1 第 五 章 隐函数定理 § 3.1 Jacobi 矩阵与 Jacobi 行列式 这章以及下一章中 , 我们希望用偏导数来研究多元函数和多元向量函数 . 设 G 和 ? 分别是 nR 和 mR 中区域 , ?→GF : 是一向量函数 . 要研究 F , 我们需要 了解 F 的象集 { })(..,)( PFQtsGPQGF =∈??∈= 以及逆象集 { }QPFGPQF =∈=? )()(1 . 我们先讨论 )(1 QF ? . 将 F 表示为 )),,(,),,,((),,( 1111 nmnn xxfxxfxx LLLL → , 设 ?∈= ),,( 001 mqqQ L , 则 )(1 QF ? 为下面方程组的解 : ?? ?? ? = = .),,( ),,( 0 1 0 111 mnm n qxxf qxxf L LLLLLLL L （ 1.1） 如果令 011011111 ),,(),,(,,),,(),,( mnmnmnn qxxfxxFqxxfxxF ?=?= LLLLL , 则我 们需要解 ?? ??? = = .0),,( 0),,( 1 11 nm n xxF xxF L LLLLLLL L （ 1.2） 一般不能期望将方程的解都给出来 . 通常将 0),,( 1 =ni xxF L 看作变量 ),,( 1 nxx L 的 约束条件 . 我们希望知道在这些约束条件下哪些变量是自由的 , 使其余的变量由其决定 ,即 是否存在一组函数 , 例如 ,),,( ),,( 1 111 kknn kk xxgx xxgx L LLLL L ? + = = （ 1.3） 使得 ),,( 1 nxx L 为方程组 （ 1.2） 的解当且仅当其满足 （ 1.3） , 其中 ),,( 1 kxx L 在一个开集 内取值 . 满足上面关系的函数 ),,(,),,,( 111 kknk xxgxxg LLL ? 称为由方程组 （ 1.2） 确定的 2 ),,(,),,,( 111 nmn xxFxxF LLL 的隐函数 . 虽然一般不能将这样的隐函数的解析表达式给 出 , 但仍然希望能够通过 ),,(,),,,( 111 nmn xxFxxF LLL 的连续性 、 可微性 、 偏导数等得到 其隐函数的 连续性 、 可微性和偏导数 . 设 ),,( 0010 nxxP L= 是方程组 （ 1.2） 的解 , 且 ),,(,),,,( 111 nmn xxFxxF LLL 在 0P 的 邻域上可微 , 则对 ),,( 1 nxxP L= , 有 ( ) ( ) .)()()()(),,( ,)()()()(),,( 0 000 11 1 0 1 0 0010 11 1 01 11 PPoxxx PFxxxPFxxF PPoxxxPFxxxPFxxF nn n mm nm nn n n ?+???++???= ?+???++???= LL LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL LL 由于我们讨论的仅是解的存在性问题 , 忽略高阶无穷小 , 则方程组可近似地化为齐次线性方 程组 ? ? ? ? ? ? ? =???++??? =???++??? .0)()()()( 0)()()()( 000 11 1 0 0010 11 1 01 nn n mm nn n xxx PFxxx PF xxxPFxxxPF L LLLLLLLLLLLLLLLLLL L 齐次方程组是我们熟知的 , 其解空间由其系数矩阵确定 . 上 面方程组中的系数矩阵称为 ),,(,),,,( 111 nmn xxFxxF LLL 在 0P 点的 Jacobi 矩阵 . 定义 : 设 ),,( 0010 nxxP L= , 映射 )),,(,),,,((),,(: 1111 nmnn xxfxxfxxF LLLL → 在 0P 可微 , 则矩阵 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = n mm n n m x Pf x Pf x Pf x Pf PxxD ffD )()( )()( )(),,( ),,( 0 1 0 01 1 01 0 1 1 LL LLLLLL LL L L 称为 )),,(,),,,(( 111 nmn xxfxxf LLL 在 0P 点的 Jacobi 矩阵 . 如果 mn = , 则行列式 n nn n n n x Pf x Pf x Pf x Pf Pxx ff ? ? ? ? ? ? ? ? =?? )()( )()( )(),,( ),,( 0 1 0 01 1 01 0 1 1 LL LLLLLL LL L L 3 称为映射 )),,(,),,,(( 111 nnn xxfxxf LLL 在 0P 点的 Jacobi 行列式 . 一般以 ( ) ( ) ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = l kkk l l l k j i j i j i j i j i j i j i j i j i jjj iii x Pf x Pf x Pf x Pf x Pf x Pf x Pf x Pf x Pf PxxxD fffD )()()( )()()( )()()( )(,, ,,, 000 000 000 0 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 21 21 LL LLLLLLLL LL LL L L 表示分量 kiii fff ,,, 21 L 相对于自变量分量 ljjj xxx ,, 21 L 在 0P 点的 Jacobi 矩阵 . 以 ( ) ( ) k kkk k k k k j i j i j i j i j i j i j i j i j i jjj iii x Pf x Pf x Pf x Pf x Pf x Pf x Pf x Pf x Pf Pxxx fff ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =?? )()()( )()()( )()()( )(,, ,,, 000 000 000 0 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 21 21 LL LLLLLLLL LL LL L L 表示分量 kiii fff ,,, 21 L 相对于自变量分量 kjjj xxx ,, 21 L 在 0P 点的 Jacobi 行列式 . 利用 Jacobi 矩阵 , 对向量函数 )),,(,),,,(( 111 nmn xxfxxf LLL , 有下面形式的 Taylor 展开 ( ),)()( )(),,( ),,( ),,( ),,( ),,( ),,( 2020 11 0 0 11 0 1 1 00 1 00 11 1 11 nn nn n m nm n nm n xxxxo xx xx PxxD ffD xxf xxf xxf xxf ?++?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L MLL L M L L M L 这里 o 表示一个无穷小的 m 阶向量 . 因此代替每个分量函数的偏导数 , Jacobi 矩阵 )(),,( ),,( 0 1 1 P xxD ffD n m L L 可看作映射 )),,(,),,,((),,(: 1111 nmnn xxfxxfxxF LLLL → 的导函数 , 也记为 )( 0PDF , 其在数学的多个分支中有广泛应用 . 例 : 如果 ),,( 1 nxxf L 在 ),,( 0010 nxxP L= 可微 , 则 4 ))((grad)(,,)()(),,( )()( 00 1 0 0 1 0 Pfx Pf x PfP xxD fDPDf nn =?? ? ? ??? ? ? ? ? ?== L L . Jacobi 矩阵就是 f 的梯度向量 . 例 : 设 ),,( 1 nxxf L 在 ),,( 0010 nxxP L= 邻域上二阶可微 . 定 义映射 ??? ? ??? ? ? ? ? ?=→ n nn x f x fxxfxx ,,),,)((grad),,(:grad 1 11 LLL , 则其 Jacobi 矩阵 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? = 2 2 1 2 1 2 2 1 2 )grad( nn n x f xx f xx f x f D LL LLLLLL LL 就是函数 ),,( 1 nxxf L 的 Hessi 矩阵 . Jacobi 矩阵作为向量函数的导数 , 与一元函数的导数相同 , 也满足链法则 . 定理 1: 设 ),,(),,(: 11 mn yyxxF LL → 和 ),,(),,(: 11 rm zzyyG LL → 都是可微的 映射 , 则 Jacobi 矩阵满足 DFDGFGD oo =)( , 或表示为 ),,( ),,( ),,( ),,( ),,( ),,( 1 1 1 1 1 1 n m m r n r xxD yyD yyD zzD xxD zzD L L L L L L ?= . 证明 : 利用偏导数的链法则和矩阵乘法直接计算即可 . 推论 : 如果在定理 1 中 rmn == , 则 Jacobi 行列式满足 ),,( ),,( ),,( ),,( ),,( ),,( 1 1 1 1 1 1 n n n n n n xx yy yy zz xx zz L L L L L L ? ?? ? ?= ? ? . § 3.2 隐函数定理 设 0),,(,,0),,( 111 == nln xxFxxF LLL 是一函数方程组 , 称集合 S 上的函数 ),,(,),,,( 1111 kknnkk xxfxxxfx LLL ?+ == 为此方程组在 S 上确定的隐函数 . 如果在 S 上恒有 5 .0)),,(),,,(,,,( 0)),,(),,,(,,,( 1111 11111 = = ? ? kknkkl kknkk xxfxxfxxF xxfxxfxxF LLLL LLLLLLLLLLLLLLLLLLL LLLL 例 : 设 22),( yxyxF ?= , 则其在 )0,0( 的邻域上确定无穷多个隐函数 )(xfy = ; 但如 果要求 )(xfy = 连续 , 则 0),( =yxF 在 )0,0( 的邻域上确定了四个隐函数 ; 如果要求 )(xfy = 可导 , 则在 )0,0( 的邻域上满足 0))(,( ≡xfxF 的函数仅有两个 . 对于函数方程组 , 上一节中我们提出利用 Jacobi 矩阵将其近似地化为齐次线性方程组 . 本节和下一节中我们将证明这样的想法是合理的 . 我们将把关于齐次线性方程组的相关结 果局部地推广到函数方程组上 . 我们从一个方程开始 . 定理 1: 设 ),( yxF 在 ),( 000 yxP = 邻域上有连续偏导 , 且 0),( 00 =yxF , 0),( 00 ≠?? y yxF , 则存在 0,0 >> de , 使得 0),( =yxF 在 ),( 00 dd +? xx ),( 00 ee +?× yy 上确定唯一的隐函数 ),(),(: 0000 eedd +?→+? yyxxf ; )(xf 在 ),( 00 dd +? xx 上可导 , 并且 ))(,( ))(,()( xfxF xfxFxf y x?=′ . 如果进一步假定 ),( yxF 是 rC 的函 数 , 则 )(xfy = 也是 rC 的函数 . 证明 : 不妨设 0),( 00 >?? y yxF . 由 y yxF?? ),( 连续 , 知存在 ),( 00 yx 的邻域 Udcba =× ),(),( , 使得 0),( >?? Uy yxF . 特别的 , 当 ),( bax ∈ 固定时 , ),( yxF 是 y 在 ),( dc 上严格单调上升的函数 . 任取 e , 使 { }00 ,min0 ydcy ??<< e , 则由 0),( 00 =yxF 知 0),(,0),( 0000 >+<? ee yxFyxF . 但 ),( 0 e?yxF 和 ),( 0 e+yxF 对 x 连续 , 因此存在 d , 使 { }00 ,min0 xbax ??<< d . ),( 0 e?yxF 在 ),( 00 dd +? xx 上 恒小于零 , 而 ),( 0 e+yxF 在 ),( 00 dd +? xx 上恒大于零 . 6 任取 ),( 00 dd +?∈ xxx , 当 y 由 e?0y 变到 e+0y 时 , ),( yxF 由负变到正 . 而其对 y 连续并严格单调 , 因此由连续函数的介值定理知 , 在 ),( 00 ee +? yy 中存在唯一的 y , 使得 0),( =yxF . 记之为 )(xfy = . 我们得到定 理中的隐函数的存在唯一性 . 在 ),( 00 dd +? xx 中任取 xxx ?+, , 设 )(xfy = , )( xxfyy ?+=?+ . 则由 ),( yxF 的可微性知 , 存在 10, << qq , 使得 .),(),( ),(),(0 yy yyxxFxx yyxxF yxFyyxxF ?? ?+?+?+?? ?+?+?= ??+?+= qqqq 因此 , .),( ),( yyxxF yyxxFxy y x ?+?+ ?+?+?= ? ? qq qq 令 0→?x , 等式右边极限存在 , 因此 )(xf 可导 , 且 ))(,( ))(,()( xfxF xfxFxf y x?=′ . 如果 ),( yxF 是 rC 的函数 , 2≥r , 则由 )(xf 是 1C 的函数 , 得 ))(,( xfxFx , ))(,( xfxFy 也是 1C 的 . 因而 ))(,( ))(,()( xfxF xfxFxf y x?=′ 是 1C 的 , 得 )(xf 是 2C 的函数 . 依此 类推不难得到 )(xf 是 rC 的函数 . 例 : 设 )(xfy = 是定理 1 中 0),( =yxF 确定的隐函数 . 设 ),( yxF 是 2C 的函数 , 求 )(xf ′′ . 解 : 由 y x y x F F xfxF xfxFxf ?=?=′ ))(,( ))(,()( , 利用复合函数求导得 7 .2 ))(())(( )()()( 3 22 2 2 y xyyyxxyyxx y yxyyxyxyyxxyxx y yyxyxyxyxx F FFFFFFF F FFFFFFFFFF F yFFFFyFFxf ?+???= ??+???+?= ′?+?′?+?=′′ 定理 1的证明显然对 n 个变元的函数也是成立的 . 这里我们用几何的语言给出这个定理 一个等价的表述 . 定理 2: 设 D 是 nR 中区域 , )(),,( 11 DCxxF n ∈L . 如果在 DxxP n ∈= ),,( 0010 L 满 足 0),,( 001 =nxxF L , 而 0),,( 001 ≠nx xxF n L . 则存在 ),,( 0 101 ?nxx L 的邻域 1U 和 0nx 的邻域 2U 及唯一的 )( 1 1 UC 的函数 21: UUf → , 使得在 0P 的邻域 21 UUU ×= 上 ),,( 1 nxxF L 的零点集合与 ),,( 11 ?= nn xxfx L 的图象相同 , 即 { } { }111111111 ),,()),,(,,,(0),,(),,( UxxxxfxxUxxFxx nnnnn ∈== ??? LLLILL . 类似于齐次线性方程组的解 , 对于函数方程组 , 我们有下面定理 定理 3: 设 D 是 nR 中区域 , 对 )(),,(,,,1 11 DCxxFki ni ∈= LL , 且在 ),,( 0010 nxxP L= 处满足 0),,( 001 =ni xxF L , 而 0)(),,( ),,( 0 1 1 ≠ ? ? P xx FF r r L L . 则存在 ),,( 1 rxx L 的邻域 1U 和 ),,( 1 nr xx L+ 的邻域 2U , 使得方程组 ?? ??? = = .0),,( 0),,( 1 11 nr n xxF xxF L LLLLLLL L 在 0P 的邻域 21 UUU ×= 上确定 唯一的一组 )( 21 UC 的隐函数 ),,( ),,( 1 111 nrrr nr xxfx xxfx L LLLLLLL L + + = = , 使 11 ),,( Uxx r ∈L . 证明 : 用归纳法 . 1=r 时已在定理 1 中证明 . 设定理对 1?r 成立 . 8 由 0)(),,( ),,( 0 1 1 ≠ ? ? P xx FF r r L L , 不妨设 0)( 0 1 1 ≠ ? ? P x F . 则由 0),,( 11 =nxxF L 可解出隐函数 ),,( 21 nxxhx L= . 代入 rFF ,,2 L 中 , 令 ),,,),,,((),,( ),,),,,((),,( 222 22222 nnrnr nnn xxxxhFxxG xxxxhFxxG LLL LLLLLLLLLLLLLLLL LLL = = 利用隐函数的求导公式得 . ),,( ),,( 1221 2 1 2 2 2 21 2 2 2 2 2 2 2 r r r rrr rr r rr r r r x F x h x F x F x h x F x F x h x F x F x h x F x G x G x G x G xx GG ? ?+ ? ?? ? ? ? ?+ ? ?? ? ? ? ?+ ? ?? ? ? ? ?+ ? ?? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? =?? LL LLLLLLLLLLLL LL LL LLLLLL LL L L 而 r rrr r r r r x F x F x F x F x F x F x F x F x F xx FF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =?? L LLLL L L L L 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ),,( ),,( , 对 ri ,,2 L= , 将上式中第一列乘 ix h ? ? 后加到第 i 列上 , 行列式不变 . 但注意到在第一行中 , 由 01 1 1 ≡ ? ?+ ? ?? ? ? ii x F x h x F , 得 ),,( ),,( ),,( ),,( 2 2 1 1 1 1 r r r r xx GG x F xx FF L L L L ? ?? ? ?= ? ? . 特别的 , 由 0)(),,( ),,( 0 1 1 ≠ ? ? P xx FF r r L L , 得 0)( ),,( ),,( 0 2 2 ≠ ? ? P xx GG r r L L . 利用归纳假设 , 可由 0),,(,,0),,( 222 == nrn xxGxxG LLL 9 在 ),,( 002 rxx L 邻域上解出 ),,(,),,,( 1122 nrrrnr xxfxxxfx LLL ++ == . 代入 ),,( 21 nxxhx L= 中 , 令 ( )nrnrrnrnr xxxxfxxfhxxfx ,,),,,(,),,,(),,( 1112111 LLLLL ++++ == , 得隐函数定理 . 例 : 设 ),,,(),,,,( yxvuGyxvuF 是点 ),,,( 00000 yxvuP = 邻域上 1C 的函数 , 满足 0),,,(,0),,,( 00000000 == yxvuGyxvuF 且 0)(),( ),( 0 ≠?? Pvu GF . 设 ),( yxuu = , ),( yxvv = 是由 0),,,(,0),,,( == yxvuGyxvuF 在 0P 邻域上确定的隐函数 . 求 yxyx vvuu ,,, . 解 : 将 ),(),,( yxvyxu 代入 F 和 G , 得恒等式 .0),),,(),,(( 0),),,(),,(( ≡ ≡ yxyxvyxuG yxyxvyxuF 对其微分 , 得 ( ) ( ) ( ) ( )?? ? =+?+?++?+? =+?+?++?+? .0 0 dyGvGuGdxGvGuG dyFvFuFdxFvFuF yyvyuxxvxu yyvyuxxvxu 但 x 和 y 是独立变量 , 因此必须 ? ?? =+?+? =+?+? ?? ? =+?+? =+?+? .0 0 ,0 0 yyvyu yyvyu xxvxu xxvxu GvGuG FvFuF GvGuG FvFuF 解这两个线性方程组得 ., 11 ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ?= ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ?= ??? ? ??? ? ?? y y vu vu y y x x vu vu x x G F GG FF v u G F GG FF v u 例 : 设 L 是由 0),,( =zyxF 和 0),,( =zyxG 确定的曲线 . 设 LP ∈0 , ),,( zyxF , ),,( zyxG 在 0P 邻域上是 1C 的函数 , 且 2)(),,( ),(rank 0 =?? ? ? ??? ? ? ? P zyx GF . 证明 L 在 0P 邻域上是 光滑曲线 , 并求 L 在 0P 的切线 . 10 证明 : 由 2)(),,( ),(rank 0 =?? ? ? ??? ? ? ? P zyx GF , 不妨设 0)( ),( ),( 0 ≠? ? P yx GF . 由隐函数定理 , 0),,(,0),,( == zyxGzyxF 在 0P 邻域上确定唯一的隐函数 )(),( zyyzxx == , 即在 0P 邻域上 L 可表示为 )),(),(( zzyzxz → , 并且 )(),( zyzx 都是 1C 的函数 , 得 L 在 0P 邻域上 是光滑曲线 . 对 0)),(),((,0)),(),(( ≡≡ zzyzxGzzyzxF 求导得 ? ?? =+′?+′? =+′?+′? .0 0 zyx zyx GyGxG FyFxF 解得 ., yx yx zx zx yx yx yz yz GG FF GG FF y GG FF GG FF x ?=′?=′ 因此 L 在 0P 的切线可表为 ( )1),(),(),,( 00000 PyPxtzzyyxx ′′=??? 或 ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?=??? )( ),( ),(),( ),( ),(),( ),( ),(),,( 000000 Pyx GFP xz GFP zy GFtzzyyxx . L 在 0P 的切线也可令解为 : 由 2)(),,( ),(rank 0 =?? ? ? ??? ? ? ? P zyx GF , 得 0))((grad 0 ≠PF , 不妨 设 0)( 0 ≠?? PzF . 因此 0),,( =zyxF 局部可解出 ),( yxfz = . 而 ),( yxf 是 1C 的 , 因而是 可微的函数 , 得 0),,( =zyxF 定义的曲面在 0P 有切面 0)()()()()()( 000000 =???+???+??? zzzPFyyyPFxxxPF , 其中 ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?= z PF y PF x PF )(,)(,)( 000 1n 为其法向量 . 同理 0),,( =zyxG 定义的曲面在 0P 处有切面 , 而 ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?= z PG y PG x PG )(,)(,)( 000 2n 为此切面的法向量 . 得 21 nn × 与 L 在 0P 点的切线同向 . 但 11 ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?=× )( ),( ),(),( ),( ),(),( ),( ),( 00021 Pyx GFP xz GFP zy GFnn , 得 L 在 0P 点的切线方程 . § 3.3 函数相关性 如果用隐 函数定理来讨论区域 nD R? 上的向量函数 )),,(,),,,((),,(: 11111 nmmnn xxfyxxfyxxF LLLL ==→ . 则对 DP ∈0 , 我们在 mPxxD ffD n m =?? ? ? ??? ? )( ),,( ),,(rank 0 1 1 L L 的条件下描述了在集合 ))(( 0 1 PFF ? 上变量 ),,( 1 nxx L 中哪些是独立的 , 哪些因之而决定 . 另一方面我们也同样关心在象集 )( DF 上 , 变量 ),,( 1 myy L 中哪些变量是独立的 , 哪些变量由独立的变量确定 . 以线性函数为例 . 设 ?? ??? ++= ++= .11 11111 nmnmm nn xaxay xaxay L LLLLLLLL L 我们知道如果 raij =)rank( , 则 myy ,,1 L 中有 r 个是线性独立的 , 其余的函数都是这 r 个 函数的线性组合 . 我们希望将类似的结果推广到向量函数上 . 定义 : 区域 nD R? 上的函数 ),,(,),,,( 1111 nmmn xxfyxxfy LLL == 称为函数相 关的 , 如果存在连续可微的函数 ),,,,,( 111 miii yyyyGy LL +?= , 使得 ( )),,(,),,,(),,,(,),,,(),,( 11111111 nmnininni xxfxxfxxfxxfGxxf LLLLLLL +?= 在 D 上恒成立 . 设 ),,,,,( 111 miii ffffGf LL +?= , 利用复合函数求导得 )(grad)(grad)(grad)(grad)(grad 1 1 1 1 1 1 m m i i i i i fy Gf y Gf y Gf y Gf ? ?++ ? ?+ ? ?++ ? ?= + + ? ? LL . 因此向量 )(grad,),(grad 1 mff L 线性相关 , 即 12 [ ] mffxxD ffD m n m <=?? ? ? ??? ? )(grad,),(gradrank ),,( ),,(rank 1 1 1 L L L 在 D 上成立 . 反之 , 有下面定理 . 定理 1: 设 mrxxD ffD n m <=?? ? ? ??? ? ),,( ),,(rank 1 1 L L 在 D 上处处成立 . 则对于任意 DP ∈ 0 , 存在 0P 的邻域 U , 使得在 U 上 mff ,,1 L 中有 r 个是函数无关的 , 其余都与这 r 个函数函数相 关 . 证明 : 这里仅对 1,3,2 === rnm 给予证明 , 一般的证明可用归纳法得到 . 设 ),,(),,,( zyxgvzyxfu == 满足定理的条件 . 设 DzyxP ∈= ),,( 0000 , 0)( 0 ≠?? xPf , ),,( 0000 zyxfu = . 由隐函数定理 , 0),,( =? zyxfu 在 ),,,( 0000 uzyx 邻 域上确定唯一的隐函数 ),,( uzyxx = . 代入 ),,( zyxgv = , 得 ),),,,(( zyuzyxgv = . 我们 希望证明其与 zy, 无关 , 仅是 u 的函数 , 得 vu, 函数相关 . 为此我们需证 0),),,,((,0),),,,(( ≡??≡?? z zyuzyxgy zyuzyxg . 但 ,),( ),(11 ),),,,(( yx gf x fx g y f y g x f x f y g x f y f x g y g y x x g y zyuzyxg ? ? ? ?=??? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?= ? ?+ ??? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ?= ? ?+ ? ?? ? ?= ? ? 而 1),,( ),(rank =?? ? ? ??? ? zyxD gfD , 因 此 0 ),( ),( = ? ? yx gf . 得 ),),,,(( zyuzyxg 与 y 无关 . 同理其与 z 无 关 . 定理得证 . 设在定理 1 中 ),,(,),,,( 1111 nrrn xxfyxxfy LLL == 函数无关 , 而 ),,(,),,,( 1111 rmmrrr ffGfffGf LLL == ++ . 则映射 ),,()),,(,),,,((),,( 11111 mnmnn yyxxfxxfxx LLLLL =→ 可分解为 13 )),,,(,),,,(,,,( ),,()),,(,),,,((),,( 1111 11111 rmrrr rnrnm yyGyyGyy yyxxfxxfxx LLLL LLLLL +→ =→ 其中 rxxD ffD n r =?? ? ? ??? ? ),,( ),,(rank 1 1 L L . 这一分解简化了对映射象集的描述 . 这里就不再进一步讨 论了 . § 3.4 逆变换定理 设 D 和 ? 都是 nR 中区域 , 连续映射 ?→DF : 称为拓扑同胚 , 如果存在连续映射 DG →?: 使得 idFGidGF == oo , , 其中 id 表示恒等映射 . 如果在上面定 义中 , F 和 G 都是 rC 的映射 , 则 F 称为 r 阶微分同胚 . 映射 ),,(),,(: 11 nn yyxxF LL → 也称为坐标 ),,( 1 nxx L 到 ),,( 1 nyy L 的变元代换 , G 称为 F 的逆变换 , 也记为 1?F . 如果 ),,(),,(: 11 nn yyxxF LL → 是 D 到 ? 的 1C 的微分同胚 , 由 Jacobi 矩阵的链法 则得 ),,( ),,( ),,( ),,( ),,( ),,( 1 1 1 1 1 1 n n n n n n xxD yyD yyD xxD xxD xxDI L L L L L L ?== 特别的 , 0),,( ),,( 1 1 ≠ ? ? n n xx yy L L 在 D 上处处成立 . 因此对于映射 ),,(),,(: 11 nn yyxxF LL → , 其 Jacobi 行列式 ),,( ),,( 1 1 n n xx yy L L ? ? 处处不为零是这一映射为微分同胚的一个必要条件 . 如果 1=n , )(xf 是 ),( ba 上的函数 , 且 )(xf ′ 在 ),( ba 上处处不为零 , 则 )(xf ′ 在 ),( ba 上恒 大于零或恒小于零 . 因此 )(xf 是 ),( ba 上严格单调的函数 , 其反函数也可导 , 得 ))(),((),(: bfafbaf → 是微分同胚 . 例 : 设 { }10),( 22 <+<= yxyxD , 考虑 DDF →: , ),()2,(),( 22 vuxyyxyxF =?= , 14 则 0)(422 22),( ),( 22 >+=?=?? yxxy yxyx vu . 但 ? ? ?? ? ? ?=? ? ?? ? ? 2 1,0 2 1,0 FF , 映射不是 1–1 的 , 因而不能是微分同胚 . 注 : 利用复数 ivuwiyxz +=+= , , 映射 F 可表为 2zw = . 容易看出其是 2 对 1 的映 射 . 虽然 2≥n 时 , Jacobi 行列式处处不为零不能保证映射在整个区域上是微分同胚 , 但确 能保证映射局部是微分同胚 . 定理 1: 区域 nD R? 上 1C 的映射 ),,(),,(: 11 nn yyxxF LL → 如果在点 DxxP n ∈= ),,( 0010 L 满足 0)(),,( ),,( 0 1 1 ≠ ? ? P xx yy n n L L . 则存在 0P 的邻域 U , 使得 )(: UFUF → 是 1C 的微分同胚 . 证明 : 将 F 表示为向量函数 )),,(,),,,((),,(: 1111 nnnn xxfxxfxxF LLLL → 将 nyy ,,1 L 作为自变量 , 定义向量函数 .),,(),,;,,( ),,,(),,;,,( 111 111111 nnnnnn nnn xxfyyyxxF xxfyyyxxF LLL LLLLLLLLLLLLLLLLL LLL ?= ?= 设 ),,(,),,,( 0010001101 nnnn xxfyxxfy LLL == , 令 ),,;,,(~ 001001 nn yyxxP LL= , 则 0)(),,( ),,()1()~(),,( ),,( 0 1 1 1 1 ≠ ? ??= ? ? P xx ffP xx FF n nn n n L L L L . 对函数方程组 ?? ??? = = ,0),,;,,( 0),,;,,( 11 111 nnn nn yyxxF yyxxF LL LLLLLLLLLLL LL 应用隐函数定理得 , 存在 ),,( 001 nyy L 的邻域 V 和 V 上 1C 的函数 ),,(,),,,( 1111 nnnn yygxyygx LLL == 15 满足上面函数方程组 . 在 V 上定义映射 )),,(,),,,((),,(: 1111 nnnn yygyygyyG LLLL → , 则由 nFF ,,1 L 的定义得 idGF =o . 令 )(VGU = , 则不难看出 U 是开集 , 且 F 限制在 U 上后满足 idFG =o . 因此 VUF →: 是 1C 的微分同胚 . 推论 1: 设 F 是 nR 中区域 D 到 ? 的 1C 的映射 . 如果 F 是 1–1 的 , 且 F 的 Jacobi 行列 式处处不为零 , 则 F 是微分同胚 . 推论 2: 设 F 是 nR 中区域 D 到 ? 的 1C 的映射 , 且 F 的 Jacobi 行列式处处不为零 , 则 F 将 D 中开集映为 ? 中开集 , 将一个区域的边界映为其象集的边界 . 推论的证明留给读者作为思考题 . 习题 1． 对由下列各方程式所定义的函数 y 求出 y′ 和 y ′′ . （ 1） 222 2 ayxyx =?+ ; （ 2） xyyx arctgln 22 =+ ; （ 3） xyxy arctg2= ; （ 4） 022ln2 =+? yxxy . 2． 设 03222 =?++ xyzzyx （ *） 及 32),,( zxyzyxf = . 求 : （ 1） )1,1,1(xf ′ , 其中 ),( yxzz = 是由方程 （ *） 确定的隐函数 . （ 2） )1,1,1(xf ′ , 其中 ),( zxyy = 是由方程 （ *） 确定的隐函数 . 3． 已知方程 122 =+ yx . （ A） 设 )11()( ≤≤?= xxyy （ B） 为满足方程 （ A） 的函数 . （ 1） 问有多少函数 （ B） 满足方程 （ A） ? （ 2） 有多少连续函数 （ B） 满足方程 （ A） ? 16 （ 3） 又设 : (a) 1)0( =y (b) 0)1( =y , 问有多少连续函数 （ B） 满足方程 （ A） ? 4． 对下列函数 ),( yxf , 当 2),( R??∈yx 时是否有 0),(det ≠yxDf ？ 求出 )(?f , 若 ),( yxf 是单叶的 , 再求出 ),(1 yxf ? . （ 1） 2,2),( R=??? ? ? ??? ? ? += yx yxyxf ; （ 2） 2 2 ,3 2),( R=??? ? ? ??? ? ??= y xxyxf ; （ 3） { })0,0(\,),( 2 22 R=??? ? ? ??? ? ?= xy yxyxf ; （ 4） { }xyyx yx xy yxf <<=???? ? ? ?? ? ? ? + = 0),(,1 )ln( ),( 22 . 5． 设 mR?? 是有界闭区域 , ),()( mCxf R?∈ 且是单叶的 . 求证 )(1 xf ? 在 )(?f 连续 . 6． 设 mR?? 是开凸集 , mxf R∈)( , )(xf 在 ? 可微 , )(xDf 在 ? 是正定矩阵 . 求证 : )(xf 是 ? 上的单叶函数 . 7． 设 mR?? 是开区域 （ 连通开集 ） , )(xf 是 ? 上的单叶函数 , ),()( )1( mCxf R?∈ , )(0)(det ?∈≠ xxDf . 求证 : )(?f 是开区域 . 8． 试由方程式的隐函数存在定理证明方程组 ?? ? = = 0),,( 0),,( 2 1 zyxF zyxF 的隐函数存在定理 . 9． 由下列方程组求 dxdzdxdy , 和 2 2 2 2 , dxzddxyd . （ 1） ?? ? =++ =++ ;1 ,0 222 zyx zyx （ 2） ? ?? =++ =++ . ,3 333 azyx xyzzyx 10． 求由方程组 vzvuyvux === ,sin,cos 确定的函数 ),( yxzz = 的所有二阶偏导数 . 17 11． 设函数 )(xuu = 由方程组 0),,(,0),,(),,,( === zyxhzyxgzyxfu 定义 . 求 2 2 , dxuddxdu . 12． 设 nnm yxFyx RRR ∈∈∈ ),(,, . 又设 )1(),( CyxF ∈ , 0),(det ≠yxFDy , 由方程 组 0),( =yxF 确定隐函数 ))(,),(()( 1 xyxyxyy nL== . （ 1） 求证 : [ ] ),(),()( 1 yxFDyxFDxDy xy ??= ; （ 2） 若 mn = , 求证 : ),,( ),,( ),,( ),,()1( ),,( ),,( 1 1 1 1 1 1 n n n nn n n yy FF xx FF xx yy L L L L L L ? ? ? ??= ? ? . 13． 设 )(xf 在 ),( ba 上导数不为零 . 求证 : ),( ba 上任意函数 )( xy j= 可以用 )(xf 表示 . 14． 设 zyxzyxgzyxzyxf ++=++= ),,(,),,( 222 . 问在任意区域内 , 它们是否相互 表示 ? 15． 给定 )1(C 函数组 ),(),,(),,( 321 yxfwyxfvyxfu === , 并设在开区域 ? 内 0),( ),( 21 ≠?? yx ff . （ 1） 对任意 ?∈M , 是否存在 M 的一个邻域 )(MU , 在 此邻域有 [ ]),(),,(),( 213 yxfyxfyxf Φ= ？ 为什么 ？ （ 2） 在整个区域 ? 是否有 [ ]),(),,(),( 213 yxfyxfyxf y= ？