1 *第九章 Grassmann 代数与微分形式 上一章多重积分中 , 面积和体积微元是有方向性的 , 即与坐标顺序有关 , 但表达式 dxdy 等并不反映它的方向性 . 在作变量替换时 dudvvu yxdxdy ),( ),(??= , 要出现一个 Jacobi行 列式 , 这显然也不能从通常的实数乘法推导出来 . 这一章我们将用 Grassmann 代数工具将这 一乘法讲清楚 . 事实上面积微元 dxdy 应该用 Grassmann 代数中乘法 （ 外积 ） 来定义 dydx? , 这样既解决了方向性问题 : dydxdxdy ?? ?= , 又能很自然地推出变量替换时的公式 . 在 更高维数时它也适用 . § 7.1 Grassmann 代数与微分形式 1.1 Grassmann 代数 在 n 维线性空间中取定一组基 { }nee ,,1 L , 对任何两个向量 nnexexx ++= L11 和 nneyeyy ++= L11 , 我们定义一个乘法 yx? , 将 n 维线性空间扩张为一个代数 . 为此我 们只要规定好基向量之间的乘法 , 它们由下面定义 1） ;,,2,1,0 niee ii L==? 2） ;()( kjikji eeeeee )???? = （ 结合律 ） 3） ;01 ≠nee ??L （ 非退化 ） 4） ;ijji eeee ?? ?= （ 非交换 ） 在这个线性运算和乘法下我们得到一个代数 , 称为 Grassmann 代数 , 记为 nG . 例 1: 3G 中有基元素 ? ? ? ??? ? . ,, ,, 1 321 323121 321 eee eeeeee eee ?? ??? 它是 823 = 维的 . 比如其中有两个元素 332211 ececec ++ 和 332211 ededed ++ , 它们的外 积 2 ( ) ( ) .)()()( 322332311331211221 332211332211 eedcdceedcdceedcdc edededececec ??? ? ?+?+?= ++++ 如果有三个元素 332211332211 , ebebebeaeaea ++++ 和 332211 ececec ++ , 它们三者的外 积 ( ) ( ) ( ) .321 321 321 321 332211332211332211 eee ccc bbb aaa ecececebebebeaeaea ?? ?? = ++++++ 例 2: nG 中有基向量 n2 个 , 分阶表示为 维 维 维 维 1 1 : ,,,: ,,,: 1: 2 21 13121 2 21 1 0 n n n nn n C eee eeeeee eee n ??? ??? L LLLLLLL L L Λ Λ Λ Λ ? 每个子空间 kΛ （ 称为 k 阶元素 ） 维数为 knC , 总维数为 n n k k nC 2 0 =∑ = . 显然有 lkl +Λ?ΛΛ ?k , 即 k 阶元素与 l阶元素的外积是 lk + 阶元素 , 如果 nlk >+ 时 , 外积为 0. nG 是个非交换 、 不可除但结合的代数 , 也称为外代数 . 1.2 nR 中微分形式 在 nR 的微分学中 , 我们有 n 个基本一阶 微分元素 ndxdx ,,1 L . 令 nn edxedxedx === ,,, 2211 L , 则所有 nR 中微分形式恰好形成一个 Grassmann 代数 nG . 按 nG 的结构 , nR 中的微分形式 分为 1+n 个不同阶的微分形式 , 分别称为 0-形式 , 1-形式 , L, n -形式 . 它们的基本形式分 别为 3 .: ,,,: ,,,: 1: 21 13121 2 21 1 0 n n nn n dxdxdx dxdxdxdxdxdx dxdxdx ??? ??? L LLLLLLL L L Λ Λ Λ Λ ? 例如 1Λ 中元素一般可写为 nn dxxfdxxf )()( 11 ++L , 它就是我们熟知的 1 阶 （ 微分 ） 形式 , 它有形式不变性 , 即在坐标变换下 , 形式不变 . 2Λ 中 元素一般可写为 ∑ < ji jiij dxdxxf ?)( . 当 3=n 时 , 有一个数值函数 ),,()( 321 xxxfxf = , 它就是一个 0-形式 ; 它的微分 332211 )()()( dxxfdxxfdxxf ′+′+′ 是一个 1-形式 ; 再有一个向量值函数 ),,( RQP , 则 211332 dxRdxdxQdxdxPdx ??? ++ 就是一个 2-形式 , 由它可生成一个 3-形式 ( ) 321 321 dxdxdxRQP xxx ??′+′+′ . 一般地 , 两个微分形式 { } { } { } { } , , ,,2,1,, ,,2,1,, 1 1 1 1 ∑ ∑ ?= ?= = = niiS iiS niiS iiS k k k k dxdxg dxdxf LL LL L L ?? ?? h x 我们用 Grassmann 中乘法 ? 定义它们的外积 hx? , 它也是一个微分形式 . 1.3 外微分 对于一个微分形式 , 我们可定义它的外微分 . 定义 : 令 k niii iiii k kk dxdxxf Λ∈= ∑ ≤<<<≤ L L L 21 11 1 )( ??w , 定义它的外微分如下 1 1 21 1 1 )( + ≤<<<≤ Λ∈??= ∑ ∑ k niii iij j ii k k k dxdxdx x xfd L L L???w . 例 1: 在 nR 中 0)( Λ∈xf , 则 n n n dx x fdx x fxdf ? ?++ ? ?= L 1 1 1)( , 4 它就是通常的函数的一阶微分式 , 是个 1-形式 . 例 2: 111 )()( Λ∈++= nn dxxfdxxf Lw , 则 , 1 12 1 1 1 1 1 1 ∑∑ ∑∑ ? == == ? ?++ ? ??= ??? ? ??? ? ? ?++ ??? ? ??? ? ? ?= n j nj j n n j j j n n j j j n n j j j dxdxxfdxdxxf dxdxxfdxdxxfd ?? ?? L Lw 它是一个 2-形式 . 例 3: 在 2R 中 1),(),( Λ∈+= dyyxQdxyxPw , 则 dydxyPxQdydxxQdxdyyPd ??? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?= ? ?+ ? ?=w . 例 4: 在 3R 中 1),,(),,(),,( Λ∈++= dzzyxRdyzyxQdxzyxPw , 则 . RQP zyx dydxdxdzdzdy dydxyPxQdxdzxRzPdzdyzQyRd ? ? ? ? ? ?= ??? ? ??? ? ? ?? ? ?+? ? ?? ? ? ? ?? ? ?+ ??? ? ??? ? ? ?? ? ?= ??? ???w 后一种表达式对 3R 是一种偶然 , 对一般 nR 没有这么简捷的表达式 . 例 5: 在 3R 中 2),,(),,(),,( Λ∈++= dydxzyxRdxdzzyxQdzdyzyxP ???w , 则 .dzdydxzRyQxPd ???? ? ? ??? ? ? ?+ ? ?+ ? ?=w 如果 ),,( RQPF =v 是三维空间中的一个向量场 , 比如流体运动的速度场 , 电磁波中的 电场强度或磁场强度 , 或一个力场 , 用 ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?=? zyx ,, 表示向量微分算子 , 则 FzRyQxP v?=??+??+?? 称为向量场的散度 , 也记为 Fvdiv , 它的物理意义是 “ 源泉密度 ” . 在流体力学中 , 0div >Fv 表示该点是 “ 源泉 ” （ 出水之处 ） , 0div <Fv 时表示该点是 “ 源尾 ” （ 漏水之处 ） ; 在电场中 , 0div >Fv 表示正电荷密度 , 0div <Fv 表示负电荷密度 . 5 ??? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?=?? y P x Q x R z P z Q y RF ,,v 称为向量场的强度 , 它不是一个向量场 , 记为 Fvcurl 或 Fvrot , 它的物理意义是 “ 旋涡密度 ” . 一个向量场 Fv , 若 0div =Fv , 称为无源场 , 如静磁场就是 , 即熟知的不存在单独磁北 极或磁南极 ; 若 0curl =Fv , 称为无旋场 , 如静电场就是 , 即不存在封闭的静电力线 . ),,( zyxF 是一个数值函数 , 也称为一个数量场 , ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?=? z F y F x FF ,, 称为它的梯度 , 它是一个向量场 , 其方向表示 ),,( zyxF 增加最大的一个方向 , 大小表示在该方向上的变化 率 . 命题 : 外微分有如下性质 : 1） 2121 )( wwww ddd +=+ ; 2） ww kdkd =)( 2 ; 3） lkk ddd Λ∈Λ∈?+= hwhwhwhw ,,)1()( ??? ; 4） kΛ∈w , 则 0)( 2 == ww ddd . 证明 : 1） , 2） 表明外微分是个线性运算 , 证明是简单的 , 从略 . 3） 是微分中链锁法则的推广 , 我们只需对 l k jj ii dxdxxb dxdxxa ?? ?? L L 1 1 )( ,)( = = h w 来证明 , 一般情况结果 1） , 2） 线性性质可得到 . 按定义 lk jjii dxdxdxdxxbxa ?????? LL 11 )()(=hw . 再由外微分定义 ( ) ( ) .)1( )()()1( )( )()()()()( 11 11 11 1 1 1 hwhw hw dd dxdxdxxxbdxdxxa dxdxdxdxdxxxa dxdxdxdxdxxxbxaxxaxbd k jj n s s s ii k jj n s iis s n s jjiis ss lk lk lk ?? ?????? ?????? ??????? ?+= ??? ? ??? ? ? ??+ ??? ? ??? ? ? ?= ??? ? ??? ? ? ?+ ? ?= ∑ ∑ ∑ = = = LL LL LL 4） 如果 0)( Λ∈xa , 则 6 .0 )( 22 1 1 2 1 2 = ??? ? ??? ? ?? ?? ?? ?= ?? ?= ??? ? ??? ? ? ?== ∑ ∑∑ ∑ < = = = qp pq pqpq n p n q pq pq n p p p dxdxxx axx a dxdxxx a dxxaddadad ? ? ? 定义 : kΛ∈w , 1） 若 0=wd , 称 w 为闭微分形式 ; 2） 若 1?Λ∈? kh , 使得 wh =d , 称 w 为恰当形式或正合形式 . 显然 , 恰当形式 ?闭形式 , 因为 0)( == hw ddd . 但闭形式不一定是恰当形式 , 看反 例 : { })0,0(\, 22222 R=?+++?= dyyx xdxyx yw . 容易验证 0=wd , 但 不存在 0Λ∈h , 使得 wh =d . 如果 =? 右半平面 , 令 0arctg Λ∈= xyh , 使得 wh =d , 表明这时 w 是恰当形式 . § 7.2 微分形式的拉回 2.1 微分形式的拉回映射 设 nR?? 为一区域 , 记 ? 上的 r 次正则的 k -形式为 )(?Λkr , 即 )()(,)( 1 21 11 1 ?∈= ∑ ≤<<<≤ r ii niii iiii Cxadxdxxa k k kk L L L L??w . 设 mD R? 也是一区域 , 多元向量值函数 ?→= Dux :)(j . 微分形式 w 在 )(ux j= 下的变量替换称为 w 的拉回 , 严格的定义如下 . 定义 : 给定 mkDCnmDux r ≤∈≤?→= + ),(),(:)( 1jj , 则称微分形式 7 )( ))(( ))((* 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 D duuxduuxua ddua k r nii m j j j im j j j i ii nii iiii k k k k k k k kk Λ∈ ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ?= = ∑ ∑∑ ∑ ≤<<≤ == ≤<<≤ L L L L L L ?? ?? j jjjwj 是 w 经 j 的拉回 . 性质 : 拉回映射 )()(:* DD krkr Λ→Λj 有如下性质 . 1） 2121 **)(* wjwjwwj +=+ ; 2） )()( 1 mkdxdxxa kii ≤= ?? Lw , 则 ( ) ( ) ;,, ,,))((* 1 1 1 1 1 ∑ ≤<<≤ ? ?= mis ss ss ii k k k k dudu uu xxua L LLL ??jwj 3） mlkDD lrkr ≤+Λ∈Λ∈ ),(),( hw , 则 hjwjhwj **)(* ?? = ; 4） 1),(),()( 1 ≥Λ∈∈= + rDDCux krr wj , 则 )*()(* wjwj dd = ; 5） ),(,:)( 1 GCDGtu rml +∈?→?= yy RR ,),(,:)( 1 nmlDCDux rn ≤≤∈??→= +jj R lkDkr ≤Λ∈ ),(w , 则 )*(**)( wjywyj =o . 证明 : 1） 是平凡的 . 2） 的证明 . 由定义 ( ) ( ) .,, ,,))(( )1())(( ))(( ))((* 1 21 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ),,( ],,[ 1,, 11 k k k k k k k k k k k k k k k k k k ss msss ss ii ss msss j i j i jj jj m jj jj j i j i m j j j im j j j i duduuu xxua duduuxuxua duduuxuxua duuxduuxua ?? ?? ?? ?? LLL LL LL L L L L L L ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ≤<<<≤ ≤<<<≤ = == ? ?= ??? ? ??? ? ? ? ? ??= ? ? ? ?= ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ?= j j j jwj 8 这里关键是用了线性代 数中 kk × 行列式 ( ) ( )kkss ii uu xx ,, ,, 1 1 L L ? ? 展开式 k k k k j i j i jj jj u x u x ? ? ? ??∑ L L L 1 1 1 1 ),,( ],,[)1( . 3） 的证明 . 不妨设 ,)(,)( 11 lk jjii dxdxxbdxdxxa ???? LL == hw 则 .** ))(())(()(* 11 hjwj jjjjjjhwj ? ?????? = = lk jjii ddddubua LL 4） 的证明 . 当 0=k 时 , )(xf=w 是个函数 , ∑ = ? ?= n j j j dxxfd 1 w 就是通常的一阶微 分 . ),*())(( ))(( ))(()(* 1 1 1 1 1 wjj j jwj dduu uf duuxx uf duuxdxx ufd m s s s m s n j s s j j n j m s s s j j j =??= ? ? ? ?= ? ? ? ?= ∑ ∑∑ ∑ ∑ = = = = = 这就是一阶微分形式不变性 . 当 0>k 时 , 令 ,)( 1 kii dxdxxa ?? L=w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] [ ] [ ] ).(* * **)(* *** **)*()*( ,*** ))(( ))((* 1 1 1 1 1 1 1 wj j jjj jjj jjjwj jjj jjj jjjwj d dxdxda dxdxda xdxdda xdxdadd xdxda xdxdua ddua k k k k k k k ii ii ii ii ii ii ii = = = + = = = = ??? ??? ??? ??? ??? ?? ?? L L L L L oLo L 5） 的证明 . 设 kii dxdxxa ??L 1 )(=w , 由 ( ) ( )jjjwj oLoo kii xdxdua ?? 1 ))((* = 得 9 [ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] .*)( )()()()( )()()*(* 1 1 wyj yjyjyj yjyjyjwjy o ooLoooo ooLoooo = = = k k ii ii xdxdta xdxdta ?? ?? 2.2 重积分的换元公式 定义 : nR?? 为定向区域 , )()( 021 ?Λ∈= nndxdxdxxf ??? Lw , 定义 .)( )( 21 21 ∫ ∫∫ ? ?? ±= = n n dxdxdxxf dxdxdxxf L L???w 换元公式 : nnDux RR ??→?= :)(j 为微分同胚变换 （ 1–1 对应 , 正 、 反变换都 光滑可微 , 即 1C ） , 且取定 D 的定向 , )(0 ?Λ∈ nw , 则 ∫∫ =? D wjw * . 例如 : 在 2R 中 dydxyxf ?),(=w , ?? ? = = ),( ),(: vuyy vuxxj 是一个微分同胚变换 , 则 .)),(),,(( )),(),,((* dvduuyvxvyuxvuyvuxf dvvyduuydvvxduuxvuyvuxf ? ? ?????? ?????????= ?????? ??+???????? ??+??=wj 我们得到变量替换公式 .)),(),,((),( ∫∫∫∫ ? ? ? ? ? ? ? ? = ? D dvdu v y u y v x u x vuyvuxfdydxyxf ?? 与二重积分变量替换不同之点是 , 这里我们考虑的是有向区域 ? 和 D , 微分形式 dydxyxf ?),( 也是有方向定义的 （ 反方向时 dydxyxfdxdyyxf ?? ),(),( ?= ） , 所以 Jacobi 行列式 v y u y v x u x ? ? ? ? ? ? ? ? 就 不必取绝对值 , 它的正负号恰好与 D,? 和 w 的定向相协调 . 同理在 3R 中 10 . )),,(),,,(),,,((),,( dwdvdu w z v z u z w y v y u y w x v x u x wvuzwvuywvuxfdzdydxzyxf D ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ∫∫∫∫∫∫ ? 这里解释了面积微元和体积微元 dxdy 与 dxdydz的正确理解应该 1） 有定向的 , 2） 其间 的乘法不是通常的乘积 , 而应该是 Grassmann 代数中的乘积 ? . 这样当作变量替换时 , 自然 地也就采用微分形式的拉回映射 , 出现的 Jacobi 矩阵正是拉回映射性质 2） 中的矩阵 . § 7.3 微分流形 先看一个最简单的例子 : 平面上的单位圆周 Τ . 我们想给它一个坐标系 , 之后就可以在上面定 义函数 , 以及微分形式 , 从而可以求积分 . 但是无论 怎样做 , 不可能给出一个整体坐标 . 通常用 ?? ? = = q qj sin cos: y x , pq 20 ≤≤ . { })0,1(\)2,0( 11 Τ∴ 对应? ?→←jp . j 是 )2,0( p 与 { })0,1(\Τ∴ 之间一个微分同胚 , 我们可以把 )2,0( pq ∈ 看作 { })0,0(\Τ∴ 上一 个坐标 . 但找不到 Τ 与 R 上一个区间之间的微分同胚 . 我们可以退一步 , 我们可以用两块 大半弧复盖 Τ , 每一块是个开集 , 可以与 ),( dd? 建立微分同胚 . 这样我们就可以借助于 ),( dd? 给出 Τ 的局部坐标 . 当然这须要在两大半弧相交之处 , 微分同胚应该具有一种协调 关系 . 定义 : nS R? , 如果存在局部坐标系 { }),( aa jU , 其中 aU 是 S 的开集 , 且 a a US U= , )(),(: aaaaaaa jjj UVUU =→ 为 kR 中开集 , nk ≤ , aj 是微分同胚映射 , 则称 S 为 k 维流形 . k 维流形是局部与 kR 中开集微分同 胚的集合 S , 它是 nR 上的 k 维光滑超曲面 . 通常 我们设 S 是连通的 . kk xxxx ),,,,( 21 L=aj 称为局部坐标函数 , aaaj UV →? :1 为 S 的局 y 1 0 1 x 11 部坐标表示 . k 维流形的切空间 : aaaj VU →: 可以看成 nR 上某个开集上 1C 函数 aΦ 到 aU 的限 制 : aaa j UΦ= . 复合函数 aaaaaa ajjj VVidV →==Φ ?? :11 oo 是个恒等 . 取系数 , 得 kkIDD × ? =?Φ 1 aa j . 这说明 1?ajD （ 即 1?aj 的 Jacobi 矩阵 ） 在 aV 上每一点秩 k= , 所以有 k 个线性无关切向量 ),,2,1( 1 kjx j L=?? ? aj 组成 aU 中相对应点的切空间一组基 , 这样我们就给出 S 上每一点切 空间的定义 . 标架 ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? kxx 1 1 1 ,, aa jj L 给出 S 上每一点切空间的一个定向 . k 维流形 S 的定向 : S 上两个局部坐标系 ),( aa jU 和 ),( bb jU 如果相交 , ba UU I ?≠ . 在 ba UU I 上 , )~,,~(),,,( 11 kk xxxx LL == ba jj , 考虑复合映射 :1?ab jj o ( ) ( ) 1~, CxxUUUU ∈→ aII babbaa jj , 它的逆 :1?ba jj o ( ) ( ) 1~, CxxUUUU ∈→ aII baabab jj , 所以有 0),,( ) ~,,~( 1 1 ≠ ? ? k k xx xx L L 及 0 )~,,~( ),,( 1 1 ≠ ? ? k k xx xx L L . 它们的符号规定了 S 的定向 . 定义 : nS R? 为 k 维微分流 形 （ nk ≤ ） , 如果存在一组局部坐标系 { }),( aa jU , 满足 aa US U= , 对任意 ?≠ba UU I , 令 ) ~,,~(),,,( 11 kk xxxx LL == ba jj , 总有 0),,( ) ~,,~( 1 1 > ? ? k k xx xx L L , 则称 S 是定向的 . 例 1: 3R 中单位球面 { }1),,( 2223 =++∈= zyxzyxS R 即为一个可定向的二维微 分流形 . 证明 : 用如下方法选 { } 61,),( ≤≤ iU ii j . 12 { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }.1),(,0,1),,( ,1),(,0,1),,( ,1),(,0,1),,( ,1),(,0,1),,( ,1),(,0,1),,( ,1),(,0,1),,( 22 6 222 6 22 5 222 5 22 4 222 4 22 3 222 3 22 2 222 2 22 1 222 1 <+=<=++= <+=<=++= <+=<=++= <+=>=++= <+=>=++= <+=>=++= xzxzDyzyxzyxU zyzyDxzyxzyxU yxyxDzzyxzyxU xzxzDyzyxzyxU zyzyDxzyxzyxU yxyxDzzyxzyxU iiiii DUU =→ )(: jj . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,1,),(),,(),,( ,,,1),(),,(),,( ,1,,),(),,(),,( ,,1,),(),,(),,( ,,,1),(),,(),,( ,1,,),(),,(),,( 221 66 221 55 221 44 221 33 221 22 221 11 zzxxzxzxzyx zyzyyzyzzyx yxyxxyxyzyx zxzxxzxzzyx zyzyzyzyzyx yxyxyxyxzyx ???== ???== ???== ??== ??== ??== ? ? ? ? ? ? jj jj jj jj jj jj 比如 ),(),(, 11212 yxzyUU ?=?≠ jj oI . ?? ? ??= = ,1 , 22 yxz yy Jacobi 0 10 >=??= zx x y z xzz yy yx yx . 又比如 ),(),(, 14664 xyzxUU ?=?≠ jj oI . ?? ? ???= = ,1 , 22 yxz xx Jacobi 0 10 >=??= zy z x z yzz xx xy xy . 类似地可以验证 1, ??≠? ijji UU jj oI 的 Jacobi 行列式 0> . 所以 S 为可定向的 . 如果 取定一个定向 , 通常采用比较 “ 自然 ” 的方法 . 在上半球面一点取定切平面定向为 ??? ? ??? ? ? ? ? ? ?? yx 1 1 1 1 , jj , 再取外法线 nv , 这样 ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? n yx v,, 1111 jj 成右手系 , 这就取定了 S 的定向 , 这时我们可简单地说取 S 的外法向为其定向 . § 7.4 微分流形上微分形式的积分 4.1 单位分解 设 S 为 k 维可定向的微分流形 , D 是 S 上紧集 （ 任何开复盖都有有限子复盖 ） . 如果 S 本身是紧的 , D 可取作 S . 13 定理 : S 为 k 维可定向的微分流形 , SD ? 为紧集 , 则在 S 上存在局部坐标系 ),( iiU j ),,2,1( ni L= , 使 U n i iUD 1= ? 和单位分解 , 即存在 n 个函数 0)( ≥xgi , 满足 1） 1?ii gg o 在 )( ii Uj 上属于 niC ,,2,1,1 L= ; 2） Dxxg n i i ∈≡∑ = ,1)( 1 ; 3） { } niUxgSxg iii ,,2,1,0)(supp L=?≠∈= , 称 igsupp 为 ig 的支集 . 证明 : 由 S 定义 , Sx ∈? , 存在 x 的一个邻域 xU , 与 kR 一个开集 V 微分同胚 . 对 V 经平移 、 伸缩变换后 , 总可取单位球 { }1),,( 22111 <+= kk uuuuV LL 包含在 V 内 , 再经逆 变换得 xU 中邻域 , 仍记为 xU , 即有微分同胚映射 1: VU xx →j . 记 2 1V 为半径为 2 1 的球 : 4 122 1 <+ kuu L , 和 ( ) 2 1 1~ VU xx ?= j . 则开集 { }SxU x ∈ ~ 构成 D 的一个开复盖 , D 紧的 , 存 在有限子复盖 { }nUU ~,,~1 L . 特别 { }nVV ,,1 L 更复盖 D . 若 SD ≠ , 则开集 U n i iU 1 ~ = =? , 满 足 SD ??? . 对紧集 ?? , 存在 { }pnn UU ++ ,,1 L 复盖 ?? , 且 U p i inU 1= + 与 D 不交 . 注意到 pniVUVU iii +=→→ ,,2,1,~,: 2 11 Lj . 考虑实数轴上无穷次可微函数 ?? ??? ≤ >= ? .0,0 ,0,)( 2 1 t teth t 令 ? ? ?? ? ? ?= 2 4 1)( uhuf , 则 )(uf 在 kR 上无穷次可微 , 令 ?? ? ? +=∈= .,0 ,,,2,1,),()( i ii i Ux pniUxxfx Lojy 则 1:)( R→Sxiy 为 1C 光滑函数 , 且 ,,0)( ,,0)( ii ii Uxx Uxx ?= ∈> y y pni += ,,2,1 L . 14 因 U n i iUD 1 ~ = ? , 若 SD = , 当 Dx ∈ 时 , 有 +∞<< ∑ = n i i x 1 )(0 y . 若 SD ≠ , 当 ?∈x 时 , 有 +∞<< ∑ + = pn i i x 1 )(0 y . 为统一起见 , 约定 SD = 时 , 0=p . 再令 ??? ??? ? ? ∈ = ∑ + = ,0 ,, )( )( )( 1 i ipn i i i i Ux Ux x x xg y y ni ,,2,1 L= , 则 { })(xgi 满足定理要求 , 称它为 { }iU 的单位分解 . 4.2 微分流形上微分形式的积分 ？？？？ 有了单位分解我们就可以在流形上对微分形式定义积分 . 先定义在一个坐标邻域上积 分 . 定义 : nS R? 为 k 维定向微分流形 （ nk ≤ ） , ),( jU 为保向局部坐标系 （ 1?j 把 kR 的正定向映为 S 取定的方向 ） . 若 )(0 ?Λ∈ kw , 且 w 在 U 内有紧支集 , 定义 ( )∫∫ ?= )( 1 * UU j wjw . 可以证明定义不依赖于坐标系的选取 , 即对 ),(),,( yj UU 两个保向局部坐标系 , 则 )()(:1 UUF jyyj →= ?o 是保区域正定向变换 , 由重积分换元公式有 ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ???? === )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ***** UUUU FF yyjj wywjwjwj o . 现在定义流形 S 上紧集 D 上的积分 . 定义 : S 为 nR 中 k 维定向微分流形 （ nk ≤ ） , D 为 S 上紧区域 , { }),( iiU j ni ,,2,1 L= 为保向且复盖 D 的局部坐标系 , { }niig 1= 为关于 { }niiU 1= 的单位分解 , 15 )(0 ?Λ∈ kw , 定义 ∑ ∫∑ ∫∫ == == n i UD i n i D i D i gg 11 I www . 定义与局部坐标系的选取和单位分解的选取无关 . 事实上 , 设另有一组保向且复盖 D 的局部坐标系 { }),( jjV y 和从属于它的单位分解 { }mjjg 1= , 则有 . 11 11 1 1 11 11 ∑ ∫∑∑ ∫∑∑ ∫ ∑∑ ∫∑∑ ∫∑ ∫ == == = = == == === == m j VD j m j n i VD ji m j n i VUD ji n i m j VUD ij n i m j UD ij n i UD i jjji jiii hhghg ghghg IIII IIII www www § 7.5 Stokes 公式 设 M 是一个紧的定向的 n 维微分流形 , 令 MD ? 是 M 中的一个连通开子集 , D? 是 D 的边界 . 我们假定 D? 是一个 1?n 维微分流形 . 在 Stokes 定理中我们可以把定义微分流 形的 ∞C 光滑性条件放宽到 1C . 我们假定微分形式也是 1C 的 . 在 D 的定向中导出 D? 的定 向 . 定理 （ Stokes） : 在上述假定下 , 对于 M 上的 1?n 阶微分形式有 ∫∫ ?= DD d ww . 注 : 我们把积分 ∫ D dw 写成一个配对 ?? Dd ,w , Stokes 定理表述为 ???=?? DDd ,, ww . 即 ? 是 d 的共轭算子 : *d=? . 我们在 D 的一定条件下证明这 个定理 . 首先我们证 引理 : 如果对 DP ?∈? , 存在 P 的一个坐标邻域 U , 使得 { }0)( 1 =∈==? ? nnn xBxBDU Ij , 且对每个支集在 U 上的 w 有 ∫∫ ?= DD d ww , 则对每一个 w 有 ∫∫ ?= DD d ww . 这引理表明 Stokes 定理事实上是个局部性定理 . 16 引理的证明 : 设 M 由坐标邻域 kUU ,,1 L 所复盖 , 每一个都满足引理假定 , 或者使它 的闭包不碰到 D? . 设 kgg ,,1 L 是相应单位分解 , 则 . , 1 1 ∑∫∫ ∑∫∫ = ?? = = = k i D iD k i D iD g dgd ww ww 关键要证 ∑∫∫ = = k i D iD gdd 1 )( ww . 这是因为 ( ) . )( 111 1111 wwww wwwww dgddgdg dgdgdgdggd k i i k i i k i i k i i k i i k i ii k i i +? ? ?? ? ?=+? ? ?? ? ?= +=+= ∑∑∑ ∑∑∑∑ === ==== ?? ?? 但是 1 1 =∑ = k i ig , 所以 0 1 =∑ = k i igd , 因而 .)( 1 ∑ = = k i igdd ww 于是有 ∫∑ ∫∑∫∑∫∫ ? = ?== ==== D k i D i k i D i k i D iD ggddgd wwwww 111 )( . 这是因为由引理的假设 , 对碰到 D? 的那些 iU , 有 ∫∫ ?= D iD i ggd ww)( , 而对闭包不碰到 D? 的那些 iU , 有 0)( == ∫∫ ?D iD i ggd ww . 证毕 . 注 : iU 使得 1)( ?=? nii BDU Ij 这一事实 , 把由 M 的定向导出 D? 的定向这个问题 , 简化成由 nB 的定向导出 1?nB 的定向的问题 , 即由 1?nB 所界定的并碰到 )(Dij 的那一半的 nB 的定向导出 1?nB 的定向 . 17 定理 （ Stokes） : 如果 M 是一个紧的可定向的 n 维微分流形 , MD ? 是连通开集 , 边 界为 D? . 若对 DP ?∈? , 存在 P 的坐标邻域 U , 它的坐标映射 nBU →:j 使得 1)( ?=? nBDU Ij , 则对 M 上任何 1?n 阶微分形式有 ∫∫ ?= DD d ww , 其中 D? 定向由 M 定向导出 . 注 : 边界 D? 本身为 1?n 维流形的那种 D 都具有上述性质 , 但证明超出了本书范围 . 定理的证明 : 如果 DP ?∈ , 按定理条件选 U , 并设 w 支在 U 中 . 我们用 U 的坐标表 示 w 和 wd , ∑ = +? ??= n i niii i dxdxdxdxa 1 111 1)1( ????? LLw . 将包含 )( UD Ij 的 nB 的那一半伸展到一个 n -立方体 , 它的一个面为 0=nx , 则在没有定 义的地方 , 假定 1?jw o 扩张为 0, 应用累次积分 , 得出 ∫∫ ?= DD d ww , 即满足引理条件 , 用引理得到 Stokes 定理 . 当 M 是 nR 中的 k 维流形 , 非紧 , 但 D 紧 , Stokes 公式也成立 . 下一章要讲的 Green 公式 、 Gauss 公式和狭义的 Stokes 公式都是这里一般的 Stokes 公式 的特例 . 习题 1． 设 4321 dxdxdxdx ?? +=w . （ 1） 求 ww? ; （ 2） 求证 : 不存在两个一次形式 ba , , 使 wba =? . 2． 设 ,, 131332322121133221 dxdxxxdxdxxxdxdxxxdxxdxxdxx ??? ++=++= ha （ 1） 求 ha? ; （ 2） 求 ah? ; 18 （ 3） ha? 是否与 ah? 相同 ? 为什么 ? 3． 设 0,21 1 =+= ∑ ≤≤≤ jiij nji jiij aadxdxa ?w . 求证 : ∑ ≤<<≤ ? ? ? ? ??? ? ? ?+ ? ?+ ? ?= nkji kji j ki i jk k ij dxdxdx x a x a x ad 12 1 ??w . 4． 设 dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,( ++=w , 而且 0=wd . 证明 : y P x Q x R z P z Q y R ? ?= ? ? ? ?= ? ? ? ?= ? ? ,, . 5． 寻找一个 )1( ?n 次形式 h , 使得 ndxdxdxd ??? L21=h . 6． 设 dyxydxdxzxdzdzyzdy ??? ++=w . （ 1） 证明 w 是闭形式 ; （ 2） 求一次形式 h , 使 wh =d . 7． 设 .),( ,)()()( ,)()()( 33 321132213 332211 RR ??′→??= ++= ++= ax dxdxxbdxdxxbdxdxxb dxxadxxadxxa j h w ??? 求证 : （ 1） ∑ ∑ = = ??? ? ??? ? ? ?= 3 1 3 1 ))(()(* j j i j i i duuua jjwj ; （ 2） ∑ ≤<≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 31 321 321 321 * ji ji jjj iii dudu uuu uuu bbb ? jjj jjj jjj hj ooo ; （ 3） 321 321 321 3 1 ),,( ),,())(())(([* dududu uuuubuai ii ??]? ? ?? ? ?? ? ?= ∑ = jjjjjhwj ; （ 4） ][*** hwjhjwj ?? = .