1 第 一 章 函 数 § 1.1 初等函数 数学分析的研究对象是函数 。 初等数学中我们已经初步地接触到初等函数 。 首先我们 回顾一下初等函数 , 用严厉和好奇的目光 , 看一看定义上它们有什么不完善的地方 , 性质上 它们还有哪些深刻的东西尚不为认识 , 为了进一步认识这些性质 , 需要什么样的新工具 。 这里讲的初等函数基本上是最基本的初等函数 , 即常数函数 , 单项式函数 , 多项式函数 , 有 理函数 , 幂函数 , 指数函数 , 对数函数 , 三角函数 , 反三角函数 , 我们还将介绍双曲函数及 其反函数 。 常数函数 cy = 对所有 x , +∞<<∞? x . 这里 ∞? , ∞+ 分别表示负无穷大和正无 穷大 。 也就是说常数函数的定义域为整个实数轴 。 下面是 1=y 的函数图形 , 它是一条与 x 轴平行的直线 。 如果 y 表示质点运动的速度 , 这函数表示匀速直线运动 。 那么从时刻 0x 到时刻 1x 的路程 )( 01 xxcS ?= 就是图中阴影部分的面积 ( 见下图 ) 。 0 x0 x1 1 y=1 x y 单项式函数 Λ,3,2,1, == kxy k , 对所有 x , +∞<<∞? x 。 下面是 xy = , 2x , 3x ， 4x 的图形 。 x y y=x y=x2 0 0 x y y=x3 0 x y y=x 4 2 从图中我们可以看到 kxy 2= ， Λ,3,2,1=k , 是关于 y 轴镜面对称的 ， 这样的函数称为偶 函数 。 定义 实数轴上一个子集 ?X R 称为关于原点对称的 , 如果对任意的 Xx ∈ , 都有 - Xx ∈ 。 定义 函数 )(xfy = 定义在关于原点对称的子集 X 上 , 如果对于任意 Xx ∈ , 有 )()( xfxf ?= , 则称之为偶函数 。 12 += kxy , Λ,3,2,1=k , 是关于原点 (0,0) 中心对称的 , 这样的函 数称为奇函数 。 定义 函数 )(xfy = 定义在关于原点对称子集 X 上 , 如果对于任意 Xx ∈ , 有 )()( xfxf ?=? , 则称之为奇函数 。 这里我们看到 , 对于单项式函数 , 奇偶性恰与它的次数的奇偶性相吻合 。 如果 xy 2= 表示质点运动速度 , 那么它是匀速直线运动 , 从时刻 0=x 到时刻 x 它走 过的路程是图中阴影三角形面积 ， 等于 2x ， 恰为二次单项式函数 。 函数 2xy = 表示了匀速 直线运动的路程 , 取 x 时刻函数图形对应点的斜率 , 表示该时刻质点的瞬时速度 , 它恰好为 x2 。 这两个函数之间关系是很深刻和重要的 。 一个是积分 , 一个是微分 ( 或导数 ), 构成微 积分的基本研究对象 。 多项式函数 0111 ... axaxaxay nnnn ++++= ?? ( 0≠na ) ， 它是有限个单项式函数的线性组合 。 0122 axaxay ++= ( 02 ≠a ) 给出所有抛物线 。 在多项式函数中最高次数 n 称为多项 式 函数的次数 。 奇数次多项式至少有一个根 0x , 0)( 0 =xf 。 为什么 ？ 你能给出证明吗 ？ 0 x y y=2x 0 x y y=x 2 切线 y=a2x2+a1x+a0 y x0 3 多项式函数有个重要代数性质 ： 两个多项式函数之积仍为一多项式函数 ， 再加上它的 加法运算 ， 它构成一个环 ， 是交换代数研究的对象 。 有理函数 )( )(xP xQy = , )( xP ， )(xQ 都是多项式函数 ， 通常我们假定 )( xP 和 )(xQ 没有非零次的公因式 。 由于零不能做分母 ， 有理函数的定义域要在实数集中除去分母的零 点 。 有理函数的图形一般是比较复杂的 ， 下面是 3 2 )1( ?= x xy 的图形 ， 想一想是怎样画出 来的 。 0.5 1 1.5 2 -7500 -5000 -2500 2500 5000 7500 有了计算机以后 ， 现在很多数学软件 ， 比如 Mathematica ， Maple 等 ， 用它们画图是 很容易的 。 打开 Mathematica 窗口 ， 用如下命令就可画出上面图形 Plot[y=x^2/(x - 1)^3, { x, 0,2},PlotRange - >{ - 7500,7500}] 然后同时按 Shift 和 Enter 键 , 就大功告成了 。 ` 但是请君不要忘记 ， 软件是人编的 ， 数学理论和方法才是软件的灵魂 ！ 幂函数 axy = , +∞<< x0 , 0≠a 。 如果 =a 1 , 2 , 3 ,..., 它就是单项式函数的一 半 ， 这里我们研究一般的 0≠a ， 它甚至可以是无理数 。 细想一下这个函数并不简单 ， 比 如 p2 如何定义都很难说清楚 ， 要等到第三册才能给出严格定义 ， 其实 2 本身的定 义也需建立实数理论以后才能说清楚 。 现在可以用进小数逼近来描述它 ： 2 可被 1,1.4, 1.41, 1.414, ... 任意逼近 ， p 可被 3, 3.1, 3.14, 3.141, ... 任意逼近 ， 而 31 , 1.34.1 , 14.341.1 , 141.3414.1 是可以定义的 ， 它们可以任意地逼近一个实数 ， 我们把这个实数理解为 p2 。 下面图中给出 xy = , 2x , 21x , 1?x 四个幂函数的图形 。（ 见下页 ） 4 它们的上升 ， 下降 ， 凸凹性质是很值得研究的 。 当 0>a 时 ， axy = 在 ),0[ +∞ 严格上升 ， 1>a 时凸函数 ( 从下往上看 ， 严格定义 以后再讲 ) ， 10 <<a 时凹函数 。 当 0<a 时 ， axy = 在 ),0[ +∞ 严格下降 。 指数函数 xay = ( 0>a , 1≠a ). 1>a 时在 ),( +∞?∞ 严格上升 。 1<a 时在 ),( +∞?∞ 严格下降 。 引进一个无理数 2.71828=e ... , 以后我们还要详细的研究 。 xey = 是一个理论和实 用上都非 常重要的函数 。 对数函数 xy alog= , 它与指数函数 xay = 互为反函数 ， 即如果 ),( yx 满足 xy alog= , 则一定 yax = ， 所以 xy alog= 的图形恰为 xay = 的图形沿对角线 xy = 翻转 o180 。 xx lglog10 = 称为常用对数 ， 它在工程中比较常用 。 xxe lnlog = 称为自然对数 ， e 称为自然对数的底 ， 它在理论研究中常用 。 为什么称它 “ 自然 ” 对数 ， 要待日后方知 。 0 0 y=x2 y=x y=x1/2 y=x-1 y x y=ax (a>1)y=ax (a<1) y x 5 1 x y )1(log >= axy a )1(log <= axy a 三角函数 xy sin= （ +∞<<∞? x ） xy cos= （ +∞<<∞? x ） tgxy = （ p21+≠ kx ） ctgxy = ( pkx ≠ ) xy sin= 周期 p2 ， 奇函数 xy cos= 周期 p2 ， 偶函数 - tgxy = 周期 p ctgxy = 周期 p 定义 函数 )(xfy = 定义在 ),( +∞?∞ 上 ， 如果存在 0>l ， 使得对 ),( +∞?∞∈?x , 0 0 6 有 )()( xflxf =+ ， 称 )(xf 为周期函数 ， l 是 )(xf 的一个周期 ， l是 ， kl 都是 。 最小周 期简称为周期 。 但也有的函数没有最小周期 ， 想一想 ， 你能找一个这样的例子吗 ？ 双曲函数 2)( xx ee xshy ?? == 2)( xx ee xchy ?+ == 悬链线 xx xx ee ee xch xshxthy ? ? + ?=== )( )()( 性质 1)()( 22 =? xshxch 对照 1sincos 22 =+ xx )2()()( 22 xchxshxch =+ )2cos(sincos 22 xxx =? )()(2)2( xchxshxsh = xxx cossin2)2sin( ?= 令 )(xchX = , )(xshY = , 则它们满足双曲方程 122 =?YX ， 这是双曲函数名称 的由来的原因之一 。 在单位圆盘上的非欧几何 —— 双曲几何 （ 俄国人称为罗巴切夫几何 ， 西方称为 Poincaré 几何 ）。 双曲函数是基本的函数论工具 。 反双曲函数 反双曲正弦 : xshy 1?= 反双曲余弦 ： xchy 1?= , 只在右半平面上存在 反双曲正切 ： xthy 1?= x y 0 0 x y 0 x y 7 基本初等函数看来并不简单 ， 很多性质有待于我们进一步研究 。 一般的函数 ， 其内涵更 为丰富 。 我们仅举一例 3232 4 qxqxy ??= , 当其判别式 027 2332 ≠?=? qq 时 , 它可以看成两个函数 3234 qxqxy ??= 和 32 34 qxqxy ???= 拼起来的 ， 而每一个函数 ， 比如 32 34 qxqxy ??= 又可看成一 个多项式函数 3234 qxqxz ??= 和一个幂函数 21zy = 复合起来的 。 它的图形如下 这里一条代数曲线 ， 其中学问可谓大矣 。 由此展开的数学构成代数数论的基本框架 ， Fermat 大定理的证明就源于此 ， 可参考陆洪文的书 “ 模形式和数论 ” 。 § 1.2 函数的一般概念 设 X 是实数集的一个子集合 ， ?X R， X 中元素也称为变量 ， 它可以表示力学 ， 物理 ， 工程乃至社会人文科学中的对象 。 一个变量的变化常常会引起另一个变量的变化 ， 这个关系通常用函数来表示 。 这一节中的函数是上一节初等函数的一般化 。 定义 给定 ?X R， 如果存在某种对应法则 f ， 使得对于 X 中任一元素 Xx ∈ ， 都 唯一确定的数 ∈y R 与之对应 ， 则称 f 是从 X 到 R 的一个函数 ， 记作 →Xf : R。 函 数 f 在 x 点的值记作 )(xfy = ， X 称为函数 f 的定义域 ， x 称为自变量 ， y 称为因变 量 。 从概念上讲 ， f （ 即对应法则 ） 是函数 ， )(xf 是函数值 ， 两者是不同的 。 但它们是 相互决定的 ， 今后在大部分场合 ， 不加区分 。 但有些场合 ， 如微分和微分形式概念中 ， 必 需加以区分 。 函数定义有两个 要素 ),( fX , 即定义域和对应法则 。 函数定义一经给定 ， 其值域 ?∈= }:)({)( XxxfXf R 也就决定了 ， 求函数的值域成为研究函数的第一个任务 。 函数定义域应该是定义中给定的 ， 无需去求 。 但习惯上 ， 往往先有一个对应法则 （ 通 常由一个公式给出 ）， 如无特殊要求 ， 将使这个对应法则 （ 公式 ） 有意义的自变量范围理解 成定义域 ， 这时就产生一个求函数定义域的问题 ， 当然我们不能拒绝它 。 求函数定义域时 两条基本原则 ， 即零不能做分母和负数不能开平方是要切记的 。 8 上一节的初等函数都是用公式给出的 ， 这是函数表示最常用的方法 ， 但不是唯一的方 法 ， 实际工作中还有穷举法 ， 描述法 ， 列表法和图形法 。 定义 平面 2R 上的点集 }:))(,{( XxxfxE ∈= 称为函数 )(xf 的图形 。 例 1 绝对值函数 || xy = 。 例 2 符号函数 )sgn( xy = = ?? ??? <? = > 01 00 01 x x x ， 我们常有 ||sgn xxx =? 。 例 3 Gauss 取整函数 ][ xy = , ][ x 表示不超过 x 的最大整数 ， 其图形是黄山路上 的百步云梯 。 比如 ： [3.5]=3, [3]=3, [ - 3.5]= - 4 。 常有 1][][ +<≤ xxx , 及 1][0 <?≤ xx 。 它是计算机中将浮点数变为整点数的基本方 法 ， 不妨在计算机上试一试 。 用它还可写出四 舍五入的取整函数 ， 不妨试一试 。 与此有关 一个的函数 ][)( xxxf ?= 的图形是一条大锯 ， 画出图看一看 。 例 4 公民交纳个人所得税数额由他每月收入决定 ?? ? ? ?? ? ? ? ≤<×?++ ≤<×?+× ≤<×? ≤≤ = 5800280010015)2800(15025 2800130010010)1300(1005500 13008001005)800( 80000 xx xx xx x y 例 5 Dirichlet 函数 0 0 y x0 y=|x| 9 ?? ?== 为无理数 为有理数 x xxDy 0 1)( 这是一个病态函数 ， 很有用处 ， 却无法画出它的图形 。 它是周期函数 ， 但却没有最小周 期 ， 事实上任一有理数都是它的周期 。 几个常用的经济学 函数 需求函数 ： 需求量 Q 一般与商品的价格 P 、 社会需求与心理 、 季节有关 ， 当然最重 要的是价格因素 ， 所以最简单的 )( PfQ = ， 而且一般是 P 的下降函数 。 其反函数 )(QPP = ， 称为价格函数 ， 一般它也是下降函数 ， 需求越少 ， 价格越贵 ， 曲高和寡 。 成本函数 ： 成本主要的是产量的函数 ， 最简单的模型是 baxxCC +== )( ， 其中 b 为固定成本 ， a 为可变成本 ， x 是产品产量 ， )(xC 表示生产 x 件 （ 或其它度量单位 ， 如 吨 ， 立方米等 ） 产品的总成本 。 xxCxC )()( = 称为单位成本或平均成本 。 销售收入函数 ： xxpxpR ?=?= )( ， 其中 x 为销售量 ， )(xpp = 为价格 。 利润函数 ： )()()( xCxRxL ?= 。 函数的有界性 对函数 →Xf : R, 若存在 0>M , 对任意 Xx ∈ , 有 Mxf ≤)( ， 则 称 )(xf 在 X 上有界 。 如 xy sin= ， xy cos= , )( xDy = 都是有界函数 ； 2xy = 在 ]2,2[?=X 是有界 的 ， 但在 ),( +∞?∞ 是无界的 。 逻辑符号 ： ? 存在 ， ? 任意 ， 它们是一对 ， 互为否命题 。 →Xf : R 有界 ： 0>?M , 使得 Xx∈? , 有 Mxf ≤)( 。 →Xf : R 无界 ： ,3,2,1 Λ=?n Xxn ∈? , 使得 nxf n >)( 。 如 ： xxf 1)( = 在 [0 ， 1] 无界 。 函 数的单调性 X 是一区间 （ ],[ ba 闭区间 ， ),( ba 开区间 ， ],( ba ， ),[ ba 半开半闭区 间 ， ],( a?∞ ， ),[ ∞+a ， ),( ∞+?∞ 无穷区间 ） , →Xf : R。 如果 1x? , Xx ∈2 , 10 21 xx < , 有 )()( 21 xfxf ≤ , 则称 )(xf 在 X 单调上升或单调递增 。 上述定义中将 ≤ 改为 ≥ ， 则称 )(xf 在 X 单调下降或单调递减 。 如将 ≤ 或 ≥ 改为 < 或 >， 则称 )(xf 在 X 严格单调上升或下降 。 如 ： 3xy = ， ][ xy = 在 ( - ∞ , + ∞ ) 单调上升 ， 且前者严格单调上升 。 例题 证明 →Xf : R 有界的充要条件为 ： ? M , m ， 使得对 Xx∈? , Mxfm ≤≤ )( 。 证明 如果 →Xf : R 有界 ， 按定义 ? M >0 ， Xx∈? 有 Mxf ≤)( ， 即 MxfM ≤≤? )( , 取 Mm ?= , MM = 即可 。 反之如果 ? M , m 使得 Xx∈? , Mxfm ≤≤ )( ， 令 |)|,1|max(|0 mMM += ， 则 0|)(| Mxf ≤ ， 即 ? 00 >M ， 使得对 Xx∈? , 有 0|)(| Mxf ≤ ， 即 →Xf : R 有 界 。 函 数的延拓和限制 XA ? , →Xf : R， →A:j R， )()( xfx =j , Ax∈? , 则 j 为函数 f 在 A的限制 ， 记做 Af ， f 称为 j 到 X 上的延拓 。 对延拓可加各种合理的要求 ， 以满足人们的需求 。 在信号处理或图象处理中 ， 如果滤 波器较长 ， 用它来对信号或图象进行变换时 ， 就需对信号或图象进行延拓 ， 通常可采用周 期延拓 ， 奇延拓或偶延拓等 。 § 1.3 复合函数和反函数 对函数可以实行加减法运算和乘法运算 )()( xgxf + ， )()( xgxf ? , )()( xgxf ? ， 也 可以实行除法运算 )( )(xg xf ， 这时要特别小心 ， 要除去 0)( =xg 的点 。 这节中我们研究另外 两种重要的运算 —— 复合和反函数 。 1 . 复合函数 11 定义 设函数 )(xfy = 定义域包含函数 )(xgu = 的值域 ， 则在 )(xg 的定义域上可 以用以下法则确定一个函数 )( )(xgfy = ， 称之为 f 与 g 的复合函数 ， 记作 gf ο 。 我们总 有 ))(()( xgfxgf =ο 。 这里 “ ο ” 运算是非交换的 ， 一般的没有 fggf οο = 。 但它是结合的 ： hgfhgf οοοο )()( = ， 故可定义 nfff οΛοο 21 。 例 )(xfy = , 2yz = , 它们的复合 2))(( xfz = 。 2 ． 反函数 定义 设 →Xf : R 是一函数 ， 如果 ? 1x ， Xx ∈2 , 由 )()( 2121 xfxfxx ≠?≠ ( 或由 2121 )()( xxxfxf =?= ) ， 则称 f 在 X 上是 1 - 1 的 。 若 YXf →: ， )( XfY = ， 称 f 为满的 。 若 YXf →: 是满的 1 - 1 的 ， 则称 f 为 1 - 1 对应 。 →Xf : R 是 1 - 1 的意味着 )(xfy = 对固定 y 至多有一个解 x ， YXf →: 是 1 - 1 的意味着对 Yy ∈ ， )(xfy = 有且仅有一个解 x 。 定义 设 YXf →: 是 1 - 1 对应 。 Yy ∈? , 由 )(xfy = 唯一确定一个 Xx ∈ , 由这 种对应法则所确定的函数称为 )(xfy = 的反函数 ， 记为 )(1 yfx ?= 。 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 YXf →: XYf →? :1 显然有 XXIff →=? :1 ο ( 恒等变换 ） YYIff →=? :1ο ( 恒等变换 ) YXff →=?? :)( 11 。 从方程角度看 ， 函数和反函数没什么区别 ， 作为函数 ， 习惯上我们还是把反函数记为 12 )(1 xfy ?= , 这样它的图形与 )(xfy = 的图形是关于对角线 xy = 对称的 。 严格单调函数是 1 - 1 对应的 ， 所以严格单调函数有反函数 。 但 1 - 1 对应的函数 （ 有反 函数 ） 不一定是严格单调的 ， 看下面例子 ?? ? ≤≤? <≤= 21,3 10,)( xx xxxf 它的反函数即为它自己 。 实际求反函数问题可分为二步进行 ： 1. 确定 YXf →: 的定义域 X 和值域 Y ， 考虑 1 - 1 对应条件 。 固定 Yy ∈ ， 解方 程 yxf =)( 得出 )(1 yfx ?= 。 2. 按习惯 ， 自变量 x 、 因变量 y 互换 ， 得 )(1 xfy ?= 。 例 求 2)( xx ee xshy ?? == ： R → R 的反函数 。 解 固定 y ， 为解 2 xx ee y ?? = ， 令 ze x = ， 方程变为 12 2 ?= zzy 0122 =?? zyz 12 +±= yyz ( 舍去 12 +? yy ) 0 y=f(x) y=f -1 (x) 0 x y 0 y=f(x) 13 得 )1ln( 2 ++= yyx ， 即 )()1ln( 12 xshxxy ?=++= ， 称为 反双曲正 弦 。 定理 给定函数 )(xfy = ， 其定义域和值域分别记为 X 和 Y ， 若在 Y 上存在函数 )( yg ， 使得 xxfg =))(( , 则有 )()( 1 yfyg ?= 。 分析 要证两层结论 ： 一是 )(xfy = 的反函数存在 ， 我们只要证它是 1 - 1 对应就行了 ， 二是要证 )()( 1 yfyg ?= 。 证 要证 )(xfy = 的反函数存在 ， 只要证 )(xf 是 X 到 Y 的 1 - 1 对应 。 ? 1x ， Xx ∈2 ， 若 )()( 21 xfxf = ， 则由定理条件 ， 我们有 11))(( xxfg = 22 ))(( xxfg = 21 xx =? ， 即 YXf →: 是 1 - 1 对应 。 再证 )()( 1 yfyg ?= 。 ? Yy ∈ ， ? Xx ∈ ， 使得 )(xfy = 。 由反函数定义 )(1 yfx ?= ， 再由定理条件 xxfgyg == ))(()( )()( 1 yfyg ?=? 。 例 :f R → R， 若 ))(( xff 存在唯一 （ |? ） 不动 点 ， 则 )(xf 也 |? 不动点 。 证 存在性 ， 设 )]([ * * xffx = ， )]([)( * * xfffxf ο= ， 即 )( * xf 是 ff ο 的不动 点 ， 由唯一性 * * )( xxf = ， 即存在 )(xf 的不动点 * x 。 唯 一性 ： 设 )(xfx = ， ))(()( xffxfx == ， 说明 x 是 ff ο 的不动点 ， 由唯一 性 ， x = * x 。 从映射的观点看函数 。 集合 满足某种性质的事物的全体称为集合 ， 其中的每一事物称为元素 。 通常用大写字 母 Λ,,, CBA 表示集合 ， 用小写字母 Λ,,, zyx 表示元素 ， 比如 x 为 A 中的一个元素 ， 表 示为 Ax ∈ 。 例 N },3,2,1{ Λ= 自然数集合 Z },2,1,0,1,2,{ ΛΛ ??= 整数集合 14 Q ?? ? ?? ? ≠∈= 0,,: qqp q p Z 有理数集合 R = 实数的集合 ， 第三册再定义 。 C }1,,:{ ?=∈+= iyxiyx R 复数的集合 。 集合表示法 列举法 ， 如 {2 ， 汽车 ， 熊猫 } 。 描述法 ： }045|{ 2 =+?∈ xxx R 或 }045:{ 2 =+?∈ xxx R 。 子集 BA ? ， 即 BxAx ∈?∈? 。 称 A包含于 B ， 或 A为 B 的子集 。 BABA ?= : 且 AB ? 。 真子集 BA ? ， 即 BA ? 且 Bb∈? , Ab? 。 集合的运算 并 ， 交 ， 差 （ 韦恩图 ）。 }:{ BxAxxBA ∈∈= 或Υ }:{ BxAxxBA ∈∈= 且Ι },{ BxAxBA ?∈=? 补集 （ 余集 ） ??A ， AAc ??= 。 定义 给定两个集合 X 和 Y ， 若存在一对应法则 f ， 使得对 Xx∈? ， 都有唯一 Yy ∈ 与之对应 ， 记为 )(xfy = ， 则称 YXf →: 为一个映射 。 X 称为定义域 ， Y 称 为取值域 ， YXf ?)( 称为值域 。 若 Xxx ∈? 21, ， )()( 2121 xfxfxx ≠?≠ ， 则称 f 为 11? 的 ； 若 YXf =)( ， 称 f 为满的 ； 若 f 既 11? 又满 ， 称 f 为 11? 对应 。 YX , 为有限集合 ， 它们中的元素的个数相同 ? 存在 YXf →: 为 11? 对应 。 习题 ： 1.1 函数 2 xx ee shx ?? = ， 2 xx ee chx ?+ = 分别称为双曲正弦和双曲余弦函数 ， 证明 ： （ 1 ） 122 =? xshxch ， （ 2 ） shxshychxchyyxch ±=± )( ， 15 （ 3 ） chxshyshxchyyxsh ±=± )( ， （ 4 ） xchxshxch 222 =+ . 1.2 设 422)( 2 ?+= xxxf ， 求 )1(f ， ))1(( ff ， )( 2xf ， 2)]([ xf ， )( 2xf ? ， )( baf + ， )()( bfaf + . 1.3 设 12)( ++= xxxf ， （ 1 ） 求 )1(f ， ))1(( ff ， )))1((( fff ； （ 2 ） 求 )2(f ； （ 3 ） 求证 |2||2)(| 22 ?<? xxf ， 0>?x )2( ≠x . 1.4 求下列函数 )(xf 的定义域 ， 并用 Mathematica 作函数图形 ： （ 1 ） 3 2 1)( ?= xxf ； （ 2 ） 2)( xxf ?= ； （ 3 ） xxxf 6 2 1 )( ?= ； （ 4 ） 112)( +?+= xxxf ； （ 5 ） 2log)( xxf = ； （ 6 ） xxf log2)( = ； （ 7 ） 5log)( xxf = ； （ 8 ） 1)]100[log()( ??= xxf ； （ 9 ） xxxf ?= 6)( ； （ 10 ） )1log(log)( ?+= xxxf ； （ 11 ） )1(log)( ?= xxxf ； （ 12 ） xxf cos)( = ； （ 13 ） xxf coslog)( = ； （ 14 ） )3arccos()( xxf ?= . 1.5 求下列函数 )(xfy = 的值域 ， 并用 Mathematica 作函数图形 ： (1) |1| ?= xy ， ]5,0[∈x ； （ 2 ） xxy 1+= ， ),0( ∞+∈x ； （ 3 ） 12 += xy ； （ 4 ） xaxy 1 2 + = ； （ 5 ） xbaxy += ， 0>ab ； （ 6 ） 210 xy ?= ； （ 7 ） )log( 2 exy += ； （ 8 ） |cos|21 xy ?= ； 16 （ 9 ） )3sin(sin p++= xxy ； （ 10 ） xxy 44 cossin += ； 1.6 作下列函数图形 ： （ 1 ） |1| ?= xy ； （ 2 ） ][xxy ?= ； （ 3 ） )1ln( xy += ； （ 4 ） axy ln= )2,2( ?=a ； （ 5 ） )8(2sin3 p+= xy ； （ 6 ） )82sin(3 p+= xy . 1.7 （ 1 ） 某水渠的横断面是一等腰梯形 （ 见图 1 ）， 底宽 2 米 ， 坡度为 1:1 （ 即倾角 ο45 ）， ABCD叫过水断面 ， 求过水断面的面积 S 与水深 h 的函数关系 . （ 2 ） 一窗户下面为矩形 ， 上面为半圆形 ， 周长为 l， 试将窗户的面积表示成底边 x 的函数 （ 见图 2 ） . （ 3 ） 梯形如图 3 所示 ， 当一垂直于 x 轴的直线扫过该梯形时 ， 若直线的垂足为 x )( +∞<<?∞ x ， 试将扫过面积表为 x 的函数 . y 1 D C S h 45° A B x o 1 x 2 3 x ( 图 1） ( 图 2） ( 图 3） 1.8 对下列函数 （ 1 ） |sin| xy = ； （ 2 ） ][xxy ?= ； （ 3 ） || xtgy = ； （ 4 ） xy 2sec= ； （ 5 ） xxy sincos += ； （ 6 ） )2( xxy ?= 分别讨论 （ 1 ） 函数的定义域和值域 ； （ 2 ） 哪些函数为偶函数或奇函数 ； （ 3 ） 哪些函数为周期函数 ； （ 4 ） 作函数的图形 . 1.9 求证 )1ln( 2xxy ++= 在 ),( ∞+?∞ 上是奇函数 ， 且严格单调上升 . 1.10 设 )(xf 在 ),0[ a )0( >a 上定义 . （ 1 ） 将 )(xf 延拓到 ),( aa? ， 使其成为偶函数 ； 17 （ 2 ） 将 )(xf 延拓到 ),( ∞+?∞ ， 使其成为周期为 a 的周期函数 . 1.11 任一在实轴上定义 的函数可分解成奇函数与偶函数之和 . 1.12 设 )(xf 是周期为 )0( >TT 的周期函数 ， 求证 )( xf ? 也是周期为 T 的周期函数 . 1.13 设 )(xf ， )(xg 在 ),( ba 上单调上升 ， 求证 ： （ 1 ） ))(),(max( xgxf ， （ 2 ） ))(),(min( xgxf 也在 ),( ba 上单调上升 . 1.14 用肯定语气叙述 ： 在 ),( ∞+?∞ 上 ， （ 1 ） )(xf 不是奇函数 ； （ 2 ） )(xf 不是周期函数 ； （ 3 ） )(xf 不是单调上升函数 ； （ 4 ） )(xf 不是单调函数 . 1.15 用肯定语 气叙述 ： （ 1 ） )(xf 在 ),( ba 上无界 ； （ 2 ） )(xf 在 ),( ba 上没有零点 ； （ 3 ） )(xf 在 ),( ba 上没有比中点函数值大的点 ； （ 4 ） )(xf 在 ),( ba 上没有左边函数值比右边函数值都小的点 . 1.16 求下列 函数的反函数及其定义域 : (1) )1(21 xxy ?= )0( +∞<< x ; （ 2 ） )(21 xx eey ??= )( +∞<<?∞ x . 1.17 设 ?? ? > ≤??= ;0, ,0,1)( xx xxxf ? ?? >? ≤= ;0, ,0,)( 2 xx xxxg 求复合函数 )]([ xgf ， )]([ xfg . 1.18 设 21 )( x xxf + = ， 求 )()( xfff n 44 344 21 οΛοο 次 . 18 1.19 设 |1||1|)( xxxf ??+= ， 试求 )()( xfff n 44 344 21 οΛοο 次 . 提示 ： 变成分段定义的函数 。 1.20 求证 ： xxxf 2cossin)( += 为非周期函数 . 提示 ： 利用 1.12 题 . 1.21 设 )( xR 为一有理函数 ， 求证 ： （ 1 ） 若 )()( xRxR =? ， 则 )()( 21 xRxR = ， 1R 为某一有理函数 ； （ 2 ） 若 )()( xRxR ?=? ， 则 )()( 22 xxRxR = ， 2R 为某一有理函数 . 1.22 试将下列函数 )(xf 表成偶函数和奇函数的和 ： （ 1 ） 3)1()( += xxf ； （ 2 ） )1sin()( += xxf ； （ 3 ） 43)( xxxf ?= ； （ 4 ） 11)( ?= xxf ， 1|| <x ； （ 5 ） |1|)( ?= xxf ； （ 6 ） xexf =)( . 1.23 试证明下列命题 ： （ 1 ） 设函数 cbxaxxf ++= 2)( ， 则 （ ⅰ ） 0>a 时 ， )(xf 在 ]2,( ab??∞ 上严格递减 ； 在 ),2[ +∞? ab 上严格递增 . （ ⅱ ） 0<a 时 ， )(xf 在 ]2,( ab??∞ 上严格递增 ； 在 ),2[ +∞? ab 上严格递减 . （ 2 ） 函数 xxxf += 3)( 是递增函数 . （ 3 ） 函数 xxxf 21 )( ?= 在不含 0=x 的任一区间上都是递减函数 . （ 4 ） 函数 )2log()( 2 xxxf ?= 在 )0,(?∞ 上递减 ， 在 ),2( +∞ 上递增 . （ 5 ） xxf 1 3 2)( ? ? ?? ? ?= 在 )0,(?∞ 和 ),0( +∞ 上严格递增 . （ 6 ） ||3)( xxf = 在 )0,(?∞ 上严格递减 ， 在 ),0( +∞ 上严格递增 . （ 7 ） xxxf sin2)( += 在 ),( +∞?∞ 上是递增函数 . （ 8 ） 在 ),0( p 上函数 x axxf sin )sin()( += 是递减函数 .