河北师范大学电动力学课程组
第六章第四节
相对论理论的四维形式
时空本质上是四维的,3维空间 +1维时间。
洛伦兹变换是一种线性变换,它体现了四维时空的变换关系 。
但是这种变换的特征是什么？ 物理量在坐标变换下怎样变
换？ 描写物理规律的方程在变换下是否不变？
一、关于正交变换
1、二维平面上坐标系的转动变换
?
?
?
????
???
??
??
c o ss in
s inc o s
yxy
yxx
平面上 P点的转动变换满足
?
P
x
y
y?
x?
?
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2222 yxyx ?????
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aa
aa
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x
y
x
2221
1211
c o ss in
s inc o s
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c o s s i n c o s s i n 1 0
s i n c o s s i n c o s 0 1
a a a a I
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%%
2、三维空间坐标转动变换
1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 2 1 3 1 1
2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 2 2 2 3 2 2
3 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 1 3 2 3 3 3 3
x a x a x a x a a a x x
x a x a x a x a a a x a x
x a x a x a x a a a x x
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正交变换条件
3
1
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j
x a x
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( 1,2,3 )i ?
33
22
11
ii
ii
xx
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????
不变量
爱因斯坦惯例
( 1 )i ij jx a x? ? L
()i i k k i l lx a x a x? ??
( 2 )i i i ix x x x??? L
? ?
3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1
i i ij j ik k ij ik j k
i i j k i j k
x x a x a x a a x x
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???? ??
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i ij j
j
x a x
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11
ii
ii
xx
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????
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(4 )i i j j j k j kx x x x x x??? L
( 3 )i i i j j i k kx x a x a x? LL
凡有重复下标的即要取和,
i为自由指标,j为取和指标,
? ? ?
? ? ?
?
3
1
3
1
3
1j j k
kjjkjj xxxx ?
又
证明变换为正交变换
1
0
ij
ij ij?
???
? ??
比较（ 3）和（ 4）可得
( 5 )ij ik jkaa ?? LLL
写成矩阵
)6(~~ ???Iaaaa ??
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写成矩阵,
x a x? ?
?
?
??
?
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?
3
1i
jkikij aa ?
（ 5）与（ 6）
为正交条件
反变换式,
l il ix a x ?? i ji jx a x??
或
1x a x a x?????%
i l i i l i j j l j j l j j la x a a x x x x??? ? ? ? ?
两边同乘
ilai ij jx a x? ?
并对 i 取和 证明,
二、物理量按空间变换性质分类
? 标量, 空间转动变换中不变的量称为标量。
uu ?? 例如：质量，电荷，空间距离。
例如：应力张量，电四极矩张量等。
ij ik jl k lT a a T? ?
方式变换的具有 9个分量的物理量，记为 。 Tt
? 二阶张量：空间转动变换下按
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例如：速度、加速度、力、电场强度,▽ 算符等。
? 矢量：空间转动变换中按
i ij jv a v? ?
? ?3,2,1?i
方式变换的量称为矢量，记为 。 vr
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ij jT v T v??
t r 一个自由指标为矢量
i j j i k j l k l j m m i k e m k l m i k k l lT v a a T a v a T v a T v??? ? ? ?
张量与矢量点积 例二,
ii wvwv ??
?? 无自由指标为标量
i i i j j i k k j k j k j j i iv w a v a w v w v w v w??? ? ? ? ?
例一：两矢量点积
标量：没有自由指标，又称为零阶张量；
矢量：一个自由指标，又称为一阶张量；
张量：两个自由指标，又称为二阶张量。
使用自由指标判断物理量
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三、洛伦兹变换的四维形式
1、四维空间的转动变换（三维情况的推广）
转动中的不变量,
vvx x x x???? ?
(,1 4 )v? ? ? ?
44
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
11
vv
v
x x x x x x x x x x x x??
? ??
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???
英文小 写字母,i j k l m n K，，,，, 代表 1— 3
希腊小写字母,? ? ? ? ? ? K，,,,, 代表 1— 4
变换表示式,x a x
? ? ? ?? ?
正交条件为,a a a a a a I
? ? ? ? ? ??? ? ? ?%%
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2、洛伦兹变换为复四维空间的转动变换
2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3x x x c t x x x c t? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4x x x x x x x x x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
洛伦兹变换下间隔为不变量，即,
44,x ic t x ic t????
定义,
与转动变换不变
量表示形式不同
因此它为复四维空间 ),,,(
4321 ictxxxx ?
该空间又称为闵可夫斯基空间（ 1907年）。
的“转动”变
换
1 1 1 1 4()
ic tx x t x x i x
ci
?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?2 2 3 3,x x x x????
4 1 4 1 1 42()x ic t ic t x x i x i x xc
?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?
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11
22
33
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00
0 1 0 0
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00
xx i
xx
xx
xxi
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矩
阵
形
式
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x a x a x? ? ? ? ? ? ????? %
)~( xax ??
()x a x? ?
1 1 4()x x i x??? ??
22xx? ?
4 1 4()x i x x??? ? ? ?
33xx? ?
协变性：在某种变换下数学方程形式保持不变的性质。
洛伦兹协变性：在洛伦兹变换下物理规律的数学方程保持不变
的性质。
固有时间隔 dτ 为不变量的说明,
四、四维协变量
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时间间隔 dt 在洛仑兹变换下是一个可变量,dttd ??
⑴ 洛伦兹标量：洛伦兹变换下保持不变的物理量
例如：电荷 Q，时空间隔，固有长度，固有时间隔，静止质
量 m0,四维空间的体积元等
2 2 2 2d s c d t d r? ? 0dr ?Q dsd
c? ?
1、四维协变量
在洛伦兹变换下具有确定变换性质的物理量。即在变换下方
程不变，方程中同一类物理量按相同形式变换，这样的物理量
统称为四维协变量。
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具有四个分量，在洛伦兹变
换下与坐标变换形式相同。 V a V? ?? ?? ?
x a x? ?? ????
⑵ 四维矢量
?V
,
用固有时度量四维空间
的位移可得四维速度
? 四维速
度 dxU d ?? ??
idxii dxu dt?
三维速度 用 dt度量三维空间的位移
它不满足洛仑兹变换，也不是四维速度的前三个分量。
变换关系
U a U? ?? ?? ?,d x a d x? ?? ?? ? dd??? ?
? 四维空间位移,dx
?
d x a d x? ?? ?? ? 4()dx icdt?
四维速度与三维速度间的关系
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4
i
u
dx dtU ic ic
dd ???? ? ?
(,)uU u ic? ?? r
O
?
x
u?令某物体沿 ∑ 系正方向运动, 它的三维速度大小为 u,固有时为 dτ
,∑ 系上度量时间为 dt,
22
1
1/
u
uc
? ?
?
令
221/ u
dd t d
uc
? ????
?
221/ii
i
d x d xu u c
d t d ?? ? ?
i u iUu??
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? 四维波矢量
1 1 2 2 3 3k r t k x k x k x i ic tc
???? ? ? ? ? ? ?r r
k a k? ?? ?? ?
2
()00
0 1 0 0
0 0 1 0
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xx
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c
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()kk c??r
平面电磁波波矢量
称为四维波矢量。
(,)k k i c? ??
r
4
wki
c?
4( ),x ict?引入
k x k x? ? ? ??? ? ? ????
不 变量
圆频率 在洛伦兹变换下是可变量 。相位 ? ()
[]i i k r tee????? r r
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??? ??? wk
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2
sin sin
( ) ( c o s ) ( c o s )
yy
x
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c o sc o ss in
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1
)(
22
c
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tgtg
tgtg
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2.光行差
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r
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vr
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∑相对 ?? 以 v沿 x轴运动。
c
c
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2
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x
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与第一节叙述结果相同
??假定恒星与 ∑系固连，地球与 固连。
c???
2
2
c
?舍去 1??
3,
22
?????或
在地球观测，用 -v代 v。
（ 1）光波的经典多普勒效应
3、相对论多普勒效应,
光源靠近观察者
0
0(1/ vc
?? ? ???
? ）
光源远离观察者
0
0(1/ c
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???? ）
光源垂直观察者
0???
（ 2）光波的相对论多普勒效应
( ) ( c o s )xk c?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
设光源在 ?? 系中静止,
0????
k?
v?
k?
v?
k?
v?
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设光源的固有频率,
0? ?
运动频率
??
k?r
x
???
v?
光源靠近观
察者 0?? 22 0 0 01 / 1 / ()1 / 1 /cc??? ? ? ? ???? ? ???
???
光源远离观
察者
光源垂直于观察者运动,
2
?? ? 22 01/ c? ? ??? 0()???
横向多普勒效应。它已被实验证实，是狭义相对论
正确的有力证据之一。
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0
( 1 c o s )
c
??
???? ?
在 ∑系中静止观察者观测
22
0 0 0
1 / 1 / ()
1 / 1 /
cc??? ? ? ? ???? ? ?
??
红移
检验物理规律方程是否协变，最一般的方法是将该
方程化为四维形式，而物理量转化为四维协变量，如
果能够实现这种转化，则方程一定是协变的。
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4、怎样验证描述物理规律的方程的协变
uu ?? 无自由指标（无自由指标不一定都是标量）；
uV a V?? ?? ?
??????? TaaT l?
? 有两个自由指标。
有一个自由指标；
标量
矢量
张量
原
则
第六章第四节
相对论理论的四维形式
时空本质上是四维的,3维空间 +1维时间。
洛伦兹变换是一种线性变换,它体现了四维时空的变换关系 。
但是这种变换的特征是什么？ 物理量在坐标变换下怎样变
换？ 描写物理规律的方程在变换下是否不变？
一、关于正交变换
1、二维平面上坐标系的转动变换
?
?
?
????
???
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yxy
yxx
平面上 P点的转动变换满足
?
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%%
2、三维空间坐标转动变换
1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 2 1 3 1 1
2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 2 2 2 3 2 2
3 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 1 3 2 3 3 3 3
x a x a x a x a a a x x
x a x a x a x a a a x a x
x a x a x a x a a a x x
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正交变换条件
3
1
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22
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( 1 )i ij jx a x? ? L
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3 3 3 3 3 3 3
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3
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33
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11
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(4 )i i j j j k j kx x x x x x??? L
( 3 )i i i j j i k kx x a x a x? LL
凡有重复下标的即要取和,
i为自由指标,j为取和指标,
? ? ?
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?
3
1
3
1
3
1j j k
kjjkjj xxxx ?
又
证明变换为正交变换
1
0
ij
ij ij?
???
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比较（ 3）和（ 4）可得
( 5 )ij ik jkaa ?? LLL
写成矩阵
)6(~~ ???Iaaaa ??
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写成矩阵,
x a x? ?
?
?
??
?
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?
3
1i
jkikij aa ?
（ 5）与（ 6）
为正交条件
反变换式,
l il ix a x ?? i ji jx a x??
或
1x a x a x?????%
i l i i l i j j l j j l j j la x a a x x x x??? ? ? ? ?
两边同乘
ilai ij jx a x? ?
并对 i 取和 证明,
二、物理量按空间变换性质分类
? 标量, 空间转动变换中不变的量称为标量。
uu ?? 例如：质量，电荷，空间距离。
例如：应力张量，电四极矩张量等。
ij ik jl k lT a a T? ?
方式变换的具有 9个分量的物理量，记为 。 Tt
? 二阶张量：空间转动变换下按
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例如：速度、加速度、力、电场强度,▽ 算符等。
? 矢量：空间转动变换中按
i ij jv a v? ?
? ?3,2,1?i
方式变换的量称为矢量，记为 。 vr
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ij jT v T v??
t r 一个自由指标为矢量
i j j i k j l k l j m m i k e m k l m i k k l lT v a a T a v a T v a T v??? ? ? ?
张量与矢量点积 例二,
ii wvwv ??
?? 无自由指标为标量
i i i j j i k k j k j k j j i iv w a v a w v w v w v w??? ? ? ? ?
例一：两矢量点积
标量：没有自由指标，又称为零阶张量；
矢量：一个自由指标，又称为一阶张量；
张量：两个自由指标，又称为二阶张量。
使用自由指标判断物理量
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三、洛伦兹变换的四维形式
1、四维空间的转动变换（三维情况的推广）
转动中的不变量,
vvx x x x???? ?
(,1 4 )v? ? ? ?
44
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
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英文小 写字母,i j k l m n K，，,，, 代表 1— 3
希腊小写字母,? ? ? ? ? ? K，,,,, 代表 1— 4
变换表示式,x a x
? ? ? ?? ?
正交条件为,a a a a a a I
? ? ? ? ? ??? ? ? ?%%
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2、洛伦兹变换为复四维空间的转动变换
2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3x x x c t x x x c t? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4x x x x x x x x x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
洛伦兹变换下间隔为不变量，即,
44,x ic t x ic t????
定义,
与转动变换不变
量表示形式不同
因此它为复四维空间 ),,,(
4321 ictxxxx ?
该空间又称为闵可夫斯基空间（ 1907年）。
的“转动”变
换
1 1 1 1 4()
ic tx x t x x i x
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11
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1 1 4()x x i x??? ??
22xx? ?
4 1 4()x i x x??? ? ? ?
33xx? ?
协变性：在某种变换下数学方程形式保持不变的性质。
洛伦兹协变性：在洛伦兹变换下物理规律的数学方程保持不变
的性质。
固有时间隔 dτ 为不变量的说明,
四、四维协变量
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时间间隔 dt 在洛仑兹变换下是一个可变量,dttd ??
⑴ 洛伦兹标量：洛伦兹变换下保持不变的物理量
例如：电荷 Q，时空间隔，固有长度，固有时间隔，静止质
量 m0,四维空间的体积元等
2 2 2 2d s c d t d r? ? 0dr ?Q dsd
c? ?
1、四维协变量
在洛伦兹变换下具有确定变换性质的物理量。即在变换下方
程不变，方程中同一类物理量按相同形式变换，这样的物理量
统称为四维协变量。
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具有四个分量，在洛伦兹变
换下与坐标变换形式相同。 V a V? ?? ?? ?
x a x? ?? ????
⑵ 四维矢量
?V
,
用固有时度量四维空间
的位移可得四维速度
? 四维速
度 dxU d ?? ??
idxii dxu dt?
三维速度 用 dt度量三维空间的位移
它不满足洛仑兹变换，也不是四维速度的前三个分量。
变换关系
U a U? ?? ?? ?,d x a d x? ?? ?? ? dd??? ?
? 四维空间位移,dx
?
d x a d x? ?? ?? ? 4()dx icdt?
四维速度与三维速度间的关系
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4
i
u
dx dtU ic ic
dd ???? ? ?
(,)uU u ic? ?? r
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u?令某物体沿 ∑ 系正方向运动, 它的三维速度大小为 u,固有时为 dτ
,∑ 系上度量时间为 dt,
22
1
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? 四维波矢量
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平面电磁波波矢量
称为四维波矢量。
(,)k k i c? ??
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4
wki
c?
4( ),x ict?引入
k x k x? ? ? ??? ? ? ????
不 变量
圆频率 在洛伦兹变换下是可变量 。相位 ? ()
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??? ??? wk
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2
sin sin
( ) ( c o s ) ( c o s )
yy
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2.光行差
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∑相对 ?? 以 v沿 x轴运动。
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与第一节叙述结果相同
??假定恒星与 ∑系固连，地球与 固连。
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2
2
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3,
22
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在地球观测，用 -v代 v。
（ 1）光波的经典多普勒效应
3、相对论多普勒效应,
光源靠近观察者
0
0(1/ vc
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? ）
光源远离观察者
0
0(1/ c
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???? ）
光源垂直观察者
0???
（ 2）光波的相对论多普勒效应
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设光源在 ?? 系中静止,
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v?
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设光源的固有频率,
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运动频率
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光源靠近观
察者 0?? 22 0 0 01 / 1 / ()1 / 1 /cc??? ? ? ? ???? ? ???
???
光源远离观
察者
光源垂直于观察者运动,
2
?? ? 22 01/ c? ? ??? 0()???
横向多普勒效应。它已被实验证实，是狭义相对论
正确的有力证据之一。
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( 1 c o s )
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在 ∑系中静止观察者观测
22
0 0 0
1 / 1 / ()
1 / 1 /
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红移
检验物理规律方程是否协变，最一般的方法是将该
方程化为四维形式，而物理量转化为四维协变量，如
果能够实现这种转化，则方程一定是协变的。
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4、怎样验证描述物理规律的方程的协变
uu ?? 无自由指标（无自由指标不一定都是标量）；
uV a V?? ?? ?
??????? TaaT l?
? 有两个自由指标。
有一个自由指标；
标量
矢量
张量
原
则
