133 第 六 章 定 积 分 § 6 .1 定积分与不定积分 给定非负函数 )(xfy = ， 定义于闭区间 ],[ ba ， 如果我们要求函数图形 )(xfy = 下边 曲边梯形面积 ， 就需要定积分 ∫b a dxxf )( 。 给定闭区间 ],[ ba 内任意时刻 t 的即时速 度 )(tfy = ， 求 ],[ ba 内走过路程 ， 也需要定 积分 ∫b a dttf )( 。 定义 函数 )(xf 定义在 ],[ ba 上 ， 给 ],[ ba 任意一个分割 <<<=? L10: xxa bxn = ， 记 k nk x?= ≤≤1 maxl ， 1??=? kkk xxx ， ? ],[ 1 kkk xx ?∈x ， 作和 ∑ = ?= n k kk xf 1 )(xs 。 如果 I= → s l 0 lim 存在 ， 则称 I 为 )(xf 在 ],[ ba 上的定积分 ， 记作 ∫= b a dxxfI )( 。 称 a 为 积分上限 ， b 为积分下限 ， )(xf 为被积函数 ， x 为积分变量 （ 哑变量 ）， 即 ∫∫ = baba dttfdxxf )()( 用 de ? 语言表述定 ： 0>?e ， 0>?d ， 使得不管如何分割 ?， 如何选取 ],[ 1 kkk xx ?∈x ， 只要 dl <?= ≤≤ knk x 1 max ， 就有 es <? || I ， 则称 I 为 )(xf 在 ],[ ba 的定积 分 ， 记为 ∫= b a dxxfI )( 。 如果 )(xf 在 ],[ ba 存在定积分 ， 称它为 Riemann 可积 ， 简称可积 ， 将来到实变函数论 中还有 Lebesgue 可 积概念 。 134 综上定义 ： 定积分的定义包含分割 ， 代替 ， 求和 ， 取极限四个步骤 。 这个极限不同于 以前的极限 ， 比较复杂 ， 条件 dl < 不像以前的 d<?< 00 xx 或 Nn > 那样简单 ， 固定 l ， 分割 ?有很多种 ， 固定 ?， kx 的选择还有很多种 。 定积分与不定积分有密切关系 ， 看例子 ： 速度 )(tv 在 ],[ ba 通过路程 ∫= b a dttvS )( ； 由 原函数定义 ， ∫ += CdttvtS )()( ， 则 )()()( aSbSdttvb a ?=∫ ， 一般地我们有 定理 1（ Newton - Leibinz 公式 ） 设 ],[)( baCxf ∈ ， ],[)( baCxF ∈ ， 且 F 在 ),( ba 上是 )(xf 的原函数 ， 即 )()( xfxF =′ ， ),( bax ∈ ， 则 bab a xFaFbFdxxf )()()()( =?=∫ 。 证 给定 ],[ ba 任意一个分割 ： bxxxa n =<<<=? L10: ， [ ] ∑∑ == ? ?=?=? n k kk n k kk xfxFxFaFbF 11 1 )()()()()( h ， 这里 1??=? kkk xxx ， ],[ 1 kkk xx ?∈h ， 用了 Lagrange 中值定理 。 ],[)( baCxf ∈ ， 由 Cantor 定理 ， f 在 ],[ ba 一致连续 ， 所以 0>?e ， 0>?d ， 只要 ],[, ba∈hx ， dhx <? ， 就有 abff ?<? ehx )()( 。 于是 ， 当 dl <?= ≤≤ knk x 1 max 时 ， 对 ],[ 1 kkk xx ?∈?x ， 有 [ ] [ ] ehxx <??=??? ∑∑ == n k kkk n k kk xffaFbFxf 11 )()()()()( 。 定理 2 设 )(xf 在 ],[ ba 可积 （ 不一定连续 ）， 又设 )( xF 在 ],[ ba 上连续 ， 并且在 ),( ba 上 ， )()( xfxF =′ ， 则 )()()()( aFbFxFdxxf bab a ?==∫ 。 证 任给 ],[ ba 一分割 bxxxa n =<<<=? L10: ， 由 Lagrange 中值定理 ∑ = ?=? n k kk xfaFbF 1 )()()( h ， ),( 1 kkk xx ?∈h 。 因 f 在 ],[ ba 可积 ， 令 0max 1 →?= ≤≤ knk xl ， 则上式右边 ∫→ b a dxxf )( 。 所以 ∫=? b a dxxfaFbF )()()( 。 135 § 6 .2 定积分的性质 1 . 初等性质 设 )(xf 在 ],[ ba 可积 ， c 实数 ， 则 )( xcf 亦可积 ， 且 ∫∫ = b a b a dxxfcdxxcf )()( 。 设 )(xf , )(xg 在 ],[ ba 可积 ， 则 )()( xgxf ± 亦可积 ， 且 [ ] ∫∫∫ ±=± b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 。 这说明定积分是个线性运算 。 设 )(xf 在 ],[ ba 可积 ， bca << ， 则 )(xf 在 ],[ ca 和 ],[ bc 都可积 ， 且 ∫∫∫ += b c c a b a dxxfdxxfdxxf )()()( 反之亦然 。 定理 （ 推广的 Newton - Leibniz 公式 ） 设 )(xf 在 ],[ ba 可积 ， )( xF 在 ],[ ba 除去 有限个点 bxxxa n =<<<= L10 外是 )(xf 的原函数 ， 这些点或是 )( xF 的连续点或是 第一类间断点 ， 则 ∑∫ ? = ?+= +== 1 0 01 0)()( m i ixx ixx b a xFdxxf 。 证 ∑∫∫ ? = += 1 0 1 )()( m i ix ix b a dxxfdxxf ∑ ? = ?+= +== 1 0 01 0)( m i ixx ixx xF 。 设 )(xf 在 ],[ ba 可积 ， 则 )(xf 亦可积 ， 且 ∫∫ ≤ b a b a dxxfdxxf )()( 。 |f(x)| 几何上看 ∫b a dxxf )( 有可能出现正负面积相消情况 ， ∫b a dxxf )( 将全部负面积翻成 正面积之和 。 设 )(xf 在 ],[ ba 可积 ， 0)( ≥xf ， ],[ bax ∈ ， 则 0)( ≥∫b a dxxf 。 136 若 f ， g 在 ],[ ba 可积 ， )()( xgxf ≤ ， ],[ bax ∈ ， 则 ∫∫ ≤ b a b a dxxgdxxf )()( 。 即定积分运算是保序的 。 2. 积分第一中值定理 定理 设 )(xf ， )(xg 和 )()( xgxf 在 ],[ ba 可积 ， )(xg 在 ],[ ba 不变号 ， )(inf xfm bxa ≤≤ = ， )(sup xfM bxa ≤≤ = ， 则存在 m ， Mm ≤≤ m ， 使得 ∫∫ = b a b a dxxgdxxgxf )()()( m 。 证 不妨设 0)( ≥xg ， 则 )()()()( xMgxgxfxmg ≤≤ ， 由积分不等式 ， 我们有 ∫∫∫ ≤≤ b a b a b a dxxgMdxxgxfdxxgm )()()()( 。 若 0)( =∫b a dxxg ， 取任意 m 都行 。 若 0)( >∫b a dxxg ， 令 ∫ ∫= b a b a dxxg dxxgxf )( )()( m 即可 。 推论 1 若 )(xf 在 ],[ ba 连续 ， )(xg 在 ],[ ba 上可积 ， 不变号 ， 则 ],[ ba∈?x ， 使得 ∫∫ = b a b a dxxgfdxxgxf )()()()( x 。 推论 2 若 )(xf 在 ],[ ba 连续 ， 则存在 ),( ba∈?x ， 使得 ))(()( abfdxxfb a ?=∫ x 。 推论 1 是积分第一中值定理与连续函数取中间值定理的直接结论 。 推论 2 的结论中要求 ),( ba∈x ， 证明还需要作点加工 ： 若 f 为常数 ， 结论显然 ； 若 f 非常数 ， 则 21 , xx ′′? ， 使得 Mxf <′)( 1 ， mxf >′ )( 2 且 )()( 21 xfxf ′>′ ， 还可找到 0>d ， 使得 0)( >? xfM ， d<′? 1xx ； 0)( >? mxf ， d<′? 2xx 。 所以 )()()( abMdxxfabm b a ?<<? ∫ ， 取 ∫?= b a dxxfab )(1m ， Mm << m ， 所以 ),( ba∈?x ， 使得 mx ∈)(f 。 3 . 变限定积分 用 Newton-Leibniz 公式 ， 我们知道 ， 若 ],[)( baCxf ∈ , )( xF 在 ],[ ba 上 是 )(xf 的原函 数 ， 则 ],[ bax ∈? ， 有 )()()( aFxFdttfx a ?=∫ 。 137 但是我们还不知道若 ],[)( baCxf ∈ 原函数是否存在 ， 我们称 ∫= x a dttfxF )()( 为变上限定 积分 ， 它启示我们它就是 )(xf 的一个原函数 。 定理 设 ],[)( baCxf ∈ ， 则 ∫= x a dttfxF )()( 是 )(xf 在 ],[ ba 上的一个原函数 ， 满足 )()( xfxF =′ ， 并且满足 0)( =aF 。 证 为证 )()( xfxF =′ ， bxa ≤≤ ， 我们固定 ),(0 bax ∈ ， 考虑当 0xx > 时 ： ∫ ∫ ∫ ??≤ ??= ??=??? x x x x x x dtxftfxx dtxftfxx xfdttfxxxfxx xFxF 0 0 0 )()(1 )]()([1 )()(1)()()( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 当 0xx < 时 ， ∫ ??≤??? 0 )()(1)()()( 0 0 0 0 0 x x dtxftfxxxfxx xFxF 因为 )(xf 在 0x 连续 ， 0>?e ， 0>?d ， 使得 d<? 0xx 时 ， 有 e<? )()( 0xfxf 这时 ee =????≤ ??≤??? ∫ 0 0 0 0 0 0 0 1 )()(1)()()( 0 xxxx dtxftfxxxfxx xFxF x x 0x 是区间端点时 ， 左右导数可类似证明 。 变限定积分还有一些变种 ∫∫ ?== x b b x dttfdttfxG )()()( ， )()( xfxG ?=′ ， ))(()()( )( xFdttfx x a jj ==Φ ∫ ， )())(()( xxfx jj ′=Φ′ 。 138 例 设 ]1,1[)( ?∈ Cxf ， 证明 ∫ ?+→ =?+1 1 2200 )()(lim tfdxxtfxh h h p 。 证 不妨设 0=t ， 考虑 )0()21(2 )]0(2)()([)]0(2)()([ )0()21(2)]0(2)()([ )0()21(2)]0()([ )0()( 0 1 2222 1 0 22 1 1 22 1 1 22 fharctg dxfxfxfxh hdxfxfxfxh h fharctgdxfxfxfxh h fharctgdxfxfxh h fdxxfxh hI p p p p d d ?+ ??+++??++= ?+??++= ?+?+= ?+= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ? ? 对 0>?e ， ]1,1[)( ?∈ Cxf , Mxf ≤)( , 0>?d ， 使当 d<x 时 ， 有 6)0()( e<? fxf ， 由 01 →? harctgharctg d )00( +→h ， 0>?h ， 使当 h<< h0 时 ， Mxh dxhharctgharctg 21 1 22 ed d <+=? ∫ ， 且 Mharctg 621 ep <? ， 这时 eeee =++< 333I 。 § 6. 3 定积分的换元法 、 分部积分法和第二中值定理 1 ． 换元法 定理 1 ],[)( baCxf ∈ ， ],[1 baj C∈ ， 又 a=)(aj ， b=)(bj ， bta ≤≤ )(j )( ba ≤≤ t 。 则 ∫∫ ′= b a jj dtttfdxxfb a )()]([)( 。 证 ],[)( baCxf ∈ ， 它有原函数 ， 记为 )( xF ， 则 )]([ tF j 是 )()]([ ttf jj ′ 的原函 数 ， 由 Newton-Leibniz 公式 ， 有 )()()( aFbFdxxfb a ?=∫ ， 及 )()()]([)]([)()]([ aFbFFFdtttf ?=?=′∫ ajbjjjb a ， 可得结论 。 139 注 1 在原函数定义 ∫b a dxxf )( 中 “ dx ” 仅是一个记号 ， 这个定理告诉我们它可看成 微分 ， )(tx j= ， dttdx )(j ′= ， 这样理解换元法公式是自然了 。 定理 2 设 ],[)( baCxf ∈ ， ],[)( 1 baj Ctx ∈= ， 满足 o1 a=)(aj ， b=)(bj ； o2 )(tj 在 ],[ ba 严格单调 ， 则 ∫∫ ′= b a jj dtttfdxxfb a )()]([)( 。 证 不妨设 )(tj 严格上升 ， 这时 ba < ， 给 ],[ ba 任意一个 分割 nttt <<<=? L10:a b= ， 因为 )(tj 严格上升 ， 相应地产生 ],[ ba 一个分割 bxxxa n =<<<=?′ L10: ， 其 中 )( ii tx j= ， ni ,,2,1,0 L= 。 因 )(tj 在 ],[ ba 一致连续 ， 0>?e ， 0>?d ， 使得 d<?=? ?1iii ttt 时 ， 有 ejj <?=?=? ?? )()( 11 iiiii ttxxx 。 即当 0max →? it 时 ， 有 0max →? ix 。 作 )()]([ ttf jj ′ 的任一积分和 ： ii n i i tf ?′= ∑ = )()]([ 1 tjtjs ， ],[ 1 iii tt ?∈t 及 )(xf 的某一积分和 ： ,)()]([ )]()()[()( 1 1 1 1 ∑ ∑∑ = = ? = ?′= ?=?=′ n i iii n i iii n i ii tf ttfxf tjtj jjxxs ii xtj =)( ， ],[ 1 iii tt ?∈t 。 因 )(tj ′ 在 ],[ ba 一致连续 ， 0>?e ， 0>?h ， 当 hl <?= ixmax 时 ， 有 etjtj <′?′ )()( ii 。 于是 ≤′?ss ∑ = ?′?′ n i iiii tf 1 )()()]([ tjtjtj ,)( eab ?≤ M 140 其中 。)(sup xfM bxa ≤≤ = 所以 ∫∫ ′==′= →→ b all jjss dtttfdxxfb a )()]([)(limlim 00 。 例 1 ∫ ?= 1 0 22 1 dxxxI dttt∫= 2 0 22 cossin p )20,sin( p≤<= ttx dtt∫= 2 0 2 2sin 4 1 p dtt∫ ?= 2 0 )4cos1(81 p 16)44sin(81 2 0 p p =?= tx 。 从这个例子 ， 我们可以看出定积分和不定积分换元有 两点区别 ： 1 ） 不定积分换元是 作为整体的变量替换 ， 定积分是作为一个特定区间上的变量替换 ， 有时前者行不通而后者却 可以进行 ； 2 ） 不定积分换元后必须换回去 ， 而定积分换元不必 ， 只要把定积分值算出来就 行了 。 例 2 1 . ],[)( aaCxf ?∈ 偶函数 ， 则 ∫∫∫ ?? += 0 0 )()()( a aa a dxxfdxxfdxxf ∫∫ ??= 0 0 )()( a a dttfdxxf ∫= a dxxf 0 )(2 。 2. ],[)( aaCxf ?∈ ， 奇函数 ， 则 0)( =∫ ? a a dxxf 。 例 3 ∫ ? + = p p dxxxxI 2cos1 sin 解 ∫ += p 0 2cos1 sin2 dx x xxI )()(cos1 )sin()(2 0 2 txdtt tt ?=?+ ???= ∫ pppp p ∫∫ +?+= ppp 0 20 2 cos1 sin2 cos1 sin2 dx t ttdx t t ， ∫? +?= 1 1 21 22 uduI p ， tu cos= 。 2 21 1 pp == ?uarctgI 。 141 2 分部积分法 定理 3 设 u ， ],[1 baCv ∈ ， 则 ∫∫ ′?=′ b a b a b a dxxvxuxvxudxxvxu )()()()()()( 。 （ ∫∫ ?= b a b a b a vduuvudv ） 证 )()()()())()(( xvxuxvxuxvxu ′+′=′ ， 所以 bab a xvxudxxvxu )()())()(( =′∫ ， 即 bab a b a xvxudxxvxudxxvxu )()()()()()( =′+′ ∫∫ 。 例 4 ∫∫ == 2 0 2 0 cossin pp dxxdxxI nnn 解 ∫ ??= 2 0 1 cossin p xdxI nn ∫ ?? +?= 2 0 12 0 1 sincoscossin pp xdxxx nn ∫ ??= 2 0 22 cossin)1( p dxxxn n ∫∫ ???= ? 2 0 2 0 2 sin)1(sin)1( pp dxxndxxn nn ， )2(1 2 ≥?= ? nInnI nn 20 p=I ， 11 =I 。 所以 2!)!2( !)!12(2 pkkI k ?= ， !)!12( !)!2(12 +=+ k kI k 。 例 5 ( J.Wallis 公式 ) 212 1!)!12( !)!2(lim 2 p =+? ? ? ?? ? ?∞→ nn n n 证 20 p<< x 时 ， 有 xxx nnn 12212 sinsinsin ?+ << ， 采用例 4 中的记号我们可得 1212 ?+ << nnn III ， 142 !)!12( !)!22( 2!)!2( !)!12( !)!12( !)!2( ? ?<?< + n n n n n n p ， nn n nn n 2 1 !)!12( !)!2( 212 1 !)!12( !)!2( 22 ?? ? ?? ? ?<<+?? ? ?? ? ? p 所以 )12)(2( 1 2 !)!12( !)!2(lim 12 1 2 12 !)!12( !)!2(lim +?? ? ?? ? ?=?? ??? ?? ??? ? ? ?? ? ? +??? ? ?? ? ? ∞→∞→ nnn n nnn n nn 。0221lim =?≤ ∞→ p nn 3 积分余项的 Taylor 公式 引理 ],[)( 0 bxCxg ∈ ， bxxx ≤<? 0: ， 有 1 1 1111 )()(1 1)()( 00 0 dttxtgmdttxdttg mx x mx x t x +? +=??? ? ?? ? ∫∫ ∫ ， +∈ Zm 证 dttxdttg mx x t x )()( 0 0 11 ??? ? ?? ?∫ ∫ 111 )()(11 0 0 +? ?? ? ?? ? + ?= ∫ ∫ mx x t x txddttgm ∫∫ ++ ?++?+?= = = x x mmt x dttgtxmtxdttgm xt xt 000 )()(11)()(11 1111 ∫ +?+= x x m dttgtx m 0 )()(1 1 1 。 定理 4 设 ),()( 001 hxhxCxf n +?∈ + ， 则 ∑ = +?= n k n k k xRxxk xfxf 0 0 0 )( )()(! )()( ， 其中 ∫ ?= +x x nn n dttxtfnxR 0 ))((!1)( )1( ， hxx <? 0 。 证 1=n 时 ， )(!1 )()()()( 0001 xxxfxfxfxR ?′??= ∫ ?′?′= x x xxxfdttf 0 ))(()( 00 [ ] ∫ ∫∫ ?????? ′′=′?′= x x t x x x dtdttfdtxftf 0 00 110 )()()( ∫ ∫ ??????? ′′?= x x t x txddttf 0 0 )()( 11 ∫ ?′′= x x dttxtf 0 ))(( 。 设 mn = 时成立 ， 即 ? ? ? ?? ? ?++?= mm m xxm xfxfxfR )( ! )()()( 0 0 )( 0 L 143 ∫ ?= +x x mm dttxtf m 0 ))((! 1 )1( 。 ? ? ? ?? ? ? +++?= + + + 1 0 0 )1( 01 )()!1( )()()( mm m xxm xfxfxfR L ∫ ?= +x x mm dttxtf m 0 ))((! 1 )1( 1 0 0 )1( )()!1( )( + + ?+? m m xxm xf ∫ ?= +x x mm dttxtf m 0 ))((! 1 )1( ∫ ?? +x x mm dttxxf m 0 ))((! 1 0 )1( [ ]∫ ??= ++x x mmm dttxxftf m 0 )()()(! 1 0 )1()1( ∫ ∫ ???????= +x x mt x m dttxdttf m 0 0 )()(! 1 11 )2( ∫ ++ ?+= x x mm dttxtf m 0 1)2( ))(( )!1( 1 。 推论 ： Lagrange 余项 10 )1( )()!1( )()( + + ?+= n n n xxn fxR x ， x 介于 0x ， 1x 之间 。 4 积分第二中值定理 Abel 变换 }{ ia ， }{ ib ， mi ≤≤1 ， 令 ∑ = = p i ipB 1 b ， mp ,,2,1 L= ， 00 =B ， 则 1??= iii BBb ， mm m i iii mm m i iii m i ii m i ii m i iii m i ii BB BBB BBB aaa aaaa baaaba +?= ?+?= ?=?= ∑ ∑ ∑∑∑∑ ? = + ? = + ? = + == ? = 1 1 1 01 1 1 1 1 0 1 11 1 1 )( )( )( 它实际上是分部积分公式 ∫∫ ?= b a b a b a xduxvxvxuxdvxu )()()()()()( 给定分割 ?： 令 iixu a=)( ， )()( 1 iii xvxv ?= +b ， )( ii xvB = 之后的一种离散化形式 。 定理 5 （ 积分第二中值定理 ） 设 ],[)( baCxg ∈ 。 （ 1 ） )(xf 在 ],[ ba 单调下降 ， 0)( ≥xf ， bxa ≤≤ ， 则 ],[1 ba∈?x , 使得 144 ∫∫ = 1 )()()()( x a b a dxxgafdxxgxf 。 （ 2 ） )(xf 在 ],[ ba 单调上升 ， 0)( ≥xf ， bxa ≤≤ ， 则 ],[2 ba∈?x ， 使得 ∫∫ = bb a dxxgbfdxxgxf 2 )()()()( x 。 （ 3 ） )(xf 在 ],[ ba 单调 ， 则 ],[ ba∈?x ， 使得 ∫∫∫ += b a b a dxxgbfdxxgafdxxgxf x x )()()()()()( 。 证 （ 1 ） 令 ],[)()( 1 baCdttgxG x a ∈= ∫ ， 记 )(min xGm bxa ≤≤ = ， )(max xGM bxa ≤≤ = ， 给 ],[ ba 一个分割 <<<=? L10: xxa bxn = ， 记 )(inf 1 xfm kk xxx k ≤≤ ? = ， )(sup 1 xfM kk xxx k ≤≤? = ， )(xf 在 ],[ ba 单调下降 ， 所以可积 ， 因而 0)()(sup)()()( 11 1 1 →??≤? ∑∑ ∫ =≤≤= ? ? n k kkk bxa n k x x k xmMxgdxxgxfxf k k 当 0→l 时 。 ∑∫∫ = ?→ ? == n k x x k b a k k dxxgxfdxxgxfI 1 10 1 )()(lim)()( l ∑ = ??→ ?= n k kkk xGxGxf 1 110 )]()()[(liml )()()()]()([lim 1 10 bGbfxGxfxf n k kkk +?= ∑ = ?→l )()()()( aMfdxxgxfIamf b a ≤=≤ ∫ 。 若 0)( =af ， 则 0)( ≡xf ， x 可取任意值 。 若 0)( >af ， Mdxxgxfafm b a ≤≤ ∫ )()()(1 ， ],[)( baCxG ∈ ， ],[1 ba∈?x ， 使得 ∫= ba dxxgxfafG )()()(1)( 1x ， 即 ∫∫ = 1 )()()()( xaba dxxgafdxxgxf 。 （ 2 ） 类似可证 。 （ 3 ） 不妨设 )(xf 单调上升 ， 令 )()()( afxfxF ?= ， 单调上升 ， 0)( ≥xF ， 由 （ 2 ） ],[ ba∈?x ， 使得 ∫∫∫ ?== bbb a dxxgafbfdxxgbFdxxgxF xx )()]()([)()()()( 。 145 ∫∫∫∫ ?+= bbb a b a dxxgafdxxgbfdxxgafdxxgxf xx )()()()()()()()( ∫∫ += b a dxxgbfdxxgaf x x )()()()( 。 例 1 )(xf 在 ],[ pp? 单调下降 ， 求证 02sin)(12 ≥= ∫ ? p pp dxnxxfb n ， 0)12(sin)(112 ≤+= ∫ ?+ p pp dxxnxfb n 。 证 ，0)]()(][2cos1[21 2 12cos)( 2 2cos1)(1 2sin)(2sin)(12 ≥???= ?? ? ?? ? ?+??= ?? ? ?? ? +?= ∫∫ ? ppxp xpxp p ppp p x x p ffnn n nf n nf dxnxfdxnxfb n .0)]()(][)12cos(1[)12( 1 12 1)12cos()( 12 )12cos(1)(1 )12(sin)()12(sin)(112 ≤??+??+= ?? ? ?? ? + ?+?? + +???= ?????? +++?= ∫∫?+ ppxp xpxp p ppp p x x p ffnn n nf n nf dxxnfdxxnfb n 习题 ： 6.1 利用定积分的几何意义 ， 求下列积分 ： （ 1） ∫b a xdx； （ 2） ∫ ??b a dxxbax ))(( ； （ 3） ∫ +?b a dx bax 2 。 6.2 设 [ ]baRxf ,)( ∈ （ [ ]baR , 表示 [ ]ba, 上的可积函数全体 ）， 求证 ： （ 1） ∑∫ ? =+∞→ ?????? ?+?= 1 0 )(lim)( n in b a n abiaf n abdxxf ； （ 2） ∑∫ ? =+∞→ ?????? ?++?= 1 0 ))(1(lim)( n in b a n abiaf n abdxxf ； 146 （ 3） L+?++?= ∞→∫ )(2)([2lim)( n abafafnabdxxf n b a )]()))(1((2 bfn abnaf +??++ 。 6.3 设 )(tf 在 [ ]cbca ++ , 上可积 。 证明 ： )( cxf + 在 [ ]ba, 上可积 ， 且 ∫∫ + + =+ cb ca b a dttfdxcxf )()( 。 6.4 计算下列定积分 ： (1) ∫p 0 2cos xdx； （ 2） ∫ ?a dxxa 0 ； （ 3） ∫ ?a dxxax 0 ； （ 4） ∫? ? ? 3 4 2 4xx dx 。 6.5 求下列极限 ： （ 1） ∑ =+∞→ n kn n k n1 sin 1lim p ； （ 2） )21111(lim nnn n ++++ +∞→ L ； （ 3） n n nnnn )12()1(1lim ?+ +∞→ L 。 6.6 求下列积分 ： （ 1） ∫p 0 cos xdx； （ 2） ∫ ? ? 2 1 2 1 21 x dx ； （ 3） ∫ ? + 1 1 21 x dx ； （ 4） )0( 1cos2 1 1 2 paa <<+?∫ ? xx dx ； （ 5） ∫ ? + 2 2 22 cos2sin p p xx dx ； （ 6） ∫b a dxxsin ； （ 7） )0,(cossin2 0 2222 >+∫ baxbxa dx p ； （ 8） )0,(cossin cos2 0 2222 >+∫ baxbxa xdx p ； （ 9） dxx∫ ? ?1 1 1 ； （ 10） )10(cos12 0 <<+∫ eep xdx 。 6.7 设 [ ]baCxf ,)( ∈ ， 且 ∫ =b a dxxf 0)( ， 求证 ： )(0)( bxaxf ≤≤≡ 。 6.8 设 [ ]baCxgxf ,)(),( ∈ 。 求证 ： 147 ∫∫∫ ?≤? b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 22 ， 而且等号成立当且仅当 )()( xfxg l= （ 或 )()( xgxf l= ）， 其中 l 为常数 。 6.9 设 [ ]baCxgxf ,)(),( ∈ 。 求证 ： [ ] ∫∫∫ +≤+ b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 222 ， 而且等号成立当且仅当 )()( xfxg l= （ 0≥l 为常数 ）。 6.10 设 dxxxI n n ∫ += 1 0 1 ， 试建立 nI 的递推公式 ； 并利用所得结果证明 ： 2ln]1)1(31211[lim 1 =?+?+? ? +∞→ n n n L 。 6.11 (1) 试建立 dttntI n ∫= 2 0 2 sin sinp 的递推公式 ； （ 2） 求证 ： 1sinsinln2lim 2 0 2 =∫ +∞→ dttntn n p 。 6.12 证明下列极限 ： （ 1） )10(0)1(lim 0 2 <<=?∫ +∞→ bdxx nb n ； （ 2） 0)1(lim 1 0 2 =?∫ +∞→ dxx n n ； （ 3） 0sinlim 2 0 =∫ +∞→ dxxn n p 。 6.13 （ 1） 任给 0>d ， 求证 ： 0 )1( )1( lim 1 0 2 1 2 = ? ? ∫ ∫ +∞→ dtt dtt n n n d ； （ 2） 设 [ ]1,1)( ?∈Cxf ， 令 ∫ ?= 1 0 2 )1(2 dtt n nl ， 求证 ： )0()()1(1lim 1 1 2 fdttft n nn =?∫ ?+∞→ l 。 6.14 设 0)( ≥xf ， 0)( ≤′′ xf ， 对 [ ]bax ,∈? 成立 。 求证 ： 148 ∫?≤ b a dxxfabxf )(2)( 。 6.15 设 ( )+∞∞?∈ ,)( Cxf ， 并存在常数 a 满足 ∫=+ x a dttfx )(405 3 。 （ 1） 求出 )(xf ； (2) 定出常数 a 。 6.16 设 ( )+∞∞?∈ ,)( Cxf ， 求出下列函数的导数 。 （ 1） ∫= 2 0 )()( x dttfxF ； （ 2） ∫ + + = bx ax dttfxF )()( 。 6.17 求下列极限 ： （ 1） qqq dctgh h n )1(1lim 02 ∫ ? +∞→ ； （ 2） dtetxe tx x n 2 2 0 2lim ∫ ? +∞→ 。 6.18 求下列函数 ： （ 1） ∫= x tdtxf 0 sgn)( ； （ 2） ∫= x dttxf 0 )( ； （ 3） ∫ ?= 1 0 )( dttxxf ； （ 4） ∫ ?= 1 0 )( dttxtxf 。 6.19 设 )(xPn 为 n 次代数多项式 。 求证 ： )(max2)( xPndxxP n bxa b a n ≤≤ ≤′∫ 。 6.20 计算下列积分 ： （ 1） ∫ +1 0 )1( dxxx a ； （ 2） ∫ +1 0 )1ln( dxx ； （ 3） ∫ +? a dx xa xa 0 ； （ 4） ∫ +? a dx xa xaarctg 0 ； （ 5） ∫ >?2 0 2/322 )0()( a axa dx ； （ 6） ∫ +3 1 21 dxx x ； （ 7） ∫ ?1 0 1 dxxx ； （ 8） ∫ ?9 1 3 1 dxxx ； （ 9） ∫ ? 2 1 0 2 3 1 dx x x ； （ 10） ∫ >?a adxxa 0 22 )0( ； （ 11） ∫ 2/ 0 2 cossinp xdxx ； （ 12） ∫ >?a adxxax 0 222 )0( ； （ 13） ∫ ?2 1 4 1 )1( arcsin dx xx x ； （ 14） ∫ ?a a dxx ax2 4 22 。 6.21 求证 ： 149 （ 1） ∫ <<=+? ?p pqq2 0 2 2 )10(2cos21 1 rdrr r ； （ 2） n n nn xx dx 2 1 1)1( 1 0 = ++∫ 。 6.22 求证 ： （ 1） ?? ??? ≠ ==∫ ;,0 ,,coscos 2 0 nk nkkxdxnx pp (2) 12/ 0 2 coscos +=∫ nn xdxnx pp 。 6.23 求证 ： 当 n 为奇数时 ， tdtxF x n∫= 0 sin)( 是以 p2 为周期的周期函数 ； 而当 n 为偶 数时 ， )( xF 是线性函数与周期函数的和 。 6.24 给定积分 ∫= p 0 )(sin dxxxfI ， )(xf 是 [0， 1]上的连续函数 。 求证 ： （ 1） ∫= pp 0 )(sin2 dxxfI ； （ 2） 求 ∫ +p 0 2cos1 sin dx x xx 。 6.25 设 )(xf 是周期为 T 的连续函数 。 求证 ： ∫∫ = +∞→ Tx x dxxfTdttfx 00 )(1)(1lim 。 6.26 计算下列积分 ： （ 1） dxxx )1ln(1 0 2∫ ++ ； （ 2） dxarctgxx∫1 0 2)( ； （ 3） nxdxx sin 0 2∫p ； （ 4） nxdxex cos∫ ? p p ； （ 5） dxxdx∫ ?1 0 22 )2( ； （ 6） dxx x∫ +2 1 2 21 ； （ 7） dxxx 531 0 2 )1( ?∫ ； （ 8） dxxx 31 0 2)1(∫ ? ； （ 9） xdxx ln2 1 2∫ ； （ 10） dxex x∫1 0 2 。 6.27 求下列定积分 ： （ 1） xdxe x bp a sin2/ 0∫ ； （ 2） xdxe x bp a cos2/ 0∫ 。 6.28 求下列定积分 ， 其中 nm, 为正整数 ： (1) xdxx nn ln1 0∫ ； （ 2） dxxx nm 11 0 1 )1( ?? ?∫ ； 150 （ 3） dxxtg n∫1 0 2 ； （ 4） xdxx mn cossin2 0∫ p ( mn + 为奇数 ) 提示 ： 先建立递推公式 。 6.29 设 [ ]baCxf ,)( ∈′ ， 且 0)( =af 。 求证 ： )(max2 )()( 2 xfabdxxf bxa b a ′?≤ ≤≤∫ 。 6.30 设 [ ]baCxf ,)( ∈′′ ， 且 0)()( == bfaf 。 求证 ： （ 1） ∫∫ ??′′= b a b a dxbxaxxfdxxf ))()((21)( ； （ 2） )(max12 )()( 3 xfabdxxf bxa b a ′′?≤ ≤≤∫ 。 6.31 求证 ： ∫ + +∞→ >=pn nn pdxx x )0(0sinlim 。 6.32 设 )(xf 在 [ ]p2,0 上单调有界 。 求证 ： （ 1） 0sin)(lim 2 0∫ = +∞→ p l lxdxxf ； （ 2） 0cos)(lim 2 0∫ = +∞→ p l lxdxxf 。 6.33 设 )(xf 在 [ ]p2,0 上单调下降 。 求证 ： ∫ ≥= pp 2 0 0sin)(1 nxdxxfbn 。 6.34 设 )(xf 在 [ ]pp,? 上单调下降 。 求证 ： ∫ ? ≥= p pp 02sin)(12 nxdxxfb n ； ∫ ?+ ≤+= p pp 0)12sin()(112 xdxnxfb n 。 6.35 设 )(xf 在 [ ]1,0 上严格单调下降 。 求证 ： （ 1） )1,0(∈?q 使得 ∫ ?+=1 0 )1()1()0()( ffdxxf qq ； （ 2） )0(fc >? ， )1,0(∈?q 使得 ∫ ?+=1 0 )1()1()( fcdxxf qq 。 151 6.36 利用梯形公式计算积分 ， 并估计误差 。 （ 1） )8(11 0 =+∫ nxdx ； （ 2） )10( 1 1 0 3 = +∫ n x dx 。 6.37 请按下列提示的思路证明 ： 若 [ ]baCxf ,)( ∈ ， 单调增加 ， 则 ∫∫ +≥ b a b a dxxfbadxxxf )(2)( 。 思路一 ： 对积分 dxxfbaxb a )()2(∫ +? 分段使用第一中值定理 。 思路二 ： 对积分 dxxfbaxb a )()2(∫ +? 分段使用第二中值定理 。 思路三 ： 从 0))2()()(2( ≥+?+?∫ dxbafxfbaxb a 出发 。 思路四 ： 从 ],[,,0))()()(( baxtxftfxt ∈?≥?? 出发 ， 先固定 x 对 t 积分 ， 将 所得结果再对 x 积分 。