北京大学：数学分析（一元微积分与多元微积分）：第五章　不定积分

107 第 五 章 不 定 积 分 § 5.1 原函数 考虑质点沿直线运动 ， 已知位移 )(tss = ， 求即时速度 ： )()( tstv ′= 是求导运算 ； 反过 来 ， 如果知道每个时刻的即时速度 )(tv ， 求位移 )(ts ， 则是个逆运算 ， 即要找一个函数 )(ts ， 使得 )()( tvts =′ 。 这个 )(ts 就是 )(tv 的不定积分 ， 也称为原函数 。 定义 在区间 I 上 给定函数 )(xf ， 若存在 )( xF 使得 )()( xfxF =′ ， Ix ∈ 或 dxxfxdF )()( = ， Ix ∈ ， 则称 )( xF 是 )(xf 的一个原函数 ， )(xf 的全部原函数称为 )(xf 的不定积分 ， 记作 ∫ dxxf )( ， 若 )(xf 存在原函数 ， 称 )(xf 可积 。 定理 设 )( xF 是 )(xf 的一个原函数 ， 则 CxFdxxf +=∫ )()( 其中 C 为任意常数 。 注 我们只要找到 )(xf 的一个原函数 ， 那么它的不定积分就有形式 CxF +)( ， 即任二 个原函数之间仅相差一个常数 。 证 由 )()())(( xfxFCxF =′=′+ ， 即对任何常数 C ， CxF +)( 都是 )(xf 的原函数 ， 再证它们是全部原函数 。 设 )( xG 为 )(xf 另一原函数 ， )()( xfxG =′ ， 那么 [ ] 0)()()()( =?=′? xfxfxGxF ， 我们得到 CxFxG += )()( 。 几何上看是明显的 ， 曲线 1)( CxF + 和 2)( CxF + 在点 x 有相同切线斜率 。 y F(x)+C2 F(x)+C1 x 108 实际问题中 ， 加上某些初值条件 （ 如 axF =)( 0 ） 可以把常数 C 确定下来 。 不定积分既然是求导逆运算 ， 从求导数的表我们可以导出如下不定积分表 ， 它是我们计 算不定积分的基础 ， 务必牢记 。 )1(1 1 1 ?≠++= +∫ aa aa Cxdxx Cxxdx +=∫ ||ln ∫ += Cedxe xx ∫ += Cxdxx sincos ∫ +?= Cxdxx cossin Cxtgxdx +=∫ 2cos Cxarctgxdx +=+∫ 21 Cx x dx += ?∫ arcsin 1 2 ∫ += Cxchxsh ∫ += Cxshxch Cxthxchdx +=∫ 2 CxxCxArsh x dx +++=+= +∫ )1(ln 1 2 2 ?? ? ?<+?? >+=+?+= ?∫ )1()( )1(|1|ln 1 2 2 xCxArch xCxArchCxx x dx ?? ??? >+ <+ =+?+=?∫ )1||(1 )1||( 1 1ln 2 1 1 2 xCxArth xCxArth Cxxxdx 性质 1 设 )(,)( xgxf 可积 ， 则 )()( xgxf ± 也可积 ， 且 ∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 。 性质 2 设 )(xf 可积 ， 则 )(xfk 可积 ， 且 ∫ ∫ ≠= )0()()( kdxxfkdxxfk 。 109 注 这两条性质说明不定积分是一种线性运算 ， 即与加法和数乘可交换 。 我们只给出性质 1 的证明 ， 另一个 可用同样方法证明 ： 令 ∫ += CxFdxxf )()( 或 )()( xfxF =′ ∫ += CxGdxxg )()( 或 )()( xfxG =′ 则 )()(])()([ xgxfxGxF ±=′± 。 所以 ∫ +±=± CxGxFdxxgxf )()()]()([ 。 § 5.2 换元法 2 . 1 第一换元法 定理 1 如果 ∫ += CuFduuf )()( ， 又 )(xuu = 是 x 可微函数 ， 则 ∫ +=′? CxuFdxxuxuf )]([)()]([ 。 证 由条件 ， 我们有 duufudF )()( = ， 一阶微分有不变性 ： dxxuxufxduxufxudF )()]([)()]([)]([ ′== ， 所以 ∫ +=′ CxuFdxxuxuf )]([)()]([ 。 例 1 ∫ + dxbax1 解 ∫ + dxbax1 ∫ ++= bax baxda )(1 Cbaxa ++= ||ln1 。 例 2 ∫ + 22 xa dx 解 Caxarctgadaxa dx ax ax += +=+ ∫∫ 1 )(1 )(1 222 。 例 3 ∫ + dxbax n)( 解 。)1()1( )( )()(1)( 1 ?≠+++= ++=+ + ∫∫ nCna bax baxdbaxadxbax n nn 总结 （ 1） 复合函数求导 ： ( ) )()]([)]([ xuxuFxuF ′′=′ 是直接的 ， 在不定积分换元法 中应用的是同一原理 ， 但现在是倒着走 ， 即要把被积函数人为地拆成 )]([ xuf 与 )( xu′ 乘积 ， 110 如何拆 ， 要灵活掌握 ， 目标是往已知积分表里的公式靠 。 （ 2） 若 baxu += ， 则 )( baxddxa += 是一种常用换元 。 （ 3） 在实际运算中不必一定写出 )(xuu = 这步代换 ， 自己看清就行了 。 例 4 ∫ ? 22 xa dx 解 。Cxa xaa Cadaxa dx ax ax ax ax +?+= +?+=?=?∫ ∫ ln21 1 1ln 2 1 )(1 )(1 222 另一种解法 ： 。Cxa xaa xa xad axa axd a dxxaxaaxa dx +?+= ? ?? + += ?++=? ∫ ∫ ∫ ∫ ln21 )( 2 1)( 2 1 ]11[2122 例 5 ∫ ++ 322 xx dxx 解 Cxarctgxx xx dx xx xxd xx dxx ++?++= ++?++ ++= ++ ∫∫∫ 2 1 2 1)32ln( 2 1 3232 )32( 2 1 32 2 22 2 2 例 6 ∫ ??= 123 2 xx dxI 解 CxxdxxxI ++?=? ? ? ?? ? ??+?= ∫ 13 1ln 4 1 1 1 13 3 4 1 。 又一解法 ： Cxx C x x x xd I ++?= + ? ? = ?? ? = + ? ∫ 13 1ln 4 1 3 3 ln41 )3( )3( 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 4 3 1 3 1 2 111 例 7 )0( 22 > ? = ∫ a xa dxI 解 Cax d I a x a x += ? = ∫ arcsin 1 2)( )( 。 例 8 ∫ ?= )1( xx dxI 解 Cx x dxI +?= ?? = ∫ )12arcsin( )( 22141 。 又一解法 ： Cx x xd xx dxI += ? =??= ∫∫ arcsin2 )(1 21 2 事实上这两个答案恰相差一个常数 。 例 9 ∫= dxtgxI 解 CxxxdI +?=?= ∫ |cos|lncoscos 。 例 10 ∫= dxxtgI nn 解 。21 22 2 2 2 1 1 cos cos1 ? ? ??? ??= ?=?= ∫∫∫ n n nnn n Ixtgn dxxtgtgxdxtgdxx xxtgI 这个递推公式非常有用 ， 比如 。CxxtgdxtgxxtgI ++=?= ∫ |cos|ln2121 223 。Cxtgxxtg dxtgxxtgdxxtgxtgI ++?= +?=?= ∫∫ 3 323 4 3 1 13131 例 11 ∫= xdxI cos 解 CxxxxdxdxxI +?+=?== ∫∫ sin1 sin1ln21sin1 sincoscos 22 112 。CtgxxCx x ++=++= seclncossin1ln21 2 又一解法 ： ∫∫ ?=?= )1(cos )(2sincos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xx x xx tg ddxI 。Ctg Ctgtgtgtgd x x x x x ++= +?+=?= ∫ )(ln 1 1ln )1( )(2 42 2 2 2 2 2 p 例 12 ∫∫ +=+= 33 1,1 xdxxJxdxI 解 。Cxarctg x dx xx dxdx x xJI +?= +?=+?=+ +=+ ∫∫ ∫ 3 12 3 2 )(11 1 4 32 2 123 。Cxx x dxx x dxdx x xJI ++?+= +?+=+ ?=? ∫ ∫∫ |1|ln|1|ln 111 1 3 3 1 3 2 3 所以 。CxxxarctgI ++?++?= |1|ln61|1|ln213 1231 3 。CxxxarctgJ ++++??= |1|ln61|1|ln2131231 3 2． 第二换元法 ))(()()()]([ xuuduufdxxuxuf ==′? ∫∫ Ⅰ Ⅱ 已知 Ⅱ 求 Ⅰ ， 是 第一换元法 ； 已知 Ⅰ 求 Ⅱ ， 是 第二换元法 。 定理 2 设 )(txx = 在开区间上导数 0> 或 <0 ， 又如果 CtGdttxtxf +=′∫ )()()]([ ， 则 ∫ += CxtGdxxf )]([)( ， 其中 )( xtt = 为 )(txx = 的反函数 。 证 已知 )()]([)( txtxftG ′=′ ， 又 0)( ≠′ tx ， 所以 )(tx 连续 ， 严格单调 ， 因此反函数 113 )( xtt = 存在 ， 也连续 ， 严格单调 ， 且 )]([ 1)( xtxxt ′=′ 。 于是 ( ) )()()]([)()()]([)]([ xfxtxtxxfxtxtGxtG =′′=′′=′ ， 所以 ∫ += CxtGdxxf )]([)( 。 第二换元法主要用来求含有 的积分 。 例 13 ∫ ?= dxxaI 22 解 令 tax sin= ， 2p<t ， 则 。Cxaxaxa CtatadttaI +?+= ++== ∫ 22 2 22 22 2 1arcsin 2 2sin42cos 例 14 ∫ ? = 22 ax dxI ),0( axa >> 解 令 )0(sec 2p<<= ttax 。Caxx Ca axax Cttgt t dtdt ttga ttgtaI +?+= +?+= ++= =?= ∫∫ 22 22 ln ln secln cos sec 又一解法 ： 令 chtax = ， +∞<< t0 ， 22lntxxa=+? ∫ +?+=+== CaxxCtdtshta shtaI 22ln 。 注 ： 上面是对 ax > 进行的 ， 对于 ax ?< 同样方法 。 例 15 ∫ + = 22 ax dxI )0( >a 解 令 shtax = ， 114 ( ) CaxxCaxArcshCtI +++=+=+= 22ln 。 例 16 ∫ += 3 xxdxI 解 令 6tx = Ctttt dttttdttttt dttI ++?+?= +?+?=+=+= ∫∫∫ |1|ln6632 ]1 11[6166 23 2 3 23 5 。Cxxxx ++?+?= |1|ln6632 663 § 5. 3 分部积分法 定理 设 )(xu ， )(xv 可导 ， 若 ∫ ′ dxxvxu )()( 存在 ， 则 ∫∫ ′?=′ dxxuxvxvxudxxvxu )()()()()()( 证 由 vuvuuv ′+′=′)( ， 我们有 uvuvvu ′?′=′ )( ， 右端两项原函数存在 ， 左端项原 函数也存在 ， 且 ∫∫ ′?=′ dxuvuvdxvu 。 注 公式也常写成 ∫ ∫?= vduuvudv 。 用分部积分法求不定积分之步骤 ： 1． 把被积函数拆成 vu ′， 将 v′放入 d 后面成 dv ， 通 常 chxshxxxxev nx ,,,cos,sin,±=′ 等 ； 2． 用公式 ； 3． 把 vu′ 积出来 ， 如积不出来 ， 设 法建立函数方程来求解 。 例 1 ∫= xdxxI ln3 解 令 xu ln= ， 4 43 xddxxdv == ， 即 4 4xv = ， 则 CxxxdxxxxI +?=?= ∫ 4434 161ln4141ln41 。 例 2 ∫= xdxarctgI 解 。Cxxarctgx x xdxxarctgxdarctgxxxarctgxI ++?= +?=?= ∫∫ )1ln( 1 2 2 1 2 115 例 3 ∫= xdxxI sin2 解 。Cxxxxx xdxxxxx xxdxx xdxxxxdxI +++?= ?+?= +?= +?=?= ∫ ∫ ∫ ∫ cos2sin2cos sin2sin2cos sin2cos coscoscos 2 2 2 222 例 4 ∫ ?= dxxI 12 解 Ixxxx x dxdxxxx dx x xxxxxdxxI ??+??= ? ????= ? ??=???= ∫∫ ∫∫ 1ln1 1 11 1 111 22 2 22 2 2 222 所以 CxxxxI +?+??= 1ln21121 22 。 又一解法 ： 令 tchx = ， 。Cxxxx CttshdttchdttshI +?+??= +?=?== ∫∫ 1ln21121 2 12 4 1 2 12 22 2 例 5 ∫= bxdxeI ax cos ， ∫= bxdxeJ ax sin 解 JbabxebbxdebI axax ?== ∫ sin1sin1 IbabxebbxdebJ axax +?=?= ∫ cos1cos1 ? ? ??? =? =+ bxebJaI bxeaJbI ax ax cos sin ，Cba bxbbxaeI ax +++= 22 )sincos( 。Cba bxbbxaeJ ax ++?= 22 )cossin( 例 6 ∫= dxxK nn cos 116 解 nn n nnn nn nnn n KnKnxx xdxndxxnxx dxxxnxx xxdxxxdxK )1()1(cossin cos)1(cos)1(cossin cossin)1(cossin cossincossinsincos 2 1 21 221 111 ???+= ???+= ?+= ?== ? ? ?? ?? ??? ∫∫ ∫ ∫∫ 所以 21 1cossin1 ?? ?+= nnn KnnxxnK 。 例 7 ∫ += nn ax dxI )( 22 解 1 2 22 122 2 22 22)( )(2)( + + ?++= +++= ∫ nnn nnn InanIax x dxax xnax xI 所以 nnn Inanaxna xI 22221 2 12)(2 ?++=+ 。 特别地 Caxarctgaax xaax dxI +++=+= ∫ 32222222 2121)( 。 初等函数都是可积的 ， 如果其原函数仍为初等函数 ， 我们称为能积出来 ， 如果其原函数 不再是初等函数 ， 我们称之为积不出来 。 积不出来的有 ： ∫ ? dxe x2 , ∫ dxx xsin , ∫ dxx xcos , ∫ xdxln , dxx∫ 2sin , dxx∫ 2cos , dzzbza qp∫ + )( 其中 p , q , qp + 非整数 ， 再有椭圆积分 dxdcxbxaxxR ),( 23∫ +++ 和 dxeaxxR ),( 4∫ ++Λ 都是积不出来的 。 § 5. 4 有理函数积分 有理函数 )( )()( xQ xPxR = 是两个多项式之比 ， 理论上它一定可以积出来 。 有理函数可分为真分式和假分式 ， 真分式是指分子次数小于分母次数 ； 假分式是分子次 数大于或等于分母次数 ， 用除法 ， 假分式 =多项式 +真分式 。 真分式总可以写成最简真分式之和 ， 后者是形如 ax A ? ， max A )( ? )1( >m 和 qpxx CBx ++ + 2 ， kqpxx CBx )( 2 ++ + )1( >k 117 的分式 ， 其中 042 <? qp 。 最简真分式是指 ： 分母为素多项式或素多项式之幂 ， 分子次数 小于分母中素多项式次数 。 在实数中 ， 素多项式只有两种 ： ax ? 和 qpxx ++2 ， 其中 。 042 <? qp 。 所以有理式 最简真分式之和多项式 +=)(xR 。 这个分解过程称为分项分式 ， 通常 可用待定系数法求得 。 例 1 ∫ ?+= )1)(1( 2 xx xdxI 解 设 11)1)(1( 22 ?+++=?+ xCx BAxxx x 将右端通分 ， 比较分子同次幂的系数 ， 得 ?? ??? =+? =+? =+ 0 1 0 CB BA CA 解之 ， 得 21?=A ， 21=B ， 21=C 。 我们有 。Cxxarctgx x dxdx x xI +?+++?= ?++ ??= ∫∫ |1|ln2121)1ln(41 12 1 1 1 2 1 2 2 例 2 ∫ ?+? += dxxxxx xI 234 3 33 1 解 将分母作因式分解 ， 得 3234 )1(33 ?=?+? xxxxxx 。 设 1)1()1()1( 1 233 3 ?+?+?+=? + x D x C x B x A xx x 将两边乘 x ， 令 0=x ， 得 1?=A ； 两边乘 3)1( ?x ， 令 1=x ， 得 2=B ； 两边乘 1?x ， 令 +∞→x ， 得 2=D ； 最后令 1?=x ， 得 1=C 。 。Cxxx x x dx x dx x dx x dxI +?+??= ?+?+?+?= ∫∫∫∫ || )1(ln )1( 12)1()1(2 2 2 23 118 设 )( )()( xQ xPxR = 是一个真分式 ， )(xQ 是 n 次多项式 ， 有 n 个零 点 ， 可以是实的 ， 也 可以是复的 ， 如果 )(xQ 是实系数的 ， 复零点共轭成对出现 ， 我们可以设 )04()()()( 2 1 1 2 <?++?= ∏ ∏ = = jj j j k jj m j qpqxpxaxxQ s t jj ， 其中 nkm ts j j j j =+ ∑∑ == 11 2 。 令 ∑ ∑ = = ? ? ? ? ? ? ? ? ++ +++ ++ ++ ? ? ? ? ? ? ? ? ?++?+?= t s j k jj j k j k jj jj j m j j m j j j j j jj j j qxpx CxB qxpx CxB ax A ax A ax A xQ xP 1 2 2 11 1 2 21 )( )()()( )( Λ Λ 未知数 ),,( jjj CBA 共有 nkm ts j j j j =+ ∑∑ == 11 2 个 ， )( xP 可认为是 )1( ?n 次多项式 ， 通分 后比较两边 01 ,, xx n Λ? 的次数 ， 得 n 个方程的方程组 ， 恰好 n 个未知数 ， n 个方程 ， 实际 上它们是非退化的 ， 能解出这 n 个未知数 。 具体问题中可用其它方法求出待定系数 。 § 5. 5 三角函数有理式的积分 二元有理函数是形如 ),( ),(),( vuQ vuPvuR = 的函数 ， 其中 ),( vuP 和 ),( vuQ 是二元多项式 ， 即 jivu 的有限线性组合 ， 三角有理函数是形如 )cos,(sin xxR 的函数 ， 其中 ),( vuR 为二元 有理函数 ， 它是由基本三角函数 xsin ， xcos ， tgx， ctgx 经有 限次四则运算所得的函数 。 但 xx 22 cos5sin 1 + ， 2sin x ， x xsin 显然不属此列 。 ∫= dxxxRI )cos,(sin 一定可以积出来 。 令 2xtgt = （ 称为万能代换 ）， 或 tarctgx 2= ， 注意到 119 2 22 1 2 21 22 2sec 22 2cos2sin2sin t t xtg xtg x xtg xxx +=+=== 2 2 2 2 22 1 1 21 21 2sin2coscos t t xtg xtg xxx + ?= + ? =?= 212 tdtdx += 。 所以 22 2 2 1 2) 1 1 1 2( t dt t t t tRI ++ ? += ∫ ， ， 这样变成通常的有理函数积分 ， 一定可以积出来 。 但这 种 “ 万能公式 ” 往往比较复杂 ， 如果 ),( vuR 有某种对称性 ， 可以用简单地代换 ， 具体地说 如果 ),(),( vuRvuR ?=? ， 这时 ),(),( 21 vuvRvuR = ， 可用代换 xt sin= 。 。)(sin)1,( )cos,(sincos)cos,(sin 2 1 2 1 txdtttR dxxxRxdxxxR =?= = ∫ ∫∫ 若 ),(),( vuRvuR ?=? ， 这时 ),(),( 21 vuuRvuR = 。 我们用代换 xt cos= ， 。， )(cos)1( )cos,(sinsin)cos,(sin 2 1 2 1 txdtttR dxxxRxdxxxR =??= = ∫ ∫∫ 化成有理函数积分 ， 可以积出来 。 若 ),(),( vuRvuR =?? ， 这时 ? ? ?? ? ?= 2 1 ,),( vv uRvuR 。 我们用代换 txtg = ， 。)(1)1 1,( )cos,()cos,(sin 221 2 1 txtgtdtttR dxxxtgRdxxxR =++= = ∫ ∫∫ 也化成有理函数积分 ， 可以积出来 。 上述三种代换一般比 “ 万能代换 ” 简单的多 ， 使分子分母最高次减半 。 例 1 ∫ += xdxI sin45 解 令 2xtgt = ， 则 dtttdt t t tI ∫∫ ++= ++ += 585 2 1 85 1 2 2 2 2 120 Ctarctgt dt ++=++= ∫ 3 4532)(52 25 92 5 4 。Ctgarctg x +?? ? ? ??? ? += 3 45 3 2 2 例 2 dxxxI ∫ += 2 3 sin1 cos 解 ∫ =+?= )(sin11 2 2 txdtttI 。Cxxarctg Cttarctg dttdt +?= +?= ?+= ∫∫ sinsin2 2 12 2 例 3 ∫= dxxI nsin 解 nn n nn n n InInxx dxxxnxx xdxI )1()1(cossin sincos)1(cossin cossin 2 1 221 1 ???+?= ?+?= ?= ? ? ?? ? ∫ ∫ 。2 1 1cossin ? ? ? +?= n n n In n n xxI CxI +=0 CxxxI ++?= 22cossin2 CxxxxxI ++??= 83cossin834cossin 3 4 CxI +?= cos1 CxxxI +??= cos323cossin 2 3 CxxxxxI +???= cos158cossin1545cossin 2 4 5 121 例 4 ∫ += xbxa xdxI sincossin ， ∫ += xbxa xdxJ sincoscos 。 解 CxaJbI +=+ ， Cxbxaxbxa xbxadbJaI ++=++=+? ∫ |sincos|lnsincos )sincos( 所以 CxbxaabxbaI ++?+= |]sincos|ln[1 22 CxbxabaxbaJ ++++= |]sincos|ln[1 22 例 5 dxrxr rI ∫ +? ?= 2 2 cos21 1 2 1 )||10( p<<< xr ， 。 解 )2()1()1()1( 2222 txtgtrr dtrI =?+??= ∫ Ctrrarctg +? ? ?? ? ? ? += 1 1 Cxtgrrarctg +? ? ?? ? ? ? += 21 1 。 § 5. 6 无理函数的积分 1． ∫ ++= dxxRI m dcx bax )( ， ， m 正整数 ， 0≠? bcad 。 令 mtdcx bax =++ ， m m cta bdtx ? ?= ， dtcta tbcadmdx m m 2 1 )( )( ? ?= ? ， 则 dtcta tbcadmtcta bdtRI m m m m 2 1 )( )( ? ? ??? ? ??? ? ? ?= ?∫ ， 变成有理函数积分 ， 可以积出来 。 2． ∫ += dxbxaxI pnm )( 二项式微分式积分 ， a ， b 为常数 ， m ， n ， p 有理数 。 令 tx n = ， dttdx nn 11 1 ?= ， 则 ∫ ?+= dttnbtatI npn m 111 )( ∫ += ? + dtbtatn pn m )(1 1 1 122 ∫ += ?+ + dtt btatn ppn m )(1 1 1 （ Ⅰ ） 当 p 是整数时 ， pbta )( + 可展成 t 多项式 ， 故可积出来 ； （ Ⅱ ） 当 nm 1+ 为整数时 ， 归结到前一类积分 ， 也可积出来 ； （ Ⅲ ） 当 pnm ++ 1 是整数时 ， 也归结到前一类积分 ， 可以积出来 。 为便于记忆 ， 这类积分都可变换成 ∫ + dzzbza qp)( ， 当 p ， q ， qp + 有一个为整数 时 ， 可以积出来 ； 全都为非整数时 ， 积不出来 （ 切比雪夫证明的 ）。 比如 ∫ ? 41 x dx 就积 不 出来 。 例 1 dxxxI ∫ ++ +?= 3 11 11 解 令 tx =+6 1 ， ∫ +?= dttttI 2 85 16 ， 设 262 85 1)(1 t CBttP t tt + ++= + ? ， )( 6 tP 可用除 法得出 ： 11 101) 011 101) 011 101) 011 101) 011 101) 011 101) 1111101 000001001101 ? ++? ++ ?+?? ++? ?+?? +?? ++? +? ++? ++ ?+?? +??+++? ++++++++?++ 所以 223462 85 1 1)1( 1 t tttttt t tt + ?++??++?= + ? ， CtarctgtttttttI +?+++??++?= 6)1ln(3632235676 223457 123 .)1(6))1(1ln(3 1(6)1(3)1(2)1(23)1(56)1(76 6 1 3 1 6 1 3 1 2 1 3 2 6 5 6 7 Cxarctgx xxxxxx ++?+++ +++?+?+++++?= ） 例 2 dxxxI ∫ += 22 1 。 解 ∫ += ? dxxxI 2 1 41 )1( ， 0 4 01 ==+ n m 整数 ， 可以积出来 )(121121 2 2 2 2 4 txdtt tdxx xI =+=+= ∫∫ ∫∫∫ ++ + = + += 2 2 1 1222 2 12 1 12 1 )1( 1 2 1 tt dt t tdtdt tt t Cttt +?? ? ? ??? ? ++?+= 2 2 111ln 2 11 2 1 Cx xx +?? ? ? ??? ? ++?+= 2 4 4 11ln 2 11 2 1 。 3． Euler 代换 ， ∫ ++= dxcbxaxxRI ),( 2 。 ),( vuR 是 u ， v 的有理函数 ， 总能积出来 。 有三种代换 情形 Ⅰ . 0>a , 令 xatcbxax μ=++2 ， 情形 Ⅱ . 0>c , 令 cxtcbxax ±=++2 ， 情形 Ⅲ . 042 >? acb , 令 )(2 l?=++ xtcbxax ， 其中 ))((2 ml ??=++ xxacbxax 。 Ⅰ . xatcbxax ?=++2 txatcbx 22 ?=+ ， bta ctx +?= 2 2 ， bta acbttacbxax + ++=++ 2 2 2 ， dt bta acbttadx 2 2 )2( )(2 + ++= 。 Ⅱ . cxtcbxax +=++2 124 tcxtbax 22 +=+ ， 22 ta btcx ? ?= ， 2 2 2 ta acbttccbxax ? +?=++ dtta acbttcdx 22 2 )( )(2 ? +?= 。 Ⅲ . ))((2 ml ??=++ xxacbxax )(2 l?=++ xtcbxax )()( 2 lm ?=? xtxa at tax ?+?= 2 2lm ， at tacbxax ??=++ 22 )( ml ， dtat tadx 22 )( )(2 ??= lm 。 在积分 ∫ ++= dxcbxaxxRI ),( 2 的结果中 ， 除有理函数的原函数 （ 有理函数 ， ln ， arctg ）， 再加上 cbxax ++2 就行了 。 例 3 ∫ ? = 22 xa dxI 解 我们已经知道 CaxI += arcsin ， 用 Euler 代换 ， 这里 0)( 2 >= ac ， =? 22 xa ))(( xaxa +? ， 用 Ⅱ ， Ⅲ 都可 ， 我们用 Ⅲ ， 令 )(22 xatxa ?=? ， )(2 xatxa ?=+ ， 1 1 2 2 + ?= t tax ， 22 )1( 4 += t dtatdx ， 1 2 2 22 +=? t atxa ， 所以 Cxa xaarctgtdtI +?+=+= ∫ 212 2 。 由此我们有恒等式 Caxxa xaarctg +=?+ arcsin2 ， )||( ax < 。 令 0=x ， 得 212 p== arctgc 。 如果用 Ⅱ ， 令 axtxa ?=? 22 ， 则 Cx xaaarctgI +?+?= 22 2 。 这时我们有 恒等式 125 ??? ??? ? <<?+ <<? =?+? 。， ，， 0arcsin 0arcsin 2 22 xaax axax x xaaarctg p p 另一种处理 ∫ ++= dxcbxaxxRI ),( 2 的方法 设 cbxaxY ++= 2 ， yY = ， yxRxRyxQ yxPyxR 1)()(),( ),(),( *1 +== ， cbxax xRxRcbxaxxR ++ +=++ 2 * 1 2 1)()(),( 问题归结为如下三种积分 ， Ⅰ dx cbxax xP∫ ++2 )( Ⅱ . ∫ ++? cbxaxax dx k 2)( Ⅲ . dx cbxaxqpxx NMx k∫ ++++ + 22 )( Ⅱ 中令 tax 1=? ， Ⅱ 变为 Ⅰ ， 所以只要处理 Ⅰ , Ⅲ 。 对 Ⅰ ， 令 ∫ ∫+= YdxYxQdxYxP l)()( ， 两边求导得 YYxQYxP l+′= ))(()( ， l+++++′= )2)((21))(()( 2 baxxQcbxaxxQxP ， 阶 <)(Q 阶 )( P ， 用待定系数法可定 出 Q 和 l 。 对 Ⅲ ， ① 当 qpxx ++2 与 cbxax ++2 只差一个倍数时 ， 化为 ∫ + ++ + dx cbxax NMx k 2 12 2 )( ， 是可以积出来的 。 ② 否则 ， 令 )( 22 qxpxacbxax ′+′+=++ ， 它有两个根 m ， n ， 令 1++= ttx nm )( pp ′≠ 或 2pxt += ， 可积出来 。 例 4 ∫ +?+ = 12 xxx dxI 126 解 令 xtxx ?=+? 12 ， 12 1 2 ? ?= t tx ， dt t ttdx 2 2 )12( )1(2 ? +?= ， 。C xxx xxxxxx Cttt dttttdttt ttI + ?+?+ ? ?+?+?+?+= +????= ?? ? ?? ? ?+??=? +?= ∫∫ )1122(2 3 |1122|ln23|1|ln2 )12(2 3|12|ln 2 3||ln2 )12( 3 12 32 )12( 12 2 22 22 2 例 5 ∫ +?= dxxxxI 222 解 ∫ ∫ +? ++?++= +? +?= 22 22)( 22 22 2 22 2 23 xx dxxxcbxax dx xx xxxI l l+?++++?+=+? )1)(()22)(2(22 2223 xcbxaxxxbaxxxx ? ? ? ??? ? =+? =+?? ?=?++? = 02 224 24 13 lcb cbba abba a 解之得 31=a ， 61?=b ， 61=c ， 21=l 。 。Cxxxxxxx x dxxxxxI ++?+?++?+?= +? ++?+?= ∫ )221ln(2122)12(61 1)1(2 122)12( 6 1 222 2 22 习题 ： 5.1 已知 )(xf 满足给定的关系式 ， 试求 )(xf ： （ 1） )0(1)( >=′ xxfx ； （ 2） )0(1)( >=′ xxxf ； 127 （ 3） )0(1)()( >=′ xxfxf ； （ 4） )0)((1)( )( >=′ xfxf xf 。 5.2 求下列不定积分 ： （ 1） dxxx∫ 2 ； （ 2） dxxx∫ 22 ； （ 3） dx xx x )42( 33 ?+∫ ； （ 4） dxx 22 )1(∫ + ； （ 5） dxxx )1)(1( +?∫ ； （ 6） dxxx∫ +1 ； （ 7） dxx x 2)1(∫ ? ； （ 8） dxxee x x )1( ? ?∫ ； （ 9） dxee x x ∫ ++11 3 ； （ 10） dxxx∫ + 2)32( ； （ 11） dxxx∫ ； （ 12） dxxxxx )1111( +?+?+∫ ； （ 13） dxxx∫ + 2 2 1 3 ； （ 14） ∫ + )1( 24 xx dx 。 提示 ：（ 13），（ 14） 题的分子加一项减一项 。 5.3 求下列不定积分 ： （ 1） dxxx∫ ? )cos3sin5( ； （ 2） dxx x∫ + 2 2 cos sin2 ； （ 3） xdxtg∫ 2 ； （ 4） dxxx x∫ ? 22 sincos 2cos ； （ 5） dxxx∫ ? 22 sincos 1 ； （ 6） dxx∫ ? 2sin1 。 5.4 用线性代换计算下列积分 ： （ 1） dxe x ∫ ? 2 ； （ 2） dxx∫ 2sin ； （ 3） dxax∫cos ； （ 4） ∫ axdx2sin ； （ 5） ∫ xdx7cos2 ； （ 6） ∫ ? 43xdx ； （ 7） ∫ ? xxdx1 ； （ 8） ∫ ?++ 11 xx dx ； 128 （ 9） dxx∫ ?3 31 ； （ 10） dxxx∫ ?? 3 31 ； （ 11） ∫ + 232 xdx ； （ 12） ∫ ? 232 xdx ； （ 13） ∫ ? 232 x dx ； （ 14） ∫ ? )1( xx dx ； （ 15） ∫ + xdxcos1 ； （ 16） ∫ + xdxsin1 。 5.5 用适当代换求下列积分 ： （ 1） dxxx∫ + 52 )1( ； （ 2） ∫ + 21 xxdx ； （ 3） dxxx∫ + 32 1 ； （ 4） ∫ ? 21 x xdx ； （ 5） dxxe x∫ ? 2 ； （ 6） dxxx∫ + 44 ； （ 7） dxee x x ∫ +1 ； （ 8） ∫ + xe dx 1 ； （ 9） dx e e x x ∫ ? 21 ； （ 10） dxe xx∫3 ； （ 11） dxba ba xx xx ∫ ?? 2)( ； （ 12） dxxx∫ 2)(ln ； （ 13） 21sin xdxx ?∫ ； （ 14） ∫ + )1( xx dx ； （ 15） ∫ +? xx dx 1 ； （ 16） ∫ ?12xx dx ； （ 17） dxxarctgx∫ + 21 ； （ 18） dx x x∫ ? 2 2 1 )(arcsin 。 5.6 求下列三角函数的积分 ： （ 1） dxxx∫ ? 4sin2cos ； （ 2） dxxx∫ ? 3sinsin ； （ 3） dxxx∫ ? 7cos4cos ； （ 4） dxxx 43cos4sin∫ ； （ 5） xdxw∫ 2cos ； （ 6） dxxx∫ 22 cossin ； （ 7） dx x x∫ 3 4 3 cos sin ； （ 8） dx x x∫ + 2sin1 2sin ； 129 （ 9） dxxx x∫ cossin 2cos ； （ 10） dx xbxa xx∫ + 2222 cossin cossin 。 5.7 求下列有理函数的积分 ： （ 1） dxxx∫ ?+1 1 ； （ 2） dxx xx∫ ? ?+? 1 52 2 ； （ 3） dxxx∫ +3 3 ； （ 4） dxx x∫ ?? 23 45 ； （ 5） dxx xxx∫ ? ++? 4 234 )2( 1456 ； （ 6） dx x x∫ + + 2 2 )1( 1 。 提示 ：（ 5），（ 6） 题利用泰勒公式 。 5.8 用适当代换求下列函数积分 （ 0>a ）： （ 1） dxx xa∫ ? 22 ； （ 2） dxxx 22 4 ?∫ ； （ 3） ∫ + 22 1 xx dx ； （ 4） dx x ax∫ ? 22 ； （ 5） ∫ + 322 )( xa dx ； （ 6） dx x x∫ +1 。 5.9 求下列函数积分 （ 0>a , 0>b ）： （ 1） dxxa xa∫ ?+ ； （ 2） dxax ax∫ +? ； （ 3） ∫ ?? ))(( xbax dx ； （ 4） ∫ ++ ))(( bxax dx ； （ 5） ∫ ? 23 2x dx ； （ 6） ∫ +12xx dx ； （ 7） ∫ ++ 21 xx dx ； （ 8） dx xx x∫ ++ + 344 3 2 ； （ 9） ∫ ? x dx 4sin1 。 5.10 求下列不定积分 ： （ 1） dxx )1ln( 2∫ + ； （ 2） )1(ln ?≠∫ aa xdxx ； （ 3） xdxx 2ln∫ ； （ 4） dxxe x∫ ?3 ； 130 （ 5） dxex x∫ ?22 ； （ 6） dxnxx∫ cos ； （ 7） xdxx 2sin2∫ ； （ 8） dxxarctgx∫ ； （ 9） dxxx∫ ++ )1ln( 2 ； （ 10） dxx x∫ 2arcsin ； （ 11） dxxx∫ 2cos ； （ 12） dxxxe x ∫ + 2)1( 。 5.11 求下列不定积分 ： （ 1） dxxe arctgx ∫ + 2/32 )1( ； （ 2） dxx x∫ +1arcsin 。 5.12 求下列不定积分 ： （ 1） dxxa∫ ? 22 ； （ 2） dxxa∫ + 22 。 5.13 求下列不定积分 ： （ 1） dxx∫ )sin(ln ； （ 2） dxx∫ )cos(ln ； （ 3） dxxxex∫ cos ； （ 4） dxxxex∫ sin 。 5.14 建立递推公式 ： （ 1） xdxI nn ∫= sin ； (2) dxexI xnn ∫ ?= ； (3) dx x xI n n ∫ ?= 21 ； (4) ）固定mdxxxI nn n ()(ln∫= 。 5.15 求下列函数的积分 ： （ 1） dxxx x∫ +? + )5)(2( 32 ； （ 2） dxxx x∫ ?+ 22 10 ； （ 3） dxxx∫ ?+ )1()1( 12 ； （ 4） dxxx x∫ ++ ? 12 322 ； （ 5） dxxx∫ ++ 2412 ； （ 6） dxxx∫ ?? 228 1 ； （ 7） dxxx x∫ ++ 45 24 3 ； （ 8） dxxxx x∫ ??+ + 22 123 。 5.16 求下列函数的积分 ： （ 1） ∫ ++ 1242 xx dx ； （ 2） dxxxx∫ + ?+ 2 3 1 232 ； 131 （ 3） dxxx x∫ ++ 45 24 4 ； （ 4） ∫ ++ )1)(1( 2xx dx ； （ 5） ∫ ?14x dx ； （ 6） ∫ ++ 124 xx dx 。 5.17 求下列函数的积分 ： （ 1） dxxtgx∫ ? 2sin ； （ 2） dxxx∫ ? 2sincos ； （ 3） dxxx∫ + sin1 cos ； （ 4） dxxtg∫ 3 ； （ 5） dxx∫ 5sin ； （ 6） xdxx 34 sincos∫ ； （ 7） dxxx∫ + 2 3 cos1 sin ； （ 8） ∫ xx dx cossin 2 ； （ 9） dxxx∫ + 2cos1 2sin ； （ 10） dxxx x∫ ? 22 cossin 2cos 。 5.18 求下列函数的积分 ： （ 1） xdxxtg∫ ? 23 sec ； （ 2） dxx∫ 4sec ； （ 3） dxxx x∫ + 44 sincos 2sin ； （ 4） dxxx∫ + 2 2 cos1 sin ； （ 5） ∫ + xxdx 22 cos3sin2 ； （ 6） ∫ ++ xxxx dx 22 sincossincos2 。 5.19 求下列函数积分 ： （ 1） ∫ + 2)cos1( xdx ； （ 2） ∫ + xdxcos1 ； （ 3） ∫ ? qq q cossin2 d ； （ 4） ∫ ?+ qq cos21 2 rr d （ 10 << r ）。 5.20 （ 1） 求积分 ： dxxbxa x∫ + cossin sin ； dxxbxa x∫ + cossin cos ； （ 2） 求积分 dxxx x∫ + cos2sin cos 。 5.21 建立递推公式 ： （ 1） dxxI nn ∫= cos ； （ 2） dxxnxI n ∫= sinsin 。 5.22 求下列不定积分 ： （ 1） dx x x∫ +14 3 ； （ 2） dxx x∫ ?+ 332 ； 132 （ 3） ∫ ?+3 42 )1()1( xx dx ； （ 4） ∫ +++ 11 xx dx 。 5.23 求下列积分 ： （ 1） ∫ + 3 21 x xdx ； （ 2） dx xx∫ + 1 。 5.24 求下列不定积分 ： （ 1） dxxxx∫ +? 222 ； （ 2） ∫ ++ 222 xxx dx ； （ 3） dxx xx∫ ++ 22 2 ； （ 4） ∫ +++ 54)1( 2 xxx dx 。 5.25 求下列不定积分 ： （ 1） ∫ +++ 12 xxx dx ； （ 2） dx xx dx∫ ??+ 2211 。