19 第 二 章 极 限 § 2 .1 序列极限定义 定义域为 N 的函数也称为序列 ， 记为 ΛΛ ),(,),2(),1( nfff ， 习惯上记为 ΛΛ ,,,, 21 nxxx ， 或简单地记为 }{ nx 。 其中 nx 称为通项 ， 它可由公式给出 ， 也可由其它法 则给出 。 如 ： ΛΛ ,1,,31,21,1 n 3 , 1.3 , 14.3 , 141.3 , 1415.3 , ... 在信号处理和图像处理中 ， 计算机无法处理连续变量的函数 ， 都要通过采样来处理 ， 一 元函数经采样后就得到一个序列 。 这里我们关心的是当 n 越来越大时 ， 序列 nx 的行为特点 ， 如 ΛΛ ,1,,31,21,1 n ， 当 n 越 来越大时 ， n1 越来越接近于 0。 我们称它以 0 为极限 。 描述定义 给定序列 }{ nx ， 当 n 无限增大时 ， nx 无限地接近于 a ， 称 a 为当 n 趋向无 穷时序列 }{ nx 的极限 ， 记 作 )( +∞→→ naxn 或 axn n = +∞→ lim 。 例 1 1,)1(1 →?+= n n n xnx )( ∞→n 。 例 2 nnx )1(?= , 没极限 。 如何精确地刻画 “ 无限接近 ” 这一概念 ， 我们用 “ 误差 ” 方法 。 而 “ 误 差 ” 是用绝对值 刻画的 。 0 x y 1 20 定义 ?? ? <? ≥= 。 ， 0 0 xx xxx 命题 xxx ?= sgn 。 格运算 a ∨ 22 )(),max( bababab ?++== a ∧ 22 )(),min( bababab ??+== 几何意义 2 )( ba + 为线段 ab（ 或 ba ） 的中点 ， ba ? 为 ba, 距离 ， 22 baba ?++ 为中点加上 两点距离之半 ， 当然就是 ba, 中最大的一点 。 性质 1 ． rxrrxr <<??<> ,0 ， raxrarax +<<??<? 。 2 ． yxyx +≤+ , 等号成立 ? yx, 同号 ， 推广 ∑∑ == ≤ n k k n k k aa 11 。 3 ． yxyx ?=? 。 4 ． 2 22 ba ab +≤ 。 注 ： 4 也可以写成 2 baab +≤ ， 它表明对任何两个非负实数 ， 它们的几何平均小于 等于算术平均 。 axn n = +∞→ lim 就是说 nx 与 a 的误差要多小就有多小 ， 只要 n 充分大 。 定义 ∈?>? N,0e N， 使得当 Nn > 时 ， 有 ,e<? ax 则称序列 }{ nx 的极限为 a ， 记作 axn n = +∞→ lim 或 )( +∞→→ naxn 。 几何意义 称 ),(}:{ eee +?=<? aaaxx 为 a 的 ?e 邻域 ， axn n = +∞→ lim 是指对 a 的任何 ?e 邻域 ， 序列 }{ nx 在这一 ?e 邻域外只有有限项 。 例 1 求证 )10(,0lim <<= ∞→ qqn n 。 21 证 ,0>?e 不妨设 1<e ， 要使 e<=? nn qq 0 ， 只要 elglg <qn （ 注意这 里 0lg,0lg << eq ）， 只要 qn lglg e> 。 取 ? ? ? ?? ?= qN lg lg e ， 则当 Nn > 时 ， 就有 e<? 0nq ， 即 0lim = ∞→ n n q 。 例 2 求证 )0(1lim >= ∞→ aan n 。 证法 1 先设 1>a ， 0>?e ， 要使 e<?=? 11 nn aa ， 只要 e+<1n a ， 只要 )1(lglg1 e+<an ， 只要 )1lg(lg e+> an 。 取 ?????? += )1lg(lg eaN ， 当 Nn > 时 ， 就有 e<?1n a ， 即 1lim = ∞→ n n a 。 对 10 << a ， 令 ab 1= ， 则 1lim1lim == ∞→ ∞→ n n n n b a 。 证法 2 令 nn ha =?1 ， 则 nnnnnn hnhhnha >+++=+= Λ1)1( ， nahn <<0 0>? e , 要使 e<=? nn ha 1 , 只要 e<na ， 取 ? ? ? ?? ?= e aN ， 只要 Nn > ， 就有 e<?1n a ， 即 1lim = ∞→ n n a 。 例 3 证 )1(0!lim >= ∞→ ana n n 。 证 因为 )!][(!][1][][21! ][][ a ac n ac n a a a n a a a a aaa n a aan =?=?<?? +????= ΛΛ ， 0>? e ， 要使 e<=? !0! nana nn ， 只要 e<?nac ， 取 ? ? ? ?? ? ?= e acN ， 则只要 Nn > ， 就 有 e<? 0!na n ， 即 0!lim = ∞→ n a n n 。 总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式 ， 关键的追求有两点 ， 一是 把隐性表达式变成显性表达式 ， 在重锁迷雾中 看清庐山真面目 ， 二是抓住主要矛盾 ， 舍去次 要矛盾 ； 要取舍合理 ， 不能放大得过份 。 § 2 .2 序列极限的性质和运算 22 象四则运算一样 ， 我们把求极限也看成是一种运算 ， 但这种运算是施加在无穷序列上 ， 取值是一个实数 ， 如果存在的话 ， 但还有大量不存在极限的序列 。 定理 1 （ 唯一性 ） 若序列的极限存在 ， 则极限值唯一 。 证 反证法 ， 如果不然 ， 至少有两个不等的极限值 ， 设为 a 和 b ， ba < ， axn n = ∞→ lim ， bxn n = ∞→ lim ， 取 020 >?= abe ， 由极限定义 ， 1N? ， 使得当 1Nn > 时 ， 有 0e<? axn ， 20 baaxn +=+< e 又 2N? ， 使得当 2Nn > 时 ， 有 则当 ),max( 21 NNn > 时 ， 有 nn xbax <+< 2 矛盾 ！ 定义 若 0>? M ， 使得 Mxn ≤ ， n? ， 则称 }{ nx 有界 。 定理 2 （ 有 界性 ） 若序列 }{ nx 有极限 ， 则 }{ nx 有界 。 证 设 axn n = ∞→ lim ， 取 10 =e ， 按定义 ， N? ， 使得当 Nn > 时 ， 有 e<? axn ， 1+<?+≤ aaxax nn 。 令 ),,,1max( 1 NxxaM Λ+= ， 则对 Nn ∈? ， 有 Mxn ≤ ， 故 }{ nx 有界 。 下面定理表明求极限这种运算与四则运算可交换 。 定理 3（ 四则运算 ） 设 axn n = ∞→ lim ， byn n = ∞→ lim ， 则 1） bayx nn n ±=± ∞→ )(lim 2） bayx nn n ?=? ∞→ )(lim nn xb babx <?=+<? 00 2, ee (( ) )ba (a+b)/2 xn 23 3） 若 0,0 ≠≠ nyb ， 则 bayx n n n = ∞→ )(lim 。 证 ： 1） 0>?e ， 由 axn n = ∞→ lim ， 1N? ， 使得当 1Nn > 时 ， 有 2e<? axn 。 又由 byn n = ∞→ lim ， 2N? ， 使得当 2Nn > 时 ， 有 2e<? byn 。 取 ),max( 21 NNN = ， 则当 Nn > 时 ， 有 。eee =+≤ ?+?≤ ±?± 22 )( byax bayx nn nn 即 bayx nn n ±=± ∞→ )(lim 。 2） 分析 byaaxy baayayyxbayx nnn nnnnnn ?+?≤ ???+???=??? 加一项 ， 减一项称为插项方法 ， 是一个至关重要的方 法 。 由有界性定理 ， 01 >? M ， n? ， 1Myn ≤ 。 令 0),max( 1 >= aMM ， 0>? e ， 由 axn n = ∞→ lim ， 1N? ， 使得当 1Nn > 时 ， 有 Maxn 2e<? 。 又由 byn n = ∞→ lim ， 2N? ， 使当 2Nn > 时 ， 有 Mbyn 2e<? 。 取 ),max( 21 NNN = ， 则当 Nn > 时 ， 有 byaaxybayx nnnnn ?+?≤??? .)22( )( eee =+≤ ?+?≤ MMM byaxM nn 即 bayx nn n ?=? ∞→ )(lim 。 3） 由 2）， 只要证 by nn 11lim = ∞→ 。 分析 by bby by by nn n n ?≤?=? 2211 , 2byn ≥ 当 n 充分大时 。 (a,b) (a,y n ) (x n ,y n ) 24 由 byn n = ∞→ lim ， 令 10 ,02 Nb ?>=e ， 使当 1Nn > 时 ， 有 0e<? byn ， 即 20 bbbyby nn =?≥??≥ e 。 0>? e , 由 byn n = ∞→ lim ， 2N? ， 使得当 2Nn > 时 ， 有 e2 2b byn <? 。 取 ),max( 21 NNN = ， 则当 Nn > 时 ， 有 e2 2 2 211 b bbny bny bny ?≤? ? =? ， 即 by nn 11lim = ∞→ 。 用归纳法 ， 可得有限个序列的四则运算 ： ∑∑ = ∞→=∞→ = N k k nn N k k nn xx 1 )( 1 )( limlim ， ∏∏ = ∞→=∞→ = N k k nn N k k nn xx 1 )( 1 )( limlim 。 但将上述 N 换成 ∞ ， 一般不成立 。 事实上 ∑ ∞ =1k 或 ∏ ∞ =1k 本身也是一种极限 ， 两种极限交换次 序是个非常敏感的话题 ， 是高等分析中心课题 ， 一般都不能交换 ， 在一定条件下才能交换 ， 具体什么条件 ， 到第三册我们会系 统研究这个问题 。 下面定理表明求极限是保序的运算 。 定理 4 给定两个序列 }{ nx ， }{ ny ， 若 n? ， nn yx ≤ 且 axn n = ∞→ lim ， byn n = ∞→ lim ， 则 ba ≤ 。 证 反证法 ， 如若不然 ， ba > ， 取 20 ba ?=e ， 由 axn n = ∞→ lim ， 1N? ， 使得当 1Nn > 时 ， 有 0e<? axn ， 20 baaxn +=?> e 又由 byn n = ∞→ lim ， 2N? ， 使得当 2Nn > 时 ， 有 0e<? byn ， 20 babyn +=+< e 25 当 ),max( 21 NNn > 时 ， 有 nn ybax >+> 2 ， 矛盾 。 定理 5（ 两边夹或逼夹定理 ） 给定序列 }{},{ nn yx 和 }{ nz ， 满足 n? ， nnn yzx ≤≤ 且 n nnn yax ∞→∞→ == limlim ， 则 azn n = ∞→ lim 。 证 0>? e ， 由 axn n = ∞→ lim ， 1N? ， 使得当 1Nn > 时 ， 有 e<? axn ， 即 ee +<<? axa n ， 又由 ayn n = ∞→ lim ， 2N? ， 使得当 2Nn > 时 ， 有 e<? ayn ， 即 ee +<<? aya n 。 取 ),max( 21 NNN = ， 则当 Nn > 时 ， 有 ee +<≤≤<? ayzxa nnn 或 e<? az n 即 azn n = ∞→ lim 。 例 1 )1(1lim >= ∞→ aan n 在证明中 , 令 01>?= nn ah ， nnha )1( += ， 得 nahn <<0 ， 由此推出 0→nh 。 由此例也看出由 nnn yzx << 和 n nnn yax ∞→∞→ == limlim , 也推出 azn n = ∞→ lim 。 定义 极限为 0 的变量称为无穷小量 。 推论 1） 00 →?→ nn xx ， 无穷小量加绝对值仍为无穷小量 。 2） 0,0 →??≤→ nnnn yxMyx ， 无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量 。 3） 0→?=?→ axyax nnn ， )( nn yax += 变量有极限 a 的充要条件为它 可分解为 a 加一个无穷小量 。 例 2 求极限 93 164lim 2 2 ++ ++ ∞→ nn nn n 解 343 4lim 93 164lim 2 2 91 16 2 2 =++ ++=++ ++ ∞→∞→ nn nn nn nn nn 。 例 3 求极限 )10()1(lim <<+++ ∞→ aaa n n Λ 。 解 aaaaa n n n n ? =??=+++ ∞→∞→ 1 1 1 1lim)1(lim Λ 。 26 例 4 设 0, >ba ， 证明 ),max(lim baban nn n =+ ∞→ 。 证 ),max(),max(2),max(),max( bababababa n nn nnn n →≤+≤= 。 例 5 证明 1lim = ∞→ n n n 。 证 令 nn hn +=1 , )3(2 )1(2 )1(1)1( 22 >?≥++?++=+= nhnnhhnnnhhn nnnnnnn Λ ， 120 ?<< nhn 两边夹推出 0→nh ， 即 1→n n 。 § 2 . 3 确界与单调有界序列 决定一个序列是否有极限 ， 目前我们只能用定义判定 ， 但那必须先知道极限值 a ， 这就 是说定义不能解决极限存在问题 。 事实上 ， 这是个很深 刻的问题 ， 这一节我们给出一个极 限存在的判定定理 ， 但需到第三册才能证明它 ， 这里将给出能够令人接受的说明 。 用它我们 可以定义一个新的无理数 e ， 在讲指数函数和对数函数时我们已经使用过它 。 定义 ?E R, 如果 M? , 使得对 Ex ∈? , 有 Mx ≤ , 则称 M 是 E 的一个上界 。 有没有最小上界 ？ 何谓最小上界 ， 且看下面的定义 。 定义 ?E R, 数 M 若满足 1） M 是 E 的上界 2） M′ 是 E 任一上界 ， 必有 MM ′≤ 则称 M 是 E 的最小上界或上确界 ， 记作 EM sup= 或 xM Ex∈ = sup 。 定理 1 EM sup= 充要条件 1） M 是 E 上界 ， 2） Ex ∈′?>? ,0e 使得 e?>′ Mx 。 证 必要性 ， 用反证法 。 设 2） 不成立 ， 则 ,00 >?e 使得 Ex ∈? ， 均有 0e?≤ Mx ， 与 M 是上确界矛盾 。 充分性 ， 用反证法 。 设 M 不是 E 的上确界 ， 即 M′? 是上界 ， 但 MM ′> 。 令 0>′?= MMe ， 由 2）， Ex ∈′? ， 使得 MMx ′=?>′ e ， 与 M ′是 E 的上界矛盾 。 27 定义 2 ?E R， m 满足 1） m 是下界 ， 2） 'm 是 E 的任意下界 ， 必有 mm ≤' 。 则称 m 为 E 的下确界或最大下界 。 记作 ： Einf 或 x Ex∈ inf 。 定理 2 一个非空的 ， 有上 （ 下 ） 界的集合 ， 必有上 （ 下 ） 确界 。 该定理要到第三册方能证明 。 这里我们给一个可以接受的说明 。 ?E R， E 非空 ， Ex ∈? ， 我们可以找到一个整数 p ， 使得 p 不是 E 上界 ， 而 1+p 是 E 的上界 。 然后我们 遍查 9.,,2.,1. ppp Λ 和 1+p ， 我们可以找到一个 0q ， 90 0 ≤≤ q ， 使得 0.qp 不是 E 上 界 ， )1.( 0 +qp 是 E 上界 ， 如果再找第二位小数 1q ， ,Λ 如此下去 ， 最后得到 Λ210. qqqp ， 它是一个实数 ， 即为 E 的上确界 。 定义 }{ nx 称为单调上升的 ， 若 ΛΛ ≤≤≤≤≤ nxxxx 321 。 }{ nx 称为单调下降的 ， 若 ΛΛ ≥≥≥≥≥ nxxxx 321 。 定理 3 若序列 }{ nx 单调上升 （ 下降 ）， 有上 （ 下 ） 界 ， 则序列存在极限 。 证 设 }{ nx 单调上升 ， 即 ΛΛ ≤≤≤≤≤ nxxxx 321 ， 有上界 ， 即 M? ， 使得 Mxn ≤ 。 考虑集合 }|{ NnxE n ∈= ， 它非空 ， 有界 ， 定理 2 推出它有上确界 ， 记为 n Nn xa ∈ = sup 。 我们验证 n n xa ∞→ = lim 。 0>? e ， 由上确界的性质 ， N? ， 使得 Nxa <?e ， 当 Nn > 时 ， 由序列单调上升得 nN xxa ≤<?e ， 再由上确界定义 ， e+<≤ aaxn ， 有 ee +<<? axa n ， 即 e<? axn ， 也就是说 n Nn nn xax ∈∞→ == suplim 。 同理可证若 }{ nx 单调下降 ， 有下界 ， 也存在极限 ， 且 n Nnnn xx ∈∞→ = inflim 。 例 1 证明 n n n )11(lim + ∞→ 存在 。 证 令 nn nx )11( += , 先证它单调上升 ， 28 n n n nn nn n nn nx 1 ! 1)1(1 !2 )1(11 )11( 2 ΛΛ ?++?++= += )11()11(!1)11(!2111 nnnnn ???++?++= ΛΛ ， n n xnnnn n n nnnx >+?+?++ + ?? +?+++?++=+ )11()111(!)1( 1 )111()111(!1)111(!21111 Λ ΛΛ 再证它有界 31 2 1 2 111 ! 1 !2 111 2 11 2 11 1 <+= ++++≤ ++++≤ ? ? ? n n n nx Λ Λ 由定理 3， 知 n n x ∞→ lim 存在 ， 值记为 e ， 它是一个无理数 Λ7182818.2=e 。 称 xxe lnlog = 为 自然对数 ， 何以称为 “ 自然 ” ， 下章将见分晓 。 §2 .4 确界存在定理与区间套定理 2 . 4.1 确界存在定理 我们曾引入有界数集的确界概念 ， 今证明它的存在性 （ 记号 a 、 b 、 c 表示实数 ） 定理 1 非空有上界的数集 E 必存在上确界 。 证明 设 }{xE = 非空 ， 有上界 b ： Ex ∈? ， bx ≤ 。 （ 1） 若 E 中有最大数 0x ， 则 0x 即为上确界 ； （ 2） 若 E 中无最大数 ， 用下述方法产生实数的一个分划 ； 取 E 的一切上界归入上类 B ， 其余的实数归入下类 A， 则 )|( BA 是实数的一个分划 。 ο1 A、 B 不空 。 首先 Bb∈ 。 其次 Ex ∈? ， 由于 x 不是 E 的最大数 ， 所以它不是 E 的上界 ， 即 Ax ∈ 。 这说明 E 中任一元素都属于下类 A； ο2 A、 B 不漏性由 A、 B 定义即可看出 ； 29 ο3 A、 B 不乱 。 设 Aa ∈ ， Bb∈ 。 因 a 不是 E 的上界 ， Ex ∈? ， 使得 xa < ， 而 E 内每一元素属于 A， 所以 bxa << 。 ο4 由 ο3 的证明可见 A无最大数 。 所以 )|( BA 是实数的一个分划 。 由戴德金定理 ， 知上类 B 必有最小数 ， 记作 c 。 Ex ∈? ， 由 ο1 知 Ax ∈ ， 即得 cx < 。 这表明 c 是 E 的一个上界 。 若 b 是 E 的一个上 界 ， 则 Bb∈ ， 由此得 bc ≤ ， 所以 c 是上界中最小的 ， 由上确界定义 ， c 为集合 E 的上确 界 ， 记作 Ec sup= 。 推论 非空的有下界的集合必有下确界 。 事实上 ， 设集合 }{xE = 有下界 b ， 则非空集合 }|{' ExxE ∈?= 有上界 b? ， 利用集 合 'E 上确界的存在性 ， 即可得出集合 E 的下确界存在 。 由第二章知道 ， 若集合 E 无上界 ， 记作 +∞=Esup ； 若集合 E 无下界 ， 记作 +∞=Einf ， 这样一来 ， 第二章证明了的单调上升 （ 下降 ） 有上界 （ 下界 ） 的序列 }{ nx ， 必有极限 )inf(sup n NxnNx xx ∈∈ 的定理现在 有了严格的理论基础了 。 且对单调上升 （ 下降 ） 序列 }{ nx ， 总有 )inf(suplim n NxnNxnn xxx ∈∈+∞→ = 。 定理 1 解决了非空有上界集合的上确界存在性问题 ， 我们可以利用上确界的存在性 ， 得 出我们所研究的某一类量 （ 如弧长 ） 的存在性 。 若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界 ， 我们称该全序集是完备的 。 定理 1 刻划 了实数集是完备的 。 例 1 证明实数空间满足阿基米德原理 。 证明 0>>? ab ， 要证存在自然数 n 使 bna > 。 假设结论不成立 ， 即 bna ≤ ， ），， Λ21( =n ， 则数集 }{naE = 有上界 b ， 因此有上确界 c ， 使 cna ≤ ），， Λ21( =n ， 也就有 can ≤+ )1( ），， Λ21( =n ， 或 acna ?≤ ），， Λ21( =n 。 这表明 ac ? 是集合 E 的上界 ， 与 c 是上 确界矛盾 。 所以总存在自然数 n ， 使 bna > 。 例 2 1 ） 证明序列 nnxn ln131211 ?++++= Λ 的极限存在 ； 2 ） 求极限 ]1)1(31211[lim 1 nn n ? ∞→ ?+?+? Λ 。 解 1 ） 因 1?>x 时有 30 xxxx <+<+ )1ln(1 )0( ≠x ， 所以 kkk 1)11ln(1 1 <+<+ ），， Λ21( =k ， 即有 ∑∑ == >?+=?+>?= n k n k n nnnknkx 11 0ln)1ln(ln)11ln(ln1 。 这表明序列 }{ nx 有下界 。 又 011)11ln(11ln)1ln(1 >+?+=+??+=? + nnnnnxx nn ， 故序列 }{ nx 下降 。 因此序列极限存在 ， 记极限值为 c 。 于是 ∑ = +=? n k ncnk 1 ln1 e ， 或 ∑ = ++= n k nnck 1 ln1 e )0lim( =+∞→ nn e 。 2 ） 因 nn nn n k n k n k k ncnckkk ee ee ?+= ++?++=?=? ∑∑∑ === ? 2 2 1 2 1 2 1 1 2ln ]ln[)2ln(2121)1( 所以 2ln)1(lim 2 1 1 =?∑ = ? +∞→ n k k n k ， 又 2ln)1(lim 12 1 1 =?∑ + = ? +∞→ n k k n k ， 即得 2ln)1(lim 1 1 =?∑ = ? +∞→ n k k n k 。 2.4.2 区间套定理 定理 2 设 ],[ nn ba 是一串闭区间 ， 满足 ： （ 1 ） 对任何自然数 n ， 都有 nnnn bbaa ≤<≤ ++ 11 ， 即 ],[],[ 11 nnnn baba ?++ 。 （ 2 ） 当 +∞→n 时 ， 区间 ],[ nn ba 长度趋于 0 ， 即 0)(lim =? +∞→ nnn ab 。 则有 n nnn bca +∞→+∞→ == limlim ， 且 c 是一切区间的唯一公共点 ： ],[ 1 nnn ba+∞ = Ι }{c= 。 证明 由假设 （ 1 ） 知 ， 序列 }{ na 单调上升 ， 有上界 1b ； 序列 }{ nb 单调下降 ， 有下界 1a 。 因而有 31 1lim can n = +∞→ ， 2lim cbn n = +∞→ . nn bcca ≤≤≤ 21 。 再由假设 （ 2 ） 知 0)(lim 12 =?=? +∞→ ccab nn n ， 记 ccc == 21 。 从而有 n nnn bca +∞→+∞→ == limlim 。 若还有 *c 满足 nn bca ≤≤ * ， 令 +∞→n ， 得 cc =* 。 故 c 是一切 ],[ nn ba 的唯一公共 点 。 证毕 。 这个定理称为区间套定理 。 关于定理的条件我 们作两点说明 ： （ 1 ） 要求 ],[ nn ba 是有界闭区间的这个条件是重要的 。 若区间是开的 ， 则定理不一 定成立 。 如 )1,0(),( nba nn = 。 显然有 )1,0()11,0( nn ?+ ， 但 f=+∞ = )1,0( 1 nn Ι 。 如果开区间套是严格包含 ： nnnn bbaa <<< ++ 11 ， 这时定理的结论还是成立的 。 （ 2 ） 若 ],[],[ 11 nnnn baba ?++ ），， Λ21( =n ， 但 0)(lim ≠? +∞→ nnn ab ， 此时仍有 1lim cann =+∞→ ， 2lim cbnn =+∞→ ， 但 21 cc < ， 于是对任意的 c ， 21 ccc ≤≤ ， 都有 ],[1 nnn bac +∞ = ∈ Ι 。 全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集 ， 则称该全序集是完备的 ， 定理 2 刻划 实数集是完备的 （ 这里完备定义 与上段完备定义是等价的 ）。 定理 2 也给出通过逐步缩小搜 索范围 ， 找出所求点的一种方法 。 例 3 序列 }{ nx 由下列各式 ax =1 ， bx =2 ， 2 21 ?? += nnn xxx ），， Λ43( =n 所确定 （ 见下图 ）。 证明极限 n n x +∞→ lim 存在 ， 并求此极限 。 1x 3x 5x 4x 2x x 证明 当 ba = 时 ， axn = ， 故 axn n = +∞→ lim 。 当 ba ≠ 时 ， 若取 ),min( 1 nnn xxa += ， ),max( 1 nnn xxb += ， ），， Λ21( =n 。 32 则由条件 ， 显然可得一串区间套 ： ],[],[ 11 nnnn baba ?++ ），， Λ21( =n 。 由已知条件 )(212 111 ??+ ??=?+=? nnnnnnn xxxxxxx ， 于是 ，)(0||21||21 ||21||21|| 1121 21211 +∞→→?=?== ?=?=?=? ?? ???+ nabxx xxxxxxab nn nnnnnnnn Λ 由区间套定理 ， 存在 c 满足 ： n nnn bca +∞→+∞→ == limlim 。 注意到 ],[ nnn bax ∈ ， 所以 cxn n = +∞→ lim 。 下面来求 c 。 由 )(21 11 ?+ ??=? nnnn xxxx ， 令 132 ?= kn ，，， Λ 得一串等式 ： )(21 1223 xxxx ??=? ； )(21 2334 xxxx ??=? ； ΛΛΛΛΛΛ )(21 211 ??? ??=? kkkk xxxx 。 将它们相加 ， 得 )(21 112 xxxx kk ??=? ? ， 令 +∞→k ， 得 )(21 12 xcxc ??=? 所以 )2(313231 21 baxxc +=+= 。 2.4.3 子序列与波尔察诺定理 给定序 列 ΛΛ ，，，， nxxx 21 ， 考虑由它的一部分元素 ， 而不变更次序所构成的序列 ： ΛΛ ，，，， knnn xxx 21 ， 称为 }{ nx 的一个 子序列 。 关于子序列 }{ kn x 的序号 kn 需要说明三点 ： （ 1 ） kn 是一个严格上升的自然数列 ； ΛΛ <<<< knnn 21 （ 2 ） 子序列 }{ kn x 的序号不是 kn ， 而是 k ， kn 是 k 的函数 ， 它表明子序列与原序列 的关系 。 kn x 表示子序列中的第 k 项 ， 是原序列的第 kn 项 。 33 （ 3 ） knk ≥ 。 所以 +∞= +∞→ kk nlim 。 例如序列 }{ lkx + （ l为某一正整数 ） 是序列 }{ nx 的子序列 。 它是由原序列去掉前 l项 所得 ， 这里 kn lk += 。 又如序列 }{ 2kx ， }{ 12 ?kx 是序列 }{ nx 的子序列 ， 它们分别是由原序列取偶数项和奇数 项所组成的序列 ， 前者 kn k2= ， 后者 kn 12 ?= k 。 对子序列再抽子序列 ， 应记作 }{ ikn x ， 它仍然是原序列的子序列 。 序列本身也可以说是 它自己的子序列 。 子序列概念本身是容易理解的 。 难点倒是它的表现形式 ， 或者说是它的记号 。 定理 3 设 cxn n = +∞→ lim ， 则 }{ nx 的任一子序列 }{ kn x 都以 c 为极限 。 证明 0>?e ， 由 cxn n = +∞→ lim ， N? ， 当 Nn > 时 ， 有 e<? || cxn 。 因 +∞= +∞→ kk nlim ， 所以对于 N ， 0k? ， 当 0kk > 时 ， 有 Nnk > 。 从而当 0kk > 时 ， 有 e<? || cx kn ， 即 cx knk = +∞→ lim 。 注 1 定理当 +∞=c 或 ∞? 时 ， 结论仍成立 。 注 2 若序列 }{ nx 有两个子序列极限不等 ， 则序列 }{ nx 无极限 。 若原序列没有极限 ， 它可以有收敛的子序列 。 如序列 Λ，，，， 0101 ， 它的奇数项组成的 子序列有极限 1。 是否任意序列都有收敛子序列呢 ？ 这就是下面定理 。 定理 4 （ 波尔察诺 ） 有界序列必有收敛子序列 。 证明 设 bxa n ≤≤ ， 用中点 21 bac += 将 [ ]ba, 一分为二 ， 则两个子区间 [ ]1,ca 和 [ ]bc ,1 中至少有一个含有 }{ nx 中无穷多项 ， 选出来记为 [ ]11,ba ， 在其中选一项 1n x 。 用中点 2 11 2 bac += 将 [ ] 11,ba 一分为二 ， 则两个子区间 [ ]21,ca 和 [ ]12 ,bc 中至少有一个含有 }{ nx 中 无穷多项 ， 选出来记为 [ ]22,ba ， 在其中选一项 2n x ， 使得 Λ,12 nn > 。 最后得一区间套 [ ]kk ba , ， 满足 [ ] [ ]kkkk baba ,, 11 ?++ ， kkk abab 2 ?=? ， [ ] kkkkn nnbax k >∈ +1,, 。 34 由区间套定理 ， cba k kkk == ∞→∞→ limlim ， 又由于 knk bxa k ≤≤ ， 有 cx knk = ∞→ lim 。 习题 1 设 )(xf 是 ],[ ba 上的连续函数 ， 其最大值和最小值分别为 M 和 )( Mmm < 。 求证 ： 必存在区间 ],[ ba ， 满足条件 ： （ 1） mfMf == )(,)( ba 或 Mfmf == )(,)( ba ； （ 2） Mxfm << )( ， 当 ),( ba∈x 。 2 设 )(xf 在 ],[ ba 上连续 ， 在 ),[ ba 上右导数存在 。 求证 ： （ 1） 若 0)( ≥′+ xf ， 则 )(xf 递增 ； （ 2） 若 0)( ≤′+ xf ， 则 )(xf 递减 ； （ 3） 若 0)( ≡′+ xf ， 则 )(xf 为一常数 。 3 设 ),0[)( +∞∈Cxf ， 且有界 ； 对于 axfa =+∞?∞∈? )(),,( 在 ),0[ +∞ 上只有有限 个根或无根 。 求证 ： )(lim xf x +∞→ 存在 。 4 求证 ： 序列 }{ na 有界的充要条件是 ： }{ na 的任 何子序列 }{ kna ， 都有收敛的子序列 。 5 设 }{ na 为有界序列 ， 且任一收敛的子序列都有相同的极限值 a 。 求证 ： }{ na 也以 a 为 极限 。 §2 .5 函数的极限 ∈0x R, }|{),();( 0000 hxxxhxhxhxU <?=+?= 称为 0x 的一个邻域 ， 简记 )( 0xU 。 }{\);();( 0000 xhxUhxU = 称为 0x 的一个空心邻域 ， 简记为 )( 00 xU 。 定义 设 )(xf 在 )( 00 xU 上定义 。 0>? e , 0>? d , 使得当 );( 00 dxUx ∈ 时 （ 即 d<?< 00 xx ）， 有 35 e<? Axf )( （ 即 );()( eAUxf ∈ ） 则称 x 趋向于 0x 时 ， 函数 )(xf 的极限为 A， 记作 Axf xx = → )(lim 0 或 )()( 0xxAxf →→ 。 几何解释 任给 );( eAU ， 存在 );( 00 dxU ， 使得当 );( 00 dxUx ∈ 时 ， 有 );()( eAUxf ∈ ， 则称 )()( 0xxAxf →→ 。 例 1 证明 )0(11lim ≠= → aax ax 。 证 注意到 ax ax ax ? ?=? 11 ， 要想它任意小 ， ax ? 可任意小 ， x 却不能任意小 ， 当 ax → 时 ， 它必须远离零点 。 当 2aax <? 时 ， 2aaxax >??≥ 就远离零点了 。 0>? e , 取 )2,2min( 2 ed aa= ， 则当 d<?< ax0 时 , 有 e<?≤? 2 ||211 a axax 。 函数的极限与序列的极限类似 ， 也有相应的 性质 ， 证明也采用相同的思想 ， 把 “ N?e ” 换成 “ de ? ” 。 我们把相应定理罗列出来 ， 选其中一部分给出证明 ， 其余的证明留给同学 们作练习 。 定理 1 （ 唯一性 ） 若 )(lim 0 xf xx→ 极限存在 ， 则极限值唯一 。 定理 2 （ 局部有界性 ） 若极限 )(lim 0 xf xx→ 存在 ， 则函数 )(xf 在 0x 的 某一空心邻域 上有界 。 定理 3 设 Axf xx = → )(lim 0 , Bxg xx = → )(lim 0 , 则 1) BAxgxf xx ±=± → )()(lim 0 , 2) BAxgxf xx ?=? → )()(lim 0 , x0 A 0 36 3) BAxg xfB xx =≠ → )( )(lim,0 0 。 定理 4 设在 )( 00 xU 上 ， )()( xgxf ≤ 且 Axf xx = → )(lim 0 , Bxg xx = → )(lim 0 ， 则 BA ≤ 。 定理 5 设在 )( 00 xU 上有 )()()( xhxgxf ≤≤ , 且 )(lim)(lim 00 xhAxf xxxx →→ == , 则 Axg xx = → )(lim 0 。 定理 2 的证明 取 10 =e , 由 Axf xx = → )(lim 0 , 0>? d , 当 d<?< 00 xx 时 , 有 1)( <? Axf , 即 1)()( +≤?+≤ AAxfAxf ， 说明 )(xf 在 );( 00 dxU 上有界 ， 1+A 就是一个界 。 定理 3 之 3 ） 的证明 只要证 Bxg xx 1 )( 1lim 0 = → ， 令 020 >= Be ， 由 Bxg xx = → )(lim 0 ， 01 >?d 使得当 100 d<?< xx 时 ， 有 2)( BBxg <? ， 即 22)()( BBBBxgBxg =?≥??≥ 。 0>? e , 仍然由 Bxg xx = → )(lim 0 ， 02 >?d , 使得当 200 d<?< xx 时 ， 有 e2)( 2B Bxg <? 。 取 ),min( 21 ddd = ， 则当 d<?< 00 xx 时 ， 有 ee =?<?≤?=? 22)(2)( )(1)(1 2 22 B B Bxg BBxg Bxg Bxg 即 Bxg xx 1 )( 1lim 0 = → 。 定理 5 的证明 0>? e , 由 Axf xx = → )(lim 0 ， 01 >?d ， 使得当 100 d<?< xx 时 ， 有 e<? Axf )( ， 即 ee +<<? AxfA )( 。 又由 Axh xx = → )(lim 0 ， 02 >?d ， 使得当 200 d<?< xx 时 ， 有 e<? Axh )( ， 即 ee +<<? AxhA )( 。 37 令 ),min( 21 ddd = ， 则当 d<?< 00 xx 时 ， 有 ee +<≤≤<? AxhxgxfA )()()( 即 e<? Axg )( ， 故 Axg xx = → )(lim 0 。 例 2 证明 ax ax = → lim 。 证 先设 0=a ， 要证 0lim 0 = +→ xx ， 0>? e ， 要使 e<= xx , 取 2ed = ， 则当 d<< x0 时 ， 有 ed <<= xx ， 即 0lim 0 = +→ xx 。 再设 0>a ， 0>? e , 要使 e<? ax ， 注意到 axaax axax ?≤+?=? 1 ， 只要 e<? axa1 , 且 0>x ， 取 )2,min( aaed = ， 则当 d<?< ax0 时 ， 有 e<? ax ， 即 ax ax = → lim 。 §2 .6 函数极限的推广 我们已经建立极限概念 Axf xx = → )(lim 0 ， 我们想推广它 ： （ 1） 0xx → 可被 00 +→ xx ， 00 ?→ xx ， +∞→x ， ?∞→x ， ∞→x 代替 ，（ 2） Axf →)( 可被 ,)( +∞→xf ∞∞? , 代替 ， 严格地说这时极限已经不存在了 ， 我们称之为广义极限 。 1． 单侧极限 点 0x 的右邻域指的是 }|{);( 000 hxxxxhxU +<≤=+ ， 点 0x 的左邻域指的是 }|{);( 000 xxhxxhxU ≤<?=? ， 点 0x 的右空心邻域指的是 }{\);();( 0000 xhxUhxU ++ = ， 点 0x 的左空心邻域指的是 }{\);();( 0000 xhxUhxU ?? = 。 定义 设 )(xf 在 );( 0 hxU + 上定义 ， 0>? e , 0>? d , 使得当 d<?< 00 xx 时 ， 有 e<? Axf )( , 38 则称 Axf xx = +→ )(lim 00 ， 也记 )0( 0 += xfA ， 称为右极限 。 类似地可定义左极限 。 例 21lim 00 p= +→ x arctg x [ ] nx nx = +→ 0 lim ， [ ] 1lim 0 ?= ?→ nx nx 对单侧极限 ， 5 定理 ， 即唯一性 ， 局部有界性 ， 四则运算 ， 极限不等式 ， 两边夹仍成 立 ， 我们把 5 定理的表述和证明都留给同学们做练习 。 定理 1 函数在 0x 点极限存在充要条件 ： 函数在点 0x 左右极限都存在且相等 。 证 必要性 ， 0>? e , 由 Axf xx = → )(lim 0 , 0>? d , 使得当 d<?< 00 xx 时 ， 有 e<? Axf )( ， 特别地当 d<?< 00 xx 时 ， 有 e<? Axf )( ， 故 Axf xx = +→ )(lim 00 。 同理当 d<?< xx00 时 ， 也有 e<? Axf )( , 故 Axf xx = ?→ )(lim 00 。 充分性 ， 0>? e , 由 Axf xx = +→ )(lim 00 ， 01 >?d , 使得当 100 d<?< xx 时 ， 有 e<? Axf )( , 又由 Axf xx = ?→ )(lim 00 , 02 >?d , 使得当 200 d<?< xx 时 ， 有 e<? Axf )( . 令 ),min( 21 ddd = , 当 d<?< 00 xx 时 ， 有 e<? Axf )( ， 故 Axf xx = → )(lim 0 。 2. 自变量趋向无穷大的情况 称集合 }|{ hxx > 为 ∞ 的邻域 ， 记作 );( hU ∞ 或 )(∞U ， 称 }|{ +∞<< xhx 与 }|{ hxx ?<<∞? 为 ∞ 的单侧邻域 ， 记作 );( hU ∞+ （ )(∞+U 或 )(+∞U ）， );( hU ∞? （ )(∞?U 或 )(?∞U ）。 定义 2 设 )(xf 在 )(∞+U 上定义 ， 0>? e , )(∞∈? +UX , 使得当 Xx > 时有 e<? Axf )( ， 则 Axf x = +∞→ )(lim 。 类似地可定义 39 Axf x = ?∞→ )(lim Axf x = ∞→ )(lim 对这种极限 ， 5 定理也成立 ， 我们还是把它们的表述和证明留给同学们做练习 。 3 ． 广义极限 定义 设 )(xf 在 )( 00 xU 定义 ， 0>? M ， 0>? d ， 使得当 d<?< 00 xx 时 ， 有 Mxf >)( ， 则 +∞= → )(lim 0 xf xx 。 类似地可以定义 ?∞= → )(lim 0 xf xx ， ∞= → )(lim 0 xf xx ， +∞= +→ )(lim 00 xf xx ， +∞= +∞→ )(lim xf x ， .Λ 对于序列 }{ nx ， 也可以定义 ∞∞?+∞→ ,,nx 。 练习 ： 完成下表中极限和广义极限定义 。 )(xf x 0xx → 00 +→ xx 00 ?→ xx +∞→x Axf →)( +∞→)(xf ?∞→)(xf ∞→)(xf ?∞→x ∞→x n →∞ Axf →)( +∞→)(xf ?∞→)(xf ∞→)(xf 注 表中第一行表明极限存在 ， 关于极限性质的 5 定理都存在 ； 第二 ， 三 ， 四行极限 不存在 ！ 关于极限性质的 5 定理不一定成立 ， 就是成立也要改变形式 。 不成立的如 )()( +∞?+∞ ， ∞?0 , 00 , ∞∞ 称为不定式 ， 需要我们建立更精细的理论来研究它们 ， 后面 第四章的洛比塔法则就是针对不定式的 。 在广 义极限中唯一性还成立 ， 局部有界性显然不成 立 ， 但可代替它有局部下有界或上有界 ， 四则运算成立的有 +∞=+∞++∞ )()( , 40 +∞=?∞?+∞ )()( , +∞=+∞?+∞ )()( , +∞=±+∞ a)( , )0()( >+∞=?+∞ aa 。 无穷小量 极限为零的变量称为无穷小量 ， 即 )(0 +∞→→ nxn , ),,,0,(0)( 00 ∞∞?∞++→→ xxxxf 无穷大量 极限为无穷 ),,( ∞∞?+∞ 的变量称为无穷大量 ， 即 )(, +∞→∞±∞→ nxn ),,0,()( 00 ∞∞±±→±∞→ xxxxf 它们有 关系 无穷小量无穷大量 =1 ， 如果变量不取零值 。 命题 1) 无穷小量的绝对值仍为无穷小量 ， 2) 无穷小量与有界变量之积 仍为无穷小量 ， 3) 变量有极限 a 充要条件是它可分解成 a 与无穷小量之和 ： ))(()( axfaxf ?+= 。 4. 复合函数求极限 例 xx x 11lim 3 0 ?+ → 。 解 令 tx =+3 1 , 则 0→x 时 1→t ， 3111lim11lim11lim 2 131 3 0 =++=??=?+ →→→ ttt t x x ttx 。 这样一个变量替换 3 1 xt += 把这个极限变得简单易求 ， 一般的理论根据来源如下 : 定理 设 )(tf 在 )( 00 tU 上定义 ， 且 Atf tt = → )(lim 0 , )( xgt = 在 )( 00 xU 上定义 ， 当 ∈x )( 00 xU 时 , ∈= )( xgt )( 00 tU , 且 0)(lim 0 txg xx = → ， 则 Axgf xx = → )]([lim 0 。 证 0>?e , 由 Atf tt = → )(lim 0 , 0>?h , 使得当 h<?< ||0 0tt 时 ， 有 e<? |)(| Atf 对这个 0>h ， 由 0)(lim 0 txg xx = → ， 0>?d ， 使得当 d<?< ||0 0xx 时 , 有 h<? |)(| 0txg 41 根据 ∈x )( 00 xU 时 ∈= txg )( )( 00 tU ， 所以 h<?=?< |||)(|0 00 tttxg , 这样我们有 e<?=? |)(||)]([| AtfAxgf , 即 Axgf xx = → )]([lim 0 。 § 2.7 极限存在性理论及两个重要极限 1. 极限存在性 E 无上界 , 规定 +∞=Esup , E 无下界 , 规定 ?∞=Einf 。 定理 设 )(xf 在 )( 00 xU ? 上定义 ， 且 )(xf 单调上升 ， 则 )(lim 00 xf xx ?→ 存在且等于 )(sup )( 00 xf xUx ?∈ 。 证 令 =A )(sup )( 00 xf xUx ?∈ , 当集合 )}(|)({ 00 xUxxf ?∈ 有上界时 , +∞<A ， 当它无 上界时 ， +∞=A . 1) +∞<A 0>?e , 由上确界定义 ， ∈′? x )( 00 xU ? , 使得 e?>′ Axf )( , 取 00 >′?= xxd ， 则当 d<?< xx00 时 ， 由函数单调上升得 e?>′≥ Axfxf )()( , 再由上确界定义 ee ?>>+ AxfA )( , 或 e<? Axf )( , 即 )(sup)(lim )(0 000 xfAxf xUxxx ?∈?→ == 。 2) +∞=A 因集合无上界 ， 对 0>?M , ∈′? x )( 00 xU ? , 使得 Mxf >′)( 。 取 00 >′?= xxd ， 则当 d<?< xx00 时 , 有 Mxfxf >′≥ )()( , 即 )(sup)(lim )(0 000 xfxf xUxxx ?∈?→ =+∞= . 类似地我们有 : )(xf 在 )( 00 xU ? 定义 ， 且 )(xf 单调下降 , 则 )(inf)(lim )(0 000 xfxf xUxxx ?∈?→ = , 以及关于右极限的相应结果 ， 同学们自行给出定理的表述和证明 。 0 x0 A 42 2. 1sinlim 0 = → x x x 在单位圆盘 }1|),{( 22 ≤+= yxyxD 上 ， x 是圆心角 AOB∠ ， 以弧度计 ， 即它恰好等 于 ?AB , 而 BCx =sin 是弦长 BB ′之半 ， 它的几何意义是 ? sin2sin 1(0) 2 xxBB x xxBB ′==→→ ′ 即圆心角趋于 0 时 ， 对应的弦长与弧 长之比趋于 1 。 证 设 20 p<< x , AOB? 面积 < 扇形 AOB 面积 < AOD? 面积 ， 即 tgxxx 2121sin21 << ， 1sincos << x xx , 用偶函数性质 ， 这不等式在 02 <<? xp 时也成立 。 令 0→x , 1coslim 0 = → x x , 两边夹得出 1sinlim 0 = → x x x 。 推论 R∈?x ， xx ≤sin ， 等号成立当且仅当 0=x 。 证 20 p<< x 时 , 1|| |sin|sin <= x xx x , 当 2p≥x 显然成立 ， 而 0=x 时等号成立 ， 且只有 0=x 时等号成立 。 用 Mathematica 作函数 x xxf sin)( = 在 },,{ pp?x 的图形 ， 可以看出在原点附近 ， 它 非常近似于直线 。 3 ． ex x x =+ ∞→ )11(lim 证 先证 +∞→x 情况 ， 当 1>x 时 ， 有 ][11111][ 11 xxx +≤+≤++ . xxx xxx )][11()11()1][ 11( +≤+≤++ 0 A B D Cx 43 ee xxx xxx ↓↓ +≤+≤++ +1][][ )][11()11()1][ 11( 所以 ex x x =+ ∞→ )11(lim 。 再证 ?∞→x 情况 , 令 +∞→?= yyx , ， eyyyx y y y y x x =?+??+=?=+ ? +∞→ ? +∞→?∞→ )111()111(lim)11(lim)11(lim 1 由极限与单侧极限关系定理 ， 得 ex x x =+ ∞→ )11(lim 。 推论 et t t =+ → 1 0 )1(lim 。 证 令 xt 1= , 即得 。 § 2.8 序列极限与函数极限之关系 1 ． 极限不存在的定义 回顾 )(lim +∞<<?∞= ∞→ aaxn n 的定义 ： 0>?e ， N∈?M , 使得当 Mn > 时 ， 有 e<? axn . 否命题定义中注意以下逻辑符号的互换 ： >→←≤ ?→←? 当 ∞→n 时 ， }{ nx 不以 a 为极限的定义 ： knk k >?∈?>? ,,00 Ne , 使得 0e≥? ax kn 。 回想 Axf xx = → )(lim 0 的定义 ： )(xf 定义于 )( 00 xU 上 ， 0>? e ， 0>?d ， 使得当 d<?< 00 xx 时 ， 有 e<? Axf )( 。 当 0xx → 时 ， )(xf 不以 A 为极限的定义 ： )(xf 定义于 )( 00 xU 上 ， 00 >?e ， dd dd <?<?>? 00:,0 xxx ， 使得 0)( ed ≥? Axf 。 44 回想 +∞= ∞→ )(lim xf x 的定义 ： )(xf 定义于 )(∞U 上 ， 0>? A ， 0>?M ， 使得当 Mx > 时 ， 有 Axf >)( 。 当 ∞→x 时 ， )(xf 不以 ∞+ 为广义极限的定义 ： )(xf 定义于 )(∞U 上 ， 00 >?A ， 0>? X ， )(∞∈? UxX 且 Xx X > ， 使得 0)( Axf X ≤ 。 在反证法的证明中经常需要这种否命题 的叙述 ， 下面的定理证明是一个例子 ： 2 列极限和函数极限之关系 定理 设 )(xf 在 )( 00 xU 上定义 ， 则 Axf xx = → )(lim 0 成立的充要条件是 ： 对于 )( 00 xU 内 任一序列 }{ nx ， 若 0lim xxn n = ∞→ ， 都有 Axf n n = ∞→ )(lim 。 证 必要性 在 )( 00 xU 中任取序列 }{ nx ， 且 0lim xxn n = ∞→ ， 要证 Axf n n = ∞→ )(lim 。 0>? e ， 由 Axf xx = → )(lim 0 ， 0>?d ， 使得当 d<?< 00 xx 时 ， 有 e<? Axf )( 。 对于 0>d ， 由 0xxn → ， N? ， 使得当 Nn > 时 ， 有 d<?< 00 xxn ， 于是当 Nn > 时 ， 有 e<? Axf n )( ， 即 Axf n n = ∞→ )(lim 。 充分性 ， 如果不然 ， 即 0xx → 时 ， )(xf 不以 A为极限 ， 则 00 >?e ， 0>?d ， ddd <?<∈? 000 0)( xxxUx ， 使得 0)( ed ≥? Axf 。 令 ),2,1(1 Λ== nnd ， 则 nxxxUx nn 10,)( 000 <?<∈? ， 使得 0)( e≥? Axf n 。 对于序列 }{ nx ， 0xxn → ， )( 00 xUxn ∈ ， 但 0)( e≥? Axf n ， 显然与条件 Axf n n = ∞→ )(lim 矛盾 。 判断 )(lim 0 xf xx→ 不存在之方法 ： 在 )( 00 xU 中找到两个序列 }{ nx′ 和 }{ nx ′′ 都趋向于 0x ， 两 个极限 )(lim n n xf ′ ∞→ 和 )(lim n n xf ′′ ∞→ 都存在 ， 但不相等 ， 这实际上是充要条件 ， 充分性的证明用 本节定理就行了 ， 必要性的证明要到第三册讲完紧性以后才能证 ， 我们目前也只用到它的充 分性 。 例 证明 x x 1sinlim 0→ 不存在 。 证 令 021 →=′ nxn p ， 0)2( 1 2 1 →+=′′ pnxn ， 0 1sin = ′nx , 当然趋于 0 ， 45 11sin =′′ nx , 当然趋于 1， 故 x1sin 当 0→x 时没极限 。 习题 ： 2.1 用 N?e 方法验证 011lim 2 =? +∞→ nn ， 并对 1.0=e ， 01.0 求出相应 的 N . 2.2 用 N?e 方法验证下列极限为零 . (1) nn n ++∞→ 2 1lim ; (2) nnn ?+∞→ 4 1lim ; (3) 3lim 3 2 ?+∞→ n n n ; (4) )1(lim nn n ?+ +∞→ ; (5) !10lim n n n +∞→ ; (6) n n n n!lim +∞→ ; (7) n n a n +∞→ lim )1( >a ; (8) ]ln)1[ln(lim nn n ?+ +∞→ . 2.3 若 axn n = +∞→ lim ， 求证 ||||lim axn n = +∞→ . 2.4 设 0>nx ),2,1( Λ=n ， axn n = +∞→ lim ， 求证 ： axn n = +∞→ lim . 2.5 设 axn n = +∞→ lim ， l为确定的自然数 ， 求证 ax ln n =+ +∞→ lim . 反之成立吗 ？ 2.6 （ 1） 求证 axn n = +∞→ lim 的充要条件为 ： ax n n = +∞→ 2 lim ， ax n n =+ +∞→ 12 lim . (2) 已知 n n x2lim +∞→ ， 12lim + +∞→ nn x 都存在 ， 是否能保证 n n x +∞→ lim 存在 . 2.7 设 axn n = +∞→ lim ， 求证 33lim ax nn =+∞→ . 2.8 设 y x 46 nn yax ≤≤ ),2,1( Λ=n ， 且 0)(lim =?+∞→ nnn xy . 求证 ： axn n = +∞→ lim ， ayn n = +∞→ lim . 2.9 求下列极限 ： （ 1） )21(lim 222 nnnn n Λ++ +∞→ ； (2) 11lim ? +∞→ +++ n n n aa a Λ )0( >a ； (3) ))1( 1321211(lim +++?+? +∞→ nnn Λ ； (4) )1(lim 33 nn n ?+ +∞→ ； (5) n n a +∞→ lim )10( << a ； (6) n k n a n +∞→ lim )0,1( >> ka . 2.10 设 axn n = +∞→ lim ， byn n = +∞→ lim . 求证 ： （ 1） ),max(),max(lim bayx nn n = +∞→ ； （ 2） ),min(),min(lim bayx nn n = +∞→ . 2.11 求下列极限 ： （ 1） 3 21 sinlim n n n ++∞→ ； （ 2） n n nn lnlim ? +∞→ ； （ 3） n n n n )2(642 )12(531lim Λ Λ ?? ??? +∞→ ； （ 4） )2(642 )12(531lim nn n Λ Λ ?? ??? +∞→ ； （ 5） n n n! 1lim +∞→ . 2.12 求下列集合的上 、 下确界 ： （ 1） ?? ? ?? ? +?+= 为正整数n n nE n 1])1(1[ ； （ 2） ?? ? ?? ? <<= 为正整数nmnm n mE ,,0 ; （ 3） ?? ? ?? ? + ?= 为正整数nn n nE 3 2cos 1 1 p ; （ 4） { }为正整数nE n n n)1(21 ?+= ; 47 （ 5） { }为实数xxxE ][?= . 2.13 设 )(xf , )(xg 在 D 上定义 , 且 )()( xgxf ≤ , Dx ∈? . 求证 ： （ 1） )(sup)(sup xgxf DxDx ∈∈ ≤ ； （ 2） )(inf)(inf xgxf DxDx ∈∈ ≤ . 2.14 求下列序列的极限 ： （ 1） 2 ， 22 ， Λ,222 ； （ 2） 2 ， 22 + ， Λ,222 ++ . 2.15 利用单调有界有极限定理 ， 求证 1lim = +∞→ n n n . 2.16 设 110 ba << ， 令 nnn baa ?=+1 ， 21 nnn bab +=+ ， Λ,2,1=n . 求证 }{ na ， }{ nb 极限存在且相等 . 2.17 设 }{ na 单调下降 ， 且 0lim = +∞→ nn a ， 令 n aaab nn +++= Λ21 . 求证 ： （ 1） }{ nb 单调下降 ； （ 2） )(212 nnn bab +≤ ； （ 3） 0lim = +∞→ nn b . 2.18 用 de ? 方法验证下列各题 ： （ 1） ||||lim ax ax = → ； （ 2） 22lim ax ax = → ； （ 3） ax ax = → lim )0( >a ； （ 4） 33lim ax ax = → ； （ 5） ax ax 11lim = → )0( ≠a . 2.19 设 Axf ax = → )(lim ， 用 de ? 方法证明下列各题 ： （ 1） |||)(|lim Axf ax = → ； （ 2） 22 )(lim Axf ax = → ； （ 3） Axf ax = → )(lim )0( >A ； （ 4） 33 )(lim Axf ax = → ； 48 （ 5） Axf ax 1 )( 1lim = → )0( >A . 2.20 求下列极限 ： （ 1） 11lim 1 ? ? → x xn x ； （ 2） 842 65lim 23 2 2 +?? +? → xxx xx x ； （ 3） x xx x 3 0 11lim +?+ → ； （ 4） 11 11lim 3 0 ?+ ?+ → x x x . 2.21 求下列极限 ： （ 1） )(lim xxxx x ?++ +∞→ ； （ 2） )(lim 2 xxx x ?+ ?∞→ . 2.22 求下列极限 ： （ 1） ? ? ? ?? ? +→ x x x 1lim 00 ； （ 2） 44][lim 2 2 02 ? ? +→ x x x ； （ 3） 44][lim 2 2 02 ? ? ?→ x x x ； （ 4） xx x ++→ 1 ]4[lim 01 . 2.23 用变量替换求下列极限 ： （ 1） ax x x lnlim +∞→ )0( >a ； （ 2） xx x lnlim 00 a +→ )0( >a ； （ 3） x x x 1 lim +∞→ ； （ 4） x x x 00 lim +→ . 2.24 设 )(xf 在集合 X 上定义 ， 则 )(xf 在 X 上无界的充要条件是 ： Xxn ∈? ， Λ,2,1=n ， 使 +∞= +∞→ )(lim n x xf . 2.25 设 )(xf 在 ),( ∞+a 上单调上升 ， +∞= +∞→ nx xlim ， 若 Axf n x = +∞→ )(lim ， 求证 ： Axf x = +∞→ )(lim （ A可以为无穷 ） . 2.26 设 )(xf 是 ),( ∞+?∞ 上的周期函数 ， 又 0)(lim = +∞→ xf x ， 求证 ： 0)( ≡xf . 2.27 求下列极限 ： （ 1） xtg xtg x 5 3lim 0→ ； （ 2） 3 0 2sinsin2lim x xx x ? → ； （ 3） 2 0 3cos5coslim x xx x ? → ； （ 4） nxmx x sin sinlim p→ （ m ， n 为整数 ）； （ 5） 44 1lim pp ? ? → x tgx x ； （ 6） x xn x )arccoscos(lim 0→ （ n 为奇数 ）； 49 （ 7） ]cos1[coslim nn n ?+ +∞→ ； （ 8） )1sin(lim 2 + +∞→ n n p . 2.28 求下列极限 ： （ 1） x x x21lim 0 ? → ； （ 2） x x x ? ∞→ ?? ?? ? ? + 21lim ； （ 3） 2 1 1lim 2 2 x x x x ??? ? ??? ? + ? ∞→ ； （ 4） 2 coslim x x x a ? ? ?? ? ? +∞→ )0( ≠a ； （ 5） tgx x x)(sinlim 2 p→ ； （ 6） x x xx ?? ?? ? ? + ∞→ 1cos1sinlim ； （ 7） n n n xn ? ? ?? ? ? ? + +∞→ 1 lim ； （ 8） n n n nn nn ln ln lnlim ? ? ?? ? ? ? + +∞→ . 2.29 用肯定语气叙述 +∞≠ +∞→ nn xlim . 2.30 用肯定语气叙述 n n x +∞→ lim 不存在 . 2.31 证明下列极限不存在 ： （ 1） 32cos11 pnnnxn +?= ； （ 2） n nn nx )1(21 ?+= ； （ 3） )sin( 2 nnxn += p .