河北师范大学重点建设课程
第六章第六节
相对论力学
§ 6 相对论力学
经典力学在伽利略变换下形式不变 （ 具有伽利略
协变性 ）, 一般仅适用于 v<<c的情况 。 当ｖ趋近光
速时, 必须用相对论时空理论来处理问题 。 经典力
学的方程一般不满足洛伦兹变换, 必须在相对论时
空理论下加以修正 。
本节任务主要讨论相对论条件下的力学方程 。
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一、能量 — 动量四维矢量（简称为 4维动量）
1,经典力学中的牛顿第二定律,
2、用四维速度定义四维动量
dpF
dt
?? ?
?
rrdp
F
dt
?
rr
p mv?rr
伽利略变换
已知四维速度矢量
d x d x
U
d d t
??
? ????
不是 洛
伦兹 协变量 pF
rr，
? ?13ii dxvidt? ? ?
221
dd t d
vc
? ????
?
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假定物体相对参考系静止时的质量为 m0,它是一个
洛伦兹标量 （ 不变量 ） 。
? ?0 13iip m v i?? ? ?
2
0
40 22
1
mcip ic m
c vc
???
?
?? Ump 0?
定义四维动量,
四维 动量 前三分量与
经典动量形式上一致
3、引入运动质量
0
221
mm
vc
?
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iip m v?
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p m v?rr
2
220
4 0 022
1
[,.,.,,]
21
mcii
p m c m v
cc vc
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相对论的
质速关系
设 2
0
221
mcW
vc
?
?
物体的能量
2W m c?
4
ipW
c?
(,)ip p Wc? ? r
四维动量又称为能量 — 动量
四维矢量（相对论协变量）
4、静止能量与动能
当 0?v 时，物体相对静止，定义此时动能 0T ?
0?v 时，物体具有的能量为 TWW ??
0
? ?
2
220
0 0 022
1
mcT W W m c m m c
vc
? ? ? ? ? ?
?
2
0
1
2v c T m v?? ?，称为质能关系
200W m c?
200W W m c?? 称为静止能量 （经典力学中不存在）
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5、能量、动量和质量间的关系式
2
2 2 2
2()
iWp p p W p
c c?? ? ? ? ?
rr
2
2 2 2
02
Wp m c
c? ? ?
r 2 2 2 4
0W p c m c??
对于光子：由于光速相对任何系均为 C，假定无静止质量，即
00 ?m W pc?
从量子论知光子能量、动量为 W p k??? rrhh，
Wp
c
?
()p c?? h
20:0p W m c? ? ?? ? ?，设
四维动量的点乘
是洛伦兹标量
2
2 2 2
02
Wp p p m c p p
c? ? ? ?
?? ? ?? ? ? ? ?r
二、关于质能关系的讨论
200()W m c?2W m c?
⑴ 它反映了作为 惯性量度 的质量与作为 运动强度量度 的能量
间的关系 。
1、质能关系的意义
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⑶ 在物质反映 （ 如核反应 ） 或转变过程中, 物质存在与运动
形式均发生变化, 但不能讲物质转化为能量, 物质并没有消
失, 而是从一种形式转化为另一种形式 。 在转化过程中可以
释放大量能量 。
⑵ 他揭示静止物体（如粒子）内部仍然存在运动。一定质量
的粒子具有一定的内部运动能量，对于由 个微粒 ? ?1??NN
构成的系统，它的静止能 2
00W M c?
（ 注：复合系统质量
0M
一般不等于 各个 静止粒子质量之和）
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例如：正负电子对 → 光子, 电子静止质量转化为光子场的运
动质量, 正负电子对内部能 （ 或静止能 ） 转化为光子场能 。
2、结合能与质量亏损
定义 结合能
2
00i
i
W m c W? ? ??
00i
i
M m M? ? ??
定义质
量亏损
两者关系,? ? 22
00W M M c W M c? ? ? ? ? ? ?
假定由 N个例子构成系统，作为整体质心，静止时能量为
200,W M c? 第 i个粒子静止时的能量为 20imc，
2
0i
i
mc?
静质量之和为
N个静止粒子
一般
2200 i
i
M c m c? ?内部还有相对运动能
和相互作用能
0
002 i
i
WMm
c?? ?,
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在原子核和基本粒子等物理实验中被证实,
他是原子能利用的主要理论依据 。 在相对论力学中质量一般
不是守恒量, 而能量和动量守恒仍是最基本的定律 。 详细讨
论在高能物理或原子核物理等课程中将有详细介绍 。
2MCW ???
三,相对论力学方程
1,四维力矢量 定义 dp
k d ?? ??
0??W 自动结合（体系稳定），称为结合能（吸能反应）
0??W 自动分裂（体系不稳定），衰变才能发生
例如当一个质子与一个中子结合成一个氘核时，质量亏损为
30M 3, 9 6 5 7 1 0 kg?? ? ?
相应的结合能为 2 1 3W M 3, 5 6 4 2 1 0cJ ?? ? ? ? ?
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4
i v d p ik v k
c d c?
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dpk
d??
rr前三个分量
2 2 2 40W p c m c??Q
4
4
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而
2
2 2 2 4
0
1 2
2
d W p c d p
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（, ）
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2．相对论中的三维力矢量
2
2
1 1dp d p vFK
cdt r d ?? ? ? ?
rrrr 与经典形式上一致
与经典意义不同，该
定义适用任何惯性系 vmp ?? ?
2
2
1 cv
m
m
?
? ?
但这里
（ 1）若定义加速度 dva
dt?
rr
在不同的惯性系大小方向均
不同,不满足洛伦兹变换
()d mv dmF ma v ma
dt dt? ? ? ?
rr r r r
(2) F? 不是四维力的前三个分量
讨 论
0,v c m m? ? ?
KF?rr
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四维力矢量定义功率方程 dW
Kv d???r r
dWFv
dt??
r r
同样可证明，经典力学的方程
与相对论伦理学方程均在形式
上一致。但其中力、能量、动
量、质量、时间等概念均与经
典不同。即使在 v<<c时,
2 2 211
22W m c m v m v? ? ?? ? ?
能量含义与经典有很大区别（经典能量有一可加常数，相
对论中 2W m c? 是物体的总能量）。
3、功率方程
1,K F d d t??
???
rr
四、洛伦兹力公式
在前几章中讨论洛伦兹力公式仅认为是一经验公式，与实验
相符，在相对论里可用相对论力学及电磁场四维矢量导出。
举例,
解：初始动能为零，总能
20W m c e V??初
末态势能为零，总能
2W m c?末
根据能量守恒,2
22 0
0 21
mce V m c m c
?
? ? ?
?
2
22
2 00
2
0
1
1 ( 1 ) 1
1/( 1 )
c e V
vc
eV e V m c m c
mc
? ? ? ? ?
??
1,静质量为,电荷为 e的粒子通过电势差为 V的电场后，
将获得多大速度？（设粒子初速度为零，并讨论 0m
两种情况）
20eV m c??
20eV m c??
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2
222
000
2 ( ) ( 1 )e V e V eVc
mcm c m c? ? ?
V 0?V
20,ev m c??当
当 2
0,ev m c??
从这里可以看出 v<c总成立, 当,e V v c? ? ?
结论,不可能通过加速 使 物体运动速度大于光速。
2
0
222
0000 2
0
1
222
11
2 1
eV
mceVeV e V e V
c
eVm c m cm c m
mc
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进一步近似
0
2 eVv
m?
经典力学结果
2222
00 111
2
m c m cv c c
e V e V
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??? ? ? ?? ? ? ?
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2
0 0
2 3 1 11 1 1,1
4 2 1
e V e Vv x x y
mymc
??? ? ? ? ? ? ?
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p?2、已知质量为 m，动量为 的粒子衰变为两个粒子。
2m
，动量为
2,pr p? 与 2p? 的夹角 ?
为已知，求另一粒子质量
1m
一个粒子质量为
其中
12W W W??
2 2 2
221 2 2
1 2 22 2 2 22
W W W W Wp p p p p
c c c c
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解
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2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4
1 2 2 2 22
12 c o sm c m c m c p p p c m c p c m c
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? ?2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 2 22
2 c o sm m m p p p m c p m c
c ?? ? ? ? ? ?
? ?1 2 1 2 1 2 0m m m m m m m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ?注意：,,
作业,8,9,10
第六章第六节
相对论力学
§ 6 相对论力学
经典力学在伽利略变换下形式不变 （ 具有伽利略
协变性 ）, 一般仅适用于 v<<c的情况 。 当ｖ趋近光
速时, 必须用相对论时空理论来处理问题 。 经典力
学的方程一般不满足洛伦兹变换, 必须在相对论时
空理论下加以修正 。
本节任务主要讨论相对论条件下的力学方程 。
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一、能量 — 动量四维矢量（简称为 4维动量）
1,经典力学中的牛顿第二定律,
2、用四维速度定义四维动量
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伽利略变换
已知四维速度矢量
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假定物体相对参考系静止时的质量为 m0,它是一个
洛伦兹标量 （ 不变量 ） 。
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2
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1
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定义四维动量,
四维 动量 前三分量与
经典动量形式上一致
3、引入运动质量
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四维动量又称为能量 — 动量
四维矢量（相对论协变量）
4、静止能量与动能
当 0?v 时，物体相对静止，定义此时动能 0T ?
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2v c T m v?? ?，称为质能关系
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200W W m c?? 称为静止能量 （经典力学中不存在）
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5、能量、动量和质量间的关系式
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对于光子：由于光速相对任何系均为 C，假定无静止质量，即
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从量子论知光子能量、动量为 W p k??? rrhh，
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二、关于质能关系的讨论
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⑴ 它反映了作为 惯性量度 的质量与作为 运动强度量度 的能量
间的关系 。
1、质能关系的意义
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⑶ 在物质反映 （ 如核反应 ） 或转变过程中, 物质存在与运动
形式均发生变化, 但不能讲物质转化为能量, 物质并没有消
失, 而是从一种形式转化为另一种形式 。 在转化过程中可以
释放大量能量 。
⑵ 他揭示静止物体（如粒子）内部仍然存在运动。一定质量
的粒子具有一定的内部运动能量，对于由 个微粒 ? ?1??NN
构成的系统，它的静止能 2
00W M c?
（ 注：复合系统质量
0M
一般不等于 各个 静止粒子质量之和）
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例如：正负电子对 → 光子, 电子静止质量转化为光子场的运
动质量, 正负电子对内部能 （ 或静止能 ） 转化为光子场能 。
2、结合能与质量亏损
定义 结合能
2
00i
i
W m c W? ? ??
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i
M m M? ? ??
定义质
量亏损
两者关系,? ? 22
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假定由 N个例子构成系统，作为整体质心，静止时能量为
200,W M c? 第 i个粒子静止时的能量为 20imc，
2
0i
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静质量之和为
N个静止粒子
一般
2200 i
i
M c m c? ?内部还有相对运动能
和相互作用能
0
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在原子核和基本粒子等物理实验中被证实,
他是原子能利用的主要理论依据 。 在相对论力学中质量一般
不是守恒量, 而能量和动量守恒仍是最基本的定律 。 详细讨
论在高能物理或原子核物理等课程中将有详细介绍 。
2MCW ???
三,相对论力学方程
1,四维力矢量 定义 dp
k d ?? ??
0??W 自动结合（体系稳定），称为结合能（吸能反应）
0??W 自动分裂（体系不稳定），衰变才能发生
例如当一个质子与一个中子结合成一个氘核时，质量亏损为
30M 3, 9 6 5 7 1 0 kg?? ? ?
相应的结合能为 2 1 3W M 3, 5 6 4 2 1 0cJ ?? ? ? ? ?
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2．相对论中的三维力矢量
2
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与经典意义不同，该
定义适用任何惯性系 vmp ?? ?
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四维力矢量定义功率方程 dW
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同样可证明，经典力学的方程
与相对论伦理学方程均在形式
上一致。但其中力、能量、动
量、质量、时间等概念均与经
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22W m c m v m v? ? ?? ? ?
能量含义与经典有很大区别（经典能量有一可加常数，相
对论中 2W m c? 是物体的总能量）。
3、功率方程
1,K F d d t??
???
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四、洛伦兹力公式
在前几章中讨论洛伦兹力公式仅认为是一经验公式，与实验
相符，在相对论里可用相对论力学及电磁场四维矢量导出。
举例,
解：初始动能为零，总能
20W m c e V??初
末态势能为零，总能
2W m c?末
根据能量守恒,2
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1,静质量为,电荷为 e的粒子通过电势差为 V的电场后，
将获得多大速度？（设粒子初速度为零，并讨论 0m
两种情况）
20eV m c??
20eV m c??
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2
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2 ( ) ( 1 )e V e V eVc
mcm c m c? ? ?
V 0?V
20,ev m c??当
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从这里可以看出 v<c总成立, 当,e V v c? ? ?
结论,不可能通过加速 使 物体运动速度大于光速。
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0
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进一步近似
0
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经典力学结果
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2
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为已知，求另一粒子质量
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一个粒子质量为
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