1 第 四 章 多元函数微分学 § 2.1 偏导数 设 D 是 2R 中的区域 , ),( yxfz = 是 D 上的函数 . 设 DyxP ∈= ),( 000 , 我们希望定 义 ),( yxf 在 0P 点的导数 , 即因变量相对于自变量的变化率 . 但如果将 ),( yxP = 作为 变量 , 由于其是二维向量 , 没有除法 , 因此很难定义 ),(),( 00 yxfyxf ? 相对于 ),( 000 yyxxPP ??=? 的变化率 . 我们只能将 ),( yxP = 的分量 x 和 y 分别作为自变量 来定义导数 . 将 y 固定在 0y , 则 ),( 0yxf 是 x 的函数 . 如果 0 000 ),(),(lim 0 xx yxfyxf xx ? ? → 存在 , 则称 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处沿 x 方向可导 , 称极限为 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处关于 x 的偏导数 , 记之 为 ),( 00 yxxf?? 或 ),( 00 yxf x . 同样我们定义 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处沿 y 方向的偏导数 ),( 00 yxyf?? 为 0 000 ),(),(lim 0 yy yxfyxf yy ? ? → . 例 : 设 32sin),( yyxyxf += , 则 2sin),( yx yxf =?? , 而 2222 3cos232cos),( yyxyyyyx y yxf +=+??= ? ? . 上例说明偏导数的计算仅是一元函数求导的简单推广 . 因此一元函数求导的公式和性 质对 偏导数都成立 . 由偏导数的定义不难看出 , ),( yxf 在 ),( 00 yx 处存在偏导数 ),( 00 yxxf?? , ),( 00 yxyf?? 仅与 ),( yxf 沿 x 轴方向和 y 轴方向变化有关 , 与 ),( yxf 在其余部分的取值无关 . 因而与 一元函数不同 , 偏导在一个 点的存在不能得出函数在这点连续 . 例 : 设 2 ?? ??? = ≠+= ).0,0(),(,0 );0,0(),(,),( 22 yx yxyx xyyxf 则 .00 )0,0(),0(,00 )0,0()0,( =??=?? y fyfx fxf 因此 0)0,0()0,0( =??=?? yfxf . 但 ),(lim 0 0 yxf y x → → 并不存在 , ),( yxf 在 )0,0( 处不连续 . 引理 1: 设 ),( yxf 在区域 D 上处处有偏导 , 且 0,0 ≡??≡?? yfxf , 则 ),( yxf 在 D 上为 常数 . 这一引理说明与一元函数一样 , 处处有偏导的函数在差一常数的意义下由其偏导数唯 一确定 . 这一引理的证明留给读者作为思考题 . 通过这一引理不难理解 , 多元函数的性质是 可以通过其偏导数来反映的 . 所以虽然函数在一个点的偏导数仅说明了函数在 x 轴或 y 轴 方向的变化情况 , 但在一个区域上 , 函数的性质是可以 通过偏导数的研究得到的 . § 2 .2 全微分 定义 : 设 ),( yxf 定义在 ),( 00 yx 邻域上 , 称 ),( yxf 在 ),( 00 yx 可微 , 如果存在线性函 数 )()( 00 yyBxxA ?+? , 使在 ),( 00 yx 邻域上 ( ).)()()()(),(),( 20200000 yyxxoyyBxxAyxfyxf ?+?+?+?=? 由于上式仅在 0xxx ?=? 和 0yyy ?=? 充分小时才有意义 , 我们令 ydyxdx ?=?= , , 称 BdyAdxdf += 为 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处的微分 . 上式表明 ( ) .),(),( 220000 dfyxodffyxfyyxxf ≈?+?+=?=??+?+ 令 0,0 →?→? yx , 则有 ),(),(lim 00 0 0 yxfyxf yy xx = → → . 因此如果 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处 可微 , 则其必在这点连续 . 但在上一节中我们已说明 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处有偏导不能保证 其在这点连续 . 因此对于多元函数 , 其存在偏导时不一定可微 . 但如果其可微 , 则由 ( ).)(),(),( 20000 xoAx yxfyxxf ?+=? ??+ , 3 得 Ax yxf =?? ),( 00 . 同理 By yxf =?? ),( 00 . 因此如果 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处可微 , 则其必存 在偏导 , 并且 dyy yxfdxx yxfyxdf ??+??= ),(),(),( 000000 . 这同时表明微分是唯一的 . 定理 1: 如果 ),( yxf 在 ),( 00 yx 的一个邻域上处处有偏导 , 且 x yxf ?? ),( 和 y yxf ?? ),( 在 ),( 00 yx 处连续 , 则 ),( yxf 在 ),( 00 yx 可微 . 证明 : 利用微分中值定理得 ,)(),()(),( ),(),(),(),(),(),( 00 000000 yyy yxfxxx yxf yxfyxfyxfyxfyxfyxf ?? ′?+?? ′?= ?+?=? 其中 ],[],,[ 00 yyyxxx ∈′∈′ . 因此 ).(),(),()(),(),( )(),()(),(),(),( 0 000 0 000 0 00 0 00 00 yyy yxfy yxfxxx yxfx yxf yyy yxfxxx yxfyxfyxf ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ′?+? ?? ? ?? ? ? ?? ? ′?+ ???+???=? 由 yfxf ???? , 在 ),( 00 yx 连续 , 而 ,)()(,)()( 2020020200 yyxxyyyyxxxx ?+?≤??+?≤? 得 ( ) .)()( )(),()(),(),(),( 2 0 2 0 0 00 0 00 00 yyxxo yyy yxfxxx yxfyxfyxf ?+?+ ???+???=? ),( yxf 在 ),( 00 yx 处可微 . 推论 : 如果 xf?? 和 yf?? 在 D 上处处存在且连续 , 则 ),( yxf 在 D 上处处可微 , 因而也处 处连续 . 定理 1 中偏导连续并非可微的必要条件 . 例 : 令 4 ?? ??? = ≠= .0,0 ;0,1sin),( y yyxyyxf 则由 02121 1sin 22 22 22 2222 →?+?= ?+? ?+?≤ ?+? ??≤ ?+? ??? yx yx yx yx yx yx yyx 得 ( ).)0,0(),( 22 yxofyxf ?+?=? 因此 ),( yxf 在 )0,0( 点可微 , 0)0,0( =df . 但 ??? ? ??? ????+= ? ? yyxyxy yxf 11cos1sin),( , 其在 0,0 →→ yx 时并无极限 . § 2 .3 微分的几何意义 对一元函数 )(xfy = , 其微分 dxxfdy )( 0′= 代表的线性函数 ))(( 000 xxxfyy ?′=? 是 )(xfy = 的曲线在 ))(,( 000 xfyx = 处的切线 . 微分就是这一切线的无穷小部分 . 我们 在充分小的意义下 , 用直线 dxxfdy )( 0′= 代替 )(xfy = 的弯的曲线 . 对二元函数 ),( yxfz = , 设其在 ),( 00 yx 处可微 , 则其微分 dyy yxfdxx yxfdz ??+??= ),(),( 0000 表示的线性函数 )(),()(),( 0000000 yyy yxfxxx yxfzz ???+???=? 是过 ),( yxfz = 的曲面上点 )),(,,( 00000 yxfzyx = 的平面 . dff ≈? 表明我们希望在无 穷小的意义下 , 用微分表示的平面代替曲面 . 即我们希望这一平面是所有过 ),,( 000 zyx 的 平面中与 ),( yxfz = 的曲面贴得最紧的平面 , 或者说曲面在这点的切面 . 为此我们需要先 5 给切面一个几何的定义 . 定义 : 设 ),,( 0000 zyxP = 是曲面 Σ 上 的一点 , 过 0P 点的平面 a 称为 Σ 在 0P 点的 切面 , 如果曲面上的点 P 趋于 0P 时 , P 到 平面 a 的距离是比 P 到 0P 的距离高阶的无 穷小 . 如图 , 设 M 是 P 点到 a 的垂线的交点 , a 为切面等价于 0lim 00 = → PP PM PP . 定理 1: 设曲面 Σ 由 ),( yxfz = 给出 , 则 Σ 在点 )),(,,( 00000 yxfzyx = 有切面的充分 必要条件是 ),( yxf 在 ),( 00 yx 可微 . )(),()(),( 0000000 yyy yxfxxx yxfzz ???+???=? 就是 Σ 在 ),,( 000 zyx 处的切面 . 证明 : 如上图 . 设 a 由 )()( 000 yyBxxAzz ?+?=? 给出 , N 为 P 沿 z 轴到 a 的投 影点 . 由 =PMPN 常数 , 因此 a 为切面等价于 0lim 00 = → PP PN PP . 但 .)()()),(),(( ,))()(),((),( 2 0 2 0 2 000 0000 yyxxyxfyxfPP yyBxxAyxfyxfPN ?+?+?= ?+?+?= 如果 ),( yxfz = 在 ),( 00 yx 处可微 , 即 0 )()( )(),()(),(),(),( 2 0 2 0 0 00 0 00 00 → ?+? ??? ? ??? ? ? ? ?+? ? ?+? yyxx yyy yxfxxx yxfyxfyxf . 由 20200 )()( yyxxPP ?+?≥ 得 0 0 →PPPN . 曲面有切面 , 而 )(),()(),(),( 00000000 xxy yxfyyx yxfyxfz ???+???=? 就是曲面在 )),(,,( 00000 yxfzyx = 处的切面 . z a P0 P M y N x 6 设 )()( 000 yyBxxAzz ?+?=? 是 Σ 在 ),,( 000 zyx 的切面 . 要证明定理的结论 , 仅 需证 .0 )()( 2020 → ?+? yyxx PN 但已知 0 0 →PPPN , 因此只需证 2 0 2 0 0 )()( yyxx PP ?+? 有界即可 . 由 0 0 →PPPN , 不妨取 P 充分接近于 0P , 使 21 0 <PPPN , 得 .21),(),( 00000 PPyyBxxAyxfyxf +?+?≤? 两边除 2020 )()( yyxx ?+? , 由 0PP 表达式得 . )()( ),(),(1 2 1 )()( ),(),(1 2 1 )()( ),(),( 2 0 2 0 00 2 2 0 2 0 00 2 0 2 0 00 ? ? ? ? ? ? ? ? ?+? ?+++≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ?+? ?+++≤ ?+? ? yyxx yxfyxfBA yyxx yxfyxfBA yyxx yxfyxf 因此 ( ) .12 )()( ),(),( 2 0 2 0 00 ++≤ ?+? ? BA yyxx yxfyxf 而 ( ) .12 )()( ),(),(1 )()( ),(),(1 )()( 2 0 2 0 00 2 2 0 2 0 00 2 0 2 0 0 ++≤ ?+? ?+≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ?+? ?+= ?+? BA yyxx yxfyxf yyxx yxfyxf yyxx PP 定理得证 . 设曲面 Σ 是 0),,( =zyxF 给出 , ),,( zyxF 可微 . 在下一章隐函数定理中我们将证明 如果 0),,( 000 =zyxF , 而 0),,( 000 ≠?? z zyxF , 则存在 ),( 00 yx 的邻域 U 和 U 上可微的函 数 ),( yxfz = , 使在 ),,( 000 zyx 的一个邻域上 , 曲面 Σ 由 ),( yxfz = 给出 . 特别的 , 其有 7 切面 . 对 0)),(,,( ≡yxfyxF 微分得 .0 dfzFdyyFdxxF ??+??+??= 因此在 ),,( 000 zyx 的切面 dfdz = 可表示为 dzz zyxFdyy zyxFdxx zyxF ??+??+??= ),,(),,(),,(0 000000000 或 )(),,()(),,()(),,(0 000000000000 zzz zyxFyyy zyxFxxx zyxF ???+???+???= . § 2 . 4 高阶偏导与累次极限 设 ),( yxf 在区域 D 上处处存在偏导 , 则 x yxf ?? ),( , y yxf ?? ),( 也是 D 上的函数 . 如果 其仍可导 , 则称 ),( yxf 在 D 上存在二阶偏导 , 记之为 ., ,, 2 22 2 2 2 ??? ? ??? ? ? ? ? ?= ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?= ?? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ?= ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?= ? ? y f yy f x f yxy f y f xyx f x f xx f 也记为 yyyxxyxx ffff ,,, . 例 : 设 322 )sin(),( xyxyxf ++= , 则 yxyxxy fxxyxxf 22)sin(,32)cos( 22 2 222 ??+?= ?? ?+?+= ? ? , 而 xyyxyx fyyxyf 22)sin(,2)cos( 22 2 22 ??+?= ?? ??+?= ? ? . 上例中 xy fyx f ???=??? 22 . 因此一个自然的问题是这一等式是否对任意 ),( yxf 都成立 , 即 8 求导过程是否可交换 ?一般来说 , 求导过程不 是任意可交换的 . 例 : 设 ?? ??? = ≠+?= ).0,0(),(,0 );0,0(),(,)(),( 22 22 yx yxyx yxxyyxf 则 ?? ??? = ≠?? ? ? ??? ? + ? ? ?+ + ? =?? ?? ??? = ≠?? ? ? ??? ? + ? ? ?+ + ? =?? ),0,0(),(,0 );0,0(),(,),( ),0,0(),(,0 );0,0(),(,),( 22 22 22 22 22 22 22 22 yx yxyx yxyxyyx yxx y yxf yx yxyx yxxxyyx yxy x yxf 因而 yx yf ?=?? ),0( , 得 1),0( 2 ?=??? xy yf . 而 xyxf =?? )0,( , 得 1)0,( 2 =??? yx xf . 特别的 , 1)0,0(1)0,0( 22 ?=???≠=??? xyfyxf . 在微积分中求导顺序可交换是一个基本要求 , 否则会给许多计算和应用带来麻烦 . 从 另一个角度 , 在初等数学中我们 有加法和数乘这样基本的运算 , 微积分中我们引进了极限 、 求导 、 求积分等运算 , 这些运算都有线性性 , 即其与加法和数乘都是可交换的 （ 或者说是相 容的 ） . 一个自然的问题是这些运算之间是否可交换 . 这一点我们将在以后函数级数和参变 量积分中进行更详细的讨论 . 上例说明我们需要加上合适的条件才能保证这样的交换是一 般可行的 . 为此我们需要回到偏导数的定义 . 由定义得 [ ].),(),(),(),(11limlim ),(),(lim),(),(lim1lim),( 00 000 2 yxfyyxfyxxfyyxxfyx y yxfyyxf y yxxfyyxxf xyx yxf yx yyx +?+??+??+?+??= ?? ? ?? ? ? ??+? ? ?+??+?+ ?=?? ? →?→? →?→?→? 同理得 [ ].),(),(),(),(11limlim),( 00 2 yxfyyxfyxxfyyxxfyxxy yxf xy +?+??+??+?+??=??? →?→? 因此偏导可交换的问题等价于两个极限过程 00 limlim →?→? yx 与 00 limlim →?→? xy 可交换 . 极限 00 limlim →?→? yx 称 9 为累次极限 , 其一般交换性将在以后讨论 . 这里我们利用重极限给出其可交换的一个充分条 件 . 定理 1: 设 0x 是集合 R?A 的极限点 , 0y 是集合 B 的极限点 , ),( yxf 是 BA× 上的 函数 . 如果 By ∈? , 单极限 )(),(lim 0 ygyxf xx = → 存在 , 且重极限 ),(lim 0 0 yxf yy xx → → 存在 , 则累次 极限 ),(limlim 00 yxf xxyy →→ 存在并与重极限相等 . 证明 : 设 cyxf yy xx = → → ),(lim 0 0 , 则 0,0 >?>? de , 只要 dd <?≤<?≤ 00 0,0 yyxx , BAyx ×∈),( , 就有 e<?cyxf ),( . 令 0xx → , 得 e≤? cyg )( , 即 cyxfyg xxyyyy == →→→ ),(limlim)(lim 000 . 推论 : 在定理 1 中如果假设单极限 ),(lim 0 yxf yy→ 也存在 , 则累次极限 ),(limlim 00 yxf xxyy →→ 和 ),(limlim 00 yxf yyxx →→ 都存在且相等 . 由这一推论 , 要得到 xy fyx f ???=??? 22 , 我们 只需重极限 [ ]),(),(),(),(1lim 0 0 yxfyyxfyxxfyyxxfyx y x +?+??+??+?+??? →? →? 存在即可 . 定理 2: 设 ),( yxf 在 ),( 00 yx 邻域上有一阶偏导 x yxf ?? ),( , y yxf ?? ),( 和二阶偏导 yx yxf ?? ? ),(2 , 并且 yx yxf ?? ? ),(2 在 ),( 00 yx 连续 , 则 xy yxf ?? ? ),( 002 存在并 与 yx yxf ?? ? ),( 002 相等 . 证明 : 一阶偏导存在保证了单极限 [ ]),(),(),(),(1lim 00000000 0 yxfyyxfyxxfyyxxfyx x +?+??+??+?+?? →? 以及 [ ]),(),(),(),(1lim 00000000 0 yxfyyxfyxxfyyxxfyx y +?+??+??+?+?? →? 10 存在 . 而利用微分中值定理得 ( ) ( )[ ] ,),( ),(),(1 ),(),(),(),(1 1020 2 100100 00000000 yx yyxxf y yyxf y yyxxf x yxfyyxfyxxfyyxxfyx ?? ?+?+?= ?? ? ?? ? ? ?+?? ? ?+?+? ?= ??+??+??+?+?? qq qq 其中 10,10 21 <<<< qq . 由 yx yxf ??? ),( 2 在 ),( 00 yx 连续 , 得重极限存在并与 yx yxf ?? ? ),( 002 相等 . 定理得证 . 定义 : 设 D 是 2R 中的区域 , 称 )(),( DCyxf r∈ , 如果对 D 的每一点 , ),( yxf 的所 有 r 阶偏导都存在且连续 . 不难看出 , 如果 )(DCf r∈ , 则 f 的所有小于等于 r 阶的偏导都连续 , 因而求导与顺 序无关 . 一般的 , 设 ),,( 1 nxxf L 有 r 阶连续偏导 , 由于其导数与顺序无关 , 因此将其导数按变 元顺序表示为 ni n i n r xx xxf ?? ? L L 1 1 1 ),,( , 其中 rii n =++L1 . 例 : 设 2sin)54(),( 23 yexxyxf ?+= , 求 64 10 ),( yx yxf ?? ? . 解 : 由 04 4 =??xf , 而 ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?= ?? ? 4 4 6 6 64 10 ),( x f yyx yxf , 得 0),( 64 10 =??? yx yxf . § 2.5 复合函数求导 , 方向导数与梯度 设 D 是 nR 中开集 , mDF R→: 是 D 上向量函数 , 表示为 )),,(,),,,((),,(: 1111 nmnn xxfxxfxxF LLLL → , 称 F 存在偏导 , 如果 F 的每一 个分量函数 ),,( 1 ni xxf L 都存在偏导 . 称 F 为 rC 的映射 , 11 如果 F 的每一个分量函数 ),,( 1 ni xxf L 都是 rC 的函数 . 设 3221 :,: DDGDDF →→ 都是 rC 的映射 . 自然的一个问题是 31: DDFG →o 是否仍是 rC 的 . 例 : 定义 ?? ? == ≠≠= .00,0 ;00,1),( yx yxyxf 或 且 ),( yxf 在 )0,0( 处是存在偏导的 . 令 ),(),(: yxyxyxg ?+→ , 则 g 是 2R 上 ∞C 的函数 . 但 gf o 在原点并不存在偏导 . 定理 1: 如果 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处可微 , 而 )),(),,((),(: vuyvuxvuG → 在 ),( 00 vu 处 存在偏导 , 且 ),(),,( 000000 vuyyvuxx == . 则 Gf o 在 ),( 00 vu 处存在偏导 , 并有链法则 .)( ,)( v y y f v x x f v Gf u y y f u x x f u Gf ? ?? ? ?+ ? ?? ? ?= ? ? ? ?? ? ?+ ? ?? ? ?= ? ? o o 证明 : ( ).)),(),(()),(),(( )),(),((),()),(),((),( )),(),,(()),(),,(( 2 000 2 000 000 00 000 00 000000 vuyvuyvuxvuxo vuyvuyy yxfvuxvuxx yxf vuyvuxfvuyvuxf ?+?+ ???+???= ? 两边除 0uu ? , 并令 0uu → , 得 .),(),(),(),()),(),,(( 000000000000 u vuyy yxfu vuxx yxfx vuyvuxf ????+????=?? 利用函数如果处处有连续偏导 , 则其处处可微 , 因而有 定理 2: 如果 3221 :,: DDGDDF →→ 都是 rC 的映射 , 则 31: DDGF →o 也是 rC 的 . 另外由定理 1 的证明不难看出 , 如果 f 可微 , ),(),,( vuyvux 都可微 , 则 ),( vuGF o 也 12 可微 , 并且由求导公式得 , )( dyyfdxxf dvvyduuyyfdvvxduuxxf dvvyyfvxxfduuyyfuxxfGfd ? ?+ ? ?= ?????? ??+????+?????? ??+????= ??? ? ??? ? ? ?? ? ?+ ? ?? ? ?+ ??? ? ??? ? ? ?? ? ?+ ? ?? ? ?=o 即表达式 dyyfdxxfdf ??+??= 不论 x 和 y 是中间变量还是自变量时都成立 . 这称为一阶微 分的形式不变性 . 当然如果 yx, 是自变量时 ydyxdx ?=?= , . 但如果 ),( vuxx = , ),( vuyy = 是中间变量 , 则 ydyxdx ?≈?≈ , . 一阶微分的形式不变性在现代数学中有重要应用 , 一阶微分也因此成为研究微分流形 的基本工具 . 设 ),( yxf 在 ),( 00 yx 可微 . 设 ))(),(( tytxt → 是满足 ))0(),0((),( 00 yxyx = 且 )(tx , )(ty 在 0=t 时可导的曲线 . 由定理 1 得 ))(),(( tytxf 在 0=t 可导 , 且 ).0(),()0(),())0(),0(( 0000 yy yxfxx yxfdt yxdf ′??+′??= dt yxdf ))0(),0(( 称为 ),( yxf 沿曲线 ))(),(( tytx 在 ),( 00 yx 处的导数 . 上式表明其仅与曲线 ))(),(( tytx 在 ),( 00 yx 处的切向量有关 , 而与 ))(),(( tytx 的选取无关 , 称为 ),( yxf 对切向 量 ))0(),0(( yx ′′ 的方向导数 . 其除了与 ))0(),0(( yx ′′ 所代表的方向有关外 , 还与 ))0(),0(( yx ′′ 的长度有关 . 一般的 , 我们取 ))0(),0(( yx ′′ 为单位向量 . 定义 : 设 ),( yxf 是 ),( 00 yx 邻域上的函数 , )cos,(cos ba 是给定的单位向量 . 如果函 数 )cos,cos()( 00 ba tytxfta ++= 在 0=t 可导 , 则称 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处沿 )cos,(cos ba 方向可导 , )0(a′ 称为 ),( yxf 对方向 )cos,(cos ba 的方向导数 . 由上例我们得如果 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处可微 , 则其沿任意方向 )cos,(cos ba 的方向 13 导数都存在且为 .cos),(cos),( 0000 ba y yxfx yxf ??+?? 令 ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?= y yxf x yxfyxf ),(,),(),)((grad 0000 00 , 称为 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处的梯度 . 令 )cos,(cos ba=t , 则 ),( yxf 沿 t 方向的方向导数为 ( ) gcos),)((grad),,)((grad 0000 ?= yxftyxf , 其中 g 为 ),)((grad 00 yxf 与 t 的夹角 . 当 0=g 时 , gcos 取最大值 . 因此梯度向量 ??? ? ??? ? ? ? ? ?= y yxf x yxfyxf ),(,),(),)((grad 0000 00 所代表的方向是 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处变化率 最大的方向 , ),)((grad 00 yxf 是 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处最大的变化率 . 设 n 元函数 ),,( 1 nxxf L 在 ),,( 001 nxx L 处可微 , 则 ??? ? ??? ? ? ? ? ?= n nn n x xxf x xxfxxf ),,(,,),,(),,)((grad 001 1 00 100 1 LLLL 称为 ),,( 1 nxxf L 在 ),,( 001 nxx L 处的梯度向量 , 其方向表示函数在这点变化最大的方向 , 其长度表示函数在这点最大的变化率 . 特别的 , 如果 0),,)((grad 001 =nxxf L , 则 ),,( 001 nxx L 称为 ),,( 1 nxxf L 的静止点 . 我们将在函数的极值问题中进一步讨论静止点的 性质 . § 2. 6 高阶微分和 Taylor 公式 设 D 是 nR 中区域 , )(),,( 1 DCxxf rn ∈L . 将 ii xdx ?= 看作常数 , 则 )(1 1 DCdxxfdf r n i i i ? = ∈??= ∑ . 因此 11 ≥?r 时 , 其仍可微分 , 其微分称为 ),,( 1 nxxf L 的二阶微分 , 记为 fd 2 . 设 rm ≤ , 定义 )( 1 fddfd mm ?= , 称为 ),,( 1 nxxf L 的 m 阶微分 . 14 引理 1: ∑ =++ ?? ?= mii i n i i n i m m ii m n n nn dxdxxx fCfd L L LL 1 1 11 1 1 , 其中 !! ! 1 1 n m ii ii mC n LL = . 证明 : 以 2=n 为例 . 设公式在 1?m 时成立 , 即 ∑ ?=+ ? ? ?? ?= 1 1 1 mji ji ji m m ij m ydx yx fCfd , 则 ( ) . )( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∑ ∑ ∑ ∑ =+ =+ ? ? ? ? ?=+ + + + + ?=+ ? ? ?? ?= ?? ?+= ??? ? ??? ? ?? ?+ ?? ?= ??? ? ??? ? ?? ?== mji ji ji m m ij mji ji ji m m ji m ji mji ji ji m ji ji m m ij mji ji ji m m ij mm dydxyx fC dydxyx fCC dydxyx fdydxyx fC dydxyx fdCfddfd 设 ))(),(( tytx 是 D 中曲线 . 令 ))(),(()( tytxfth = , 由一阶微分不变 性得 dyyfdxxfdh ??+??= , 但 dydx, 是 t 的函数 , 一般不是常数 . 因此 , ydyfxdxfdyy fdxdyyx fdxxfhd 2222 22 2 2 2 2 2 ? ?+ ? ?+ ? ?+ ?? ?+ ? ?= , )(),( 22 tydtxd 一般不为零 . 所以二阶微分以及高阶微分没有一阶微分的形式不变性 . 但如果在上式中 , dcttybattx +=+= )(,)( 分别都是 t 的线性函数 , 则 02 ≡xd , 02 ≡yd , 因而 ),( yxfdhd mm = ))(),(( tyytxx == 仍保留形式不变性 . 下面我们将用 这一点将一元函数的 Taylor 展开推广到多元函数 . 定义 : 设 D 是 2R 中区域 , )(),( DCyxf r∈ , )(),( DCyxg r∈ . 称 ),(),,( yxgyxf 在 Dyx ∈),( 00 处 m 阶相切 , 如果对任意 kjimk =+≤ , , 恒有 ji k ji k yx yxg yx yxf ?? ?= ?? ? ),(),( 0000 . 15 例 : ),( yxfz = 与其切面 )(),()(),( 0000000 yyy yxfxxx yxfzz ???+???=? 在切点 ),,( 000 zyx 处一阶相切 . 引理 2: 设 )(DCf r∈ , 则 Dyx ∈? ),( 00 , ),( yxf 与多项式 ∑ ∑ = =+ ?????= r m mji ji ji m r yyxxyx yxf jiyxT 0 00 00 )()(),( !! 1),( 在 ),( 00 yx 处 r 阶相切 . 证明 : 由直接计算得在 ),( 00 yx 处 ?? ? ≠ ==?? ?? ? ).,(),(,0 );,(),(,!!)()( 11 11 0011 jiji jijijiyyxx yx ji ji m 如果 如果 引理显然 . 多项式 ∑ ∑ = =+ ?????= r m mji ji ji m r yyxxyx yxf jiyxT 0 00 00 )()(),( !! 1),( 称为 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处的 r 阶 Taylor 展开 . 如果形式的令 00, yydyxxdx ?=?= , 则 .),(!1 ),( !! ! ! 1),( 0 00 0 00 ∑ ∑ ∑ = = =+ = ??? ? ??? ? ?? ?= r m m r m mji ji ji m r yxfdm dydxyx yxfjimmyxT 与一元函数 )( xhy = 的 Taylor 展开 .)(!1))((!1)( 0 0 0 00 )( ∑∑ == =?= r m m r m mm r xhdmxxxhmxT 形式相同 . 我们希望借助此给出多元函数 Taylor 展开的余项估计 . 定义 : 区域 2R?D 称为以 ),( 00 yx 为心的星形域 (star domain), 如果 Dyx ∈? ),( , 连 接 ),(),,( 00 yxyx 的直线段都在 D 内 . 16 定理 1（ Lagrange） : 设 D 是以 ),( 00 yx 为心的星形域 , )(),( 1 DCyxf r+∈ , 则对任意 Dyx ∈),( , 存在 10, << qq , 使得 ( ))(),()!1( 1),(!1),( 00001 0 00 yyyxxxfdryxfdkyxf r r k k ?+?+ ++= + = ∑ qq . 证明 : D 是星形域 , 因而直线段 ]1,0[),,( ),( 0000 ∈??+ tyyxxtyx 包含在 D 内 . 令 ( ))(),()( 0000 yytyxxtxfth ?+?+= , 则 ])1,0([)( 1+∈ rCth . 由 Lagrange 余项的 Taylor 展开知 , 存在 10, << qq , 使得 )()!1( 1)0(!1)1( 1 0 qhdrhdkh r r k k + = + += ∑ . 而由 ),( ),( 0000 yyxxtyx ??+ 是 t 的线性函数 , 因而高阶微分仍保持形式不变性 , 即 ( ))(),()(),,()0( 00001100 yyyxxxfdhdyxfdhd rrkk ?+?+== ++ qqq . 代入得 ),( yxf 的带 Lagrange 余项的 Taylor 展开 . 定理 2（ Peano） : 设 D 是任意开集 , )(),( DCyxf r∈ , ),( 000 yxP = 是 D 中任意点 . 则在 0P 充分小邻域上 , ( )rr k k yyxxoyxfd kyxf 2 0 2 0 0 00 )()(),(! 1),( ?+?+= ∑ = . 证明 : D 是开集 , 因而存在 0>e , 使得 DPB ?),( 0 e . 对任意 ),(),( 0 ePByx ∈ , 由 Lagrange 余项的 Taylor 展开 , 得 ( ) .),(!1 )(),(!1),(!1),( 0 00 0000 1 0 00 Ryxfdk yyyxxxfdryxfdkyxf r k k r r k k += ?+?++= ∑ ∑ = ? = qq 其中 17 ( ) ( ) .)()(),()(),( !! 1 ),(!1)(),(!1 00 000000 000000 ji rji ji r ji r rr yyxxyx yxfyx yyyxxxfji yxfdryyyxxxfdrR ??? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ?+?+?= ??+?+= ∑ =+ qq qq 但 ),(),( 00 yxyx → 时 , ( ) 0),()(),( 000000 → ?? ?? ?? ?+?+? ji r ji r yx yxf yx yyyxxxf qq 是无穷小 . 而 ( ) ( ) r r ji ji yyxx yyxx yyxxyyxx 2 0 2 02 0 2 0 00 00 )()( )()( )()()()( ?+? ?+? ??=?? , 但 ( ) 1 )()( )()( 2 0 2 0 00 ≤ ?+? ?? r ji yyxx yyxx . 定理得证 . 在函数的 Taylor 展开中 , 二阶项 fd 2 可用矩阵表示 . 以 n 元函数为例 . .),,( ),,(),,( 1 2 2 2 2 1 2 1 2 21 2 2 1 2 1 1, 1 2 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? = ?? ?= ∑ = n nnn nn n ji ji ji n n dx dx x f xx f xx f xx f xx f x f dxdx dydxyx xxfxxfd M L LLLLLLLLLL L L LL 对称矩阵 nnji n yx xxf × ??? ? ??? ? ?? ? ),,( 12 L 称为 f 在 ),,( 1 nxx L 处的海色 (Hessi) 矩阵 , 记为 ),,( 1 nf xxH L . 例 : 区域 2R?D 称为凸域 , 如果连接 D 中任意两点的直线段都在 D 内 . 凸域 D 上的 函数 ),( yxf 称为凸函数 , 如果对 D 中任意两点 ),(),,( 2211 yxyx 及 ]1,0[∈t , 恒有 ),()1(),())1(,)1(( 22112121 yxftyxtfyttyxttxf ?+≤?+?+ . 设 )(2 DCf ∈ , 证明 ),( yxf 是 D 上凸函数的充分必要条件是对任意 Dyx ∈),( 00 , ),( 00 yxH f 半正定 . 18 证明 : 由定义不难看出 , ),( yxf 在 D 上凸的充分必要条 件是对 D 中任意直线段 ),( ),( 010100 yyxxtyx ??+ , 函数 ( ))(),()( 010010 yytyxxtxftF ?+?+= 是 t 的凸函 数 . 但 )(tF 二阶可导 , )(tF 凸等价于 0)( ≥′′ tF . 而 ??? ? ??? ? ? ???=′′ 01 01 000101 ),(),()0( yy xxyxHyyxxF f , ),( 0101 yyxx ?? 可取任意方向 , 因此 0)0( ≥′′F 等价于 ),( 00 yxH f 半正定 . 习题 1． 求下列函数的偏导数 : （ 1） 22 yx xu + = ; （ 2） yxu 2 tg= ; （ 3） )cossin( yxu = ; （ 4） y x eu = ; （ 5） xyyxu ?+= 1arctg ; （ 6） z y xu ??? ? ??? ?= ; （ 7） z x xu = ; （ 8） yzxu = ; （ 9） 2 3 2 2 2 1 1 xxx u ++ = ; （ 10） 22 arcsin yx xu + = . 2． 求下列函数在指定点的所有偏导数 : （ 1） z y xu = , 于 (1,1,1)处 ; （ 2） yxyxz arcsin)1( ?+= , 于 (0,1)处 ; （ 3） yzxzxy xyzzyxu ??? ?++= 1arctg , 于 (0,0,0)处 . 3． 设 )(xf 在 }{\)( 00 xxU 有偏导数 ix xf ? ? )( , 且偏导数在 0x 关于 ix 连续 , 其中 )( 0xU 是 0x 的邻域 . 19 （ 1） 若 i ixx Axxf =?? → )(lim 0 , 求证 i i Axxf =?? )( 0 . （ 2） 若 ∞=?? → ixx x xf )(lim 0 , 问 ix xf ? ? )( 0 是否存在 ? （ 3） 若 ixx x xf ? ? → )(lim 0 不存在 , 问 ix xf ? ? )( 0 是否存在 ? 4． 求下列函数的偏导数 : （ 1） ?? ??? =+ ≠+++= );0(,0 ),0(,1sin),( 22 22 22 22 yx yxyxyxyxf （ 2） ( ) ? ?? =+ ≠++= ).0(,0 ),0(,ln),( 22 2222 yx yxyxxyxf 5． 设 2R?? 是开区域 , ),(),,( yxvyxu 在 ? 内满足 Cvuxvyuyvxu =+???=????=?? 22,, (常数 ). 求证 : ),(),,( yxvyxu 在 ? 内恒为常数 . 6． 设 ),(),,( yxvvyxuu == 在 ),( yx 可微 . 按定义证明 vu ? 可微且 vduudvvud +=? )( . 7． 设 xf?? 在 ),( 00 yx 存在 , yf?? 在 ),( 00 yx 连续 , 求证 ),( yxf 在 ),( 00 yx 可微 . 8． 讨论函数 ?? ??? =+ ≠++= ).0(,0 ),0(,),( 22 22 22 2/3 yx yxyx yxyxf b 的连续性 , 可微性及偏导数的连续性 . 9． 求下列函数的二阶偏导数 : （ 1） 22 yxu += ; （ 2） xyxyu += ; （ 3） )ln( 22 yxu += ; （ 4） zxyu )(= . 10． 验证下列函数中的每一个都满足 02 2 2 2 2 = ? ?+ ? ?=? y u x uu . 20 （ 1） )ln( 22 yxu += ; （ 2） 22 yxu ?= ; （ 3） yeu x cos= ; （ 4） xyu arctg= . 11． 求高阶偏导数 : （ 1） qp yyxxu )()( 00 ??= , 求 qp qp yx u ?? ? + ; （ 2） )( yxyx yxu ≠?+= , 求 nm nm yx u ?? ? + ; （ 3） )ln( byaxu += , 求 nm nm yx u ?? ? + ; (4) zyxxyzeu ++= , 求 rqp rqp zyx u ??? ? ++ . 12． 求 )0,0( yxl u ? ? : （ 1） 22 yxu ?= , 6,,3,),1,1(),( 2100 pp =??=??= elelyx ; （ 2） )ln( 22 yxu += , )1,1(),( 00 =yx , l与 x 轴正向夹角为 °60 ; （ 3） xyxeu = , )1,1(),( 00 =yx , l与向量 )1,1( 同向 . 13． 设 ),( yxf 在 )0,2(0 =P 指向 )2,2(1 ?=P 的方向导数是 1, 指向原点的方向导数是 3? . 试回答 : （ 1） 指向 )1,2(2 =P 的方向导数是多少 ? （ 2） 指向 )2,3(3 =P 的方向导数是多少 ? 14． 设 ),( yxf 可微 , l是一确定的单位向量 , 对任意 yx, 有 0),( ≡?? l yxf . 问此函数有何特 点 ? 15． 证明梯度的运算法则 : .)()( ,)(,)( uufuf uvvuuvvuvu ?′=? ?+?=??+?=+? 16． 证明泰勒公式的唯一性 . （ 1） 设 )0(0)( 0 →=+∑ =+ rr n n ji ji ij oyxA , 其中 22 yx +=r . 求证 为非jiA ij ,(0= 21 ),,2,1,0 nji L=+，负整数 . （ 2） 设 )0(0)()( →=+ rr nn oxP , 其中 x=r , ∑ ≤ = nk k kn xaxP )( , 而 n n k n kkk n i ikkkk xxxxkkaa LL 2121 21 1 ,,, ,, ?=== ∑ = , nkkk ,,, 21 L 为非负整数 . 证明 : nkak ≤= ,0 . 17． 求函数 423),( 22 +?+++= yxyxyxyxf 在 )1,1(? 点邻域的泰勒展开 . 18． 求函数 xyzzyxzyxf 3),,( 333 ?++= 在 )1,1,1( 邻域的泰勒展开 . 19． 求函数 2 2 ),( xyyxf = 在 )1,1( ? 点邻域的二阶泰勒公式 , 并写出余项 . 20． 求 yxeyxf +=),( 在 )0,0( 邻域的 n 阶泰勒公式并写出余项 . 21． 设 ?? ??? =+ ≠++?= + ).0(,0 ),0(,1),( 22 22 22 )( 22 yx yxyxeyxf yxx 求 )0,0( 邻域的四阶泰勒展式 , 并求 4 42 )0,0( ,)0,0( xfyxf ????? .