△ CV ＝ ab／ l (↓)
说明：利用虚功原理求结构位移的方法叫虚力法。
同上例一样，本例可设一个虚单位力 FP =１,
则有 FBy＝ a／ l (↑) 虚功方程为,
1×△ CV﹣ （ a／ l)b=0 △ CV＝ ab／ l (↓)
这种处理后的方法又可叫虚单位荷载法（简称单
位荷载法或单位力法）。
单位力法步骤,
１）在结构某指定点拟求位移的方向上，虚设一个
单位力，并由静力平衡条件求出结构由此产生的支
座反力。
２）令虚力系中的所有外力在结构的实际位移上作
虚功，建立虚功方程并求解。
３）结果为正，所得位移方向与虚单位力的方向相
同；结果为负，所得位移方向与虚单位力的方向相
反。
静定结构在支座移动时的位移计算公式
１）公式推导
左图，静定刚架发生了支座位移，拟求某点Ｅ沿截
面 Ⅰ － Ⅰ 方向的位移 D。
右图，在Ｅ点沿拟求位移方向虚设单位力，并求出
支座反力。
令虚力系中的力在实际位移上作虚功，建立虚功方
程,
1× D+Axc1+ Ayc2+ MAc3=0
整理后，得,D = -(Axc1+Avc2+MAc3)
写成一般式,
D = -∑rici (6-2-1)
该式即为静定结构在支座发生位移时的位移计算公式。
位移计算步骤是,
１）虚设单位力系，并求该力系的支座反力；
２）代入计算公式，计算位移。
３）按是否与单位力的方向一致确定所得位移方向 。
例 17-2-3 图示多跨静定梁支座Ｂ发生沉陷 a，求
Ｅ截面的竖向位移 DEV和Ｄ铰两侧截面的相对转角 ? 。
解,１）求 DEV
位移公式
D = -∑rici (6-2-1)
DEV=-(3/4)a=3a/4(↑)
２） 求 ?
? = -(-5/2l)a=5a/(2l) (??)
一、杆件局部（微段）变形时的位移
图示梁，仅在ＢＣ微段 ds上发生变形，其它部分
仍保持刚性。若仅考虑 CA段，相当于悬臂梁ＣＡ在
固定端Ｃ处有支座位移。因此，可利用刚体的虚功
原理，由静定结构支座移动时求位移的方法来研究。
即沿拟求位移方向虚设单位力，并求出Ｃ 截面的内
力 。 代入公式,D = -∑rici (17-3-1)
d D = -(-MCd?-QCd? -NCd?)
d D =MCd?＋ QCd?＋ NCd?
§ 17-3 位移计算的一般公式
二、变形杆件的位移
D = ∫ d D = ∫(MCd?＋ QCd? ＋ NC d? )
当同时考虑支座位移，且又为杆件结构时,
D = ∑ ∫(MCd?＋ QCd? ＋ NC d? ) -∑rici （ a）
该式即为计算杆件结构位移的一般公式。 并可写成,
１ × D ＋ ∑rici = ∑ ∫(MCd?＋ QCd? ＋ NC d? )
变形体的虚功原理,
若变形体有满足变形协调及约束允许的可能位移，
那么，满足静力平衡条件的任一力系在该变形体的变
形和位移上所作的 总外力虚功等于总内力虚功 （虚应
变能），即 W=V。
因为 d?=?ds d?=?ds d?=?ds 代入式 (a)
D=∑∫MC?ds＋ ∑∫QC?ds＋ ∑∫NC?ds -∑rici
(c)
对于线性弹性变形体在荷载作用下时，有,
?=MP/EI ? =FQP/GA? = FNP/EA
同时 考虑一般性和书写方便，将虚内力中表示单位
力位置的下标省略,则式（ c）可写,
D = ∑∫(M1MP /EI) ds ＋ ∑∫(FQP/GA) ds
＋ ∑∫(NFNP/EA) ds -∑ric (17-3-1)
D=∑∫MC?ds＋ ∑∫QC?ds＋ ∑∫NC?ds -∑rici
(c)
对于线性弹性变形体在荷载作用下时，有,
?=MP/EI ? =FQP/GA ? = FNP/EA
同时 考虑一般性和书写方便，将虚内力中表示单位
力位置的下标省略,则式（ c）可写,
D = ∑∫(M1MP /EI) ds ＋ ∑∫(Q FQP/GA) ds
＋ ∑∫(NFNP/EA) ds -∑rici (6-3-1)
一、各类静定结构的位移计算公式
１）梁、刚架：只考虑弯曲变形的影响
D = ∑∫(M1 MP /EI) ds (6-4-1)
２）桁架：只考虑轴向变形的影响
D = ∑∫(N FNP/EA) ds
D = ∑NFNPl/EA (6-4-2)
３）组合结构,
D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋ ∑∫(N FNP/EA) ds
(6-4-3)
４）拱
D= ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋ ∑∫(NFNP/EA) ds
(6-4-4)
§ 17-4 静定结构在荷载作用下的位移
二、静定梁、刚架的位移计算
１、积分法,
例 17-4-1 求图示刚架Ｃ截面的水平位移 DCH和Ａ、
Ｂ两截面的相对转角 ? 。各杆 EI=常数。
解：建立拟求的两个指定位移相应的虚力系。分别
对各杆件写出弯矩函数 M1,Ｍ Ｐ,代入积分公式计
算位移。
１）求 DCH
AB杆 (0≤x1≤l) MP=qlx1/2-qx12/2 M1 =-x1/2
AC杆 (0≤ x1≤ l/2) MP=0 M1 =x2
DCH = (1/EI)∫l (-x1/2) (qlx1/2-qx12/2)dx1= -ql4/48EI
(→)
２）求 ?
AB杆 (0≤x1≤l) MP= M1 =0
AC杆 (0≤ x1≤ l/2) MP=qlx1/2-qx12/2 M1 = -1
?=(1/EI)∫l (-1) (qlx1/2-qx12/2)dx1= - ql3/12EI(??)
说明,注意利用 D = ∑∫(M1 MP /EI) ds 时，两种状
态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函数
也应先规定受拉侧，以确定积分的正负。
2、图乘法
１、图乘公式推导
一根杆件结构位移公式,
D = ∫ (M1 MP /EI) ds (a)
若杆件为等截面直杆,
D =( 1/EI) ∫ M1 MPdx
=( 1/EI) ∫ydAP
=( 1/EI) tan ? ∫lxdAP
=( 1/EI) xC tan ? AP
=( 1/EI) yC AP
整理并考虑杆件结构的
应用,
D = ∑ AP yC /EI
(6-4-5)
∫lxdAP =xCAP
xC tan ? =yC
图乘公式的应用条件,
１）结构杆件分别为等截面直杆，即 EI=常数。
２） yC必须取自直线段弯矩图，而相应该直线段
的另一弯矩图的面积 AP及面积形心可求出。
例 17-5-1 用图乘法求图示简支梁在Ｂ端截面的转
角位移 ?和跨中点Ｃ截面的竖向位移 DCV 。 EI=常数
解：１）作 MP图，并分别作两拟求位移的 M1图
２）由图乘公式求各位移
?=(1/EI)（ 2/3)(ql2/8)l(-1/2) = -ql3/24EI(?)
DCV=(1/EI)(2/3)(ql2/8)(l/2)(5/8)(l/4)2=5ql4/384EI(↓)
说明,注意求 DCV时的图乘，当取竖标的弯矩图是
折线图形时，应分段图乘。
例 17-4-1 求图示伸臂梁Ｃ端的竖向位移 DCV 。
解, DCV=(1/EI){[(1/2)(ql2/18)l][(2/3)(l/3)]
- [(2/3)(ql2/8)l][(1/2)(l/3)]
+[(1/3)(ql2/18)(l/3)][(3/4)(l/3)]}
= -ql4/72EI(↑)
说明：１）熟练运用弯矩叠加法分解图形后再图乘
是应用图乘法必须掌握的基本功。
２）弯矩图的叠加或分解是竖标的叠加，而不是
图形的简单叠加。
３）注意标准抛物线图形的定义。
图乘法中常用图形及数据,
A=hl/2
yc=2h/3
y1=2a/3+b/3
y2=(a+b)/2
y1=2c/3-d/3
y2=(c-d)/2
A=2hl/3
xc=l/2
A=hl/3
xc=3l/4
例 17-4-2 求图示刚架Ｄ截面的竖向位移 DDV 。
各杆 EI=常数。
解,DDV= [(51× 6/2)(2× 3/3)- (20× 6/2)(3/3)
-(2/3)(10× 62× 6/8)(3/2)]/EI
= 237/EI(↓)
三、静定桁架的位移计算
位移计算公式, D = ∑N FNPl/EA (17-4-2)
例 17-4-2 求图示桁架Ｄ点的竖向位移 DDV和ＣＤ
杆的转角 ? 。
解,１）计算 FNP,FN
３）代入公式求位移
DDV= [(-5/6)(-4.2)× 5+(- 5/6)(-29.2)× 5
+1× 20× 3+(2/3)(23.3)× 4× 2)]/EA
= 2.643× 10-3 m(↓)
? = [（ -5/24)(-4.2) × 5+(5/24)(-29.2)× 5
+23.3× 4/6-23.3 × 4/6 ]/EA
= -3.052× 10-3 (?)
说明：在计算桁架某杆件的角位移或某两
个杆件的相对角位移时，虚单位力偶是设
在相应杆两端的且与杆轴垂直的一对大小
相等方向相反得一对平行力，力的值为
1/d(d为杆长）。
