152 第 七 章 微 积 分 应 用 § 7.1 定积分的几何应用 1 ． 平面图形的面积 定积分的应用 ， 关键是把问题写成 ∫b a dxxf )( 的形式 ， 这时关键是把 )()( xdFdxxf = 的意义搞清楚 ， 这个观点称为微元法 。 比如要求以 ax = ， )( babx <= ， )(xfy = ， )( xgy = 所围图形的面积 ， 其中 )(xf ， )(xg 连续 ， 且 )()( xgxf ≥ 。 我们考虑从 x 到 dxx + 这个微元 ， 它的面积可看成一 个矩形 ， 高近似地取 )()( xgxf ? ， 其面积 )())()(( xdAdxxgxf =?= 。 所以所围图形面 积为 [ ]∫ ?b a dxxgxf )()( 。 α 如果函数由极坐 标给出 ， 我们要求向径 aq = ， bq = )( ba < 和函数 )(qrr = 围成 的面积 （ 如右上图 ）。 考虑从 q 到 qq d+ 这个微元 ， 它近似地可看成是个扇形 ， 面积微元 qqq drdA )(21)( 2= ， 所以总面积 ∫b a qq dr )(21 2 。 例 1 求曲线 )1(42 ??= xy 与 )2(22 ??= xy 围成的图形面积 。 解 画图如下 ， 恰如 “ 月上柳梢头 ， 人约黄昏后 ” 的一弯新月 ， 切记做这类问题都要 画图 ， 一是便于理解掌握 ， 二是 “ 诗配画 ” 的意境是一个整体 ， 绝不是单单几个公式一个答 案所能涵盖的 。 这里把 )1(42 ??= xy 写成 )4(41 2yx ?= ， )2(22 ??= xy 写成 )4(21 2yx ?= ， 它 们是有两个交点 2±=y 的两条抛物线 。 153 dyyyS ∫ ? ?? ?? ? ? ???= 2 2 22 )4( 4 1)4( 2 1 [ ] 38)4(41)4(212 2 0 22 =???= ∫ dyyy 。 )4(21 2yx ?= 4 p )4(41 2yx ?= 例 2 求双纽线 q2cos22 ar = 所围成的图形面积 。 解 作图如右上 。 24 0 2 2cos 2 14 adaS =?= ∫p qq 。 例 3 求心脏线 )cos1( q+= ar )0( >a 围成的面积 。 (1cos)fa q=+ ∫ +?= p qq 0 22 )cos1( 2 12 daS ∫ ++= p qqq 0 22 )coscos21( da ∫ +++= p qqq 0 2 ) 2 2cos1cos21( da 223 ap= 。 由参数方程 )()( )( ba ≤≤ ?? ? = = t tyy txx ， ?? ? = = )()( )()( ba ba yy xx 围成的封闭图形 ， 选点 x y 0 2a 154 )0,0( ， ),( yx ， ),( dyydxx ++ 围成的三角形作为微元 ， 其面积 )(2121 1 1 100 2 1 ydxxdy dydx yx dyydxx yxdS ?== ++ = 。 所以 [ ]∫∫ ′?′=?= b a b a dttxtytytxydxxdyS )()()()(2121 。 y (x+ △ x,y+ △ y) (x,y) (0,0) x 例 4 求旋轮线 ?? ? ?= ?= )cos1( )sin( tay ttax )20( p≤≤ t 与 x 轴 围成的面积 。 解 [ ]∫ ′?′= p2 0 )()()()(21 dttxtytytxS ?? ? ? ??? ? = = 0)( )( ty ttx [ ]∫ ′?′? p2 0 )()()()(21 dttxtytytx ?? ? ? ??? ? ?= ?= )cos1( )sin( tay ttax ∫∫ ???= pp 2 0 22 0 22 sin)sin( 2 1)cos1( 2 1 dttttadtta 23 ap= 。 2 体积 ， 弧长 ， 侧面积 A(x) a b x 设一物体位于平面 ax = 和 bx = 之间 )( ba < ， 如果对任何 bxax ≤≤: ， 垂直于 x 轴的平面与该物体相交的截面积 )( xA 为已知 ， 考虑从 x 到 dxx + 微元 ， 其体积微元为 155 dxxA )( ， 故 ∫= b a dxxAA )( 。 y=f(x) 2ypA(x) = 如果有一曲边梯形 ， 沿 x 轴转 o360 ， 得一旋转体 ， 其体积微元 dxxf )(2p ， 故 ∫= ba dxxfA )(2p 。 若该曲边曲线由参数方程 )()( )( ba ≤≤??? == ttyy txx 给出 ， 则 ∫∫ ′== baba pp dttxtytdxtyA )()()()( 22 。 y ds dy dx O x 考虑一段从 ),( yx 到 ),( dyydxx ++ 弧长微元 ， 勾股定理给出 222 dydxds += 故弧长 ∫∫ ′+′=+= b a b a dttytxdydxS 2222 )()( 。 特别地 ， 曲线由 )(xfy = 给出时 ， ∫ ′+= b a dxxfS 2)(1 。 由参 数方程 ?? ? = = )( )( tyy txx 定义的一段曲线 ， 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体 ， 其表面积 微元 dsyp2 ， 故表面积 ∫ ′+′= b a p dttytxtyP 22 )()()(2 。 若曲线由 )(xfy = 定义 ， 则旋转体侧表面积 ∫ ′+= b a dxxfxfP 2)(1)(2p 。 若曲线由极坐标方程 )(qrr = 定义 ， 则旋转体侧表面积 156 ∫ ′+= b a qqqqqp drrrP 22 )()(sin)(2 。 这是因为这时可看成参数方程 ?? ? = = qq qq sin)( cos)( ry rx ， 2222 )()()()( qqqq rryx ′+=′+′ 。 例 5 求两个半径相等 ， 其轴垂直相交的圆柱面 222 ayx =+ 与 222 azx =+ 所围成 的立体的体积 。 z a x a a x y 解 在八个卦限中立体是对称的 ， 我们只要在第一卦限中体积再乘以 8 即可 。 过点 )0,0,( x 作垂直于 x 轴的平面 ， 它于该立体在第一卦限所截图形为一正方形 ， 边长 22 xa ?= ， 其面积为 22)( xaxP ?= ， 故体积为 3 0 22 3 16)(8 adxxaS a =?= ∫ 。 例 6 求抛物面 222 yxaz += 与上半球面 2222 3azyx =++ )0( >a ， 0>z 所围 成的立体的体积 。 z a O y x 解 两曲面都是绕 z 轴旋转体 ， 两曲面交线是一个圆 。 位于 az = 平面上 ， 由 ? ? ??? =+ =++ azyx azyx 2 3 22 2222 ， 22 32 aazz =+ ， 22 )2()( aaz =+ ， 0>z 得 az = 。 157 ∫∫ ?+= a a a dzzaazdzV 3 22 0 )3(2 pp )536(3 3 ?= ap 。 例 7 求旋轮线 ?? ? ?= ?= )cos1( )sin( tay ttax )20( p≤≤ t 之弧长 。 解 )cos1()( tatx ?=′ ， taty sin)( =′ ， ∫ +?= p2 0 2222 sin)cos1( dttataS ∫ ?= p2 0 )cos1(2 dtta adtta 82sin22 0 == ∫ p 。 例 8 求星形线 （ 铜钱线 ） ? ? ??? = = tay tax 3 3 sin cos 的弧长 。 y O a x 解 考虑 20: p→t ， ttatx sincos3)( 2?=′ ， ttaty cossin3)( 2=′ 。 ∫ += 20 242242 cossin9sincos94 p dtttattaS ∫= 2 0 sincos12 p tdtta ∫= 2 0 sinsin12 p tdta ata 6sin6 202 == p 。 例 9 求椭圆 ?? ? = = tby tax sin cos p20 ≤≤ t 周长 。 解 tatx sin)( ?=′ ， tbty cos)( =′ ， ∫ += 2 0 2222 cossin4 p dttbtaS 158 ∫ ??= 20 22 22 cos14 p dtta baa ∫ ?= 2 0 22 cos14 p e dtta 。 其中 221 baa ?=e 是椭圆的离心率 ， 它是 “ 椭圆积分 ” ， 不能用初等方法积出来 。 考虑 ∫ ?= q eq 0 22 cos1)( dttf ， 其反函数称为 “ 椭圆函数 ” ， 在数论中具有基本的重要性 。 椭圆的面积 ： tax cos= ， tby sin= ， abdtttabydxxdyS ppp =+=?= ∫∫ 2 0 222 0 )sin(cos221 。 例 10 求旋轮线 ?? ? ?= ?= )cos1( )sin( tay ttax )20( p≤≤ t 绕 x 轴旋转所得旋轮体的侧表面积 解 dttads 2sin2= ， ∫ ??= pp 2 0 2sin2)cos1(2 dt tataP ∫ ?= pp 2 0 2 2sin)cos1(4 dt tta ∫= pp 2 0 32 2sin8 dt ta ∫= pp 0 32 sin16 udua ∫ ??= pp 0 22 cos)cos1(16 udua 203312 364)cos(cos16 auua pp p =??= 。 例 11 求旋转椭圆体的表面积 。 解 设椭圆体是由 12 2 2 2 =+ byax )( ba > 绕 x 轴旋转而得 ， 这时 22 2 22 x a bby ?= ， x a byy 2 2 ?=′ 及 24 4 2 2 2 2222 )(1 x a bx a bbyyyyy +?=′+=′+ 159 22222 22 2 xa a bx a baa a b e?=??= 。 其中 a ba 22 ? =e 为椭圆的离心率 。 ∫ ? ?= a a dxxaabP 2222 ep ∫ ?= a dxxaab 0 2224 ep a a xaxax a b 0 )arcsin221(4 2 222 e eep +?= )arcsin(2 eep abb += 。 如果此椭圆绕 y 轴旋转 ， 则 ∫ ? ′+= b b dxxxP 21 12p ∫? ?+= bb dxxa babba 22 22 22p b xb baxb ba xb baxb ba ba b b a 0 1ln 12 2 4 22 2 22 2 4 22 2 22 22 3 ? ? ? ? +?+?+ ? ? ? ? +?? ? = p ?? ? ? ??? ? +? ? += b aba ba baa 22 22 2 ln2p 。 §7.2 定积分的物理应用 1 ． 曲率 设计铁路转弯时 ， 里外两轨要有一定高度差 ， 这由设计车速和曲率来决定 ， 所以计算 曲线曲率是很重要的一件工作 。 令 a 表示曲线斜率正切对应的角度 ， s 表弧长 ， 则曲率定义为 sk s ? ?= →? a 0 lim 。 如果曲线由参数方程 ?? ? = = )( )( tyy txx 给出 ， dt ds dt d k a = ， 由 )( )(tx tytg ′′=a ， )( )(tx tyarctg ′′=a 160 及 22 )()( tytxdtds ′+′= ， 得 2 3)( 1 ' 22 22 2 yx yxyx yxxy x y dt ds dt d k ′+′ ′′′?′′′= ′+′?? ? ? ??? ? ?????? ′′+ ?????? ′′ == a 。 如果曲线由 )(xfy = 给出 ， 则 2 3 2 )1( y yk ′+ ′′= 。 如果曲线由极坐标 )(qrr = 给出 ， 则 2 3 22 22 )( 2 rr rrrrk ′+ ′′?′+= 。 曲率的倒数 ， kR 1= ， 称为曲线在该点的曲率半径 ， 过该点与曲线有相同一阶 ， 二阶 导数的圆周 C 称为曲率圆 。 R M 2 质心 （ 重心 ） 平面简单曲线 ?? ? = = )( )( tyy txx )( ba ≤≤ x ， 如果其上定义一个线密度 )(tr ， 则曲线 Γ 的质量公式 ∫ ′+′= b a r dttytxtM 22 )()()( 。 曲线 Γ 对 y 轴和 x 轴的静力矩是 ∫ ′+′= b a r dttytxtxtM y 22 )()()()( ， ∫ ′+′= b a r dttytxtytM x 22 )()()()( 。 Γ 的质心 ∫ ′+′== b a r dttytxtxtMMMx y 22 )()()()(1 ， ∫ ′+′== b a r dttytxtytMMMy x 22 )()()()(1 。 特别地 ， 当曲线质量是均匀分布的 ， 不妨设 1)( =tr ， 则 161 ∫= l xdslx 0 1 ， ∫= l yds ly 0 1 。 由最后一式可得 ∫= l ydsly 0 22 pp 。 古鲁金定理 平面曲线绕此平面上不与其相交的轴旋转一周 ， 生成的旋转体侧面积等 于此曲线的质心绕同一轴旋转所产生的圆周长乘以该曲线的弧长 。 y y=f (x) y=g(x) O x x+dx x 例 ： 求 )()( 222 RaRayx >=?+ 绕 x 轴转动所成圆环侧面积 。 aRRaS 2422 ppp =?= 现考虑平面图形的质心 。 质量微元 dxxgxfdM )]()([ ?= ， 关于 y 轴的静力矩微元 dxxgxfxdM y )]()([ ?= ， 关于 x 轴的静力矩微元 dxxgxfxgxfdM x )]()([)]()([21 ?+= dxxgxf )]()([ 2221 ?= 。 所以平面图形质心的坐标为 ： ∫ ∫ ? ? == b a b ay dxxgxf dxxgxfx M Mx )]()([ )]()([ ； ∫ ∫ ? ? == b a b ax dxxgxf dxxgxfx M My )]()([ )]()([21 22 由上式 ， 我们得 ∫∫ ?=? b a b a dxxgxfdxxgxfy )]()([)]()([2 22pp ， 即 VSy =?p2 。 其中 S 是平面图形的面积 ， V 是该平面图形绕 x 轴旋转所得立体的体积 。 162 古鲁金定理 一平面图形绕与其不相交的轴 （ 可以是它的边界 ） 旋转所得立体的体积 等于该平面图形面积与重心绕轴旋转的周长的乘积 。 3 旋转惯量 质点 m 到定轴 u 的距离为 r ， 转动的角速度 w 为常数 ， 则质点动能 2222 212121 ww uImrmvE === 我们称 2mrI u = 为质点对 u 轴的转动惯量 。 例 求曲线 )(txx = ， )(tyy = 关于 y 轴及 x 轴的转动惯量 。 解 dsxdI y r2= )(trr = 为曲线密度 ， dsydI x r2= 。 ∫∫ ′+′== b a rr dttytxttxdsxI ly 222 0 2 )()()()( ， ∫∫ ′+′== b a rr dttytxttydsyI lx 222 0 2 )()()()( 。 静力矩计算中 ， 用到 ∫b a dxxxf )( 型积分 ， 数学上我们称为一阶矩 ； 转动惯量计算中 ， 用到 ∫b a dxxfx )(2 型积分 ， 数学上我们称之为二阶矩 ； 一般地在数学上可定义 n 阶矩 ： ∫ba n dxxfx )( 。 4 引力和功 两个质点 1m ， 2m ， 相距 r ， 则其间万有引力为 2 21rmmGF = 。 如果有一均匀细棒 ， 长 l2 ， 质量 M ， 在其延长线上离中心距离为 )( laa > 处有一质点 A， 质量为单位 1， 则棒 对它引力元 l? 0 l a 2)( 12 xaGdF l Mdx ? ? = ， ∫ ? ? =?= l l la GMdx xa lGMF 222)( 2 。 力 )( xF 沿它作用方向运动 dx ， 作功为 FdxdW = ， 则从 a 到 b 作功 ∫= b a dxxFW )( 。 如果有三维物体 V ， 体密度为 ),,( zyxr ， 则对其外单位质量质点引力 kFjFiFF zyx ++= 为 [ ]∫∫∫ ?+?+? ?= V x zzyyxx dxdydzxxzyxkF 2 32 0 2 0 2 0 0 )()()( ))(,,(r ， 163 [ ]∫∫∫ ?+?+? ?= V y zzyyxx dxdydzyyzyxkF 2 32 0 2 0 2 0 0 )()()( ))(,,(r ， [ ]∫∫∫ ?+?+? ?= V z zzyyxx dxdydzzzzyxkF 2 32 0 2 0 2 0 0 )()()( ))(,,(r 。 我们有必要研究多元微积分学 。 § 7.3 定积分在经济学中的应用 例 1 ： 已知生产某商品 x 件时的边际收 入是 25100)( xxr ?= （ 元 / 件 ）。 试求生产此 种商品 1000 件时总收入和平均收入以及生产 1000 件到 2500 件时增加的收入和平均收入 。 解 ： ∫∫ =?== 1000 0 1000 0 80000)25100()()1000( dxxdxxrR （ 元 ） 801000 )1000()1000( == RR （ 元 / 件 ） 45000)25100()1000()2500( 2500 1000 =?=? ∫ dxxRR （ 元 ） 3010002500 )1000()2500( =?? RR （ 元 / 件 ） 例 2 ： 设某产品的总成本 C （ 单位 ： 万元 ） 的边际 成本是产量 x （ 单位 ： 百台 ） 的函 数 44)( xxC +=′ 。 总收入 R （ 单位 ： 万元 ） 的边际收入是产量 x 的函数 xxR ?=′ 9)( 。 （ 1 ） 求产量由 1 百台增加到 5 百台时总成本与总收入各增加了多少 ？ （ 2 ） 已知固定成本 1)0( =C 万元 ， 分别求出总成本 ， 总收入 ， 总利润与产量 x 的 函数关系式 。 解 ： （ 1 ） 19)44()( 5 1 =+= ∫ dxxxC （ 万元 ） 24)9(5 1 =?= ∫ dxxR （ 万元 ） （ 2 ） ∫ ′+= x dttCCxC 0 )()0()( 2 0 8 141) 44(1 xxdt tx ++=++= ∫ ……总成本函数 。 2 0 2 19)9()( xxdttxR x ?=?= ∫ …… 总收入函数 。 1855)()()( 2 ??=?= xxxCxRxL …… 总利润函数 。 又最大利润 ： 0)( =′ xL ， 4=x ， 0)4( <′′L ， 故 4=x （ 百台 ） 时利润最大 ， 9)4( =L （ 万 元 ）。 此时总成本 19)4( =C （ 万元 ）， 总收入 28)4( =R （ 万元 ）。 164 例 3 ： 某地区的人口数 y 与时间 t 有关 ， 且人口增长率与 )( yN ? 成正比 。 若初始化 时刻 0=t 时的人口数 0)0( yy = ， 求人口数 y 与时间 t 的函数关系 。 解 ： )( yNkdtdy ?= 通解为 ： ktCeNy ??= 0)0( yy = 得 )( 0yNC ?= ， kteyNNy ???= )( 0 当 0>k 时 ， Ny t = ∞→ lim ; 当 0<k 且 Ny >0 时 ， +∞= ∞→ y t lim ， 人口爆炸 ！ § 7. 4 无穷小量与无穷大量之比较 定义 ： 设 )(xf ， )(xg 都是 )( 00 xU 上无穷小量 ， 且 0)( ≠xg 。 1 ） 若 Axg xf xx = → )( )(lim 0 ， ∞≠A ， 0 ， 则称 )(xf ， )(xg 为同阶无穷小量 ， 若 1=A ， 称它们为等价无穷小量 ， 记作 )(xf ～ )(xg （ 0xx → ）。 2 ） 若 0)( )(lim 0 = → xg xf xx ， 则称 )(xf 是较 )(xg 的高阶无穷小量 ， 记作 ))(()( xgoxf = （ 0xx → ）。 3 ） 若 M? ， 使得 |)(||)(| xgMxf ≤ ， )( 00 xUx ∈ ， 则记作 ))(()( xgOxf = （ 0xx → ）。 由定义我们有 ： xsin ～ x （ 0→x ）， xcos1? ～ 221 x （ 0→x ）， xx 1sinsin ～ )(xO （ 0→x ）。 类似的对无穷大量 ， 我们也有 定义 设 )(xf ， )(xg 都是 )( 00 xU 上无穷大量 ， 且 0)( ≠xg 。 1 ） 若 Axg xf xx = → )( )(lim 0 ， ∞≠A ， 0 ， 则称 )(xf ， )(xg 为同阶无穷大量 ， 若 1=A ， 称它们为等价无穷大量 ， 记作 )(xf ～ )(xg （ 0xx → ）。 165 2 ） 若 0)( )(lim 0 = → xg xf xx ， 则称 )(xf 是较 )(xg 的低阶无穷大 量 ， 记作 ))(()( xgoxf = （ 0xx → ）。 3 ） 若 M? 使得 |)(||)(| xgMxf ≤ ， )( 00 xUx ∈ ， 则记作 ))(()( xgOxf = （ 0xx → ）。 由定义我们有 ： n ～ 1+n （ +∞→n ）， )( 2xox = （ +∞→x ）， )(sin xOxx = （ +∞→x ）。 当 0xx → 时 ， 我们称与 kxx )( 0? 同阶的无穷小量为 k 阶无穷小 ； 当 +∞→x 时 ， 我 们称与 kx1 同阶的无穷小量为 k 阶无穷小 。 类似的可以定义 k 阶无穷大量 。 关于 o 与 O的运算 ， 我们有如下三原则 ： 1 ） ))(())(())(( xgoxgoxgo =± （ 0xx → ）， 2 ） ))()(())(())(( 2121 xgxgoxgoxgO ?=? （ 0xx → ）， 3 ） ))(()))((( xgoxgOo = （ 0xx → ）， 4 ） ))(()))((( xgoxgoO = （ 0xx → ）。 注 这里的等式与通常等式意义不同 ， 它只表明极限运算的性质 ， 即从左边推出右边 ， 反之不成立 。 1 ） 的证明 令 ))(()( xgox =a ， ))(()( xgox =b ，（ 0xx → ）， 即 0)( )(lim 0 = → xg x xx a ， 0 )( )(lim 0 = → xg x xx b 。 则 0)( )(lim)( )(lim)( )()(lim 000 =±=± →→→ xg x xg x xg xx xxxxxx baba ， 即 ))(()()( xgoxx =± ba （ 0xx → ）。 2 ） 的证明 令 ))(()( 1 xgOx =a ， ))(()( 2 xgox =b ，（ 0xx → ）， 即 |)(||)(| 1 xgMx ≤a ， 0)( )(lim 20 = → xg x xx b 166 则 0)()( )()(lim 210 =? → xgxg xx xx ba ， 即 ))()(()()( 21 xgxgoxx =? ba ， （ 0xx → ）。 3 ） 的证明 令 ))(()( xgOx =a ， ))(()( xox ab = ，（ 0xx → ）， 即 |)(||)(| xgMx ≤a ， 0)( )(lim 0 = → x x xx a b 。 则 0)()( )()(lim)( )(lim 00 == →→ xxg xx xg x xxxx a bab ， 即 ))(()( xgox =b （ 0xx → ）。 4 ） 的证明 类似于 3 ）， 省略 。 例 当 0→x 时 ， 求 )cos(sin1 x? 的等价无穷小量 。 解 )(21cos1 22 xoxx +=? )(sin)(sin21)cos(sin1 22 xoxx +=? ))(()]([21 22 xOoxox ++= )()()()(21 22 xoxoxoxoxx +?+?+= )(21 22 xox += 所以 )cos(sin1 x? ～ 221 x 。 § 7. 5 Taylor 公式 1. 积分余项的 Taylor 公式 我们已经得到积分余项的 Taylor 公式 ： ),()( 001 hxhxCxf n +?∈ + ， 则 ∑ = +?= n k n k k xRxxk xfxf 0 0 0 )( )()(! )()( 其中 ∫ ?= +x x nn n dttxtfnxR 0 ))((!1)( )1( ， hxx <? 0 。 对 )(xRn 的积分 表达式用微分第一中值定理 ， ∫ ?= + x x nn n dttxfnxR 0 )()(!1)( )1( x 10 )1( )()!1( )( + + ?+= n n xxnf x 167 x 介于 0x 与 x 之间 。 这称为 Lagrange 余项 。 这里 ),()( 001 hxhxCxf n +?∈ + ， 要求 )(xf 的 1+n 阶导数连续 ， 太强了些 ， 事实上 1+n 阶导数存在即可 。 在 Lagrange 余项 Taylor 公式中 ， 其余项显然满足 ( )nnnn xxoxxnfxR )()()!1( )()( 010 )1( ?=?+= + + x 这样的余项称为 Peano 余项 ， 实际上关于 Peano 余项的 Taylor 公式也不需要这么强的条件 。 在下两个小节中我们给出合适的光滑条件的带 Peano 余项的 Taylor 公式和带 Lagrange 余项 的 Taylor 公式 。 2． Peano 余项的 Taylor 公式 函数在 0x 点可微 ， 等价于在 0x 点可导 ， 依定义有 ( ))())(()()( 0000 xxoxxxfxfxf ?+?′+= 从逼近观点 ， ))(()( 000 xxxfxf ?′+ 是个一阶多项式 （ 即线性函数 ）， 上式表明 ， 在 可导条件下 ， )(xf 可以用这一阶多项式逼近 （ 线性逼近 ）， 误差是相对 )( 0xx ? 的高阶无穷 小 。 现在我们想推广到 n 阶多项式逼近 ， 误差为高于 n 阶的无穷小量 ： ( )nnn xxoxxaxxaaxf )()()()( 00010 ?+?++?+= L 定理 1 若 ( )nnn xxoxxaxxaaxf )()()()( 00010 ?+?++?+= L 成立 ， 则逼近多 项式唯一 。 证 设 ( )nnn xxoxxaxxaaxf )()()()( 00010 ?+?++?+= L ( )nnn xxoxxbxxbb )()()( 00010 ?+?++?+= L 。 我们来证 kk ba = ， nk ,,1,0 L= 。 令 0xx → ， 我们得 00 ba = ， 等式两边消去常数项 ， 除以 )( 0xx ? ， 得 ( )1010021 )()()( ?? ?+?++?+ nnn xxoxxaxxaa L ( )1010021 )()()( ?? ?+?++?+= nnn xxoxxbxxbb L 。 再令 0xx → ， 我们得 11 ba = ， 如此进行 ， 我们得 kk ba = ， 直到 nk = 。 定理 2 设 )(xf 在 0x 点的 n 阶导数存在 ， 则 168 L+?′′+?′+= 200000 )(!2 )()(!1 )()()( xxxfxxxfxfxf ( )nnn xxoxxn xf )()(! )( 000 )( ?+?+ 。 证 要证 0)(! )()()( 1lim 0 0 0 )( 00 = ? ?? ? ?? ???= ∑ =→ n k k k nxx xxk xfxf xxI )()(( 00 )0( xfxf = ， )1!0 = )(xf 在 0x 点的 n 阶导数存在 ， 意味着 0x 在点某邻域 ),( 0 hxU 上有直到 )1( ?n 阶导数 ， 且 连续 ， 用 )1( ?n 次 del ' Hospitale 法则 0)()()(!1lim 0)( 0 0 )1()1( 0 =? ? ? ?? ? ? ? ?= ?? → xfxx xfxfnI n nn xx 。 公式中 ( )nxxo )( 0? 称 Peano 余项 ， ∑ = ? n k k k xxk xf 0 0 0 )( )(! )( 称为 n 阶 Taylor 多项式 。 当 00 =x 时 ， )(! )0( 0 )( n n k k k xoxkf +∑ = 也称为带 Peano 余项的 Maclaurin 公式 ， )(xf 在 0x 点 有 n 阶导数是 Taylor 公式成立的充分条件 ， 而非必要 ， 这一点与一阶时不同 ， 有如下反例 ： )()( 1 xDxxf n+= ， )(xD 为 Dirichlet 函数 ， 在 0=x 连续 ， 0≠x 间断 ， 当然不可导 ， 但 )(000)( nn xoxxxf ++++= L ， 即 Taylor 公式却成立 ！ 3． Lagrange 余项的 Taylor 公式 定理 3 设 ()[,]nfxCab∈ ， 在 (,)ab上 (1)n + 阶导数存在 ， 0,[,]xxab?∈ ， 则有 200 000 () (1) 10 00 ()()()()()() 1!2! () ()()() !(1)! n n nn fxfxfxfxx xx fx fx xx nn x+ + ′′′=+?+?++ ?+?+ L 其中 x 介于 x 与 0x 之间 。 证明 作两个辅助函数 ： () 2()()()()()[()()()()] 1!2!! n nftftftFtfxftxtxtxt n ′′′=?+?+?++?L 1()()nGtxt+=? 169 容易验证它们在 0[,]xx上连续 ， 在内部 0(,)xx可导 ， 且 (1) () ()()! n nftFtxt n + ′ =?? ()(1)()nGtnxt′ =?+? 及 ()()0FxGx==， 现在我们用 Cauchy 中值定理 1 00 00 ()()() ()() ()()()()(1)! nFxFxFx Ff GxGxGxGn xx x +′? ===′?+ 由此我们得 200 000 () (1) 10 00 ()()()()()() 1!2! () ()()() !(1)! n n nn fxfxfxfxx xx fx fx xx nn x+ + ′′′=+?+?++ ?+?+ L 注 ： 定理 3 中条件改为 ()fx在 (,)ab上 (1)n + 阶导数存在 ， 0,[,]xxab?∈ ， 定理结论 仍然成立 。 推论 设 ()fx在 (,)ab上有 (1) ()0nfx+ = ， 则 ()fx为一至多 n 次多项式 。 证明 取 0 (,)xab∈ ， (,)xab?∈ ， 由 Lagrange 余项的 Taylor 公式 ， 我们有 () 2000 0000 ()()()()()()()() 1!2!! n nfxfxfxfxfxx x xx n ′′′=+?+?++?L 它是一个至多 n 次的多项式函数 。 当 0 0x = 时 ， 带 Lagrange 余项的 Taylor 公式也称为带 Lagrange 余项的 Maclaurin 公 式 。 4 ． T aylor 展开 求一个函数的 Taylor 展开 ， 关键是计 算高阶导数 ， 下面我们给出常见函数的 Maclaurin 展开 。 例 1 1 0 )!1(! + = + += ∑ n xn k n x x n e k xe q ， 10 <<q ， +∞<<∞? x 。 例 2 12 12 1 53 )!12( cos)1( )!12()1(!5!3sin + ? ? +?+??+++?= nn n n x n x n xxxxx qL ， 170 10 <<q ， +∞<<∞? x 。 例 3 221 242 )!22( cos)1( !2)1(!4!21cos ++ +?+?+++?= nn n n x n x n xxxx qL ， 10 <<q ， +∞<<∞? x 。 例 4 12 1253 )!12()!12(!5!3 + ? ++?++++= n n xn xchnxxxxshx qL ， 10 <<q ， +∞<<∞? x 。 例 5 22 242 )!22(!2!4!21 + ++++++= n n xn xchnxxxchx qL ， 10 <<q ， +∞<<∞? x 。 例 6 1 1 1 32 )1)(1()1()1(32)1ln( + + ? ++?+?+?+?=+ n n n n n xn x n xxxxx qL ， 10 <<q ， 1<x 。 例 7 nxn nxx ! )1()1(1)1( +??+++=+ aaaaa LL 11)1(! )()1( +??+??+ nn xxn n aqaaa L 。 10 <<q ， 1<x 。 有些函数 )()( xf n 计算很难 ， 但 )0()(nf 可以很容易求出来 ， 这时我们得到 Peano 余项 Taylor 展开 。 例 8 arctgxxf =)( ， 我们已经知道 0)0()2( =kf ， )!2()1()0()12( kf kk ?=+ ， 所以 )()!12()1(!5!3 12 1253 + + ++?+++?= n n n xo n xxxxarctgx L 。 例 9 )(!)!2( !)!12(12 1!!4 !!351!!2131arcsin 121253 ++ +?+++++= nn xoxnnnxxxx L 。 还有的函数 ， 一般地计算 )( 0)( xf n 也比较复杂 ， 但前 n 项导数的计算也可实现 ， 这时 我们可以计算指定阶数的 Taylor 展开 。 例 10 xecos 展开到 4x 项的 Taylor 展开 。 解 1coscos ??= xx eee ? ? ? ?? ? ?+?+?+= ))1((cos !2 )1(cos !1 1cos1 22 xoxxe 171 ? ? ? ?? ? + ??? ? ??? ? +?+ ??? ? ??? ? ++?+= ))(()( !2!2 1)( !4!21 222 2 4 42 xooxoxxoxxe ? ? ? ?? ? ++?= )( 621 4 42 xoxxe )(62 442 xoxexee ++?= 。 例 11 展开 )sin1ln( 2 x+ 到 4x 项的 Taylor 公式 。 解 )sin1ln( 2 x+ )(sinsin21sin 442 xoxx +?= )()]([21)](!31[ 44233 xoxoxxoxx ++?+?= )(65 442 xoxx +?= 。 例 12 求极限 ]23[lim 23 3 xxxxI x ??+= +∞→ 。 解 ?? ? ? ? ? ? ? ?????? ???????? += +∞→ 2 1 3 1 2 2131lim xxxxI x ? ?? ? ?? ?????? ??????+????????? ??????+?+= +∞→ xoxxxoxxx 1221113311lim 22 ? ? ? ?? ? ?+? ? ?? ? ?+= +∞→ )1(111lim oxox x 1= 。 例 13 1)1ln()( 121 ?++= nn na ， 求它的等价无穷小 。 解 113121121 332 ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?++?? ? ?? ? ? += nonnnnan 114121131211 2222 ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?+?+? ? ?? ? ?++?= nonnnonn ? ? ?? ? ?+= 22 1 12 1 non 。 所以 2121~ nan 。 5． Lagrange 插值多项式 172 函数 )(xf 定义在 ],[ ba 上 ， 对区间 ],[ ba 给定一个分割 bxxxa n =<<<= L10 ， 我 们的目标是找一个 n 次多项式 )(xPn ， 使 )()( iin xfxP = 。 )(xPn 有 )1( +n 个未知系数 ， 条件 )()( iin xfxP = ， ni ,,1,0 L= ， 有 )1( +n 个线 性方程 ， 可以解出 )1( +n 个未知系数来 ， 但我们有更简单的方法解这个问题 ： 构造 )1( +n 个 插值多项式 )(xiw ， ni ,,1,0 L= ， 使得 1)( =ii xw ， 0)( =ij xw 对 ji ≠ 。 则 ∑ = = n i iin xxfxP 0 )()()( w 即为所求 。 )(xiw 构造如下 ： )())(()( 10 nxxxxxxx ???= Lw 为 )1( +n 次多项式 ， ixx x ? )(w 为 n 次多项式 ， 它在 jx 上为 0 ， 在 ix 上为 )(1 )(lim)(lim ixx ixx xxxx x ii www ′=′=? →→ 。 取 )()( )()( ii i xxx xx w ww ′?= ， 即 为所求 。 逼近误差 设 ],[ baCf n∈ ， f 在 ),( ba 为 )1( +n 阶可导 ， 则 )()!1( )()()()( )1( 0 xnfxxfxf nn i ii w xw ++= + = ∑ Taylor 逼近用多项式是在一点局部 逼近一个函数 ， Lagrange 插值是在一个区间 ],[ ba 上 用多项式 ， 比较均匀地逼近一个函数 ， 优缺点各有千秋 。 § 7. 6 函数的升降与极值 ， 凸凹与拐点 1． 函数的升降 定理 1 设 ],[)( baCxf ∈ ， 在 ),( ba 上可导 ， 则 1） )(xf 在 ],[ ba 是上升的 ),(,0)( baxxf ∈?≥′? 。 2） )(xf 在 ],[ ba 是下降的 ),(,0)( baxxf ∈?≤′? 。 证 只证 1） 必要性 设 )(xf 在 ],[ ba 上升 ， ),( bax ∈? ， 173 0)()( ≥? ??+ x xfxxf ， ),( baxx ∈?+ 令 0→?x ， 得 0)( ≥′ xf 。 充分性 1x? ， ],[2 bax ∈ ， 21 xx < ， 在 ],[ 21 xx 用 Lagrange 定理 0))(()()( 1212 ≥?′=? xxfxfxf x ， )( 21 xx << x 所以 )()( 12 xfxf ≥ 。 定理 2 设 ],[)( baCxf ∈ ， 在 ),( ba 可导 。 则 )(xf 在 ],[ ba 严格上升 （ 下降 ） 充要 条件是 ： 1） ),(,)0)((0)( baxxfxf ∈?≤′≥′ ， 2） )( xf ′ 不在 ),( ba 的任一子区间上恒为 0 。 证 必要性 设 )(xf 在 ],[ ba 严格上升 ， 由定理 1 知 ),(,0)( baxxf ∈?≥′ 。 用反 证法证 2）， 如果 ],[),( ba?? ba 使得 0)( =′ xf ， ba << x ， 则 Cxf =)( ， << xa b 与 )(xf 严格上升矛盾 。 充分性 设 0)( ≥′ xf 知 )(xf 在 ],[ ba 上升 。 用反证法证严格上升 ， 如果不然 ， ? a ， ],[ ba∈b ， ba < ， 使 )()( ba ff = ， f 为上升的 ， 所以 )()( afxf = ， ba << x ， 那 么 0)( =′ xf ， ba << x ， 与 2） 矛盾 。 2． 函数的极值 定理 3 设 )(xf 在 );( 0 dxU 可导 ， 0)( 0 =′ xf ， )( 0xf ′′ 存在 ， 则 1） 当 )( 0xf ′′ 0< 时 ? )( 0xf 为严格极大值 ； 2） 当 )( 0xf ′′ 0> 时 ? )( 0xf 为严格极小值 。 证 Fermat 定理说 )( 0xf 是极值 ， 必有 0)( 0 =′ xf ， 本定理则给出判定极值点的充分 条件 ， 由 Taylor 公式 ))(()(!2 )())(()()( 20200000 xxoxxxfxxxfxfxf ?+?′′+?′+= 174 2000 )()1(2 )()( xxoxfxf ?? ? ? ?? ? +′′+= 。 当 0xx → 时 ， )1(o 为无穷小量 ， ),0(1 dd ∈? ， 使得当 );( 100 dxUx ∈ 时 ， )1(2 )( 0 oxf +′′ 与 )( 0xf ′′ 同号 ， 故当 )( 0xf ′′ 0> 时 ， )()( 0xfxf > ， );( 100 dxUx ∈? ， 即 )( 0xf 为严格 极小值 ， 当 )( 0xf ′′ 0< 时 ， )()( 0xfxf < ， );( 100 dxUx ∈? ， 即 )( 0xf 为严格极大值 。 例 1 证 1?≥x 时 ， xxxx ≤+≤+ )1ln(1 ， 且等号成立当且仅当 0=x 。 证 0=x 时显然等号成立 。 只要证 01 <<? x 和 0>x 时严格不等式成立 。 先证 xx <+ )1ln( 。 考虑函数 )1ln()( xxxf +?= ， 0)0( =f ， xxf +?=′ 1 11)( = x x +1 。 当 0>x 时 ， 0)( >′ xf ， 所以 )(xf 在 ),0[ +∞ 严格上升 ， 故 0)0()( => fxf ， 即 xx <+ )1ln( 。 当 01 <<? x 时 ， 0)( <′ xf ， 所以 )(xf 在 ]0,1(? 严格下降 ， 故 <)(xf 0)0( =f ， 即 xx <+ )1ln( 。 再证 )1ln(1 xxx +<+ 。 当 0>x 时 ， 110 <+< xx ， 011 <+?<? xx ， )1ln()11ln(1 xxxxx +?=+?>+? ， 即 )1ln(1 xxx +<+ 。 当 01 <<? x 时 ， 01 >+? xx ， )11ln(1 xxxx +?>+? ， 也得 )1ln(1 xxx +<+ 。 3． 函数的凸凹性 定义 设 )(xf 定义于 ],[ ba ， 1x? ， ],[2 bax ∈ ， 若 )()1()())1(( 2121 xftxtfxttxf ?+≤?+ ， 10 << t ， 则称 )(xf 为 ],[ ba 上的 凸函数 ， 若 12xx≠ 时严格不等号成立 ， 称为 严格凸函数 ； 不等号 反过来分别 称为 凹函数 和 严格凹函数 。 直观 连接两点 ),( 11 yx 和 ),( 22 yx 的直 y 线段方程为 ?? ? ?+= ?+= 21 21 )1( )1( yttyy xttxx ， 10 ≤≤ t 。 如曲线 )(xfy = 任意两点间弧段 ， 总位于连接 两点的直线段之下 ， 则称它为凸的 。 O x1 x2 x 凸凹性都是从下往上看得来的概念 。 在曲线上任取三点 ))(,( 11 xfx ， ))(,( 22 xfx ， ))(,( 33 xfx ， 自变量按顺序 << 21 xx 175 3x ， 则量 1)( 1)( 1)( 33 22 11 xfx xfx xfx =? 代表连接这三点的三角形的有向面积 。 y y O x1 x2 x3 x O x1 x2 x3 x 0>? 表明这三角形是正旋的 ， 即 )(xf 为凸函数 ； 0<? 表明这三角形是负旋的 ， 即 )(xf 为凹函数 。 在此行列式中 ， 第二行减去第一行乘 t 再减去第三行乘以 )1( t? ， 我们得到 1)( 0)()1()()(0 1)( 33 312 11 xfx xftxtfxf xfx ???=? ))](()1()()([ 31312 xxxftxtfxf ????= 即 f 凸当且仅当凸 213()()(1)()fxtfxtfx≤+? ， f 严格凸当且仅当 213()()(1)()fxtfxtfx<+? 。 另外一个凸函数充要条件为 ： << 21 xx 3x 时 ， 23 23 12 12 )()()()( xx xfxf xx xfxf ? ?< ? ? 这表明两边斜线斜率是递增的 ， 读者可以自己证明这个充要条件 。 注 ： f 凸 ， ),( bax ∈ ， )(xf 在 x 左右导数存在 ， 所以在 x 点连续 ， 但在 a ， b 处可 以不连续 。 176 比如 ： ?? ? ≤< == 10 01)( 2 xx xxf 定理 4 设 )(xf ],[ baC∈ ， 在 ),( ba 可导 ， 则 )(xf 为凸函数充要条件为 ： )( xf ′ 在 ),( ba 内上升 ； )(xf 为严格凸函数充要条件为 ： )( xf ′ 在 ),( ba 严格上升 。 证 必要性 ， 1x? ， ),(2 bax ∈ ， 21 xx < ， 要证 )()( 21 xfxf ′≤′ ， 令 0>h ， 使 hx ?1 ， ),(2 bahx ∈+ 。 由凸性有 h xfhxfxx xfxfh hxfxf )()()()()()( 22 12 1211 ?+≤ ? ?≤?? ， 令 0→h ， 得 )()()()( 2 12 12 1 xfxx xfxfxf ′≤ ? ?≤′ 。 若 )(xf 严格凸 ， 在 ),( 21 xx 中任取一点 ?x ， 这时有 <?? h hxfxf )()( 11 ? ? ? ? ? ?< ? ? xx xfxf xx xfxf 2 2 1 1 )()()()( h xfhxf )()( 22 ?+< ， 令 0→h 得 )()()()()()( 2 2 2 1 1 1 xfxx xfxf xx xfxfxf ′≤ ? ?< ? ?≤′ ? ? ? ? ， )()( 21 xfxf ′<′ 。 充分性 要证 )(xf 凸 ， 只要对 1x ， ],[32 baxx ∈， ， << 21 xx 3x 时 ， 有 23 23 12 12 )()()()( xx xfxf xx xfxf ? ?≤ ? ? 。 由 Lagrange 中值定理 ， )()()( 1 12 12 xf xx xfxf ′= ? ? ， )()()( 2 23 23 xf xx xfxf ′= ? ? ， 2211 xx <<< xx < 3x ， 由 )()( 21 xx ff ′≤′ ， 即得 23 23 12 12 )()()()( xx xfxf xx xfxf ? ?≤ ? ? 。 若 )( xf ′ 严格上升 ， 严格不等号成立 ， )(xf 严格凸 。 x 0 1 1 177 定理 5 设 )(xf ],[ baC∈ ， 在 ),( ba 上二阶可导 ， 则 )(xf 凸的充要条件为 0)( ≥′′ xf ； )(xf 严格凸的充要条件为 1） 0)( ≥′′ xf ， 2） )(xf ′′ 不在 ),( ba 任一子区间 上恒为零 。 例 2 )(xf 是 ],[ ba 上凸函数 ， ],[ baxi ∈ ， 0>it ， 1 1 =∑ = n i it ， 则有 )()()()( 221111 nnnn xftxftxftxtxtf LL ++≤++ 。 )(xf 严格凸 ， ix ),,2,1( ni L= 不全相等 ， 则上式严格不等号成立 。 证 2=n ， 这是凸函数定义 。 设 kn = 成立 ， 要证 1+= kn 也成立 ， 设 0>it ， 1,,2,1 += ki L ， 1 1 1 =∑ + = k i it 。 取 11 +? = k i i t tl ， ki ,,2,1 L= ， 有 )( 112211 ++++++ kkkk xtxtxtxtf L ]))(1[( 1122111 +++ ++++?= kkkkk xtxxxtf lll L )()()1( 1122111 +++ ++++?≤ kkkkk xftxxxft lll L )())()()()(1( 1122111 +++ ++++?≤ kkkkk xftxfxfxft lll L )()()()( 112211 +++++= kkkk xftxftxftxft L 。 )(xf 严格凸时 ， )1,,2,1( += kixi L 不全相等 ， 分两种情况 ， kxxx ,,, 21 L 不全相等 ， 由 归纳法假设 ， 可得严格不等号成立 ； kxxx ,,, 21 L 相等 ， 但不等于 1+kx ， 则 12211 +≠+++ kkk xxxx lll L ， 严格不等号也成立 。 例 3 设 0>ia ，（ ni ,,2,1 L= ） 不全相等 ， 证明当 0≠x 时 0lnlnln 1 1 11 >++? ++ ++ n aa aa aaaax xnx x n x n x n x L L L 。 证 要证的不等式等价于 n aan aaaanaan x n xx n x x n x n xx ++++>++ LLL 11 11 lnln 1ln1 ， 178 令 xxxf ln)( = ， 1ln)( +=′ xxf ， 01)( >=′′ xxf )0( >x ， 所以 )(xf 是 ),0( +∞ 上严格凸函数 ， 又 xia ),,2,1( ni L= 不全相等 ， 有 )(1)(1 11 xnx x n x afnafnn aaf ++<?? ? ? ??? ? ++ LL ， 这正是所要的 。 例 4 设 ia ),,2,1( ni L= 不全相等 ， 证明 xn aaxf x n x 1 1)( ?? ? ? ??? ? ++= L 是 ),( +∞?∞ 上严 格增函数 。 证 n n x aaaxf L21 0 )(lim = → ， 令 n naaaf L21)0( = ， 则 ),()( +∞?∞∈ Cxf 。 l 0≠ 时 ， 对 )(ln xf 求导 ， 得 ? ? ? ?? ? ++? ++ ++=′ n aa aa aaaax xxf xf xnx x n x n x n x L L L 1 1 11 2 ln lnln1 )( )( ， 因为 0)( >xf ， 得 0≠x 时 ， 0)( >′ xf 。 故 )(xf 在实轴上严格递增 。 注意 naa nf 11 1 )1( L+=? ， 称为 ),,,( 21 naaa L 的调和平均 ， n naaaf L21)0( = 称为 ),,,( 21 naaa L 的几何平均 ， n aaaf nL++= 21)1( 称为 ),,,( 21 naaa L 的算术平均 ， ),,,min()( 21 naaaf L=?∞ ， ),,,max()( 21 naaaf L=+∞ 。 我们有 )()1()0()1()( +∞<<<?<?∞ fffff 。 例 5 设 0>ia ， 0>ib ， ni ,,2,1 L= 。 证明 qn i q i pn i p i n i ii baba 1 1 1 11 ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?≤ ∑∑∑ === ， 其中 ∞<< qp ,1 ， 111 =+ qp 。 此不等式称为 lderoH && 不等式 ， 当 2== qp 时 ， 称为 Schwartz 不 等式或 Cauchy 不等 179 式 ， 它表明两个 n 维空间的向量夹角余弦之绝对值 1≤ 。 证 令 qxxf 1 )( = ， 0111)( 21 <?? ? ? ??? ? ?=′′ ?qx qqxf ， )(xf 为凹函数 ， 若 0>ix ， 0>it ， 1 1 =∑ = n i it ， 取 ∑ = = n i p i p i i a at 1 ， p i q i i a bx = ， 代入 ， 得 qn i p i qqq n i p i nn a bb a baba 1 1 1 11 1 11 )( ? ? ?? ? ? +≤+ ∑∑ = = LL 即 qn i q i pn i p i n i ii baba 1 1 1 11 ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?≤ ∑∑∑ === 。 4 ． 拐点 定义 函数 )(xf 在 );( 0 dxU 上连续 ， 如果它在 0x 的左右侧凹凸性相反 ， 称 0x 为一个 拐点 。 定理 6 如果 0x 是 )(xf 的拐点 ， )( 0xf ′′ 存在 ， 则 0)( 0 =′′ xf 。 证 )( 0xf ′′ 存在表明 )( xf ′ 在 0x 附近存在 ， )(xf 在 0x 的左右凹凸性相反 ， 表明 )( xf ′ 在 0x 的左右升降性相反 ， 即 0x 是 )( xf ′ 一个极值点 ， 由 Fermat 定理 ， 0)( 0 =′′ xf 。 定理 7 如果 )(xf 在 );( 0 dxU 二阶可导 ， 0)( 0 =′′ xf 且 )( 0xf ′′′ 存在不为零 ， 则 0x 是 )(xf 拐点 。 证 对 )(xf ′′ 用 Taylor 公式 ， 。)))(1()(( ))(())(()()( 00 0000 xxoxf xxoxxxfxfxf ?+′′′= ?+?′′′+′′=′′ 所以 dd <? 1 ， 使得当 );( 10 dxUx ∈ 时 ， )1()( 0 oxf +′′′ 与 )( 0xf ′′′ 有相同符号 ， 从而 )(xf ′′ 在 0x 左右符号相反 ， 即 )(xf 在 0x 左右凸凹性相反 ， 所以 0x 是拐点 。 5 ． 函数作图 180 计算机作图是 ],[ ba 把分得充分细 ， 在每个 ix 点上计算 )( ixf ， 描点 ))(,( ii xfx ， 当分 辨率达到一定程度时 ， 我们就看见 )(xfy = 的图形 ， 本书中图全部是这样做出来的 。 作出 图形后我们可以 直观地研究函数各种性质 。 手工作图不能这样 ， 计算量太大 。 反过来我们先把函数各种性质尽可能的搞清楚 ， 然 后再作出草图 ， 具体步骤如下 ： 1 ） 求出函数的定义域 ； 2 ） 研究函数的有界性 ， 奇偶性 ， 周期性 ； 3 ） 解方程 0)( =′ xf ， 列表求出函数升降区间和极值点 ； 4 ） 解方程 0)( =′′ xf ， 列表求出函数的凸凹区间和拐点 ； 5 ） 求出函数的斜渐近线与垂直渐近线 ； 6 ） 重要点上 （ 如 0=x 点 ） 函数值 。 例 1 用计算机作 2xey ?= 的图形 ， 并研究它 的奇偶性 ， 升降性和凸凹性 。 解 2xey ?= 定义域为 ),( +∞?∞ ， 且为偶函数 ， 它在概率上很重要 。 物理上做个实 验 ， 立着的平面上放一漏斗向下漏小绿豆 ， 则小绿豆在下面堆成一堆 ， 边缘曲线即是 2xey ?= 。 由于 0lim 2 =? ±∞→ xe x ， 所以 x 轴为一水平渐近线 ， 02 2 =?=′ ? xxey ， 其解为 0=x 。 x )0,(?∞ 0 ),0( +∞ y′ + 0 - y 1 极大 0)12(2 22 =?=′′ ?xexy ， 解为 21±=x 。 181 x )2 1,0( 2 1 ), 2 1( +∞ y ′′ - 0 + y 6.0 拐点 例 2 描绘 2 3 )1( )1()( + ?= x xxf 的草图 。 解 除 1?=x 外 ， )(xf 在实轴上都有意义 。 ?∞= ?→ )(lim 1 xf x ， 因此 1?=x 是垂直 渐近线 。 又 1)(lim = ∞→ x xf x ， 5))((lim ?=? ∞→ xxf x ， 所以 5?= xy 是另一条渐近线 ， 斜的 。 0)1( =f 。 3 2 )1( )5()1()( + +?=′ x xxxf ， 0)1( =′f ， 0)5( =?′f 。 4)1( )1(24)( + ?=′′ x xxf ， 0)1( =′′f 。 x )5,( ??∞ 5? )1,5( ?? )1,1(? 1 ),1( +∞ y′ + 0 - + 0 + y ′′ - - - - 0 + y 极大 拐点 y -1 0 5 x y=x-5 -5 习题 ： 182 7.1 求下列曲线所围图形的面积 ： （ 1） 2xy = 与 5+= xy ； （ 2） xy 22 = 与 5=x ； （ 3） 22 21 xxy ?+= 与 1=+ yx ； （ 4） 19 22 =+ yx ； （ 5） xy = 与 )0(sin 2 p≤≤+= xxxy 。 7.2 求下列用极坐标表示的曲线所围成图形的面积 ： （ 1） j2cos22 ar = ； （ 2） j3sinar = ； （ 3） )(cos abbar ≥+= q 。 7.3 求下列用参数方程表示的曲线所围成图形的面积 ： （ 1） 22 ttx ?= ， 322 tty ?= ； （ 2） )sin( ttax ?= ， )20()cos1( p≤≤?= ttay 以及 x 轴 ； （ 3） tax 3cos= ， tay 3sin= ； （ 4） )sin(cos tttax += ， )cos(sin tttay ?= ， )20( p≤≤ t 。 7.4 求下列曲面所围成的体积 ： （ 1） 椭球面 ： 12 2 2 2 2 2 =++ czbyax ； （ 2） 正圆台 ： 其上下底分别为半径为 a 与 b 的圆 ， 而其间的距离为 h； （ 3） 正长方台 ： 上底的长与 宽为 1a ， 1b ， 下底的长与宽为 2a ， 2b ， 而两底的间距为 h； （ 4） 抛物面 222 yxz += 与球面 3222 =++ zyx 所围成的部分 。 7.5 求下列旋转体的体积 ： （ 1） 旋转抛物体 ， 其底面积为 S， 高为 H； （ 2） 椭圆 12 2 2 2 =+ byax 与直线 )( ahhx <= ， 所围成部分绕 x 轴旋转产生的旋转 183 体 ； （ 3） 双曲线 12 2 2 2 =? axby 与直线 hx ±= 所围成的图形绕 x 轴旋转产生的旋转体 ； （ 4） 摆线 )sin( ttax ?= ， )20()cos1( p≤≤?= ttay 绕 x 轴旋转产生的旋转体 。 7.6 求下列曲线分别绕 Ox 轴与 Oy 轴旋转所成曲面包围的体积 ： （ 1） xy sin= ， 0=y ， p≤≤ x0 ； （ 2） 2)( axby = ， axby = ， 0, >ba 7.7 求下列曲线的弧长 ： （ 1） 3xy = ， 10 ≤≤ x ； （ 2） xey = ， 21 ≤≤ x ； （ 3） yyx ln2141 2 ?= ， ey ≤≤1 ； （ 4） 3 2 3 2 3 2 ayx =+ ； （ 5） )cos1( q+= ar ， 20 ≤≤q ， 0>a ； （ 6） )sin(cos tttax += ， )cos(sin tttay ?= ， 0>a ； p20 ≤≤ t 。 7.8 求下列曲线的曲率及曲率半径 ： （ 1 ） 0,22 >= ppxy ； （ 2） )cos1(),sin( tayttax ?=?= ； （ 3） )cos(sin),sin(cos tttaytttax ?=+= ； （ 4） )cos1( q+= ar ； （ 5） q2cos2 2ar = 。 7.9 （ 1） 求证 ： 用极坐标表示的曲线 )(qrr = 在 ),( qr 点的曲率为 ： 2/322 22 )( 2 rr rrrrK ′+ ′′?′+= 。 （ 2） 求 qbaer = 的曲率 。 7.10 求下列曲线旋转体的表面积 ： （ 1） pqq 20),cos1( ≤≤+= ar ， 绕极轴旋转 ； （ 2） )sin( ttax ?= ， )cos1( tay ?= ， 0>a ， p20 ≤≤ t ， 绕直线 ay 2= 旋转 ； （ 3） tax 3cos= ， tay 3sin= ， 绕 x 轴旋转 ； 184 （ 4） 12 2 2 2 =+ byax ， ba > ， 绕 x 轴旋转 。 7.11 求下列曲线的质量 （ 设密度为 1） 与重心坐标 ： （ 1） 21 xy ?= ， 11 ≤≤? x ； （ 2） )sin( ttax ?= ， )cos1( tay ?= ， 0>a ， p20 ≤≤ t ； （ 3） jcosax = ， jsinay = ， 4pj ≤ 。 7.12 （ 1） 求半圆 220 xRy ?≤≤ 的重心 ； （ 2） 求半圆周 )(22 RxxRy ≤?= 的重心 。 7.13 应用重心公式计算定积分 dxxx∫ +p 0 2cos1 。 7.14 质量为 m 的物体 ， 以初速 0v 发射使其脱离地球 ， 求证 ： （ 1） 物体脱离地球时 （ 即引力自 RR ′到 做功 ， 再令 ∞→′R ） 所做的功为 RmMGW = ， 其中 RM, 分别为地球的质量及半径 ， G 是引力常数 ； （ 2） gRv 20 = ； （ 3） 若 6370=R 公里 ， 2/8.9 秒米=g ， 求 0v （ 即第二宇宙速度 ）。 7.15 求下列量的 等价无穷小量 )0( →x ： （ 1） )1ln( x+ ； （ 2 ） 1?xe ； （ 3） 11 ?+n x ； （ 4） xxx ++ 。 7.16 求下列量的等价无穷大量 ： （ 1） )(6532 23 ∞→+?+ xxxx ； （ 2） )( +∞→++ xxxx ； （ 3） )0(32 12 →?+ + xxx x ； （ 4） )0(2 →xxarctgx 。 7.17 写出下列函数在 0=x 的带有皮亚诺余项的泰勒展开式 ： （ 1） xe 2 ； （ 2） 2cos x ； （ 3） )1ln( x? ； （ 4） 2)1( 1x+ ； 185 （ 5） 1 12 3 ? ++ x xx ； （ 6） x3sin 。 7.18 写出下列函数在 0=x 的泰勒展开式至所指的阶数 ： （ 1） )(1 32 xxx +? ； （ 2） )(cos 4xxe x ； （ 3） )(sin 4xxx ； （ 4） )()sinln(cos 4xxx + ； （ 5） )(12 32 xxx x ?+ ； （ 6） )(11 42 2 xxx xx +? ++ ； （ 7） )()1ln( 632 xxxx +++ ； （ 8） )(211ln nxxx?+ 。 7.19 在 0=x 处将下列函数展开到 4x ： （ 1） 2 2 1 xx x +? ； （ 2） 421 1 xx +? 。 7.20 求下列极限 ： （ 1） )sin11(lim 0 xxx ? → ； （ 2） x xe x x 6 3 0 sin 1lim 3 ?? → ； （ 3） ]23[lim 23 3 xxxx x ??+ +∞→ ； （ 4） )11ln()21(lim nn n ++ +∞→ 。 7.21 （ 1） 把多项式 32 2531)( xxxxP ?++= 表成 )1( +x 的幂的多项式 ； （ 2） 把多项式 532)( 23 ++?= xxxxP 表成 )1( ?x 的幂的多项式 。 7.22 设 2)( xexf = （ 1） 求证 ： 2)()()( xnn exPxf = ， 其中 )(xPn 为 n 次多项式 ， 满足 1)(0 =xP ， xxP 2)(1 = ， )(2)(2)( 11 xnPxxPxP nnn ?+ += ； （ 2） 求 )0()(nf 的值 。 7.23 用泰勒公式求证 ： （ 1） )10(2)1ln(0 2 ≤<<+?< xxxx ； （ 2） ∑ =+∞→ ?? ? ?? ? +?n kn kk1 )11ln(1lim 存在 。 7.24 求证 ： 186 （ 1） )10()!1(!1!31!2111 <<+++++++= q q n e ne L ； （ 2） e 是无理数 。 7.25 设 )(xf 在 ],[ ba 上有二阶导数 ， 且 0)()( =′=′ bfaf ， 则 ),( bac ∈? ， 使 )()()( 4)( 2 afbfabcf ??≥′′ 提示 ： 在 2 bax += 点写出函数的展开式 。 7.26 设 )(xf 在 ],[ ba 上二次连续可微 ， 且 0)()( == bfaf 。 求证 ： （ 1） )(max)(81)(max 2 xfabxf bxabxa ′′?≤ ≤≤≤≤ ； （ 2） )(max)(21)(max xfabxf bxabxa ′′?≤′ ≤≤≤≤ 。 提示 ： 在最大点写出函数 的展开式 。 7.27 设 )(xf 在 ),( +∞?∞ 上二次可微 ， 且 ),( +∞?∞∈?x 时 ， 有 0)( Mxf ≤ ， 2)( Mxf ≤′′ 。 （ 1） 写出 )( hxf + ， )( hxf ? 的泰勒展开式 ； （ 2） 求证 ： 0>?h ， 有 20 2)( MhhMxf +≤′ ； （ 3） 求 20 2 MhhM + 在 ),0( +∞ 上的最小值 ； （ 4） 求证 ： 202)( MMxf ≤′ 。 7.28 设 )(xf 在 ),0( +∞ 上二次可微 ， 且 0)( Mxf ≤ ， )0()( 2 >≤′′ xMxf 。 求证 ： )0(2)( 20 >≤′ xMMxf 。 7.29 若 )(xf 在 ],[ ba 上定义 ， 并满足 ],[,)()( 2 bayxyxkyfxf ∈??≤? 。 求证 ： ≡)(xf 常数 。 7.30 求证下列不等式 ： （ 1） )20(2sin pp <<> xxx ； （ 2） )0(21cos 2 ≠?> xxx ； 187 （ 3） )0(1 ≠+> xxe x ； （ 4） )0(1 1 22 ≠+<? xxe x ； （ 5） )10(11 2 ≤≤≤+? ? xexx x 。 7.31 求证下列不等式 ： （ 1） )1(1 )1(2ln >+?> xxxx ； （ 2） )0(1cossin 2 >?+>+ xxxxx ； （ 3） )0(1)1ln( ≥+≥+ xxarctgxx 。 7.32 （ 1） 求证 ： x xxf sin)( = 在 ),0( p 上单调下降 ； （ 2） 求证 ： 圆内接正 n 边形的面积随边数的增加而增加 。 7.33 求证 ： （ 1） xx )11( + 在 0>x 上单调上升 ； （ 2） xx ++ 1)11( 在 0>x 上单调下降 ； （ 3） )0()11()11( 1 >+<<+ + xxex xx 。 7.34 求下列函数的最大值 ： （ 1） )0()( 222 axxaxxf ≤≤?= ； （ 2） ),,10()1()( 为正整数mnxxxxf mn ≤≤?= ； （ 3） ),0()( 2 为正整数nxexxf nx ≥= ? ； （ 4） )0,0(1ln)( >>= aa xxxxf 。 7.35 求证 ： )0,0(2 >>+ babxa 为凸函数 。 7.36 求四次多项式是凸函数的条件 。 7.37 设 )(),( xgxf 是 ),( ba 上的凸函数 ， 求证 ： ))(),(max( xgxf 也是 ),( ba 上的凸函数 。 7.38 求证 ： （ 1） )1()(21 >+≥+ ? pbaba pppp ； （ 2） )10()(21 <<+≤+ ? pbaba pppp 。 7.39 设 )(xf 在 ],0[ a 上二次可导 ， 且 0)0( =f ， 0)( <′′ xf 。 求证 ： xxf )( 严格单调下降 。 7.40 设 2≥n ， 0>r ， )()( xf n 在 ],[ rara +? 上连续 ， 并设 )11(0)()( ?≤≤= nkaf k ， 188 0)()( ≠af n ， 求证 ： （ 1） 当 n 为偶数时 ， a 是极 值点 ； （ 2） 当 n 为奇数时 ， a 是拐点 。 7.41 作下列函数的图形 ： （ 1） 3 3 )1( )1( + ?= x xy ； （ 2） 3 4 )1( x xy += ； （ 3） 2 3 )1(2 ?= x xy ； （ 4） 1 1 2 + += x xy 。 7.42 作下列函数的图形 ： （ 1） 2)1( 2 xexy ?+= ； （ 2） xexy ?= 3 2 。 7.43 作下列函数的图形 ： （ 1） )20(cossin 33 p≤≤+= xxxy ； （ 2） )0(33sin22sinsin p≤≤++= xxxxy 。 7.44 作 123 +??= xxxy 的图形 ， 方程 023 =+?? kxxx 当 k 取何值时有三个实根 ？ 7.45 已知某商品每周生产 x 单位时 ， 总费用的变化率 124.0)( ?= xxf （ 元 /单位 ）， 求总 费用 )( xF 。 如果这种商品的销售单价是 20 元 ， 求总利润 )( xL 。 每周生产多少产 品才能得到最大利润 ？