§ 5 阶跃折射率光纤中的场解
? 数学模型
? 园柱坐标系中的波导场方程
? 边界条件
? 本征解与本征值方程
? 本征值与模式分析
§ 5-1 数学模型及波动方程的解
? 数学模型：阶跃折射率分布光纤 (SIOF)
是一种理想的数学模型,即认为光纤是一
种无限大直园柱系统,芯区半径 a,折射率
为 n1;包层沿径向无限延伸,折射率为 n2;
光纤材料为线性、无损、各向同性的电
介质。
波导场方程与解的基本形式
? 六个场分量,Er,Eφ,Ez,Hr,Hφ,Hz
? 波导场方程,
? 解的基本形式,
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贝塞尔方程及其解
? 纵向场分量满足：贝塞尔方程
? 贝塞尔方程的解,
– 第一类和第二类贝塞尔函数,J?,N?
– 第一类和第二类汉克尔函数,H?(1),H? (2)
– 第一类和第二类变态汉克尔函数,I?,K?
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场解的选取
? 依据,
– 导模场分布特点,在空间各点均为有限值 ; 在
芯区为振荡形式,而在包层则为衰减形式 ;导模
场在无限远处趋于零。
– 贝塞尔函数形式, J?呈振荡形式,K?则为衰减
形式。
? 本征解选取, 在纤芯中选取贝赛尔函数 J?,
在包层中选取变态汉克尔函数 K?.,
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K
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K
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本征解的确定
? 纤芯 (0<r<a),
? 包层 (r>a),
? 横向分量：（ 5-1-15）；（ 5-1-16）
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本征值方程的导出
? 边界条件：在 r = a,Ez,Hz,E?,H? 连续
– EIz|a = EIIz|a, AJ?(U)-CK?(W)=0
– HIz|a = HIIz|a, BJ?(U)-DK?(W)=0
– EI?|a = EII?|a, (5-1-20c)
– HI?|a = HII?|a, (5-1-20d)
? 确定待定系数 ABCD有非全零解,ABCD
系数行列式为零，即可导出本征值方程。
本征值方程
– 又称特征方程，或色散方程。其中 U与 W通过
其定义式与 β 相联系,因此它实际是关于 β 的
一个超越方程。当 n1,n2,a和 λ 0给定时,对
于不同的 ?值,可求得相应的 β 值。由于贝塞
尔函数及其导数具有周期振荡性质,所以本
征值方程可以有多个不同的解 β ??(??0,1,2,3..,
??1,2,3...),每一个 β ??都对应于一个导模。
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归一化工作参数
? 归一化工作频率,
? 归一化横向传播常数,
? 归一化横向衰减常数,
? 有效折射率,neff = ?/k0
? 归一化工作参数,
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微分公式,
递推公式,
大宗量近似,
小宗量近似,
本征值方程的其它形式
（ 1）
（ 2）
（ 3）
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§ 5-2 模式分类准则
? ??0,Ez=0,or Hz=0,对应于 TE模或 TM模
? ??0,Ez=0,and Hz=0,对应于 HE模或 EH模
? 分类参数 k,
k?0, TM,
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k?1,EH,
k??1,HE,
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模式分类的物理意义
? 偏振特性, TE模与 TM模是偏振方向相互正交
的线偏振波 ;HE模与 EH模则是椭圆偏振波,其
中 HE模偏振旋转方向与波行进方向一致 (符合
右手定则 ),EH模偏振旋转方向则与光波行进
方向相反 ;
? 场强关系, EH模电场占优势,而 HE模磁场占
优势 ;(Ez,Hz)<<(Et,Ht),模式近似为横场分布；
? 相位关系, EH模的 Hz分量超前于 Ez90°,HE
模的 Hz分量落后于 Ez90° 。
本征解的确定
? 纤芯 (0<r<a),
? 包层 (r>a),
? 横向分量：（ 5-1-15）；（ 5-1-16）
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§ 5-3 模式本征值
? 模式的截止与远离截止,
– 临近截止, W=0,场在包层中不衰减
– 远离截止, W→∞,场在包层中不存在
? 截止与远离截止条件,
模式 临近截止 远离截止
TE0?(TM0?) J0(Uc)＝ 0 J1(U∞ )＝ 0
HE?? J??2(Uc)＝ 0 J??1(U∞ )＝ 0
EH?? J?(Uc)＝ 0
J??1(U∞ )＝ 0
*除了 HE1?模式以外,U不能为零
? 模式本征值, Uc<U<U∞
色散曲线
? 色散曲线
– 结构参数给定的光纤中,模式分布是固定的。可根据本
征值方程式利用数值计算得到各导模传播常数 β 与光
纤归一化频率 V值的关系曲线,称之为色散曲线。因此,
本征值方程又叫色散方程。
? 色散曲线分析
– 图中每一条曲线都相应于一个导模。
– 平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点数就是光纤中允
许存在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传
播常数 β 。
– 给定 V值,V=Vc,则 Vc越大导模数越多 ;反之亦然。
– 当 Vc＜ 2.405时,在光纤中只存在 HE11模,其它导模均截
止,为单模传输 ;
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模式数目
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3, 8 3 2 - - 5, 1 3 6
5, 1 3 6 - - 5, 5 2 0
5, 5 2 0 - - 6, 3 8 0
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6 + 6 = 1 2
1 2 + 4 = 1 6
1 6 + 4 = 2 0
.
.
# 给定 V 值,SIOF中的导模数目近似等于 V2/2,所含精确模
式可根据导模截止与远离 截止条件确定。
单模工作条件
? 单模条件,
Vc＝（ 2π /λ 0） a√n 12－ n22 ＜ 2.405
? 单模光纤尺寸,
ac＝ 1.202λ 0/（ π √n 12－ n22）
? 单模光纤截止波长,
λ c＝（ π a√n 12－ n22） / 1.202
? 单模光纤截止频率,
fc＝ 1.202c/（ π a√n 12－ n22）
? 仅当 λ ＞ λ c或 f＜ fc时方可在光纤中实现单模传输,这时,在
光纤中传输的是 HE11模,称为基模或主模。紧邻 HE11模的高阶
模是 TE01,TM01模和 HE21模,其截止值均为 Vc＝ 2.405。
? 数学模型
? 园柱坐标系中的波导场方程
? 边界条件
? 本征解与本征值方程
? 本征值与模式分析
§ 5-1 数学模型及波动方程的解
? 数学模型：阶跃折射率分布光纤 (SIOF)
是一种理想的数学模型,即认为光纤是一
种无限大直园柱系统,芯区半径 a,折射率
为 n1;包层沿径向无限延伸,折射率为 n2;
光纤材料为线性、无损、各向同性的电
介质。
波导场方程与解的基本形式
? 六个场分量,Er,Eφ,Ez,Hr,Hφ,Hz
? 波导场方程,
? 解的基本形式,
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贝塞尔方程及其解
? 纵向场分量满足：贝塞尔方程
? 贝塞尔方程的解,
– 第一类和第二类贝塞尔函数,J?,N?
– 第一类和第二类汉克尔函数,H?(1),H? (2)
– 第一类和第二类变态汉克尔函数,I?,K?
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场解的选取
? 依据,
– 导模场分布特点,在空间各点均为有限值 ; 在
芯区为振荡形式,而在包层则为衰减形式 ;导模
场在无限远处趋于零。
– 贝塞尔函数形式, J?呈振荡形式,K?则为衰减
形式。
? 本征解选取, 在纤芯中选取贝赛尔函数 J?,
在包层中选取变态汉克尔函数 K?.,
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本征解的确定
? 纤芯 (0<r<a),
? 包层 (r>a),
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本征值方程的导出
? 边界条件：在 r = a,Ez,Hz,E?,H? 连续
– EIz|a = EIIz|a, AJ?(U)-CK?(W)=0
– HIz|a = HIIz|a, BJ?(U)-DK?(W)=0
– EI?|a = EII?|a, (5-1-20c)
– HI?|a = HII?|a, (5-1-20d)
? 确定待定系数 ABCD有非全零解,ABCD
系数行列式为零，即可导出本征值方程。
本征值方程
– 又称特征方程，或色散方程。其中 U与 W通过
其定义式与 β 相联系,因此它实际是关于 β 的
一个超越方程。当 n1,n2,a和 λ 0给定时,对
于不同的 ?值,可求得相应的 β 值。由于贝塞
尔函数及其导数具有周期振荡性质,所以本
征值方程可以有多个不同的解 β ??(??0,1,2,3..,
??1,2,3...),每一个 β ??都对应于一个导模。
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微分公式,
递推公式,
大宗量近似,
小宗量近似,
本征值方程的其它形式
（ 1）
（ 2）
（ 3）
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§ 5-2 模式分类准则
? ??0,Ez=0,or Hz=0,对应于 TE模或 TM模
? ??0,Ez=0,and Hz=0,对应于 HE模或 EH模
? 分类参数 k,
k?0, TM,
k??,TE,
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模式分类的物理意义
? 偏振特性, TE模与 TM模是偏振方向相互正交
的线偏振波 ;HE模与 EH模则是椭圆偏振波,其
中 HE模偏振旋转方向与波行进方向一致 (符合
右手定则 ),EH模偏振旋转方向则与光波行进
方向相反 ;
? 场强关系, EH模电场占优势,而 HE模磁场占
优势 ;(Ez,Hz)<<(Et,Ht),模式近似为横场分布；
? 相位关系, EH模的 Hz分量超前于 Ez90°,HE
模的 Hz分量落后于 Ez90° 。
本征解的确定
? 纤芯 (0<r<a),
? 包层 (r>a),
? 横向分量：（ 5-1-15）；（ 5-1-16）
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§ 5-3 模式本征值
? 模式的截止与远离截止,
– 临近截止, W=0,场在包层中不衰减
– 远离截止, W→∞,场在包层中不存在
? 截止与远离截止条件,
模式 临近截止 远离截止
TE0?(TM0?) J0(Uc)＝ 0 J1(U∞ )＝ 0
HE?? J??2(Uc)＝ 0 J??1(U∞ )＝ 0
EH?? J?(Uc)＝ 0
J??1(U∞ )＝ 0
*除了 HE1?模式以外,U不能为零
? 模式本征值, Uc<U<U∞
色散曲线
? 色散曲线
– 结构参数给定的光纤中,模式分布是固定的。可根据本
征值方程式利用数值计算得到各导模传播常数 β 与光
纤归一化频率 V值的关系曲线,称之为色散曲线。因此,
本征值方程又叫色散方程。
? 色散曲线分析
– 图中每一条曲线都相应于一个导模。
– 平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点数就是光纤中允
许存在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传
播常数 β 。
– 给定 V值,V=Vc,则 Vc越大导模数越多 ;反之亦然。
– 当 Vc＜ 2.405时,在光纤中只存在 HE11模,其它导模均截
止,为单模传输 ;
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41
,E H
21
HE
22
,T E
02
,T M
02
.
.
2
2 + 4 = 6
6 + 6 = 1 2
1 2 + 4 = 1 6
1 6 + 4 = 2 0
.
.
# 给定 V 值,SIOF中的导模数目近似等于 V2/2,所含精确模
式可根据导模截止与远离 截止条件确定。
单模工作条件
? 单模条件,
Vc＝（ 2π /λ 0） a√n 12－ n22 ＜ 2.405
? 单模光纤尺寸,
ac＝ 1.202λ 0/（ π √n 12－ n22）
? 单模光纤截止波长,
λ c＝（ π a√n 12－ n22） / 1.202
? 单模光纤截止频率,
fc＝ 1.202c/（ π a√n 12－ n22）
? 仅当 λ ＞ λ c或 f＜ fc时方可在光纤中实现单模传输,这时,在
光纤中传输的是 HE11模,称为基模或主模。紧邻 HE11模的高阶
模是 TE01,TM01模和 HE21模,其截止值均为 Vc＝ 2.405。
