第三章
非稳态导热
１、重点内容,
① 非稳态导热的基本概念及特点；
② 集总参数法的基本原理及应用；
③ 一维及二维非稳态导热问题。
2,掌握内容,
① 确定瞬时温度场的方法；
② 确定在一时间间隔内物体所传导热 量的计算方法。
3,了解内容,无限大物体非稳态导热的基本特点。
§ 3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义
物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导
热。
2 非稳态导热的分类
周期性非稳态导热,物体的温度随时间而作周期
性的变化
瞬态非稳态导热,物体的温度随时间的推移逐渐
趋近于恒定的值
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布,
D
t 1
t 0
H
CBA
E
F
G
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (右侧面不参与换热 ),温度
分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分
为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温
度分布受 t 分布的影响较大
正规状况阶段 (右侧面参与换热 ),当右侧面
参与换热以后，物体中的温度分布不受 to 影响，
主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热
过程进入到正规状况阶段。
非正规状况阶段 （ 起始阶段 ）, 正规状况阶
段, 新的稳态
导热过程的三个阶段
二类非稳态导热的区别,前者存在着有区
别的两个不同阶段，而后者不存在。
5 热量变化
Φ 1－－板左侧导入的热流量
Φ 2－－板右侧导出的热流量
6 学习非稳态导热的目的,
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变
化规律
(2) 非稳态导热的导热微分方程式,
) ; ),,,( ?? f(Φzyxft ??
??????????????????? ?)()()( ztzytyxtxtc ?????
(3) 求解方法,
分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法,分离变量法,积分变换、拉普
拉斯变换
近似分析法,集总参数法,积分法
数值解法,有限差分法,蒙特卡洛法、有
限元法、分子动力学模拟
7、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条
件问题
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的
温度变化特征与边界条件参数的关系。
已知,平板厚,初温,表面传热系数 h,
平板导热系数,将其突然置于温度为 的
流体中冷却。
?2 0t
? ?t
由于面积热阻与的相对大小的不同，平板中温度场
的变化会出现以下三种情形,
1 / /h ????（ 1）
?t
h/1
这时，由于表面对流换热热阻 几乎可以
忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却
到 。并随着时间的推移，整体地下降，逐渐
趋近于 。
/ 1 / h?? ??（ 2）
??/
?t
这时，平板内部导热热阻 几乎可以忽略，
因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随
着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 。
?t
这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述
两种极端情况之间。
/?? 1/h（ 3） 与 的数值比较接近
由此可见，上述两个热阻的相对大小对于物体
中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。为此，
我们引入表征这两个热阻比值的无量纲数 毕渥数,
1）毕渥数的定义,
1
hBi
h
? ? ?
???
毕渥数属特征数（准则数）。
2） Bi 物理意义,Bi 的大小反映了物体在
非稳态条件下内部温度场的分布规律。
3 ）特征数（准则数）,表征某一物理现
象或过程特征的无量纲数。
4 ）特征长度,是指特征数定义式中的几
何尺度。
§ 3-2 集总参数法的简化分析
1 定义,忽略物体内部导热热阻、认为物体
温度均匀一致的分析方法。此时，,
温度分布只与时间有关，即,
与空间位置无关，因此，也称为 零维 问题。
??Bi
)(?ft ?
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
00 tt ?? 时，?
?t将其突然置于温度恒为 的流体中。
当物体被冷却时（ t >t?）,由能量守恒可知
?? d
dtVctthA -)( ??
?
???? dVchAd ??方程式改写为,
过余温度—令,??? tt?,则有
??
?
?
?
????
?
? 00)0(
-
???
?
?
??
tt
d
d
VchA
初始条件
控制方程
?? ?? ??? ???? 00 dVchAd
???? VchA?? ln
0
???? dVchAd ??
积分
? ?
?
?
?
?
? VchAe
tt
tt ?
?
? ?
?
??
00
?
过余温度比
其中的指数,
vv
FoBi
AV
aAVh
cV
A
A
hV
cV
hA
????
??
2
2
2
)(
)( ?
?
?
?
?
?
?
?
2)(
)(
AV
aFoAVhBi
vv
?
? ??
vFo 是 傅立叶数
vv FoBiVc
hA
ee ??
?
??
?
?
?
?
0
物体中的温度
呈指数分布
方程中指数的量纲,
2
2
3
3
W
m
1mK
kg J kg
[ m ]
Km
hA w
V c J s?
?? ??
???
????
? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ?
? ? ? ?
%8.36 1
0
?? ?e
?
?
即与 的量纲相同，当 时，则 ?1 hAVc?? ?
1?? VchA?? 此时,
上式表明：当传热时间等于 时，物体
的过余温度已经达到了初始过余温度的 36.8％ 。
称 为 时间常数,用 表示。
hA
Vc?
hA
Vc?
c?
0
?
?
%8.36e 1
0
c ???
?
?
???
vv FoBi ?
应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线
如果导热体的热容量（ ?Vc ）小、换热条件好
（ h大），那么单位时间所传递的热量大、导热
体的温度变化快，时间常数 ( ?Vc / hA) 小。
对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热
电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术
所需要的 （微细热电偶、薄膜热电阻）
%83.1 4
0
?? ???? 时，当 hAVc 工程上认为 ?=4 ?Vc / hA时导热体已达到热平衡状
态
3 瞬态热流量,
导热体在时间 0~ ? 内传给流体的总热量,
当物体被加热时 (t<t?)，计算式相同（为
什么？）
? ?W
))(()(
0
?
??
???
Vc
hA
ehA
hAtthAΦ
?
?
?
???
? ?J )1()( 00 ???? ???? Vc
hA
eVcdΦQ ???? ?
4 物理意义 vv FoBi
h
lhl
1Bi
?
? ?? 物体表面对流换热热阻
物体内部导热热阻＝
无量纲
热阻
无量纲
时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到
物体内部，因而，物体各点地温度就
越接近周围介质的温度。
2 2F lo la
??? 换 热 时 间
边 界 热 扰 动 扩 散 到 面 积 上 所 需 的 时 间
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于 5%
M1.0)AV(hB iv ?? ?
对厚为 2δ 的
无限大平板
对半径为 R的无
限长圆柱
对半径为 R的
球 3
1
M
2
1
M
1M
?
?
?
3
B
B
3
R
R4
R
3
4
A
V
2
B
B
2
R
R2
R
A
V
BB
A
A
A
V
i
iv2
3
i
iv
2
iiv
???
???
???
?
?
??
??
?
?
5 集总参数法的应用条件
是与物体几何形状
有关的无量纲常数
§ 3-3 一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ =const a=const h=const
因两边对称，只研究半块平壁
此半块平板的数学描写,
导热微分方程
初始条件
边界条件
x
tat
2
2
?
??
?
?
?
)0,x0( ??? ??
0tt 0 ?? ?
0x0xt ????
?? ?????? ? x)tt(hxt
(对称性 )
引入变量－－ 过余温度
令
??? t),x(t),x( ???
??
?
?
?
???
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
???
?
?
?
?
?
xh
x
0x0
x
0
0,x0
x
a
0
2
2
上式化为,
用分离变量法可得其分析解为,
此处 Bn为离散面 (特征值 )
若令
则上式可改写为,
e a
n nnn
nn nxx ??
??????
???
?
?? 2
10 )c o s ()s i n (
)c o s ()s i n (2),( ??
?
? ??
e 22n
a
n
1n nnn
n
0
)xc o s (c o ss i ns i n2),x( ?
??
?????
?
?
?? ??
?
? ??
??? nn ?
*
μ n为下面超越方程的根
为 毕渥准则数,用符号 Bi 表示
书上 P73表 3-1给出了部分 Bi数下的 μ 1值
??
??
h
c t g nn ?
?
?h
e a
n nnn
nn nxx ??
??????
???
?
?? 2
10 )c o s ()s i n (
)c o s ()s i n (2),( ??
?
? ??
e
a
n nnn
nn nxx 22)(
10 )c o s ()s i n (
)c o s ()s i n (2),(
?
???
??????
???
?
?? ??
?
? ??
因此 是 F0,Bi 和 函数，即
0
),x(
?
?? ?
x
)x,B,F(f),x( i0
0 ??
?? ?
注意：特征值 特征数（准则数）
?? ?? 区别
n?
2,非稳态导热的正规状况
对无限大平板
当 取级数的首项，板中心温度,
误差小于 1%
20 aF ???
2.0F0 ?
e Fxx 021)c o s (c o ss i ns i n2),( 1
111
1
0
?
?????
?
?
?? ?
??
e Fm 021
111
1
00 c o ss i n
s i n2)(),0( ?
???
?
?
??
?
?? ?
???
e Fxx 021)c o s (c o ss i ns i n2),( 1
111
1
0
?
?????
?
?
?? ?
??
e Fm 021
111
1
00 c o ss i n
s i n2)(),0( ?
???
?
?
??
?
?? ?
???
)c o s ()( ),( 1 ???? ?? xx
m
?
与时间无关
若令 Q为 内所传递热量
--时刻 z的平均过余温度
)( 00 ??? ttcVQ ?
00
0
0
1)( )],([ ??? ?? ?????
?
?
ttcV
dVxttc
Q
Q V
?
e 1 1021
s i n)F(
111
1
0v c o ss in
s in2dv
v
1
?
??
???
???? ??
??? ?
],0[ ?
考察热量的传递
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
对无限大平板，长圆柱体及球,
及 可用一通式表达
i0
2
10
10
2
1
0
B)Fe x p (A
)y(f)Fe x p (A
???
??
?
?
??
??
?
?0
?
无限大平板
长圆柱体及球
此处
此处的 A,B及函数 见 P74表 3-2
20i
20i
R
azFhRB
R
xy
azFhBxy
???
???
?
??
?
?
?1()fy
3 正规热状况的实用计算方法 － 拟合公式法
对上述公式中的 A,B,μ 1,J0 可用下式拟合
式中常数 a,b,c,d 见 P75表 3-3
a`,b`,c`,d`见 P75表 3-4
32
0
i
i
cBi
1
i
2
1
x`dx`cx`b`a)x(J
bB1
cBa
B
)e1(baA
)
B
b
a(
????
?
?
?
???
??
?
?
?
),,()c o s (c o ss i ns i n2),( 1
111
1
0 0
21
??????
???? ? xBiFofxx e F ?
??
?
3 正规热状况的实用计算方法 － 线算图法
诺谟图
三个变量，因此，需要分开来画
以无限大平板为例,F0>0.2 时，取其级数首项即可
(1)先画
),(
0
BiFofm ???
(2) 再根据公式 (3-23)
绘制其线算图
),()c o s ()( ),( 1 ????? ?? xBifxx
m
??
(3) 于是，平板中任一点的温度为
00 ?
?
?
?
?
? m
m
??
同理，非稳态换热过程所交换的热量也可
以利用（ 3－ 24）和（ 3－ 25）绘制出。
解的应用范围
书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质
的第三类边界条件或第一类边界条件的加
热及冷却过程，并且 F0>0.2
§ 3-4 二维及三维问题的求解
考察一无限长方柱体 (其截面为 的长方形 )
2
2 ?
1
2 ?
21 22 ?? ?
ft
00
),,(
?
?? ?
?
???
f
f
tt
tyxt
)( 2
2
2
2
yxa ?
???
?
???
?
??
?
10 ????
x
yxyhx
?
?????? ),,(),,(
11
?????
y
yxxhy
?
?????? ),,(),,(
22
?????
0),,(0 0 ????? ?xx yxx ? 0),,(0 0 ????? ?yy yxy ?
),(
),(
0
),(
0
1)0,(0
2
0
2
2
??
?
??
?
?
?
??
?
??
??
?
?
??
?
???
?
??
?
?
??
?
h
x
x
x
x
x
x
x
x
a
x
x
x
利用以下两组方程便可证明
),(),(),,( ??? yxyx ?????
及
),(
),(
0
),(
0
1)0,(0
22
0
2
2
??
?
??
?
?
?
??
?
??
??
?
?
??
?
???
?
??
?
?
??
?
h
y
y
y
y
y
y
y
y
a
y
y
y
即证明了 是无限长方柱体导
热微分方程的解, 这样便可用一维无限大平
壁公式, 诺谟图或拟合函数求解二维导热问
题
),(),( ?? yx ???
其中
其中
f
f
x tt
txt
?
?
??
0
),( ?
f
f
y tt
tyt
?
?
??
0
),( ?
0
),x(
?
??
0
),v(
?
??
R
l2
22 12
32
? ? ? ? 21 ),(),(),,( PP yxyx ??? ????
? ? ? ? ? ? 321 ),(),(),(),,,( PPP zyxzyx ???? ?????
? ? ? ? cP yxyx ),(),(),,( ??? ????
限制条件,
（ 1） 一侧绝热，另一侧三类
（ 2） 两侧均为一类
（ 3） 初始温度分布必须为常数
§ 3-5 半无限大的物体
半无限大物体的概念
0tt
0xtt
x
t
a
t
0
w
2
2
??
??
?
?
?
?
?
?
?
w
t
t
0
t
x
误差函数,
?
?
?
?
????
? ? 1)(
1)(2)(
0
2
xe r fx
xe r fxdvexe r f x v
有限大小时，?
)(
0
??? e r f?
令 ??
?? a
x
4
无量纲
坐标
引入 过余温度
2
4
0
0
2
(
4)
w
x
ya
tt
xd e r f
ae
?
?
?
?
?? ?
?
??
???问题的解为
误差函数 无量纲变量
说明,
(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 ? 有关,
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论
经历多么短的时间无论 x有多么大，该处总
能感受到温度的化。
(3) 但解释 Fo,a 时，仍说热量是以一定速
度传播的，这是因为，当温度变化很小时，
我们就认为没有变化。
)y(e r f
?a4
x
y ?
令
若
即 可认为该处温度没有变化
9 9 5 3.0
9 9 5 3.0)2(e r f2y
a4xy
0 ?
??
?
??
?
① 几何位置
若
对一原为 2δ 的平板，若
即可作为半无限大物体来处理
?a4x2y ???
?? a4?
两个重要参数,
② 时间
若
对于有限大的实际物体，半无限大物
体的概念只适用于物体的非稳态导热的
初始阶段，那在惰性时间以内
a16
x22y 2???
即任一点的热流通量,
2
4
0
1 x a
xq x a e
??? ??
??
??? ? ? ?
?
[0,?]内累计传热量
00 2 ????
?? ???? ? cdzqq
w
吸热系数
0
wq a
??
????
0x?令 即得边界面上的热流通量
非稳态导热
１、重点内容,
① 非稳态导热的基本概念及特点；
② 集总参数法的基本原理及应用；
③ 一维及二维非稳态导热问题。
2,掌握内容,
① 确定瞬时温度场的方法；
② 确定在一时间间隔内物体所传导热 量的计算方法。
3,了解内容,无限大物体非稳态导热的基本特点。
§ 3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义
物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导
热。
2 非稳态导热的分类
周期性非稳态导热,物体的温度随时间而作周期
性的变化
瞬态非稳态导热,物体的温度随时间的推移逐渐
趋近于恒定的值
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布,
D
t 1
t 0
H
CBA
E
F
G
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (右侧面不参与换热 ),温度
分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分
为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温
度分布受 t 分布的影响较大
正规状况阶段 (右侧面参与换热 ),当右侧面
参与换热以后，物体中的温度分布不受 to 影响，
主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热
过程进入到正规状况阶段。
非正规状况阶段 （ 起始阶段 ）, 正规状况阶
段, 新的稳态
导热过程的三个阶段
二类非稳态导热的区别,前者存在着有区
别的两个不同阶段，而后者不存在。
5 热量变化
Φ 1－－板左侧导入的热流量
Φ 2－－板右侧导出的热流量
6 学习非稳态导热的目的,
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变
化规律
(2) 非稳态导热的导热微分方程式,
) ; ),,,( ?? f(Φzyxft ??
??????????????????? ?)()()( ztzytyxtxtc ?????
(3) 求解方法,
分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法,分离变量法,积分变换、拉普
拉斯变换
近似分析法,集总参数法,积分法
数值解法,有限差分法,蒙特卡洛法、有
限元法、分子动力学模拟
7、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条
件问题
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的
温度变化特征与边界条件参数的关系。
已知,平板厚,初温,表面传热系数 h,
平板导热系数,将其突然置于温度为 的
流体中冷却。
?2 0t
? ?t
由于面积热阻与的相对大小的不同，平板中温度场
的变化会出现以下三种情形,
1 / /h ????（ 1）
?t
h/1
这时，由于表面对流换热热阻 几乎可以
忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却
到 。并随着时间的推移，整体地下降，逐渐
趋近于 。
/ 1 / h?? ??（ 2）
??/
?t
这时，平板内部导热热阻 几乎可以忽略，
因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随
着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 。
?t
这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述
两种极端情况之间。
/?? 1/h（ 3） 与 的数值比较接近
由此可见，上述两个热阻的相对大小对于物体
中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。为此，
我们引入表征这两个热阻比值的无量纲数 毕渥数,
1）毕渥数的定义,
1
hBi
h
? ? ?
???
毕渥数属特征数（准则数）。
2） Bi 物理意义,Bi 的大小反映了物体在
非稳态条件下内部温度场的分布规律。
3 ）特征数（准则数）,表征某一物理现
象或过程特征的无量纲数。
4 ）特征长度,是指特征数定义式中的几
何尺度。
§ 3-2 集总参数法的简化分析
1 定义,忽略物体内部导热热阻、认为物体
温度均匀一致的分析方法。此时，,
温度分布只与时间有关，即,
与空间位置无关，因此，也称为 零维 问题。
??Bi
)(?ft ?
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
00 tt ?? 时，?
?t将其突然置于温度恒为 的流体中。
当物体被冷却时（ t >t?）,由能量守恒可知
?? d
dtVctthA -)( ??
?
???? dVchAd ??方程式改写为,
过余温度—令,??? tt?,则有
??
?
?
?
????
?
? 00)0(
-
???
?
?
??
tt
d
d
VchA
初始条件
控制方程
?? ?? ??? ???? 00 dVchAd
???? VchA?? ln
0
???? dVchAd ??
积分
? ?
?
?
?
?
? VchAe
tt
tt ?
?
? ?
?
??
00
?
过余温度比
其中的指数,
vv
FoBi
AV
aAVh
cV
A
A
hV
cV
hA
????
??
2
2
2
)(
)( ?
?
?
?
?
?
?
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2)(
)(
AV
aFoAVhBi
vv
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vFo 是 傅立叶数
vv FoBiVc
hA
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?
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?
?
?
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0
物体中的温度
呈指数分布
方程中指数的量纲,
2
2
3
3
W
m
1mK
kg J kg
[ m ]
Km
hA w
V c J s?
?? ??
???
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%8.36 1
0
?? ?e
?
?
即与 的量纲相同，当 时，则 ?1 hAVc?? ?
1?? VchA?? 此时,
上式表明：当传热时间等于 时，物体
的过余温度已经达到了初始过余温度的 36.8％ 。
称 为 时间常数,用 表示。
hA
Vc?
hA
Vc?
c?
0
?
?
%8.36e 1
0
c ???
?
?
???
vv FoBi ?
应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线
如果导热体的热容量（ ?Vc ）小、换热条件好
（ h大），那么单位时间所传递的热量大、导热
体的温度变化快，时间常数 ( ?Vc / hA) 小。
对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热
电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术
所需要的 （微细热电偶、薄膜热电阻）
%83.1 4
0
?? ???? 时，当 hAVc 工程上认为 ?=4 ?Vc / hA时导热体已达到热平衡状
态
3 瞬态热流量,
导热体在时间 0~ ? 内传给流体的总热量,
当物体被加热时 (t<t?)，计算式相同（为
什么？）
? ?W
))(()(
0
?
??
???
Vc
hA
ehA
hAtthAΦ
?
?
?
???
? ?J )1()( 00 ???? ???? Vc
hA
eVcdΦQ ???? ?
4 物理意义 vv FoBi
h
lhl
1Bi
?
? ?? 物体表面对流换热热阻
物体内部导热热阻＝
无量纲
热阻
无量纲
时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到
物体内部，因而，物体各点地温度就
越接近周围介质的温度。
2 2F lo la
??? 换 热 时 间
边 界 热 扰 动 扩 散 到 面 积 上 所 需 的 时 间
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于 5%
M1.0)AV(hB iv ?? ?
对厚为 2δ 的
无限大平板
对半径为 R的无
限长圆柱
对半径为 R的
球 3
1
M
2
1
M
1M
?
?
?
3
B
B
3
R
R4
R
3
4
A
V
2
B
B
2
R
R2
R
A
V
BB
A
A
A
V
i
iv2
3
i
iv
2
iiv
???
???
???
?
?
??
??
?
?
5 集总参数法的应用条件
是与物体几何形状
有关的无量纲常数
§ 3-3 一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ =const a=const h=const
因两边对称，只研究半块平壁
此半块平板的数学描写,
导热微分方程
初始条件
边界条件
x
tat
2
2
?
??
?
?
?
)0,x0( ??? ??
0tt 0 ?? ?
0x0xt ????
?? ?????? ? x)tt(hxt
(对称性 )
引入变量－－ 过余温度
令
??? t),x(t),x( ???
??
?
?
?
???
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
???
?
?
?
?
?
xh
x
0x0
x
0
0,x0
x
a
0
2
2
上式化为,
用分离变量法可得其分析解为,
此处 Bn为离散面 (特征值 )
若令
则上式可改写为,
e a
n nnn
nn nxx ??
??????
???
?
?? 2
10 )c o s ()s i n (
)c o s ()s i n (2),( ??
?
? ??
e 22n
a
n
1n nnn
n
0
)xc o s (c o ss i ns i n2),x( ?
??
?????
?
?
?? ??
?
? ??
??? nn ?
*
μ n为下面超越方程的根
为 毕渥准则数,用符号 Bi 表示
书上 P73表 3-1给出了部分 Bi数下的 μ 1值
??
??
h
c t g nn ?
?
?h
e a
n nnn
nn nxx ??
??????
???
?
?? 2
10 )c o s ()s i n (
)c o s ()s i n (2),( ??
?
? ??
e
a
n nnn
nn nxx 22)(
10 )c o s ()s i n (
)c o s ()s i n (2),(
?
???
??????
???
?
?? ??
?
? ??
因此 是 F0,Bi 和 函数，即
0
),x(
?
?? ?
x
)x,B,F(f),x( i0
0 ??
?? ?
注意：特征值 特征数（准则数）
?? ?? 区别
n?
2,非稳态导热的正规状况
对无限大平板
当 取级数的首项，板中心温度,
误差小于 1%
20 aF ???
2.0F0 ?
e Fxx 021)c o s (c o ss i ns i n2),( 1
111
1
0
?
?????
?
?
?? ?
??
e Fm 021
111
1
00 c o ss i n
s i n2)(),0( ?
???
?
?
??
?
?? ?
???
e Fxx 021)c o s (c o ss i ns i n2),( 1
111
1
0
?
?????
?
?
?? ?
??
e Fm 021
111
1
00 c o ss i n
s i n2)(),0( ?
???
?
?
??
?
?? ?
???
)c o s ()( ),( 1 ???? ?? xx
m
?
与时间无关
若令 Q为 内所传递热量
--时刻 z的平均过余温度
)( 00 ??? ttcVQ ?
00
0
0
1)( )],([ ??? ?? ?????
?
?
ttcV
dVxttc
Q
Q V
?
e 1 1021
s i n)F(
111
1
0v c o ss in
s in2dv
v
1
?
??
???
???? ??
??? ?
],0[ ?
考察热量的传递
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
对无限大平板，长圆柱体及球,
及 可用一通式表达
i0
2
10
10
2
1
0
B)Fe x p (A
)y(f)Fe x p (A
???
??
?
?
??
??
?
?0
?
无限大平板
长圆柱体及球
此处
此处的 A,B及函数 见 P74表 3-2
20i
20i
R
azFhRB
R
xy
azFhBxy
???
???
?
??
?
?
?1()fy
3 正规热状况的实用计算方法 － 拟合公式法
对上述公式中的 A,B,μ 1,J0 可用下式拟合
式中常数 a,b,c,d 见 P75表 3-3
a`,b`,c`,d`见 P75表 3-4
32
0
i
i
cBi
1
i
2
1
x`dx`cx`b`a)x(J
bB1
cBa
B
)e1(baA
)
B
b
a(
????
?
?
?
???
??
?
?
?
),,()c o s (c o ss i ns i n2),( 1
111
1
0 0
21
??????
???? ? xBiFofxx e F ?
??
?
3 正规热状况的实用计算方法 － 线算图法
诺谟图
三个变量，因此，需要分开来画
以无限大平板为例,F0>0.2 时，取其级数首项即可
(1)先画
),(
0
BiFofm ???
(2) 再根据公式 (3-23)
绘制其线算图
),()c o s ()( ),( 1 ????? ?? xBifxx
m
??
(3) 于是，平板中任一点的温度为
00 ?
?
?
?
?
? m
m
??
同理，非稳态换热过程所交换的热量也可
以利用（ 3－ 24）和（ 3－ 25）绘制出。
解的应用范围
书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质
的第三类边界条件或第一类边界条件的加
热及冷却过程，并且 F0>0.2
§ 3-4 二维及三维问题的求解
考察一无限长方柱体 (其截面为 的长方形 )
2
2 ?
1
2 ?
21 22 ?? ?
ft
00
),,(
?
?? ?
?
???
f
f
tt
tyxt
)( 2
2
2
2
yxa ?
???
?
???
?
??
?
10 ????
x
yxyhx
?
?????? ),,(),,(
11
?????
y
yxxhy
?
?????? ),,(),,(
22
?????
0),,(0 0 ????? ?xx yxx ? 0),,(0 0 ????? ?yy yxy ?
),(
),(
0
),(
0
1)0,(0
2
0
2
2
??
?
??
?
?
?
??
?
??
??
?
?
??
?
???
?
??
?
?
??
?
h
x
x
x
x
x
x
x
x
a
x
x
x
利用以下两组方程便可证明
),(),(),,( ??? yxyx ?????
及
),(
),(
0
),(
0
1)0,(0
22
0
2
2
??
?
??
?
?
?
??
?
??
??
?
?
??
?
???
?
??
?
?
??
?
h
y
y
y
y
y
y
y
y
a
y
y
y
即证明了 是无限长方柱体导
热微分方程的解, 这样便可用一维无限大平
壁公式, 诺谟图或拟合函数求解二维导热问
题
),(),( ?? yx ???
其中
其中
f
f
x tt
txt
?
?
??
0
),( ?
f
f
y tt
tyt
?
?
??
0
),( ?
0
),x(
?
??
0
),v(
?
??
R
l2
22 12
32
? ? ? ? 21 ),(),(),,( PP yxyx ??? ????
? ? ? ? ? ? 321 ),(),(),(),,,( PPP zyxzyx ???? ?????
? ? ? ? cP yxyx ),(),(),,( ??? ????
限制条件,
（ 1） 一侧绝热，另一侧三类
（ 2） 两侧均为一类
（ 3） 初始温度分布必须为常数
§ 3-5 半无限大的物体
半无限大物体的概念
0tt
0xtt
x
t
a
t
0
w
2
2
??
??
?
?
?
?
?
?
?
w
t
t
0
t
x
误差函数,
?
?
?
?
????
? ? 1)(
1)(2)(
0
2
xe r fx
xe r fxdvexe r f x v
有限大小时，?
)(
0
??? e r f?
令 ??
?? a
x
4
无量纲
坐标
引入 过余温度
2
4
0
0
2
(
4)
w
x
ya
tt
xd e r f
ae
?
?
?
?
?? ?
?
??
???问题的解为
误差函数 无量纲变量
说明,
(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 ? 有关,
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论
经历多么短的时间无论 x有多么大，该处总
能感受到温度的化。
(3) 但解释 Fo,a 时，仍说热量是以一定速
度传播的，这是因为，当温度变化很小时，
我们就认为没有变化。
)y(e r f
?a4
x
y ?
令
若
即 可认为该处温度没有变化
9 9 5 3.0
9 9 5 3.0)2(e r f2y
a4xy
0 ?
??
?
??
?
① 几何位置
若
对一原为 2δ 的平板，若
即可作为半无限大物体来处理
?a4x2y ???
?? a4?
两个重要参数,
② 时间
若
对于有限大的实际物体，半无限大物
体的概念只适用于物体的非稳态导热的
初始阶段，那在惰性时间以内
a16
x22y 2???
即任一点的热流通量,
2
4
0
1 x a
xq x a e
??? ??
??
??? ? ? ?
?
[0,?]内累计传热量
00 2 ????
?? ???? ? cdzqq
w
吸热系数
0
wq a
??
????
0x?令 即得边界面上的热流通量
