1 第 二 章 n 维欧氏空间 § 1.1 nR 的极限理论 在线性代数中我们学习了 n 维向量空间 ( ){ }nixxx inn ,,1,,,1 LL =∈= RV . 我们在 nV 中定义了加法和数乘 . 特别的我们还定义了 nV 中的内积 ( , ). 设 ( ) ( )nn yyyxxx ,,,,, 11 LL == 是 nV 中的向量 . 定义 x 与 y 的内积 ),( yx 为 nn yxyxyx ++= L11),( . 内积 ),( yx 满足 : 1． 对称性 : ),(),( xyyx = ; 2． 线性性 : ),(),(),( 2121 yxbyxaybxax +=+ ; 3． 正定性 : 0),(, ≥∈? xxx nV , 并且 0),( =xx 等价于 0=x . 利用内积我们可以定义 nV 中向量的长度为 ),( xxx = . 将 ( ) ( )nn yyPxxP ,,,,, 1211 LL == 看作 nV 中的点 , 我们定义其距离 ),( 21 PPd 为 ∑ = ?=??=?= n i ii yxPPPPPPPPd 1 2 21212121 )(),(),( . 引理 1: 2121 ),( PPPPd ?= 满足 1. 对称性 : ),(),( 1221 PPdPPd = ; 2. 正定性 : 0),( 21 ≥PPd , 0),( 21 =PPd 等价于 21 PP = ; 3. 三角不等式 : nPPP V∈? 321 ,, , 恒有 ).().,(),(),( 233121 yxyxPPdPPdPPd +≤++≤ 并且等式成立的充分必要条件是 321 ,, PPP 在同一直线上 . 证明 : 1和 2 显然 , 仅证明 3. 设 nVV V∈21, , 则对任意 R∈t , 恒有 2 0),(),(2),(),( 22221112121 ≥+?=?? VVtVVtVVtVVtVV . 因此 t 的二次函数的 判别式 0),)(,(4),(4 2211221 ≤? VVVVVV . 我们得到 Cauchy 不等式 ),)(,(),( 2211221 VVVVVV ≤ . 并且其中等式成立的充要条件是 21,VV 线性相关 . 对任意 nPPP V∈321 ,, , 令 322311 , PPVPPV ?=?= , 则 ( ) ( ) .),(),(),(),( ),(),)(,(2),( ),(),(2),(),(),( 2 2331 2 2211 22221111 2221112121 2 21 PPdPPdVVVV VVVVVVVV VVVVVVVVVVPPd +=+= ++≤ +?=??= 得三角不等式 . 等式成立当且仅当存在 t 使 21 tVV = , 即 321 ,, PPP 在同一直线上 . QPQPd ?=),( 称为 nV 的欧氏度量 . nV 在定义了欧氏度量后称为 n 维欧氏空间 , 通常以 nR 记之 . 我们希望利用欧氏度量 ),( QPd 在 nR 上建立极限理论 , 并进一步将一个 变元的微积分推广到多个变元的函数上 . 定义 : 设 { } L,2,1=mmP 是 nR 中一个点列 , 称 +∞→m 时 nm PP R∈→ 0 , 如果 N?>? ,0e , 使得只要 Nm > , 就有 e<),( 0PPd m , 记为 0lim PPm m = +∞→ . { }mP 称为收敛 序列 . 与 R 中极限相同 , 我们也可以用邻域的语言描述极限 . 设 nP R∈ , 对任意 0>e , 我们 定义 { }ee <∈= ),(),( QPdQPB nR , ),( ePB 称为半径为 e 的 P 的球形邻域 . 称 { } { }eee <<∈=?= ),(0),(),(0 QPdQPPBPB nR 为 P 的空心 e -球形邻域 . 设 ),,(),,,( 1001 nnxxP eee LL == 满足 0>ie , 定义 ( ){ }nixxxxQPS iiin ,,1,,,),( 01 LL =<?== ee . ),( ePS 称为 P 的长方形 e -邻域 . { }PPSPS ?= ),(),(0 ee 为长方形的空心 e -邻域 . 引理 2: 对任意 0>′e , 存在 0),,(~ 1 >= neee L 和 e ′′ , 使得 ),()~,(),( eee ′′??′ PBPSPB . 3 利用 e -邻域 , 0PPm → 可表示为对 0P 的任意 e -邻域 NPU ?),,( 0 e , 只要 Nm > , 就 有 ),( 0 ePUPm ∈ . 如果将 mP 用坐标表示为 ),,( 1 mnmm xxP L= , 则上面长方形 e -邻域的极限描述等价于 引理 3: 设 ),,(),,,( 00101 nmnmm xxPxxP LL == , 则 0lim PPm m = +∞→ 的充分必要条件是对 ni ,,1 L= 都有 0lim imi m xx = +∞→ . 即序列 mP 收敛于 0P 等价于 mP 的每一个分量收敛于 0P 对应的分量 . 利用不等式 { } , )()(max 00 11 2020 110 0 1 n m n m n m n m mi m ini xxxx xxxxPPxx ?++?≤ ?++?=?≤? ≤≤ L L 也可直接得到上面引理 . 下面讨论中我们将以 ),( ePB 为例 , 其结论对 ),( ePS 也成立 . 设 nS R? 是任意给定的集合 . 利用 e -邻域 , 我们可以将 nR 中所有的点相对于 S 进行 分类 . 内点 : nP R∈ 称为 S 的内点 , 如果存在 0>e , 使 SPB ?),( e . 以 °S 记 S 的所有内 点 . 外点 : nP R∈ 称为 S 的外点 , 如果存在 0>e , 使得 P 的 e -邻域 SPB n ?? R),( e . 边界点 : 如果 nP R∈ 既不是 S 的内点 , 也不是 S 的外点 , 则 P 称为 S 的边界点 . 以 S? 记集合 S 的所有边界点 , 则不难看出 ( )°?°?=? )( SSS nn RR U . 或表示为 nP R∈ 为 S 的边界点 , 如果 0>?e , 恒有 ?≠SPB I),( e , ?≠? )(),( SPB nRIe . 边界点可进一步分类 . 孤立点 : nP R∈ 称为 S 的孤立点 , 如果存在 0>e , 使得 }{),( PSPB =Ie . 显然孤立点都是边界点 . 极限点 : nP R∈ 为 S 的极限点 , 如果 ?≠>? SPB I),(,0 0 ee . 容易看出 , P 为 S 的极限点等价于存在序列 { } }{PSPm ?? , 满足 0lim PPm m = +∞→ . 显然 内点都是 S 的极限点 . 而 SP ?∈ 如果不是 S 的孤立点 , 则必是 S 的极限点 . 集合 S 称为开集 , 如果 S 的所有点都是 S 的内点 , 即 S 为开集 ?? °= SS . 4 如果 ?=S , 则 ?=°S , 因此 °= SS , 所以空集是开集 . 容易看出开集满足 : 有限个开集的交是开集 ; 任意多个开集的并也是开集 . 集合 S 称为闭集 , 如果 Sn ?R 为开集 . 由于空集是开集 , 因此 ??= nn RR 是闭集 . 而 nR 显然是开集 , 所以 nn RR ?=? 是闭集 . 思考题 : 证明 nR 和空集 ?是 nR 中唯一的两个既开又闭的集 . 由闭集定义不难得到 : 任意多个闭集的交是闭集 , 有限个闭集的并也是闭集 . 对于任意集合 S , 令 S 为所有包含 S 的 闭集的交 . S 是包含 S 的最小闭集 , 称为 S 的 闭包 . 引理 4: S 是闭集的充分必要条件是下面假设中有一个成立 : a) SS = ; b) SSS ?°= U ; c)如果 P 是 S 的极限点 , 则 SP∈ . 证明留给读者 . 称集合 nS R? 是道路连通的 , 如果对 S 中任意两点 QP, , 都存在 nR 中的一条连续曲 线 ( ) ]1,0[,)(,),(:)( 1 ∈→ ttxtxttr nL , 其中 )(txi 连续 , 使得 QrPr == )1(,)0( , 且 Strt ∈∈? )(],1,0[ . nR 中连通的开集称为区域 , 我们一般用 D 表示 . 区域的闭包 D 称为闭区域 . § 1.2 nR 的完备性 一元微积分的极限理论是建立在实数完备的基础上 . 利用实数的完备性 , 我们才有可能 有好的极限 , 并在此基础上建立微积分的其它理论 . 对于 nR , 我们同样需要将其极限建立在 nR 的完备性上 . 与 R 不同的是 , 当 2≥n 时 nR 的点并无大小顺序 , 因此确界原理和单调有界序列有极限这两个定理不能推广到 nR 上 . 但与之等价的关于实数完备性的其它定理在 nR 上都是成立的 . 下面我们将以平面 2R 为例 , 表述和证明这些定理 , 其相应结论对所 有 nR 都成立 . 5 序列 { }mP 称为有界序列 , 如果存在 M 使得 m? , 恒有 MPm ≤ . 定理 1(波尔察诺 ): 如果 { }mP 是 2R 中的有界序列 , 则 { }mP 中有收敛子列 . 证明 : 设 ),( mmm yxP = , { }mP 有界 , 则序列 { }mx 和 { }my 都是 R 中有界序列 . 因此 { }mx 中有收敛子列 { } km x , 而对应的序列 { } km y 也有收敛子列 { } lkm y , 得序列 ( ){ } lklklk mmm yxP ,= 收敛 . 序列 { }mP 称为 Cauchy 列 , 如果 N?>? ,0e , 只要 NmNn >> , , 就有 e<? mn PP . 定理 2(Cauchy 准则 ): 序列 { }mP 收敛的充分必要条件是 { }mP 为 Cauchy 列 . 证明 : 设 0lim PPm m = +∞→ , 则 N?>? ,0e , 只要 Nm > , 就有 20 e<? PPm . 因此 NmNn >> , 时 , 由三角不等式得 e<?+?≤? 00 PPPPPP mnmn , 得 { }mP 是 Cauchy 列 . 反之 , 设 { }mP 是 Cauchy 列 . 取 1=e , 则 N? , 使 Nn > 时 11 <?+ nN PP . 因此 1111 +<?+≤ +++ NnNNn PPPPP . 而 { }NPP ,,1 L 显然有界 , 得 { }mP 是有界列 . 由波 尔察诺定理 , { }mP 中有收敛子列 0PP km → . 0>?e , 由 { }mP 是 Cauchy 列 , 得 1N? , 使 11, NmNn >> 时 , 2 e<? mn PP . 而由 0PP kn → 得存在 2N , 使 2Nnk > 时 , 20 e<? PP kn . 令 },max{ 21 NNN = , 取定一 Nmk > , 则对任意 Nm > , e<?+?≤? 00 PPPPPP kk mmmm , 即 0lim PPm m = +∞→ . 定义 : 设 2R?S , 令 { }SQPQPSd ∈?= ,sup)( , )(Sd 称为集合 S 的直径 . 对 2R 中任意集合 21,SS , 定义 { }2121 ,inf),( SQSPQPSSd ∈∈?= , ),( 21 SSd 称为集合 21,SS 的距离 . 定理 3(区间套原理 ): 设 { }nF 是 2R 中一列闭集 , 满足 1. ?≠? nFn, ; 6 2. nn FF ?+1 ; 3. 0)( →nFd . 则存在唯一的一个点 P , 使得 I +∞ = ∈ 1 }{ n nFP . 证明 : ?≠nF , 可取一点 nn FP ∈ , 得一序列 { }nP . 由 0)(lim = +∞→ nn Fd , 得 N?>? ,0e , 只要 Nn > , 就有 e<)( nFd . 因此 NmNn >> , 时 , 设 nm ≥ , 则由 nm FF ? , 得 nm FP ∈ . e<≤? )( nnm FdPP . { }nP 是一 Cauchy 列 . 由 Cauchy 准则 , 得 { }nP 收敛于某一点 0P . 而对任意 mF , 由 mn > 后 mn FP ∈ , 如果 mFP ?0 , 则 0P 是 mF 的极 限点 . 而 mF 是闭集 , 包含其所有极限点 , 所以必须 mFP ∈0 , 即 I +∞ = ∈ 1 0 n nFP . 唯一性显然 . 上面定理中我们用有界闭集代替了 R 中闭区间 , 同样的结果对开复盖定理也成立 . 定义 : 设 2R?S , 集合 { } AUU ∈= aa 称 为 S 的开复盖 , 如果对每一个 A∈a , aU 是 2R 中开集 , 而且 U A US ∈ ? a a . S 称为紧集 , 如果对 S 的任意开复盖 { } AU ∈aa , 都可选出有 限个元素 { } k UU aa ,, 1 L , 使其亦构成 S 的开复盖 . 定理 4(开复盖定理 ): 2R 中有界闭集是紧集 . 证明 : 用反证法 . 设 F 是 2R 中有界闭集 , { }AUU ∈= aa 是 F 的一个开复盖 , 且 U 中不存在有限个元素复盖 F . F 有界 , 可设 F 包含在一个闭正方形 1D 中 . 将 1D 四等分 , 得四个小的闭正方形 , 其中 必有一个与 F 的交不能被 U 有限复盖 , 记之为 2D . 以此类推 , 则我们得一列闭正方形 { }nD , 使 nn DD ?+1 , )(21)( 1 nn DdDd =+ . 而 FDn I 不能被 U 中元素有限复盖 . 但 { }FDn I 是满足区间套原理的一列闭集 , 因此存在一点 0P , 使 { } I I+∞ = = 1 0 )( n n FDP . 特别 的 , FP ∈0 . 而 U 是 F 的开复盖 , 存在 UU ∈a , 使 aUP ∈0 . 但 aU 是开集 , 知存在 0>e , 使 ae UPB ?),( 0 , 而 ( ) 0→FDd n I , 因此 n 充分大后 , 总有 ( ) e<FDd n I . 而 7 FDP n I∈0 , 所以 ae UPBFDn ?? ),( 0I . 即 aU 就是 FDn I 的复盖 , 与 FDn I 不 能被 U 中有限个元素复盖的假设矛盾 . 定理 4 的逆亦成立 , 这里就不证了 . § 1.3 多元连续函数的性质 在现实生活中我们常说一个事物的结果受多种因素的影响 . 如果将这句话数字化 , 设 事物变量 y 由 n 种因素变量 nixi ,,1, L= 决定 , 我们就称这一事件发生在 n 维空间中 , 其 规律由映射 ),,(),,( 11 nn xxfyxx LL =→ 决定 . 我们得到 nR 中一个集合上的 n 元函数 . 我们希望将一元函数的微积分推广到 n 元函数上 . 下面以 2R 为例 . 设 2R?S , R→= Syxfz :),( 是 S 上二元函数 . 设 ),( 000 yxP = 是 S 的一个极限 点 ( SP ∈0 或 SP ?0 ), 称 SyxP ∈= ),( 趋于 0P 时 ),( yxf 趋于 A , 如果 0,0 >?>? de , 只要 SyxP ∈= ),( 且 d<?≤ 00 PP , 就有 e<? Ayxf ),( , 记为 Ayxf PP = → ),(lim 0 . 由于 0PP → 等价于对 ),( yxP = , 同时有 00 , yyxx →→ , 因此 ),(lim 0 yxf PP→ 也表示 为 ),(lim 0 0 yxf yy xx → → , 称为 x 和 y 的重极限 , 或称全面极限 . 例 : 令 ?? ??? = ≠= .0,0 ;0,),( 2 y yyxyxf 则 P 沿任意直线 kxy = 趋于原点时 , ),( yxf 趋于零 , 因而都存在且相等 . 但对 0≠k , P 沿 2kxy = 趋于 )0,0( 时 , ),( yxf 趋于 k . 因而重极限 ),(lim 0 0 yxf y x → → 不存在 . 利用 e -邻域 , 则重极限 Ayxf yy xx = → → ),(lim 0 0 可表示为对 A 的任意 e -邻域 ),( eAU , 存在 ),( 000 yxP = 的 d -空心邻域 ),( 00 dPU , 使得 ),()),(( 00 ed AUPUSf ?I . 定义 : 设 ),( yxf 是集合 S 上的函数 , 称 ),( yxf 在点 SyxP ∈= ),( 000 是连续的 , 如 果对 ),( 00 yxf 任意 e - 邻域 )),,(( 00 eyxfU , 存在 0P 的 d - 邻域 ),( 0 dPU , 使得 8 )),,(()),(( 000 ed yxfUPUSf ?I . 称 ),( yxf 在 S 上连续 , 如果 ),( yxf 在 S 的每一点 SP∈ 都是连续的 . 由定义不难看出 , 如果 0P 是 S 的孤立点 , 则任意 ),( yxf 在 0P 都是连续的 . 如果 0P 是 S 的极限点 , 则 ),( yxf 在 ),( 000 yxP = 连续的充 分必要条件是 ),(),(lim 00 0 0 yxfyxf yy xx = → → . 定理 1(Weierstrass 定理 ): 如果 ),( yxf 是 2R 中有界闭集 S 上连续函数 , 则 ),( yxf 在 S 上有界 , 并达到其上下确界 . 证明 : 令 { }SyxyxfM ∈= ),(),(sup , 则存在 S 中的序 列 ),( nnn yxP = , 使得 Myxf nn n = +∞→ ),(lim . 由 S 有界 , nP 是有界序列 , 因而有收敛子列 . 不妨设 ),( 000 yxPPn =→ . S 是闭集 , 因而 SP ∈0 . 但 ),( yxf 在 0P 连续 , 所以 必须 ),(),(lim 00 0 yxfyxf nn PPn = → . 而极限是唯一的 , 得 ),( 00 yxfM = . ),( yxf 有上界并达到 上确界 . 定义 : 设 ),( yxf 是集合 S 上的函数 , 称 ),( yxf 在 S 上一致连续 , 如果 0,0 >?>? de , 只要 SyxPSyxP ∈=∈= ),(,),( 222111 且 d<? 21 PP , 就有 e<? ),(),( 2211 yxfyxf . 与一个变元相同 , 如果 ),( yxf 在 S 上一致连续 , 则必连续 , 但反之并不成立 . 定理 2(Cantor 定理 ): 有界闭集上的连续函数必一致连续 . 证明 : 证明与一元函数相同 . 用反证法 . 设 ),( yxf 在 S 上不一致连续 , 则存在 00 >e , 使得对任意 nn 1=d , 存在 SyxP nnn ∈= ),( , 和 SyxQ nnn ∈′′= ),( , 满足 nQP nn 1<? . 但 0),(),( e≥′′? nnnn yxfyxf , 由 S 有界 , 因而 { } { }nn QP , 都是有界序列 , 存在收敛子列 0PP kn → . 而 S 是闭集 , 所以必有 SP ∈0 . 但 9 000 →?+?≤? PPPQPQ kkkk nnnn , 因而 0PQ kn → . 而 ),( yxf 在 0P 连续 , 因此 0),(),( →′′? kkkk nnnn yxfyxf , 与 0),(),( 0 >≥′′? ennnn yxfyxf 矛盾 . 定理 3( 介值定理 ): 设 ),( yxf 在 S 上连续 , 且 S 是道路连通的 , 则对任意 SQSP ∈∈ , , 及 )](),([ QfPfc ∈ , 存在 SQ ∈~ , 使得 ( ) cQf =~ . 证明 : S 道路连通 , 则存在 S 中的连续曲线 ( ))(),(: tytxt →g , 使 得 QP == )1(,)0( gg , 因此 ))(( tft g→ 是 ]1,0[ 上连续函数 . 而 ))]1(()),0(([ gg ffc ∈ , 由 一元连续函数的介值定理 , 知存在 ]1,0[0 ∈t , 使得 ctf =))(( 0g . 令 )(~ 0tQ g= , 则 ( ) cQf =~ . 容易看出连续函数经加 、 减 、 乘 、 除和复合后仍是连续函 数 . 特别的 , 我们常用的用一 元初等函数经简单运算得到的多元函数都是连续的 . 设 2],[],[ R?×= dcbaD 是 2R 中矩形区域 , ),( yxf 是 D 上连续函数 . 容易看出 , 固 定任意 ],[0 bax ∈ 后 , ),( 0 yxf 是 y 在 ],[ dc 上的连续函 数 . 同样对任意 ],[0 dcy ∈ , ),( 0yxf 是 x 在 ],[ ba 上的连续函数 . 但反之并不成立 . 例 : 令 ?? ??? = ≠+= ).0,0(),(,0 );0,0(),(,),( 22 yx yxyx xyyxf ),( yxf 对 x 和 y 都是连续的 , 但 ),(lim 0 0 yxf y x → → 并不存在 . 因此作 为二元函数 ),( yxf 在 )0,0( 点不连续 . 设 mn TS RR ?? , , 映射 TSF →: 称为向量函数 . 利用 nR 的坐标 ),,( 1 nxx L 和 mR 的坐标 ),,( 1 myy L , 则 F 可表示为 10 ?? ??? = = ),,( ),,( 1 111 nmm n xxfy xxfy L LLLLLLL L . 其由 m 个在 S 上定义的 n 元函数组成 . 利用 e -邻域 , 向量函数的连续性可表示为设 SP∈ , 称 F 在 P 点连续 , 如果 0,0 >?>? de , 使得 )),(()),(( ed PFUSPUF ?I . 特别的 , 如 果我们在定义中用长方形 e -邻域 , 则不难看出 , 向量函数 )),,(,),,,((),,( 1111 nmnn xxfxxfxx LLLL → 连续的充分必要条件是其每一个分量函数 ),,(),,( 11 nin xxfxx LL → 都是连续的 . 对向量函数我们同样有 : 有界闭集上连续的向量函数有界 , 并且一致连续 . 习题 1． 设 nx 是 mR 中的点列 , 若它有极限 , 证明 : nx 有界 . 2． 设 iim elll q>=<=∈ ,,1,R 为 l与坐标向量 ),,2,1( miei L= 的夹角 , 求证 : )cos,,cos,(cos 21 ml qqq L= . 3． 对任意 myx R∈, , （ 1） 哥西不等式 yxyx ≤),( 中等号何时成立 ？ （ 2） 三角不等式 yxyx +≤+ 中等号何时成立 ？ 4． 求下列集合 ? 的边界 ?? , 内部 °? 和闭包 ? : （ 1） { }1,10),(,2 ?>+<<=??? xxyyxR ； （ 2） { }pqqq 20,10)sin,cos(,2 <<<<=??? rrrR ； （ 3） { }是无理数或 yxyx ),(,2 =??? R ； （ 4） { } 0,0,,, 00 >≤?<∈=??? ddxxxxx mm RR ； 11 （ 5） { }1,, =∈=??? xxx mm RR . 5． 证明 : （ 1） °°?° BABA IU )( ； （ 2） BABA II ? ； 并举例说明等号不成立 . 6． 对任意 mE R? , 求证 E? 是闭集 . 7． 设 sms BAmms ???>?≤≤ RR ,,1,11 , 则 mBA R?× . 证明 : （ 1） 若 BA, 是开集 , 则 BA× 是开集 . （ 2） 若 BA, 是闭集 , 则 BA× 是闭集 . 8． 叙述下列定义 : （ 1） Ayxf y ax = +∞→ → ),(lim ； （ 2） +∞= → ),(lim ),(),( 00 yxf yxyx ； （ 3） Ayxf y x = ?∞→ +∞→ ),(lim ； （ 4） )(),(lim m x xAyxf R∈= +∞→ . 9． 对下列函数 ),( yxf , 证明 ),(lim )0,0(),( yxf yx → 不存在 : （ 1） 22 2 ),( yx xyxf += ； （ 2） ( )2 22 3224 23 ),( yx xyyxxyxf + ++= ； （ 3） yx yxyxf ++= 2 33 ),( ； （ 4） ( )3 42 44 ),( yx yxyxf + = . （ 5） 33 22 ),( yx yxyxf += . 10． 叙述并证明 ),(lim yxf y x ?∞→ +∞→ 存在的哥西收敛准则 . 11． 证明 [ ])()(lim ygxf y x + ?∞→ +∞→ 存在的充要条件是 : )(lim xf x +∞→ 与 )(lim yg y ?∞→ 同时存在 . 12． 指出下列函数的本性不连续点 , 并说明理由 : （ 1） 22 22 yx yx + ? ； （ 2） yx x + ； （ 3） 33 yx yx + + ； （ 4） 1)sin(sin ?yx ； （ 5） y x e ? ； （ 6） yx 1 || . 13． 设 ),()( lmCxf RR∈ , 对任意实数 c , 作集合 12 { } { }cxfxFcxfxE ≥=>= )(,)( . 求证 : E 是 mR 中的开集 , F 是 mR 中的闭集 . 14． ),( yxf 定义在 ? 内 , 若 ),( yxf 对 x 连续 , 对 y 满足李普希兹条件 , 即对 ? 中任意两点 ),(),,( yxyx ′′′ 有 yyLyxfyxf ′′?′≤′′?′ ),(),( , 其中 L 为常数 . 求证 ),( yxf 在 ? 内连续 . 15． 设 E 是 mR 中的有界闭集 . 证明 : （ 1） 对给定的 ma R∈ , 存在 Ex ∈0 使得 ),(),( 0xaEa rr = . （ 2） 存在 Eyx ∈00, , 使得 ),()( 00 yxEd r= . 16． A是 mm× 矩阵 , 0)(det ≠的行列式AA . 求证 : 存在正常数 a , 使得对任意 mx R∈ 有 xAx a≥ . 17． 设有二元数值函数 ),( yxf 在圆周 22020 )()(: RyyxxC =?+? 上连续 . 证明 : ),( yxf 在 C 上达到上确界 M 和下确界 m , 并且它取属于 ),( Mm 所有值至少两次 .