平面光波导
? 结构,y,z方向无限延伸
x方向尺寸 d接近于传输光波长量级
损耗 1dB/cm左右
? 折射率：覆盖层、芯区、衬底分别为,
n0,n1,n2,
? 对称波导, n2 = n0
? 非对称波导, n2 = n0
321 nnn ?>
n
1
n
2
n
0
d 平板波导
几何光学分析
? 光线轨迹,锯齿形折线
? 约束光线条件,
– 上界面全反射,q10>qc10=arcsin(n0/n1)
– 下界面全反射,q12>qc12=arcsin(n2/n1)
– 相位匹配：上下两次反射经历相移为 2p整数倍
光程相移
0
-d
n
0
n
1
n
2
q
x
y
?
D
=n
1
k
0
( C D -A B )
C
A
B
D附加相移,
D?=?D-?12-?10
光程相移：
?D=2n1k0dcosq
全反射相移,?12,?10
22
0
2
1
2
0
224
11
22
0
2
1
2
0
22
1 2,2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
= ??
kn
kn
n
ntg
kn
kn
tg j
j
TM
j
TE
全反射相移
? 费涅尔定律,TE/TM波振幅反射系数
? 内全反射,
rTE = exp(i?TE),rTM = exp(i?TM)
qq
qq
qq
qq
22
1
2
1
22
1
2
1
22
1
2
1
22
1
2
1
s i nc o s
s i nc o s
s i nc o s
s i nc o s
nnnn
nnnn
r
nnn
nnn
r
jj
jj
TM
j
j
TE
??
??
=
??
??
=
1,s i n 2221 ==> TMTEj rrnn q
归一化工作参数
? )
? )
? )
2
2
2
10
2/1
2
0
2
0
2
0
2/1
2
0
2
2
2
2
2/1
22
0
2
1
nndkV
kndW
kndW
kndU
?=
?=
?=
?=
?
?
?
芯区,
衬底,
覆盖层,
归一化频率,
本征值方程
20
4
1
22
2
2
0
0
2
22
2
0
2
1
0
2
0
112
2
2
11
20
2
02
0121
)(
:
)(
:
WWnUnn
WnWnUn
t g U
m
U
W
n
n
tg
U
W
n
n
tgUTM
WWU
WWU
t g U
m
U
W
tg
U
W
tgUTE
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?
?
??
?
?
?
?
?
=
??
??
p
p
D?=?D-?12-?10=2mp
本征值与模式分析 (I)
? 基模,m=0,2n1k0dcosq=?12?q)??10?q)
? 本征值：曲线交点对应的 q ；
? 波导截止条件,
? 截止尺寸、截止波长,dcTE; dcTM ； lc
? 单模条件,
?
?
?=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?=? ?
TMnn
TEA
nn
nnAtgnndk
2
01
2
2
2
1
2
0
2
212
2
2
10 )/(
1,
? ? VdnnnnAtgd s /)/()( 222120221 ???= ?p
p
2p
p ?2
?
?
12
??
10
2?
12
n
1
k
0
dc o s q
2n
1
k
0
d
0
q
c 1 0
q
c 1 2
q '
10
q
10
?
10
?
12
q
模式分析 (II)
? 单模波导,dc< d <ds
? 对称波导,n2=n0,dc=0,即基模不截止
? 非对称波导：基模也截止；
TM模式先截止；
TE 单横模波导,
? ? VdnnnnAtgd s /)/()( 222120221 ???= ?p
模式分析 (III)
? 关系式,W2 = -UctgU
U2 +W22 = V2
? 导模截止,W2 = 0,?=n2k0;
U=V
? 传播常数,n1k0>?>n2k0
ctgV=0
? 归一化截止频率,Vm=(2m+1)p?2
V
p ?2 3p ?2 5p ?2
p
2p
W
2
U?p ?20
U2 +W22 = V2
平面光波导中的场分布
? 波导场方程,
? 场分量,TE模式, Ey,Hx,Hz,(2-2-1)-(2-2-3)
TM模式, Hy,Ex,Ez,(2-2-4)-(2-2-6)
222
0
2
2
2
2
0
??
?
?=
=?
?
?
jj
yj
y
nk
E
x
E
场分布特点
? 禁区,?>n1k0
? 导模,n1k0> ?> n2k0
?21>0,传播场 ; ?22,?20<0，消逝场
? 衬底辐射模, n1k0> ?> n3k0
?23<0,消逝 场 ; ?22,?20>0,传播 场
? 辐射模,n3k0> ?> 0
?21,?22,?20 > 0,传播 场
导模 (TE)本征解
? 覆盖层,x>0
Ey=Aexp(-W0x/d)
? 芯区,-d<x<0
Ey=Acos(Ux/d)+Bsin(Ux/d)
? 衬底,x<-d
Ey= (AcosU-BsinU)exp[(W2(x+d)/d]
? 纵向,Hz=(j/wm0)?dEy/dx)
本征值方程
? 边界条件,TE模式, Ey,Hz在上下界面连续；
TM模式, Hy,Ez在上下界面连续。
? 本征值方程,
20
4
1
22
2
2
0
0
2
22
2
0
2
1
20
2
02
)(
)(
WWnUnn
WnWnUn
tg UTM
WWU
WWU
tg UTE
?
?
=
?
?
=
弱导近似导模场分布
?
?
?
?
?
???
???
?
=
?
dxUeB
dxdUxB
x
E
dxW
y
)/1(2
s i n
0)/s i n (
00
弱导条件,n1~n2,W0>>U,场分布为,
条形光波导
I III I I
IV
V
近似分析法
? Marcatili近似,
– 弱导近似,?~n1k0
– 区域简化：角区场分布近似为零
– 模式分解,Exmn,Eymn
? EDC(Effective Dielectric Constant)近似,
– 首先考虑一维尺寸趋于无穷
– 利用平面波导结果，求取本征值 ?e
– 定义等效折射率 Ne= ?e/k0
– 再考虑另一维尺寸趋于无穷
– 再利用平面波导结果，求取本征值 ?
Marcatili近似
? 由波导场方程求取 Ez
? 由纵横关系式求取横向场分量
? 由边界条件获得本征值方程
? 由本征值方程求取本征值
各区域本征值
0
0
0
0
0
22
0
2
5
2
5
22
5
22
0
2
4
2
4
22
4
22
0
2
3
2
3
22
3
22
0
2
2
2
2
22
2
22
0
2
1
222
1
<?=?=
<?=?=
<?=?=
<?=?=
>?=?=
???
???
???
???
??
knk
knk
knk
knk
knkk
x
x
y
y
yx
本征值方程
? Exmn模式
? Eymn模式
54
2
54
32
4
1
22
3
2
2
2
23
2
32
2
1
)(
)2(
)(
)2(
??
??
??
??
?
?
=
?
?
=
y
y
y
y
x
x
k
k
dktg
nknn
nnkn
aktg
32
2
32
54
4
1
22
5
2
4
2
45
2
54
2
1
)(
)2(
)(
)2(
??
??
??
??
?
?
=
?
?
=
x
x
x
y
y
y
k
k
aktg
nknn
nnkn
dktg
模式场分布
? Exmn模,Ex(x,y)=E1sin(xmp?2a) sin(ynp?2d)
? Ex11模,Ex(x,y)=E1sin(xp?2a) sin(yp?2d)
? Ex21模,Ex(x,y)=E1sin(xp?a) sin(yp?2d)
? Ex12模,Ex(x,y)=E1sin(xp?2a) sin(yp?d)
? Ex22模,Ex(x,y)=E1sin(xp?a) sin(yp?d)
(0<x<2a; 0<y<2d)
– m代表 x方向亮斑数目； n代表 y方向亮斑数目
E
x
11
E
x
21
x
y
E
x
12
2a
2d
EDC近似法
? 当,x方向本征值,k2x=(n21-N2e)k20
本征值方程,2kxa=mp+tg-1(A?2/kx)+tg-1(B?3/kx)
? 当,x方向本征值,k2y=(N2e-N’2e)k20
本征值方程,2kyd=np+tg-1(C?4/ky)+tg-1(D?5/ky)
??d
??a
?
?
?
=
?
?
?
= x
mn
y
mn
x
mn
y
mn
Enn
EB
Enn
EA
2
3
2
1
2
2
2
1 /
1;
/
1
?
?
?
=
?
?
?
= y
mne
x
mn
y
mne
x
mn
EnN
ED
EnN
EC
2
5
22
4
2 /
1;
/
1
x
0
2a
0 2d y
模式场分布
? 本征值,? = k0N’e
? 本征解,
Eymn(x,y) = Eym(x)Eyn(y)
Exmn(x,y) = Exm(x)Exn(y)
? 模式正交性
? 模式激励
? 模式耦合
耦合波理论
? 数学表达式,
? 物理意义,
– 光波导中所有模式（导模、漏摸、辐射摸）
相互正交，模式独立载运光能量，光波场总
功率等于各个模式携带功率的迭加 ;
– 光波导实际场分布可以表示为各个模式本征
函数的迭加。
模式正交归一性
? ?
??
?? ?
?
?
=
?=
mn
mn
mn 1
0* d x d yEE
tt
? 数学表达式,
光波场的迭加
d x d yHEHEb
d x d yHEHEa
yxHbayxH
yxEbayxE
v
????=
????=
?
?
?
?
?
?=
?=
? ?
? ?
?
?
??
??
??
??
)(
)(
),()(),(
),()(),(
**
**
?rrr
?rrr
rr
rr
nnn
nnn
n
nnn
n
nn
? 对于 n=m的模式,若感应极化矢量 P=D?E,
导波模式的激励
d x d yeEPjdzdB
d x d yeEPjdzdA
ezBb
ezAa
zj
zj
zj
zj
???=
???=
=
=
?
?
??
??
??
??
?
?
? ?
? ?
)(/
)(/
)(
)(
*
*
m
m
m
m
?
mm
?
mm
?
mm
?
mm
w
w
rr
rr
耦合波方程组
? 耦合系数与失谐度,K=Ktnm? Kznm,2?=?n??m
? 令,Am=Rexp(-j?z); An= Sexp(j?z)
? 耦合波方程组,
dR/dz- j?R = -jKS;
dS/dz+ j?S = -jKR
? 耦合波方程组的解,
)s in (
)s in ()c o s (
22
22
22
22
22
zK
K
jK
S
zK
K
j
zKR
?
?
?
?
?
?
?
?
?=
?
?
??=
? 横向耦合系数,
? 纵向耦合系数,
耦合系数
? ?
? ?
??
??
??
??
?
D?
D
=
?D=
*
*
mnnm
mnnm
??
??
w
?w
zz
z
tt
t
EEd x d yK
EEd x d yK
rr
rr
两个模式之间的功率耦合
当 ?=0时,R2(z)=cos2(Kz)
S2(z)=sin2(Kz)
? 耦合长度,L0=p?2K
? 耦合系数,
2
0
2
2
2222
0
2
1
2
1
)2(
22
1
22
1
2112;
))(1(
4
knknk
e
kD
k
KK
x
DR
x
x
?=?=
??
== ??
???
???
? ?
2D
2D
R n2
n1
n2
n1
n2
导波光束的调制
? 强度调制：用电信号改变载波光的强度
– 调制深度,h = (I0-I)/I0
– 消光比,hm = (I0-Im)/I0
? 相位调制, 用电信号改变载波光的位相
– 电光调制,
– 磁光调制,
– 声光调制,
定向耦合调制器
? 耦合波方程组,
dR/dz- j?R = -jKS; dS/dz+ j?S = -jKR
? 耦合效率,
? 耦合条件,
– 交叉,? = 0; L/L0=(2n?1)
– 直通,(L/L0)2+(D?L?p)2=?2n)
L0 = p ? 2K,n=0,1,2,3..,
)(s in 22222
2
LKK K ??h ??=
L/ L
0
D? L/ p
2 4 6
2
4
6
0
R
S
R
0
S
0
L
D?
交变 D?耦合调制器
? 耦合效率,
? 耦合条件,
– 交叉,(L/L0)2+(D?L?p)2=?4n)2, n=0,1,2,3..,
– 直通,
)
2
(s in)
2
(s in14 22222
2
222
22
2
?
?
?
?
h ?
???
?
??
? ?
?
?= KL
K
KKL
K
K
2
1)
2(s in
222
22
2
=?? ?? KLK K
L /L
0
D? L/ p
4 8 12
4
8
12
0
?D? ? D?
L /2 L /2
? 结构,y,z方向无限延伸
x方向尺寸 d接近于传输光波长量级
损耗 1dB/cm左右
? 折射率：覆盖层、芯区、衬底分别为,
n0,n1,n2,
? 对称波导, n2 = n0
? 非对称波导, n2 = n0
321 nnn ?>
n
1
n
2
n
0
d 平板波导
几何光学分析
? 光线轨迹,锯齿形折线
? 约束光线条件,
– 上界面全反射,q10>qc10=arcsin(n0/n1)
– 下界面全反射,q12>qc12=arcsin(n2/n1)
– 相位匹配：上下两次反射经历相移为 2p整数倍
光程相移
0
-d
n
0
n
1
n
2
q
x
y
?
D
=n
1
k
0
( C D -A B )
C
A
B
D附加相移,
D?=?D-?12-?10
光程相移：
?D=2n1k0dcosq
全反射相移,?12,?10
22
0
2
1
2
0
224
11
22
0
2
1
2
0
22
1 2,2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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kn
kn
n
ntg
kn
kn
tg j
j
TM
j
TE
全反射相移
? 费涅尔定律,TE/TM波振幅反射系数
? 内全反射,
rTE = exp(i?TE),rTM = exp(i?TM)
22
1
2
1
22
1
2
1
22
1
2
1
22
1
2
1
s i nc o s
s i nc o s
s i nc o s
s i nc o s
nnnn
nnnn
r
nnn
nnn
r
jj
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TM
j
j
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??
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??
??
=
1,s i n 2221 ==> TMTEj rrnn q
归一化工作参数
? )
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? )
2
2
2
10
2/1
2
0
2
0
2
0
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2
2
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nndkV
kndW
kndW
kndU
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?=
?=
?=
?
?
?
芯区,
衬底,
覆盖层,
归一化频率,
本征值方程
20
4
1
22
2
2
0
0
2
22
2
0
2
1
0
2
0
112
2
2
11
20
2
02
0121
)(
:
)(
:
WWnUnn
WnWnUn
t g U
m
U
W
n
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U
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WWU
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p
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D?=?D-?12-?10=2mp
本征值与模式分析 (I)
? 基模,m=0,2n1k0dcosq=?12?q)??10?q)
? 本征值：曲线交点对应的 q ；
? 波导截止条件,
? 截止尺寸、截止波长,dcTE; dcTM ； lc
? 单模条件,
?
?
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?
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10 )/(
1,
? ? VdnnnnAtgd s /)/()( 222120221 ???= ?p
p
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c 1 0
q
c 1 2
q '
10
q
10
?
10
?
12
q
模式分析 (II)
? 单模波导,dc< d <ds
? 对称波导,n2=n0,dc=0,即基模不截止
? 非对称波导：基模也截止；
TM模式先截止；
TE 单横模波导,
? ? VdnnnnAtgd s /)/()( 222120221 ???= ?p
模式分析 (III)
? 关系式,W2 = -UctgU
U2 +W22 = V2
? 导模截止,W2 = 0,?=n2k0;
U=V
? 传播常数,n1k0>?>n2k0
ctgV=0
? 归一化截止频率,Vm=(2m+1)p?2
V
p ?2 3p ?2 5p ?2
p
2p
W
2
U?p ?20
U2 +W22 = V2
平面光波导中的场分布
? 波导场方程,
? 场分量,TE模式, Ey,Hx,Hz,(2-2-1)-(2-2-3)
TM模式, Hy,Ex,Ez,(2-2-4)-(2-2-6)
222
0
2
2
2
2
0
??
?
?=
=?
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?
jj
yj
y
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E
x
E
场分布特点
? 禁区,?>n1k0
? 导模,n1k0> ?> n2k0
?21>0,传播场 ; ?22,?20<0，消逝场
? 衬底辐射模, n1k0> ?> n3k0
?23<0,消逝 场 ; ?22,?20>0,传播 场
? 辐射模,n3k0> ?> 0
?21,?22,?20 > 0,传播 场
导模 (TE)本征解
? 覆盖层,x>0
Ey=Aexp(-W0x/d)
? 芯区,-d<x<0
Ey=Acos(Ux/d)+Bsin(Ux/d)
? 衬底,x<-d
Ey= (AcosU-BsinU)exp[(W2(x+d)/d]
? 纵向,Hz=(j/wm0)?dEy/dx)
本征值方程
? 边界条件,TE模式, Ey,Hz在上下界面连续；
TM模式, Hy,Ez在上下界面连续。
? 本征值方程,
20
4
1
22
2
2
0
0
2
22
2
0
2
1
20
2
02
)(
)(
WWnUnn
WnWnUn
tg UTM
WWU
WWU
tg UTE
?
?
=
?
?
=
弱导近似导模场分布
?
?
?
?
?
???
???
?
=
?
dxUeB
dxdUxB
x
E
dxW
y
)/1(2
s i n
0)/s i n (
00
弱导条件,n1~n2,W0>>U,场分布为,
条形光波导
I III I I
IV
V
近似分析法
? Marcatili近似,
– 弱导近似,?~n1k0
– 区域简化：角区场分布近似为零
– 模式分解,Exmn,Eymn
? EDC(Effective Dielectric Constant)近似,
– 首先考虑一维尺寸趋于无穷
– 利用平面波导结果，求取本征值 ?e
– 定义等效折射率 Ne= ?e/k0
– 再考虑另一维尺寸趋于无穷
– 再利用平面波导结果，求取本征值 ?
Marcatili近似
? 由波导场方程求取 Ez
? 由纵横关系式求取横向场分量
? 由边界条件获得本征值方程
? 由本征值方程求取本征值
各区域本征值
0
0
0
0
0
22
0
2
5
2
5
22
5
22
0
2
4
2
4
22
4
22
0
2
3
2
3
22
3
22
0
2
2
2
2
22
2
22
0
2
1
222
1
<?=?=
<?=?=
<?=?=
<?=?=
>?=?=
???
???
???
???
??
knk
knk
knk
knk
knkk
x
x
y
y
yx
本征值方程
? Exmn模式
? Eymn模式
54
2
54
32
4
1
22
3
2
2
2
23
2
32
2
1
)(
)2(
)(
)2(
??
??
??
??
?
?
=
?
?
=
y
y
y
y
x
x
k
k
dktg
nknn
nnkn
aktg
32
2
32
54
4
1
22
5
2
4
2
45
2
54
2
1
)(
)2(
)(
)2(
??
??
??
??
?
?
=
?
?
=
x
x
x
y
y
y
k
k
aktg
nknn
nnkn
dktg
模式场分布
? Exmn模,Ex(x,y)=E1sin(xmp?2a) sin(ynp?2d)
? Ex11模,Ex(x,y)=E1sin(xp?2a) sin(yp?2d)
? Ex21模,Ex(x,y)=E1sin(xp?a) sin(yp?2d)
? Ex12模,Ex(x,y)=E1sin(xp?2a) sin(yp?d)
? Ex22模,Ex(x,y)=E1sin(xp?a) sin(yp?d)
(0<x<2a; 0<y<2d)
– m代表 x方向亮斑数目； n代表 y方向亮斑数目
E
x
11
E
x
21
x
y
E
x
12
2a
2d
EDC近似法
? 当,x方向本征值,k2x=(n21-N2e)k20
本征值方程,2kxa=mp+tg-1(A?2/kx)+tg-1(B?3/kx)
? 当,x方向本征值,k2y=(N2e-N’2e)k20
本征值方程,2kyd=np+tg-1(C?4/ky)+tg-1(D?5/ky)
??d
??a
?
?
?
=
?
?
?
= x
mn
y
mn
x
mn
y
mn
Enn
EB
Enn
EA
2
3
2
1
2
2
2
1 /
1;
/
1
?
?
?
=
?
?
?
= y
mne
x
mn
y
mne
x
mn
EnN
ED
EnN
EC
2
5
22
4
2 /
1;
/
1
x
0
2a
0 2d y
模式场分布
? 本征值,? = k0N’e
? 本征解,
Eymn(x,y) = Eym(x)Eyn(y)
Exmn(x,y) = Exm(x)Exn(y)
? 模式正交性
? 模式激励
? 模式耦合
耦合波理论
? 数学表达式,
? 物理意义,
– 光波导中所有模式（导模、漏摸、辐射摸）
相互正交，模式独立载运光能量，光波场总
功率等于各个模式携带功率的迭加 ;
– 光波导实际场分布可以表示为各个模式本征
函数的迭加。
模式正交归一性
? ?
??
?? ?
?
?
=
?=
mn
mn
mn 1
0* d x d yEE
tt
? 数学表达式,
光波场的迭加
d x d yHEHEb
d x d yHEHEa
yxHbayxH
yxEbayxE
v
????=
????=
?
?
?
?
?
?=
?=
? ?
? ?
?
?
??
??
??
??
)(
)(
),()(),(
),()(),(
**
**
?rrr
?rrr
rr
rr
nnn
nnn
n
nnn
n
nn
? 对于 n=m的模式,若感应极化矢量 P=D?E,
导波模式的激励
d x d yeEPjdzdB
d x d yeEPjdzdA
ezBb
ezAa
zj
zj
zj
zj
???=
???=
=
=
?
?
??
??
??
??
?
?
? ?
? ?
)(/
)(/
)(
)(
*
*
m
m
m
m
?
mm
?
mm
?
mm
?
mm
w
w
rr
rr
耦合波方程组
? 耦合系数与失谐度,K=Ktnm? Kznm,2?=?n??m
? 令,Am=Rexp(-j?z); An= Sexp(j?z)
? 耦合波方程组,
dR/dz- j?R = -jKS;
dS/dz+ j?S = -jKR
? 耦合波方程组的解,
)s in (
)s in ()c o s (
22
22
22
22
22
zK
K
jK
S
zK
K
j
zKR
?
?
?
?
?
?
?
?
?=
?
?
??=
? 横向耦合系数,
? 纵向耦合系数,
耦合系数
? ?
? ?
??
??
??
??
?
D?
D
=
?D=
*
*
mnnm
mnnm
??
??
w
?w
zz
z
tt
t
EEd x d yK
EEd x d yK
rr
rr
两个模式之间的功率耦合
当 ?=0时,R2(z)=cos2(Kz)
S2(z)=sin2(Kz)
? 耦合长度,L0=p?2K
? 耦合系数,
2
0
2
2
2222
0
2
1
2
1
)2(
22
1
22
1
2112;
))(1(
4
knknk
e
kD
k
KK
x
DR
x
x
?=?=
??
== ??
???
???
? ?
2D
2D
R n2
n1
n2
n1
n2
导波光束的调制
? 强度调制：用电信号改变载波光的强度
– 调制深度,h = (I0-I)/I0
– 消光比,hm = (I0-Im)/I0
? 相位调制, 用电信号改变载波光的位相
– 电光调制,
– 磁光调制,
– 声光调制,
定向耦合调制器
? 耦合波方程组,
dR/dz- j?R = -jKS; dS/dz+ j?S = -jKR
? 耦合效率,
? 耦合条件,
– 交叉,? = 0; L/L0=(2n?1)
– 直通,(L/L0)2+(D?L?p)2=?2n)
L0 = p ? 2K,n=0,1,2,3..,
)(s in 22222
2
LKK K ??h ??=
L/ L
0
D? L/ p
2 4 6
2
4
6
0
R
S
R
0
S
0
L
D?
交变 D?耦合调制器
? 耦合效率,
? 耦合条件,
– 交叉,(L/L0)2+(D?L?p)2=?4n)2, n=0,1,2,3..,
– 直通,
)
2
(s in)
2
(s in14 22222
2
222
22
2
?
?
?
?
h ?
???
?
??
? ?
?
?= KL
K
KKL
K
K
2
1)
2(s in
222
22
2
=?? ?? KLK K
L /L
0
D? L/ p
4 8 12
4
8
12
0
?D? ? D?
L /2 L /2
