第四章
导热问题
的数值解法
1,重点内容,
① 掌握导热问题数值解法的基本思路；
② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立
节点的离散方程。
2,掌握内容,数值解法的实质。
3,了解内容,了解非稳态导热问题的两
种差分格式及其稳定性。
求解导热问题实际上就是对导热微分方程在
定解条件下的积分求解，从而获得分析解。随着
计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求
解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主
要有以下几种,
（ 1）有限差分法
（ 2）有限元方法
（ 3）边界元方法
分析解法与数值解法的异同点,
? 相同点,根本目的是相同的，即确定 ①
t=f(x, y, z) ； ② 。
? 不同点,数值解法求解的是区域或时间空
间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温
度场；分析解法求解的是连续的温度场的分
布特征，而不是分散点的数值。
? 数值解法的实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概
括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量
的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上
的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来
的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物
理量的值。该方法称为数值解法。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物
理量的数值解。
§ 4-1 导热问题数值求解的基本思想
及内部节点离散方程的建立
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程 设立温度场的迭代初值
求解代数方程
是否收敛
解的分析
改进初场
是
否
物
理
问
题
的
数
值
求
解
过
程
1
0
t
y
f3
th
f2
th
f1
th x
二维矩形域内稳态无内热
源，常物性的导热问题
2 例题条件
（ a）
（ b）
x
y
x?
y?
n
m
(m,n)
M
N
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、
界面线、步长
二维矩
形域内
稳态无
内热源，
常物性
的导热
问题
如图（ a）所示二维矩形域内无内热源、稳态、
常物性的导热问题采用数值解法的 步骤如下,
（ 1）建立控制方程及定解条件
针对图示的导热问题，它的控制方程（即
导热微分方程 ）为,
22
22 0
tt
xy
????
??
（ 2）区域离散化（确立节点）
用一系列与坐标轴平行的网格线把求
解区域划分成若干个子区域，用网格线的
交点作为需要确定温度值的空间位置，称
为 节点 ( 结点 ),节点的位置用该节点
在两个方向上的标号 m, n 表示。
相邻两节点间的距离称 步长 。
如图 (b) 所示。
（ 3）建立节点物理量的代数方程（离散方程）
节点上物理量的代数方程称离散方程。其
过程如下,
? 首先划分各节点的类型；
? 其次，建立节点离散方程；
? 最后，代数方程组的形成。
对节点 (m,n) 的代数方程，当 △ x=△ y
时，有,
,1,1,,1,1
1 ()
4m n m n m n m n m nt t t t t? ? ? ?? ? ? ?
（ 4） 设立迭代初场
代数方程组的求解方法有直接解法与迭
代解法，传热问题的有限差分法中主要采用
迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温
度场预先设定一个解，这个解称为初场，并
在求解过程中不断改进。
（ 5） 求解代数方程组
求解时遇到的问题,
① 线性； ② 非线性； ③ 收敛性 等。
如图 （ b ），除 m=1 的左边界上各节点
的温度已知外，其余 (M-1)N 个节点均需建
立离散方程，共有 (M-1)N 个方程，则构成
一个封闭的代数方程组。
1 ）线性代数方程组,代数方程一经建立，
其中各项系数在整个求解过程中不再变化；
2 ）非线性代数方程组,代数方程一经建立，
其中各项系数 在整个求解过程中不断更
新。
3 ）是否收敛判断,是指用迭代法求解代数
方程是否收敛，即本次迭代计算所得之解与
上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允
许值。
（ 6） 解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度
分布，根据温度场应进一步计算通过的热流
量，热应力及热变形等。因此，对于数值分
析计算所得的温度场及其它物理量应作详细
分析，以获得定性或定量上的结论。
4 建立离散方程的常用方法,
(1) Taylor（泰勒）级数展开法；
(2) 多项式拟合法；
(3) 控制容积积分法；
(4) 控制容积平衡法 (也称为热平衡法 )
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点 (i,j)的温度 ti,j
来表示节点 (i+1,j)而温度 ti+1,j
用节点 (i,j)的温度 ti,j来表示节点 (i-1,j)的
温度 ti-1,j
2 2 3 3 4 4
1,,2 3 4
,,,2 6 24
m n m n
mn m n m n
t x t x t x tt t x
x x x x?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
2 2 3 3 4
1,,2 3 4
,,,
4
2 6 24m n m n mn m n m n
t x t x t x tt t x
x x x x?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
将上两式相加可得
2 4 4
2
1,1,,24
,
2
12m n m n m n mn
t x tt t t x
xx??
? ? ?? ? ? ? ? ?
??
2
2
,mn
t
x
?
?
将上式改写成 的表达式，有
)(2 22,1,,1
,
2
2
xox tttx t nmnmnm
nm
??? ????? ??
)(2 22 1,,1,
,
2
2
yoy ttty t nmnmnm
nm
??? ????? ??
同样可得,表示未明确写出的
级数余项中的 Δ X
的最低阶数为 2
根据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 )
1,,1,,1,,1
22
22
0m n m n m n m n m n m n
t t t t t t
xy
? ? ? ?? ? ? ???
??
若 △ x=△ y 则有
,1,1,,1,1
1 ()
4m n m n m n m n m nt t t t t? ? ? ?? ? ? ?
22
22 0
tt
xy
????
??
得
(2) 控制容积平衡法 (热平衡法 )
基本思想,是傅里叶导热定律和能量守恒定律的体
现。对每个元体，可用傅里叶导热定律写出其能量
守恒的表达式。如图所示,从节点 (m-1,n) 通过
界面 w 传导到节点 (m,n) 的热流量,
1,,m n m n
w
tty
x?
? ?? ? ?
?
同理：通过界面 e,n,s 传导给节点（ m,n ）的热
流量也可求得 （省略）
对元体 (m,n),根据能量守恒定律可知,
0e w n s? ? ? ? ? ? ? ?
其中,规定,导入元体（ m,n ）的热流量
为正；导出元体（ m,n ）的热流量为负。
说明,
① 上述分析与推导是在笛卡儿坐标系中进
行的；
② 热平衡法概念清晰，过程简捷；
③ 热平衡法与建立微分方程的思路与过程
一致，但不同的是前者是有限大小的元体，
后者是微元体。
4-2 边界节点离散方程的建立
及代数方程的求解
对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，
因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点
的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。
而对于第二类或第三类边界条件的导热问题，所有内
节点的离散方程组成的代数方程组是不封闭的，因未知边
界温度，因而应对位于该边界上的节点补充相应的代数方
程，才能使方程组封闭，以便求解。
为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类
边界条件合并起来考虑，用 qw表示边界上的热流密度或热
流密度表达式。 为使结果更具一般性，假设物体具有内热
源 Φ ( 不必均匀分布 ) 。
如图所示 边界节点 (m,n) 只能代表半个元体，若
边界上有向该元体传递的热流密度为,据能量守恒
定律对该元体有,
1.边界节点离散方程的建立,
(1) 平直边界上的节点
1,,,1,
,1,
,
2
0
22
m n m n m n m n
m n m n
m n w
t t t t x
y
xy
ttxx
Φ y y q
y
??
?
??
?
?? ?
??
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???
? ? ? ? ? ?
?
???? yx 2,
,1,,1,1
21 2
4
mn w
m n m n m n m n
x Φ xqt t t t
??? ? ?
?? ? ?? ? ? ? ?
??
??
x
y
qw
(2) 外部角点
2
,
,1,,1
21
22
mn w
m n m n m n
x Φ xqt t t
????
?? ? ?
? ? ? ???
??
1,,,1,
,
22
0
42
m n m n m n m n
mn
w
t t t tyx
xy
xy Φ xy
q
??
??????
??
??
?? ? ? ?
??
???? yx
如图所示，二维墙角计算区域中，该节点外角点仅
代表 1/4 个以 为边长的元体。假设边
界上有向该元体传递的热流密度为,则据能量
守恒定律得其热平衡式为,
xy??、
wq
x
y
qw
(3) 内部角点
22
,1,,1,1 1,
213( 2 2 )
62
w
m n m n m n m n m n
xqxt t t t t
??? ? ? ?
???? ? ? ? ? ?
1,,,1,,1,
1,,
,
2
3
0
2 4 2
m n m n m n m n m n m n
m n m n
m n w
t t t t t t x
yx
x y y
tt y x y x y
Φ q
x
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
???? yx
如图所示内部角点代表了 3/4 个元体，在同样的
假设条件下有
x
y
qw
讨论关于边界热流密度的三种情况,
（ 1）绝热边界
即令上式 即可。 0
wq ?
（ 2） 值不为零 wq
流入元体,取正，流出元体,取负使
用上述公式 wq wq
（ 3）对流边界
此时,将此表达式代入上述方程，
并将此项中的 与等号前的 合并。
对于 的情形有
)(,nmfw tthq ??
,mnt,mnt
xy? ? ?
（ a）平直边界
（ b）外部角点
（ c）内部角点
2
,,1,,1,1
22 2 2
mnm n m n m n m n f
h x x h xt t t t t
? ? ?? ? ?
? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?
????
2
,
,1,,1
221
2
mn
m n m n m n f
h x x h xt t t t
? ? ???
? ? ? ??? ? ? ? ? ?
????
? ? 2,,1,,1 1,,1 322 3 2 2 mnm n m n m n m n m n fh x x h xt t t t t t? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?????
2 代数方程的求解方法
2） 迭代法,先对要计算的场作出假设（设
定初场），在迭代计算中不断予以改进，直
到计算前的假定值与计算结果相差小于允许
值为止的方法，称迭代计算收敛。
1） 直接解法,通过有限次运算获得精确
解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。
2 迭代法目前应用较多的是,
1 ）高斯 —— 赛德尔迭代法,每次迭代计算，
均是使用节点温度的最新值。
2 ）用雅可比迭代法,每次迭代计算，均用
上一次迭代计算出的值。
设有一三元方程组,
1 1 1 1 2 2 1 3 3 1
2 1 1 2 2 2 2 3 3 2
3 1 1 3 2 2 3 3 3 3
a t a t a t b
a t a t a t b
a t a t a t b
? ? ?
? ? ?
? ? ?
其中 （ i=1,2,3 ； j=1,2,3 ）及
是已知的系数（均不为零）及常数。
,ija
ib
采用高斯 —— 赛德尔迭代法的步骤,
（ 1）将三元方程变形为迭式方程,1 1 12 2 13 3
11
2 2 21 1 23 3
22
3 3 31 1 32 2
33
1
()
1
()
1
()
t b a t a t
a
t b a t a t
a
t b a t a t
a
? ? ?
? ? ?
? ? ?
（ 2）假设一组解（迭代初场），记为,
并代入迭代方程求得第一
次解 每次计算均用最新值
代入。
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1 2 3ttt、,
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 2 3ttt、,
（ 3）以新的初场 重复计算，直到相邻两
次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，
计算终止。
判断迭代是否收敛的准则,
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
)(
m a x
)()1(
)(
)()1(
)()1(
m a x
m a x
m a x
k
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
t
tt
t
tt
tt
k及 k+1表示迭代次数； — 第 k次迭代得到的最大值
(k)maxt
当有接近于零的 t 时，第三个较好
36
1 0 ~ 1 0
?
?
??
— 允 许 的 偏 差 ；
相 对 偏 差 值 一 般
取
说明,
1 ）对于一个代数方程组，若选用的迭代方
式不合适，有可能导致发散，即称 迭代过程
发散 ；
2 ）对于常物性导热问题，组成的差分方程
组，迭代公式的选择应使一个迭代变量的系
数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对
值的代数和，此时，结果一定收敛。
3 ）采用热平衡法导出差分方程时，若每
一个方程都选用导出该方程中心节点的温
度作为迭代变量，则上述条件必满足，迭
代一定收敛。
1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
1 1 2 2 3 3
1 1 1
a a a a a a
a a a
? ? ?
? ? ?，,
这一 条件 数学上称主对角线占优（对角占
优）；
导热问题
的数值解法
1,重点内容,
① 掌握导热问题数值解法的基本思路；
② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立
节点的离散方程。
2,掌握内容,数值解法的实质。
3,了解内容,了解非稳态导热问题的两
种差分格式及其稳定性。
求解导热问题实际上就是对导热微分方程在
定解条件下的积分求解，从而获得分析解。随着
计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求
解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主
要有以下几种,
（ 1）有限差分法
（ 2）有限元方法
（ 3）边界元方法
分析解法与数值解法的异同点,
? 相同点,根本目的是相同的，即确定 ①
t=f(x, y, z) ； ② 。
? 不同点,数值解法求解的是区域或时间空
间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温
度场；分析解法求解的是连续的温度场的分
布特征，而不是分散点的数值。
? 数值解法的实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概
括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量
的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上
的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来
的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物
理量的值。该方法称为数值解法。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物
理量的数值解。
§ 4-1 导热问题数值求解的基本思想
及内部节点离散方程的建立
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程 设立温度场的迭代初值
求解代数方程
是否收敛
解的分析
改进初场
是
否
物
理
问
题
的
数
值
求
解
过
程
1
0
t
y
f3
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二维矩形域内稳态无内热
源，常物性的导热问题
2 例题条件
（ a）
（ b）
x
y
x?
y?
n
m
(m,n)
M
N
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、
界面线、步长
二维矩
形域内
稳态无
内热源，
常物性
的导热
问题
如图（ a）所示二维矩形域内无内热源、稳态、
常物性的导热问题采用数值解法的 步骤如下,
（ 1）建立控制方程及定解条件
针对图示的导热问题，它的控制方程（即
导热微分方程 ）为,
22
22 0
tt
xy
????
??
（ 2）区域离散化（确立节点）
用一系列与坐标轴平行的网格线把求
解区域划分成若干个子区域，用网格线的
交点作为需要确定温度值的空间位置，称
为 节点 ( 结点 ),节点的位置用该节点
在两个方向上的标号 m, n 表示。
相邻两节点间的距离称 步长 。
如图 (b) 所示。
（ 3）建立节点物理量的代数方程（离散方程）
节点上物理量的代数方程称离散方程。其
过程如下,
? 首先划分各节点的类型；
? 其次，建立节点离散方程；
? 最后，代数方程组的形成。
对节点 (m,n) 的代数方程，当 △ x=△ y
时，有,
,1,1,,1,1
1 ()
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（ 4） 设立迭代初场
代数方程组的求解方法有直接解法与迭
代解法，传热问题的有限差分法中主要采用
迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温
度场预先设定一个解，这个解称为初场，并
在求解过程中不断改进。
（ 5） 求解代数方程组
求解时遇到的问题,
① 线性； ② 非线性； ③ 收敛性 等。
如图 （ b ），除 m=1 的左边界上各节点
的温度已知外，其余 (M-1)N 个节点均需建
立离散方程，共有 (M-1)N 个方程，则构成
一个封闭的代数方程组。
1 ）线性代数方程组,代数方程一经建立，
其中各项系数在整个求解过程中不再变化；
2 ）非线性代数方程组,代数方程一经建立，
其中各项系数 在整个求解过程中不断更
新。
3 ）是否收敛判断,是指用迭代法求解代数
方程是否收敛，即本次迭代计算所得之解与
上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允
许值。
（ 6） 解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度
分布，根据温度场应进一步计算通过的热流
量，热应力及热变形等。因此，对于数值分
析计算所得的温度场及其它物理量应作详细
分析，以获得定性或定量上的结论。
4 建立离散方程的常用方法,
(1) Taylor（泰勒）级数展开法；
(2) 多项式拟合法；
(3) 控制容积积分法；
(4) 控制容积平衡法 (也称为热平衡法 )
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点 (i,j)的温度 ti,j
来表示节点 (i+1,j)而温度 ti+1,j
用节点 (i,j)的温度 ti,j来表示节点 (i-1,j)的
温度 ti-1,j
2 2 3 3 4 4
1,,2 3 4
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m n m n
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同样可得,表示未明确写出的
级数余项中的 Δ X
的最低阶数为 2
根据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 )
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22
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若 △ x=△ y 则有
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得
(2) 控制容积平衡法 (热平衡法 )
基本思想,是傅里叶导热定律和能量守恒定律的体
现。对每个元体，可用傅里叶导热定律写出其能量
守恒的表达式。如图所示,从节点 (m-1,n) 通过
界面 w 传导到节点 (m,n) 的热流量,
1,,m n m n
w
tty
x?
? ?? ? ?
?
同理：通过界面 e,n,s 传导给节点（ m,n ）的热
流量也可求得 （省略）
对元体 (m,n),根据能量守恒定律可知,
0e w n s? ? ? ? ? ? ? ?
其中,规定,导入元体（ m,n ）的热流量
为正；导出元体（ m,n ）的热流量为负。
说明,
① 上述分析与推导是在笛卡儿坐标系中进
行的；
② 热平衡法概念清晰，过程简捷；
③ 热平衡法与建立微分方程的思路与过程
一致，但不同的是前者是有限大小的元体，
后者是微元体。
4-2 边界节点离散方程的建立
及代数方程的求解
对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，
因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点
的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。
而对于第二类或第三类边界条件的导热问题，所有内
节点的离散方程组成的代数方程组是不封闭的，因未知边
界温度，因而应对位于该边界上的节点补充相应的代数方
程，才能使方程组封闭，以便求解。
为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类
边界条件合并起来考虑，用 qw表示边界上的热流密度或热
流密度表达式。 为使结果更具一般性，假设物体具有内热
源 Φ ( 不必均匀分布 ) 。
如图所示 边界节点 (m,n) 只能代表半个元体，若
边界上有向该元体传递的热流密度为,据能量守恒
定律对该元体有,
1.边界节点离散方程的建立,
(1) 平直边界上的节点
1,,,1,
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(2) 外部角点
2
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???? yx
如图所示，二维墙角计算区域中，该节点外角点仅
代表 1/4 个以 为边长的元体。假设边
界上有向该元体传递的热流密度为,则据能量
守恒定律得其热平衡式为,
xy??、
wq
x
y
qw
(3) 内部角点
22
,1,,1,1 1,
213( 2 2 )
62
w
m n m n m n m n m n
xqxt t t t t
??? ? ? ?
???? ? ? ? ? ?
1,,,1,,1,
1,,
,
2
3
0
2 4 2
m n m n m n m n m n m n
m n m n
m n w
t t t t t t x
yx
x y y
tt y x y x y
Φ q
x
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
???? yx
如图所示内部角点代表了 3/4 个元体，在同样的
假设条件下有
x
y
qw
讨论关于边界热流密度的三种情况,
（ 1）绝热边界
即令上式 即可。 0
wq ?
（ 2） 值不为零 wq
流入元体,取正，流出元体,取负使
用上述公式 wq wq
（ 3）对流边界
此时,将此表达式代入上述方程，
并将此项中的 与等号前的 合并。
对于 的情形有
)(,nmfw tthq ??
,mnt,mnt
xy? ? ?
（ a）平直边界
（ b）外部角点
（ c）内部角点
2
,,1,,1,1
22 2 2
mnm n m n m n m n f
h x x h xt t t t t
? ? ?? ? ?
? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?
????
2
,
,1,,1
221
2
mn
m n m n m n f
h x x h xt t t t
? ? ???
? ? ? ??? ? ? ? ? ?
????
? ? 2,,1,,1 1,,1 322 3 2 2 mnm n m n m n m n m n fh x x h xt t t t t t? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?????
2 代数方程的求解方法
2） 迭代法,先对要计算的场作出假设（设
定初场），在迭代计算中不断予以改进，直
到计算前的假定值与计算结果相差小于允许
值为止的方法，称迭代计算收敛。
1） 直接解法,通过有限次运算获得精确
解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。
2 迭代法目前应用较多的是,
1 ）高斯 —— 赛德尔迭代法,每次迭代计算，
均是使用节点温度的最新值。
2 ）用雅可比迭代法,每次迭代计算，均用
上一次迭代计算出的值。
设有一三元方程组,
1 1 1 1 2 2 1 3 3 1
2 1 1 2 2 2 2 3 3 2
3 1 1 3 2 2 3 3 3 3
a t a t a t b
a t a t a t b
a t a t a t b
? ? ?
? ? ?
? ? ?
其中 （ i=1,2,3 ； j=1,2,3 ）及
是已知的系数（均不为零）及常数。
,ija
ib
采用高斯 —— 赛德尔迭代法的步骤,
（ 1）将三元方程变形为迭式方程,1 1 12 2 13 3
11
2 2 21 1 23 3
22
3 3 31 1 32 2
33
1
()
1
()
1
()
t b a t a t
a
t b a t a t
a
t b a t a t
a
? ? ?
? ? ?
? ? ?
（ 2）假设一组解（迭代初场），记为,
并代入迭代方程求得第一
次解 每次计算均用最新值
代入。
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1 2 3ttt、,
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 2 3ttt、,
（ 3）以新的初场 重复计算，直到相邻两
次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，
计算终止。
判断迭代是否收敛的准则,
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
)(
m a x
)()1(
)(
)()1(
)()1(
m a x
m a x
m a x
k
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
t
tt
t
tt
tt
k及 k+1表示迭代次数； — 第 k次迭代得到的最大值
(k)maxt
当有接近于零的 t 时，第三个较好
36
1 0 ~ 1 0
?
?
??
— 允 许 的 偏 差 ；
相 对 偏 差 值 一 般
取
说明,
1 ）对于一个代数方程组，若选用的迭代方
式不合适，有可能导致发散，即称 迭代过程
发散 ；
2 ）对于常物性导热问题，组成的差分方程
组，迭代公式的选择应使一个迭代变量的系
数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对
值的代数和，此时，结果一定收敛。
3 ）采用热平衡法导出差分方程时，若每
一个方程都选用导出该方程中心节点的温
度作为迭代变量，则上述条件必满足，迭
代一定收敛。
1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
1 1 2 2 3 3
1 1 1
a a a a a a
a a a
? ? ?
? ? ?，,
这一 条件 数学上称主对角线占优（对角占
优）；
