第二章,平面汇交力系
§ 2–1 力系的基本类型
§ 2–2 共点力系合成与平衡的几何法
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
§ 2–4 平面汇交力系合成与平衡的
解析法
第
二
章
平
面
汇
交
力
系
共点力系 力偶系
共点力系 —— 各力均作用于同一点的力系。
力 偶 ——作用线平行、指向相反而大小相等的
两个力。
力 偶 系 —— 若干个力偶组成的力系。
平面力系 —— 各力的作用线都在同一平面内的力系。
否则为空间力系。
§ 2–1 力系的基本类型
平面汇交力系 力偶系
§ 2– 1 力系的基本类型
平面汇交力系 —— 各力均作用于同一点的力系。
力 偶 ——作用线平行、指向相反而大小相等
的两个力。
力 偶 系 —— 若干个力偶组成的力系。
平面力系 —— 各力的作用线都在同一平面内的力系。
否则为空间力系。
§ 2– 2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1,合成的几何法,
A
F2
F1
F4 F3
表达式,
R
F1 B
F2 C
F3
D
F4
E
A
F1,F2,F3,F4 为平面共点力系,
4321 FFFFR ????
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称
为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称
为力多边形。
2、力的多边形规则,
§ 2– 2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
R
F1 B
F2 C
F3
D
F4
E
A
空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可
以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空
间图形。 给实际作图带来困难。
§ 2– 2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
R
F1 B
F2 C
F3
D
F4
E
A
1、共点力系的合成结果
? ? 0F
该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力
的矢量和等于零。
共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系
的公共作用点，它 等于这些力的矢量和，并可由这
力系的力多边形的封闭边表示。
?
?
?
n
i
i
1
F矢量的表达式, R = F1+ F2+ F3+ ··+ Fn
2、共点力系平衡的充要几何条件,
§ 2– 2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
A B
30o a a C
(a) (b)
60o
30o
60o
30o
解,
(1) 取梁 AB 作为研究对象。
(4) 解出,NA=Pcos30?=17.3kN,NB=Psin30?=10kN
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出 P,NA 和 NB 的闭合力三角形。
例题 2-2-1 水平梁 AB 中点 C 作用着力 P，其大小等于 20kN，
方向与梁的轴线成 60o角，支承情况如图 (a)所示，试求固定铰
链支座 A 和活动铰链支座 B 的反力。梁的自重不计。
§ 2– 2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
O ?
P
A
SB B
ND D
?
(b)
J
ND
K
SB
P
I
? ?
(c) 解,
(1) 取制动蹬 ABD 作为研究对象。
(2) 画出受力图。
P
?
24
6
A
C
B O E
D
(a)
(3) 应用平衡条件画出 P,SB 和 ND 的闭和 力 三角形。
例题 2-2-2 图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬
上的力 P=212N,方向与水平面成 ?=45?角。当平衡时,BC水平
,AD铅直，试求拉杆所受的力。已知 EA=24cm,DE=6cm?点 E在
铅直线 DA上 ?，又 B,C,D都是光滑铰链，机构的 自重不计。
§ 2– 2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
cm 24 ?? EAOE
25.0tg ?? OEDE?
'214,2 50a r c t g ????
? ? PS
B ?
??
s in
1 8 0s in ????
（ 5） 代入数据求得,
SB=750 N。
（ 4） 由几何关系得,
由力三角形可得,
§ 2– 2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
O ?
P
A
SB B
ND D
?
(b)
J
ND
K
SB
P
I
? ?
(c)
P
?
24
6
A
C
B O E
D
(a)
反之，当投影 Fx, Fy 已知时，则可求出
力 F 的大小和方向,
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
一、力在坐标轴上的投影,
?c o sx FF ?
?c o sFF y ?
2y2x FFF ??
F
F
F
F yx c o s c o s ?? ??
结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与
该轴正向间 夹角的余弦。
y
? ?
b′
a′
a b
F
O x
B
Fx
Fy
在空间情况下，力 F 在 x 轴上投影，与平面情
形相似，等于这个力的模乘以这个力与 x轴正向间
夹角 α的余弦。
?c o s?? FF x
α
x?
x a b
A
B F
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
?c o sx FF ?
?c o sFF y ?
22
y
2
x zFFFF ???
F
F
F
F
F
F
z
?
?
?
?
?
?
cos
cos
cos
y
x
?c o sFF z ?
由力矢 F 的始端 A 和末端 B向投影平面 oxy引
垂线，由垂足 A′ 到 B′ 所构成的矢量 A′ B′,就
是力在平面 Oxy上的投影记为 Fxy。
即,?c o sFF xy ?
注意,
力在轴上投影是代数值。
力在平面上的投影是矢量。
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
二、力在平面上的投影,
?
x
y
O
A′ B′
A
B F
Fxy
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
二、力在平面上的投影,
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
三、力在坐标轴上的分解,
引入 x,y,z 轴单位矢 i、
j,k。则可写为,
,,kFjFiF yyyyxx FFF ???
kjiF yyx FFF ???
设将力 F 按坐标轴 x,y,z方向分解为空
间三正交分量,Fx,Fy,Fz。
则 zyx FFFF ???
A
F2
F1
(a)
F3
F1
F2
R
F3
x
A
B
C
D
(b)
合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在
同一轴上的投影的代数和。
证明,
以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力
F1,F2,F3 如图。
合力投影定理,
§ 2–4 平面汇交力系合成与平衡的解析法
A
F2
F1
(a)
F3
F1
F2
R
F3
x
A
B
C
D
(b)
合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在
同一轴上的投影的代数和。
证明,
以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力
F1,F2,F3 如图。
合力投影定理,
§ 2–4 平面汇交力系合成与平衡的解析法
合力 R 在 x 轴上投影,
F1 F
2
R
F3
x
A
B
C
D
(b)
推广到任意多个力 F1,F2,? Fn 组成的平面 共
点力系，可得,
a b c d
各力在 x 轴上投影,
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
abF x ?1 bcF x ?2 dcF x ??3
dcbcabadR x ????
xxxx FFFR 321 ???
??????? xnxxxxx FFFFFR ?321
?????? ynyyyy FFFFR ?21
? 合力的大小
? ? ? ? ? ? 222222 ??? ?????? zyxzyx FFFRRRR
合力 R 的方向余弦
R
F
R
R
R
F
R
R
R
F
R
R zzyyxx ??? ?????? ??? c o s,c o s,c o s
根据合力投影定理得
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
?????? znzzzz FFFFR ?21
共点力系平衡的充要解析条件,
力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的
投影的代数和分别等于零。
? ? 0xF ? ? 0yF
空间共点力系的平衡方程,
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
平面共点力系的平衡方程,
? ? 0zF
? ? 0xF ? ? 0yF
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
解,
(1) 取制动蹬 ABD 作为研究对象。
例题 2-4-1 图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制
动蹬上的力 P=212N,方向与水平面成 ?=45?角。当平衡时,BC
水平,AD 铅直，试求拉杆所受的力。已知 EA=24cm,DE=6cm?
点 E在铅直线 DA上 ?，又 B,C,D 都是光滑铰链，机构的 自重
不计。
O ?
P
A
SB B
ND D
?
(b)
P
?
24
6
A
C
B O E
D
(a)
(3) 列出平衡方程,
?
?
?
?
0
0
y
x
F
F
045s i ns i n
0c o s45c o s
D
B
???
????
PF
FPF D
?
?
联立求解，得
N750B ?F
O 45°
P
FB
FD
D
?
(b)
x
y
969.0c o s,243.0s i n
'214
??
??
??
?又
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
30°
B
P
A
C
30°
?a?
解,
1,取滑轮 B 轴销作为研究对象。
2,画出受力图（ b)。
SBC Q
SAB
P
x
y
30°
30°
?b?
B
例题 2-4-2 利用铰车绕过定滑轮 B的绳子吊起一重 P=20kN的 货
物，滑轮由两端铰链的水平刚杆 AB 和斜刚杆 BC 支持于点 B (图
(a) )。 不计铰车的自重，试求杆 AB 和 BC 所受的力。
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
3,列出平衡方程,
?
?
?
?
0
0
y
x
F
F
4,联立求解，得
反力 SAB 为负值，说明该力实际指向与图上假
定指向相反。即杆 AB 实际上受拉力。
030s in30c o n ????? QSS ABBC
030 c o s60 c o s ????? QPS BC
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
SBC Q
SAB
P
x
y
30°
30°
?b?
B
kN5.54??ABS
kN5.74?BCS
例题 2-4-3 如图所示，用
起重机吊起重物。起重杆的 A
端用球铰链固定在地面上，
而 B端则用绳 CB和 DB拉住，两
绳分别系在墙上的 C点和 D点，
连线 CD平行于 x轴。已知
CE=EB=DE,角 α =30o, CDB平
面与水平面间的夹角 ∠ EBF=
30o,重物 G=10 kN。如不计
起重杆的重量,试求起重杆所
受的力和绳子的拉力。
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
1,取杆 AB与重物为研究对象，受力分析如图。 解,
x
z
y
30o
α
A
B
D
G
C
E
F
F1
F2
FA
z
y
30o
α
A
B
G
E
F
F1
FA
其侧视图为
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
3.联立求解。
045 s in45 s in
,0
21 ??
??
?? FF
F x
kN 66.8
kN 3, 5 421
?
??
AF
FF
2,列平衡方程。 z
y
30o
α
A
B
G
E
F
F1
FA
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
x
z
y
30o
α
A
B
D
G
C
E
F
030c o s45 c o s30 c o s45 c o s30 s i n
,0
21 ???
??
????? FFF
F
A
y
030 c o s30 s i n45 c o s30 s i n45 c o s
,0
21 ????
??
GFFF
F
A
z
?????
投影法的符号法则,
当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表
示原先假定的该力指向和实际指向相反。
解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤,
1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设
的已知条件。
2.建立坐标系。
3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程
∑ Fx=0,∑ Fy=0,∑Fz=0,求解。
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
§ 2–1 力系的基本类型
§ 2–2 共点力系合成与平衡的几何法
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
§ 2–4 平面汇交力系合成与平衡的
解析法
第
二
章
平
面
汇
交
力
系
共点力系 力偶系
共点力系 —— 各力均作用于同一点的力系。
力 偶 ——作用线平行、指向相反而大小相等的
两个力。
力 偶 系 —— 若干个力偶组成的力系。
平面力系 —— 各力的作用线都在同一平面内的力系。
否则为空间力系。
§ 2–1 力系的基本类型
平面汇交力系 力偶系
§ 2– 1 力系的基本类型
平面汇交力系 —— 各力均作用于同一点的力系。
力 偶 ——作用线平行、指向相反而大小相等
的两个力。
力 偶 系 —— 若干个力偶组成的力系。
平面力系 —— 各力的作用线都在同一平面内的力系。
否则为空间力系。
§ 2– 2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1,合成的几何法,
A
F2
F1
F4 F3
表达式,
R
F1 B
F2 C
F3
D
F4
E
A
F1,F2,F3,F4 为平面共点力系,
4321 FFFFR ????
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称
为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称
为力多边形。
2、力的多边形规则,
§ 2– 2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
R
F1 B
F2 C
F3
D
F4
E
A
空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可
以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空
间图形。 给实际作图带来困难。
§ 2– 2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
R
F1 B
F2 C
F3
D
F4
E
A
1、共点力系的合成结果
? ? 0F
该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力
的矢量和等于零。
共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系
的公共作用点，它 等于这些力的矢量和，并可由这
力系的力多边形的封闭边表示。
?
?
?
n
i
i
1
F矢量的表达式, R = F1+ F2+ F3+ ··+ Fn
2、共点力系平衡的充要几何条件,
§ 2– 2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
A B
30o a a C
(a) (b)
60o
30o
60o
30o
解,
(1) 取梁 AB 作为研究对象。
(4) 解出,NA=Pcos30?=17.3kN,NB=Psin30?=10kN
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出 P,NA 和 NB 的闭合力三角形。
例题 2-2-1 水平梁 AB 中点 C 作用着力 P，其大小等于 20kN，
方向与梁的轴线成 60o角，支承情况如图 (a)所示，试求固定铰
链支座 A 和活动铰链支座 B 的反力。梁的自重不计。
§ 2– 2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
O ?
P
A
SB B
ND D
?
(b)
J
ND
K
SB
P
I
? ?
(c) 解,
(1) 取制动蹬 ABD 作为研究对象。
(2) 画出受力图。
P
?
24
6
A
C
B O E
D
(a)
(3) 应用平衡条件画出 P,SB 和 ND 的闭和 力 三角形。
例题 2-2-2 图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬
上的力 P=212N,方向与水平面成 ?=45?角。当平衡时,BC水平
,AD铅直，试求拉杆所受的力。已知 EA=24cm,DE=6cm?点 E在
铅直线 DA上 ?，又 B,C,D都是光滑铰链，机构的 自重不计。
§ 2– 2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
cm 24 ?? EAOE
25.0tg ?? OEDE?
'214,2 50a r c t g ????
? ? PS
B ?
??
s in
1 8 0s in ????
（ 5） 代入数据求得,
SB=750 N。
（ 4） 由几何关系得,
由力三角形可得,
§ 2– 2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
O ?
P
A
SB B
ND D
?
(b)
J
ND
K
SB
P
I
? ?
(c)
P
?
24
6
A
C
B O E
D
(a)
反之，当投影 Fx, Fy 已知时，则可求出
力 F 的大小和方向,
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
一、力在坐标轴上的投影,
?c o sx FF ?
?c o sFF y ?
2y2x FFF ??
F
F
F
F yx c o s c o s ?? ??
结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与
该轴正向间 夹角的余弦。
y
? ?
b′
a′
a b
F
O x
B
Fx
Fy
在空间情况下，力 F 在 x 轴上投影，与平面情
形相似，等于这个力的模乘以这个力与 x轴正向间
夹角 α的余弦。
?c o s?? FF x
α
x?
x a b
A
B F
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
?c o sx FF ?
?c o sFF y ?
22
y
2
x zFFFF ???
F
F
F
F
F
F
z
?
?
?
?
?
?
cos
cos
cos
y
x
?c o sFF z ?
由力矢 F 的始端 A 和末端 B向投影平面 oxy引
垂线，由垂足 A′ 到 B′ 所构成的矢量 A′ B′,就
是力在平面 Oxy上的投影记为 Fxy。
即,?c o sFF xy ?
注意,
力在轴上投影是代数值。
力在平面上的投影是矢量。
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
二、力在平面上的投影,
?
x
y
O
A′ B′
A
B F
Fxy
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
二、力在平面上的投影,
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
三、力在坐标轴上的分解,
引入 x,y,z 轴单位矢 i、
j,k。则可写为,
,,kFjFiF yyyyxx FFF ???
kjiF yyx FFF ???
设将力 F 按坐标轴 x,y,z方向分解为空
间三正交分量,Fx,Fy,Fz。
则 zyx FFFF ???
A
F2
F1
(a)
F3
F1
F2
R
F3
x
A
B
C
D
(b)
合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在
同一轴上的投影的代数和。
证明,
以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力
F1,F2,F3 如图。
合力投影定理,
§ 2–4 平面汇交力系合成与平衡的解析法
A
F2
F1
(a)
F3
F1
F2
R
F3
x
A
B
C
D
(b)
合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在
同一轴上的投影的代数和。
证明,
以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力
F1,F2,F3 如图。
合力投影定理,
§ 2–4 平面汇交力系合成与平衡的解析法
合力 R 在 x 轴上投影,
F1 F
2
R
F3
x
A
B
C
D
(b)
推广到任意多个力 F1,F2,? Fn 组成的平面 共
点力系，可得,
a b c d
各力在 x 轴上投影,
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
abF x ?1 bcF x ?2 dcF x ??3
dcbcabadR x ????
xxxx FFFR 321 ???
??????? xnxxxxx FFFFFR ?321
?????? ynyyyy FFFFR ?21
? 合力的大小
? ? ? ? ? ? 222222 ??? ?????? zyxzyx FFFRRRR
合力 R 的方向余弦
R
F
R
R
R
F
R
R
R
F
R
R zzyyxx ??? ?????? ??? c o s,c o s,c o s
根据合力投影定理得
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
?????? znzzzz FFFFR ?21
共点力系平衡的充要解析条件,
力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的
投影的代数和分别等于零。
? ? 0xF ? ? 0yF
空间共点力系的平衡方程,
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
平面共点力系的平衡方程,
? ? 0zF
? ? 0xF ? ? 0yF
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
解,
(1) 取制动蹬 ABD 作为研究对象。
例题 2-4-1 图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制
动蹬上的力 P=212N,方向与水平面成 ?=45?角。当平衡时,BC
水平,AD 铅直，试求拉杆所受的力。已知 EA=24cm,DE=6cm?
点 E在铅直线 DA上 ?，又 B,C,D 都是光滑铰链，机构的 自重
不计。
O ?
P
A
SB B
ND D
?
(b)
P
?
24
6
A
C
B O E
D
(a)
(3) 列出平衡方程,
?
?
?
?
0
0
y
x
F
F
045s i ns i n
0c o s45c o s
D
B
???
????
PF
FPF D
?
?
联立求解，得
N750B ?F
O 45°
P
FB
FD
D
?
(b)
x
y
969.0c o s,243.0s i n
'214
??
??
??
?又
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
30°
B
P
A
C
30°
?a?
解,
1,取滑轮 B 轴销作为研究对象。
2,画出受力图（ b)。
SBC Q
SAB
P
x
y
30°
30°
?b?
B
例题 2-4-2 利用铰车绕过定滑轮 B的绳子吊起一重 P=20kN的 货
物，滑轮由两端铰链的水平刚杆 AB 和斜刚杆 BC 支持于点 B (图
(a) )。 不计铰车的自重，试求杆 AB 和 BC 所受的力。
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
3,列出平衡方程,
?
?
?
?
0
0
y
x
F
F
4,联立求解，得
反力 SAB 为负值，说明该力实际指向与图上假
定指向相反。即杆 AB 实际上受拉力。
030s in30c o n ????? QSS ABBC
030 c o s60 c o s ????? QPS BC
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
SBC Q
SAB
P
x
y
30°
30°
?b?
B
kN5.54??ABS
kN5.74?BCS
例题 2-4-3 如图所示，用
起重机吊起重物。起重杆的 A
端用球铰链固定在地面上，
而 B端则用绳 CB和 DB拉住，两
绳分别系在墙上的 C点和 D点，
连线 CD平行于 x轴。已知
CE=EB=DE,角 α =30o, CDB平
面与水平面间的夹角 ∠ EBF=
30o,重物 G=10 kN。如不计
起重杆的重量,试求起重杆所
受的力和绳子的拉力。
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
1,取杆 AB与重物为研究对象，受力分析如图。 解,
x
z
y
30o
α
A
B
D
G
C
E
F
F1
F2
FA
z
y
30o
α
A
B
G
E
F
F1
FA
其侧视图为
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
3.联立求解。
045 s in45 s in
,0
21 ??
??
?? FF
F x
kN 66.8
kN 3, 5 421
?
??
AF
FF
2,列平衡方程。 z
y
30o
α
A
B
G
E
F
F1
FA
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
x
z
y
30o
α
A
B
D
G
C
E
F
030c o s45 c o s30 c o s45 c o s30 s i n
,0
21 ???
??
????? FFF
F
A
y
030 c o s30 s i n45 c o s30 s i n45 c o s
,0
21 ????
??
GFFF
F
A
z
?????
投影法的符号法则,
当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表
示原先假定的该力指向和实际指向相反。
解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤,
1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设
的已知条件。
2.建立坐标系。
3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程
∑ Fx=0,∑ Fy=0,∑Fz=0,求解。
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
