模式本征值
? 模式的截止与远离截止,
– 临近截止, W=0,场在包层中不衰减
– 远离截止, W→∞,场在包层中不存在
? 截止与远离截止条件,
模式 临近截止 远离截止
TE0m(TM0m) J0(Uc)＝ 0 J1(U∞ )＝ 0
HElm Jl-2(Uc)＝ 0 Jl-1(U∞ )＝ 0
EHlm Jl(Uc)＝ 0 Jl+1(U∞ )＝ 0
*除了 HE1m模式以外,U不能为零
? 模式本征值, Uc<U<U∞
色散曲线
? 色散曲线
– 结构参数给定的光纤中,模式分布是固定的。可根据本
征值方程式利用数值计算得到各导模传播常数 β 与光
纤归一化频率 V值的关系曲线,称之为色散曲线。因此,
本征值方程又叫色散方程。
? 色散曲线分析
– 图中每一条曲线都相应于一个导模。
– 平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点数就是光纤中允
许存在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传
播常数 β 。
– 给定 V值,V=Vc,则 Vc越大导模数越多 ;反之亦然。
– 当 Vc＜ 2.405时,在光纤中只存在 HE11模,其它导模均截
止,为单模传输 ;
n
1
n
2
?/ k
0
HE
11
HE
21 HE
31
HE
12
TE
01
TM
01
EH
11
V
2 4 6
n
1
~n
2
EH
21
HE
41
HE
22
TE
02
TM
02
n
1
n
2
?/ k
0
LP
01
LP
02
LP
11
LP
21
V
2 4 6
n
1
~n
2
LP
31
? 弱导条件,n1?n2 ?n
– 光线与纤轴的夹角小；
– 芯区对光场的限制较弱；
– 消逝场在包层中延伸较远。
? 弱导光的特点,
– HEl+1,m模式与 EHl-1,m色散曲线相近；
– 场的横向分量线偏振，且远大于纵向分量；
– 可以在直角坐标系中讨论问题
– 可以得到简化的本征解与本征值方程。
§ 1-6 弱导光纤：线偏振模
线偏振模 LPlm的场分量
? LPlm模只有四个不为零的场分量,可以
是 Ey,Hx,Ez和 Hz；也可以是与之正交
的 Ex,Hy,Ez和 Hz。它们分别沿 y方向和
x方向偏振。
? LPlm模由 HEl+1,m模式与 EHl-1,m迭加构成。
线偏振模 LPlm 的构成 (0<r<a)
0
0
s i n
c o s
)(
s i n
c o s
)(
)1s i n (
)1c o s (
)(
)1s i n (
)1c o s (
)(
2
)1c o s (
)1s i n (
)(
)1c o s (
)1s i n (
)(
2
0
0
11
0
0
0
11
0
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-
-
-
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线偏振模 LPlm 的构成 (r>a)
0
0
s i n
c o s
)(
s i n
c o s
)(
)1s i n (
)1c o s (
)(
)1s i n (
)1c o s (
)(
2
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)(
)1c o s (
)1s i n (
)(
2
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0
11
0
0
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11
0
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-
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-+
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ll
l
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ll
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jH
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
线偏振模 LPlm 的简并
? 当 l?0时,每一个 LPlm模式有四重简并,
– 径向两种模式：沿 x或 y方向偏振；
– 角向两种变化,cosl? 或 sinl?
? 当 l?0时,LP0m模式只有两重简并
LPlm模的偏振态,
? LPlm模的简并态是以光纤的弱导近似为前提
的。实际上,n1和 n2不可能相等,因此 HEl+1,m
模与 EHl-1,m模的传播常数 β 不可能绝对相等,
即两者的相速并不完全相同。随着电磁波的
向前传播,场将沿 z轴作线偏振波－椭圆偏振
波－园偏振波－椭园偏振波－线偏振波的周
期性变化。场形变化一周期所行经的 z向距
离,即差拍距离为,
L＝ 2π/(β1-β2)
β 1与 β 2分别为两精确模式的 Z向传播常数。
本征值方程
;
)(
)(
)(
)(
)1s i n ()1s i n (
)1s i n ()1s i n (
11
11
11
WK
WWK
UJ
UUJ
lK
K
J
WlK
K
J
W
lUJlUJ
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
ll
??
-+
-+
??
--+?
-++
??
??在 r=a处，由 Ez 连续，有,
LPlm模式本征值
? 模式的截止与远离截止,
– 临近截止, W=0,场在包层中不衰减
– 远离截止, W→∞,场在包层中不存在
? 截止与远离截止条件,
模式 临近截止 远离截止
l?0,J1(Uc)＝ 0 J0(U∞ )＝ 0
l?1,J0(Uc)＝ 0 J1(U∞ )＝ 0
l?1,Jl-1(Uc)＝ 0 Jl(U∞ )＝ 0
*除了 LP0m模式以外,U不能为零
? 模式本征值, Uc<U<U∞
2, 4 0 5 3, 8 3 2 5, 1 3 6 5, 5 2 6, 3 8 7, 0 1 6 7, 5 8 8 8, 4 1 7
8, 6 5 4
8, 7 1 1
9, 7 6 1
J
0
J
1
J
2
J
3
J
4
LP
01
LP
02
LP
03LP
11 LP
12
LP
13
LP
21
LP
31
SIOF中的线偏振 模式
V 模式 导模总数
0 - - 2, 405
2, 4 0 5 - - 3, 8 3 2
3, 8 3 2 - - 5, 1 3 6
5, 1 3 6 - - 5, 5 2 0
5, 5 2 0 - - 6, 3 8 0
.
.
LP
01
LP
11
LP
02
,L P
21
LP
31
LP
12
.
2
2 + 4 = 6
6 + 6 = 1 2
1 2 + 4 = 1 6
1 6 + 4 = 2 0
.
.
# 给定 V 值,SIOF中的导模数目近似等于 V2/2,所含线偏振
模式可根据导模截止与远离 截止条件确定。
SIOF中的 模式数目
? 在光纤中传播的模式绝大多数都满足 W＞＞ 1,或远
离截止条件。因此远离截止条件 Jl(U∞ )＝ 0的根的
数目也就近似等于光纤中允许传输的导模数目。
? 当宗量 U∞ 很大时,由 Jl的大宗量近似式得,
cos(U∞-π/4 － lπ/2)＝ 0
或,U∞-π/4 -lπ/2 ＝ (2m-1)π/2,(m＝ 1,2,3...)
? 另一方面,U∞ ? V,有,(l+2m-1/2) ? 2V/p
? 在 l-m平面，上式构成三角形,
三角形中每一个整数坐标点即
对应一个模式，三角形面积的
4倍为导模数目,N?4V2/p2?V2/2
2V/p ?
?
V/p
导 模场分布图
? 以沿 y方向偏振的 LPlm模为例,研究导模场沿横截面
的分布。这时,纤芯中的场分布为,
(Ey)lm＝ A[Jl(Ulmr/a)/Jl(Ulm)]·coslφ
? Ulm的取值在 Jl-1(Uc)＝ 0 和 Jl(U∞ )＝ 0 第 m个非
零根之间。
? LPlm模沿径向的亮斑数为 m,沿角向的亮斑数
为 2l,
导 模场分布图
? LP01模, (Ey)01＝ A[J0(U01r/a)/J0(U01)]
0＜ U01＜ 2.405; 0＜ U01r/a＜ 2.405
? 由贝塞尔函数曲线可知,J0(U01r／ a)及 J0(U01)在其
宗量的取值区域 (0-2.405)之内均大于零,故导模场
沿径向无零点 ; 由于 l＝ 0,导模场沿角向也无零点。
于是得 LP01模的光强分布为一园光斑。
2, 4 0 5 3, 8 3 2 5, 1 3 6 5, 5 2 6, 3 8 7, 0 1 6 7, 5 8 8 8, 4 1 7
8, 6 5 4
8, 7 1 1
9, 7 6 1
J
0
J
1
J
2
J
3
J
4
LP
01
LP
02
LP
03LP
11 LP
12
LP
13
LP
21
LP
31
导 模场分布图
? LP02模, (Ey)02＝ A[J0(U02r/a)/J0(U02)]3.823＜
U02＜ 5.520;0＜ U02r/a＜ 5.520
? J0(U02r／ a)有一个零点 (r＝ 2.405a／ U02)而
J0(U02)始终小于零。故导模场沿径向有一个零点
(振幅变号 )。沿角向无零点。光强分布为一亮园
环和纤芯中心的亮斑。
2, 4 0 5 3, 8 3 2 5, 1 3 6 5, 5 2 6, 3 8 7, 0 1 6 7, 5 8 8 8, 4 1 7
8, 6 5 4
8, 7 1 1
9, 7 6 1
J
0
J
1
J
2
J
3
J
4
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01
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03LP
11 LP
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导 模场分布图
? LP11模, (Ey)11＝ A[J1(U11r/a)/J1(U11)]·cosφ
2.405＜ U11＜ 3.823;0＜ U11r/a＜ 3.823
? J1(U11r／ a)与 J1(U11)均大于零,即场沿径向无零
点 ;沿角向场分布为 cosφ,当 φ ＝ π /2和 3π /2时
出现零点,故场沿角向有一条零线。因此,场的振
幅分布在 y轴两侧改变符号,其光强分布为两个半
园光斑,纤芯中心为暗线。
2, 4 0 5 3, 8 3 2 5, 1 3 6 5, 5 2 6, 3 8 7, 0 1 6 7, 5 8 8 8, 4 1 7
8, 6 5 4
8, 7 1 1
9, 7 6 1
J
0
J
1
J
2
J
3
J
4
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03LP
11 LP
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导 模场分布图
? LP21模, (Ey)21＝ A[J2(U21r/a)/J2(U21)]·cos2φ
3.823＜ U21＜ 5.136;0＜ U21r/a＜ 5.136
? J2(U21r／ a)与 J2(U21)均大于零,即场沿径向无零点,
沿角向场分布为 cos2φ,当 φ ＝ p/4,3p/4,5p/4 以及
7p/4 时出现零点,即场沿角向有两条暗线,将光场
分为四个亮斑。
2, 4 0 5 3, 8 3 2 5, 1 3 6 5, 5 2 6, 3 8 7, 0 1 6 7, 5 8 8 8, 4 1 7
8, 6 5 4
8, 7 1 1
9, 7 6 1
J
0
J
1
J
2
J
3
J
4
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11 LP
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21
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模组和主模标号
? 当光纤中传输的模式较多,且大多数模式满足远离
截止条件时,模式 Ulm值近似为 U∞ 。又据 贝塞尔函数
大宗量近似 式,当 U∞ >>1时,有近似式,
U ??l＋ 2m－ 1/2)π /2
l＋ 2m值相同,则 U∞ 相同,与之对应的传播常数 βlm也
相同,这样一组模式是简并的，具有相同的传播常
数 β p,p= l＋ 2m ；
? 在一定的 β p值下,共有 p/2个 LPlm模,而每个 LPlm模
含四重简并,故对应于 β p的模式一共有 2p个。定义
这样一组模式为 "模群 ",并以 m作为模群标号,又称
为 "主模标号 "。 l与 m则分别为径向与角向模式标号。
模式的输出特性
? 第 p群模的 Up值近似为,
Up≈p π /2
由此可求出对应的传播常数 β p为,
β p＝ n1k0cosθ p＝ √ n12k02－ Up2/a2
其中,θ p是第 p群模的模角,定义为波矢 K与 z轴夹角。由
上式可得,
n1sinθ p＝ Up/ak0≈m λ 0/4a
即模式的出射角与主模标号成正比,并与模式群序号一一
对应,高阶模出射角大,低阶模出射角小
导模纵向功率流
? 导模远离截止,导模功率几乎全部集中在
纤芯中传输。
? 导模邻近截止,
– 对于低阶模，导模功率几乎全部在包层之中
传输；
– 对于高阶模 ?l＞ 1)，仍有相当大一部分功率
在纤芯中传输。
§ 1-7 渐变折射率光纤中的场解
? 抛物线分布光纤的场解
? WKB法
? 单模光纤
波导场方程
? 采用与阶跃型光纤类似的处理方法,可将渐变型
光纤中的场分为角向函数 ej ??与径向函数 F(r)的
乘积 ;
? F(r)满足的方程为,
2,1,
0)()(
)()(
2
0
2
0
22
2
2
22
2
2
???
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--++
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rF
r
l
k
r d r
rdF
dr
rFd
iii
i
???
?
渐变折射率分布
? 渐变折射率分布光纤的纤芯中,折射率 n(r)是径
向距离 r的函数；
? g=1,三角分布
? g=2,平方率分布
? g=?,阶跃分布
? 实际使用的光纤绝大多数
是弱导光纤,纤芯中折射率
变化很缓慢；
? ?
?
?
?
?
??-?
arn
ararnrn g
2
2
2
12 )/(21)(
?
平方率分布光纤中的场解
? 折射率分布,
? 波导场方程,
? ?2212 )/(21)( arnrn ?-?
0)(21)()( 2
2
2
2
2
2
0
2
12
2
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--??
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?
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?
?-++ rF
r
l
a
rkn
r d r
rdF
dr
rFd ?
本征值与本征解
? 本征值方程,
? 本征解：高斯函数与拉盖尔多项式之积,
即拉盖尔 -高斯函数,
2/1
01
01 )12(
22
1
,.,, )3,2,1,0(,4/)22(
?
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?
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?
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kn
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l
lm eW
r
L
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r
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?
模式数目
? 弱导光纤中存在线偏振模
? 主模式标号 p=2m+l+1
? 最高阶导模主模式标号 pmax近似对应于光
纤中的导模数目。而 pmax对应于 ??n2k0,即,
pmax= V/2 或
? 导模数目,
N= 4(1/2)(V/2)(V/4)
= V2/4
2/12 Vlm ?++
V/2 l
m
V/4
.,, )3,2,1,0,(,?mlLP lm
基模场分布与模场半径
? 基模为 LP00,此时 L00=1,则场分布为,
E00 ? exp(-r2/w2)
? 平方率分布光纤基模场分布为高斯函数，
其模场半径 w为,
?
?
?
?
22
2
1
0
01
0 p
?
n
a
kn
aW
WKB近似分析法
? 对于折射率分布不为平方律分布的光纤,不可能通
过严格求解波导场方程获得解析解。为此,人们提出
了多种近似求解方法,WKB 法就是最常用的一种近
似分析方法,由 Wentzel,Kramers 和 Brillouin提出；
? WKB法基本思想, WKB法实际上是一种几何光学
近似,或者说是本地平面波近似，它 认为在光纤中
传播的导模场分布的变化主要体现在相位的变化上，
因此可以将场解分解为 缓慢变化的振幅函数与快速
变化的相位函数的乘积,
? 将 F(r)的求解归结于求光程函数 S(r)表达式,使问题
得以简化
)()()( rjSerArF ?
场解的基本特性
? 折射率分布,
? 波导场方程,
? 令,F(r) = r-1/2F?r),将波导场方程改写为,
d2F?r)/dr2+g2(r)F(r)?0
q2(r)=n2(r)k20-?l2-1/4)/r2 -?2
? g2(r)>0,振荡型传播场；
? g2(r)<0,衰减型消逝场。
0)()()()( 2
2
222
02
2
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2
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2
三类模式
? 导模条件,
? 漏模条件,
? 辐射模条件,
00 )0()( knkan ?? ?
0
222
0
2 )(/)( kanalkan ??- ?
222
0
2 /)(0 alkan -?? ?
导波模的传播
? 导波模是本地平面波在内外散焦面之间的
不断的内全反射；
? 内外散焦面半径 r1和 r2由下式决定,
])(/[ ])(/[ 2
02
222
2
22
01
22
1
krnlr
krnlr
-?
-?
?
?
导模的场解
? 折射率分布,
? 波导场方程,
? 分离变量,F(x)=A(x)ejS(x),r=ex
? 导模场解,
0)()()()( 2
2
222
02
2
??
?
?
??
? --++ rF
r
lrnk
r d r
rdF
dr
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? ?)/(21)( 212 arfnrn ?-?
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21
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21
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1
)(e x p
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1
)(
1
2
1
rrrrdrrp
rrp
rrrdrrqj
rrq
rF
rr
rr
r
r
本征值方程
? 波矢的径向分量在一个空间周期内的积
分应为 2p的整数倍,
? 传播常数,
p? )2/1(])([ 2/12
2
222
0
2
1
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r
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r
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2
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2
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g
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g
P
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g
g
lm
?
比较：平方率分布光纤
? 精确解,
? WKB近似,
,)12(
22
1
2/1
01
01 ?
?
?
?
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2/1
01
01 )2(
22
1
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?
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?
?
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+??
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?
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? ?
-? lm
akn
knlm?
导模数目
M=V2[g/(2(g+2)]
g=2,M=V2/4
g=?,M?V2/2
单模光纤
? 单模光纤具有极小的色散和极低的损耗,一根光
纤可传输数百兆甚至几千兆的宽带信息,无中
继距离可达几十甚至数百公里 ;
? 单模光纤中基模的相位、偏振、振幅等参数对
于各种外界物理量 (如磁场,电场、转动、振
动、应力、温度等等 )极为敏感,利用这种敏感
特性可制成灵敏度极高的各种光纤传感器。
? 利用单模光纤的非线性效应可制成光纤激光器
与光纤放大器,还可应用于测量和信息处理等方
面,具有不可比拟的优越性。
单模光纤的场解
? 阶跃折射率分布,HE11(LP01) 模
-z0 AJ0(Ur/a)/J0(U) 0≤r≤a
Ey(x)＝ Hx(y)＝ n BK
0(Wr/a)/K0(W) r＞ a
W≈1.1428V-0.9960≈2.7484λc/λ0 - 0.9960
U＝ (V2－ W2)1/2
? 平方率折射率分布,LP00模
-z0 Aexp[-(r/w)2] 0≤r≤a
Ey(x)＝ Hx(y)＝
n Bexp(-wr/a) r＞ a
?
?
?
000 / ???z
高斯近似,最大激发效率判据
? 最大激发效率判据,
wm/a＝ 0.65＋ 1.619V－ 3/2＋ 2.879V－ 6 (阶跃光纤 )
w/a=AV-2/(g+2)+BV-3/2+CV-6 (g-型光纤）
A={(2/5)[1+4(2/g)5/6]}1/2
B=exp(0.298g-1)-1+1.478[1-exp(-0.077g)]
C=3.76+exp(4.19g-0.418)
w/a＝ √2 V-1/2 ＋ 0.3716V-3/2＋ 26.77V-6 (平方率光纤 )
m a x)21( 22
0 0
* ?? ? ? ?p ?r d r dHERLE
xye 高实
等效阶跃光纤近似 (ESF)
? 寻找一条适当的阶跃型光纤去等效实际
的渐变型光纤。而阶跃型光纤的场解是
已知的,这样就得到了渐变型光纤的场解。
??
??
2
2
10
10
ankV
ankV
)(rnn
1
1n
22 nn ?
a a r
(ESF):热诺姆判据
? 等效阶型光纤参数 V和 a的选择应使 │β2－ β 2│ 为最
小；
? g型光纤,n2(r) = n22[1+2??1-?r/a)g)]
V＝ V(1＋ 2/g)-1/2
a＝ a(g＋ 2)/(g＋ 3)
? 凹陷光纤,n2(r) = n22{1+2??1-??1-?r/a)g)]}
]32)1)(2) [ (3(
6)3)(2)(1(
)2)(1(
2
1
2/1
?
?
?
）（ +-+++
-+++
?
?
?
?
?
?
?
++
-?
gggg
ggg
aa
gg
VV
单模光纤的模场半径
? 模场半径是单模光纤的一个极为重要的参数 。 由模
场半径可以导出等效阶跃光纤的构成参数,还可估
算单模光纤的连接损耗, 弯曲损耗以及微弯损耗和
光纤的色散值,因而被称之为单模 光纤的万用参数 。
? 单模光纤的模场半径不仅因测量方法 的不同而异,而
且还受模场半径定义的影响 。
? 已提出多种模场半径的定义,应用较广泛的有,(1)
功率传输函数定义模场半径 wT;(2)最大 激发效率定
义模场半径 w?;(3)近场二 阶矩定义模场半径 wrms;(4)
远场二阶矩定义模场半径 wL。
功率传输函数定义模场半径 wT
? wT定义为功率传输函数 T与横向偏移量 d
关系曲线最大值的 1/e处所决定的半宽度。
∞ 2π T(d,θ
d)＝ │∫ ∫ E(r,θ)E(r',θ')rdθdr│2
0 0
? 对于高斯分布场,
T(d)＝ T(0)exp[－ (d／ wT)2]
§ 6-7 单模光纤的截止波长
? 定义使 LP11模截止的波长 λ c为单模光纤的, 截
止波长, 。 当 λ0＞ λc时,就可以保证光纤工作于
单模状态 。
? 截止波长 λ c与 LP11模截止时的归一化频率 Vc有
关,
λ c＝ 2π an1√ 2Δ /Vc
? 对于阶跃光纤,Vc＝ 2.405;对于平方律光纤 Vc＝
3.518,
? 光纤的实际截止波长 与光纤的长度和弯曲状态
有关,且待测光纤越长,测得的截止波长就越短 。
? 模式的截止与远离截止,
– 临近截止, W=0,场在包层中不衰减
– 远离截止, W→∞,场在包层中不存在
? 截止与远离截止条件,
模式 临近截止 远离截止
TE0m(TM0m) J0(Uc)＝ 0 J1(U∞ )＝ 0
HElm Jl-2(Uc)＝ 0 Jl-1(U∞ )＝ 0
EHlm Jl(Uc)＝ 0 Jl+1(U∞ )＝ 0
*除了 HE1m模式以外,U不能为零
? 模式本征值, Uc<U<U∞
色散曲线
? 色散曲线
– 结构参数给定的光纤中,模式分布是固定的。可根据本
征值方程式利用数值计算得到各导模传播常数 β 与光
纤归一化频率 V值的关系曲线,称之为色散曲线。因此,
本征值方程又叫色散方程。
? 色散曲线分析
– 图中每一条曲线都相应于一个导模。
– 平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点数就是光纤中允
许存在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传
播常数 β 。
– 给定 V值,V=Vc,则 Vc越大导模数越多 ;反之亦然。
– 当 Vc＜ 2.405时,在光纤中只存在 HE11模,其它导模均截
止,为单模传输 ;
n
1
n
2
?/ k
0
HE
11
HE
21 HE
31
HE
12
TE
01
TM
01
EH
11
V
2 4 6
n
1
~n
2
EH
21
HE
41
HE
22
TE
02
TM
02
n
1
n
2
?/ k
0
LP
01
LP
02
LP
11
LP
21
V
2 4 6
n
1
~n
2
LP
31
? 弱导条件,n1?n2 ?n
– 光线与纤轴的夹角小；
– 芯区对光场的限制较弱；
– 消逝场在包层中延伸较远。
? 弱导光的特点,
– HEl+1,m模式与 EHl-1,m色散曲线相近；
– 场的横向分量线偏振，且远大于纵向分量；
– 可以在直角坐标系中讨论问题
– 可以得到简化的本征解与本征值方程。
§ 1-6 弱导光纤：线偏振模
线偏振模 LPlm的场分量
? LPlm模只有四个不为零的场分量,可以
是 Ey,Hx,Ez和 Hz；也可以是与之正交
的 Ex,Hy,Ez和 Hz。它们分别沿 y方向和
x方向偏振。
? LPlm模由 HEl+1,m模式与 EHl-1,m迭加构成。
线偏振模 LPlm 的构成 (0<r<a)
0
0
s i n
c o s
)(
s i n
c o s
)(
)1s i n (
)1c o s (
)(
)1s i n (
)1c o s (
)(
2
)1c o s (
)1s i n (
)(
)1c o s (
)1s i n (
)(
2
0
0
11
0
0
0
11
0
?
?
-?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
-
+
+
-?
?
?
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--
-
+
+-
+
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-+
-+
I
y
I
x
l
I
x
l
I
y
ll
I
z
ll
I
z
H
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l
l
a
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l
l
a
Ur
AJE
l
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Ur
J
l
l
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Ur
J
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AU
jH
l
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Ur
J
l
l
a
Ur
J
nak
AU
jE
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
线偏振模 LPlm 的构成 (r>a)
0
0
s i n
c o s
)(
s i n
c o s
)(
)1s i n (
)1c o s (
)(
)1s i n (
)1c o s (
)(
2
)1c o s (
)1s i n (
)(
)1c o s (
)1s i n (
)(
2
0
0
11
0
0
0
11
0
?
?
-?
?
?
?
?
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-
-
+
+
+
-?
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?
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--
-
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+-
+
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-+
-+
II
y
II
x
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l
lII
x
l
l
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y
ll
l
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ll
l
lII
z
H
E
l
l
a
Wr
K
K
J
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l
l
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K
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l
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K
l
l
a
Wr
K
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A W J
jH
l
l
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K
l
l
a
Wr
K
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A W J
jE
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
线偏振模 LPlm 的简并
? 当 l?0时,每一个 LPlm模式有四重简并,
– 径向两种模式：沿 x或 y方向偏振；
– 角向两种变化,cosl? 或 sinl?
? 当 l?0时,LP0m模式只有两重简并
LPlm模的偏振态,
? LPlm模的简并态是以光纤的弱导近似为前提
的。实际上,n1和 n2不可能相等,因此 HEl+1,m
模与 EHl-1,m模的传播常数 β 不可能绝对相等,
即两者的相速并不完全相同。随着电磁波的
向前传播,场将沿 z轴作线偏振波－椭圆偏振
波－园偏振波－椭园偏振波－线偏振波的周
期性变化。场形变化一周期所行经的 z向距
离,即差拍距离为,
L＝ 2π/(β1-β2)
β 1与 β 2分别为两精确模式的 Z向传播常数。
本征值方程
;
)(
)(
)(
)(
)1s i n ()1s i n (
)1s i n ()1s i n (
11
11
11
WK
WWK
UJ
UUJ
lK
K
J
WlK
K
J
W
lUJlUJ
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
ll
??
-+
-+
??
--+?
-++
??
??在 r=a处，由 Ez 连续，有,
LPlm模式本征值
? 模式的截止与远离截止,
– 临近截止, W=0,场在包层中不衰减
– 远离截止, W→∞,场在包层中不存在
? 截止与远离截止条件,
模式 临近截止 远离截止
l?0,J1(Uc)＝ 0 J0(U∞ )＝ 0
l?1,J0(Uc)＝ 0 J1(U∞ )＝ 0
l?1,Jl-1(Uc)＝ 0 Jl(U∞ )＝ 0
*除了 LP0m模式以外,U不能为零
? 模式本征值, Uc<U<U∞
2, 4 0 5 3, 8 3 2 5, 1 3 6 5, 5 2 6, 3 8 7, 0 1 6 7, 5 8 8 8, 4 1 7
8, 6 5 4
8, 7 1 1
9, 7 6 1
J
0
J
1
J
2
J
3
J
4
LP
01
LP
02
LP
03LP
11 LP
12
LP
13
LP
21
LP
31
SIOF中的线偏振 模式
V 模式 导模总数
0 - - 2, 405
2, 4 0 5 - - 3, 8 3 2
3, 8 3 2 - - 5, 1 3 6
5, 1 3 6 - - 5, 5 2 0
5, 5 2 0 - - 6, 3 8 0
.
.
LP
01
LP
11
LP
02
,L P
21
LP
31
LP
12
.
2
2 + 4 = 6
6 + 6 = 1 2
1 2 + 4 = 1 6
1 6 + 4 = 2 0
.
.
# 给定 V 值,SIOF中的导模数目近似等于 V2/2,所含线偏振
模式可根据导模截止与远离 截止条件确定。
SIOF中的 模式数目
? 在光纤中传播的模式绝大多数都满足 W＞＞ 1,或远
离截止条件。因此远离截止条件 Jl(U∞ )＝ 0的根的
数目也就近似等于光纤中允许传输的导模数目。
? 当宗量 U∞ 很大时,由 Jl的大宗量近似式得,
cos(U∞-π/4 － lπ/2)＝ 0
或,U∞-π/4 -lπ/2 ＝ (2m-1)π/2,(m＝ 1,2,3...)
? 另一方面,U∞ ? V,有,(l+2m-1/2) ? 2V/p
? 在 l-m平面，上式构成三角形,
三角形中每一个整数坐标点即
对应一个模式，三角形面积的
4倍为导模数目,N?4V2/p2?V2/2
2V/p ?
?
V/p
导 模场分布图
? 以沿 y方向偏振的 LPlm模为例,研究导模场沿横截面
的分布。这时,纤芯中的场分布为,
(Ey)lm＝ A[Jl(Ulmr/a)/Jl(Ulm)]·coslφ
? Ulm的取值在 Jl-1(Uc)＝ 0 和 Jl(U∞ )＝ 0 第 m个非
零根之间。
? LPlm模沿径向的亮斑数为 m,沿角向的亮斑数
为 2l,
导 模场分布图
? LP01模, (Ey)01＝ A[J0(U01r/a)/J0(U01)]
0＜ U01＜ 2.405; 0＜ U01r/a＜ 2.405
? 由贝塞尔函数曲线可知,J0(U01r／ a)及 J0(U01)在其
宗量的取值区域 (0-2.405)之内均大于零,故导模场
沿径向无零点 ; 由于 l＝ 0,导模场沿角向也无零点。
于是得 LP01模的光强分布为一园光斑。
2, 4 0 5 3, 8 3 2 5, 1 3 6 5, 5 2 6, 3 8 7, 0 1 6 7, 5 8 8 8, 4 1 7
8, 6 5 4
8, 7 1 1
9, 7 6 1
J
0
J
1
J
2
J
3
J
4
LP
01
LP
02
LP
03LP
11 LP
12
LP
13
LP
21
LP
31
导 模场分布图
? LP02模, (Ey)02＝ A[J0(U02r/a)/J0(U02)]3.823＜
U02＜ 5.520;0＜ U02r/a＜ 5.520
? J0(U02r／ a)有一个零点 (r＝ 2.405a／ U02)而
J0(U02)始终小于零。故导模场沿径向有一个零点
(振幅变号 )。沿角向无零点。光强分布为一亮园
环和纤芯中心的亮斑。
2, 4 0 5 3, 8 3 2 5, 1 3 6 5, 5 2 6, 3 8 7, 0 1 6 7, 5 8 8 8, 4 1 7
8, 6 5 4
8, 7 1 1
9, 7 6 1
J
0
J
1
J
2
J
3
J
4
LP
01
LP
02
LP
03LP
11 LP
12
LP
13
LP
21
LP
31
导 模场分布图
? LP11模, (Ey)11＝ A[J1(U11r/a)/J1(U11)]·cosφ
2.405＜ U11＜ 3.823;0＜ U11r/a＜ 3.823
? J1(U11r／ a)与 J1(U11)均大于零,即场沿径向无零
点 ;沿角向场分布为 cosφ,当 φ ＝ π /2和 3π /2时
出现零点,故场沿角向有一条零线。因此,场的振
幅分布在 y轴两侧改变符号,其光强分布为两个半
园光斑,纤芯中心为暗线。
2, 4 0 5 3, 8 3 2 5, 1 3 6 5, 5 2 6, 3 8 7, 0 1 6 7, 5 8 8 8, 4 1 7
8, 6 5 4
8, 7 1 1
9, 7 6 1
J
0
J
1
J
2
J
3
J
4
LP
01
LP
02
LP
03LP
11 LP
12
LP
13
LP
21
LP
31
导 模场分布图
? LP21模, (Ey)21＝ A[J2(U21r/a)/J2(U21)]·cos2φ
3.823＜ U21＜ 5.136;0＜ U21r/a＜ 5.136
? J2(U21r／ a)与 J2(U21)均大于零,即场沿径向无零点,
沿角向场分布为 cos2φ,当 φ ＝ p/4,3p/4,5p/4 以及
7p/4 时出现零点,即场沿角向有两条暗线,将光场
分为四个亮斑。
2, 4 0 5 3, 8 3 2 5, 1 3 6 5, 5 2 6, 3 8 7, 0 1 6 7, 5 8 8 8, 4 1 7
8, 6 5 4
8, 7 1 1
9, 7 6 1
J
0
J
1
J
2
J
3
J
4
LP
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LP
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LP
03LP
11 LP
12
LP
13
LP
21
LP
31
模组和主模标号
? 当光纤中传输的模式较多,且大多数模式满足远离
截止条件时,模式 Ulm值近似为 U∞ 。又据 贝塞尔函数
大宗量近似 式,当 U∞ >>1时,有近似式,
U ??l＋ 2m－ 1/2)π /2
l＋ 2m值相同,则 U∞ 相同,与之对应的传播常数 βlm也
相同,这样一组模式是简并的，具有相同的传播常
数 β p,p= l＋ 2m ；
? 在一定的 β p值下,共有 p/2个 LPlm模,而每个 LPlm模
含四重简并,故对应于 β p的模式一共有 2p个。定义
这样一组模式为 "模群 ",并以 m作为模群标号,又称
为 "主模标号 "。 l与 m则分别为径向与角向模式标号。
模式的输出特性
? 第 p群模的 Up值近似为,
Up≈p π /2
由此可求出对应的传播常数 β p为,
β p＝ n1k0cosθ p＝ √ n12k02－ Up2/a2
其中,θ p是第 p群模的模角,定义为波矢 K与 z轴夹角。由
上式可得,
n1sinθ p＝ Up/ak0≈m λ 0/4a
即模式的出射角与主模标号成正比,并与模式群序号一一
对应,高阶模出射角大,低阶模出射角小
导模纵向功率流
? 导模远离截止,导模功率几乎全部集中在
纤芯中传输。
? 导模邻近截止,
– 对于低阶模，导模功率几乎全部在包层之中
传输；
– 对于高阶模 ?l＞ 1)，仍有相当大一部分功率
在纤芯中传输。
§ 1-7 渐变折射率光纤中的场解
? 抛物线分布光纤的场解
? WKB法
? 单模光纤
波导场方程
? 采用与阶跃型光纤类似的处理方法,可将渐变型
光纤中的场分为角向函数 ej ??与径向函数 F(r)的
乘积 ;
? F(r)满足的方程为,
2,1,
0)()(
)()(
2
0
2
0
22
2
2
22
2
2
???
??
?
?
?
?
?
--++
iknk
rF
r
l
k
r d r
rdF
dr
rFd
iii
i
???
?
渐变折射率分布
? 渐变折射率分布光纤的纤芯中,折射率 n(r)是径
向距离 r的函数；
? g=1,三角分布
? g=2,平方率分布
? g=?,阶跃分布
? 实际使用的光纤绝大多数
是弱导光纤,纤芯中折射率
变化很缓慢；
? ?
?
?
?
?
??-?
arn
ararnrn g
2
2
2
12 )/(21)(
?
平方率分布光纤中的场解
? 折射率分布,
? 波导场方程,
? ?2212 )/(21)( arnrn ?-?
0)(21)()( 2
2
2
2
2
2
0
2
12
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
--??
?
?
?
?
?
?
?-++ rF
r
l
a
rkn
r d r
rdF
dr
rFd ?
本征值与本征解
? 本征值方程,
? 本征解：高斯函数与拉盖尔多项式之积,
即拉盖尔 -高斯函数,
2/1
01
01 )12(
22
1
,.,, )3,2,1,0(,4/)22(
?
?
?
?
?
?
?
?
++
?
-?
??--
lm
akn
kn
mmlA
lm?
2
0
2 /
2
0
2
0
22
)( Wrlm
l
lm eW
r
L
W
r
rF -??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
模式数目
? 弱导光纤中存在线偏振模
? 主模式标号 p=2m+l+1
? 最高阶导模主模式标号 pmax近似对应于光
纤中的导模数目。而 pmax对应于 ??n2k0,即,
pmax= V/2 或
? 导模数目,
N= 4(1/2)(V/2)(V/4)
= V2/4
2/12 Vlm ?++
V/2 l
m
V/4
.,, )3,2,1,0,(,?mlLP lm
基模场分布与模场半径
? 基模为 LP00,此时 L00=1,则场分布为,
E00 ? exp(-r2/w2)
? 平方率分布光纤基模场分布为高斯函数，
其模场半径 w为,
?
?
?
?
22
2
1
0
01
0 p
?
n
a
kn
aW
WKB近似分析法
? 对于折射率分布不为平方律分布的光纤,不可能通
过严格求解波导场方程获得解析解。为此,人们提出
了多种近似求解方法,WKB 法就是最常用的一种近
似分析方法,由 Wentzel,Kramers 和 Brillouin提出；
? WKB法基本思想, WKB法实际上是一种几何光学
近似,或者说是本地平面波近似，它 认为在光纤中
传播的导模场分布的变化主要体现在相位的变化上，
因此可以将场解分解为 缓慢变化的振幅函数与快速
变化的相位函数的乘积,
? 将 F(r)的求解归结于求光程函数 S(r)表达式,使问题
得以简化
)()()( rjSerArF ?
场解的基本特性
? 折射率分布,
? 波导场方程,
? 令,F(r) = r-1/2F?r),将波导场方程改写为,
d2F?r)/dr2+g2(r)F(r)?0
q2(r)=n2(r)k20-?l2-1/4)/r2 -?2
? g2(r)>0,振荡型传播场；
? g2(r)<0,衰减型消逝场。
0)()()()( 2
2
222
02
2
??
?
?
??
? --++ rF
r
lrnk
r d r
rdF
dr
rFd ?
? ?)/(21)( 212 arfnrn ?-?
n
2
( r) k
0
2
? l
2
-1 /4 )/ r
2
n
2
( r) k
0
2
- ? l
2
-1 /4 )/ r
2
?
2
n
2
( 0) k
0
2
n
2
( a)k
0
2
r
1
r
2
q
2
( r) >0
q
2
( r) <0
q
2
( r) <0
n
2
2
k
0
2
- ? l
2
-1 /4 )/ r
2
三类模式
? 导模条件,
? 漏模条件,
? 辐射模条件,
00 )0()( knkan ?? ?
0
222
0
2 )(/)( kanalkan ??- ?
222
0
2 /)(0 alkan -?? ?
导波模的传播
? 导波模是本地平面波在内外散焦面之间的
不断的内全反射；
? 内外散焦面半径 r1和 r2由下式决定,
])(/[ ])(/[ 2
02
222
2
22
01
22
1
krnlr
krnlr
-?
-?
?
?
导模的场解
? 折射率分布,
? 波导场方程,
? 分离变量,F(x)=A(x)ejS(x),r=ex
? 导模场解,
0)()()()( 2
2
222
02
2
??
?
?
??
? --++ rF
r
lrnk
r d r
rdF
dr
rFd ?
? ?)/(21)( 212 arfnrn ?-?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
21
,
,
21
,)(e x p
)(
1
)(e x p
)(
1
)(
1
2
1
rrrrdrrp
rrp
rrrdrrqj
rrq
rF
rr
rr
r
r
本征值方程
? 波矢的径向分量在一个空间周期内的积
分应为 2p的整数倍,
? 传播常数,
p? )2/1(])([ 2/12
2
222
0
2
1
+?--? mdr
r
lrnkr
r
2)2(2
2
)/(21
01
2/1
2
2
01
+
?
?
+
?
+?
?
?
?
?
?
?
?
?
?-?
+
g
g
aknV
g
g
P
lmp
Ppkn
g
g
lm
?
比较：平方率分布光纤
? 精确解,
? WKB近似,
,)12(
22
1
2/1
01
01 ?
?
?
?
??
?
?
++
?
-? lm
akn
knlm?
2/1
01
01 )2(
22
1
?
?
?
?
?
?
?
?
+??
?
?
??
?
? ?
-? lm
akn
knlm?
导模数目
M=V2[g/(2(g+2)]
g=2,M=V2/4
g=?,M?V2/2
单模光纤
? 单模光纤具有极小的色散和极低的损耗,一根光
纤可传输数百兆甚至几千兆的宽带信息,无中
继距离可达几十甚至数百公里 ;
? 单模光纤中基模的相位、偏振、振幅等参数对
于各种外界物理量 (如磁场,电场、转动、振
动、应力、温度等等 )极为敏感,利用这种敏感
特性可制成灵敏度极高的各种光纤传感器。
? 利用单模光纤的非线性效应可制成光纤激光器
与光纤放大器,还可应用于测量和信息处理等方
面,具有不可比拟的优越性。
单模光纤的场解
? 阶跃折射率分布,HE11(LP01) 模
-z0 AJ0(Ur/a)/J0(U) 0≤r≤a
Ey(x)＝ Hx(y)＝ n BK
0(Wr/a)/K0(W) r＞ a
W≈1.1428V-0.9960≈2.7484λc/λ0 - 0.9960
U＝ (V2－ W2)1/2
? 平方率折射率分布,LP00模
-z0 Aexp[-(r/w)2] 0≤r≤a
Ey(x)＝ Hx(y)＝
n Bexp(-wr/a) r＞ a
?
?
?
000 / ???z
高斯近似,最大激发效率判据
? 最大激发效率判据,
wm/a＝ 0.65＋ 1.619V－ 3/2＋ 2.879V－ 6 (阶跃光纤 )
w/a=AV-2/(g+2)+BV-3/2+CV-6 (g-型光纤）
A={(2/5)[1+4(2/g)5/6]}1/2
B=exp(0.298g-1)-1+1.478[1-exp(-0.077g)]
C=3.76+exp(4.19g-0.418)
w/a＝ √2 V-1/2 ＋ 0.3716V-3/2＋ 26.77V-6 (平方率光纤 )
m a x)21( 22
0 0
* ?? ? ? ?p ?r d r dHERLE
xye 高实
等效阶跃光纤近似 (ESF)
? 寻找一条适当的阶跃型光纤去等效实际
的渐变型光纤。而阶跃型光纤的场解是
已知的,这样就得到了渐变型光纤的场解。
??
??
2
2
10
10
ankV
ankV
)(rnn
1
1n
22 nn ?
a a r
(ESF):热诺姆判据
? 等效阶型光纤参数 V和 a的选择应使 │β2－ β 2│ 为最
小；
? g型光纤,n2(r) = n22[1+2??1-?r/a)g)]
V＝ V(1＋ 2/g)-1/2
a＝ a(g＋ 2)/(g＋ 3)
? 凹陷光纤,n2(r) = n22{1+2??1-??1-?r/a)g)]}
]32)1)(2) [ (3(
6)3)(2)(1(
)2)(1(
2
1
2/1
?
?
?
）（ +-+++
-+++
?
?
?
?
?
?
?
++
-?
gggg
ggg
aa
gg
VV
单模光纤的模场半径
? 模场半径是单模光纤的一个极为重要的参数 。 由模
场半径可以导出等效阶跃光纤的构成参数,还可估
算单模光纤的连接损耗, 弯曲损耗以及微弯损耗和
光纤的色散值,因而被称之为单模 光纤的万用参数 。
? 单模光纤的模场半径不仅因测量方法 的不同而异,而
且还受模场半径定义的影响 。
? 已提出多种模场半径的定义,应用较广泛的有,(1)
功率传输函数定义模场半径 wT;(2)最大 激发效率定
义模场半径 w?;(3)近场二 阶矩定义模场半径 wrms;(4)
远场二阶矩定义模场半径 wL。
功率传输函数定义模场半径 wT
? wT定义为功率传输函数 T与横向偏移量 d
关系曲线最大值的 1/e处所决定的半宽度。
∞ 2π T(d,θ
d)＝ │∫ ∫ E(r,θ)E(r',θ')rdθdr│2
0 0
? 对于高斯分布场,
T(d)＝ T(0)exp[－ (d／ wT)2]
§ 6-7 单模光纤的截止波长
? 定义使 LP11模截止的波长 λ c为单模光纤的, 截
止波长, 。 当 λ0＞ λc时,就可以保证光纤工作于
单模状态 。
? 截止波长 λ c与 LP11模截止时的归一化频率 Vc有
关,
λ c＝ 2π an1√ 2Δ /Vc
? 对于阶跃光纤,Vc＝ 2.405;对于平方律光纤 Vc＝
3.518,
? 光纤的实际截止波长 与光纤的长度和弯曲状态
有关,且待测光纤越长,测得的截止波长就越短 。
