第八章
辐射换热的计算
?两个表面之间的辐射换热量与两个表面之间
的相对位置有很大关系
§ 8-1 角系数的定义、性质及计算
图 8-1 表面相对位置的影响
?a图中两表面无限接近，相互间的换热量
最大； b图中两表面位于同一平面上，相互
间的辐射换热量为零。由图可以看出，两个
表面间的相对位置不同时，一个表面发出而
落到另一个表面上的辐射能的百分数随之而
异，从而影响到换热量。
一, 角系数的定义
角系数是进行辐射换热计算时空间热组的
主要组成部分 。
定义：把表面 1发出 的辐射能中 落到 表面 2
上的 百分数 称为表面 1对表面 2的角系数,
记为 X1,2。
同理，表面 1发出 的辐射能中 落到 表面 2
上的 百分数 称为表面 1对表面 2的角系数，
记为 X 2,1
二, 角系数的性质
?研究角系数的性质是用代数法（代数分析法）
求解角系数的前提,
?假定,（ 1） 所研究的表面是漫射的
（ 2） 在所研究表面的不同地点上向
外发射的辐射热流密度是均匀的
1、角系数的相对性
?一个微元表面到另一个微元表面的角系数
1
12
1
1112
,
11
c o sbA
d A d A
bA
I d dd A d AX
d A E d
?? ? ? ???
?
由 发 出 的 落 到 上 的 辐 射 能
由 发 出 的 辐 射 能
??? 11 bb IE
辐射力:1bE,定向辐射强度1bI
2
212
,
c o sc o s
21 r
dAX
dAdA ?
?? ???
(1)
图 8-2 两微元面间的辐射
同理,
整理（ 1）、（ 2）式得,
2
211
,
c o sc o s
12 r
dAX
dAdA ?
?? ??? (2)
2,1,1221 dAXdAX dAdAdAdA ???
(3)
1221,2,1 dAdAdAdA XdAXdA ???
两微元表面角系数的相对性表达式,
（ 2）两个有限大小表面之间角系数的相对性
1,2222,11121 XEAXEA bb ???,
当 时，净辐射换热量为零，即 21 TT ? 21 bb EE ?
则有限大小表面间角系数的相对性的表达式,
1,222,11 XAXA ?
(4)
2、角系数的完整性
对于由几个表面组成的封闭系统，据能量
守衡原理，从任何一个表面发射出的辐射能必
全部落到封闭系统的个表面上。因此，任何一
个表面对封闭腔各表面的角系数之间存在下列
关系,
1,13,12,11,1 ????? nXXXX ?
?
?
?
n
i
iX
1
,1 1
(5)
图 8-3 角系数的完整性
上式称为角系数的完整性。
注,若表面 1为非凹表面时,X1,1 = 0；若
表面 1为凹表面,0
11 ?，X
3、角系数的可加性
如图 8-4所示从表面 1上发出而落到表面
2上的总能量，等于落到表面 2上各部分的辐
射能之和，于是有
bbabb XEAXEAXEA 2,1112,1112,111 ?? ba XXX 2,12,12,1 ??
如把表面 2进一步分成若干小块，则有
?
?
?
n
i
iXX
1
2,12,1
(6)
图 8-4 角系数的可加性
注意，利用角系数可加性时,只有对角
系数符号中第二个角码是可加的，对角系数
符号中的第一个角码则不存在类似的关系。
从 表面 2上 发出 而 落到表面 1上的辐射能,等于
从 表面 2的 各部分发出 而 落到表面 1上 的辐射能之和，
于是有
1,2221,2221,222 bbabb XEAXEAXEA ??
角系数的上述特性可以用来求解许多情况下
两表面间的角系数值
1,221,221,22 bbaa XAXAXA ?? (7)
2
2
1,2
2
2
1,21,2 A
AX
A
AXX b
b
a
a ?? (8)
三、角系数的计算方法
直接积分法
代数分析法
几何分析法
求解角系数的方法
1、直接积分法
? 按角系数的基本定义通过求解多重积分而获得
角系数的方法
? 如图所示的两个有限大小的面积，可以得到
2
221
21
c o sc o s
r
dAX
dd ?
???
，
?? 2 2 22121 c o sc o sAd r dAX ? ??，
微元面积 对 的角系数为 1dA
2A
12
221
211
1 2
c o sc o s dA
r
dAXA
A A? ? ??
??
?
??
?
??
，
? ??
1 2
2
1221
1
21
c o sc o s1
A A r
dAdA
AX ?
??
，
上式积分可得
即
2、代数分析法
利用角系数的相对性、完整性及可加性，通过
求解代数方程而获得角系数的方法称为代数分析法。
(1)三个非凹表面组成的封闭系统
图 8-5 三个非凹表面组成的封闭系统
1
1
1
2,31,3
3,21,2
3,12,1
??
??
??
XX
XX
XX
2,333,22
1,333,11
1,222,11
XAXA
XAXA
XAXA
?
?
?
由角系数完整性
由角系数相对性
上述方程解得,
2
132
3,2
3
231
3,1
1
321
2,1
2
2
2
A
AAA
X
A
AAA
X
A
AAA
X
??
?
??
?
??
?
由于垂直纸面方向的长度相同，则有,
2
123
2,1
1
231
3,1
1
321
2,1
2
2
2
l
lll
X
l
lll
X
l
lll
X
??
?
??
?
??
?
(2)任意两个非凹表面间的角系数
如图所示表面和假定在垂直于纸面的
方向上表面的长度是无限延伸的,只有
封闭系统才能应用角系数的完整性，为此
作辅助线 ac和 bd，与 ab,cd一起构成封闭
腔。
图 8-6 两个非凹表面及假想面组成的
封闭系统
根据角系数的完整性,
1a b c d a b c a b b dX X X? ? ?，, a,
2ab c
a b a c b cX
ab
???
,a
2ab bd
a b b d a dX
ab
???
，
12 A
??
?
交 叉 线 之 和 不 交 叉 线 之 和
表 面 的 断 面 长 度
上述方法又被称为 交叉线法 。注意：这里所
谓的交叉线和不交叉线都是指虚拟面断面的线，
或者说是辅助线。
,
( ) ( )
2ab c d
b c a d a c b dX
ab
? ? ??
例题 8-1，求下列图形中的角系数
12X，
1 1 2 2 2 1A X A X?，,
2
1 2 2 1
1
AXX
A?，,
21 1X ?，
2
1
3
2
4
R
R?
??
?
4
3??
解,
2
2
1 2 2 1 1 2 2
1
12
1
2
1
2
A R
X X X
AR
X
?
?
? ? ? ?
??
，,,
，
解,2
1 2 2 1 1 2
1
12
11
42
1
8
A
X X X
A
X
? ? ? ?
??
，,,
，
解,
12 0.5X ?，
解,
( 1 2 ) 2
( 1 2 ) ( 1 2 ) 4 1 1,4 2 2,4 1,4 ( 1 2 ) 4 2,4
11
A AA X A X A X X X X
AA
?
? ? ?? ? ? ? ?，,
( 1 2 ),( 3 4 ) ( 1 2 ),3 ( 1 2 ),4 ( 1 2 ),4 ( 1 2 ),( 3 4 ) ( 1 2 )X X X X X X? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?, 3
2,4 2,3 4 2,3X X X????? ? ?同 理 （ ）
( 1 2 ) ( 1 2 ),3 4 ( 3 4 ) 3 4,( 1 2 )A X A X? ? ? ? ? ??（ ） （ ）
( 1 2 ) ( 1 2 ),3 3 3,( 1 2 )A X A X? ? ??
2 2,( 3 4 ) ( 3 4 ) ( 3 4 ),2A X A X? ? ??
2 2,3 3 3,2A X A X?
解,
注：利用这样的分析方法，扩大线图的使用，可以得出很多几何结构简单的角系数
例题 8-2,求图中 1,4两个表面之间的角系数
的部分的部分
到达表面到达表面
的热辐射的热辐射
发出表面发出表面
12
21
)(
212,111,2222,1112,1
??
?????
bbbb
EEXAXEAXEA一、两黑体表面组成的封闭腔间的辐射换热计算
如图 8-7所示，黑表面 1和 2之间的辐射换热量为
§ 8-2 被透明介质隔开的
两固体表面间的辐射换热
图 8-7 黑体系统的辐射换热
（ 2） 有效辐射,单位时间内离开单位面积的总辐
射能为该表面的有效辐射, 记为 J。
表面的反射比，可表示成
有效辐射包括
自身射辐射 E
投入辐射 被反射辐射的部分 G?G
11 ??
1、有效辐射
（ 1）投入辐射,单位时间内投射到单位面积上的
总辐射能，记为 G。
二、两漫灰表面组成的封闭系统的辐
射换热计算
图 8-8 有效辐射示意图
考 察表面温度均匀、表面辐射特性为常数的表面
1（如图 8-8所示）。根据有效辐射的定义,表面 1的
有效辐射有如下表达式,
1 1 1 1 1 1 1 1( 1 )bJ E G E G? ? ?? ? ? ? ?
在表面外能感受到的表面辐射就是有效辐射，
它也是用辐射探测仪能测量到的单位表面积上的辐
射功率 。 2/Wm
111111111 GEGEGJq b ??? ??????
从表面 1外部来观察，其 能量收支差额 应
等于有效辐射 与投入辐射 之差，即
1J 1G
从表面内部观察,该表面与外界的辐射
换热量应为,
1 1 1q E G???
上两式联立，消去 G1，得到 J与表面净
辐射换热量之间的关系,
11 ( 1 )
b
EJ q E q?
? ? ?
?? ? ? ? ?
注意：式中的各个量均是对同一表面而
言的，而且以向外界的净放热量为正值。
2、两灰表面组成的封闭腔的辐射换热
图 8-9 两个物体组成的辐射换热系统
下面来分析两个等温漫灰表面封闭系统内的辐射换热情况。
如图 8-9所示，两个表面的净换热量为
根据下式及能量守恒有
1,2 1 1 1,2 2 2 2,1A J X A J X? ? ?
(a)
1 1 1 1 1,2
1
1 1
bJ A A E ?
??? ? ? ?
??
??
(b)
2 2 2 2 2,1
2
1 1
bJ A A E ?
??? ? ? ?
??
??
(c)
1,2 2,1? ? ? ?
(d)
将 (b),(c),(d)代入 (a)得
22
2
2,1111
1
21
2,1 111
AXAA
EE bb
?
?
?
? ????
???
1bE 1J 2J 2bE
1
11
1
A
?
?
?
1 1,2
1
AX
2
22
1
A
?
?
?
图 8-10 两封闭表面间的辐射换热网络图
若以 为计算面积，上式可改写为,
1A
?
?
??
?
? ????
?
??
?
? ?
???
11111
)(
22
1
2,11
211
2,1
?? A
A
X
EEA bb
1 1,2 1 2
1,2 2,1
12
()
111 1 1
bbA X E E
XX
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
1 1,2 1 2()s b bA X E E???
1,2 2,1
12
111 1 1
s XX? ??
? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
定义系统黑度 (或称为系统发射率 )
三种特殊情形
(1) 表面 1为凸面或平面，此时,X1,2＝ 1，于是
?
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ??
?
11111
1
22
1
2,1
1
2,1 ??
?
A
AXXs
?
?
??
?
? ??
?
111
1
22
1
1 ??
?
A
As
(2) 表面积 A1比表面积 A2小得多，即 A1/A2 ? 0 于是
1?? ?s
(3) 表面积 A1与表面积 A2相当，即 A1/A2 ? 1 于是
1
11
1
21
??
?
??
? s
(1) 两平行平壁间的辐射换热
?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
? ?
?
??
11111
)(
22
1
2,11
211
2,1
?? A
A
X
EEA bb
12A A A?? 1 2 2 1XX?，,
且
44()sbA T T????
?
?
?
?
?
? ??
?
111
1
22
1
1 ??
?
A
As
举例
(2) 空腔与内包壁间的辐射换热
1 2 2 1XX?，,
1 1 2
1,2
1
1 2 2
()
11
1
bbA E E
A
A??
?
??
??
????
??
1 2 1 1 1 2()bbA E E?? ? ?，
1s???
若, 且 较大，如车间内的采暖板,
热力管道，测温传感器等都属于此种情况
1
2
1AA 12AA 2?
讨论练习,
某房间吊装一水银温度计读数为 15，已知温度计头部发射率（黑度）为
0.9，头部与室内空气间的对流换热系数为 20，墙表面温度为 10，求该温度计
的测量误差。如何减小测量误差？
16.2ft ?
℃
44
'
12
12
8 4 4
( ) ( )
0.9 5.67 10 ( 273 15 ) ( 273 10) 20( 15 )
16.2 15
100% 7.4%
16.2
b b f w
b w b w
f
A E E h A t t
E T E T
t
?
??
?
? ? ? ?
??
??? ? ? ? ? ? ?
??
?
??
15wt ? ℃ ' 10wt ? ℃ 0.9? ? 22 0 /h W m K?已知,,, 求测温误差？ 解,
据有效辐射的计算式
11 ( 1 )
b
EJ q E q?
? ? ?
?? ? ? ? ?
1
bEJq
?
?
??
? 1
bEJ
A
?
?
???
?
或 （ 8-18）
1.势差与热阻
§ 8-3 多表面系统辐射换热的计算
又据两个表面的净换热量为
1,2 1 1 1,2 2 2 2,1 1 1,2 1 2()A J X A J X A X J J? ? ? ? ?
由此得到
12
1,2
1 1,2
()
1
JJ
AX
?
??
（ 8-19）
将式（ 8-18）、（ 8-19）与电学中的欧
姆定律相比可见：换热量 相当于电流强
度； 或 相当于电势差；
而 及 则相当于电阻，分别称为
辐射换热表面的 表面辐射热阻 及 空间辐射热
阻。 相当于电源电势，而 则相当于节
点电压。则 两个辐射热阻的等效电路如图所
示,
?
bEJ?
1
A
?
?
?
12()JJ?
1 1,2
1
AX
bE J
?
（ a） 表面辐射热阻
bE
1
A
?
?
?
J
（ b） 空间辐射热阻
1J
12?，
2,11
1
XA
2J
利用上述两个单元格电路，可以容易
地画出组成封闭系统的两个灰体表面间辐
射换热的等效网络,如图所示 。 根据等效
网络，可以立即写出换热量计算式,
12
12
1 1 1 1,2 2 2
11 1
bbEE
A A X A
??
??
?
??
??
??
两表面封闭系统辐射换热等效网络图
1bE
?
11
11 ??A?
2J1J 2bE
22
21 ??A?
2,12,1
1
XA
这种把辐射热阻比拟成等效的电阻从
而通过等校的网络图来求解辐射换热的方
法成为辐射换热的 网络法 。
应用网络法求解多表面封闭系统辐射换热
问题的 步骤,
（ 1）画出等效的网络图。
（ 2）列出节点的电流方程
（ 3）求解上述代数方程得出节点电势。
1
b i i
i
i
ii
EJ
A
?
?
?
??
?
（ 4）按公式 确定每一个表
面的净辐射换热量。
2.网络法的应用举例
以图（ a）所示的三表面的辐射换热问题为例画出图（ b）
的等效网络图
(a)由三个表面组成的封闭系统 (b)三表面封闭腔的等效网络图
a 有一个表面为黑体。 黑体的表面热阻
为零 。其网络图见图 8-14a。
b 有一个表面绝热,即该表面的净换热
量为零 。其网络图见图 8-14b 和 8-14c,
3,两个重要特例
三表面系统的两个特例
§ 8-4 辐射换热的强化与削弱
强化辐射换热 的主要途径有两种,
(1)增加发射率；
(2)增加角系数。
削弱辐射换热 的主要途径有三种,
(1) 降低发射率；
(2) 降低角系数；
(3) 加入遮热板。
所谓 遮热板,是指插入两个辐射换热表
面之间以削弱辐射换热的薄板，其实插入遮
热板相当于降低了表面发射率。本节主要讨
论这种削弱辐射换热的方式。
为了说明遮热板的工作原理，我们来分
析在平行平板之间插入一块薄金属板所引起
的辐射换热的变化,
稳态时有,
?
?
?
?
?
?
?
??
?????
??
2,33,12,1
212,1232,3
313,1
)(
2
1
)(
)(
qqq
EEqEEq
EEq
bbsbbs
bbs
??
?
可见，与没有遮热板时相比，辐射换热量减
小了一半。
辐射表面和金属板的温度、吸收比如图所示。
为讨论方便,设平板和金属薄板都是灰体,并且
1 2 3? ? ? ?? ? ?
遮热板
§ 8-5 气体辐射
本节将简要介绍气体辐射的特点, 换热
过程及其处理方法 。 在工程中常见的温度范
围内, 和 具有很强的吸收和发射
热辐射的本领, 而其他的气体则较弱, 这也
是本节采用这两种气体作为例子的原因 。
OH22CO
1 气体辐射的特点
(1) 气体辐射对波长具有选择性。 它只
在某谱带内具有发射和吸收辐射的本领，而
对于其他谱带则呈现透明状态。如图 8-16所
示。
(2) 气体的辐射和吸收是在整个容积中
进行的,因而，气体的发射率和吸收比还与
容器的形状和容积大小有关。
和 的主要吸收谱带
光谱辐射穿过气体层时的衰减
2CO OH2
2 气体辐射的衰减规律
当热辐射进入吸收性气体层时, 因沿途被气
体吸收而衰减 。 为了考察辐射在气体内的衰
减规律, 如图 8-17所示, 我们假设投射到气
体界面 x = 0 处的光谱辐射强度为,
通过一段距离 x后, 该辐射变为 。 再通过
微元气体层 dx 后, 其衰减量为 。
0,?L
xL,?
xdL,?
x
x
L
L
,
,d
?
?理论上已经证明,与行程 dx 成正比，设比
例系数为,则有 xK
xK
L
L
x
x dd
,
,
?
?
? ??
式中，负号表示吸收,为 光谱衰减系数, m-1，
它取决于其体的种类、密度和波长。对上式进行积
分可得
?K
?? ?? sLL
x
x xK
L
Ls
0,
,dd,
0,
?
?
??
?
即 sK
s eLL ??? ?? 0,,Beer 定律
式中, s 是辐射通过的路程长度, 常称之为
射线程长 。 从上式可知, 热辐射在气体内呈指数
规律衰减 。
3 气体辐射的光谱吸收比、光谱发射率
Beer公式可以写为
?
?
? ?? ?? ? sKs e
L
L
0,
,光谱穿透比
对于气体，反射率为零，于是有
sKess ????? ????? 1),(1),(
sKess ????? ???? 1),(),(
根据 Kirchhoff定律，光谱发射率为
4 气体的发射率
1）确定气体的发射率
2）利用 计算气体的发射辐射。
与射线程长关 s系密切，而 s取决于气体
容积的形状和尺寸。 如图 8-18所示。
3）为了使射线程长均匀，人们引入了 当量
半球的概念, 其半径就是等效的射线程长，
见图 8-19所示。
g?
4gg TA ????
g?
典型几何容积的气体对整个包壁的平均
射线程长列于表 8-1中。
在缺少资料的情况下,任意几个形状气
体对整个包壁的平均射线程长可按下式计算,
A
Vs 6.3?
式中,V为气体容积,m3； A为包壁面积,m2。
图 8-18 气体对
不同地区的辐射 图 8-19 半球内气体对球心的辐射
除了与 s有关外，还与气体的温度和气
体得分压力有关，于是我们有如下关系
g?
),( psTf gg ??
利用上面的关系，可以采用试验获得,
图 8-20给出了 时的水蒸气发射率
的图线。图 8-21则是其修正系数 。
g?
OHC2
02 ?OHp *2OH?
水蒸气的发射率为
*
222 OHOHOH C ?? ?
对应于 的图分别是 8-22和图 8-23。
于是
2CO
*
222 COCOCO C ?? ?
图 8-20 ),( 22* spT OHgOH ??
图 8-21 修正系数 OHC
2
图 8-22 ),(
22
* spT COgCO ??
图 8-23 修正系数 2COC
图 8-23 修正系数 2COC
5 气体的吸收比 g?
???? ???? ** 2222 COCOOHOHg CC
式中修正系数 和 与发射率公
式中的处理方法相同，而, 和
的确定可以采用下面的经验公式
OHC2 2COC
*
2OH? * 2CO? ??
? ? 45.0)(,**
222 ?
?
?
?
???
??
w
g
TTspTOHOH T
T
gwOHw
??
? ? 65.0)(,**
222 ?
?
?
?
???
??
w
g
TTspTCOCO T
T
gwCOw
??
? ? wT?? ???
在其体发射率和吸收比确定后，气
体与黑体外壳之间的辐射换热公式为,
wbggbg EEq,,?? ??
辐射换热的计算
?两个表面之间的辐射换热量与两个表面之间
的相对位置有很大关系
§ 8-1 角系数的定义、性质及计算
图 8-1 表面相对位置的影响
?a图中两表面无限接近，相互间的换热量
最大； b图中两表面位于同一平面上，相互
间的辐射换热量为零。由图可以看出，两个
表面间的相对位置不同时，一个表面发出而
落到另一个表面上的辐射能的百分数随之而
异，从而影响到换热量。
一, 角系数的定义
角系数是进行辐射换热计算时空间热组的
主要组成部分 。
定义：把表面 1发出 的辐射能中 落到 表面 2
上的 百分数 称为表面 1对表面 2的角系数,
记为 X1,2。
同理，表面 1发出 的辐射能中 落到 表面 2
上的 百分数 称为表面 1对表面 2的角系数，
记为 X 2,1
二, 角系数的性质
?研究角系数的性质是用代数法（代数分析法）
求解角系数的前提,
?假定,（ 1） 所研究的表面是漫射的
（ 2） 在所研究表面的不同地点上向
外发射的辐射热流密度是均匀的
1、角系数的相对性
?一个微元表面到另一个微元表面的角系数
1
12
1
1112
,
11
c o sbA
d A d A
bA
I d dd A d AX
d A E d
?? ? ? ???
?
由 发 出 的 落 到 上 的 辐 射 能
由 发 出 的 辐 射 能
??? 11 bb IE
辐射力:1bE,定向辐射强度1bI
2
212
,
c o sc o s
21 r
dAX
dAdA ?
?? ???
(1)
图 8-2 两微元面间的辐射
同理,
整理（ 1）、（ 2）式得,
2
211
,
c o sc o s
12 r
dAX
dAdA ?
?? ??? (2)
2,1,1221 dAXdAX dAdAdAdA ???
(3)
1221,2,1 dAdAdAdA XdAXdA ???
两微元表面角系数的相对性表达式,
（ 2）两个有限大小表面之间角系数的相对性
1,2222,11121 XEAXEA bb ???,
当 时，净辐射换热量为零，即 21 TT ? 21 bb EE ?
则有限大小表面间角系数的相对性的表达式,
1,222,11 XAXA ?
(4)
2、角系数的完整性
对于由几个表面组成的封闭系统，据能量
守衡原理，从任何一个表面发射出的辐射能必
全部落到封闭系统的个表面上。因此，任何一
个表面对封闭腔各表面的角系数之间存在下列
关系,
1,13,12,11,1 ????? nXXXX ?
?
?
?
n
i
iX
1
,1 1
(5)
图 8-3 角系数的完整性
上式称为角系数的完整性。
注,若表面 1为非凹表面时,X1,1 = 0；若
表面 1为凹表面,0
11 ?，X
3、角系数的可加性
如图 8-4所示从表面 1上发出而落到表面
2上的总能量，等于落到表面 2上各部分的辐
射能之和，于是有
bbabb XEAXEAXEA 2,1112,1112,111 ?? ba XXX 2,12,12,1 ??
如把表面 2进一步分成若干小块，则有
?
?
?
n
i
iXX
1
2,12,1
(6)
图 8-4 角系数的可加性
注意，利用角系数可加性时,只有对角
系数符号中第二个角码是可加的，对角系数
符号中的第一个角码则不存在类似的关系。
从 表面 2上 发出 而 落到表面 1上的辐射能,等于
从 表面 2的 各部分发出 而 落到表面 1上 的辐射能之和，
于是有
1,2221,2221,222 bbabb XEAXEAXEA ??
角系数的上述特性可以用来求解许多情况下
两表面间的角系数值
1,221,221,22 bbaa XAXAXA ?? (7)
2
2
1,2
2
2
1,21,2 A
AX
A
AXX b
b
a
a ?? (8)
三、角系数的计算方法
直接积分法
代数分析法
几何分析法
求解角系数的方法
1、直接积分法
? 按角系数的基本定义通过求解多重积分而获得
角系数的方法
? 如图所示的两个有限大小的面积，可以得到
2
221
21
c o sc o s
r
dAX
dd ?
???
，
?? 2 2 22121 c o sc o sAd r dAX ? ??，
微元面积 对 的角系数为 1dA
2A
12
221
211
1 2
c o sc o s dA
r
dAXA
A A? ? ??
??
?
??
?
??
，
? ??
1 2
2
1221
1
21
c o sc o s1
A A r
dAdA
AX ?
??
，
上式积分可得
即
2、代数分析法
利用角系数的相对性、完整性及可加性，通过
求解代数方程而获得角系数的方法称为代数分析法。
(1)三个非凹表面组成的封闭系统
图 8-5 三个非凹表面组成的封闭系统
1
1
1
2,31,3
3,21,2
3,12,1
??
??
??
XX
XX
XX
2,333,22
1,333,11
1,222,11
XAXA
XAXA
XAXA
?
?
?
由角系数完整性
由角系数相对性
上述方程解得,
2
132
3,2
3
231
3,1
1
321
2,1
2
2
2
A
AAA
X
A
AAA
X
A
AAA
X
??
?
??
?
??
?
由于垂直纸面方向的长度相同，则有,
2
123
2,1
1
231
3,1
1
321
2,1
2
2
2
l
lll
X
l
lll
X
l
lll
X
??
?
??
?
??
?
(2)任意两个非凹表面间的角系数
如图所示表面和假定在垂直于纸面的
方向上表面的长度是无限延伸的,只有
封闭系统才能应用角系数的完整性，为此
作辅助线 ac和 bd，与 ab,cd一起构成封闭
腔。
图 8-6 两个非凹表面及假想面组成的
封闭系统
根据角系数的完整性,
1a b c d a b c a b b dX X X? ? ?，, a,
2ab c
a b a c b cX
ab
???
,a
2ab bd
a b b d a dX
ab
???
，
12 A
??
?
交 叉 线 之 和 不 交 叉 线 之 和
表 面 的 断 面 长 度
上述方法又被称为 交叉线法 。注意：这里所
谓的交叉线和不交叉线都是指虚拟面断面的线，
或者说是辅助线。
,
( ) ( )
2ab c d
b c a d a c b dX
ab
? ? ??
例题 8-1，求下列图形中的角系数
12X，
1 1 2 2 2 1A X A X?，,
2
1 2 2 1
1
AXX
A?，,
21 1X ?，
2
1
3
2
4
R
R?
??
?
4
3??
解,
2
2
1 2 2 1 1 2 2
1
12
1
2
1
2
A R
X X X
AR
X
?
?
? ? ? ?
??
，,,
，
解,2
1 2 2 1 1 2
1
12
11
42
1
8
A
X X X
A
X
? ? ? ?
??
，,,
，
解,
12 0.5X ?，
解,
( 1 2 ) 2
( 1 2 ) ( 1 2 ) 4 1 1,4 2 2,4 1,4 ( 1 2 ) 4 2,4
11
A AA X A X A X X X X
AA
?
? ? ?? ? ? ? ?，,
( 1 2 ),( 3 4 ) ( 1 2 ),3 ( 1 2 ),4 ( 1 2 ),4 ( 1 2 ),( 3 4 ) ( 1 2 )X X X X X X? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?, 3
2,4 2,3 4 2,3X X X????? ? ?同 理 （ ）
( 1 2 ) ( 1 2 ),3 4 ( 3 4 ) 3 4,( 1 2 )A X A X? ? ? ? ? ??（ ） （ ）
( 1 2 ) ( 1 2 ),3 3 3,( 1 2 )A X A X? ? ??
2 2,( 3 4 ) ( 3 4 ) ( 3 4 ),2A X A X? ? ??
2 2,3 3 3,2A X A X?
解,
注：利用这样的分析方法，扩大线图的使用，可以得出很多几何结构简单的角系数
例题 8-2,求图中 1,4两个表面之间的角系数
的部分的部分
到达表面到达表面
的热辐射的热辐射
发出表面发出表面
12
21
)(
212,111,2222,1112,1
??
?????
bbbb
EEXAXEAXEA一、两黑体表面组成的封闭腔间的辐射换热计算
如图 8-7所示，黑表面 1和 2之间的辐射换热量为
§ 8-2 被透明介质隔开的
两固体表面间的辐射换热
图 8-7 黑体系统的辐射换热
（ 2） 有效辐射,单位时间内离开单位面积的总辐
射能为该表面的有效辐射, 记为 J。
表面的反射比，可表示成
有效辐射包括
自身射辐射 E
投入辐射 被反射辐射的部分 G?G
11 ??
1、有效辐射
（ 1）投入辐射,单位时间内投射到单位面积上的
总辐射能，记为 G。
二、两漫灰表面组成的封闭系统的辐
射换热计算
图 8-8 有效辐射示意图
考 察表面温度均匀、表面辐射特性为常数的表面
1（如图 8-8所示）。根据有效辐射的定义,表面 1的
有效辐射有如下表达式,
1 1 1 1 1 1 1 1( 1 )bJ E G E G? ? ?? ? ? ? ?
在表面外能感受到的表面辐射就是有效辐射，
它也是用辐射探测仪能测量到的单位表面积上的辐
射功率 。 2/Wm
111111111 GEGEGJq b ??? ??????
从表面 1外部来观察，其 能量收支差额 应
等于有效辐射 与投入辐射 之差，即
1J 1G
从表面内部观察,该表面与外界的辐射
换热量应为,
1 1 1q E G???
上两式联立，消去 G1，得到 J与表面净
辐射换热量之间的关系,
11 ( 1 )
b
EJ q E q?
? ? ?
?? ? ? ? ?
注意：式中的各个量均是对同一表面而
言的，而且以向外界的净放热量为正值。
2、两灰表面组成的封闭腔的辐射换热
图 8-9 两个物体组成的辐射换热系统
下面来分析两个等温漫灰表面封闭系统内的辐射换热情况。
如图 8-9所示，两个表面的净换热量为
根据下式及能量守恒有
1,2 1 1 1,2 2 2 2,1A J X A J X? ? ?
(a)
1 1 1 1 1,2
1
1 1
bJ A A E ?
??? ? ? ?
??
??
(b)
2 2 2 2 2,1
2
1 1
bJ A A E ?
??? ? ? ?
??
??
(c)
1,2 2,1? ? ? ?
(d)
将 (b),(c),(d)代入 (a)得
22
2
2,1111
1
21
2,1 111
AXAA
EE bb
?
?
?
? ????
???
1bE 1J 2J 2bE
1
11
1
A
?
?
?
1 1,2
1
AX
2
22
1
A
?
?
?
图 8-10 两封闭表面间的辐射换热网络图
若以 为计算面积，上式可改写为,
1A
?
?
??
?
? ????
?
??
?
? ?
???
11111
)(
22
1
2,11
211
2,1
?? A
A
X
EEA bb
1 1,2 1 2
1,2 2,1
12
()
111 1 1
bbA X E E
XX
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
1 1,2 1 2()s b bA X E E???
1,2 2,1
12
111 1 1
s XX? ??
? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
定义系统黑度 (或称为系统发射率 )
三种特殊情形
(1) 表面 1为凸面或平面，此时,X1,2＝ 1，于是
?
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ??
?
11111
1
22
1
2,1
1
2,1 ??
?
A
AXXs
?
?
??
?
? ??
?
111
1
22
1
1 ??
?
A
As
(2) 表面积 A1比表面积 A2小得多，即 A1/A2 ? 0 于是
1?? ?s
(3) 表面积 A1与表面积 A2相当，即 A1/A2 ? 1 于是
1
11
1
21
??
?
??
? s
(1) 两平行平壁间的辐射换热
?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
? ?
?
??
11111
)(
22
1
2,11
211
2,1
?? A
A
X
EEA bb
12A A A?? 1 2 2 1XX?，,
且
44()sbA T T????
?
?
?
?
?
? ??
?
111
1
22
1
1 ??
?
A
As
举例
(2) 空腔与内包壁间的辐射换热
1 2 2 1XX?，,
1 1 2
1,2
1
1 2 2
()
11
1
bbA E E
A
A??
?
??
??
????
??
1 2 1 1 1 2()bbA E E?? ? ?，
1s???
若, 且 较大，如车间内的采暖板,
热力管道，测温传感器等都属于此种情况
1
2
1AA 12AA 2?
讨论练习,
某房间吊装一水银温度计读数为 15，已知温度计头部发射率（黑度）为
0.9，头部与室内空气间的对流换热系数为 20，墙表面温度为 10，求该温度计
的测量误差。如何减小测量误差？
16.2ft ?
℃
44
'
12
12
8 4 4
( ) ( )
0.9 5.67 10 ( 273 15 ) ( 273 10) 20( 15 )
16.2 15
100% 7.4%
16.2
b b f w
b w b w
f
A E E h A t t
E T E T
t
?
??
?
? ? ? ?
??
??? ? ? ? ? ? ?
??
?
??
15wt ? ℃ ' 10wt ? ℃ 0.9? ? 22 0 /h W m K?已知,,, 求测温误差？ 解,
据有效辐射的计算式
11 ( 1 )
b
EJ q E q?
? ? ?
?? ? ? ? ?
1
bEJq
?
?
??
? 1
bEJ
A
?
?
???
?
或 （ 8-18）
1.势差与热阻
§ 8-3 多表面系统辐射换热的计算
又据两个表面的净换热量为
1,2 1 1 1,2 2 2 2,1 1 1,2 1 2()A J X A J X A X J J? ? ? ? ?
由此得到
12
1,2
1 1,2
()
1
JJ
AX
?
??
（ 8-19）
将式（ 8-18）、（ 8-19）与电学中的欧
姆定律相比可见：换热量 相当于电流强
度； 或 相当于电势差；
而 及 则相当于电阻，分别称为
辐射换热表面的 表面辐射热阻 及 空间辐射热
阻。 相当于电源电势，而 则相当于节
点电压。则 两个辐射热阻的等效电路如图所
示,
?
bEJ?
1
A
?
?
?
12()JJ?
1 1,2
1
AX
bE J
?
（ a） 表面辐射热阻
bE
1
A
?
?
?
J
（ b） 空间辐射热阻
1J
12?，
2,11
1
XA
2J
利用上述两个单元格电路，可以容易
地画出组成封闭系统的两个灰体表面间辐
射换热的等效网络,如图所示 。 根据等效
网络，可以立即写出换热量计算式,
12
12
1 1 1 1,2 2 2
11 1
bbEE
A A X A
??
??
?
??
??
??
两表面封闭系统辐射换热等效网络图
1bE
?
11
11 ??A?
2J1J 2bE
22
21 ??A?
2,12,1
1
XA
这种把辐射热阻比拟成等效的电阻从
而通过等校的网络图来求解辐射换热的方
法成为辐射换热的 网络法 。
应用网络法求解多表面封闭系统辐射换热
问题的 步骤,
（ 1）画出等效的网络图。
（ 2）列出节点的电流方程
（ 3）求解上述代数方程得出节点电势。
1
b i i
i
i
ii
EJ
A
?
?
?
??
?
（ 4）按公式 确定每一个表
面的净辐射换热量。
2.网络法的应用举例
以图（ a）所示的三表面的辐射换热问题为例画出图（ b）
的等效网络图
(a)由三个表面组成的封闭系统 (b)三表面封闭腔的等效网络图
a 有一个表面为黑体。 黑体的表面热阻
为零 。其网络图见图 8-14a。
b 有一个表面绝热,即该表面的净换热
量为零 。其网络图见图 8-14b 和 8-14c,
3,两个重要特例
三表面系统的两个特例
§ 8-4 辐射换热的强化与削弱
强化辐射换热 的主要途径有两种,
(1)增加发射率；
(2)增加角系数。
削弱辐射换热 的主要途径有三种,
(1) 降低发射率；
(2) 降低角系数；
(3) 加入遮热板。
所谓 遮热板,是指插入两个辐射换热表
面之间以削弱辐射换热的薄板，其实插入遮
热板相当于降低了表面发射率。本节主要讨
论这种削弱辐射换热的方式。
为了说明遮热板的工作原理，我们来分
析在平行平板之间插入一块薄金属板所引起
的辐射换热的变化,
稳态时有,
?
?
?
?
?
?
?
??
?????
??
2,33,12,1
212,1232,3
313,1
)(
2
1
)(
)(
qqq
EEqEEq
EEq
bbsbbs
bbs
??
?
可见，与没有遮热板时相比，辐射换热量减
小了一半。
辐射表面和金属板的温度、吸收比如图所示。
为讨论方便,设平板和金属薄板都是灰体,并且
1 2 3? ? ? ?? ? ?
遮热板
§ 8-5 气体辐射
本节将简要介绍气体辐射的特点, 换热
过程及其处理方法 。 在工程中常见的温度范
围内, 和 具有很强的吸收和发射
热辐射的本领, 而其他的气体则较弱, 这也
是本节采用这两种气体作为例子的原因 。
OH22CO
1 气体辐射的特点
(1) 气体辐射对波长具有选择性。 它只
在某谱带内具有发射和吸收辐射的本领，而
对于其他谱带则呈现透明状态。如图 8-16所
示。
(2) 气体的辐射和吸收是在整个容积中
进行的,因而，气体的发射率和吸收比还与
容器的形状和容积大小有关。
和 的主要吸收谱带
光谱辐射穿过气体层时的衰减
2CO OH2
2 气体辐射的衰减规律
当热辐射进入吸收性气体层时, 因沿途被气
体吸收而衰减 。 为了考察辐射在气体内的衰
减规律, 如图 8-17所示, 我们假设投射到气
体界面 x = 0 处的光谱辐射强度为,
通过一段距离 x后, 该辐射变为 。 再通过
微元气体层 dx 后, 其衰减量为 。
0,?L
xL,?
xdL,?
x
x
L
L
,
,d
?
?理论上已经证明,与行程 dx 成正比，设比
例系数为,则有 xK
xK
L
L
x
x dd
,
,
?
?
? ??
式中，负号表示吸收,为 光谱衰减系数, m-1，
它取决于其体的种类、密度和波长。对上式进行积
分可得
?K
?? ?? sLL
x
x xK
L
Ls
0,
,dd,
0,
?
?
??
?
即 sK
s eLL ??? ?? 0,,Beer 定律
式中, s 是辐射通过的路程长度, 常称之为
射线程长 。 从上式可知, 热辐射在气体内呈指数
规律衰减 。
3 气体辐射的光谱吸收比、光谱发射率
Beer公式可以写为
?
?
? ?? ?? ? sKs e
L
L
0,
,光谱穿透比
对于气体，反射率为零，于是有
sKess ????? ????? 1),(1),(
sKess ????? ???? 1),(),(
根据 Kirchhoff定律，光谱发射率为
4 气体的发射率
1）确定气体的发射率
2）利用 计算气体的发射辐射。
与射线程长关 s系密切，而 s取决于气体
容积的形状和尺寸。 如图 8-18所示。
3）为了使射线程长均匀，人们引入了 当量
半球的概念, 其半径就是等效的射线程长，
见图 8-19所示。
g?
4gg TA ????
g?
典型几何容积的气体对整个包壁的平均
射线程长列于表 8-1中。
在缺少资料的情况下,任意几个形状气
体对整个包壁的平均射线程长可按下式计算,
A
Vs 6.3?
式中,V为气体容积,m3； A为包壁面积,m2。
图 8-18 气体对
不同地区的辐射 图 8-19 半球内气体对球心的辐射
除了与 s有关外，还与气体的温度和气
体得分压力有关，于是我们有如下关系
g?
),( psTf gg ??
利用上面的关系，可以采用试验获得,
图 8-20给出了 时的水蒸气发射率
的图线。图 8-21则是其修正系数 。
g?
OHC2
02 ?OHp *2OH?
水蒸气的发射率为
*
222 OHOHOH C ?? ?
对应于 的图分别是 8-22和图 8-23。
于是
2CO
*
222 COCOCO C ?? ?
图 8-20 ),( 22* spT OHgOH ??
图 8-21 修正系数 OHC
2
图 8-22 ),(
22
* spT COgCO ??
图 8-23 修正系数 2COC
图 8-23 修正系数 2COC
5 气体的吸收比 g?
???? ???? ** 2222 COCOOHOHg CC
式中修正系数 和 与发射率公
式中的处理方法相同，而, 和
的确定可以采用下面的经验公式
OHC2 2COC
*
2OH? * 2CO? ??
? ? 45.0)(,**
222 ?
?
?
?
???
??
w
g
TTspTOHOH T
T
gwOHw
??
? ? 65.0)(,**
222 ?
?
?
?
???
??
w
g
TTspTCOCO T
T
gwCOw
??
? ? wT?? ???
在其体发射率和吸收比确定后，气
体与黑体外壳之间的辐射换热公式为,
wbggbg EEq,,?? ??
