河北师范大学重点建设课程
第六章第三节
相对论时空理论
ct
x
yo
§ 3 相对论时空理论
一 相对论时空结构
设第一个事件时空坐标 (0,0,0,0),第二个事件任意
(x,y,z,t)则,为空间间隔,
两事件用光信号联系
两事件可用低于光速的信号联系
两事件不能用光信号联系
这种划分是绝对的,与参照系无关 。
再论间隔
? ?22222222 zyxrrtCS ????? r
02 ?? Sctr,
02 ?? Sctr,
02 ?? Sctr,
1、光锥 --- 间隔分类的几何意义
类空间隔
类时间隔
00 ???? tt 称为绝对将来
00 ???? tt 称为绝对过去
0?t 00t o r t????
0?t 因果关系?
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? ? ? ?
22
12
2
12
12
1 cv
xxcvtttt
?
???????
二 因果律和相互作用的最大传播速度
有因果关系的事件之间可用光和小于光速的信号联系,
发生于光锥之内 。 事件先后顺序在各个参考系都不会改变 。
这是因果律成立的必要条件 。
1、相对论时空理论不破坏因果律
2、相互作用的最大传播速度
21,tt? 12 tt ??? ? ?12212 xxc
vtt ???
v
c
tt
xx 2
12
12 ?
?
?
1P 2P
? ? ?11,tx ? ?22,tx
'? ? ?11,tx ?? ? ?22,tx ??
12
12:
tt
xxu
?
??令 2cuv ? cv? cu ?
信号传播是一个物理过程，传输时必然伴随能量。因此只要能
量传输的速度不超过 C，则因果关系就不会倒臵。
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三 同时的相对性
2121 xxtt ??,
1、同时同地事件
结论,同时同地两事件，在任何惯性系中仍是同时同地事件
2、同地不时同事件
2121 ttxx ??, 设 )0(12 ??? ttt )0(12 ?????? ttt
结论,同地不同时两事件,在其他惯性系中一般为不同地不
同时事件，但时间顺序不会颠倒，即因果律不变。
3、同时不同地事件
2121,xxtt ??
若 12 xx ? )0(12 ?????? ttt
若 12 xx ? )0(12 ?????? ttt
结论,同时不同地两事件，在其他惯性系中一般为不同时、不
同地事件 。
2121 xxtt ??????,
2
2
1
c'
??
????? xvtt
同时的相对性：不同的惯性系时间不再统一，否定了绝对时空
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结论：有因果关系的事情在任何
惯性系都不会改变 。
例：在 Σ 系中观测石家庄和北京在同一时刻出生了两个小孩,
在 Σ ?系 （ 如坐飞船, v 接近光速 ） 观测结果如何？ 又,一个
生孩子的过程在不同惯性系的观测结果如何？
飞船从石家庄 → 北京 北京的小孩先出生。 12 tt ????
飞船从北京 → 石家庄 12 tt ???? 北京的小孩后出生。
⑵ 讨论生孩子的过程
21 xx ?出生开始为 P1，结束为 P2,
出生过程在任何惯性系都不会颠
倒，但过程的时间间隔不同。
(1)从飞船上观测
12 xx ?
?
石家庄 x1 北京 x2
??
v
12 tt ?Σ 系 ? 12 tt ???
Σ ?系
2
22
c
1/
t v xt
vc
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?
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v ??
21
'
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2
2
1
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2/1 cvu
vu
u
x
x
x ?
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u
u
x
y
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x
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21
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2
2
1
c'
??
?? v d xdtdtdz'dz ?dy'dy ?
四 洛伦兹变换下的速度变换公式
伽利
略速
度变
换,
vuu xx ???
yy uu ??
zz uu ??
vxx ???
yy ??
zz ??
tt ??
vdxxd ???
dyyd ??
dzzd ??
dttd ??
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3 不排除大于光速的信号存在
信号速度、物体运动速度小于光速，是指相对于某一参照
系的速度小于光速，但不排除超过光速的现象。
分
析
1 v??c，洛仑兹速度变换退化为伽利略变换
0/)0(0/ ?????? cucvcv x?
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2 速度变换满足光速不变原理
2/1 cvu
vuu
?
???
2/1 cvc
vc
?
?? c
vc
vc ?
?
?? c?
无论是在真空中还是介质中, 无论用什么方法, 都
不可能使一个信号以大于光速的速度传递 。
? 若 u = c,则可推出
? 若 u ? c,则可证明 u? ? c
二 长度收缩 ( length contraction )
? 根据经典理论,
'xxxx 12 ?? ???
1.运动长度收缩
012 l'l'x'x'x ???? ??
1x 2x
v
'x1 'x2
? '?
0l
? 根据相对论理论,
:'?
固有长度
（又称原长）
:? 12 xxx ???
2
22
2
1
'
??
?? vtxx
2
11
1
1
'
??
?? vtxx 21 tt ?
在同一时刻
测量长度
'x'x1 122 ??? ? 20 1l ???
2
0 1ll ???
结论,运动尺子 长度沿运
动方向收缩。
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① 在不同惯性系中测量同一尺长，以原长为最长。
② 长度收缩效应是相对的。
当 v<< c 时,退化 为经典结果 。 ④
讨论
若尺子放在 ? 系中,
0lx ?? 21x'x ??? ??
1x 2x
v
? '?
0l
固有长度
（ proper
length）
v?
例如：一汽车 m5.2l
0 ?
若速度 cv 8.0?
③ 该效应是时空属性之一，与尺
子结构无关。
smv /30?若速度
长度收缩是观测结果，但用眼
看，物体并非一定变扁，看到
的也不是一个扁形的世界。
⑤
m1ll0 ??
m1025.1ll 140 ????
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21
''
??
????? tvxx
思考
问题
0't ??
02
0 l
1
lx ?
?
?
?
?
例 1 一静止长度为
0l
的火箭以恒定速度 v 相对 S 系运动，如图。
已知 A 端发出一光信号，当信号
传到 B 端时，需要多少时间？
解,在 S’ 系中,c/l't
0?
在 S 系中,?c/lt
0?
2
0 1ll ???
根据长度收缩公式，有?c/lt ?
考虑到尾端的推进，应为
c
vtlt ??
c
vtl ??? 20 1 ? c
l
vc
vct 0?
?
??
v
S
AB
'S
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三 时间延缓（ time dilation）
?
1t 2t
1x 2x
v'?
0x?
1t?
v'?
0x?
2t?'tttt 12 ?? ???
? 根据经典理论,
? 根据相对论理论,
:'? ???? 't't't 12?
? —— 固有时（原时）
2
2
1
c''
??
????? xvtt
2
t
1
?
?
??
?
0'x ?? 因相对观察者运动的钟比静止的钟走得慢，该
效应又称运动时钟减慢
效应。
:?
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? 在不同惯性系中测量给定两事件之间的时间间隔，测
得的结果以 原时最短 。
讨
论
? 经典力学绝对时间概念只不过是狭义相对论的时间概念在
低速情况下的近似，若
11 2 ????? ?cv ??? t? （退化）
? 从狭义相对论的基本假设，可直接导出时间延缓效应
'M
v'S
S
L
A B
:'?
:?
??'t?经历的时间
测量的时间?t ??
c/L2?
222 )
2
1()
2
1( Ltvtc ????
21
1
c
L2t
??
??
可导出测量时间为
??? cL2
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例 2 带电 ? 介子是不稳定的，可衰变为 ? 介子和中微子，对
于静止的 ? 介子，测得平均寿命为 s106.2 8??,设在实验
室测得 ? 介子运动速度为 cv 9.0?,求衰变前的平均距离？
在相对 ? 介子静止的参考系中，测得的平均寿命为原时
而在实验室参考系中测得的平均寿命为
21/t ?? ?? ?? s100.6 8???
8100.69.0 ??????? ctvs实验室中飞行距离为 m2.16?
? 爱因斯坦延缓 —— 运动参考系中的时间节奏变缓了。在其中,
一切物理过程、化学过程、乃至观测者自己的生命节奏都变缓。
解,若按经典理论计算
???? vs m02.7106.2c9.0 8 ???? ?？
实际实验室测量的结果约为 m0.16
? 对于狭义相对论爱因斯坦延缓是相对的。
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例 3 ? 子是 1936年由安德森（ C,D,Anderson）等人在宇宙线
中发现的。它可自发的衰变为一个电子和两个中微子。 自发衰
变的平均寿命
? 子。 地球上层大气中时，会形成丰富的
s1015.2 6????,当高能宇宙射线质子进入
在离地面 m6000 高空产生的
设来自太空的宇宙线
? 子，可否在衰变前到达地面？
已知 ? 子相对于地球的运动速率为 0,9 9 5vc?
21
t
?
?
?
??
s1015.2 5???
L v t?? m6418?
在该时间内粒子运动的距离
在衰变前可到达地面。
? 时间延缓法 S' 动,S 静 ? 长度缩短法 S' 静,S 动
Lv?? m8.641?
粒子寿命内,S 系运动距离
而 S' 系测量宇宙线离地面
20 1l'L ???
600 m?
在衰变前，粒子可与地球相遇。
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小结,1 同时性的相对性
2 运动的长度收缩
3 运动的时间延缓
—— 否定绝对时空观
21/t ?? ???
20 1ll ??? 注意原长
和原时的
确定。
? 孪生子效应（孪生子佯谬）简介
明明 亮亮 亮亮 亮亮 明明
cv 9998.0?20 2170
究
竟
谁
年
轻？
1 具有加速度，超出了狭义相对论的理论范围。
相对于惯性系转速越大的钟走得越慢 —— 与孪生子效应一致。
2 1971年的铯原子钟实验。 比静止在地面上的钟慢 59 纳秒。
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解,⑴ 先求尺的固有长度, 由尺缩 0L
（ 3）求 测到的尺长，由尺长收缩 ?
例 4：在 系中测得一直尺长度为, 运动速度为,
方向沿 正向 。 而 相对 以 v沿 x正向运动 。 问在
系中测到的尺长是多少？
?? L?
0u x? ?? ?
?
0
22
0
u + vu + vu = =
1 + u v / c 1 + u v c
?
?
v
? '?
0L
x?
x
0u
??
（ 2） 再求尺相对 的速度, 尺相对
系的速度为 。 利用反变换,
u ??
0uu ??
?
22001L L u c? ?? 0
22
0
LL=
1 - u c
?
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2
0
22
22
0 /1
/1/1
cvu
cvLcuLL
?
?????
例 5：设某物体内部由两事件 P1和 P2 发生 。 在 ?系的观察者
测到该物体以速度 u0 沿 x正向运动, P1,P2 发生的时间间
隔为 ?t。 今有 ??系相对 ?以速度 v沿 x反方向运动, 则 P1,P2
两事件的固有时间间隔为多少？ 在 ??系测得的 P1,P2两事件
的时间间隔为多少？
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作为课堂练习
22
2
0
1
)1(
'
cu
c
u
t
t
?
??
??
?
22
0 /1 cut ???? ?
答案
习题,P290,2,3,5,6,7,8,9
思考题 2,一个人扛一个
固有长度为 L的梯子, 以
相对地面速度 v冲进一个
固有长度为 L的厂房 。 当
梯子末端刚进厂房时,
梯子的前端将处在什么
位置？
v
思考题 1,两 个 相距 L
的点光源, 正好可用一
长度为 L的挡板将它挡住 。
现使挡板以速度 v运动 。
试问挡板能否同时挡住
这两个点光源？
A B
v
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v
第六章第三节
相对论时空理论
ct
x
yo
§ 3 相对论时空理论
一 相对论时空结构
设第一个事件时空坐标 (0,0,0,0),第二个事件任意
(x,y,z,t)则,为空间间隔,
两事件用光信号联系
两事件可用低于光速的信号联系
两事件不能用光信号联系
这种划分是绝对的,与参照系无关 。
再论间隔
? ?22222222 zyxrrtCS ????? r
02 ?? Sctr,
02 ?? Sctr,
02 ?? Sctr,
1、光锥 --- 间隔分类的几何意义
类空间隔
类时间隔
00 ???? tt 称为绝对将来
00 ???? tt 称为绝对过去
0?t 00t o r t????
0?t 因果关系?
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? ? ? ?
22
12
2
12
12
1 cv
xxcvtttt
?
???????
二 因果律和相互作用的最大传播速度
有因果关系的事件之间可用光和小于光速的信号联系,
发生于光锥之内 。 事件先后顺序在各个参考系都不会改变 。
这是因果律成立的必要条件 。
1、相对论时空理论不破坏因果律
2、相互作用的最大传播速度
21,tt? 12 tt ??? ? ?12212 xxc
vtt ???
v
c
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12
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12
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tt
xxu
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??令 2cuv ? cv? cu ?
信号传播是一个物理过程，传输时必然伴随能量。因此只要能
量传输的速度不超过 C，则因果关系就不会倒臵。
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三 同时的相对性
2121 xxtt ??,
1、同时同地事件
结论,同时同地两事件，在任何惯性系中仍是同时同地事件
2、同地不时同事件
2121 ttxx ??, 设 )0(12 ??? ttt )0(12 ?????? ttt
结论,同地不同时两事件,在其他惯性系中一般为不同地不
同时事件，但时间顺序不会颠倒，即因果律不变。
3、同时不同地事件
2121,xxtt ??
若 12 xx ? )0(12 ?????? ttt
若 12 xx ? )0(12 ?????? ttt
结论,同时不同地两事件，在其他惯性系中一般为不同时、不
同地事件 。
2121 xxtt ??????,
2
2
1
c'
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????? xvtt
同时的相对性：不同的惯性系时间不再统一，否定了绝对时空
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结论：有因果关系的事情在任何
惯性系都不会改变 。
例：在 Σ 系中观测石家庄和北京在同一时刻出生了两个小孩,
在 Σ ?系 （ 如坐飞船, v 接近光速 ） 观测结果如何？ 又,一个
生孩子的过程在不同惯性系的观测结果如何？
飞船从石家庄 → 北京 北京的小孩先出生。 12 tt ????
飞船从北京 → 石家庄 12 tt ???? 北京的小孩后出生。
⑵ 讨论生孩子的过程
21 xx ?出生开始为 P1，结束为 P2,
出生过程在任何惯性系都不会颠
倒，但过程的时间间隔不同。
(1)从飞船上观测
12 xx ?
?
石家庄 x1 北京 x2
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v
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Σ ?系
2
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四 洛伦兹变换下的速度变换公式
伽利
略速
度变
换,
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vxx ???
yy ??
zz ??
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dyyd ??
dzzd ??
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3 不排除大于光速的信号存在
信号速度、物体运动速度小于光速，是指相对于某一参照
系的速度小于光速，但不排除超过光速的现象。
分
析
1 v??c，洛仑兹速度变换退化为伽利略变换
0/)0(0/ ?????? cucvcv x?
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2 速度变换满足光速不变原理
2/1 cvu
vuu
?
???
2/1 cvc
vc
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?? c
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vc ?
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无论是在真空中还是介质中, 无论用什么方法, 都
不可能使一个信号以大于光速的速度传递 。
? 若 u = c,则可推出
? 若 u ? c,则可证明 u? ? c
二 长度收缩 ( length contraction )
? 根据经典理论,
'xxxx 12 ?? ???
1.运动长度收缩
012 l'l'x'x'x ???? ??
1x 2x
v
'x1 'x2
? '?
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? 根据相对论理论,
:'?
固有长度
（又称原长）
:? 12 xxx ???
2
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2
11
1
1
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在同一时刻
测量长度
'x'x1 122 ??? ? 20 1l ???
2
0 1ll ???
结论,运动尺子 长度沿运
动方向收缩。
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① 在不同惯性系中测量同一尺长，以原长为最长。
② 长度收缩效应是相对的。
当 v<< c 时,退化 为经典结果 。 ④
讨论
若尺子放在 ? 系中,
0lx ?? 21x'x ??? ??
1x 2x
v
? '?
0l
固有长度
（ proper
length）
v?
例如：一汽车 m5.2l
0 ?
若速度 cv 8.0?
③ 该效应是时空属性之一，与尺
子结构无关。
smv /30?若速度
长度收缩是观测结果，但用眼
看，物体并非一定变扁，看到
的也不是一个扁形的世界。
⑤
m1ll0 ??
m1025.1ll 140 ????
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21
''
??
????? tvxx
思考
问题
0't ??
02
0 l
1
lx ?
?
?
?
?
例 1 一静止长度为
0l
的火箭以恒定速度 v 相对 S 系运动，如图。
已知 A 端发出一光信号，当信号
传到 B 端时，需要多少时间？
解,在 S’ 系中,c/l't
0?
在 S 系中,?c/lt
0?
2
0 1ll ???
根据长度收缩公式，有?c/lt ?
考虑到尾端的推进，应为
c
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c
vtl ??? 20 1 ? c
l
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v
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三 时间延缓（ time dilation）
?
1t 2t
1x 2x
v'?
0x?
1t?
v'?
0x?
2t?'tttt 12 ?? ???
? 根据经典理论,
? 根据相对论理论,
:'? ???? 't't't 12?
? —— 固有时（原时）
2
2
1
c''
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2
t
1
?
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0'x ?? 因相对观察者运动的钟比静止的钟走得慢，该
效应又称运动时钟减慢
效应。
:?
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? 在不同惯性系中测量给定两事件之间的时间间隔，测
得的结果以 原时最短 。
讨
论
? 经典力学绝对时间概念只不过是狭义相对论的时间概念在
低速情况下的近似，若
11 2 ????? ?cv ??? t? （退化）
? 从狭义相对论的基本假设，可直接导出时间延缓效应
'M
v'S
S
L
A B
:'?
:?
??'t?经历的时间
测量的时间?t ??
c/L2?
222 )
2
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2
1( Ltvtc ????
21
1
c
L2t
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可导出测量时间为
??? cL2
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例 2 带电 ? 介子是不稳定的，可衰变为 ? 介子和中微子，对
于静止的 ? 介子，测得平均寿命为 s106.2 8??,设在实验
室测得 ? 介子运动速度为 cv 9.0?,求衰变前的平均距离？
在相对 ? 介子静止的参考系中，测得的平均寿命为原时
而在实验室参考系中测得的平均寿命为
21/t ?? ?? ?? s100.6 8???
8100.69.0 ??????? ctvs实验室中飞行距离为 m2.16?
? 爱因斯坦延缓 —— 运动参考系中的时间节奏变缓了。在其中,
一切物理过程、化学过程、乃至观测者自己的生命节奏都变缓。
解,若按经典理论计算
???? vs m02.7106.2c9.0 8 ???? ?？
实际实验室测量的结果约为 m0.16
? 对于狭义相对论爱因斯坦延缓是相对的。
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例 3 ? 子是 1936年由安德森（ C,D,Anderson）等人在宇宙线
中发现的。它可自发的衰变为一个电子和两个中微子。 自发衰
变的平均寿命
? 子。 地球上层大气中时，会形成丰富的
s1015.2 6????,当高能宇宙射线质子进入
在离地面 m6000 高空产生的
设来自太空的宇宙线
? 子，可否在衰变前到达地面？
已知 ? 子相对于地球的运动速率为 0,9 9 5vc?
21
t
?
?
?
??
s1015.2 5???
L v t?? m6418?
在该时间内粒子运动的距离
在衰变前可到达地面。
? 时间延缓法 S' 动,S 静 ? 长度缩短法 S' 静,S 动
Lv?? m8.641?
粒子寿命内,S 系运动距离
而 S' 系测量宇宙线离地面
20 1l'L ???
600 m?
在衰变前，粒子可与地球相遇。
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小结,1 同时性的相对性
2 运动的长度收缩
3 运动的时间延缓
—— 否定绝对时空观
21/t ?? ???
20 1ll ??? 注意原长
和原时的
确定。
? 孪生子效应（孪生子佯谬）简介
明明 亮亮 亮亮 亮亮 明明
cv 9998.0?20 2170
究
竟
谁
年
轻？
1 具有加速度，超出了狭义相对论的理论范围。
相对于惯性系转速越大的钟走得越慢 —— 与孪生子效应一致。
2 1971年的铯原子钟实验。 比静止在地面上的钟慢 59 纳秒。
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解,⑴ 先求尺的固有长度, 由尺缩 0L
（ 3）求 测到的尺长，由尺长收缩 ?
例 4：在 系中测得一直尺长度为, 运动速度为,
方向沿 正向 。 而 相对 以 v沿 x正向运动 。 问在
系中测到的尺长是多少？
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0u x? ?? ?
?
0
22
0
u + vu + vu = =
1 + u v / c 1 + u v c
?
?
v
? '?
0L
x?
x
0u
??
（ 2） 再求尺相对 的速度, 尺相对
系的速度为 。 利用反变换,
u ??
0uu ??
?
22001L L u c? ?? 0
22
0
LL=
1 - u c
?
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2
0
22
22
0 /1
/1/1
cvu
cvLcuLL
?
?????
例 5：设某物体内部由两事件 P1和 P2 发生 。 在 ?系的观察者
测到该物体以速度 u0 沿 x正向运动, P1,P2 发生的时间间
隔为 ?t。 今有 ??系相对 ?以速度 v沿 x反方向运动, 则 P1,P2
两事件的固有时间间隔为多少？ 在 ??系测得的 P1,P2两事件
的时间间隔为多少？
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作为课堂练习
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2
0
1
)1(
'
cu
c
u
t
t
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0 /1 cut ???? ?
答案
习题,P290,2,3,5,6,7,8,9
思考题 2,一个人扛一个
固有长度为 L的梯子, 以
相对地面速度 v冲进一个
固有长度为 L的厂房 。 当
梯子末端刚进厂房时,
梯子的前端将处在什么
位置？
v
思考题 1,两 个 相距 L
的点光源, 正好可用一
长度为 L的挡板将它挡住 。
现使挡板以速度 v运动 。
试问挡板能否同时挡住
这两个点光源？
A B
v
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v
