§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
第十章 弯曲应力
目录
纯弯曲
梁段 CD上，只有弯矩，没有剪力－－ 纯弯曲
梁段 AC和 BD上，既有弯矩，又有剪力－－ 横力弯曲
目录
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
一、变形几何关系
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
平面假设,横截面变形后保持为平面，只是绕截
面内某一轴线偏转了一个角度。
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
凹入 一侧纤维 缩短
突出 一侧纤维 伸长
中间一层纤维长
度不变
－－ 中性层
中间层与横截面
的交线
－－ 中性轴
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
二、物理关系
胡克定理 ?? E?
?
? yE?
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
三、静力学条件
??
yE?
Z
1
EI
M?
?
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
正应力公式
变形几何关系
物理关系
?
? y?
?? E?
?
? yE?
静力学关系
Z
1
EI
M?
?
ZI
My??
为梁弯曲变形后的曲率
?
1为曲率半径 ?
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
正应力分布
ZI
My??
Z
m a x
m a x I
My??
Z
ma x W
M??
max
Z
Z y
IW ?
?min?
ZW
M?
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面
矩形截面
空心圆截面
空心矩形截面
??
A
dAyI 2Z
ma x
Z
Z y
IW ?
64
4
Z
dI ??
32
3
Z
dW ??
)1(64 4
4
Z ?
? ?? DI )1(
32
4
3
Z ?
? ?? DW
12
3
Z
bhI ?
6
2
Z
bhW ?
1212
33
00
Z
bhhbI ?? )2//()
1212( 0
33
00
Z h
bhhbW ??
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
横力弯曲
目录
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
横力弯曲正应力公式
弯曲正应力分布
ZI
My??
弹性力学精确分析表明，
当跨度 l 与横截面高度 h 之
比 l / h > 5 （细长梁）时，
纯弯曲正应力公式对于横力
弯曲近似成立。
Z
m a xm a x
m a x I
yM??
横力弯曲最大正应力
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力分布
ZI
My??
?细长梁的 纯弯曲 或 横力弯曲
?横截面惯性积 IYZ=0
?弹性变形阶段
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
弯曲正应力强度条件
? ?σ
I
yM
σ
z
maxmax
max ??
1.弯矩最大的截面上
2.离中性轴最远处
4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
? ?tt ?? ?m a x,? ?cc ?? ?m a x,
3.变截面梁要综合考虑 与 M zI
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
FAY FBY
B A
l = 3m
q=60kN/m
x C
1m
M
x
m6 7, 5 k N8/2 ??ql
???
30
z
y
180
120
K
1.C 截面上 K点正应力
2.C 截面上 最大 正应力
3.全梁 上 最大 正应力
4.已知 E=200GPa,
C 截面的曲率半径 ρ
???
???
FS
x
90kN
90kN
mkN605.0160190C ???????M
1,求支反力 kN90Ay ?F kN90?ByF
4533
Z m10832.512
18.012.0
12
?????? bhI
M Pa7.61Pa107.61
10832.5
10)30
2
180
(1060
6
5
33
Z
KC
K
???
?
????
?
?
?
?
?
I
yM
?
（压应力）
解,
例题 10-2-1 § 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
B A
l = 3m FAY
q=60kN/m
FBY
x C
1m
M
x
m6 7, 5 k N8/2 ??ql
???
30
z
y
180
120
K
???
???
FS
x
90kN
90kN
2,C 截面最大正应力
C 截面弯矩
mkN60C ??M
C 截面惯性矩
45Z m10832.5 ???I
M P a55.92Pa1055.92
10832.5
10
2
180
1060
6
5
33
Z
m a x
m a x
???
?
???
?
?
?
?
?
I
yM
C
C
?
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
B A
l = 3m FAY
q=60kN/m
FBY
x C
1m
M
x
m6 7, 5 k N8/2 ??ql
???
30
z
y
180
120
K
???
???
FS
x
90kN
90kN
3,全梁最大正应力
最大弯矩
mkN5.67m a x ??M
截面惯性矩
45 m108 3 2.5 ???zI
M P a17.104Pa1017.104
10832.5
10
2
180
105.67
6
5
33
Z
m a xm a x
m a x
???
?
???
?
?
?
?
I
yM
?
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
? ??? ??
zI
yM m a xm a x
m a x
分析（ 1）
（ 2）弯矩 最大的截面 M
（ 3）抗弯截面系数 最
小的截面
zW
图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知
,kN5.62,m16.0,m2 6 7.0,1 3 02 ???? Fbammd
材料的许用应力 ? ?,M P a60??
mm1 6 01 ?d
？
? ????
zW
M m a xmax?
例题 10-2-2 § 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
（ 3） B截面,C截面需校核
（ 4）强度校核
B截面,
M P a5.41Pa105.41
16.0
322675.62
32
6
33
1
m a x
???
?
??
???
??
?
d
Fa
W
M
zB
B
M P a4.46Pa104.46
13.0
321605.62
32
6
33
2
m a x ????
?????
??
?
d
Fb
W
M
zC
C
C截面,
（ 5）结论
（ 1）计算简图
（ 2）绘弯矩图
Fa Fb
解,
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
分析
（ 1）确定危险截面
（ 3）计算
maxM
（ 4）计算,选择工
字钢型号
zW
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦
自重 材料的许用应力
? ? M P a,1 4 0??
k N,7.61 ?F,kN502 ?F起重量 跨度 m,5.9?l
试选择工字钢的型号。
? ??? ??
zW
M m a x
m a x
（ 2）
例题 10-2-3 § 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
（ 4）选择工字钢型号
（ 5）讨论
（ 3）根据 ? ??? ??
zW
M m a x
m a x
计算
? ?
336
6
3
m a x
cm9 6 2m109 6 2
101 4 0
4
5.910)507.6(
???
?
???
??
?
?
M
W z
（ 1）计算简图
（ 2）绘弯矩图
解,
36c工字钢 3cm962?zW
k g /m6.67?q
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
作弯矩图，寻找需要校核的截面
? ? ? ?cctt ???? ?? ma x,ma x,,要同时满足
分析,非对称截面，要寻找中性轴位置
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。
试校核梁的强度。
? ? ? ? M P a,60,M P a30 ?? ct ??
例题 10-2-4 § 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
mm52201 2 02080 80201 2 0102080 ???? ??????cy
（ 2）求截面对中性轴 z的惯性矩
46
2
3
2
3
m1064.7
281 2 020
12
1 2 020
422080
12
2080
?
??
???
?
?
???
?
?
z
I
（ 1）求截面形心
z1
y
z
52
解,
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
（ 4） B截面校核
? ?t
t
?
?
????
?
???
? ?
?
M P a2.27Pa102.27
1064.7
1052104
6
6
33
m a x,
? ?c
c
?
?
????
?
???
? ?
?
M P a1.46Pa101.46
1064.7
1088104
6
6
33
m a x,
（ 3）作弯矩图
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
kN.m5.2
kN.m4
（ 5） C截面要不要校核？
? ?t
t
?
?
????
?
????
?
?
M P a8.28Pa108.28
1064.7
1088105.2
6
6
33
m a x,
（ 4） B截面校核
（ 3）作弯矩图
? ?tt ?? ?? M P a2.27m a x,
? ?cc ?? ?? M P a1.46m a x,
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
kN.m5.2
kN.m4
Z
m a x
m a x W
M?? ][??
1,降低 Mmax 合理安排支座 合理布置载荷
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
合理布置支座
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
F
F
F
合理布置支座
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
合理布置载荷
F
§ 10- 3 提高梁强度的主要措施
Z
m a x
m a x W
M?? ][??
2,增大 WZ 合理设计截面
合理放置截面
目录
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
合理设计截面
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
合理设计截面
6
2bh
W Z ?左
6
2hb
W Z ?右
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
合理放置截面
3、等强度梁
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
b
??xh
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推
导方法
2、熟练掌握弯曲正应力的计算、
弯曲正应力强度条件及其应用
3、了解提高梁强度的主要措施
目录
小 结
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
第十章 弯曲应力
目录
纯弯曲
梁段 CD上，只有弯矩，没有剪力－－ 纯弯曲
梁段 AC和 BD上，既有弯矩，又有剪力－－ 横力弯曲
目录
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
一、变形几何关系
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
平面假设,横截面变形后保持为平面，只是绕截
面内某一轴线偏转了一个角度。
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
凹入 一侧纤维 缩短
突出 一侧纤维 伸长
中间一层纤维长
度不变
－－ 中性层
中间层与横截面
的交线
－－ 中性轴
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
二、物理关系
胡克定理 ?? E?
?
? yE?
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
三、静力学条件
??
yE?
Z
1
EI
M?
?
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
正应力公式
变形几何关系
物理关系
?
? y?
?? E?
?
? yE?
静力学关系
Z
1
EI
M?
?
ZI
My??
为梁弯曲变形后的曲率
?
1为曲率半径 ?
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
正应力分布
ZI
My??
Z
m a x
m a x I
My??
Z
ma x W
M??
max
Z
Z y
IW ?
?min?
ZW
M?
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面
矩形截面
空心圆截面
空心矩形截面
??
A
dAyI 2Z
ma x
Z
Z y
IW ?
64
4
Z
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32
3
Z
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32
4
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12
3
Z
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6
2
Z
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1212
33
00
Z
bhhbI ?? )2//()
1212( 0
33
00
Z h
bhhbW ??
§ 10-1 纯弯曲时梁的正应力
目录
横力弯曲
目录
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
横力弯曲正应力公式
弯曲正应力分布
ZI
My??
弹性力学精确分析表明，
当跨度 l 与横截面高度 h 之
比 l / h > 5 （细长梁）时，
纯弯曲正应力公式对于横力
弯曲近似成立。
Z
m a xm a x
m a x I
yM??
横力弯曲最大正应力
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力分布
ZI
My??
?细长梁的 纯弯曲 或 横力弯曲
?横截面惯性积 IYZ=0
?弹性变形阶段
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
弯曲正应力强度条件
? ?σ
I
yM
σ
z
maxmax
max ??
1.弯矩最大的截面上
2.离中性轴最远处
4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
? ?tt ?? ?m a x,? ?cc ?? ?m a x,
3.变截面梁要综合考虑 与 M zI
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
FAY FBY
B A
l = 3m
q=60kN/m
x C
1m
M
x
m6 7, 5 k N8/2 ??ql
???
30
z
y
180
120
K
1.C 截面上 K点正应力
2.C 截面上 最大 正应力
3.全梁 上 最大 正应力
4.已知 E=200GPa,
C 截面的曲率半径 ρ
???
???
FS
x
90kN
90kN
mkN605.0160190C ???????M
1,求支反力 kN90Ay ?F kN90?ByF
4533
Z m10832.512
18.012.0
12
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M Pa7.61Pa107.61
10832.5
10)30
2
180
(1060
6
5
33
Z
KC
K
???
?
????
?
?
?
?
?
I
yM
?
（压应力）
解,
例题 10-2-1 § 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
B A
l = 3m FAY
q=60kN/m
FBY
x C
1m
M
x
m6 7, 5 k N8/2 ??ql
???
30
z
y
180
120
K
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FS
x
90kN
90kN
2,C 截面最大正应力
C 截面弯矩
mkN60C ??M
C 截面惯性矩
45Z m10832.5 ???I
M P a55.92Pa1055.92
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2
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6
5
33
Z
m a x
m a x
???
?
???
?
?
?
?
?
I
yM
C
C
?
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
B A
l = 3m FAY
q=60kN/m
FBY
x C
1m
M
x
m6 7, 5 k N8/2 ??ql
???
30
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y
180
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K
???
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FS
x
90kN
90kN
3,全梁最大正应力
最大弯矩
mkN5.67m a x ??M
截面惯性矩
45 m108 3 2.5 ???zI
M P a17.104Pa1017.104
10832.5
10
2
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105.67
6
5
33
Z
m a xm a x
m a x
???
?
???
?
?
?
?
I
yM
?
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
? ??? ??
zI
yM m a xm a x
m a x
分析（ 1）
（ 2）弯矩 最大的截面 M
（ 3）抗弯截面系数 最
小的截面
zW
图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知
,kN5.62,m16.0,m2 6 7.0,1 3 02 ???? Fbammd
材料的许用应力 ? ?,M P a60??
mm1 6 01 ?d
？
? ????
zW
M m a xmax?
例题 10-2-2 § 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
（ 3） B截面,C截面需校核
（ 4）强度校核
B截面,
M P a5.41Pa105.41
16.0
322675.62
32
6
33
1
m a x
???
?
??
???
??
?
d
Fa
W
M
zB
B
M P a4.46Pa104.46
13.0
321605.62
32
6
33
2
m a x ????
?????
??
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d
Fb
W
M
zC
C
C截面,
（ 5）结论
（ 1）计算简图
（ 2）绘弯矩图
Fa Fb
解,
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
分析
（ 1）确定危险截面
（ 3）计算
maxM
（ 4）计算,选择工
字钢型号
zW
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦
自重 材料的许用应力
? ? M P a,1 4 0??
k N,7.61 ?F,kN502 ?F起重量 跨度 m,5.9?l
试选择工字钢的型号。
? ??? ??
zW
M m a x
m a x
（ 2）
例题 10-2-3 § 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
（ 4）选择工字钢型号
（ 5）讨论
（ 3）根据 ? ??? ??
zW
M m a x
m a x
计算
? ?
336
6
3
m a x
cm9 6 2m109 6 2
101 4 0
4
5.910)507.6(
???
?
???
??
?
?
M
W z
（ 1）计算简图
（ 2）绘弯矩图
解,
36c工字钢 3cm962?zW
k g /m6.67?q
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
作弯矩图，寻找需要校核的截面
? ? ? ?cctt ???? ?? ma x,ma x,,要同时满足
分析,非对称截面，要寻找中性轴位置
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。
试校核梁的强度。
? ? ? ? M P a,60,M P a30 ?? ct ??
例题 10-2-4 § 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
mm52201 2 02080 80201 2 0102080 ???? ??????cy
（ 2）求截面对中性轴 z的惯性矩
46
2
3
2
3
m1064.7
281 2 020
12
1 2 020
422080
12
2080
?
??
???
?
?
???
?
?
z
I
（ 1）求截面形心
z1
y
z
52
解,
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
（ 4） B截面校核
? ?t
t
?
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????
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???
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?
M P a2.27Pa102.27
1064.7
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6
6
33
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?
M P a1.46Pa101.46
1064.7
1088104
6
6
33
m a x,
（ 3）作弯矩图
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
kN.m5.2
kN.m4
（ 5） C截面要不要校核？
? ?t
t
?
?
????
?
????
?
?
M P a8.28Pa108.28
1064.7
1088105.2
6
6
33
m a x,
（ 4） B截面校核
（ 3）作弯矩图
? ?tt ?? ?? M P a2.27m a x,
? ?cc ?? ?? M P a1.46m a x,
§ 10-2 正应力公式的推广 强度条件
目录
kN.m5.2
kN.m4
Z
m a x
m a x W
M?? ][??
1,降低 Mmax 合理安排支座 合理布置载荷
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
合理布置支座
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
F
F
F
合理布置支座
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
合理布置载荷
F
§ 10- 3 提高梁强度的主要措施
Z
m a x
m a x W
M?? ][??
2,增大 WZ 合理设计截面
合理放置截面
目录
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
合理设计截面
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
合理设计截面
6
2bh
W Z ?左
6
2hb
W Z ?右
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
合理放置截面
3、等强度梁
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
b
??xh
§ 10-3 提高梁强度的主要措施
目录
1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推
导方法
2、熟练掌握弯曲正应力的计算、
弯曲正应力强度条件及其应用
3、了解提高梁强度的主要措施
目录
小 结
