1 第 七 章 重积分 本章主要讨论多元函数的积分学 . 对多元函数来说 , 积分区域是多样的 . 就二元函数而 言 , 积分域可以是平面内的区域或平面内的曲线 . 对三元函数来说 , 积分域可以是空间的立 体 , 空间的曲线和曲面等 . 通过以下各章的学习 , 我们会发现这些积分定义中的思想是相同 的 , 但各种积分的计算则有较大的差别 . 读者在多元积分学中应在掌握各种积分的定义的基 础上 , 熟练掌握各种积分的计算方法 . § 6.1 重 积分的定义 本节中我们主要详细介绍二 重 积分的定义 , 读者不难利用本节的方法 , 自己给出 n )3( ≥n 重 积分相应的定义 . 1.1 区域的面积 为了将定积分推广至二元函数在平面区域内的积分 , 首先必须解决平面区域的面积的 定义问题 . 回忆一下 , 在初等数学中 , 我们能求出多边形区域的面积 . 在定积分中 , 我们会求曲边 梯形的面积 . 设 )(xfy = 在 ],[ ba 连续 , 并且对一切 ],[ bax ∈ 有 0)( >xf . 则由 )(xfy = , ],[ bax ∈ , x 轴 , ax = 及 bx = 围成了一个曲边梯形 Q . 从定积分的定义我们可以看出 , Q 的面积实际上是 Q 的所有外接多边形的面积的下确界 , 同时它也是 Q 的所有内接多边形 的面积的上确界 . 以上的讨论启发我们给出以下定义 . 设 A是一个多边形 , 记 )( Am 为 A的面积 . 定义 1: 设 E 是平面内的一个点集 , 记 { } { }.EBBB AEAA ?= ?= 是多边形且 是多边形且 ； m M 若 )(sup)(inf BmAm BA mM ∈∈ = , 则称 E 是可求 面积的 . 上式中的公共值称为 E 的面积 , 记作 )( Em . 若一个区域 D 是由逐段光滑的曲线围成时 , 则 D 是可求面积的 . 事实上 , 我们可以对 D 分成一些曲边梯形的并 , 从而转化为定积分的问题 . 另外 , 设非负函数 )(xfy = , ],[ bax ∈ 是 ],[ ba 上一个不可积的函数 . 记 2 { }bxaxfyyxE ≤≤≤≤= ),(0),( , 则 E 是没有面积的 . 因为 )(xf 在 ],[ ba 上达布上和的下确界 )(inf Am A M∈ = , 而达布下和的上 确界 )(sup Bm B m∈ = . 由 )(xf 的不可积我们推出 )(sup)(inf BmAm BA mM ∈∈ > . 从而说明了 E 是不可求面积的 . 从面积的定义中可以看出 , 一个区域 D 是有面积的充要条件是 D 的边界 D? 是有面积 的 , 并且 0)( =?Dm . 1.2 二 重 积分的定义 设 D 是平面内一个可求面积的有界闭区域 , ),( yxfz = 是 D 上的一个非负连续函数 . 从几何上看 , Dyxyxfz ∈= ),(),,( 是空间的一块曲面 . 它确定了一个以 D 为底的曲顶柱 体 V . 现在我们来求它的体积 v . 我们下面利用定积分的思想 . 我们首先用光滑曲线将 D 分成 n 个小块闭区域 1D? , nDD ?? ,,2 L , 我们称给了 D 的一个分划 . 由于 D 可求面积 , 从而每个 ),,2,1( njD j L=? 也可求面积 , 记它的面积为 js? . 从 D 的这个分划 , 我们得到了 n 个以 ),( yxfz = , jDyx ?∈),( 为顶 , 以 jD? 为底的曲顶柱体 jV . 在 jD? 上任取一点 ),( jj hx , 我们得到了 jV? 体积的一个近似值 jjjf shx ?),( . 由此我们得到 v 的一个近似 值 ∑ = ?≈ n j jjjfv 1 ),( shx . 记 { }的直径j nj D?= ≤≤1 maxl , 当 0→l 时若 ∑ =→ ? n j jjjf 10 ),(lim shx l 存在 , 则我们便求出了 V 的体积 . 由此我们有以下定义 . 定义 2: 设 D 是平面内可求面积的闭区域 , ),( yxfz = 是定义在 D 上的函数 . 用光滑 曲线族将 D 作一分划 nj DDD ??? ,,,,1 LL , 记 jD? 的面积为 js? 和 3 { }的直径j nj D?= ≤≤1 maxl . 在每个 jD? 上任取一点 ),( jj hx , 作和数 ∑ = ?= n j jjjfI 1 ),( shx . 如果不管分划及 ),( jj hx 如何选取 , 当 0→l 时 I 的极限存在 , 则称 ),( yxfz = 在 D 上可 积 , 并称此极限为 ),( yxf 在 D 内的二 重 积分 . 记为 ??? ? ??? ? ?= ∑∫∫ =→ n j jjj D fdxdyyxf 10 ),(lim),( shx l . ),( yxf 称为被积函数 , D 称为积分区域 . 用 de ? 语言可以将以上定义更加精确化 . 称 Dyxyxfz ∈= ),(),,( 在 D 上可积 , 若 存在某定数 A, 对任意的 0>e , 存在 0>d , 使得对 D 的任何分划 nj DDD ??? ,,,,1 LL , 对任意的 jjj D∈),( hx , 只要 { } dl <?= ≤≤ 的直径j nj D 1 max 时 , 就有 eshx <??∑ = Af n j jjj 1 ),( . 读者不难自己给出 n )3( ≥n 重 积分的定义 . 习题 1: 叙述三 重 积分的定义 . § 6.2 重 积分的存在性与性质 在本节中我们先讨论 重 积分的存在性问题 , 然后再讨论 重 积分的一些基本性质 . 2.1 重 积分的存在性 我们这里只讨论二 重 积分 . 设 D 是平面内具有面积的区域 , ),( yxfz = 是 D 上的一个函数 . 我们首先注意到 : 若 ),( yxf 在 D 无界 , 则它在 D 的二 重 积分一定不存在 . 该事实的证明完全与定积分中相应 性质的证明类似 . 因此我们下面总假定所论及的函数是有界的 . 对 D 的任何一个分划 nDD ?? ,,1 L , 相应地 ),( yxfz = 在每个 jD? 上有上确界 jM , 4 下 确界 jm , 及振幅 jjj mM ?=w . 从而我们得到了关于该分划的达布上和及下和 ∑ = ?= n j jjMDfS 1 ),( s , ∑ = ?= n j jjmDfs 1 ),( s . 记 ),(inf DfSI = , ),(sup DfsI = . 以上的上下确界是对 D 的所有分划取的 , 则如同定 积分中相应性质 , 我们可得到以下的定理 . 定理 1: 设 D 是平面内可求 面积的区域 , ),( yxfz = 在 D 内有界 . 则以下命题等价 : 1） ),( yxfz = 在 D 内可积 . 2） 0>?e , 0>?d , 对 D 的任何分划 nDD ?? ,,1 L , 只要 { }的直径j nj DD ?= ≤≤1 max)(l d< , 就有 esw <?=? ∑ jjDfsDfS ),(),( . 3） 0>?e , ? D 的分划 nDD ?? ,,1 L , 使得 e<? ),(),( DfsDfS . 4） II = . 由此我们可以得到以下的结果 . 定理 2: 设 D 是平面内可求面积的区域 , ),( yxfz = 在 D 连续 . 则 ),( yxfz = 在 D 可 积 . 2.2 积分的性质 定理 3: 设 D 是平面内可求面积的闭区域 , ),(),,( 21 yxgzyxfz == 在 D 可积 . 则以 下结论成立 : 1） 对任意的常数 ba, , bgaf + 在 D 可积且 ∫∫∫∫∫∫ +=+ DDD gdxdybfdxdyadxdybgaf )( . 2） 在 D 上若 ),(),( yxgyxf ≤ , 则 5 ∫∫∫∫ ≤ DD dxdyyxgdxdyyxf ),(),( . 3） ),( yxf 在 D 内可积且 ∫∫∫∫ ≤ DD dxdyyxfdxdyyxf ),(),( . 4） 积分第一中值定理 : 若 ),( yxf 在 D 内连续 , 则 D∈? ),( hx , 使得 )(),(),( Dmfdxdyyxf D hx=∫∫ . 5） 设 21,DD 是可求面积的闭区域 , 且 ?=°°= 2121 , DDDDD IU . 则 f 在 D 可积 的充要条件是 f 在 21,DD 可积 , 且 ∫∫∫∫∫∫ += 21 ),(),(),( DDD dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf . 以上定理的证明可仿照定积分的证明给出 , 请读者自行补出 . § 6. 3 化 重 积分为累次积分 3.1 化二 重 积分为累次积分 在利用定积分计算旋转体的体积时 , 我们所用的方法是对垂直该直线的截面积进行积 分的 . 从二重积分的几何意义 , 我们不难得到以下的计算方法 . 定理 1: 设 ),( yxf 在矩形 ],[],[ dcbaD ×= 可积 , 并且对任意的 ],[ bax ∈ , 积分 )( xI ∫= dc dyyxf ),( 存在 . 则 ∫∫∫∫∫ == dcbaba D dyyxfdxdxxIdxdyyxf ),()(),( . 证明 : 对 ],[ ba 及 ],[ dc 分别作分划 . , 10 10 dyyyc bxxxa m n =<<<= =<<<= L L 由此我们得到小矩形 ),,2,1,,,2,1(],,[],[ 11 mjniyyxx jjiiij LL ==×=? ??s . 记 ),( yxf 在 ijs? 上的上下确界分别为 ijM 及 ijm , 则对 ],[ 1 iii xx ?∈?x , 我们有 jij y y ijij yMdyyfym j j ?≤≤? ∫ ?1 ),(x , 6 从而有 ∑∫∑ == ?≤=≤? m j jiji d c i m j jij yMIdyyfym 11 )(),( xx 及 ∑∑∑∑∑ = === = ??≤?≤?? n i m j ijij n i ii n i m j ijij xyMxIxym 1 111 1 )(x . 注意到当 { } 0,max 1 1 →?? ≤≤ ≤≤ ji mj ni yx 时 , 上面不等式的两端都趋向于 ∫∫ D dxdyyxf ),( . 而由定积分 的定义知 ∑ = ? n i ii xI 1 )(x 趋于 ∫ba dxxI )( . 定理 得证 . 显然 , 当 ),( yxfz = 在 ],[],[ dcbaD ×= 可积 , 且对任意的 ],[ dcy ∈ , =)( yI ∫ba dxyxf ),( 存在时 , 我们有 ∫∫∫∫ = badc D dxyxfdydxdyyxf ),(),( . 特别地 , 当 ),( yxfz = 在 ],[],[ dcbaD ×= 连续时 , 我们有 ∫∫∫∫∫∫ == badcdcba D dxyxfdydyyxfdxdxdyyxf ),(),(),( . 下面我们进一步讨论夹在两条平行于坐标轴的直线之间的区域的二重积分的计算问题 . 定理 2: 设 { })()(,),( 21 xyxbxayxD jj ≤≤≤≤= , 其中 )(1 xj 与 )(2 xj 在 ],[ ba 连 续 . ),( yxf 在 D 可积 , 且对任意的 ],[ bax ∈ , ∫= )( )( 2 1 ),()( x x dyyxfxI j j 存在 . 则 ∫∫∫∫ = )( )(21 ),(),( xxba D dyyxfdxdxdyyxf j j . 证明 : 任取一矩形 ],[],[1 dcbaD ×= , 使得 1DD ? . 定义 ?? ? ∈ ∈= .\),(,0 ,),(),,(),(~ 1 DDyx Dyxyxfyxf 由二重积分的性质知 ),(~ yxf 在 1D 可积 , 且对任意的 ],[ bax ∈ , )(),(),()( )( )( )( )( 1 2 2 1 1 xIdyyxfdyyxfxI d x x x x c d c =?????? ++== ∫∫∫∫ j j j j . 7 由定理 1, 我们有 .),( ),(~),(~),( )( )( 2 1 1 ∫∫ ∫∫∫∫∫∫ = == x x b a d c b aDD dyyxfdx dyyxfdxdxdyyxfdxdyyxf j j 定理证毕 . 如果区域 { })()(,),( 21 yxydycyxD yy ≤≤≤≤= , 其中 )(1 yy 与 )(2 yy 是 ],[ dc 上的连续函数 . ),( yxf 在 D 可积 , 且对任意的 ],[ dcy ∈ , ∫= )( )( 2 1 ),()( y y dxyxfyI y y 存在 . 则 ∫ ∫∫∫ = dc yy D dxyxfdydxdyyxf )( )( 2 1 ),(),( y y . 若一个区域能分成若干个以上我们讨论过的区域 , 则二重积分的计算即可归结为定积 分的计算 . 例 1: 求 ∫∫ ? D dxdyyx 224 , 其中 D 是由 xyy == ,0 和 1=x 所围成的区域 . 解 : ∫ ∫∫∫ ?=? 1 0 0 2222 44 x D dyyxdxdxdyyx .32331323 2arcsin242 1 0 2 1 0 0 222 ??? ? ??? ? += ??? ? ??? ? += ?? ? ?? ? +?= ∫ ∫ == pp dxx dxxyxyxy y xy 显然 , 以上积分也可以化为 ∫ ∫ ?1 0 1 224 y dxyxdy . 但 读者不难发现如果采取这种积分 顺序 , 计算是十分复杂的 . 由此可见 , 积分顺序的选取对积分的计算有很大的影响 . 例 2: 求由 0,0,1,, ===++== yxyxyxzxyz 所围立体的体积 . 解 : 设 { }xyxyxD ?≤≤≤≤= 10,10),( , 则此立体的体积可看为底为 D 的两个曲 顶分别为 yxz += 及 xyz = 的柱体的体积之差 . [ ] [ ] 274)()( 1 0 1 0 =?+=?+= ∫ ∫∫∫ ?x D dyxyyxdxdxdyxyyxV . 例 3: 用两种不 同的顺序将二重积分 ∫∫= D dxdyyxfI ),( 化为累次积分 , 其中 D 是由 2,,0 3 =+== yxxyy 所围 . 8 解 : 如果先对 y 积分 , 则上限函数是分段函数 , 因此有 ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ? ? = += 1 0 2 2 1 2 0 1 0 0 3 1 3 .),( ),(),( y y xx dxyxfdy dyyxfdxdyyxfdxI 例 4: 计算积分 ∫ ∫= 1 0 sinx x dyy ydxI . 解 : 由于 y ysin 没有初等原函数 , 所以我们不能直接计算 . 设 D 是由 xy = 和 xy = 在第一象限所围成的区域 , 则 I 是 y yz sin= 在 D 的二重积分 . 从而我们有 1sin1)(sinsin 1 0 21 0 2 ?=?== ∫∫ ∫ dyyyy ydxy ydyI y y . 由本题可知正确选择积分顺序的重要性 . 3.2 化三 重 积分为累次积分 类似于二重积分的讨论 , 我们有以下三重积分的计算方法 . 设空间闭 区域 V 是由 xy平面的可求面积的闭区域上定义的两块曲面所确定的 , 即 { }),(),(,),(),,( 21 yxzyxDyxzyxV jj ≤≤∈= . 其中 ),(1 yxj 及 ),(2 yxj 在 D 连续 , ),,( zyxf 在 V 可积 , 且对任意的 Dyx ∈),( , ∫= ),( ),(21 ),,(),( yx yx dzzyxfyxI jj 存在 . 则 ∫∫∫∫∫∫ = ),( ),(2 1 ),,(),,( yxyx DV dzzyxfdxdydxdydzzyxf jj . 如果空间区域 V 是介于两个平面之间 , 即 { })(),(,),,( zDyxdzczyxV ∈≤≤= , 其中 )(zD 是平面 zz = 与 V 的截面 , 且可求面积 . ),,( zyxf 在 V 可积 , 且固定 z 时在 )(zD 二重可积 , 则 ∫∫∫∫∫∫ = )( ),,(),,( zD d c V dxdyzyxfdzdxdydzzyxf . 9 例 1: 计算三重积分 ∫∫∫ ++= V dxdydzzyxI 2)( , 其中 1: 2 2 2 2 2 2 ≤++ czbyaxV . 解 : 从积分区域的对称性及函数的奇偶性可以看出 0=== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ VVV yzdxdydzxzdxdydzxydxdydz , 所以 ∫∫∫ ++= V dxdydzzyxI )( 222 . 我们先计算 ∫∫∫ V dxdydzx 2 . 注意到平面 xx = 与 V 的截面 )(xD 为 1 11 2 2 2 2 2 2 2 2 ≤ ??? ? ??? ? ?+ ??? ? ??? ? ? a xc z a xb y , 这个椭圆的面积为 ?? ? ? ??? ? ? 2 2 1 axbcp , 我们有 .1541 32 2 2 )( 22 bcadxaxbcx dydzdxxdxdydzx a a xD a a V pp =?? ? ? ??? ? ?= = ∫ ∫∫∫∫∫∫ ? ? 类似地我们有 cabdxdydzy V 32 15 4 p=∫∫∫ 及 .154 32 abcdxdydzy V p=∫∫∫ 所以 ).(154 222 cbaabcI ++= p 例 2: 计算重积分 ∫∫∫ ++= V dxdydzzyxI )( , 其中 V 是由曲面 222 yxz += 与 3222 =++ zyx 所围成的区域 . 解 : 如图 , 两曲面的交线为 1=z 平面上的 圆 222 =+ yx . 由对称性 0== ∫∫∫∫∫∫ VV ydxdydzxdxdydz . 所以 z 3 1 O 2 y x 10 .35)3(3 1 21 0 2 )( 3 1 )( 1 0 ppp =?+= += = ∫∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫ dzzzdzz zdxdydzzdxdydz zdxdydzI zDzD V § 6. 4 重 积分的变量替换 4.1 二 重 积分的变量替换 大家知道 , 变量替换在定积分计算中起着非常重要的作用 . 设 )(xf 在 ],[ ba 连续 , )(tx j= 在 ba ≤≤ t 连续可微 、 严格递增 , 且 ba == )(,)( bjaj , 则我们有 ∫∫ ′= ba jj dtttfdxxfba )())(()( . （ 1） 我们当时是用 Newton-Lebnitz 公式给了上式的证明 . 由于 二 重 积分没有相应的公式 , 因 此我们必须用别的方法来推导 二 重 积分的变量替换公式 . 为此我们对定积分的变量替换公 式再给一个证明 . 显然 , 在假定下 （ 1） 两边的积分是存在的 . 为此我们只要证明它们是相等的即可 . 将 [ ]ba, 作分割 ba =<<<= nttt L10 , 相应地得到 ],[ ba 的一个分割 bttta n =<<<= )()()( 10 jjj L . 由于 iiiiiii tttxxx ?′=?=?=? ?? )()()( 11 xjjj , 令 )( ii xjh = , 我们得到了等式 ( )∑∑ == ?′=? n i iii n i ii tfxf 11 )()()( xjxjh . 由 )(tj 的一致连续性 , 当 { } 0max 1 →?= ≤≤ ini tl 时 , 有 { } 0max 1 →? ≤≤ ini x . 从而当 0→l 时即得 到了 （ 1） . 从这种证明的本质可以看出 , 所谓积分的变换无非是对函数乘上变换前后的区间长度 的比例因子 （ 即 )(tj ′ ） 后在新区 间的积分 . 根据这种思想 , 我们必须找出平面变换下面积变 化的比例因子 . 设 D 和 G 为逐段光滑的简单闭曲线所围成的区域 , 从而 D 和 G 均可求面积 . 再设 ?? ? = = ),( ),(: vuy vuxT y j Dvu ∈),( 11 是 D 到 G 的一个一一对应 , 且在 D 上有二阶连续偏导数 . 记 vu vuvuJ ? ? ? ? ? ? ? ? = yy jj ),( 为 T 的 Jacobi 行列式 , 再假定在 D 内 0),( ≠vuJ . 我们有以下引理 . 引理 1: 在以上假定下 , ∫∫= D dudvvuJGm ),()( . 证明 : 设 s 为 D 内的一闭正方形 , 左下顶点为 ),( 00 vu , 边长为 h , 经 T 映为 G 内的一 曲边四边形 )(sT . 我们先证明 ∫∫= s s dudvvuJTm ),())(( . (u0,v0) (x0, y0) 先设 0),( >vuJ . 记 s 的边界为 L , )(sT 的边界为 Γ , Γ 可由四个参数方程写出 . 由 定积分中求面积的方法我们有 ∫ ?= L ydxxdyTm 21))(( s , 其中 L 的方向取正向 . 将每段的参数方程代入得 .),(),(),(),( ),(),(),(),( ),(),(),(),( ),(),(),(),())((2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∫ ∫ ∫ ∫ + + + + ?? ? ?? ? ? ?? ? ?+ ?? ? ?? ? ? +?+? ? +?++ ?? ? ?? ? ? +?+? ? +?++ ?? ? ?? ? ? ?? ? ?= v hv u hu hv v hu u dvv vuvuv vuvu duu hvuhvuu hvuhvu dvv vhuvhuv vhuvhu duuvuvuu vuvuTm jyyj jyyj jyyj jyyjs 对上面的八个积分两两配对并应用微积分基本定理 , 如 12 . ),(),(),(),( ),(),(),(),( 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dudvvuuv dvvu vuvuu vuv vudu duu vuvuu hvuhvu hu u hv v hu u ∫∫ ∫ ∫ ∫ ?? ? ?? ? ?? ?+ ? ? ? ??= ?? ? ?? ? ?? ?+ ? ? ? ??= ?? ? ?? ? ? ?? ? +?+? + + + s yjyj yjyj yjyj 对所余积分同样处理 , 得到 ,2 ))((2 22 22 dudvuvvu dudvvuvududvvuvu dudvvuuvdudvvuuvTm ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?= ?? ? ?? ? ?? ?+ ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ?+ ? ? ? ?+ ?? ? ?? ? ?? ?+ ? ? ? ?+? ? ? ?? ? ?? ?+ ? ? ? ??= s ss ss yjyj jyjyyjyj jyjyyjyjs 即 ∫∫= s s dudvvuJTm ),())(( . 当 0),( <vuJ 时 , 类似地我们有 ∫∫?= s s dudvvuJTm ),())(( . 总之有 ∫∫= s s dudvvuJTm ),())(( . 由区域面积的定义 , 我们知 D 的面积是 D 内接多边形面积的上确界 . 因此我们可以用 平行坐标轴的 直线网 , 使得其间隔为 h 来对平面进行分划 , 从而得到一类特殊的内接多边形 的逼近 D . 而这些内接多边形可分成有限多个正方形 , 利用上面所证结果 , 即可证明引理 . 从引理 1 及积分中值定理可以看出 )( ))((lim),( 0)(00 s s s m TmvuJ m → = . 即变换 T 的 Jacobi的绝对值就是面积变化的比例系数 , 从而我们有以下定理 . 为了方便起见 , 以下所论及的区域总是由有限条分段光滑闭曲线所围 的闭区域 . 定理 1: 设变换 ?? ? = = ),( ),(: vuy vuxT y j Dvu ∈),( 将 D 一一地变为 G , 且 yj , 在 D 有连续的二阶偏导数 , 在 D 内 0),( ),(),( ≠??= vu yxvuJ . 再 13 设 ),( yxf 在 G 连续 , 则 ∫∫∫∫ = DG dudvvuJvuvufdxdyyxf ),()),(),,((),( yj . 证明 : 在定理的假设下以上等式两边的积分都存在 . 以下我们证明等号成立 . 为此我们 对 D 用光滑曲线族作一分划 nDDD ??? ,,, 21 L , 经过变换 T 相应地得到 G 的一个分划 nGGG ??? ,,, 21 L , 其中 )( ii DTG ?=? . 由二重积分的中值定理及引理 1, 在 jD? 中存 在 ( )ii vu , , 使得 ( ) )(,)( iiii DmvuJGm ?=? . 在 iG? 中取 ( ) ( ) ( )( )iiiiii vuvuyx ,,,, yj= , 我们得到以下等式 ( ) ( ) ( )( ) ( ) )(,,,,)(, 1 iiiiiii n i iii DmvuJvuvufGmyxf ?=?∑ = yj . { }的直径i ni D?= ≤≤1 maxl , 则 { } 0max 1 →? ≤≤ 的直径i ni G , 最后得到 ∫∫∫∫ = DG dudvvuJvuvufdxdyyxf ),()),(),,((),( yj . 定理证完 . 例 1: 计算积分 ∫∫ += D dxdyyxI )( 22 , 其中 D 是由双纽线 ( ) ( ) )0(222222 ≥?=+ xyxayx 围成的区域 . 解 : 令 qq sin,cos ryrx == , 双纽线 方程 ? ? ?? ? ? ≤≤?= 442cos pqpqar . 由于 区域和被积函数关于 x 对称 , 故 42 0 2 4 4 0 2 4 4 0 2cos 0 2 8cos42cos22 ad adardrrdI a pqqqqq ppp q ===?= ∫∫∫ ∫ . 例 2: 计算二重积分 ∫∫ D xydxdy, 其中 D 是抛物线 yxyxxyxy 4,,4, 2222 ==== 所围成的区域 . 解 : 作变换 yxvxyuT 22 1 ,: ==? , 则它将 D 一一地映为正方形区域 14 41,41:)(1 ≤≤≤≤? vuDT , y v 4 D T –1(D) 1 0 x 0 1 4 u 且 32 2 ),( ),( 2 2 2 2 ?= ? ? =?? y x y x x y x y yx vu . 由于 1 ),( ),( ),( ),( = ? ?? ? ? yx vu vu yx , 所以 3 1 ),( ),( = ? ? vu yx . 又 xyyxxyuv =?= 22 , 所以 4 75 3 1 3 1 4 1 4 1 )(1 === ∫∫∫∫∫∫ ? vdvudududvuvxydxdy DTD . 例 3: 计算二重积分 ∫∫ + D dxdyyxxy , 其中 D 是由抛物线 1,0,0 =+== yxyx 所围成 的区域 . 解 : 作变换 qq 22 sin,cos: ryrxT == , 它 把区域 10,20: <<<< rG pq 一一地映为区域 °=? D . qqqqq qqqq cossin2cossin2sin sincos2cos),( 2 2 rrrrJ =?= . 所以 y 1 D 0 1 x 15 .20 2sin 20 1 2 1 2 1 20 1 )3( 2 3 2 3 5 2 2 3, 2 3 5 2sincos2 sincos2sincos 1 0 2 3 2 0 22 2 1 p p p qqq qqqqq p =?=??????Γ??????Γ=Γ ??????Γ??????Γ = ??????=?= ?=+ ∫∫ ∫∫∫∫ Bdrrd drdrrdxdyyxxy GD 又解 : 在变换 qq 22 sin,cos ryrx == 中 , 若令 q2sin, == vru , 由此演化成变换 uvyvuxT =?= ),1(: , 它把区域 10,10: <<<< vuG 一一地映为区域 °=? D . .1),( uuv uuvuJ =??= 所以 .2023,2352)1( )1( 1 0 2 1 2 11 0 2 3 p =? ? ?? ? ?=??= ??=+ ∫∫ ∫∫∫∫ Bdrvvduu ududvuvvdxdyyxxy GD 例 4: 证明 Β 函数与 Γ 函数的联系公式 : )0,0()( )()(),( >>+Γ ΓΓ= qpqp qpqpB . 证明 : 已知 ∫+∞ ??=Γ 0 1)( dxexp xp 有递推公式 )()1( ppp Γ=+Γ . ∫ ?? ?=Β 10 11 )1(),( dxxxqp qp 有递推公式 ).,())(1()1,1( qpqpqp pqqp Β+++=++Β 利用递推公式 , 只需对联系公式当 1,1 >> qp 证明即成 . 为此我们考虑第一象限上非负函 数 )(11),( yxqp eyxyxf +???= . 和三个闭区域 RyxDRyxyxDRyxD ≤≤≤+≥≥≤≤ ,0:;,0,0:;2,0: 321 （ 如图 ） . 由 二重积分的几何意义 , 显然有 y D2 D3 D1 0 R/2 R x 16 ∫∫∫∫∫∫ ≤≤ 321 ),(),(),( DDD dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf . 在 31,DD 上的二重积分可化为两个定积分的积 : ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ????+??? ????+??? = = R yqR xp D yxqp R yq R xp D yxqp dyeydxexdxdyeyx dyeydxexdxdyeyx 0 1 0 1)(11 2 0 12 0 1)(11 . , 3 1 2D 上的积分作变换 uJuvyvuxT ==?= ,),1(: , 所以 .),( )1( )1( 0 1 0 11 0 11 0 1111 0 )(11 2 ∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ??+ ??+?? ????++??? Β= ??= ?= R uqp R uqppq R pquqp D yxqp dueuqp dueudvvv duvveudvdxdyeyx 因此我们得到不等式 .),( 0 1 0 1 0 12 0 12 0 1 ∫∫∫∫∫ ??????+???? ?≤Β≤? R yqR xpR uqp R yq R xp dyeydxexdueuqpdyeydxex 上式中令 +∞→R , 即得 )()()(),()()( qpqpqpqp ΓΓ≤+ΓΒ≤ΓΓ , 或 )1,1()( )()(),( >>+Γ ΓΓ= qpqp qpqpB . 4.2 n 重 积分的变量替换 设 U 是 )2( ≥nnR 中由分片光滑的边界围成的有界闭区域 , 映射 ),,(,),,,(: 1111 nnnn xxfyxxfyT LLL == 将 U 一一对应地映到闭区域 nV R? , 且 nyy ,,1 L 都具有连续的二阶偏导数 , T 的 Jacobi 行列式不等于零 . 我们有以下的定理 . 定理 2: 设映射 T 及 VU , 均如上所设 , ),,( 1 nyyf L 是 V 上的连续函 数 , 则有 { { .),,( ),,()),,(,),,,(( ),,( 1 1 1 111 11 n n n U nnn n nV n n dxdxxx yyxxyxxyf dydyyyf LLLLLLL LLL ? ?= ∫∫ ∫∫ 17 这个定理的证明略去 . 对三维空间的情形 , 我们有以下两种重要的变 换 . （ 1） 柱坐标变换 ?? ??? = = = zz ry rx q q sin cos , 它的 Jacobi 行列式为 rzr zyx =?? ),,( ),,( q . （ 2） 球坐标变换 ?? ??? = = = j qj qj cos sinsin cossin rz ry rx , 它的 Jacobi 行列式为 jqj sin),,( ),,( 2rr zyx =?? . 例 1: 计算三重积分 ∫∫∫ V zdxdydz , 其中 V 是由球面 4222 =++ zyx 和抛物面 zyx 322 =+ 所围成的区域 . 解 : 画出 V 和 )(qD 的图形 （ 如图 ） , 并将 V 的边界方程化为柱坐标中方程 : zrzr 3,4 222 ==+ . z z V r2+ z2 = 4 D(?) O y r2=3z x O 3 r 所以 z (x, y, z) y θ r x (x, y, 0) z (x, y, z) f r y θ (x, y, 0) x 18 .4139422 3 0 4 2 4 3 3 0 2 0 2 0 )( 2 2 pp q q p p q =?? ? ? ??? ? ??= = = ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫∫∫∫ ? drrrr rzdzdrd zrdrdzdzdxdydz r r DV 例 2: 计算三重积分 ∫∫∫ + V dxdydzyx 22 , 其中 V 是由锥面 222 zyx =+ 和平面 1=z 围成 . 解 : 画出 V 和 )(qD 的图形 （ 如图 ） , 并将 V 的边界方程化为柱坐标中方程 : 1, == zzr . z z 1 z=1 D(?) r = z O y x O 1 r 所以 .6322 1 0 31 0 0 2 2 0 )( 22 ppp qp q === ?=+ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫∫ dzzdrrdz rdrdzrddxdydzyx z DV 又解 : 用 zz = 平面去截 V , 得平面区域 )(zD , V 在 z 轴上的投影为 ]1,0[ , 所以 .61 0 2 0 0 2 1 0 )( 2222 pqp == +=+ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫∫ z zDV drrddz dxdyyxdzdxdydzyx 例 3: 计算三重积分 ∫∫∫ ++ V dxdydzzyx )( 222 , 其中 V 是由球面 zzyx 2222 =++ 围成的区域 . 19 解 : 画出 V 和 )(qD 的图形 （ 如图 ） , 并将 V 的边界方程化为球坐标下的方程 : jcos2=r . z 2 z 2 r=2cosf D(?) y r x 所以 .1532sincos5322 sin sin)( 2 0 5 2 0 2 0 cos2 0 4 2 0 )( 22222 pjjjp jjq jjq p p p j p q == = ?=++ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫∫ d rdrdd drdrrddxdydzzyx DV 例 4: 计算三重积分 ∫∫∫ ++ V dxdydzzyx )( 222 , 其中 1: 2 2 2 2 2 2 ≤++ czbyaxV . 解 : 作广义球坐标变换 : ?? ??? = = = j qj qj cos sinsin cossin : crz bry arx T . 变换 T 的 Jacobi 行列式为 jqj sin),,( 2abcrrJ = . 所以 .)(154 )sin2cos2(152 sin)cossinsincossin(52 sin)cossinsincossin( )( 222 2 0 22222 2 0 2 0 22222222 2 0 0 1 0 422222222 222 p qqq jjjqjqjq jjqjqjjq p p p p p cbaabc dcbaabc dcbadabc rdabcrcbadd dxdydzzyx V ++= ++= ++= ++= ++ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ 20 例 5: 计算 n 维空间中半径为 R 的超 球 222 2 2 1: Rxxx n ≤+++? L 的体积 . 解 : 类似于三维的球坐标变换 , 我们引入 n 维球坐标变换 : ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? = = = = = ? ?? .sinsinsin cossinsin cossinsin cossin cos 121 1211 3213 212 11 nn nn rx rx rx rx rx qqq qqq qqq qq q L L LLLLLLLLL .20,,,,0,0( 1221 pqpqqq <<<<+∞<< ?? nnr L 由归纳法可证 22 3 1 21 11 1 sinsinsin ),,,( ),,( ? ??? ? =? ? nnnn n n r r xx qqq qq LL L . 现设 ? 的体积为 nV , 则 ( ) . 12222 2 1 2 2 3 121 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1,212 2,212 1,212 sinsinsin2 sinsinsin 1 22 2 20 20 22 3 0 11 2 0 22 3 1 21 0 10 2 2 0 1 1 n n n n n n n n nn nnn R n nnn nn nn RnRnnnRn n n n n Rn BnBnBRn dddRn drrddd dxdxV ?????? +Γ = ??????Γ = ??????Γ ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?Γ = ??????Γ Γ??????Γ ?????? ?Γ ?????? ?Γ??????Γ ? ??????Γ ?????? ?Γ??????Γ = ???????????? ??????? ?= = = = ? ?? ?? ? ??? ?? ? ∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫ ∫ ppp p p qqqqqqp qqqqqq ppp ppp L L L LL LL 习题 1． 试求 2R 中点集 { }至少有一无理数与 yxyxyxE ,10,10),( ≤≤≤≤= 21 的内容积和外容积 . 问 E 是不是可求面积 ? 2． 在 2R 的区域 { }1,1),( ≤≤= yxyxD 上给定一函数 ?? ?= . ; ,,0 ,,1),( 至少有一个是无理数当 都是有理数当 yx yxyxf 问 ),( yxf 是否在 D 可积 ? 3． 设 ? 和 S 是 3R 中的可测图形 , ?? ? ?∈ ∈= . ; \),,(,0 ),,(,1),,( Szyx Szyxzyxf 问 ),,( zyxf 是否在 ? 上可积 ? 4． 设 1: RR →? mAf 在 A有界 、 可积 . 又设 AB ? 为一可测图形 , 证明 f 的限制 Bf 在 B 可积 . 5． 设 mR 中的开区域 ? 是可测图形 , 1: R→?f , f 在 ? 上连续 . 如果对于任一可测图 形 ??B , 都有 0>∫ B fdV . 证明 ?∈≡ xxf ,0)( . 6． 设 mR 中的开区域 ? 是一可测图形 , f 在 ? 上连续 . 如果对任何一个在 ? 上连续而且 在 ?? 上之值为零的函数 )( xh , 都有 0=∫∫ ? dVfh , 则 )(xf 在 ? 上恒为零 . 如果去掉 ? 为 开区域的条件 , 结论是否仍正确 ? 7． 设一元函数 )(xf 在 ],[ ba 可积 , )( yg 在 ],[ dc 可积 . 证明 : 二元函数 =),( yxF )()( ygxf 在 ],[],[ dcbaD ×= 上可积 , 而且 ∫∫∫∫ = dcba D dyygdxxfdxdyyxF )()(),( . 8． 设 ],[],[ 11 nn baba ××=? L , f 在 ? 上连续 . 定义 ],[],[ 11 nnx xaxa ××=? L , 其中 ],[ iii bax ∈ . 令 ∫∫ ? = x fdVxxF n ),,( 1 L . 证明 ),,( 1 nxxF L 在 °? 有连续一阶偏导数 , 并求出 ),,1( nixF i L=?? . 9． 设在 ],[],[ dcbaD ×= 上定义的二元函数 ),( yxf 有二阶连续偏导数 . 22 （ 1） 证明 ∫∫∫∫ ′′=′′ D yx D xy dxdyyxfdxdyyxf ),(),( ; （ 2） 利用 （ 1） 证明 Dyxyxfyxf yxxy ∈′′=′′ ),(),,(),( . 10． 设一元函数 )(xf 在 ],[ ba 上可积 . 在 ],[],[ babaD ×= 上定 义 [ ]2)()(),( yfxfyxF ?= . （ 1） 将重积分 ∫∫ D dxdyyxF ),( 化为累次积分 ; （ 2） 证明 ∫∫ ?≤?????? b a b a dxxfabdxxf )()()( 2 2 . 11． 对下列区域依两种不同顺序将二重积分 ∫∫ ? dxdyyxf ),( 化为累次积分 : （ 1） ? 是以 ),(),,( 222111 baAbaA 和 ),)(,( 2121333 bbaabaA << 为顶点的三角形 ; （ 2） ? 是圆域 222 )()( Rbyax ≤?+? ; （ 3） ? 是环域 )()()( 12222221 RRRbyaxR >≤?+?≤ ; （ 4） ? 是由 1,2, 33 === yxyxy 和 2=y 围成的区域 . 12． 在下列积分中改变积分的顺序 : （ 1） ∫∫ xe dyyxfdx ln 01 ),( ; （ 2） ∫∫ y y dxyxfdy 32 0 2 ),( ; （ 3） ∫∫ ? ??? 2 2 1 1 1 1 ),(x x dyyxfdx ; （ 4） )10(),(2 2 2 1 <<∫∫ ? ? adyyxfdx ax x . 13． 设一元函数 )(xg 在 ]1,0[ 可积 . 证明 : ∫∫∫ = 10110 )()( dtttgdttgdx x . 14． 计算下列二重积分 : （ 1） ? 是由 2),0(22 pxppxy =>= 围成的区域 , 计算 )0,( >∫∫ ? kmdxdyyx km ; （ 2） ? 由 0),sin(,0 2 === xxyy 和 p=x 围成计算 23 ∫∫ ? xdxdy; （ 3） { }2,20,0),( 2 ≤+≤≤≤≤=? xxyyxyx , 计算 ∫∫ ? dxdyyx 22 ; （ 4） ? 由 0,1, === xyey x 及 1=x 围成 , 计算 ∫∫ ? + dxdyyx )( ; （ 5） ? 由 xyxy 4,2 == 及 4=y 围成 , 计算 ∫∫ ? dxdynx)(sin . 15． 计算下列三重积分 : （ 1） ? 由曲面 0,0,0,1222 ====++ zyxzyx 围成的位于第一卦限的有界区域 , 计 算 dxdydzyzx∫∫∫ ? 3 ; （ 2） ? 由曲面 2,1,22 ==+= zzyxz 围成 , 计算 dxdydzz∫∫∫ ? ; （ 3） ? 由 64),(4),(16 2222 =+=+= zyxzyxz 围成 , 计算 dxdydzyx∫∫∫ ? + )( 22 . 16． 改变下列三重积分化为累次积分的顺序 : （ 1） ∫ ∫∫ ? ?? +? 2 2 22 1 1 11 1 ),,(x x yx dzzyxfdydx ; （ 2） ∫ ∫∫ ? ?? + ? 22 22 2 2 2 2 0 ),,( zbab zbab b z a yb b dxzyxfdydz ; （ 3） ∫ ∫∫ ? ?? ?? ? 22 22 2 2 2 2 1 0 ),,(xaa c xaac c z a xba a dyzyxfdzdx . 17． 求下列立体 ? 的体积 : （ 1） ? 由曲面 1, =++= zyxxyz 和 )0( >= aaz 围成 ; （ 2） ? 由曲面 2,0,coscos p≤+== yxzyxz 和 2p≤? yx 围成 . 18． 设 )(tf 在 0≥t 连续可微 , 而且 ∫ ∞+ 1 )( dt t tf 收敛 . 证明 : 当 0,0 >> ba 时 , 有 24 （ 1） ∫∫ =′ +∞→ a b T T a bfdyxyfdx ln)0()(lim 0 ; （ 2） abfdxx bxfaxf ln)0()()( 0 =?∫ ∞+ . 19． 已知变换 yevyeuT xx sin,cos: == . （ 1） 设 { }p40,10),( ≤≤≤≤= yxyxD , 求 )(DT . （ 2） 计算 ∫∫ D dxdyyxDT ),(det 和 ∫∫ )(DT dudv , 问两者是否相等 ? （ 3） 证明 ),(det yxDT 在 2R 为正 . （ 2） 的结论说明了什么问题 . 20． 作极坐标变换 , 计算下列积分 : （ 1） ? 由双纽线 ( ) ( ) )0(222222 ≥?=+ xyxayx 围成 , ∫∫ ? + dxdyyx )( 22 ; （ 2） ? 由阿基米德螺线 q=r 和半射线 pq = 围成 , ∫∫ ? xdxdy; （ 3） ? 由对数螺线 qer = 和半射线 2,0 pqq == 围成 , ∫∫ ? xydxdy. 21． 在下列积分中 , 作极坐标变换 , 并用两种不同的顺序化为对 r 和 q 的累次积分 : ∫∫ ? dxdyyxf ),( . （ 1） { }10,10),( ≤≤≤≤=? yxyx ; （ 2） ? 由 0,122 ≥=+ yyx 和 xy ?= 1 围成 . 22． 作极坐标变换 , 将下列二重积 分化为一重积分 : （ 1） ( )∫∫ ≤+ + 1 22 22 yx dxdyyxf ; （ 2） ∫∫ ? ?????? dxdyxyf , 其中 { }424),( 22 ?+≤+=? yxyxyx . 23． 利用二重积分 , 作极坐标变换 , 求由下列曲面围成立体的体积 : （ 1） )0(, 222222 >≤+=++ aaxyxazyx ; （ 2） ( ) ( ) 0,,0 22222222 =?=+=?+ zyxayxzyx . 24． 利用二重积分求下列曲面围成立体的体积 : （ 1） 0,, 2 2 2 2 2 2 2 2 =+=+=+ zbyaxbyaxczbyax ; （ 2） )0(,,,2 babyxayxxyz <<=+=+= ; 25 （ 3） )0(0,0,0,1 >====? ? ?? ? ?+? ? ?? ? ?+? ? ?? ? ? nzyx c z b y a x nnn . 以上各题中的 ba, 和 c 均为正数 . 25． 作适当的变量替换 , 求下列积分 : （ 1） ? 由 12 2 2 2 =+ byax 围成 , ∫∫ ? ?? dxdybyax 2 2 2 2 1 ; （ 2） ? 是由 144 =+ yx 围成的区域 , ∫∫ ? + dxdyyx )( 22 ; （ 3） ? 由 12222 =+ ybxa 围成 , ∫∫ ? ??+ dxdyybxabyax 22222 . 以上各题中 ba, 均为正数 . 26． 作柱坐标变换计算下列积分 : （ 1） ? 由曲面 16,4,22 ==+= zzyxz 围成 , ( ) dxdydzyx 222∫∫∫ ? + ; （ 2） ? 由曲面 0,,16,9 2222222 ≥+==+=+ zyxzyxyx 围成 , ( ) dxdydzyx 322∫∫∫ ? + . 27． 作球坐标变换计算下列积分 : （ 1） 2222: Rzyx ≤++? , dxdydzzyx∫∫∫ ? ++ )( ; （ 2） ? 由 zzyx 2222 =++ 围成 , ( ) dxdydzzyx 5222∫∫∫ ? ++ . 28． 作适当变量替换 , 求下列三重积分 : （ 1） ? 由 xyxydxycxyb yxza yxz ba ====+=+= ,,,,, 2222 围成的立体 （ 其中 ba <<<<<< 0,0,0 dcba ） , dxdydzzyx∫∫∫ ? 22 ; （ 2） ? 由 12 2 2 2 2 2 =++ czbyax 围成 , dxdydze c z b y a x ∫∫∫ ? ++ 2 2 2 2 2 2 . 29． 设一元函数 ),0()( )1( +∞∈ Ctf , 令 26 .)( ,),,( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dxdydzczbyaxftF tczbyaxzyx t t ∫∫∫ ? ??? ? ??? ? ++= ? ? ? ? ? ? ≤++=? （ 1） 证明 ),0()( )1( +∞∈CtF ; （ 2） 求出 )(tF ′ 的表达式 .