50 第 三 章 连 续 函 数 § 3 .1 连续和间断 定义 )(xf 定义在 ),( ba ， ∈0x ),( ba , 若 )()(lim 0 0 xfxf xx → → ， 则称函数 )(xf 在 点 0x 连续 ， 0x 称为连续点 ， 否则称 0x 为间断点 。 函数 )(xf 在 ),(0 bax ∈ 连续也可用 de ? 语言来叙述 ： )(xf 定义于 ),( ba ， ),(0 bax ∈ , 若 0>? e ， 0>?d , 使得当 ),( bax ∈ 且 d<? 0xx 时 ， 有 e<? )()( 0xfxf ， 则称 )(xf 在点 0x 连续 。 等价地也可表述为 )0()(lim 0 00 ?→ ?→ xfxf xx , )0()(lim 0 00 +→ +→ xfxf xx 且 )0()()0( 000 +==? xfxfxf ， 即如果 )(xf 在 0x 左右极限都存在 ， 且等于该点函数值 ， 称 )(xf 在该点连续 。 间断点可分为三类 定义 （ 1） 若函数在 0x 点左右极限存在且相等 ， 但不等于该点的函数值 ， 则称 0x 为可 去间断点 。 （ 2 ） 若函数在 0x 点左右极限存在 ， 但不相等 ， 称 0x 为第一类间断点 。 （ 3） 若函数在 0x 点的左右极限至少有一个不存在 ， 称 0x 为第二类间断点 。 在可去间断点 0x 上 ， 我们修改 )(xf 在 0x 定 义 ， )0()0()( 000 +=?= xfxfxf ， 则它就变 成在 0x 连续的函数了 ， 这就是 “ 可去 ” 的意思 。 这不是本质间断的 。 另两类间断点才是本质的 。 可去间断点 可去间断点 51 第一类间断点 第二类间断点 例 （ ⅰ ） ?? ?= 。 ， 为无理数 为有理数 x xxxf ,0 ,)( 0=x 是连续点 ， 其余都是第二类间断点 。 （ ⅱ ） ?? ? ≠ == 1,1 1,2)( x xxf 1=x 是可去间断点 。 （ ⅲ ） ?? ??? = ≠= .0,0 ,0,1)( x xxarctgxf 0=x 是第一类间断点 。 （ ⅳ ） ?? ??? = ≠= .0,0 ,0,1)( x xxxf 0=x 是第二类间断点 。 （ ⅴ ） ?? ??? = ≠= .0,0 ,0,1sin)( x xxxf 0=x 是第二类间断点 。 （ ⅵ ） Dirichlet 函数 ?? ?= 。， ， 为无理数 为有理数 x xxD 0 ,1)( 每一点都是第二类间断点 。 （ ⅶ ） Riemann 函数 ?? ??? == 。， ， 为无理数 为有理数 x q px qxR 0 ,1)( 所有有理点为可去 间断点 ， 无理点为连续点 。 定义 若 )(xf 在区间上每一点连续 （ 闭区间情况端点单侧连续 ）， 则称函数在区间上 连续 。 定理 )(xf 在 ),( ba 上单调 ， 则 )(xf 只有第一类间断点 。 证 无妨设 )(xf 在 ),( ba 单调上升 ， ),(0 bax ∈? ， 当 00 ?→ xx 时 ， 函数值 )(xf 单 f(x ) f(x 0 -0) f(x 0 +0) y=sin(1/x) 52 调上升 ， 有上界 )( 0xf ， 所以极限存在 ， 且 )()0()(lim 00 00 xfxfxf xx ≤?= ?→ 。 同理 )()0()(lim 00 00 xfxfxf xx ≥+= +→ 。 若 )0()0( 00 +=? xfxf ， 0x 为 )(xf 连续点 ， 若 )0()0( 00 +<? xfxf ， 0x 为第一 类间断点 。 连续函数是一类 “ 比较好 ” 的函数 ， 是研究微积分的基础 。 微分或导数是求曲线 )(xf 在 0x 点切线的斜率 ， 函数在 0x 连续 ， 是切线存在的必要条 件 。 积分是求区间 ],[ ba 上曲线 )(xf 下面的一块曲边梯形的面积 ， 函数 )(xf 在 ],[ ba 上连 续 ， 是面积存在的充分条件 ， 连续不是可微的充要条件 ， 也不是可积的充要条件 ， 是介乎中 间的一类函数 ， 其直观意义是 “ 不间断 ” ， 即不被剪开 ， 也不被振断 。 §3.2 连续函数的性质 1. 定理 1 )(xf 定义在 )( 0xU 上 ， 在 0x 点连续 ， 0)( 0 >xf ， 则 0>?d 使 0)( >xf ， ),( 0 dxUx ∈ ，（ 湮符号性质 ）。 定理 2 设 )(xf ， )(xg 在点 0x 连续 ， 则 （ 1） )()( xgxf ± 在 0x 点连续 ； （ 2） )()( xgxf ? 在 0x 点连续 ； （ 3） 若 0)( 0 ≠xg ， )( )(xg xf 在 0x 点连续 。 推论 若 f ， ],[ baCg ∈ , 则 ],[)()( baCxgxf ∈± ， ],[)()( baCxgxf ∈? ,又若 ,0)(,],[ ≠∈? xgbax ],[)( )( baCxg xf ∈ 。 x 0 a b 53 连续是用极限定义的 ， 本推论是极限四则运算定理的直接结果 ， 不 证自明 。 定理 3 设 )(tfy = 在 0tt = 点连续 ， )( xgt = 在 0xx = 点连续 ， 且 )( 00 xgt = ， 则 )]([ xgfy = 在 0xx = 点连续 。 这是复合函数求极限定理的直接结果 ， 因其证明方法具有典型性 ， 这里我们还是给出其 证明 。 证 0>? e , 由 )(tf 在 0t 连续 ， 0>?h , 使得当 h<? 0tt 时 ， 有 e<? )()( 0tftf . 对于 0>h ， 由 )(xg 在 0x 连续 ， 0>?d , 使得当 d<? 0xx 时 ， 有 =? )()( 0xgxg h<? 0tt 。 所以当 d<? 0xx 时 ， 有 e<?=? )]([)]([)()( 00 xgfxgftftf ， 即 )]([ xgf 在 0x 点连续 。 推论 若 ),()( baCxg ∈ ， 值域包含于 ),( ba ， ),()( baCtf ∈ ， 则 )]([ xgf ),( baC∈ 2． 下面我们给出闭区间上连续函数的基本性质定理 ， 这里我们给出证明 ， 但目前不要求同 学们掌握 ， 到第三册我们还会回到这个课题 。 定理 ( Bolzano-Cauchy 第一定理 ） 设 ],[)( baCxf ∈ ， 0)()( <? bfaf ,则 ),( ba∈?x ， 使得 0)( =xf 。 一条不间断的绳子 ， 两头夹住 ， 一头正 ， 一头负 , 总有一点 x 使得 0)( =xf 。 证明 ： 不妨设 0)( <af ， 0)( >bf 。 用中点 20 bac += 将 ],[ ba 一分为二 ， 得两区间 ],[ 0ca 和 ],[ 0 bc 。 若 0)( 0 =cf ， 取 0c=x 即可 。 不然若 0)( 0 >cf ， 取 ],[],[ 011 caba = ; 若 0)( 0 <cf ， 取 ],[],[ 011 bcba = ， 这保证 0)( 1 <af ， 0)( 1 >bf 。 再用中点 2 111 bac += 将 ],[ 11 ba 一分为二 ， 如上面方法选 ],[ 22 ba Λ, 。 如此下去 ， 在某一 步如有 0)( =ncf ， 取 nc=x 即可 ， 否则我们得到一区间串 ],[ nn ba ， 满足 1） ],[],[ 11 nnnn baba ?++ ， Λ,3,2,1=n ； f(x) a b 54 2） 0)(21 →?=? abab nnn ， 当 ∞→n 时 ； 3） )(0)( nn bfaf << 。 由区间套定理 ， 存在 ],[ nn ba∈x ， 使得 nnnn ba ∞→∞→ == limlim x 。 再由 3） 及连续函数性质 ， 有 0)(lim)( ≤= ∞→ nn aff x ， 0)(lim)( ≥= ∞→ nn bff x ， 从而 0)( =xf 。 定理 （ Bolzano-Cauchy 第二定理 ） 设 ],[)( baCxf ∈ ， 值 h 介于 )(af 和 )(bf 之 间 ， 则 ],[ ba∈?x ， 使得 hx =)(f 。 证 不妨设 )(,)( bfaf≠h ， 作 h?= )()( xfxF ， ],[)( baCxF ∈ 且 0)()( <? aFbF ， 则由 Bolzano-Cauchy 第一定理 ),( ba∈?x ， 使 0)( =xF ， 即 hx =)(f 。 定理 （ Weierstrass 第一定理 ） ],[)( baCxf ∈ ， 则 )(xf 在 ],[ ba 上有界 。 证明 ： 如若不然 ， )(xf 在 ],[ ba 上无界 ， ∈?n N， ],[ baxn ∈? ， 使得 nxf n >|)(| ， 对于序列 }{ nx ， 它有上下界 bxa n ≤≤ ， 波尔察诺子序列定理告诉我们 kn x? 使得 ],[0 baxx kn ∈→ ， 由 )(xf 在 0x 连续 ， 及 kn nxf k >|)(| 有 +∞== ∞→ |)(|lim|)(| 0 knk xfxf ， 矛盾 。 定理 （ Weierstrass 第二定理 ） ],[)( baCxf ∈ , 则 )(xf 在 ],[ ba 上达到上 、 下确界 。 证 令 )}({sup xfM bxa ≤≤ = ， +∞<M , 如果 )(xf 达不到 M ， 则恒有 Mxf <)( 。 考虑函数 )(1)( xfMx ?=j ， 则 ],[)( baCx ∈j ， 因而有界 ， 即 )0()( >≤ mmj x ， 55 从而 MMxf <?≤ m1)( ， 这与 M 是上确界矛盾 ， 因此 ],[ bax ∈? ， 使得 Mxf =)( 。 类似地可 以证明达到下确界 。 3． 一致连续性 定义 设 )(xf 定义在区间 I 上 ， 0>? e , 0)( >=? edd , 使得当 d<? 21 xx , 1x , Ix ∈2 时 ， 有 e<? )()( 21 xfxf ， 则称 )(xf 在 I 上一致连续 。 一致连续比一般地连续要强 ： )(xf 在 I 连续 ， Ix ∈? 0 ， 0>? e ， 0),( 0 >=? edd x ， 使得当 d<? 0xx ， Ix ∈ 时 ， 有 e<? )()( 0xfxf 。 这里 ),( 0 edd x= 与点 0x 有关 ， 在一致连续定义中 )(edd = 与 21 ,xx 无关 ， 是在区间 I 放在何处而皆准的普适常数 。 函数在区间 I 上一致连续推出它在区间上连续 ， 反之不对 。 但如果是闭区间 ， 就成立了 ， 看下面定理 ： 定理 （ Cantor 1845-1918） ],[)( baCxf ∈ , 则 )(xf 在 ],[ ba 上一致连续 。 证明 ： 如果不然 ， )(xf 在 ],[ ba 上不一致连续 ， 00 >?e ， 0>?d ， ],[, baxx ∈′′′? ， d<′′?′ || xx ， 而 0|)()(| e≥′′?′ xfxf 。 取 n1=d ， ],[, baxx nn ∈′′′? ， nxx nn 1|| <′′?′ ， 而 0|)()(| e≥′′?′ nn xfxf ， 由波尔察 诺定理 ， 存在子序列 ],[0 baxx kn ∈→′ ， 而由 k nn nxx kk 1|| <′′?′ ， 也有 0xx kn →′′ 。 再由 )(xf 在 0x 连续 ， 在 0|)()(| e≥′′?′ kk nn xfxf 中令 ∞→k ， 得 000 |)()(|lim|)()(|0 e≥′′?′=?= ∞→ kk nnk xfxfxfxf ， 矛盾 。 所以 )(xf 在 ],[ ba 上一致连续 。 例 设 )(xf 在 )0(),[ >+∞ aa 上满足 Lipschitz 条件 ： yxkyfxf ?≤? )()( , 证明 x xf )( 在 ),[ +∞a 上一致连续 。 证 分析 56 . )()()()()( 21 21 21 2 1 21 2 2 1 1 e<?≤ ?+?≤? xxB xx xxxf x xfxf x xf x xf 因为 axkafxf ?≤? )()( ， )()( 22 afakxkxf ++≤ ， Bxxf ≤ 2 2 )( ， 取 Bed = ， 当 d<? 21 xx 时 ， e<? 2 2 1 1 )()( x xf x xf 。 § 3 . 3 初等函数连续性 1． 多项式函数 ),()( +∞?∞∈CxPn 。 有理函数 )()( )()( DCxQ xPxR m n ∈= ， })({\ 的零点xQD mR= 三角函数 ),(cos,sin +∞?∞∈ Cxx e<?≤?+=? 0000 2sin2cos2sinsin xxxxxxxx },){(\),( 21 ZR ∈+=∈ kkDDCxtg p 2． 定理 区间上严格单调函数 ， 如果值域为一区间 ， 则函数连续 。（ 见上图 ） 本定理可看成 Bolzano-Cauchy 第二定理之逆 ： 连 续函数可以取到一切中间值 ， 反之不对 ， 看例子 ?? ??? ≤< ≤≤? <≤ = .32 ,213 ,10 )( xx xx xx xf 它可取一切中间值 ， 却不连续 。 但如加上严格单 调条件 ， 就成立了 。 a b y=f(x) 57 定理的证明 不妨设 )(xf 在区间 ),( baI = 严格上升 ， 若 )(xf 在 Ix ∈0 不连续 ， 则 )0()()0( 000 +≤≤? xfxfxf 中必有一严格不等号成立 ， 比如 )()0( 00 xfxf <? ， 则 值域包含在 ))0(),([)]0(),0(( 00 ?∪?+ bfxfxfaf 中 ， 就不是一个区间了 。 下面定理给出反函数的连续性 。 定理 设 ),()( baCxfy ∈= ， 严格上升 ， 记 ba == <<<< )(sup,)(inf xfxf bxabxa , （ ba , 可能为 +∞∞? , ） 则 （ 1） 在 ),( ba 上存在反函数 )(1 yfx ?= ； （ 2） )(1 yfx ?= 在 ),( ba 上严格上升 ； （ 3） ),()(1 baCyf ∈? 。 实际上 )(xfy = 和 )(1 yfx ?= 表示是同一条曲 线 ， 单调性和连续性都是这条曲线的固有性质 ， 这定理结果是再也自然不过的事实 。 证 （ 1） 因 )(xfy = 严格上升 ， 反函数一定存在 ， 需要证 )(1 yf ? 的定义域恰为 ),( ba 。 ),(0 ba∈? y ， 由上 、 下确界定义 ， ),(, baxx ∈′′′? , 使得 )()( 0 xfyxf ′′<<′ 。 在 ],[ xx ′′′ 或 ],[ xx ′′′ 上应用 Bolzano-Cauchy 第二定理 ， ),(0 xxx ′′′∈? 或 ),( xx ′′′ ， 使得 00 )( yxf = ， 由 0y 的任意性 ， 得到 ),( ba 为 f 的值域 ， 即 ),( ba 为 )( 1 yfx ?= 的定义域 。 （ 2） 设 ),(2,1 ba∈yy , 21 yy < , 要证 221111 )()( xyfyfx =<= ?? ， 若 21 xx ≥ ， 由反函数定义及 )(xf 的严格上升 ， 得 2211 )()( yxfxfy =≥= , 矛盾 ， 所以 )(1 yf ? 严格 上升 。 （ 3） )(1 yf ? 在 ),( ba 严格上升 ， 值域为 ),( ba ， 由定理 1 知 ),()(1 baCyf ∈? 。 注 若 ],[)( baCxf ∈ 严格上升 ， 令 ba == )(,)( bfaf , 则结论中 ),( ba 改为 ],[ ba 仍成立 ， 对严格下降函数也有同样结论 。 由此可得 ,]1,1[arcsin ?∈= Cxy ,]1,1[arccos ?∈= Cxy y β α O x a b y=f(x) 58 ),( ∞+?∞∈= Cxarctgy 。 3 ． 指数函数 xa 、 对数函数 xalog 和幂函数 ax 连续性 引理 设 1,1 >> na 为正整数 ， 则 !1b?>， 使 nba = 。 由此我们可以定义 n ab = 。 证 在区间 ],1[ a 上考虑函数 ],1[)( aCxxf n ∈= , 且 )(1)1( afaaf n =<<= 。 Bolzano-Cauchy 第二定理给出 ],1[ ab ∈ ， 使 nba = 。 如果 n ab =′ ， 即 ab n =′ ， nn bb =′ ， 由函数 nxxf =)( 严格单调 ， 推出 bb =′ ， 即 唯一性 。 定义 若 nmq = （ nm, 正整数 ， 互素 ） 为正有理数 ， mnq aa )(= 。 若 q 为负有理数 ， q q aa ?= 1 ， 定义 10 =a 。 若 l 为无理数 ， 定义 为有理数qaa q q ,sup l l < = 。 这里需说明 sup 存在 ： 当 q 为有理数时 ， qa 是单调上升的 ， 即 21 qq < 时 ， 112 1 2 >= ?qqq q aaa ， 12 qq aa > ， 所以 sup 存在 。 最后无论 x 为有理数还是无理数 ， 都有 为有理数qaa q xq x ,sup ≤ = 。 命题 xaxf =)( 严格上升 ， 在 ),( +∞?∞ 上连续 。 证 设 21 xx < ， ?有理数 21 , qq ， 使得 2211 xqqx ≤<≤ , 由此 2 2 21 1 1 supsup xq xq qqq xq x aaaaaa =≤<≤= ≤≤ 。 ),(0 +∞?∞∈? x , 0>? e , N? , 使得 Na )1( e+< ， 取 21 , qq 有理数 ， 使得 201 qxq << , Nqq 1 12 =? , 则 2)0()( 00 qaxfxf ≤+≤ , 1)0()( 00 qaxfxf ≥?≥ , e+<==≤?+≤ ? 1)0( )0(1 1 0 0 12 1 2 Nqq q q aaaaxf xf , 所以 0)()0()0( 000 xaxfxfxf ==?=+ 。 指数函数还有 性质 2121 xxxx aaa += 。 命题 对数函数 ),0(log ∞+∈= Cxy a 。 59 证 yax = 在 ),( +∞?∞ 上严格上升 ， 连 续 ， 其值域为 ),0( ∞+ ， 所以其反函数 xy alog= 在 ),0( ∞+ 也严格上升 ， 连续 。 命题 幂函数 ),0(ln ∞+∈== Cexy xaa 。 证 它是指数函数 ze 和对数函数 xz lna= 的复合函数 ， 每个函数都连续 ， 它们的复合 也连续 。 结论 一切初等函数都在其定义域上是连续的 。 求极限的指数法则 若 0)(lim 0 >= → axu xx ， bxv xx = → )(lim 0 ， 则 0)(lim )( 0 >= → bxv xx axu 。 证 如果 )(),( xvxu 在 0x 点连续 ， 且 0)( 0 >xu ， 则 )(ln)()()( xuxvxv exu = 在 0x 点连续 ， 补充定义 axu =)( 0 ， bxv =)( 0 ， 则 bxv xx axu = → )()(lim 0 。 上述极限过程当 ∞?+∞= ,0x 时仍成立 ， 只要利用变换 tx 1= 就行了 ， 例如 ： x x x )1sin1(lim + +∞→ 中我们注意到 x x xx xx 1 1sin 1sin 1 )1sin1()1sin1( ? +=+ ， 很容易得到它趋向于 e ， 当 +∞→x 时 。 f 连续 f? 与 0 lim xx→ 可交换 ： )lim()()(lim 00 0 xfxfxf xxxx →→ == ； ))(())(lim())((lim 0 00 xfxfxf xxxx jjj == →→ 。 习题 3.1 研究下列函数的连续性 ， 并指出间断点类型 ： （ 1） xxf sgn)( = ； （ 2） ][)( xxxg ?= ； （ 3） )]([ xgf ； )]([ xfg ； （ 4） ? ? ?? ? ? ? ??? ?? ? ? +?= xxxxxh 1 1 1 1 11)( . 3.2 指出下列函数的间断点 ， 并说明属于哪一类型的间断点 ： （ 1） 2)1( xxy += ； （ 2） xy 1cos 2= ； 60 （ 3） )sgn(sin xy = ； （ 4） ?? ? ?? ?= x y 11 )10( ≤< x . 3.3 适当选取 a ， 使函 数 ? ?? ≥+ <= 0, 0,)( xxa xexf x 连续 . 3.4 举出处处都不连续 ， 但取绝对值后却是处处连续的函数的例子 . 3.5 设 )(xf ， )(xg 在 ],[ ba 上连续 ， 证明 ： （ 1） ],[|)(| baCxf ∈ ； （ 2） ],[))(),(max( baCxgxf ∈ ； （ 3） ],[))(),(min( baCxgxf ∈ . 3.6 设 ],[)( baCxf ∈ ， 令 ?? ? ∈≤ ∈>= ].,[)(, ],,[)(),()( baxtxft baxtxfxfxf t 的 的 求证 ： ],[)( baCxf t ∈ . 3.7 设 )(xf 在 0=x 处连续 ， 且 ),(, +∞?∞∈? yx ， 有 )()()( yfxfyxf +=+ ， 证明 ： )(xf 在 ),( +∞?∞ 上连续 ， 且 xfxf ?= )1()( . 3.8 设 )(xf 在 ),( ba 上只有第一类间断点 ， 且对 ),(, bayx ∈? ， 有 2 )()()2( yfxfyxf +≤+ 求证 ： )(xf 在 ),( ba 上连续 . 3.9 证明方程 )0(03 >=++ pqpxx 有且只有一个实根 . 3.10 设 )(xf 在 ),( ba 上连续 ， ),(,,, 21 baxxx n ∈Λ ， 证明 ： ),( ba∈?x ， 使 ∑ = = n i ixfnf 1 )(1)(x . 3.11 设 ],[)( baCxf ∈ ， 且 21 xx ≠ （ ],[, 21 baxx ∈ ） 时 ， 有 )()( 21 xfxf ≠ ， 求证 ： )(xf 在 ],[ ba 上严格单调上升或严格单调下降 . 61 3.12 设 ),()( +∞?∞∈ Cxf ， ),(, +∞?∞∈? yx ， 函数 )(xf 满足 |||)()(| yxkyfxf ?≤? )10( << k . 求证 ： （ 1） 函数 )(xfkx ? 单调上升 ； （ 2） ),( +∞?∞∈?x ， 使 xx =)(f . 3.13 求下列极限 ： （ 1） x x x x x + ? → ?? ?? ? ? + + 1 1 1 2 1lim ； （ 2） x n arctgx 1cos )(lim +∞→ . 3.14 求下列极限 ： （ 1） 2 1 0 )(coslim x x x → ； （ 3） x x xx 1 0 )sin(coslim + → . 3.15 证明 ： 方程 xx ln=a （ 0<a ） 在正实轴上有且仅有一根 . 3.16 设 ),[)( +∞∈ aCxf ， 且 )(lim xf x +∞→ 存在 ， 证明 ： )(xf 在 ),[ ∞+a 上有界 . 3.17 设 ),()( +∞?∞∈ Cxf ， 且 +∞= ±∞→ )(lim xf x ， 证明 ： )(xf 在 ),( +∞?∞ 上取到它的 最小值 . 3.18 设 ],[)(),( baCxgxf ∈ ， 证明 ： |)(|max|)(|max|)()(|max xgxfxgxf bxabxabxa ≤≤≤≤≤≤ +≤+ . 3.19 设 ],[)( baCxf ∈ ， 记 )(max)( tfxg xta ≤≤ = )( bxa ≤≤ ， 求证 ： ],[)( baCxg ∈ . 3.20 求证 ： xy = 和 xy sin= 在实轴上一致连续 . 3.21 求证 ： 3 xy = 在 ),0[ ∞+ 上一致连续 . 3.22 设 )(xf 在 ),( ba 上一致连续 ， 证明 ： （ 1） )(xf 在 ),( ba 上有界 ； （ 2） xy ln= 在 )1,0( 上不一致连续 . 3.23 设 )(xf 在 ],[ ba 上满足李普希兹条件 ： |||)()(| yxkyfxf ?≤? ， （ k 为常数 ）， ],[, bayx ∈? . 证明 ： )(xf 在 ],[ ba 上一致连续 . 3.24 设 )(xf 在 ),[ ∞+a )0( >a 上满足李普希兹条件 ： 62 |||)()(| yxkyfxf ?≤? ， ),[, +∞∈? ayx . 证明 ： xxf )( 在 ),[ ∞+a 上一致连续 . 3.25 设 )(xf 在 ),( ∞+?∞ 上单调 ， 且满足方程 ： 2 )()(2 yfxfyxf +=? ? ?? ? ? + ， ),(, +∞?∞∈? yx . 求证 ： xffxf ?+= )1()0()( . 3.26 设 )(xf 在 ],[ ba 上连续 ， 并且有唯一的极大点 0x ； 又设 ],[ baxn ∈ ， 使 )()(lim 0xfxf n n = +∞→ 。 求证 ： 0lim xxn n = +∞→ 。 3.27 设 )(xf 在 ),( ba 上连续 ， 且无极大点 ， 求证 ： )(xf 只存在两种情况 ： （ 1） )(xf 在 ),( ba 上单调 ； （ 2） ),(0 bax ∈? ， 使得 )(xf 在 ),( 0xa 上下降 ， 在 ),( 0 bx 上上升 ， 且 0x 为 )(xf 的 最小值点 。 3.28 设 ]2,0[)( aCxf ∈ 而且 )2()0( aff = 。 求证 ： ],0[ ax ∈? 使得 )()( axfxf += 。 3.29 设 )(xf 在 ],[ ba 上连续 ， 且取值为整数 。 求证 ： ≡)(xf 常数 。