传热学：传fifth

第五章
对流换热
§ 5-1 对流换热概说
?自然界普遍存在对流换热，它比导热更复杂。
?到目前为止，对流换热问题的研究还很不充
分。 (a) 某些方面还处在积累实验数据的阶
段； (b) 某些方面研究比较详细，但由于数
学上的困难； 使得在工程上可应用的公式大
多数还是经验公式（实验结果）
牛顿公式
?Q h A t?
只是对流换热系数 的一个定义式，它并没
有揭示 与影响它的各物理量间的内在关系，
研究对流换热的任务就是要揭示这种内在的
联系，确定计算表面换热系数的表达式。
h
h
1 对流换热的定义和性质
对流换热是指流体流经固体时流体与固体表面之间的
热量传递现象 。
● 对流换热实例,1) 暖气管道 ; 2) 电子器件冷
却； 3)电风扇
● 对流换热与热对流不同，既有热对流，也有导
热；不是基本传热方式
(1) 导热与热对流同时存在的复杂热传递过
程
(2) 必须有直接接触（流体与壁面）和宏观
运动；也必须有温差
(3) 由于流体的粘性和受壁面摩擦阻力的影
响，紧贴壁面处会形成速度梯度很大的边界
层
2 对流换热的特点
3 对流换热的基本计算式
? ?W )( ??? tthAΦ w
? ?2mW )(
fw tth
AΦq
??
?
牛顿冷却式,
4 表面传热系数（对流换热系数 ）
—— 当流体与壁面温度相差 1度时,
每单位壁面面积上, 单位时间内所传递
的热量
))(( ??? ttAΦh w? ?C)(mW 2 ??
如何确定 h及增强换热的措施是对流换热的
核心问题
h
（ 1）分析法
（ 2） 实验法
（ 3） 比拟法
（ 4） 数值法
研究对流换热的方法,
5 影响对流换热系数 的因素有以下 5 方面
?流体流动的起因
?流体有无相变
?流体的流动状态
?换热表面的几何因素
?流体的物理性质
h
6 对流换热的分类,
(1) 流动起因
自然对流,流体因各部分温度不同而引起的
密度差异所产生的流动
强制对流,由外力（如：泵、风机、水压头）
作用所产生的流动
自然强制 hh ?
(2) 流动状态
层流湍流 hh ? 单相相变 hh ?
层流：整个流场呈一簇互相平行的流线
湍流：流体质点做复杂无规则的运动 （紊流）
（ Laminar flow）
（ Turbulent flow）
(3) 流体有无相变
单相换热,
相变换热,凝结、沸腾、升华、凝固、融化等
（ Single phase heat transfer）
（ Phase change） （ Condensation） （ Boiling）
(4) 换热表面的几何因素,
内部流动对流换热,管内或槽内
外部流动对流换热,外掠平板、圆管、管束
(5) 流体的热物理性质,
热导率 ]C)(mW[ ???
密度 ]mkg[ 3?
比热容 ]C)(k gJ[ ??c
动力粘度 ]msN[ 2??
运动粘度 ]sm[ 2??? ?
体胀系数 ]K1[ ?
pp TT
v
v ??
??
?
?
?
????
?
??
?
?
?
?? ?
??
11
自然对流换热增强 ???
??? h?
)( 多能量单位体积流体能携带更,??? hc?
)( 热对流有碍流体流动、不利于??? h?
)( 间导热热阻小流体内部和流体与壁面
综上所述，表面传热系数是众多因素的函数,
),,,,,,,,,( Ωlcttvfh pfw ?????
沸腾换热
管内沸腾
珠状凝结
相变对流换热
大容器沸腾
膜状凝结
凝结换热
对流换热
单相对流换热
相变对流换热
对流换热分类小结
管内强制对流换热
流体横掠管外强制对流换热
流体纵掠平板强制对流换热
单相
对流
换热
自然对流
混合对流
强制对流
大空间自然对流 层流 紊流
有限空间自然对流 层流 紊流
7 对流换热过程微分方程式
当粘性流体在壁面上流动时, 由于粘性的作用,
在贴壁处被滞止, 处于无滑移状态 （ 即,y=0,
u=0）
在这极薄的贴壁流体层中,热量只能以导热方式
传递
根据傅里叶定律,
y = 0
tq
y
? ???
?
?
为贴壁处壁面法线方向上的流体
温度变化率为流体的导热系数
? ? 0yty ???
0y
t
h
ty
?
?
?
??
??
h 取决于 流体热导系数、温度差和贴壁
流体的温度梯度
将牛顿冷却公式与上式联立，即可得
到 对流换热过程微分方程式
温度梯度或温度场取决于流体热物性、流动
状况（层流或紊流）、流速的大小及其分布、
表面粗糙度等 ? 温度场取决于流场
速度场和温度场由对流换热微分方程组确定,
质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程
§ 5-2 对流换热问题的数学描述
为便于分析，推导时作下列假设,
?流动是二维的
?流体为不可压缩的牛顿型流体
?流体物性为常数、无内热源；
?粘性耗散产生的耗散热可以忽略不计
1 质量守恒方程 (连续性方程 )
流体的连续流动遵循质量守恒规律
从流场中 (x,y) 处取出边长为 dx,dy
的微元体（ z方向为单位长度）,如图所示,
质量流量为 M [kg/s]
分别写出微元体各方向的 质量流量分量,
X方向,
udyM x ??
dxxMMM xxdxx ?????
d x d yxudxxMMM xdxxx ????????? ? )( ?
单位时间内、沿 x轴 方向流入微元体的 净质
量,
d x d y
y
vdy
y
M
MM ydyyy
?
???
?
?
??? ? )( ?
同理，单位时间内、沿 y 轴 方向流入微元
体的 净质量,
单位时间内微元体内流体质量的变化,
d x d yd x d y ???? ????? )(
?
?
?
?
x
u
?
?? )( ? 0)( ?
?
??
y
v?
微元体内流体质量守恒 (单位时间内 ),
流入微元体的净质量 = 微元体内流体质量的变化
对于二维、稳态流动、密度为常数时,
x
u
?
? 0?
?
??
y
v
d x d yd x d yy vd x d yxu ???? ????????? )()(即,
连续性方程
2 动量守恒方程
动量微分方程式描述流体速度场，可以从微元体
的动量守恒分析中建立
牛顿第二运动定律, 作用在微元体上各外力的总
和等于控制体中流体动量的变化率
作用力 = 质量 ? 加速度（ F=ma）
作用力：体积力、表面力
体积力, 重力、离心力、电磁力
表面力, 由粘性引起的切向应力及法向应力，压
力等
动量微分方程的推导
动量微分方程
— Navier-Stokes方程（ N-S方程）
22
22
22
22
) ( )
) ( )
( 3 ) ( ( 4 )(21 ))
x
y
u u u p u u
u v F
x y x x y
v v v p v v
u v F
x y y x y
??
?
??
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
（
（
(1)— 惯性项（ ma）；
(2)— 体积力；
(3)— 压强梯度；
(4)— 粘滞力
对于稳态流动,0 0 ?
?
??
?
?
??
vu ；
yyxx gFgF ?? ?? ;只有重力场时,
3 能量守恒方程
导热引起净热量 +热对流引起的净热量 =微元体内能的增量
1、导热引起的净热量
22
22
tt d xdy
xy?
????? ? ?
??????
2、热对流引起的净热量
X方向 热对流 带入 微元体的 焓
xp dyHc u t??
cmt
X方向 热对流 带出 微元体的 焓
? ?px
x d x x x
c u tH
H H d x H d x d y
xx
?
?
??
? ? ? ?
??
是常量，提到微分号外边，变为
pc?
? ?
x d x x p
utH H c d x d y
x
?? ???
?
X方向 热对流引起的 净热量
? ?
x x d x p
ut
H H c d x d y
x
??
?
? ? ?
?
y方向 热对流引起的 净热量
? ?
y y d y p
vt
H H c d x d y
y
??
?
? ? ?
?
热对流 引起的 净热量
? ? ? ?
pp
p
ut v t
c dx dy c dx dy
xy
tt
c u v
uv
t dx dy
xy
t
xy
??
?
?
??
??
??
?? ??
? ? ? ? ???
????
?
??
x
u
?
? 0?
?
??
y
v连续性方程
热对流 引起的 净热量 简化为
p
ttc u v d x d y
xy
?
????
????
????
p
tc d xd y?
?
?
?
微元体内能增量
22
22 pp
t t t t td x d y c u v d x d y c d x d y
x y x y
? ? ?
?
?? ??? ? ? ? ?? ? ? ?
?? ??? ? ? ? ?????
导热引起净热量 +热对流引起的净热量 =微元体内能的增量
整理得 二维、常物性、无内热源 的 能量微分方程
22
22
p
t t t t t
uv
x y c x y
?
??
??? ? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ? ???
22
22
p
t t t t tuv
x y c x y
?
??
??? ? ? ? ?? ? ? ?
??? ? ? ? ?
??
非稳态项 对流项 扩散项
cz
t
y
t
x
tat
??
·
2
2
2
2
2
2
)( ??
?
??
?
??
?
??
?
?
动量守恒方程 22
22
22
22
) ( )
) ( )
x
y
u u u p u u
u v F
x y x x y
v v v p v v
u v F
x y y x y
??
?
??
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
（
（
能量守恒方程
22
22
p
t t t t tuv
x y c x y
?
??
??? ? ? ? ?? ? ? ?
??? ? ? ? ?
??
对于 不可压缩、常物性、无内热源 的二维问题,微分
方程组为,
质量守恒方程 x
u
?
? 0?
?
??
y
v
0y
th
ty
?
?
???
??
前面 4个方程求出温度场之后，可以利用 牛
顿冷却微分方程,
计算当地对流换热系数 xh
4个方程,4个未知量 —— 可求得速度场
(u,v)和温度场 (t)以及压力场 (p),既适
用于层流，也适用于紊流（瞬时值）
思考：风扇与空调的区别。
层流底层 缓冲层
?u
湍流 过渡流 层流
cx
y
x
? ??
§ 5-3 边界层概念及边界层换热微分方程组
1,物理现象 当粘性流体在壁面上流动
时，由于粘性的作用，在贴附于壁面的
流体速度实际上等于零，在流体力学中
称为贴壁处的无滑移边界条件。
2,实验测定 若用仪器测出壁面法向
（ 向）的速度分布，如上图所示。在
处,；此后随, 。
经过一个薄层后 接近主流速度。
?0y
y
?0u ?y ?u
u
3,定义 这一薄层称为流动边界层（速度边
界层），通常规定,（主流速度）
处的距离 为流动边界层厚度，记为 。
?? 0,9 9uu
y ?
4,数量级 流动边界层很薄，如空气，以
掠过平板，在离前缘 处的边
界层厚度约为 。
? 16 /u m s 1m
5mm
5mm
0
3200 /ms
16 /ms
5.物理意义 在这样薄的一层流体内，
其速度梯度是很大的。在 的薄层中，
气流速度从 变到,其法向平均
变化率高达 。
??
?x
u
y??
根据 牛顿粘性定律, 流体的剪应力与
垂直运动方向的速度梯度成正比,即,
式中,—— 向的粘滞见应力；
—— 动力粘度 。
x? x ? ?2Nm
? ??kg m s?
6,掠过平板时边界层的形成和发展
cx
?u(1) 流体以速度 流进平板前缘后，边界
层逐渐增厚，但在某一距离 以前会保持
层流 。
(2) 但是随着边界层厚度的增加，必然导致
壁面粘滞力对边界层外缘影响的减弱。自
处起，层流向湍流过渡（ 过渡区 ），进而达
到旺盛湍流，故称 湍流边界层 。
cx
(3) 湍流边界层包括 湍流核心, 缓冲层,
层流底层 。在层流底层中具有较大的速度
梯度。
7,临界雷诺数
——运动粘度,；
——动力粘度
??Re c
c
ux
?
?
? 2ms
?? ? ?
?采用临界雷诺数 来判别层流和湍流。
?对管内流动,为层流
为湍流
?对纵掠平板,一般取
?R e 2 3 0 0c
?? 5R e 5 1 0c
Rec
?R e 1 0 0 0 0c
8,小结
综上所述，流动边界层具有下列重要特性
(1) 流场可以划分为两个区,
?NS
(b)主流区 —— 边界层外，流速维持
不变，流动可以作为理想流体的无旋流动，
用描述理想流体的运动微分方程求解。
?u
(a)边界层区 ——必须考虑粘性对流动的
影响，要用 方程求解。
(2) 边界层厚度与壁面尺度相比，是一个很
小的量 。 ??l ??
?
?
0.5 /
1.1
3
u m s
lm
cm?
?
?
?
0.4 /
1.1
3
u m s
lm
cm?
(3) 边界层分,
?层流边界层 —— 速度梯度较均匀地分布于
全层。
?湍流边界层 —— 在紧贴壁面处，仍有一层
极薄层保持层流状态，称为层流 底层。
?速度梯度主要集中在 层流底层 。
(4) 在边界层内，粘滞力与惯性力数量级
相同。
热边界层
?
y
x
等温流动区
温度边界层
?
t?
??
,0wtt ???
??,ut
由于速度在壁面法线方向的变化出现了
流动边界层，同样，当流体与壁面之间存在
温度差时，将会产生 热边界层, 如上图所示 。
在 处，流体温度等于壁温, ?0y ? wtt
? ? ? 0wtt?
?在 处，流体温度接近主流温度,
这一区域称为 热边界层或温度边界层 。 称
为 热边界层的厚度 。
?热边界层以外可视为等温流动区（主流
区）。
t?
?t? ty ?
边界层 概念的引入可使换热微分方程组
得以简化,
数量级分析,比较方程中各量或各项的
量级的相对大小；保留量级较大的量或项；
舍去那些量级小的项，方程大大简化
边界层换热微分方程组
例：二维, 稳态, 强制对流, 层流,
忽略重力
5个基本量的数量级,
主流速度,
温度,
壁面特征长度,
边界层厚度,
x 与 l 相当，即,
);1(0~?u
);1(0~t
);1(0~l
)(0~ );(0~ ???? t
);1(0~~ lx )(0~ 0 ?? yy ???
边界层中二维稳态能量方程式的各项 数
量级 可分析如下,
t t t tu v a
x y x x y y
?? ??? ? ? ? ? ???? ? ?
?? ????? ? ? ? ? ???
????
数量级 11
1
1?
?
1 1
1
????
?? 1 ????????
111 21?
22
22
tt
xy
??
??
由于 因而可以把主流方向的二阶
导数项 略去于是得到 二维、稳态、无
内热源的边界层能量方程 为
2
2
t
x
?
?
2
2
t t tu v a
x y y
? ? ???
? ? ?
于是得到二维、稳态、无内热源的边
界层换热微分方程组
连续性方程
动量守恒方程
能量守恒方程
0?????? yvxu
2
2
t t tu v a
x y y
? ? ???
? ? ?
2
2
1t t d p uuv
x y d x y??
? ? ?? ? ? ?
? ? ?
上述方程的 定解条件,
0 0,0,
,
wy u v t t
y u u t t??
? ? ? ?
? ? ? ?
时
对于平板，分析求解上述方程组（此时
)可得 局部表面传热系数的表达式
（层流范围）,
0dpdx ?
1 1
2 3
0,3 3 2x uxh
xa
??
?
??? ??? ????
????
3
1
2
1
332.0 ?
?
??
?
??
?
??
?
?? ?
a
xuxh x ?
??
?
3121 PrRe3 3 2.0 ?? xxNu
? ? ?
特征数方程
或准则方程
式中,
?
xhNu x
x ?
努塞尔 (Nusselt)数
?
xu
x ??Re
雷诺 (Reynolds)数
a
??Pr 普朗特数
?
注意：特征尺
度为当地坐标
x
一定要注意上面准则方程的适用条件,
外掠等温平板、无内热源、层流
? 与 ?t 之间的关系
对于外掠平板的层流流动,
2
2
y
ta
y
tv
x
tu
?
??
?
??
?
?
此时动量方程与能量方程的形式完全一致,
0,????? dxdpc o n s tu
2
2
y
u
y
uv
x
uu
?
??
?
??
?
? ?动量方程：
表明,此情况下动量传递与热量传递规律
相似
特别地,对于 ? = a 的流体（ Pr=1），
速度场与无量纲温度场将完全相似，这是
Pr的另一层物理意义：表示流动边界层和
温度边界层的厚度相同
§ 5-4 边界层积分方程组的求解
及比拟理论
1 边界层积分方程
?1921年，冯 ·卡门提出了边界层动量积分
方程。
?1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积
分方程。
?近似解，简单容易。
用边界层积分方程求解对流换热问题的基
本思想,
(1)建立边界层积分方程 针对包括固体边界
及边界层外边界在内的有限大小的控制容
积；
(2)对边界层内的速度和温度分布作出假设,
常用的函数形式为多项式；
(3)利用边界条件确定速度和温度分布中的
常数，然后将速度分布和温度分布带入
积分方程,解出 和 的计算式；
(4)根据求得的速度分布和温度分布计算固
体边界上的
Nuc
y
t
y
u
f
yy
和及 ?
?
?
?
?
?? 00
? t?
(1) 边界层积分方程的推导
将边界层能量微分方程式对 如图所示 的任
意截面做 到 的积分,0y? y??
2
20 0 0
t t tu d y v d y a d y
x y y
? ? ?? ? ???
? ? ?? ? ?（ a）
根据边界层的概念,时,
因而在该处,
ty ?? tt?? 0
t
x
? ?
?
0ty? ??,
则有
2
2 0
t
y
? ?
?
2
20 0 0
t t tt t tu d y v d y a d y
x y y
? ? ?? ? ???
? ? ?? ? ?
（ b）
其中
00 0 0
t t tt
t
t v vv d y v t t d y v t t d y
y y y
? ? ??
? ?
? ? ?? ? ? ?
? ? ?? ? ?
（ c）
为了导出仅包括速度的方程，把（ c）式中
的 项及 项通过连续性方程进行转换 v
y
?
?
tv?
00
ttvud y d y
yx
????????
00
tt
t
vuv d y d y
yx
??
?
??? ? ??? （ d）
将（ d）式代入（ c）式
0 0 0
t t tt u uv d y t d y t d y
y x x
? ? ?
?
? ? ?? ? ?
? ? ?? ? ?（ e）
对式（ b）中的扩散项积分
2
20
0 0 0
t
t
ty y y
t t t t ta d y a a a
y y y y y
?
?
?? ? ?
??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????
（ f）
将式（ e）（ f）代入式（ b），得
0 0 0
0
t t t
y
t u u tu d y t d y t d y a
x x x y
? ? ?
?
?
??? ? ? ?? ? ? ?
??? ? ? ???? ? ?
等号左端的三项可进一步简化为
? ?
0 0 0
()t t tuttuu t d y d y u t u t d yx x x x? ? ?? ??? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ?
0 ()
td u t t dy
dx
?
????
最后的 边界层能量积分方程 为
0
0
()t
y
dtu t t d y a
d x y
?
?
?
???? ? ?
??????
用类似的方法可以导出 边界层动量积分方程
为
0
0
()t
y
duu u u d y
d x y
?
?? ?
?
???? ? ?
???
???
两个方程,4个未知量,u,t,?,?t 。要
使方程组封闭，还必须补充两个有关这 4个
未知量的方程。这就是关于 u 和 t 的分布
方程。
(2) 边界层积分方程组求解
边界层中的速度分布为 331
22
u y y
u ???
????
??
??
上式微分
0
3
2y
udu
dy ?
?
?
?
带入动量积分方程,
0
0 )(
?
? ?
????
yy
udyuuu
dx
d ??
xx
or
u
x
Re
64.464.4 ??
?
???
X处的局部壁面切应力为,
xy
w
u
x
uu
dy
du
Re
323.0
64.4
1
2
3 2
0
??
?
?
??? ?
?
????
在工程中场使用局部切应力与流体动压头
之比这个无量纲量，并称之为范宁摩擦系
数，简称 摩擦系数
21Re6 4 6.0
2
1
?
?
?? xwf
u
c
?
?
21Re2 9 2.1 ?? xfmc
平均摩擦系数,
上面求解动量积分方程获得的是近似解，
而求解动量微分方程可以获得
的精确解，分别为,
fca n dx?
xx Re
0.5??
21Re664.0 ?? xfc
21Re646.0 ?? xfc
xx Re
64.4??
可见二者非常接近
求解能量积分方程，可得 无量纲过余温度
分布,
3
2
1
2
3
??
?
?
??
?
?
???
?
?
?? ttw
w yy
tt
tt
???
?
xt ???
??? 213131
RePr52.4026.1Pr ??
热边界层厚度,
再次强调,以上结果都是在 Pr ?1 的前提
下得到的
局部对流换热系数,
3
1
2
1
0
PrRe332.0
2
3
x
tyw
x xy
t
tt
h
?
?
??
??
?
?
?
??
??
1111
33220, 3 3 2 R e P r 0, 6 6 4 R e P rx
xx
hx hlN u N u
??? ? ? ? ?
平均努塞尔数
计算时,注意五点,
a Pr ?1 ；
b, 两对变量的差别；
c x 与 l 的选取或计算 ；
d
e 定性温度,
NuNu 与 hh
x 与
5105Re ?? ? ? 2wttt ?? ?
这里以流体外掠等温平板的湍流换热为例。
湍流边界层动量和能量方程为
??? ? ?? ? ??? ?
2
2() m
u u uuv
xy y
?? ? ?? ? ??? ?
2
2() t
t t tu v a
xy y
湍流动量扩散率
2 比拟理论求解湍流对流换热方法简介
湍流热扩散率
?
?
??
?
w
w
tt
ttlxx ?* l
yy ?*
?
? uuu *
?
?
u
vv *
引入下列无量纲量,
则有
2*
*2
*
*
*
*
*
*
)(
)(1
y
u
luy
vv
x
uu
m ?
???
?
??
?
?
?
??
2*
2
*
*
*
*
)(
)(1
y
alu
y
v
x
u t
?
????
?
???
?
??
?
?
雷诺认为：由于湍流切应力 和湍流热
流密度 均由脉动所致，因此，可以假
定,
t?
tq
?? ??P r 1m t t
湍流普朗特数
当 Pr = 1时，则 应该有完全相同的
解，此时,?与
*u
?
??
?? ?
?? **
*
**
00 yy
u
yy
而
2
Re
000
*
*
*
fw
yyy
c
u
l
u
l
y
u
u
l
y
u
y
u ???
?
???
?
??
?
?
?????? ?
?
?
?
类似地,
lx
lx
ywy
Nulhlyttt
y ?
?
???
???????
?
??
??
?
00
* )(
*
?
x
f
x
cNu Re
2?
实验测定平板上湍流边界层阻力系数为,
51Re0 5 9 2.0 ?? xfc )10( R e 7?x
?
54Re0 2 9 6.0 xxNu ?
这就是有名的雷诺比拟，它成立的前提是
Pr=1
? ? ? ?2 / 3P r ( 0, 6 P r 6 0 )2fc S t j
? R e P rNuSt
St式中,称为 斯坦顿（ Stanton）数,其
定义为
当 Pr ? 1时，需要对该比拟进行修正，于是
有 契尔顿－柯尔本比拟（修正雷诺比拟）,
j j 称为 因子，在制冷、低温工业的换
热器设计中应用较广。
当平板长度 l 大于临界长度 xc 时，平
板上的边界层由层流段和湍流段组成。其 Nu
分别为,
11
32
41
53
0, 3 3 2 R e P r
0, 0 2 9 6 R e P r
cx
cx
x x N u
x x N u
??
??
时, 层 流,
时, 湍 流,
则平均对流换热系数 hm 为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
?
??
?
?? ?? ?? dxxudxxu
l
h l
x
x
m
c
c 3
154
0
2
121
0 2 9 6.03 3 2.0
??
?
? ? 31545421 Pr)Re( R e037.0Re664.0 ???? ccmNu
如果取,则上式变为,5105Re ??c
? ? 3154 Pr871Re037.0 ???mNu
§ 5-5 相似原理及量纲分析
通过实验求取对流换热的实用关联式，仍然
是传热研究中的一个重要而可靠的手段。然而，
对于存在着许多影响因素的复杂物理现象，要找
出众多变量间的函数关系，比如 ? ?
pclufh,,,,,????
，实验的次数十分庞大。为了大大减少实验次数，
而且又可得出具有一定通用性的结果，必须在相
似原理的指导下进行实验。
学习相似原理时，应充分理解下面 3个问题,
① 实验时应该测量那些量
②实验后如何整理实验数据
③所得结果可以推广应用的条件是什么
1.相似原理
——用实验方法求解对流换热问题的思路
（ 1）物理量相似的性质
① 用相同形式且具有相同内容的微分方程时所描述
的现象为同类现象，只有同类现象才能谈相似 。
②彼此相似的现象，其 同名准则数必定相等。
③彼此相似的现象，其有关的物理量场分别相似
实验中只需测量各特征数所包含的物理量,避免
了测量的盲目性,这就 解决了实验中测量哪些物
理量的问题
（ 2）相似准则之间的关系
① 各特征数之间存在着函数关系，如常物
性流体外略平板对流换热特征数,
②整理实验数据时，即按准则方程式的内
容进行。这就解决了实验数据如何整理
的问题
P r )( R e,fNu ?
（ 3）判别现象相似的条件
① 单值性条件相似,初始条件、边界条件、
几何条件、物理条件
②同名的已定特征数相等
③两种现象相似是实验关联式可以推广应用
的条件
（ 4）获得相似准则数的方法,
相似分析法和量纲分析法
1)相似分析法,在已知物理现象数学描述的
基础上，建立两现象之间的一些列比例系
数，尺寸相似倍数，并导出这些相似系数
之间的关系，从而获得无量纲量。
以图 5-13的对流换热为例,
0
0
??
?
??
??
????
??yy
t
t
h ?
现象 1,
0
0
???
?
???
???
??????
???yy
t
t
h ?
现象 2,
数学描述,
与现象有关的各物理力量场应 分别相似,
即,
hCh
h ??
??
?
??
? C ??
??
?
tCt
t ??
??
?
yCy
y ?
??
?
相似倍数间的关系,
0
0
???
?
???
???
??????
???y
yh
y
t
t
h
C
CC ?
?
?
1?
?C
CC yh
获得 无量纲量及其关系,
211 NuNu
yhyh
C
CC yh ??
??
?????
?
????
???
上式证明了, 同名特征数对应相等, 的 物理
现象相似 的特性
类似地：通过动量微分方程可得,
21 ReRe ?
能量微分方程,
21 PePe ????
?????
?
??
a
lu
a
lu
贝克来数
21 PrPrRePrPe ????
对自然对流的微分方程进行相应的分析，
可得到一个新的无量纲数 ——格拉晓夫数
2
3
?
? tlg
G r
?
?
式中,? —— 流体的体积膨胀系数 K-1
Gr —— 表征流体 浮生力 与 粘性力 的比值
(2) 量纲分析法,在 已知相关物理量 的前
提下，采用量纲分析获得无量纲量。
a 基本依据,? 定理,即一个表示 n个物理
量间关系的量纲一致的方程式，一定可以转
换为包含 n - r 个独立的无量纲物理量群
间的关系。 r 指基本量纲的数目。
b 优点,
(a)方法简单；
(b) 在不知道 微分方程 的情况下，仍然可以
获得无量纲量
),,,,,( pcdufh ????
(a)确定相关的物理量
7?n
(b)确定基本量纲 r
c 例题,以圆管内单相强制对流换热为例
?
Ks
m
Kkg
J
csPa
K
du
K
h
p
?
?
??
??
?
?
?
??
2
2
3
33
:
m
kg
:
sm
kg
:
s
mkg
Km
W
:m:
s
m
:
s
kg
:
??
?
国际单位制中的 7个基本量,
长度 [m]，质量 [kg]，时间 [s]，电流 [A]，
温度 [K]，物质的量 [mol]，发光强度 [cd]
因此，上面涉及了 4个基本量纲,
时间 [T]，长度 [L]，质量 [M]，温度 [?]
? r = 4
pcduhn,,,,,,:7 ????
][[ M ],[ L ],[ T ],:4 ??r
? n – r = 3，即应该有三个无量纲量，
因此，我们必须选定 4个基本物理量，以
与其它量组成三个无量纲量。我们选
u,d,?,?为基本物理量
(c)组成三个无量纲量
3333
2222
1111
3
2
1
dcba
p
dcba
dcba
duc
du
dhu
???
????
???
?
?
?
(d)求解待定指数，以 ?1 为例
11111 dcba dhu ??? ?
1111111111
1111111111
1111
1331
3131
1
dcbacdcadc
dddccccbaa
dcba
LTM
TLMTLMLTLTM
dhu
???????????
???????
???
???????
? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
???
?????
???
?
0
1
1
0
0
01
033
01
1
1
1
1
1111
1
111
11
d
c
b
a
dcba
c
dca
dc
Nuhddhudhu dcba ???? ? ?????? 01101 1111
同理,
Re2 ??? ???? udud
Pr3 ??? ac p ????
于是有,
P r )( R e,fNu ?
单相、强
制对流
同理，对于其他情况,
P r ),Gr(Nu f?
自然对流换热,
混合对流换热,
P r ),Gr ( R e,Nu f?
P r)R e,,(Nu P r)(R e,Nu 'xff x ?? ；
强制对流,
Nu — 待定特征数 （含有待求的 h）
Re,Pr,Gr — 已定特征数
按上述关联式整理实验数据，得到实用关
联式解决了实验中实验数据如何整理的问
题
§ 5-6 相似原理的应用
相似原理在传热学中的一个重要的应用是 指导
试验的安排及试验数据的整理 （前面已讲过）。
相似原理的另一个重要应用是 指导模化试验。
所谓模化试验，是指用不同于实物几何尺度的
模型（在大多数情况下是缩小的模型）来研究
实际装置中所进行的物理过程的试验。
1.相似原理的重要应用,
2.使用特征方程时应注意的问题,
（ 1）特征长度应该按准则式规定的方式选取
?特征长度,包含在相似特征数中的几何长
度；
?如：管内流动换热：取直径 d
?流体在流通截面形状不规则的槽道中流
动：取 当量直径 作为特征尺度,
（ 2）定性温度应按该准则式规定的方式选取
?定性温度,计算流体物性时所采用的温度。
?常用的选取方式有,
① 通道内部流动取进出口截面的平均值
② 外部流动取边界层外的流体温度或去
这一温度与壁面温度的平均值。
（ 3）准则方程不能任意推广到得到该方
程的实验参数的范围以外
?参数范围主要有,
数范围；
数范围；
几何参数范围。
Re
Pr
3 常见无量纲 (准则数 )数的物理意义及表达式
§ 5-7 内部流动强制对流换热实验关联式
1.管槽内强制对流流动和换热的特征
（ 1） 流动有层流和湍流之分
? 层流,
? 过渡区,
? 旺盛湍流,
?R e 2 3 0 0
??2 3 0 0 R e 1 0 0 0 0
?R e 1 0 0 0 0
（ 2） 入口段的热边界层薄, 表面传热系数高 。
层流入口段长度,
湍流时,
?/ 0, 0 5 R e P rld
?/ 6 0ld
层流 湍流
（ 3） 热边界条件有均匀壁温和均匀热流两
种
湍流,除液态金属外, 两种条件的差别可不计
层流,两种边界条件下的换热系数差别明显 。
（ 4） 特征速度及定性温度的确定
特征速度,计算 Re数时用到的流速, 一般
多取截面平均流速 。
定性温度,计算物性的定性温度 多 为截面
上流体的平均温度 （ 或进出口截面平均温
度 ） 。
在用实验方法测定了同一截面上的
速度及温度分布后, 采用下式确定该截
面上 流体的平均温度,
c
c
p
A
f
p
A
c tud A
t
c u d A
?
?
?
?
?
（ 5）牛顿冷却公式中的平均温差
对 恒热流 条件，可取 作为 。
对于 恒壁温 条件，截面上的局部温差是个变
值，应利用 热平衡式,
wf(t - t ) mΔt
?? ?m m m p f fhA Δt = q c ( t - t )
mq
?? ?、fftt
式中, 为质量流量；
分别为出口, 进口截面上的平均温度；
mΔt 按对数平均温差计算,
?
?? ??
?
?? ??
??
?????
ln
ff
m
wf
wf
tt
t
tt
tt
2,管内湍流换热实验关联式
实用上使用最广的是 迪贝斯－贝尔特公式,
加热流体时,
冷却流体时 。
式中, 定性温度采用流体平均温度, 特
征长度为管内径 。
0, 80, 0 2 3 R e P r nf f fNu ?
? 0.4n
? 0.3n
ft
实验验证范围,
此式适用与流体与壁面具有中等以下
温差场合 。
45R e 1 0 1, 2 1 0,f ??～ P r 0, 7 1 2 0,f ? ～
/ 6 0ld ? 。
?在有换热条件下, 截面上的温度并不均匀,
导致速度分布发生畸变 。
?一般在关联式中引进 乘数
来考虑不均匀物性场对换热的影响 。
( / ) P r / P r )nnf w f w?? 或 （
? 0.80, 0 2 3 R e P r nf f f tN u c
??
? ??
??
0.5
f
t
w
T
c
T
? 。1tc
对于温差超过以上推荐幅度的情形, 可
采用下列任何一式计算 。
（ 1） 迪贝斯－贝尔特修正公式
对气体被加热时,
当气体被冷却时,
?
?
??
? ??
??
m
f
t
w
c
液体受热时
对液体
0,1 1m ?
m = 0,2 5液体被冷却时
（ 2） 采用齐德－泰特公式,
0.14
0, 8 1 / 30,0 2 7 Re P r f
f f f
w
Nu
?
?
??
? ??
??
/ 60,ld?
P r 0, 7 1 6 7 0 0,f ? ～
4R e 1 0f ? 。
ft wt
?w定性温度 为流体平均温度 （ 按壁温
确定）,管内径 为特征长度。
实验验证范围为,
（ 3） 采用米海耶夫公式,
0.25
0, 8 0, 4 3 Pr0,0 2 1 Re P r
Pr
f
f f f
w
Nu
??
? ??
??
/ 50ld?,
P r 0, 6 7 0 0,f ? ～
46R e 1 0 ~ 1, 7 5 1 0f ?? 。
ft定性温度 为流体平均温度, 管内径为特
征长度 。
实验验证范围为,
（ 4）采用格尼林斯基公式,
?? ??
?? ????
??
f
ft 23
f
( f 8 ) ( R e - 1 0 0 0 ) P r dN u = 1 + c
l1 + 1 2, 7 f 8 ( P r - 1 )
对液体 ????
??
0,1 1
f
t
w
Prc=
Pr
?????
??
f
w
Pr
Pr 0,0 5 ~ 2 0
对气体
??
??
??
0.45
f
t
w
Tc=
T
?????
??
f
w
T
T 0,5 ~ 1,5
l为管长 ;
f为管内湍流流动的达尔西阻力系数,
2( 1, 8 2 l g R e 1, 6 4 )f ???
范围为,
6R e 2 3 0 0 ~ 1 0
f ?
5P r 0, 6 ~ 1 0
f ?
公式（ 4） 用于气体或液体时，表达式可进
一步 简化如下,
对气体
0, 4 523
0, 8 0, 40, 0 2 1 4 ( R e 1 0 0 ) P r 1 f
f f f
w
Td
Nu
lT
?? ????
? ? ??? ????
?? ????
范围为,
62 3 0 0 R e 1 0f??0,6 P r 1,5f?? 0,5 1,5f
w
T
T
??
对液体
0, 1 123
0, 8 7 0, 4 Pr0, 0 1 2 ( R e 2 8 0 ) Pr 1
Pr
f
f f f
w
dNu
l
?? ????
? ? ??? ????
?? ????
范围为,1, 5 P r 5 0 0
f??
Pr0, 0 5 2 0
Pr
f
w
??
62 3 0 0 R e 1 0f??
上述准则方程的应用范围可进一步扩大 。
（ 1） 非圆形截面槽道
用当量直径作为特征尺度应用到上述
准则方程中去 。
式中,为槽道的流动截面积； P 为
湿周长 。
注：对截面上出现尖角的流动区域,
采用当量直径的方法会导致较大的误差 。
4 c
e
Ad
P?
cA
（ 2）入口段
入口段的传热系数较高。对于通常的工
业设备中的尖角入口，有以下 入口效应修正
系数,
0, 7
1l
d
c
l
??
?? ??
??
1 1.77r dc
R
??
3
1 10,3r dc
R
????
????
（ 3）螺线管
螺线管强化了换热。对此有 螺线管修
正系数,
对于气体
对于液体
以上所有方程仅适用于 的气
体或液体 。
对 数很小的液态金属, 换热规律
完全不同 。
推荐光滑圆管内充分发展湍流换热的
准则式,
?Pr 0.6
Pr
0, 8 2 74, 8 2 0, 0 1 8 5
ffN u P e??
均匀热流边界
特征长度为内径, 定性温度为流体平均温度 。
100fPe ? 。
0, 85, 0 0, 0 2 5ffN u P e??
35R e 3, 6 1 0 ~ 9, 0 5 1 0,
f ? ? ?
241 0 ~ 1 0
fPe ? 。
均匀热流边界 实验验证范围,
均匀壁温边界
实验验证范围,
三, 管内层流换热关联式
续表
实际工程换热设备中，层流时的换热
常常处于入口段的范围。可采用下列 齐德
－泰特公式,
0, 1 41 / 3
Re Pr
1,8 6
/
f f f
f
w
Nu
ld
?
?
????
? ????
?? ??
ft w?
wt
定性温度 为流体平均温度 （ 按
壁温 确定）,管内径为特征长度,管
子处于均匀壁温。
0,0 0 4 4 ~ 9,7 5f
w
?
? ?,
0.141 / 3Re P r
2
/
f f f
wld
?
?
???? ?
????
?? ??
。
P r 0, 4 8 ~ 1 6 7 0 0,f ? 实验验证范围为,
§ 5-8 外部流动强制对流换热实验关联式
外部流动,换热壁面上的流动边界层与热
边界层能自由发展, 不会受到邻近壁面存
在的限制 。
横掠单管,流体沿着垂直于管子轴线的方
向流过管子表面。流动具有边界层特征，还
会发生绕流脱体。
边界层的成长和脱体决定了外掠圆管换热
的特征 。
1 / 3R e P rnN u C?
( ) / 2 ;wtt ??
u?。
虽然局部表面传热系数变化比较复
杂, 但从平均表面换热系数看, 渐变规
律性很明显 。
可采用以下分段幂次关联式,
式中,定性温度为
特征长度 为管外径；
数的 特征速度 为来流速度 Re
实验验证范围,℃, ℃ 。
C及 n的值见表 5-5；
1 5,5 ~ 9 8 2t? ? 2 1 ~ 1 0 4 6wt ?
对于气体横掠非圆形截面的柱体或管道的
对流换热也可采用上式 。
l ReNu
注,指数 C及 n值见下表，表中示出的几何
尺寸 是计算 数及 数时用的特征
长度。
式中：定性温度为
适用于 的情形 。
4 / 55 / 8
1 / 2 1 / 3
2 / 3 1 / 4
0,6 2 Re Pr Re
0,3 1
[ 1 ( 0,4 / Pr ) ] 2 8 2 0 0 0
Nu
????
? ? ?????
? ????
( ) / 2,wtt??
R e P r 0,2?
上述公式对于实验数据一般需要分段整理 。
邱吉尔与朋斯登对流体横向外掠单
管提出了以下在 整个实验范围内都能适
用的准则式 。
2,横掠管束换热实验关联式
?外掠管束在换热器中最为常见 。
?通常管子有 叉排 和 顺排 两种排列方式 。
叉排换热强, 阻力损失大并难于清洗 。
影响管束换热的因素除 数外，还有：
叉排或顺排 ； 管间距 ； 管束排数 等。
Re Pr、
气体横掠 10排以上管束的实验关联式为
Re mN u C?
后排管受前排管尾流的扰动作用对平
均表面传热系数的影响直到 10排以上的管
子才能消失。
这种情况下，先给出不考虑排数影响
的关联式，再采用 管束排数 的因素作为修
正系数。
C和 m的值见下表 。
( ) / 2 ;r w ft t t??
R e 2 0 0 0 ~ 4 0 0 0 0f ? 。
式中,定性温度为
特征长度为管外径 d；
Re数中的流速采用整个管束中最
窄截面处的流速。
实验验证范围,
C和 m的值
对于排数 少于 10排 的管束, 平均表
面传热系数可在上式的基础上乘以管排
修正系数 。 ?? ?
nhh
?n
?n 的值引列在下表。
茹卡乌斯卡斯 对流体外掠管束换热总结出
一套在很宽的 数变化范围内更便于使
用的公式如下表所示 。
式中,定性温度 为进出口流体平均流速；
特征长度 为管子外径 。
?实验验证范围,
Pr
Prw
Re
P r 0, 6 ~ 5 0 0? 。
按管束的平均壁温确定；
数中的 流速 取管束中最小截面
的平均流速；
流体横掠顺排管束
平均表面传热系数计算关联式（ 16排） ?
?
§ 5-9 自然对流换热及实验关联式
自然对流,不依靠泵或风机等外力推动, 由流体
自身温度场的不均匀所引起的流动 。 一般地, 不
均匀温度场仅发生在靠近换热壁面的薄层之内 。
例如, 暖气管道的散热, 不用风扇强制冷却的
电器元件的散热
波尔豪森分析解与施密特－贝克曼实测结果
竖板层流自然对流边界层理论分析与实测结果的对比
? 自然对流亦有层流和湍
流之分 。
? 层流时, 换热热阻主要
取决于薄层的厚度 。
? 旺盛湍流时, 局部表面
传热系数几乎是常量 。
? 从对流换热微分方程组出发, 可得到自然对流换
热的准则方程式
? 参照上图的坐标系, 对动量方程进行简化 。
? 在 方向,, 并略去二阶导数 。
? 由于在薄层外, 从上式可推得
x xFg???
2
2
1u u d p uu v g
x y d x y
?
?
? ? ?? ? ? ? ?
? ? ?
0uv??
dp g
dx ? ???
将此关系带入上式得
?
2
2()
u u g uuv
x y y? ? ?? ?
? ? ?? ? ? ?
? ? ?
11
pT T T
????
??
?
?
????? ? ? ?
??????
引入 体积膨胀系数,
代入动量方程并令
改写原方程
TT? ???
2
2
u u uu v g
x y y? ? ?
? ? ?? ? ?
? ? ?
采用相似分析方法,以 及
分别作为流速、长度及过余温度的标尺，得
wt t t?? ? ?0ul、
2 * * 2 *
* * *00
* * 2 * 2
uuu u uu v g t
l x y l y
????? ? ?? ? ? ? ?
??? ? ???
式中 。
进一步化简 可得
* ( ) /( )wt t t t??? ? ? ?
* * 2 2 *
* * *0
* * * 2
0
ul u u g tl uuv
x y u y
?
??
??? ? ? ?? ? ? ?
??? ? ?
??
式中第一个组合量 是 雷诺数, 第二个组合量可
改写为（与雷诺数相乘）,
0ul
?
23
0
2
0
ulg tl g tlGr
u
??
? ? ?
????
称为 格拉晓夫数 。
在物理上, 数是 浮升力 /粘滞力 比值的一
种量度 。
数的增大表明浮升力作用的相对增大 。
自然对流换热准则方程式为
Gr
Gr
Gr
(,P r )N u f G r?
?自然对流换热可分成 大空间 和 有限空间 两类 。
?大空间自然对流,流体的冷却和加热过程互
不影响, 边界层不受干扰 。
?如图两个热竖壁 。 底部封闭, 只要
?底部开口时, 只要 壁面换热就
可按大空间自然对流处理 。 （ 大空间的相对
性 ）
/ 0,2 8 ;aH ?
/ 0,0 1,bH ?
工程中广泛使用的是下面的关联式,
对于符合理想气体性质的气体, 。
( P r ) nN u C G r?
1/ T?＝
1,大空间自然对流换热的实验关联式
( ) / 2mwt t t??? ；
式中,定性温度 采用
特征长度 的选择：竖壁和竖圆柱取高度，
横圆柱取外径。
常数 C和 n的值见下表。
注,竖圆柱按上表与竖壁用同一个关联式
只限于以下情况,
1 / 4
35
H
d
H G r
?
对于 常热流 边界条件下的自然对流,
往往采用下面方便的专用形式,
*( P r ) mN u B G r?
4
*
2
g q lG r G r N u ?
????
mt式中：定性温度取平均温度,特征长度对矩
形取短边长。
按此式整理的平板散热的结果示于下表。
这里流动比较复杂, 不能套用层流及湍流的分类 。
2,有限空间自然对流换热
这里仅讨论 如图所示 的 竖 的和 水平 的两种
封闭夹层 的 自然对流换热, 而且推荐的冠军事
仅局限于气体夹层 。
12()wwtt?
封闭夹层示意图
夹层内流体的流动, 主要取决于以夹层厚度
为特征长度的 数,
当 极低 时换热依靠纯 导热,
对于 竖直夹层, 当
对于 水平夹层, 当
? Gr
3
2
gtGr
?
??
?
??
Gr?
2860Gr ? ?
2430Gr ? ? 。
另,随着 的提高, 会依次出现向 层流
特征过渡的流动 （ 环流 ）, 层流特征的流
动, 湍流特征的流动 。
对竖夹层, 纵横比 对换热有一
定影响 。
Gr?
/H ?
一般关联式为
( Pr )
m
n HNu C G r
? ?
???
????
① 对于 竖空气 夹层, 推荐以下实验关联式,
1 / 9
1 / 40,1 9 7 ( Pr ),HNu G r
? ?
???
? ??
??
1 / 9
1 / 30,0 7 3 ( Pr ),HNu G r
? ?
???
? ??
??
35( 8, 6 1 0 ~ 2, 9 1 0 )Gr ? ? ? ?
57( 2, 9 1 0 ~ 1, 6 1 0 )Gr ? ? ? ?
② 对于 水平空气夹层, 推荐以下关联式,
1 / 40, 2 1 2 ( P r ),N u G r?? 451 1 0 ~ 4, 6 1 0Gr ? ? ? ?
1 / 30, 0 6 1 ( P r ),N u G r??
54,6 1 0Gr ? ??
12( ) / 2,wwtt? Re
?
式中,定性温度 均为 数中的 特
征长度 均为 。
实际上, 除了自然对流外, 夹层中还
有辐射换热, 此时通过夹层的换热量应是
两者之和 。
/ 1 1 ~ 4 2H ? ? 。
/H ?对 竖空气夹层, 的 实验验证范围
3,自然对流与强制对流并存的混合对流
在 对流换热 中有时需要既考虑强制对
流亦考虑自然对流考察 浮升力与惯性力的
比值
32
2 2 2 2Re
g tl G r
ul
??
?
? ?
2/ R e 0,1Gr ? 时，自然对流的影响不能忽略；
一般认为,
自然对流对总换热量的影响低于 10％的
作为纯强制对流；
强制对流对总换热量的影响低于 10％的
作为纯自然对流；
这两部分都不包括的中区域为混合对流。
2/ R e 1 0Gr ? 而 时，强制对流的影响相对
于自然对流可以忽略不计。
上图为流动分区图 。 其中 数根据管内径
及 计算 。 定性温度为
Gr d
wft t t? ? ? ( ) / 2m w ft t t?? 。
混合对流的实验关联式这里不讨论 。
推荐一个简单的 估算方法,
n n nM F NN u N u N u??
MNu Nu
FNu NNu
两种流动方向相同时取正号，相反时取负号。
n之值常取为 3。
式中,为混合对流时的 数，
而, 则为按给定条件分别用强制对
流及自然对流准则式计算的结果。