1 第 六 章 多元函数的极值问题 § 4.1 普通极值问题 设 ),,( 1 nxxf L 是集合 nS R? 上的函数 , 如果对 ),,( 0010 nxxP L= , 存在 0P 在 nR 中 的邻域 U , 使得 USxxP n IL ∈=? ),,( 1 , 恒有 ),,(),,( 0011 nn xxfxxf LL ≤ )),,(),,(( 0011 nn xxfxxf LL ≥ , 则 ),,( 001 nxxf L 称为 ),,( 1 nxxf L 在 S 上的局部极大值 （ 极小值 ） , 0P 称为 ),,( 1 nxxf L 的局部极大值 （ 极小值 ） 点 . 如果 S 是开集 , 则 0P 称为普 通极值点 . 否则称为条件极值点 . 定理 1: 如果 ),,( 0010 nxxP L= 是 ),,( 1 nxxf L 的普通极值点 , 且 ),,( 1 nxxf L 在 0P 存 在偏导 , 则 .,,1,0),,( 00 1 ni x xxf i n LL == ? ? . 证明 : 0P 是内点 , 因而 01x 是一元函数 ),,,( 0021 nxxxf L 的极值点 . 因此 0),,( 1 00 1 = ? ? x xxf nL . 定义 : 设 ),,( 1 nxxf L 在区域 D 上处处有偏导 . 如果在点 ),,( 0010 nxxP L= 成立 nix xxxf i n ,,1,0),,,( 00 2 0 1 LL == ? ? , 则称 0P 为 ),,( 1 nxxf L 的判别点 . 如果 0P 是 ),,( 1 nxxf L 的极值点 , 则其是 ),,( 1 nxxf L 的判别点 . 但反之并不成立 . 例 : 令 22),( yxyxf ?= , 则 0)0,0(,0)0,0( =??=?? yfxf . 但 )0,0( 并不是 ),( yxf 的极 值点 . 与一元函数相同 , 我们需要利用 ),,( 1 nxxf L 在判别点处的二阶 Taylor 展开来讨论所 给判别点是否极值点以及是什么样的极值点 . 为此我们需要下面引理 . 引理 : 设 n 阶对称矩阵 A是正定 （ 负定 ） 的 , 则存在 0>e , 使得对任意 ),,( 1 nxx L , 恒 2 有 ( )22111 ),,(),,( ntnn xxxxAxx ++≥ LLL e ( )( ).),,(),,( 22111 ntnn xxxxAxx ++?≤ LLL e 证明 : nR 中单位球面 { }1),,( 2211 =++= nnn xxxxS LL 是有界闭集 , 因而是紧集 . nS 上的函数 t nn xxAxx ),,(),,( 11 LL 连续且处处不为零 , 因而在 nS 上达到最小值 , 设为 e . 则对任意 0),,( 1 ≠nxx L , 恒有 e≥ ++++ 221 1 22 1 1 ),,(),,( n t n n n xx xxA xx xx L L L L . 引理得证 . 定理 2: 设 ),,( 0010 nxxP L= 是 ),,( 1 nxxf L 在区域 D 内的判别点 . 如果 ),,( 1 nxxf L 在 0P 的 Hessi矩阵 )( 0PH f 是正定的 , 则 0P 是 ),,( 1 nxxf L 的严格极小点 ; 如果 )( 0PH f 是 负定的 , 则 0P 是 ),,( 1 nxxf L 的严格极大点 ; 如果 )( 0PH f 是不定的 , 则 0P 不是 ),,( 1 nxxf L 的极值点 . 证明 : 设 ?? ? ? ??? ? ?? ?= ji n f xx xxfPH ),,()( 0012 0 L 正定 , 取 0>e 满足上面引理 . 将 f 在 0P 点作 二阶 Taylor 展开 , 由 ),,( 001 nxx L 是判别点得 ( ) ( ) .)(2 )(,,)(,,21 )(),,(21),,(),,( 1 20 1 2000 110 00 11 1 2000 1 200 11 ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? +≥ ? ? ?? ? ? ?+????= ? ? ?? ? ? ?+=? ∑ ∑ ∑ = = = n i ii n i ii t nnfnn n i iinnn xxo xxoxxxxPHxxxx xxoxxfdxxfxxf e LL LLL 由于 o 在 ),,( 1 nxx L 趋于 ),,( 001 nxx L 时是无穷小 , 因此存在 ),,( 001 nxx L 的邻域 U , 使得 Uxx n ∈),,( 1 L 时 02 >+ oe , 得 ),,(),,( 0011 nn xxfxxf LL > . 0P 是 ),,( 1 nxxf L 的严 格极小点 . 如果 )( 0PH f 不定 , 则存在 n 维向量 0≠a 和 0≠b , 使得 0)( 0 >tf PH aa , 而 0)( 0 <tf PH bb . 令 ba tPPtPP +=+= 0201 , , 则 t 充分小时 1P 和 2P 都在 D 内 , 且 3 ( ) ( )( ).)( )()()( 2 0 2 22 0 2 01 aaa aaa oPHt toPHtPfPf t f t f += ?+=? t 充分小时 , ( ) 0)( 20 >+ aaa oPH tf , 因此 0P 不是极大点 . 同理 ( )( ).)()()( 20202 bbb oPHtPfPf tf +=? 在 t 充分小时小于零 , 因此 0P 不是极小点 . 得 0P 不是极值点 . 由定理 2, 仅当判别点 ),,( 0010 nxxP L= 的 Hessi矩阵 )( 0PH f 是半正定或半负定时 , 我 们不能判定 0P 是否是 f 的极小或极大点 , 这是必须 0)(det 0 =PH f . 利用定理 2, 我们需要判定 Hessi 矩阵 )( 0PH f 的正定或负定性 . 对此我们需要下面 《 线 性代数 》 中给出的定理 . 定理 3: 对称矩阵 n jiijaA 1,)( == 是正定 （ 负定 ） 的充分必要条件是 A的 主子行列式 ( )0)det()1(0)det( 1,1, >?> == k jiijkk jiij aa 对 nk ,,1 L= 成立 . 例 : 求 yxyxyxyxf +?+?= 2),( 22 的极值点 . 解 : 12),(,22),( +?=????=?? xyy yxfyxx yxf . 解得判别点为 )0,1(0 =P , 而 ??? ? ??? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? = 21 12)()( )()( )( 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 y Pf yx Pf yx Pf x Pf PH f . 一阶主子行列式 02)( 11 >=a , 二阶主子行列式 0321 12 >=? ? , 因此 )( 0PH f 正定 , )0,1(0 =P 是 ),( yxf 的极小点 , 1)0,1( ?=f 是 ),( yxf 的极小值 . § 4.2 条件极值问题 设 ),,(,),,,( 111 nmn xxFxxF LLL 是区域 nD R? 上的函数 . 定义 S 为 4 { }0),,(),,(),,( 1111 ==== nmnn xxFxxFxxS LLLL . 设 ),,( 1 nxxf L 是 S 上的函数 , ),,( 1 nxxf L 在 S 上的极值问题称为 ),,( 1 nxxf L 对约束 条件 0),,(,,0),,( 111 == nmn xxFxxF LLL 的条件极值 . 即 SxxP n ∈= ),,( 0010 L 称为 ),,( 1 nxxf L 对约束条件 0),,(,,0),,( 111 == nmn xxFxxF LLL 的条件极大 （ 极小 ） 值 . 如果存在 0P 在 nR 中的一个邻域 U , 使得 USxxP n IL ∈=? ),,( 1 , 恒有 ),,(),,( 0011 nn xxfxxf LL ≤ )),,(),,(( 0011 nn xxfxxf LL ≥ . 例 : 证明在所有周长相同的三角形中 , 等边三角形面积最大 . 证明 : 设三角形三条边为 zyx ,, . 周长固定时 zyx ,, 并非自由变量 , 受条件 pzyx 2=++ 的约束 , 其中 p 为常数 . 由面积公式知 , 三角形面积为 ))()(( zpypxpps ???= . 因此我们需求 ))()((),,( zpypxpzyxf ???= 在条件 pzyx 2=++ 下的最大值 . 由 pzyx 2=++ 解出 yxpz ??= 2 . 这时 yx, 是自由变量 , 在一个开集上变化 . 代 入 ),,( zyxf , 条件极值问题化为 ))()((),( pyxypxpyxh ?+??= 的普通极值问题 . 解方程组 ? ?? =???= =???= ,0)22)((),( 0)22)((),( yxpxpyxh yxpypyxh y x 得在 0,0 >> yx 时只有一个解 pypx 32,32 == . 但由问题知 , 最大值存在 , 而判别点唯 一 . 因此判别点只能是最大点 , 得 pzpypx 32,32,32 === 时三角形面积最大 . 上例中我们是通过求解约束条件的方程 , 得到自由变量 , 代入求极 值的函数 , 将条件极 值问题化为普通极值问题 . 但有时直接解约束条件的方程是困难的 , 但通过微分约束条件 , 解出某些变量的微分用另一些变量的微分来表示 , 再代入求极值函数的微分中 , 从而求得其 在约束条件下的判别点 . 5 例 : 设光在空气和水中的速度分别为 21,vv , 设光由空气射入水中时入射角为 a , 折射 角为 b , 假定光总在最短时间由一个点运动到另一点 . 证明 21 sinsin vv ba = . 证明 : 如图 . 设 P 为光源 , Q 为光到达的点 , ba, 为 QP, 到水面的距离 . 设 h 为 QP, 到水面投影 点之间的距离 , c 是水面上任取的一个光的入射点 . 问题是 c 在什么位置时 , 光由 P 到 Q 所需时间最短 . 光在空气和水中总是以直线传播 , 因此 c 点确定 后 , 入射角 a 和折射角 b 因而确定 , 这时所需时间为 ba coscos 21 v b v at += , 需求 t 对 ba , 的极小值 . 但 ba , 并非独立变量 , 受条件 hbtgatg =+ ba 的约束 . 问题化为条件极值 . 对 hbtgatg =+ ba 微分 , 得 0coscos 22 =+ bbaa dbda , 因而 aabb dabd 2 2 cos cos?= , 而 .coscoscossincossin cos sin cos sin 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 aabbbaaa bbbaaa dabv adva dv adv adt ??? ? ??? ???+?= ?+?= 但判别点的一阶微分为零 , 解得 ba , 满足 21 sinsin vv ba = 时 0=dt . 这时判别点是唯一的 , 而由问题知极小点存在 , 其必在判别点处达到 . 上面两例都是先求得判别点唯一 , 再根据问题性质说明极大极小值的存在性而得到极 P a a 空气 c ? b 水 Q 6 值问题的解 . 这在实际中是常用的 . § 4.3 Lagrange 乘子法 首先我们考虑函数 ),,( zyxf 在条件 0),,( =zyxj 下的极值问题 . 设 ),,( zyxf 和 ),,( zyxj 都是 1C 的函数 . 令 { }0),,(),,( ==Σ zyxzyx j . 设 Σ∈= ),,( 0000 zyxP 是 ),,( zyxf 在 Σ 上的一个极值点 . 任取 Σ 中过 0P 的曲线 ))(),(),(()( tztytxt =g , 设 0)0( P=g , 则 0=t 是 ))(),(),(( tztytxf 的极值点 . 因而由费马 定理知 ,0)0(),,( )0(),,()0(),,(0))(),(),(( 000 000000 =′??+ ′??+′??== zz zyxf yy zyxfxx zyxftdt tztytxdf 即 ))((grad 0Pf 与切向量 ))0(),0(),0(( zyx ′′′ 垂直 . 从而 ))((grad 0Pf 与 Σ 在 0P 点的切面 垂直 . 假设 0))((grad 0 ≠Pj , 由隐函数定理及 Σ 的切面公式知 , ))((grad 0Pj 是 Σ 在 0P 点 切面的法向量 , 得存在 l , 使得 ))((grad))((grad 00 PPf jl= . 反之如果上式成立 , 则将 ),,( zyxf 限制在 Σ 上每一条过 0P 的曲线时 , 0P 都是其判别点 . 因 此可以认为 0P 也是 ),,( zyxf 在 Σ 上的判别点 . 为求 ),,( zyxf 在 Σ 上的极值点 , 我们需先 求其判别点 , 即我们需先解方程 ))((grad))((grad 00 PPf jl= . 定义函数 ),,(),,(),,,( zyxzyxfzyxF ljl += , 则求 ),,( zyxf 在 Σ 上的判别点与求 0),,,( =??+??+??+??= lll dFdzzFdyyFdxxFzyxdF 的点是等价的 , 而第二种形式的方程与求 ),,,( lzyxF 的普通极值的判别点是一致的 . 这样 从形式上我们将条件极值的问题化为普通极值的问题 . 7 上面的方法称为 Lagrange 乘子法 , 其可以推广到更一般的形式 . 为此我们先给出下面 定义 . 设 ),,(,),,,( 111 nmn xxxx LLL jj 都是 1C 的函数 , 令 { }0),,(),,(),,( 1111 ====Σ nmnn xxxxxx LLLL jj . 设在 ),,( 0010 nxxP L= 处 mPxxDD n m =?? ? ? ??? ? )( ),,( ),,(rank 0 1 1 L L jj , 不妨设 0)( ),,( ),,( 0 1 1 ≠ ? ? P xx m m L L jj . 由隐函数定理知 , 存在 0P 的邻域 U , 使在 U 上 , UIΣ 可表示为 ( )nmnmmnm xxxxhxxh ,,),,,(,),,,( 1111 LLLL +++ 的形式 , 其中 ),,(,),,,( 111 nmmnm xxhxxh LLL ++ 是 ),,( 00 1 nm xx L+ 的 1C 的函数 . 对于函数 ),,( 1 nxxf L , 其对于 Σ 的条件极值在 0P 的邻域 U 上化为 ( )nmnmmnm xxxxhxxhf ,,),,,(,),,,( 1111 LLLL +++ 的普通极值问题 . 我们称 ),,( 0010 nxxP L= 为 ),,( 1 nxxf L 在 Σ 上的条件极值的判别点 . 如 果 ),,( 00 1 nm xx L+ 是上面函数对普通极值的判别点 , 定理 1: 假设如上 , ),,( 0010 nxxP L= 为 ),,( 1 nxxf L 在 Σ 上的判别点的充分必要条件 是存在 mll ,,1 L , 使得 ))((grad)1())((grad)1())((grad 00110 PPPf mm jljl ?++?= L . 几何说明 : 与本节开始时的讨 论相同 , 0P 是 ),,( 1 nxxf L 在 Σ 上的判别点的充分必要 条件是 ))((grad 0Pf 与 Σ 在 0P 点的切面垂直 , 即 ))((grad 0Pf 在 0P 点的法空间内 . 但 { }))((grad,),)((grad 001 PP mjj L 是 Σ 在 0P 点的法空间的线性基 , 得定理 1. 证明 : ),,( 0010 nxxP L= 为 ),,( 1 nxxf L 在 Σ 上条件极值的判别点等价于 ),,(~ 00 10 nm xxP L+= 是 ( )nmnmmnm xxxxhxxhf ,,),,,(,),,,( 1111 LLLL +++ 的判别点 , 即对 nmj ,,1 L+= , 在 0P 点有 0 1 =??+????∑ = j m i j i i x f x h x f , 8 表示成矩阵形式为 : 0,,),,( ),,(,, 11 1 1 =?? ? ? ??? ? ? ? ? ?+ ??? ? ??? ? ? ? ? ? ++ nmnm m m x f x f xxD hhD x f x f L L LL . （ 1） 而由 ( ) mixxxxhxxh nmnmmnmi ,,1,0,,),,,(,),,,( 1111 LLLLL ==+++j , 得在 0P 点 , 对 mi ,,1 L= 有 nmjxxhx j i m l j l l i ,,1,0 1 L+==??+????∑ = jj , 表示成矩阵形式 , 即 0),,( ),,(),,( ),,(),,( ),,( 1 1 1 1 1 1 =+? ++ nm m nm m m m xxD D xxD hhD xxD D L L L L L L jjjj . （ 2） 已知 0)(),,( ),,( 0 1 1 ≠ ? ? P xx m m L L jj , 解得 ),,( ),,( ),,( ),,()1( ),,( ),,( 1 1 1 1 1 1 1 nm m m m nm m xxD D xxD D xxD hhD L L L L L L + ? + ?? ? ?? ??= jjjj . 代入 （ 1） 式 , 得 0P 是 ),,( 1 nxxf L 对 Σ 的判别点等价于 0,,),,( ),,(),,( ),,()1(,, 11 1 1 1 1 1 =?? ? ? ??? ? ? ? ? ?+? ? ? ?? ?? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ++ ? nmnm m m m m x f x f xxD D xxD D x f x f L L L L LL jjjj . 显然 ,0,,),,( ),,(),,( ),,()1(,, 11 1 1 1 1 1 =?? ? ? ??? ? ? ? ? ?+? ? ? ?? ?? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? mm m m m m x f x f xxD D xxD D x f x f L L L L LL jjjj 与上式 结合得 0,,),,( ),,(),,( ),,()1(,, 11 1 1 1 1 1 =?? ? ? ??? ? ? ? ? ?+? ? ? ?? ?? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? nn m m m m x f x f xxD D xxD D x f x f L L L L LL jjjj . （ 3） 令 1 1 1 1 1 ),,( ),,(,,)1(),,( ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ??= m m m m xxD D x f x f L LLL jjll , （ 4） 则上式为 )(grad )(grad )(grad ),,( 1 1 f m m =?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? j j ll ML . 反之 , 如果 ),,( 1 mll L 存在 , 则其必由 （ 4） 式给出 , 代入则 （ 3） 式成立 , 0P 是 ),,( 1 nxxf L 9 在 Σ 上的判别点 . 证毕 . 利用定理 1, 引入变量 ),,( 1 mll L , 称为 Lagrange 乘子 . 定义一个新函数 ),,(),,(),,(),,;,,( 1111111 nmmnnmn xxxxxxfxxF LLLLLL jljlll +++= , 则求 ),,( 1 nxxf L 在 Σ 上条件极值判别点问题化为求 ),,;,,( 11 mnxxF ll LL 的普通极值 的判别点的问题 , 即 定理 2: ),,( 0010 nxxP L= 为 ),,( 1 nxxf L 对 Σ 的条件极值的判别点的充分必要条件是 存在 ),,( 001 mll L , 使得 ),,;,,( 001001 mnxx ll LL 是 ),,;,,( 11 mnxxF ll LL 的普通极值的判 别点 . 定理 2 为求条件极值提供了一个实际可应用的方法 . 当然其得到的仅是判别点 , 要说明 所得判别点是否极值点以及是什么极值点还需用 Hessi 矩阵 . 假设上面讨论的函数都是 2C 的 . 设 ),,;,,( 001001 mnxx ll LL 是 ),,;,,( 11 mnxxF ll LL 的判别点 . 令 ),,( 0010 nxxP L= , 将 ),,( 001 mll L 固定 , 考虑 ),,;,,( 0011 mnxxF ll LL 在 0P 的 Hessi 矩阵 njiji Pyx F ≤≤ ??? ? ??? ? ?? ? ,1 0 2 )( . 分两种情况 . 1) ?? ? ? ??? ? ?? ? )( 0 2 Pyx F ji 正定或负定 . 这时 0P 是 ),,;,,( 0011 mnxxF ll LL 的极值点 . 而限制 在 Σ 上时 ),,(),,;,,( 10011 nmn xxfxxF LLL ≡ll . 因此 0P 也是 ),,( 1 nxxf L 的相应的条 件极值点 . 2) ?? ? ? ??? ? ?? ? )( 0 2 Pyx F ji 不定或半正定或半负定 . 这时 0P 可能不是 ),,;,,( 0011 mnxxF ll LL 的极值点 . 但不能因此判定 0P 不是 ),,( 1 nxxf L 的极值点 . 设 0)(),,( ),,( 0 1 1 ≠ ? ? P xx m m L L jj , 利 用 mid i ,,1,0 L==j , 解出 10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ??= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + ? n m nm m m m m dx dx xxD D xxD D dx dx MLLLLM 1 1 1 1 1 1 1 ),,( ),,( ),,( ),,()1( jjjj . 代入二次式 ∑ = ?? ?n ji ji ji dxdxxx PF 1, 0 2 )( , 得到 nm dxdx ,,1 L+ 的二次式 ∑ += n mji jiij dxdxa 1, . 如果其系数 矩阵 )( ija 是正定的 , 则 0P 是 ),,( 1 nxxf L 在 Σ 上的极小点 ; 如果 )( ija 是负定的 , 则 0P 是 ),,( 1 nxxf L 在 Σ 上的极大点 . 例 : 设 zyxzyxf ++=),,( , 求其在曲面 3cxyz = 上的极值点 . 解 : 令 )(),,(),,,( 3cxyzzyxfzyxF ?+= ll , 则由 0),,,( =lzyxdF 解得 2 1, cczyx ?==== l . 如果 0=c , 得 ),,( zyxf 无判别点 , 因而无极值点 . 设 0≠c , 则在 ),,(,1 02 cccPc =?=l 处 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? =?? ? ? ??? ? ?? ? 011 101 110 )( 02 cc cc cc yx PF 不是正定也不是负定的 . 对 03 =? cxyz 微分 , 在 ),,(0 cccP = 处 , 解得 )( dydxdz ??= . 代入 [ ]dzdxdydzdxdycdxdxxx PF ji ji ji ++?=???∑ = 2)(3 1, 0 2 中得二次式 [ ] [ ] .21 12 ),( 2 )()(2 22 ??? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? = ????= ??+??+? dy dx cc ccdydx dydxdydxc dxdydxdydxdydxdyc 11 因此 0>c 时 ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? cc cc 21 12 正定 , ),,( ccc 是 ),,( zyxf 在 3cxyz = 上的极小点 ; 0<c 时 ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? cc cc 21 12 负定 , ),,( ccc 是 ),,( zyxf 的极大点 . § 4.4 最小二乘法 作为极值理论的应用 , 下 面我们给出一个在实际问题中求解未知函数常用的最小二乘 法 . 设我们知道一个函数关系 )(xfy = , 并且通过采样求得这函数在 1+n 个点上的函数 值 nixfy ii ,,0),( L== . 求这个函数 . 显然满足条件的函数 )(xfy = 有无穷多 , 所以问题无意义 . 改为求一 m 次多项式 m m xaxaay +++= L10 使误差尽可能小 . 这里我 们假设 n 可以取得很大 , 但由于计算量的关系 , m 比较小 . 令 ?? ?? ? =?+++ =?+++ ,10 000010 nn m nmn m m yxaxaa yxaxaa d d L LLLLLLLLLLLL L 问题化为求 ),,,( 10 maaa L , 使得 ∑ = n i i 0 2d 达到最小 . 定义函数 ∑ = = n i imaaaf 0 2 10 ),,,( dL . 令 ),,,( 10 nyyyy L= , ),,,( 10 maaaa L= , ),,,( 10 ndddd L= . 令 )1()1(10 22 1 2 0 10 111 +×+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = nm m n mm n n xxx xxx xxx G L LLLL L L L , 利用矩阵形式 , ),,,( 10 maaaf L 可表示为 12 , ),(),(),(),( ),(),,,( 10 TTTTTT m yyayGaGyaaGG yyaGyyaGaGaG yaGyaGaaaf +??= +??= ??=L 其中 TTT yaG ,, 表示其转置 . 直接计算得 [ ]. ),,,( 10 TTTTTT TTTTTTT m GyGyaGGaGGda dayGdaGydaaGGadaGGaaadf ??+= ??+=L 因此判别点方程 0),,,( 10 =maaadf L 的解为 TTT GyaGG = . 引理 1: 设 nxxx ,,, 10 L 两两互不 相同且 nm ≤ , 则 TGG 是可逆矩阵 . 证明 : 显然对称矩阵 TGG 是半正定的 . 要证 ( ) 0det ≠TGG , 仅需证对于任意 0),,,( 10 ≠= mcccc L 时 , 0≠cG . 事实上 , 如果 0=cG , 则 nxxx ,,, 10 L 是多项式 m m xcxccxP +++= L10)( 的根 . 但 nm ≤ , 其不可能有 1+n 个不同根 . 所以 , 0≠cG , 02 >= cGccGG TT , TGG 正定 . 由引理得 ( )TTT GyGGa 1)(* ?= 是判别点 . 希望证明其是极小点 . 对 [ ]TTT GyaGGdadf ?= 2 微分得 dadaGGfd T22 = . 因此 ),,,( 10 maaaf L 的 Hessi 矩阵是正定的 , 得 ( )TTT GyGGa 1)(* ?= 是 ),,,( 10 maaaf L 的极小点 . 由于其是唯一的 , 因而是最小点 . 这样我们得到所求的多项式是存在并且唯一的 . 由于这种解的存在唯一性 , 因而其也 是有实际意义的 . 习题 1． 设 )(),,,( 1 xfxxx mL= 在 ),,( 1 maaa L= 去极小 （ 大 ） 值 , 并存在 ,2,1()(2 2 =?? ix af i 13 ), mL . 求证 ： )0(0)(2 2 ≤≥?? ix af . 2． 求下列函数的极大值点和极小值点 : （ 1） 22 )1(),( ?= yxyxf ; （ 2） )1(),( 22 ?+= yxxyyxf ; （ 3） ( )222 1),( ?+= yxyxf ; （ 4） 242 23),( yxyxyxf ??= ; （ 5） )sin(sinsin),( yxyxyxf +++= ; （ 6） )(tgtgtg),( yxyxyxf +?+= . 3． 用隐函数微分法求隐函数 ),( yxzz = 的的极大值和极小值 : （ 1） 010422222 =????++ zyxzyx ; （ 2） 3)()()( 222 =+++++ xzzyyx ; （ 3） 02222222 =?+++??++ zyxyzxzzyx ; （ 4） 09222 =???+ xyxxyzz . 4． 设 242 23),( yxyxyxf ??= . 证明 : )0,0( 不是它的极值点 , 但沿过 )0,0( 的每条直线 , )0,0( 都是它的极大点 . 5． 作容积为 V 的开口长方形容器 , 问尺寸怎样时 , 用料最省 . 6． 在椭球面 12 2 2 2 2 2 =++ czbyax 的内接长方体中 , 求体积为最大的那个长方体 . 7． 设 )()( mCxf R∈ . 求证 )(xf 在条件 mixxa i ,,2,1,0,1),( L=≥= 下存在最大值与 最小值 , 其中 ),,( 1 maaa L= , ),,2,1(0 miai L=> . 8． 求 下列条件极大值和条件极小值 : （ 1） 122 =+ yx , 求 22 2),( byhxyaxyxf ++= 的极值 ; （ 2） kczbyax =++ , 求 nml zyxzyxf =),,( 的极值 , 其中 nml ,, 为正整数 , kcba ,,, 14 为常数 ; （ 3） ( ) 0,2222222222 =++++=++ nzmylxzcybxazyx , 求 222),,( zyxzyxf ++= 的极值 ; （ 4） 0=++ nzmylx , 12 2 2 2 2 2 =++ czbyax , 求 4 2 4 2 4 2 ),,( czbyaxzyxf ++= 的极值 . 9． 1222 ≤++ zyx , 求 xyzzyx 2333 ?++ 的最大值和最小值 . 10． 求 nn xxxxf LL 11 ),,( = 在条件 )0,0(111 1 >>=++ axaxx i n L 之下的极值 , 并证明 : 当 ),,2,1(0 niai L=> 时 , n n n aaaaan 1 21 1 1 )(11 LL ≤?? ? ? ??? ? ++ ? . 11． 求圆的 外切三角形中面积最小者 . 12． 长为 a 的铁丝切成两段 , 一段围成一个正方形 , 另一段围成一个圆 . 这两段的长各为多 少时 , 使它们所围正方形和圆形面积之和最大 . 13． 求一点 O, 使与一个凸四边形的四顶点距离之和为最小 . 14． 设 ),()( )1( mmCxf RR∈ , 存在常数 0>a , 使得对任意 myx R∈, 有 yxyfxf ?≥? a)()( . 证明 : （ 1） 0)(det ≠xDf , mx R∈ ; （ 2） ( )yxfyxfyxfx ??=?= )(,)()()( 2j 在 mR 存在最小值 , 无最大值 ; （ 3） mmf RR =)( .