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第七章 正弦稳态分析
简介
1 正弦波的应用 在电力 通讯与控制三大系统中 正弦波应
用极为广泛 如 电力系统中的 u i 无线电中的高频载波均为正
弦波
2 周期性的非正弦交流信号可分解为一系列的正弦函数级数 (傅
立叶级数 )
3 线性电路中 在同一频率的正弦信号激励下 各电压 电流
响应也将是该频率的正弦量
4 如果 L C 在 AC 电路中 则 L C 的 VAR 均具有微 (积 )分形
式 那么 AC 稳态分析时是否也要建立微 分方程呢 回答是否定的
5 由于正弦量经加 减 微分 积分运算后仍为同频率正弦量
故利用 相量 来表征正弦量三个要素中的两个 振幅 相位 从
而使电路方程变为相量 (复数 )代数方程 并且可以借用的 DC 分析方
法
7 1 正弦电压和电流
一 时变的电压和电流
周期性正弦交流量简称正弦信号
随时间变动的电压和电流称为时变的电压和电流
二 正弦量的三个要素
设正弦电压 ) cos()( um tUtu jw +=
正弦电流 ) cos()( im tIti jw +=
说明 正弦量可用余弦函数表示 也可用正弦函数表示 本书用
cos 形式表示
则
I m Um ── (幅值 )或振幅
w ── 角频率 统称为正弦量的三个要素
ji ju ── 初相位
瞬时电压 u i 周期性方波 周期性斜波 周期性交流电
2
1 角频率 w 频率 f 周期 T
T ── 正弦量变化一个周期所需的时间
f ── 每秒变化的周期数
故有 Tf 1=
正弦量变化一周 cos 函数变化一周 即 p2 角
于是 pw 2=T ? wp2=T pw2=f
或 Tf ppw 2 2 == 单位时间内增加的相位角
单位 T ── sec 秒 ms ms ns
f ── Hz KHz MHz GHz
[sec]1][ =Hz w ── rad/s 弧度 / 秒
f 低频 (音频 ) ≤20KHz
中频 几百 KHz
高频 几 MHz
例 工频──大多数国家为 50Hz 美 日等为 60Hz 我国工频
Hzf 50= 则 SfT 02.01 == 由 pw 2=T 得 sradf /314 2 == pw
2 幅值 (最大值 )与有效值
1) 有效值的定义 P.145
若一个周期电流 i (不限于正弦 )在一个周期 T 内流过某电阻 R 所
产生的热量等于大小为 I 的直流电流在这段时间 T 内流过上述 R 所
产生的热量 则 I 就定义为 i 的有效值
即 i Rdt I RdtT T20 20∫ ∫= I T i dtT= ∫1 20
故有效值也称为方均根 (rms)值
写法规定
瞬时值──用小写字母 u i u2表示
T
tw
mI
ij
3
有效值──用大写字母 U I U2表示
最大值 (幅值 )── Um I m U m2 表示
交流表 其 A V 指示的往往为有效值 如 220V 380V
耐压值往往指最大值
2) 正弦量最大值与有效值的关系
如 )cos()( im tIti jw += 则
∫
∫
++=
+=
T
i
m
T
im
dttTI
dttI
T
I
0
2
0
22
)22cos(1[
2
1
)(cos
1
jw
jw
= mmm IITTI 707.02]021[
2
==?
同理 UUm 2=
因此正弦函数常写为
)cos(2)( itIti jw += )cos(2)( utUtu jw += 等
3 初相位与相位差
1) it jw + ── 相位角 反映正弦波变化的进程 也叫相角
如 00=+ it jw 则 i I m=
060=+ it jw 则 mIi 5.0=
090=+ it jw 则 0=i
)( itdtd jww += ── 相角变化速度 (角频率 )
2) 初相位 0|)( =+= tii t jwj
相角 初相位的 SI单位 弧度 (rad)
常用单位 度 (DEGREE) 计算中注意必要的转换
°= 360 2 弧度p
初相位 ji 取决于初始时刻的选取 计时起点不同 则初相不同
从波形上看 ji 最大值与原点间的最近距离 图 7 2中 若最大
值在原点右边时 0<ij 若最大值在原点左边时 0>ij 为了使表
达式唯一 通常在 pj ≤|| i 的主值范围内取值
3) 相位差 q
q 两同频率正弦量的相角之差 如
)cos()(
)cos()(
im
um
tIti
tUtu
jw
jw
+=
+=
则 u i 之间的相位差 iuiuui tt jjjwjwq ?=+?+= )()(
注意 不同频率时不可求 q 可见 q 同频率初相之差
4
一些常见的相位关系
0>q ( iu jj > ) ── u (相位 )超前于 i , i 滞后于 u
0<q ( iu jj < ) ── u 滞后于 i , i 超前于 u
0=q ── u i 同相
090
2 ±=±=
pq ── u i 正交
°±=±= 180pq ── u i 反相
一般 q在 | |q p≤ 主值范围内取 值
例 )60cos(10)(1 °+= tti w A )150cos(5)(2 °?= tti w A 求哪一个超前
多少度
解 °= 601j °?= 1502j
°=°??°=?= 210)150(6021 jjq
主值范围 °?=°?°= 150360210q
i1滞后 i2 °150 i2 超前 i1 °150
又 问 1i i2 的有效值为多少
07.72101 ==I A
535.35707.02 =×=I A
练习 P.191 7 1
作业 P.217 7 1 补充一题
补充 试计算下列各正弦波的相位差
1 Vtu )45314cos(10 °+= 和 Vtu )20314cos(20 °?=
2 Vtu )520cos(5 °+= 和 Ati )2030cos(7 °?=
3 Ati )106sin(5 °+?= p 和 Ati )156cos(4 °?= p
5
j
1+a
b r
7 2 相量法 相量图 有效值相量
目的 由 P.141 的例子可以看到 正弦函数 (三角函数 )的加 减
等运算均很麻烦 当 w不变时 我们可以只关心幅值与初相这两个
要素 即引入 相量 这样 正弦稳态电路的方程变为相量 (复数 )
代数方程 可引用 DC 分析的各种方法 因涉及复数 故首先复习
一下复数
复数简介
一 复数的几种形式
1 代数形式 (直角坐标形式 )
复数 jbaA += 式中 1?=j 称为虚数单位 不用 i 表示 避免
与电流 i 相混
a 称为 A的实部
b 称为 A的虚部
可将其 在复平面上表示
aA =]Re[ bA =]Im[ 一般幅角主值范围在 ),( pp +? 之间
2 三角形式
复矢量 的长度 r──称为 A的模 )0( >r
复矢量与实轴的夹角 y──称为 A幅 角的主值
则 yryr sincos jjbaA +=+=
即 )sin(cos yyr jA +=
与代数形式的关系相比
yrcos=a 或 22 ba +=r
yrsin=b abarctg=y
y所在象限由 a b 的正 负号决定 而非 ab 的正负号决定 例 34 j±±
°?+ 9.36)34arg( j °??? 9.36)34arg( j
°?+? 1.143)34arg( j °???? 1.143)34arg( j
3 指数形式
利用欧拉公式 yy sincos je j +=
可将复数 )sin(cos yyr jA += 化为 yr jeA =
4 极坐标形式
均为实数 复矢量在实 虚轴上的投影
6
即指数形式简化记为 yr∠=A
利用计算器可将复数的代数形式与极坐标形式进行互换 (参
考相关说明书 )
二 复数运算
1 加 减法宜用代数形式
例 11 jbaA += 22 jbaB +=
)()( 2121 bbjaaBA ±+±=±
2 乘 除法宜用极坐标形式
例 1111 jr ∠=+= jbaA 2222 jr ∠=+= jbaB
2121 jjrr +∠=AB
AB = ∠ ?rr j j1
2
1 2 (若用代数形式相当麻烦 )
例 求 )5.13.0)(5.72.3( jj ?+
=解 原式 56.22.128.115.127.7853.19.6615.8 j?=°?∠=°?∠×°∠
例 求 )5.1025/()3.94125( jj ??+?
589.26078.5
30078.51571.27 1436.156
j?=°?∠=
°∠=°?∠ °∠=解 原式
三 旋转因子和旋转矢量
1 te tj 1 ww ∠=
即 tje w 的模为 1 幅角 t w 随 t 增长 而↗ 此复数矢量在复平面上以
角速度 w逆时针旋转 故称之为旋转因子
2 tjAe w 称为旋转矢量 设 tA wr∠=
则 tjAe w 表示将 A逆 时针旋转一角度 t w 模放大 r倍
3. 常用的旋转因子有
jje j =+= 2sin2cos2 pp
p
21
2 p
p
?∠=?=? je j 即 j±=°±∠ 901
1?=± pje 即 11801 ?=°±∠
可见 j - j - 1均可记为旋转因子
A
+1
+ j
0
e j t
+ 1
+ j
0
t
A
+ 1
+ j
0
t
Ae j t
7
四 利用相量表示正弦交流量
设正弦电流 )cos()( im tIti qw +=
根据欧拉公式 qqq sincos je j += 令 it qwq +=
我们可以把复指数函数
)]sin()[cos()( iimtjm tjtIeI i qwqwqw +++=+
= + + +I t jI tm i m icos( ) (sin )w q w q
很明显 上式的实部恰好是正弦电流 i t( ) , 即
)cos(]Re[)( )( imtjm tIeIti i qwqw +== + (*)
这样 我们就把正弦交流电与复指数函数联系起来 为用复数表
示正弦交流电找到了途径 一个正弦波是由振幅 频率和初相位三
个要素所决定 如前所述 在频率相同的正弦电源激励下 电路各
处的响应电流和电压的频率是相同的 所以 在正弦稳态响应的三
要素中 我们只需要确定它们的幅值和初相位两个要素 把式 (* )进
一步写成 ]Re[]Re[]Re[)( )( tjmtjjmtjm eIeeIeIti ii wwqqw &=== + (**)
式中
1 Re[ ]为取 实部 的运算符
2 mI& 为能反映正弦量幅值与初相位的 复常数 称为正弦量 i t( )
的 振幅相量 也称为 最大值相量
即 ijmm eII q=& = ∠I m iq (***)
]Re[)( tjm eIti w&= ── 复变量 (旋转矢量 )的实部
下面我们来看一下几何意义
复变量 )( jw +tjm eU 可用复平面上的向量来表示 如 P.144 图 7 6 所
示 向量的模为 mU 幅角为 )( jw +t 这个向量在复平面上以原点为
中心按角速率 w逆时针方向旋转 所以也称旋转向量 此旋转向量
任何时刻在实轴上的投影正好等于该时刻电流 )(tu 的瞬时值
讨论 为什么引用相量来表示正弦量呢
因为在单一频率正弦电源激励的电路中 各部分都是与电源频率
相同的正弦量 因而在分析时 常常只需确定最大值 (振幅 )或有效值
和初相 位两个要素 而复数 mI& 的模是正弦电流的幅值 幅角是正弦
电流的初相角 这正好是我们感兴趣的正弦交流电的两个要素 为
了把这样一个能表示正弦交流电的复数与一般的复数相区别 把它
叫做相量 并在符号上加上一点以示与 I m 相区别 mI& 称为电流相量
8
可见
1 振幅相量 ≠ 正弦量 但有对应关系
2 振幅相量反映了振幅与初相位两个要素
3 旋转因子 tje w 反映另一个要素 w
类似地 Q =I mI21 将 ij IIeI i jj ∠==
& 定义为 有效值相量 简
称相量
有 mII && 21
= 或 2 II m && =
相量 I&可用图表示 这种图称为相量图 如图 7 5所示
例 已知 A )30cos(4.141)( °+= tti w V )60cos(1.311)( °?= ttu w
求 I& U& 并作相量图
解 A 3024.141
°∠=I& V 602206021.311
°?∠=°?∠=U&
例 已知 Hzf 1000= AI °?∠= 305.0& 求 ?)( =ti
解 sradf /62802 == pw ? Atti )306280cos(25.0)( °?=
五 正弦相量的基本运算
用相量形式替代正弦量 运算会有很多便利之处
1 相同频率正弦量的加减运算
设 AtIi )cos(2 111 jw +=
AtIi )cos(2 222 jw +=
求 21 iii +=
解 ]2Re[ 11 tjeIi w?= ]2Re[ 22 tjeIi w?=
从而 =+= 21 iii ]2Re[ 1 tjeI w? + ]2Re[ 2 tjeI w?
= ])(2Re[ 21 tjeII w?? +
可见 两个同频率正弦量相加仍为同频率的正弦量
令 ]2Re[ tjeIi w
?
= 则有 ])(2Re[]2Re[ 21 tjtj eIIeI ww
???
+=
上式对任何时刻 t 均成立 故有 ??? += 21 III
0 +1
+ j
? I
o30
o60?
?
U
9
同理 若 213 iii ?= 则有 ??? = 213 III
结论 正弦量的加 (减 )对应为其相量间的加减 从而复杂的三角
运算转化为复数的代数运算
例 Ati )45cos(27.701 °+= w Ati )30cos(24.422 °?= w 求 21 iii +=
Aj
jj
III
4.184.918.287.86
)1.217.36()5050(
304.42457.70 21
°∠=+=
?++=
°?∠+°∠=+=
???
解
Atti )4.18cos(24.91)( °+= w
亦可用相量图定 性分析
推论 KCL 00 =→=∑ ∑
?
kk Ii
KVL 00 =→=∑ ∑
?
kk Uu
形式一致 但 ?≠ kk Ii kk Uu ?≠ 只是对应关系 (基尔霍夫定律的
相量形式 )
2 正弦量的微分 积分运算
设 AtIti i )cos(2)( jw += 则 )]2[Re()]cos(2[ tji eIdtdtIdtddtdi wjw ?=+=
])(2Re[)]2(Re[ tjtj eIjeIdtd ww w ?? ==
上式表 明 正弦量的一阶导数仍为一个同频率的正弦量 其相量
等于原正弦量的相量乘以 wj 即 相量的模为原来相量的 w倍 初
相超前于原相量 o90 即 dtdi 的相量为 )90( °+∠=
?
iIIj jww
类似地 ∫ dtti )( 的相量为 )2(1 pjww ?∠=? iIIj
作业 P.191 7 2 7 3 7 4
10
7 3 三种基本元件伏安关系的相量形式
为了利用相量进行正弦稳态分析的需要 本节将导出 R L C
三种基本元件伏安关系的相量形式
一 电阻元件
在正弦电路中 流经电阻元件的电流及其端电压 在关联参考
方向下 服从欧姆定律
RR Riu =
设电流 )cos(2 iR tIi jw +=
则其电压
)cos(2)cos(2 uRiRR tUtRIRiu jwjw +=+==
上式表明 线性电阻的电压与电流是同频率的正 弦量 且相位相
同 iu jj =
电压和电流的有效值有如下关系
RIU R = ( 满足欧姆定律 )
同理振幅有 mRm RIU =
若用相量表示 iII j∠=? uUU j∠=?
可得 iRIIRU j∠== ?? 或 R
I
U =
?
?
??
?
=
=
ui
RIU
jj
可以看出 上式既反映了 u i 有效值之间的关系 , 同时又表明了 u
i 之间的相位关系
图 (b) (c)画出了电阻元件的电压 电流波形图及相量图
(c)
在相量图上 电 压相量和电流相量是共线的 指向同一 方向
( 同相关系 )
11
二 电感元件
取 L 的 Lu i 方向关联 则有 dtdiLuL =
在正弦稳态的工作条件下 当电压 电流都用相量表示后 这一
微分关系可以转换为代数关系
设 )cos(2 itIi jw += 则
i
j IIeI i jj ∠==?
)cos(2 uL tUu jw += 则
u
j
LL UeUU
u jj ∠==
?
于是有
]2Re[)]2[Re(]2Re[ tjtjtjL eIdtdLeIdtdLeU www ??? ==
)2Re()2Re( tjtj eILjeIjL ww ww
??
==
从而有 ??? == IjXILjU LL w (*)
这就是 L 元件的 VAR 的相量形式
°+∠=∠ 90iuL LIU jwj
即
??
?
°+=
=
90iu
L LIU
jj
w 电流相位滞后电压 °90
L
L XL
I
U == w 称为 感抗 单位 阻止电流流过的能
力
讨论 1) LX 与频率成正比
w大 → LX 大
w小 → LX 小
0=w → 0=LX (L 对应于 DC 短路 )
w → ∞ → LX → ∞ → L 相当于 开路
2) iuIUIUX
m
m
L ≠==
3) LXB
L
L w
11 ?=?= (称为感纳 单位 S )
12
于是有 ?? = LL UjBI
由
L
L
jX
UI
?
? = 画出电感元件的电压 电流波形图及相量图
三 电容元件
取 cu i 关联 , dtduCi c=
电容元件的 VAR 与电感元件的 VAR 存在对偶关系 因此电容电
压相量与其电流相量之间的关系为 cUjI
??
= w
或 ???? =?== IjXICjICjU cc ww 11
即相量形式如图 (b)所示
??
?
°+=
=
90
ui
cCUI
jj
w 电容的 i 超前 u
2
p
上图画出了电容元件的电压 电流波形图及相量图
cXC =? w
1 容抗 单位 ?
cX 与 w成反比
w大 → cX 小
w小 → cX 大
0=w → cX → ∞ 开路 隔直
w → ∞ → 0=cX 短路 通交
记 CXB
c
c w=?=
1 容纳 单 位 S
有 cc UjBI
??
=
类似于 有 ?? = UGI
R L C 是电路中三个最基本的无源元件 它们在正弦激励下的
uj
ij
13
稳态特性是正弦稳态分析的依据
例 1 已知 求
解
例 2 已知一电容器的电容为 加在电容器两端的电压为
初相为 角频率为 试求流过电容器的电流 写出其瞬
时值表达式 并画出相量图
解
=
例 3 一有耗线圈的模型如图 (a)所示 已知正弦电源的频率
求 并画出相
量图
解 1) 令 作为参考相量
2) 利用 VAR 特性
由 KVL 有
3) 写出
14
对于比较简单电路 也可不必用复数 直接根据相量图的几何关
系 求解 对于本例 从相量图也可求解 P.150 图 7 11(b)
从相量关系看 为 与 的代数和 在相量图上 是 与
所构成直角三角形的斜边 有
结果与上同
如果在电源 电阻 R 和电感 L 两端分别接上电压表
如图 (a)所示 则 读数为 34.8 V 读数为 197.1 V 初学者往往容
易错认 为 为 而实际上 为 200V 因为一个回路各
部分电压的有效值通常不满足于 KVL 同理 汇集在节点处的电流
有效值通常不满足 KCL
在正弦交流电路中 它们的相量和 瞬时值的和才满足 KVL 和
KCL
有效值 V
例 P. 151 ( 例 7 4) 图示电路 在 时开关合上 求该 RC
电路在正弦电压源 作用下的瞬态响应
15
7 4 阻抗和导纳及其等效电路
一 阻抗和导纳
R L C 的 VAR 相量形式 (前提是参考方向关联 )
把元件在正弦稳态时的电压相量与电流相量之比 定义为该元件
的阻抗 记为 Z
即 ( )
则 R L C 三种基本元件的相量关系式可归结为
有
式 ( )称为欧姆定律的相量形式 把阻抗的倒数定义为导纳 记为 Y
即 或 (西门子 )
相应的 存在另一种相量关系
于是
其中 电感的导纳 其中 电感的电纳 简称 感
纳
感纳与 感抗的关系
同样的 电容的导纳 其中 电容的容纳
容纳与容抗的关系
综上可知 对于一个由串联元件组成的二端网络 P 其入端阻抗为
若由并联元件组成的二端网络 P 其入端等效导纳为
分别为组成该网络各元件的阻抗和导纳
需要强调指出 用复数形式表示的电压及电流相量代表了随时间按正
弦规律变化的正弦量 而复数形式的阻抗和导纳则仅表示电压相量
16
和电流相量之间的关系 它本身并不代表正弦量
例 RLC 串联电路 已知
求电流以及各元件的电压 ( P.155 例 7 6)
解 运用相量分析 可分三个步骤
1) 写出已知正弦量的相量 即
2) 做出原电路对应的相量模型 (见图 b) 根据相量模型 仿照电
阻电路的分析方法 对相量进行计算
该 RLC 串联电路的总阻抗为
故
3) 由求出相量写出相应的正弦时间函数
二 阻抗的性质
由 RLC 串联电路 有
这里 R 为 Z 的实部 (电阻 ) X 为虚部 (电抗 ) | Z| 为 Z 的模 为阻
抗角 阻 抗的模等于可知稳态时端钮上正弦电压有效值 (幅值 )与电流
17
有效值 (幅值 )的比值 阻抗的幅角 (阻抗角 ) 反映了电压与电流的相
位关系
若 即 感性
容性
纯电阻性 (串联谐振 )
例如 设 即
则
即
三 导纳的性质
设 称为导纳角
导纳角与阻抗角互为 相 反 数
于是 容性
感性
阻性 (并联谐振 )
四 阻抗与导纳的等效互换
将二端网络 P 用一个等效阻抗 来表示 见图 (b)
将二端网络 P 用一个等效导纳 来表示 见图 (c)
(看作 G 和 B 的并联 )
由于这两种等效电路有相同的 VAR 显然有
18
有
即有
对 应 地有
例 有一 RLC 串联电路
试求其串联 并联等效电路
解 串联等效电路的阻抗为
并联等效电路的导纳可得
电纳为 电路表现为容性
作业 P. 191 7 5 7 6 7 7 7 8 7 12 7 14
19
7 5 正弦交流电路的稳态分析
例 1 为一感性阻抗元件 为纯电阻元
件 设在 正弦交流的工作条件下 可表示
为 与 的串联 外
加电压 求 工作 电流 以及 上
的电压
解
令
有
即
由于相位差是相对值 任意选择哪一个相量作为参考相量不会影
响计算所得电路中各元件上电压 电流的大小及相互之间的关系
对于串联电路 各个元件上电压的相位都直接与电流的相位 相联系
以 为参考相量 画相量图比较方便
例 2 已知
试用 网孔电流 法求图示电路中各支路电流
解 先设 网孔 电流 方向如图 列出 网孔 电流方程如下
代入数据
20
涉及复数 运算
故各支路电流为
例 3 图示电路 已知
求
解 先求图中虚线框内的一端口
网络的戴维南等效电路
戴维南等效复阻抗 为
组成等效电路如图 则 为
回到原电路图 有
21
例 4 图示电路 已知 如果要求
的相位差 为 试求
解 由 KCL 和 KVL
可得
要使 的相位差为 实部 必须为 0 即
电压 的相位角为
例 5 如图电路 的读数分别为 若
求
解 在串联电路 和 的 电流一致 根据电压表 的读数及
可求得 I 如以 为参考相量 则 于是
由 KVL 有
22
即
两边实部相等
两边虚部相等
有 (容性 )
另一解答 实部为负 即相当于负电阻
通常不予考虑
例 6 含理想运放电路如图所示 已知
试求输出电压与输入电压之比 角频率为
解 由 虚短路 可得
又理想运放的输入端电流为零 对 节点 3列 KCL 得
而
利用节点法 对节点 1 2列出节点方程 不得对输出节点列节点
方程
23
代入数据
将 代入 则
消去 得
24
例 7 图示电路 已知
求 a b 端口
的等效电路
解 求解有源一端口电路的等效电路支路 可由多种方法分析
其方法与电阻电路类似 先画出电路的相量模型 如图 (b)所示
解法一 先求出 然后用激励──响应法
1) 求 列出节点方程 为
整理化简得
25
2) 求 (除源 激励──响应法 ) 由 KCL
由欧姆定律 (此处用到并联等效公式 )
简化
从而有
解法二 一步法 (不除源 )
作业 P. 193 7 16(a) (b) 7 17 7 18
26
7 6 正弦稳态功率
正弦交流电路的功率 能量关系要比直流电路中复杂些 前面在
分析元件的电特性时已指出 电阻 是耗能元件 L C 是储能元件
它们只和外电路进行能量交换
一 电阻的平均功率
设通过电阻的电流为
则
电阻吸收的瞬时功率为
功率的波形如图 P.171 7 38(b)所示 可见电阻元件的瞬时功率
不出现负值 我们把瞬时功率在一个周期内的平均值称为平
均功率 记为 P 即电阻元件的平均功率
通常所说的功率 指平均功率而言 平均功率又叫有功功率
对于电阻元件
可见 电阻平均功率的大小与电流的频率及初相角无关
二 电感的平均储能
设
则由 VAR
瞬时功率
功率波形见图 7 39(a)所示 以 的角频率在横轴上下波动
由于
说明 L 在正弦激励时 电感吸收的平均功率为零 电感的瞬时储能
为
其波形如图 7 39(b)所示
在任何时刻 平均储能为
考察 可以看到 当 电感储能增大 电
感储能减小 因此 在正弦稳态时 外电路 (电源 )与电感间存在着能
27
量不断交换的现象 为了表明这种能量交换 (往返 )的规模 把电感瞬
时功率 的振幅定义为电感的无功功率 记作 单位 乏 (var)
即
三 电容的平均储能
设
则由 VAR
瞬时功率
功率波形如图 7 40(a)所示 以 的角频率在横轴上下波动
由于 说明 C 在正弦激励时 电容吸收的平均
功率为零 电容的瞬时储能为
其波形如图 7 40(b)所示
在任何时刻 电容平均储能为
考察 当 电容储能增大 电容储能减小
因此 在正弦稳态时 外电路 (电源 )与电容间存在着能量不断交换的
现象 为了表明这种能量交换 (往返 )的规模 把电容瞬时功率 的
振幅定义为电容的无功功率 记作 单位 乏 (var) 即
例 求图示正弦稳态电路中电阻的平均功率 L C 的平均储能
以及 的无功功率 (P. 173)
解 计算 L C 的阻抗
按相量模型 列出网孔电流方程
解得
电阻的平均功率
电感的平均储能
28
电容的平均储能
式中
电容 支路的电流为
四 无源 二端网络的平均功率 视在功率和功率因数
前面已讨论了 R L C 的功率 下面将要研究无源二端网络的
功率
对于无源二端网络 N
不妨设 Z 的阻抗角为
设 (以 为参考相量 ) 则
于是
波形图见 P.175 图 7 43
式中 是端口电压与电流的相位差 可见 瞬时功率由恒定分
量 和正弦分量 两部分组成
在所假设的参考方向下 N 吸收功率
N 发出功率
有 说明外电路和 N 之间有能量往返交换 这种
现象是由储能元件造成
其平均功率为上式中的常数项 即 其中 称为
功率因数 (记为 或 ) 称为功率因数角 可见 只要 ,
不同相 的值就要在 乘积的基础上打上 一个折扣 ( )
讨论
1) 若 则 平均功率
2) 若 则 平均功率
28
3) 若 则 平均功率
总之 只有 R 耗能
无源 二端网络的平均功率
在电工技术中 把端钮电压 电流有效值的乘积 称为视在
功率 记作 S 即 其 单位为伏安 (VA)
因此 平均功率也可写为 一般情况下
S 物理意义 反映了电气器件 设备的容量 设备耐压有限
I也有限
为功率因数角 可根据 判断 N 的性质
当 时 二端网络 N 感性 电压超前电流
当 时 二端网络 N 容性 电压滞后电流
例 电路的相量模型如图所示 其中
已知
求 该无源 二端网络的平均功率 P
解 两种方法
1) 对内部电阻进行计算 二端网络内部只有一个电阻 其平均
功率
或
2) 以二端网络端钮电压和电流计算平均功率
五 提高负载功率因数的措施
1 必要性
正弦电路中 负载从电源接 收 的有功功率为 而
28
常用的 负载如电机 日光灯等均为感性 功率因数 在 0.7 0.85 左
右 较低 造成了两个问题
1) 电源容量 乘积值 (额定值 ) 得不到充分利用
2) 当线路电压 (如 220V 380V)和负载获得的功率 P 一定 时 越
低 则 越大 从而线路损耗越大
2 解决 方法 (对于感性 工厂 负载 一般为感性 ) 一般负载都是感
性的 即通常所说的功率因数角滞后 对于感性负载 提高 的最
常用方法是采用并联电容器负载
设有一电感性负载 (如图用 R L 串联来代表 ) 其端电压为 有
功功率为 P 作出相 量图如图 以电压相量 为参考相量
由相量图可见
1)
2) 减小了功率损耗
3) 并联 C 后 原负载的 不变
故 P 不变
4) 不能太大 否则会出现过补偿
一般地 以 达到 0.9左右为好
并联电容 C 的计算
由相量图及投 影
由 VAR 化简可得
28
例 一个负载的电压 功率 功率因数
欲将 提高到 试求 已知
解 未接电容时 负载电流
功率因数角
电流的无功分量
并联电容后 线路电流
电流的无功分量
容抗
六 复功率
设 无源 二端网络 N 的电压 电流相量为
为 的共轭复数 则
称为复功率 以 表示 即
其中 称为无功功率 如果负
载为感性 为正值 如果负载为容性 为负值
显然 的模等于视在功率
复功率守恒 ( )
文字描述见 P. 177 划线
28
但是 因为
例 P. 178 例 7 24(讲述 滞后 与 超前 的概念 P. 175)
七 正弦稳态最大功率传递定理
在电阻电路中 负载电阻从电源获得最大功率的条件是负载电阻
等于电源内阻 此时称负载与电源匹配 动态电路在正弦稳态的工
作条件下负载从电源获得最大功率的条件又 是如何呢 分析如下
设
则
首先来看 和 的关系 由于 在上式分母中 故知 为任意
值下 时 达极大值 即 令 对 的导
数为 0 即可得到 为最大值的条件
综上 和 为给定的情 况下 负载吸收最大功率的条件是
即 此时 与 称为共轭匹配或称最
佳匹配 获得的最大功率为
(可用戴维南定理求解 )
例 图示电路 为使 获最大功率 并求此时的最大功率
解 求负载获得最大功率这类问题 一般均采用戴维南定理
1) 先将负载两端 A B 断开 求 由弥尔曼定理得
28
2) 用外加电压源 (激励──响应法 ) 求 A B 输入端的阻抗
3) 时 可获最大功率 此时
作业 P. 193 7 20 7 21 7 22 7 23
28
7 7 非正弦交流电路分析
在电气工程 无线电 电机 电子工程中 除了前述正弦交流电
路外 非正弦周期信号电路也经常遇到 本节主要讨论非正弦周期
信号作用下线性电路的稳态分析
可利用傅里叶级数将非正弦周期函数分解为一系列不同频率的正弦量之和根据电路的叠加定理电路在非正弦周期函数激励下的响应等于各个频率的正弦分量单独作用下电路中所产生响应的叠加其中响应的每一个频率分量可利用正弦稳态分析的相量法求解
一 非正弦交流电的分析方法
一个非正弦周期函数可以展开成傅里叶级数
其中 可以是 或 令周期为 T 则
式中 第一项 称为周期函数的恒定分量 (或直流分量 )
第二项 称为一次谐波 (或基波分量 ) 其周期或频
率与原非正弦周期 函数的相同
第三项 称为二次谐波 频率为基波的两倍
第 项 称为 K 次谐波 频率为基波的 K 倍
除基波外的谐波统称为高次谐波
傅里叶级数的确定
因而一个周期性的非正弦交流信号可根据傅里叶级数理论可以
先分解为恒定分量和许多不同频率的正弦波 然后依据叠加定理求
解
例 图示电路 中 激励 的波形如图 (b)所
示 求稳态响应电流
解 把激励源 分解为傅里叶级数 得
28
这里取到六次谐波 代入 , 有
1) 在 的作用下 电感相当于短路 故恒定电流分量
2) 在二次谐波 作用下
3) 在四次谐波电压分量 作用下
4) 在六次谐波电压分量 作用下
由线性电路叠加定理
计算非正弦周期电路应注意
1) L C 的电抗随 f 而变 不同谐波时对应的电抗不同
2) 写最终结果 时 应将各次谐波分量的瞬时值相加 而不是各次
谐波的相量相加 同样 不同 f 下的复阻抗也不能放在一 起运算
二 非正弦交流电的有效值
对任何周期性的电压 电流 不论是正弦还是非正弦的 其有效
值定义为
28
式中 泛指 或 泛指 或
非正弦周期函数 可展开为傅里叶级数
因此在计算有效值时将涉及四种形式的积分
(1)
(2)
(3)
(4)
也就是说展开式中所有交叉乘积项在一周期内的积分均应为零
因此有效值为
其中 分别为直流分量 基波 二次 谐波的有
效值
对上例所求得的非正弦交流电 可得
则该非正弦电流有效值流过电阻 则它消耗的平均功率为
三 非正弦交流电的平均功率
如果施加于二端网络的电 压和电流均为非正弦交流电 并分别用
傅里叶级数表示
则该二端网络的平均功率为
上式的计算涉及 乘积的展开式在一周期内的积分问题
显然 不同频率的谐波电压 电流乘积在一周期内的积分为零 即
m n 为正整数 且
直流分量和任何谐波的乘积在一周期内的积分也为零 即
k 为正整数
而同频率谐波电压 电流的乘积在一周期内的积分为
28
即 等于各次谐波产生的平均功率
两个直流分量乘积的积分也不为零 即
由此可知 非正 弦交流电路的平均功率 是各次谐波单独作用时所
产生平均功率的总和 它表示频率不同的若干电流 (电压 )作用时 它
们的功率为分别计算后相加的结果 不同频率的电压和电流乘积只
能构成瞬时功率 不能构成平均功率
例 图示二端网络的电压 电流为
求电压 电流的有效值以及二端网络吸收的平均功率
解 由给定的 可知 各次谐波的有效值及平均功率
则
作业 P.194 7 24 7 25(写在练习册上 )
28
7 8 三相交流电路的基本知识
在 具有多个正弦电 源并按一定方式连接的电路中 若各个电源的
频率相同而初相不同 工程上称 其 为多相制 电路 (多相系统 ) 前面讨
论的正弦电路属于单相电路 按照相数不同 多相制有二相 三相
六相和十二相等 目前世界上各个国家的电力系统 绝大多数是三
相制 这与三相制的优越性 是 分不开的 例如与单相比较 相同尺
寸的发电机 采用三相方式可提高输出功率 输送相同的功率 采
用三相制可节省导电材料 此外 三相电动机具有结构简单 价格
低廉 维护方便 运行平稳等优点
一 三相电路的基本概念
对称三相电源是由三个频率相同 幅值相等 初相依次相差
的三个正弦电压源按一定方式连接而成 这三个电压源依次
为 A相 B 相 C 相 分别记作 它们的瞬时值表达式
为 (以 为参考正弦量 )
或用相量表示为
三相电压的波形图和相量图如下所示
这样一组大小相等 相位彼此差 的三相电源称为对称三相电
源 通常把各相电压达到最大值的先后次序称为相序 分为正序或
反 序 在三相电路中 负载一般也是三相的 如果三个负载相等
则称为对称 的 三相负载 正常工作的三相电路电源总是对称的 而
28
负载则有对称的 也有不对称的
二 三相四线制电路
1 三相电路的电源和负载的连接方式 星型形 (Y 型 )和与三角
形 ( 型 )连接
2 中线 (地 线 )和火线 (相线 ) P.185 图 7 52
三个电源的三个末端连接在一起 有一个公共点 同样 三个
负载也有一个公共点 和 称为中点或零点 电源和负载中点
之间的连线 称为 中线 一般三相电路的中线都接通大地 故又称
为地线
从三相电源的三个始端 引出 分别与三相负载的三个端
点 相连接的导线称为 火线或相线
3 三相四线制 这种连接方式 电源和负载共有四根联线──
三个火线一根地线 称为三相四线制
4 相 电压 线 电压 相电流 线电流和中线电流
火线与地线间的电压称为相电压
火线与火线之间的电压称为线电压
流经每一相负载的电流称为相电流
流经火线上的电流称为线电流
中线上的电流称为中线电流
由 P.185 图 7 52 可知
而中线电流
对于对称三相电路
则 也是对称的──大小相等 相位上也相差
从相量图 (P.186 图 7 53)可明 显看出 如果负载对称 如
果负载不对称
三 对称三相电路的电压及电流计算
1 负载为 Y型 见图 7 54
在图示方向下 线电流直接流入每一相负载 故线电流等于相电
流 即 ( 表示 线 表示 相 )
线电压和相电压之间的关系
28
三个线电压也是对称的 超前于 大小关系有
线电压 相电压的关系
2 负载为 型 见图 7 55
对于三角型连接的负载 每一相负载都直接跨接在火线上 因而
负载的相电压即等于线电压
线电流和相电流的关系 可从相量图得出
三个线电流是对称的 线电流 滞后于相电流 大小关
系有
线电流与相电流的关系为
四 三相功率
三相制电路在发电输电和用电方面有许多优点例如单相电路的瞬时功率是随时间交变的而对称三相电路的总瞬时功率是恒定的
1对称的Y型负载
每相负载的平均功率为
三相总功率为各相平均功率之和 即
(* )
其中 为负载的功率因数角 即负载相电压与相电流的相位差 也
即是负载阻抗的阻抗角
2 对称 的 型负载
每相负载的平均功率为
三相总功率为各相平均功率之和 即
(** )
其中 的含义与式 (* )相同
式 (* )与 (** )完全相同 也就是说 不论 Y型负载还是 型 负载
三相总功率都等于线电压有效值 线电流有效值乘积的 倍再乘以
功率因数
3 对称 三相电路总的瞬时功率是恒定的 等于三相电路总的平
均功率 P
28
证明如下
例题 P. 189 例 7 29
练习 P. 194 7 24 7 25 7 26
作业 P. 194 7 26
