南京航空航天大学：电路分析基础：20044212590094463

1 第 五 六章 动态电路的瞬态分析 许多实际电路不能只用电阻和电源元件来构造模型 往往还包含 电容元件和电感元件 这两种元件的伏安关系都涉及对电流 电压 的微分和积分 称为动态元件 含动态元件的电路称为动态电路 这两 章讨论的动态电路限于一阶和二阶电路 5 1 电容元件和电感元件 一 电容元件 1 电容元件及其库伏特性 工程中电容器的应用极为广泛 那么究竟什么是电容器呢 将两块金属极板用绝缘介质隔开 就形成了一个电容器 加上电 源后 极板上分别聚集等量异号的电荷 在绝缘介质中建立起电场 并 储存有电场能量 即 U→ q→存储电场能量 实际电容器 电容元件 线性电容元件 理想二端元件 在电路中的图形符合为 由图示参考方向 有 Cuq = (库伏关系特性 ) 库伏特性为 u q 平面上的一条过原点的直线 式中 C 定义为该电容元件的电容 即 C qu= 单位 法 (拉 )F 常用辅助单位 FpF FnF FF 12- 9- -6 10 10 10 纳法 m 忽略其介质 漏电损耗 2 非线性电容的特性曲线不是通过原点的直线 2 电容元件的 VAR 如上图 当极板间电压变化时 极板上电荷也随之改变 于是电 容器电路中出现电流 当 u i 关联方向时 dt tduCdtdqti c )()( == 可见 1) C 为动态元件 u 变化才有 i u 不变化 相当于 DC 时 → i 0→C 开路 (隔直作用 ) 2) 由于 i 为有限值 uc 不会跃变 ∫∫ += ∞ t c diCdiCtu 0 0 )(1)(1)( xxxx 令 ∫ ∞ 0 )(1)0( xx di Cuc 则 ∫+= tcc diCutu 0 )(1)0()( xx 记忆元件 3) u >0 且 dudt > 0 →i >0 充电 q ↑ u >0 且 dudt < 0 →i <0 放电 0>q 但 q ↓ 又 u <0 且 dudt < 0 →i <0 0<q 但 q ↑ 反向充电 当 u <0 且 dudt > 0 →i >0 0<q 但 q ↓ 反向放电 总之 u ↑ → q ↑ → 某个方向充电 → 储存能量 ↑ q ↓ → 某个方向放电 → 释放能量 ↓ 3 电场能量 u i 关联方向时 电容元件吸收的功率为 p t u t i t Cu t du tdt( ) ( ) ( ) ( ) ( )= × = 则在 )( ttdt o= 时间内 电容元件电 场中的能量增加量为 )()( tdutCupdtdW == 则 t to 期间外电路供给电容的能量应为 )]()([21)(21)()( )()()( 22 t 2 o o t t t t tc tutuCtCutdutCu diutW o o ?=== ×= ∫ ∫ xxx 如果充电是从 t o = ?∞ 开始 即 0)( =?∞u 可知电容充电到 u t( ) 时 电容的储能为 3 0)(21)( 2 ≥= tCutWc 某个时刻电场能量只与当时的电压值有关 而与电压建立过程无 关 总之 C 为储能元件 是无源元件 (不会释放出比它所储能量还多 的能量 ) 二 电感元件 定义 如图 (P.96 图 5 4(a))所示 把金属导线绕在一骨架上就构 成了实际的电感器 (或称电感线圈 ) 1 电感元件及其韦安关系 电感是反映磁场能性质的电路参数 电感元件是实际线圈的理想 化模型 假想它是由无阻导线绕制而成的线圈 当一匝线圈中通以 电流 i 后 在线圈内部将产生磁通 Lf (称为自感磁通 ) N 匝相链的线 圈通过 LNf 记 LL Nfy = Ly 称做磁通链 (或磁链 ) 即 N 匝相链的线 圈通过的自感磁通之和 fL和 Ly 是由线圈本身的电流产生的 叫做自感磁通和自感磁通 链 线性电感元件的图形符号为 我们规定磁通 fL和磁通链 Ly 的参考方向与电流参考方向之间满 足右手螺旋法则 在这种参考方向下 任何时刻线性电感元件的自 感磁通链 Ly 与电流 i 是成正比的 有 LiL =y (称为韦安关系 ) 式中 L 称为该元件的自感或电感 是一个正实常数 单位 亨 (H) 辅助单位有 mH mH Lf Ly 的单位 韦伯 Wb 由上式知 电感元件的特性表征为磁链 Ly 与电流 i 的关系 (韦安特 性 ) 对于线性电感 在 i ─y 平面上 特性曲线为一条通过原点的直 线 如下图 (a) 否则称非线性电感 如图 (b) 4 2 电感的伏安关系 VAR 在电感元件中 当电流 i 随时间变化时 磁链 Ly 也随时间改变 根据法拉第电磁感应定律 此时元件中产生感应电压 感应电压等 于磁链的变化率 如果取 u i 关联方向时 电感的 VAR 为 dttdiLdt tdtu )()()( == y (* ) 可见 (1) L 为动态 元件 (i 变化 才有 u) (2) 电流不变 即 DC 时 0=u L 相当于短路 (3) i 跃变 (didt → ∞ )时 ∞=→ u 只要 u ≠ ∞ i 就不会跃变 (4) 对 (* )式积分 可把电感的电流 i 表示为电压 u 的函数 ∫∫∫ +== ∞?∞? tt duLduLduLti 00 )(1)(1)(1)( xxxxxx (** ) 令 i L u d( ) ( )0 1 0= ?∞∫ x x )0(i 为初始电流 i t i L u dt( ) ( ) ( )= + ∫0 1 0 x x (积分形式的 VAR) 可见 L 元件的 )(ti 不仅与 t 时刻的 )(tu 有关 还与 u 的历史有关 故 L 为记忆元件 对式 (** )任选初始时刻 t0 则有 i t i t L u d t t( ) ( ) ( )= + ∫ 0 1 0 x x (*** ) 3 磁场能量 电感线圈中有电流时 其周围即建立磁场 因此电感是一种能存 储磁场能量的元件 取 u i 关联参考方向 则瞬时功率为 dt tditLititutp )()()()()( =× 吸 )(tp 可正可负 )(tp 为正 表示电感从外电路吸收能量 )(tp 为负 表示电感向外电路放出能量 从 t0 到 t 期间供给电感的能量为 )]()([21)()()( 022 0 titiLdiutW t tL ?=×= ∫ xxx 以上就是电感在 (t0 t)期间获得的储能 若 ?∞=0t 则由于 i( )?∞ = 0 可知 t 时刻 电感的储能为 0)(21)( 2 ≥= tLitWL 电感在某一时刻的 储能只与该时刻的电流值有关 可见 (1) L── 无源元件 (2) L── 储能元件 不耗能 L 不会释放出比它所储能 量还多得多的能量 5 以上我们介绍了 L 与 C 通过分析可知 某一时刻电感的储能只 与该时刻的电流有关 某一时刻电容的储能只与该时刻的电压有关 电路的储能可用电感电流及电容电压来表明 我们把某一时刻的电 感电流和电容电压称为该时刻的状态 初始时刻 t0 的 i tL ( )0 和 u tC ( )0 称 为电路的初始状态 (P. 99 画线部分 ) 例 有一电感元件 L 0.2H 在指定的参考方向下 (如图 a) 通 过的电流 i 的波形如图 b 所示 求电感元件中产生的自感电压 u 的波 形 并计算在电流增大过程中电感元件从电源吸收的能量 解 当 mst 40 << 时 ti = VdtdiLu 2.0== 当 mstms 64 << 时 122 +?= ti VdtdiLu 4.0?== )(tu 的波形如图 c 所示 电流增大过程中电感元件吸取的能量等于 msi 4= 时的磁场能 JJJLi m6.1106.1)104(2.02121 6232 =×=×××= ?? 0 4ms吸 收 4ms 6ms 释放 例 若 2H 电感的电压波形如图 (a)所示 试画出电流的波形 解 本题涉及积分的问题 可以先用积分求出函数表达式再画波 形 对图 (a)所示 )(tu 波形可分段写出函数式如下 ? ? ? ??? ? ≤≤? ≤≤ ≤≤? ≤≤ = )43(4 )32(1 )21(1 )10( )( tt t t tt tu 利用式 (*** )可分段计算 )(ti 6 在 10 ≤≤ t 期间 AttdduLiti tt 2210)(1)0()( 2 00 =+=+= ∫∫ xxx 1=t 秒时 Ai 41)1( = 此间 )(ti 波形为抛物线 从 0增加到 A41 曲线向上凹 在 21 ≤≤ t 期间 AtdtduLiti tt 432)1(2141)(1)1()( 11 +?=×?+=+= ∫∫ xx 2=t 秒时 Ai 41)2( ?= 此间 )(ti 线性下降 由 A41 降至 A41? 在 32 ≤≤t 期间 AtdtduLiti tt 4522141)(1)2()( 22 +=+=+= ∫∫ xx 3=t 秒时 i A( )3 14= 在 43 ≤≤t 期间 AttdttduLiti tt 2724)4(2141)(1)3()( 2 33 ?+?=?+=+= ∫∫ xx 4=t 秒时 i A( )4 12= 此间 )(ti 波形为按抛物线上升 曲线向下凹 从 A41 增加到 A21 在 4>t 时 )(tu 为零 因而 Ati 21)( = 根据以上分析结果画出 )(ti 波形 如图 b 所示 三 电感的串联 与电 阻串联一样 上图为电感串联电路 假设电压 电流参考方 向关联 由电感元件的 VAR 可得 u L didt1 1= , u L didt2 2= , u L didtk k= , u L didtn n= 由 KVL 得 u u u= + +1 2 +uk+ + un = L didt L didt1 2+ + + +L didtk +L didtn = + +(L L1 2 +Lk +Ln ) didt 所以 串联等效电感为 ∑ = =+++++= n k knk LLLLLL 1 21 LL 任一电感上的电压为 )()( tuLLtu kk = nk ,,2,1 L= 7 式中 L Lk k n = = ∑ 1 , LLk 称为分压系数 四 电感的并联 由电感的 VAR 及电路的 KCL 不难得出电感并联的等效电感为 ∑ = = n k kLL 1 11 即 电感并联电路等效电感的倒数等于相并联各电感 倒数之和 任一电感上的电流为 i t L u d LL i tk k t k ( ) ( ) ( )= = ?∞∫ 1 x x ,式中 nk ,,2,1 L= 该 式称为电感并联分流公式 LL k 称为分流系数 上式表明电感并联分 流符合反比关系 五 电容的串联 上图为 n 个电容的串联电路 设电流 电压参考方向关联 根据 电容元件的电压电流约束关系得 u t C i dt1 1 1( ) ( )= ?∞∫ x x u t C i dt2 2 1( ) ( )= ?∞∫ x x u t C i dk k t( ) ( )= ?∞∫ 1 x x u t C i dn n t( ) ( )= ?∞∫ 1 x x 由 KVL 得电容串联电路总电压 u t u t u t( ) ( ) ( )= +1 2 + + +u tk ( ) +u tn ( ) 电感并联电路与其等效电感 8 = ?∞∫ 1 1C i dt ( )x x + ?∞∫ 1 2C i dt ( )x x + + + ?∞∫ 1 C i dk t ( )x x ∫ ∞? + t n diC xx)(1 = + +( 1 1 1 2C C + +1C k ∫ ∞?+ t n diC xx)()1 = = = ?∞ ?∞ ∑ ∫ ∫1 1 1 C i d C i d kk n t t ( ) ( )x x x x 式中 1 1 1C Ckk n = = ∑ C 是 n 个电容串联后的等效电容 它的倒数等于 n 个相串联电容倒 数之和 因流经各串联电容的电流是同一电流 有 i d Cu tt ( ) ( )x x = ?∞∫ 所以 相串联的电容 Ck 上的电压为 )()(1)( tuCCdiCtu t kk k ∫ ∞? == xx 此式称为电容串联电路分压公式 其中 CC k 称为分压系数 它说明电 容串联电路分压与电容值 Ck 呈反比关系 六 电容的并联 上图为 n 个电容的并联电路 由 KCL 及电容元件上的电流电压 微分关系可的等效电容为 C C C= + +1 2 + +Ck +Cn = Ck k n = ∑ 1 即 电容并联电路等效电容等于相并联的各电容之和 相并联电容上的电压是同一电压 又 dudt C i t= 1 ( ) 推得 相并联电容 Ck 上的电流为 )(tiCCdtduCi kkk == nk ,,2,1 L= 式中 C是并联后的等效总电容 上式称为电容并联分流公式 其中 CCk 为分流系数 它表明电容并联电路分流与电容值 Ck 呈正比关系 七 C 和 L 的模型 (自学 ) 作业 P. 121 5 1 5 3 电容并联电路与其等效电容 9 5 2 一阶电路的瞬态分析 一 动态电路 1 稳态 (1) 不随时间发生变化 (2) 周期性地变化 这一状态称为电路的稳定工作状态 2 暂 (瞬 )态 含有动态元件的电路发生 换路 (或工作条件发生变化 ) 需经 历一个稳态到另一个稳态的过渡 此过渡过程称为暂 (瞬 )态过程 例 电路如图 (a)所示 当 K 合上之前 i uR= =0 0 在某一时刻 t 合上 K 则由 KVL 有 u u u uR L C s+ + = 即 Ri L didt C idt us+ + =∫1 求导 整理 dtduCtidt tdiLCdttdiRC s=++ )()()( 2 2 (二阶微分方程 ) 若将 L 短路 则有 RC didt i C dudts+ = (一阶微分方程 ) 既然是微分方程 那么它们的解必然是随时间 t 而变 也就是说 uR uL uC 并不是直接达到最终的稳态 (固定值 ) 而是要经历一段 时间 我们把这种含 L C 的电路称为动态电路 而将 L C 元 件称 为动态元件 一般情况下 当电路中含有 一个储能元件 →描述为一阶微分方程 一阶电路 二个储能元件 →描述为二阶微分方程 二阶电路 n 个储能元件 → 描述为 n 阶微分方程 n 阶电路 二 动态电路的特点 设有电路 如图 (b) 当 t<0 S 打在 1 E 对 C 充电 uC ↑ E 达到一种稳定状态 S 在 t 0 时刻打到 2 C 对外放电 直至放 光 ( 0=Cu ) 从而进入另一种稳定状态 这里 S 从 1→2 称之为 换路 理解为瞬间 10 完成 电路的接通或断开 电路参数或电源的突变均可理解为换路 S 在 1时 称为 换路前 记为 ?= 0t S 在 2时 称为 换路后 记为 0=t 可以看到 S 从 1打到 2后 欲使 0=Cu 需要一定时间 这个过 程就称为 过渡过程 或 暂态过程 同理 若 R 改为 R 或 C 改为 C 则参数改变后 也要有一 过渡 结论 当动态电路的结构或元件参数发生改变时 如电源或无源 元件断开或接入 信号的突然注入等 电路将从一个稳 定状态逐步 过渡到另一个稳定状态 这中间的过程即是过渡过程 (P.102 画线 ) 三 初始条件 若有 n 阶微分方程 batfatfatfa nnnn =++++ ?? )()()( 1)1(2)(1 欲求 )(tf 必须事先知道 )0()0()0( 1?′ nfff (即初始值 ) 对于动态电路 即为 )0( +u )0( +i 及其导数 )0(1 +?nu )0(1 +?ni 四 换 路定理 1 电容 由 ∫+= t t cocc o diCtutu xx)(1)()( 令 ?= 0ot += 0t u u C i dc c c( ) ( ) ( )0 0 1 0 0 + ?= + ? +∫ x x 只要 ic 为有限值 必有 1 0 0 0 C i dc ( )x x? +∫ = u uc c( ) ( )0 0? += ──换路定理一 即 在换路的一瞬间 电容上的电压不会跃变 若 0)0( 0)0( 则 +? = cc uu 这一瞬间 C 被短路 ?u t u tc c( ) ( )0 0? += 2 电感 有 =+ )0(Li iL ( )0? ──换路定理二 即 在换路的一瞬间 电感上流动的电流不会跃变 若 0)0( =?Li 则 0)0( =+Li 即在 t = +0 这一时刻 电感相当于开路 ? =? )( 0tiL )( 0+tiL 五 初始值的求解 1 由 t = 0 的电路求 uc ( )0? iL ( )0? 若 t = 0 时电路已达稳态 则 于是 0 电路 → 0 电阻电路 ?? ? 开路 短路 C L 11 2 由换路定律 得 uc ( )0 iL ( )0 相关初值用 原电路 → +0 电阻电路 六 终值 r( )∞ 的确定 换路后 由 t → ∞ 的终值稳态电路求 r( )∞ 此时 L C 短路开路 ∞电路 为 ∞电阻电路 例 t 0 开关 S 合上 求 i1 0( ) iC ( )0 i2 0( ) uc ( )0 解 t<0 电路已达稳态 C 相当于开路 电路如图 (a) Vuc 12)0( =? 由换路定律 uc ( )0 Vuc 12)0( =? 0)0(1 =i 0)0(2 =i 0>t (t = +0 )时 用替代定理可得图 (b) 以一电压源替代 uc ( )0 0)0(1 =i mAi 6)0(2 = mAiC 6)0( ?= 例 图示电路 0<t 时 S 闭合 电路已达稳态 0t 时 S 断开 试求 )0( +i )0( +u )0( +cu )0( +ci 解 ?0 电路 C 相当于开路 电路如图 (b) )0( +cu )0( +Li 代替 代替 S i 20K 30K ic 0.01F 10V UC (a) 10V 20K 30K UC (0-) i(0-) (b) 12 有 Vuc 630302010)0( =×+=? mAi 2.0302010)0( =+=? 0=t 时 S 闭合 由换路定律 Vuu cc 6)0()0( == ?+ +0 电路 C 用电压源代替 电路如图 (c) mAuii cc 2.020 )0(10)0()0( =?==+ ++ Viu 4)0(20)0( =×=+ + 例 图示电路 0<t 时 S 断开 电路已达稳态 0t 时 S 闭合 试求 )0( +Li )0( +Lu )0( +cu )0( +ci 解 ?0 电路如图 (b)所示 C 相当于开路 L 相当于短路 AiL 6)0( =? Viu Lc 18)0(3)0( =×= ?? 0=t 时 S 断开 由换路定律 Vuu cc 18)0()0( == ?+ Aii LL 6)0()0( == ?+ +0 电路 如图 (c)所示 有 Aui cc 5.1121812 )0()0( ?=?=?= ++ 由 KVL 0)0()0(3 =+ ++ LL ui Viu lL 1863)0(3)0( ?=×?=?= ++ 例 图示电路 0<t 时 S 打在 1 的位置 电路已达稳态 0t 时 S 由 1 打向 2 ?= 5.11R ?= 5.02R HL 2= FC 2= 试求 )0(2 +i )0( +cu )0( +u 10V i(0+) 20K 30K UC (0+) ic(0+) u(0+) (c) uc (0-) iL (0-) 6A 12 3 uL (0+) ic (0+) 6A 12 3 uc (0+) iL (0+) 6A S(t=0) 2F 5H 12 3 iL uc uL ic (a) (b) (c) R2 u uc 12V 20A C L S(t=0) R1 i2 2 1 13 + uR3 (0+) - + uR2 (0+) - + uc (0+) - R2 R3 + uL (0+) - (c) 解 ?0 电路如右图所示 有 Ai 20)0(2 =? Vuc 12)0( =? VRRu 40)(20)0( 21 =+=? 由换路定律 Vuu cc 12)0()0( == ?+ Aii 20)0()0( 22 == ?+ +0 电路如图所示 有 VRuu c 4220)0()0( 1 == ++ 例 图示电路如图 (a) VU s 50= ?== 521 RR ?= 203R 0<t 时 S 闭合 电 路已达稳态 0t 时 S 断开 , 试求 )0( +Li )0( +cu )0(2 +Ru )0(3 +Ru )0( +ci )0( +Lu 解 (1) 确定独立初始值 )0( +cu )0( +Li ?0 电路如图 (b)所示 C 相当 于开路 L 相当于短路 ARRUi sL 55550)0( 21 =+=+=? Viu Lc 25)0(5)0( =×= ?? 0=t 时 S 断开 由换路定律 Vuu cc 25)0()0( == ?+ Aii LL 5)0()0( == ?+ (2) 计算相关初始值 C L 分别用等效电压源 )0( +cu 和等效电流 源 )0( +Li 代替 得到 += 0t 时刻的等 效电路 如图 (c)所示 有 ViRu LR 2555)0()0( 22 =×=×= ++ Aii Lc 5)0()0( ?=?= ++ ViRu cR 100)5(20)0()0( 33 ?=?×=×= ++ Vuuuu cRRL 10025)100(25)0()0()0()0( 32 ?=+?+?=++?= ++++ R2 u(0-) uc(0-) 12V 20A C L S(t=0) R1 i2 (0-) 2 1 u(0+) uc (0+) i 2 (0+) R2 R1 R1 R2 R3 ic iL S(t=0) C L + uS - + uR2 - + uL - + uc - (a) + uR3 (0-)- + uS - R2 R1 R3 + uc (0-) - + uR2 (0-) - iL (0-) (b) 14 比较 0)0(3 =?Ru ViRu LR 25)0()0( 22 =×= ?? 0)0( =?Lu 七 一阶电路的零输入响应 在动态电路中起激励作用的因素 外施独立源 L C 无储能 → 零状态响应 L C 初始有储能 无外加电源 → 零输入响应 对于线性电路 零输入响应 零状态响应 全响应 1 RC 电路的零输入响应 t 0时 S 从 1打到 2 有 occ uuu == ? )0()0( Ritutu cR == )()( 而 i C dudtc= ? 由 KVL 一阶齐次微分方程 0)()( =+ tudt tduRC cc occ uuu == ?+ )0()0( 又 特征方程 01+RCp 得 p RC= ? 1 (特征根 ) tRCc Aetu 1 )( ?= 又 =)0(cu uo → == )0(cuA uo 0 t,)( 1 ≥= ? tRCoc eutu 电流 0 t,)( 1 ≥=?= ? tRCoc eRudtduCti 0t)()()( 1 ≥=== ? tRCocR eutRitutu 可以看出 )(tuc 呈指数下降 令 t=RC (称为时间常数 单位 秒 ) 理论上 )(∞∞→ cut 0 C 放电完毕 t=0 t = t=2 uc uo uc 36.8% uo uc 13.5% uo t=3 t=4 t=5 uc 0.05uo uc 1.8% uo uc 0.07% uo 15 通常认为 t 经 3 5 C 放电完毕 过渡过程结束 电路进 入新的稳定状态 时间常数等于特征根 P 倒数的负值 特征根 P 具 有频率的量纲 故称为固有频率 越小 电压 电流衰减越快 对 RC 电路 一个 RC 电路 仅有一个对应的 )(tuc )(ti 的形式为 Ae RCt? 1 如何求呢 关键是求 R 例 求图 (a)电路中 i t( ) )(tuo 解 ?0 电路 0.02 F 电容开路 u Vc ( )0 6040 60 200 120? = + × = Vuu cc 120)0()0( == ? 换路后 关键求 RC 先求 R 求 C 两端的等效电阻 ?=+= 10028060R sRC 66 1021002.0100 ?? ×=××==t 0tV 120120)( 56 105102 ≥== ×?×? ? t t c eetu 由电容元件的 VAR 0tA 2.1)105(12002.0)()( 55 1051055 ≥=×?××?=?= ×?×? ttc eedt tduCti 利用电阻并联的分流公式可求出 )(tuo (略 ) 2 RL 电路的零输入响应 t<0 ooL IRUi ==? 1 )0( t>0 oLL Iii == ?+ )0()0( 0≥t 的电路如图 b dtdiLtu LL =)( )()( tRitu LR ?= 16 由 KVL L didt RiL L+ = 0 特 征方程 0 ?=+ RLp LRp ?= tL R L Aeti ?=)( 代入初值 得 oIA = 故 0tA )( ≥= ? tL R oL eIti 令 LR → 时间常数 可利用 R 与 L → 例 励磁电路如图所示 求 u iL 解 Aii LL 40)0()0( ≈= ?+ 当 0≥t 时 sRL 5108150004.0 ?×≈+==t 04040)( 5108 ≥== ?×?? tAeeti tt L 0102)(5000)()( 5 ≥×?=?=≈ ? tVetitutu t LL 当 KVt 200u , 0 == + 分析 将被烧毁 若没有 Li 没有通路 将在开关上产生 强大的电弧光 空气开关易被强大的电压击穿 八 一阶电路的零状态响应 零状态指 0)0( 0)0( L == ++ iuc 1 RC 电路在 DC 激励下的零状态响应 图示电路中 在开关 S 闭合之前 电容未充电 即电路处于零初 始状态 0)0( =?cu S 合上 C 将被充电 0≥t 时 由 KVL 得 scR uuu =+ 把 RiuR = i C dudtc= 代入上式 得以 )(tuc 为变量的方程 S(t=0) R i C + u C - + us - + uR - V V 17 0)(t ≥=+ scc uudtduRC (* ) 这是一阶线性非齐次常微分方程 此类方程的解由两个分量组成 即 =cu +′ cu cu ′′ cu′ ── 非齐次微分方程式 (* )的一个特解 在图 中 开关 S 闭合 很久后 电容已充电完毕 这时电容电压已趋稳定 即 =′ cu =∞)(cu us (作为特解 ) cu ′′ ── 对应齐次微分方程式 RC du dt u c c+ = 0 的通解 =′′cu Ae RCt? 1 t Ae?= 式中 A ── 待定积分常数 p ── ? 1RC 为方程的特征根 RC=t ─── 时间常数 故 =)(tuc +su Ae t? 由 0)0()0( == ?cc uu 得 suA ?= =cu ?su u es t? 0)(t )1( ≥?= ? Veu t s cu′ ── 在直流或周期函数激励下的特解 一般取电路达到稳定状 态的解作为特解 (与激励形式相同 ) 故特解也称为稳态解或稳定分 量 cu ′′ ── 形式与输入激励无关 称为自由分量 与零输入响应具有 相同的模式 通常它随着时间的推移而趋于零 也叫暂态解或暂态 分量 在图示电路参 考方向下 0)(t )( ≥×== ? A eRudtduCti t sc 2 RL 电路在恒定输入的零状态响应 K 闭合之前 电感中无电流 电路处于零状态 iL ( )0 0? = 当 t=0 K 闭合 由 KVL sRL uuu =+≥ 时0t 0)(t ≥=+ sRL uudtdiL (** ) 18 将 u L didtL L= u RiR L= 代入 式 (** ) 有 +dtdiL L =LRi us ( 0t ≥ ) 解之 LLL iii ′′+′= 稳态分量 Ruii sLL =∞=′ )( 暂态分量 t s t pt L eR uAeAei ?? ?===′′ 0)(t )1()( ≥?= ?? AeRueRuRuti t s t ss L 0)(t )( ≥== ? VeudtdiLtu t s L L 例 P.110 例 5 5 作业 P.122 5 7 5 8 5 10 5 11 5 15 19 5 3 一阶电路的全响应 三要素法 一 全响应 在非零初始状态和外部输入共同作用下的响应称为全响应 对线 性电路 由叠加定理可知 全响应 零输入响应 零状态响应 下面以 RC 电路为例进行讨论 u u c o( )0+ = uc ( )0 0+ = u uc o( )0+ = (a) (b) (c) (1) )1()()1( RC t sc eutu ??= (2) )()2( RC t oc eutu ?= 由叠加定理 零状态 )1()( RC t sc eutu ??= 零输入 RC t oeu ?+ (* ) sRC t so ueuu +?= ?)( 稳态响应暂态响应 强制分量自由分量 RC t oRC t s e R ue R utititi ?? ?=+= )()()( )2()1( (** ) 从上面的分析 可以得到 全响应 稳态分量 暂态分量 全响应 强制分量 自由分量 43421443421 稳态分量 响应暂态分量 响应 )()( sRC t soc ueuutu ??= 在实际问题中 往往并不要求算出全响应的分量 可以通过某 种途径直接写出结果 即 三要素法 二 三要素法 一阶电路的微分方程为 a df tdt bf t g t( ) ( ) ( )+ = 上式为一阶常系数微分方程 a b 为常数 g t( ) 则取决于激励 源 其通解表达式为 20 )0( )()( ≥+= tAetftf pt特 当 += 0t 时 Aff += ++ )0()0( 特 )0()0( ++ ?= 特ffA 全响应 ptefftftf )]0()0([)()( ++ ?+= 特特 )(tf 特 一般是可以通过换路后达到新稳定状态时的电路 (终值电 路 )来求解 即 )()( tftf 新稳特 = 若激励为直流 则此特解为一常数 (直 流稳态响应 ) 当 t→∞时电路才进入稳定状态 )()( ∞= ftf 特 )()0( ∞=+ ff 特 pteffftf )]()0([)()( ∞?+∞= + 式中 f ( )∞ f ( )0+ ?p 1?= 称为三要素 (1) t1?=p 通过换路后的电路结构求得 RLRC Lc == tt (2) f ( )0+ 通过换路定理和 0 等效电路来求 (3) f ( )∞ 可通过换路后 ∞=t 达到新的稳态电路来求 此时 C 开路 L 短路 例如 Veuuutu t cccc )]()0([)()( ? + ∞?+∞= Aeiiiti t LLLL )]()0([)()( ? + ∞?+∞= 举例说明方法 步骤 例 图示电路 求 ?)(3 =ti )0( ≥t 解 t = ?0 时 电路如图 (b)所示 有 i A3 0 1020 30 02( ) .? = + = 由换路定律 i i A3 30 0 02( ) ( ) .+ ?= = 换路后的稳定状态 ( ∞→t ) 电路如图 (c)所示 ? 21 有 ARR R RR RRR ui s 143.0)( 32 2 32 32 1 3 =+× + ×+=∞ 用分流公式 以下求 换路后的电路 令电压源 us 短路 即除源 电路如 图 d 所示 sRL 351==t 0)( 0.057e+0.143= 0.143)-(0.2+0.143= )]()0([)()( 35t- 35 3333 ≥ ∞?+∞= ? ? + tA e eiiiti t t 下面画出波形 例 开关 S 在 0=t 时由 1→2 mst 10= 时 再从 2→1 试求 u tc ( ) 并画出波形 解 分段讨论 用三要素法 t<0 S 在 1 电路处于稳态 Vuc 5)0( ?=? mst 100 << S 从 1→2 这时 Vuu cc 5)0()0( ?== ? Vuc 10)( =∞ msRC 151011015 63 =×××== ?t t cccc euuutu ? + ∞?+∞= )]()0([)()( ms t e 15)105(10 ???+= Ve ms t 1510 15??= mst 100 << mst 10≥ S 从 2→1 这时 Vemsumsu ms ms cc 3.21510)10()10( 15 10 =?== ??+ Vuc 5)( ?=∞ msRC 151011015 63 =×××== ?t 0.2 0.143 A t )(3 ti 22 )10( 3.75 )]()10([)()( 15 10 15 10 mst Ve eumsuutu ms mst ms mst cccc ≥+?= ∞?+∞= ?? ?? +故 波形如下 例 图中 0=t 时 1S 闭合 在 st 1.0= 时 闭合 S2 求 S2 闭合后的 电压 )(tu 的表达式 解 0<t 0)0( =?cu st 1.00 << =)0(cu 0)0( =?cu Vuc 20)( =∞ sKF 2.0504 =?×= mt t cccc euuutu ? + ∞?+∞= )]()0([)()( Ve t 2020 5??= (也可直接用 零状态响应公式写出 ) t s≥ 01. Vesusu cc 87.72020)1.0()1.0( 1.05 =?== ×??+ Vuc 20)( =∞ sFK 1.04250 =×?= mt 故 V 13.1220)2087.7(20)( )1.0(101.0 1.0 ?? ?? ?=?+= t t c eetu dt duC dt tduC titu c c ××= ××=××= 3 33 1025 10502 )( 1050)()( 0.1s 13.12 )10()3.12(1041025 )1.0(10 )1.0(1063 ≥= ?×?××××= ?? ??? tVe e t t )(tu c 2.3V 0 5V 10ms t(ms) 23 例 图示电路 0<t 时开关打开已久 在 0=t 时开关闭合 求 )(tu 解 由换路定律求电压 )(tu 的初始值 )0( +u == ++ )0()0( cuu Vuc 212)0( =×=? 换路后电压 )(tu 的稳态 分量 Vu 3212 121)( =+××=∞ 换路后电路的时间常数 RC=t R 为电容元件所接二端网络除源 后的等效电阻 它相当于 ?2 和 ?1 电阻并联 所以 ss 46 1021030012 12 ?? ×=××+×=t 0 3432 )]()0([)()( 4105.0 ≥+= ∞?+∞= ×? ? + tVe euuutu t t i 例 图示电路 已知 VUs 12= ?=== kRRR 3321 0=t 时 开关 K 打开 经 后又合上 求 解 1 10 tt <￡ K 断开 (1) 初始值 在 时刻电容相当于短路 所以 应由 与 分压确定 即 (2) 稳态分量 电路达到稳态时 C 相当于开路 此时 可由 串联分压确定 + uC - 1A 2 1 S(t=0) + u( t) - C R1 R2 R3 K + uS - + u3 - + uC - 24 (3) 时间常数 2 在 时 K 又合上的情况 (1) 初始值 (2) 稳态分量 当 时 支路被短路 (3) 时间常数 波形如下 作业 P. 123 5- 12 5- 13 5- 14 6V 4V 2.528V - 2.528V t(ms) C R1 R2 R3 K + u S - + u3 - + uC - 25 5 4 阶跃函数和阶跃响应 一 阶跃函数 1 单位阶跃函数 的定义 如上图 在 处不连续 上述函数的电路模型 表示 1V 直流电压源在 时 接入电路 在此之前该电路一直处于输入短路状态 如下图所示 2 延迟阶跃函数 3 表示在 区间内即为原函数 区间恒为零 同理 由此可以看出 阶跃函数 可以表示电路的激励和响应 如 RC 零状态响应电路中 电路的激励 电路的响应 0 1 单位阶 跃函数 0 1 t0 t 0 0 t 25 例 用阶跃函数表示以下图中所示波形 解 解 解 解 二 阶跃函数在一阶电路中的应用 例 1 若 即相当于在 时 S 合上 故 2 若 即相当于在 S 合上 故 说明 由 时不变电路 的性质得到 作用下 响应为 则 25 作用下 响应为 例 开关 S 在 时由 1→2 时 由又 2→1 试求 并画出波形 例 解 时 当 时 因此 当 当 当 波形如右下图 作业 P. 124 5- 17 5 18 25 6 1 二阶电路的零输入响应和全响应 电路中含有两个动态元件的电路需用二阶微分方程来描述 故称 为二阶电路 二阶电路的分析仍然是采用由 KVL KCL 及 VAR 建立 方程再求解的方法 分析线性二阶电路的问题也就是求解二阶线性 常微分方程的问题 本节以 RLC 串联电路 的零输入响应为例分析二阶电路 如下图 所示 对于每一个元件 由 VAR 得 (a) (b) (c) 由 KVL (1) 这是一个二阶线性常系数微分方程 为了求出未知量 必须 知道两个初始条件 即 及 其中 即 (电容的初始状态 ) (电感的初始状态 )为此方程的两 个初始条件 对于零输入响应 即 时电路的响应 式 (1)变为 (2) 由微分方程理论可知 这一齐次方程解答的形式将视为特征根的 性质而定 式 (2)的特征方程为 (3) 解之 + u C - C i +uL - +uR - L R + US - 25 (此式对换路 除源 RLC 串联电路的任何响应变量均适用 故 今后对 这类电路可不必再列方程 ) 即特征根 称为电路的固有频率 由于 R L C 数值不同 和 有三种情况出现 1 当 时 和 为不相等的负实数 2 当 时 和 为两相等的负实数 3 当 时 和 为一对共扼复数 实部为负数 下面分别讨论这三种情况下 RLC 电路的零输入响应形式 一 RLC 串联电路的零输入响应──过阻尼情况 零输入情况下 RLC 串联电路如上图所示 初始状态 已 知 当 即 时 固有频率 (特征根 )为不相等的负实 数 所以 (4) 其中 和 由初始条件确定 方法如下 因 和 为不相等的负实数 可令 这样 为两正实数 (* ) 由 得 C i +uL - +uR - L R + u C - 25 (** ) 可见 不论是 还是 都是由随时间衰减的指数函数项来表 示的 这说明电路响应是非振荡性的 当 R 较大 符合 响应便为非振荡 称为过阻尼情况 例 图示电路 时 试求 及 解 电路微分方程 特征方程 得 由 得 从而有 V A 当然 及 可直接由式 (* ) (** )写出 响应曲线可定性做出 P.128 图 6 3 + uC - C i +uL - +uR - L R + US - 25 讨论 由 且 又 由 … 能量过程 由曲线可看出当 即电容电压变化率为正 电容电压上升 当 达最大 当 时 下降 和 的 零输入响应都从初始值开始 最后趋于零 二 RLC 串联电路的零输入响应──临界阻尼情况 在上题图中 如果 即 时 固有频率 (特征根 ) 为相等的负实数 即 齐次方程的解可表示为 常数 和 由初始条件确定 方法如下 (5) (6) 从式 (5) (6)可见 ,电路响应仍为非振荡的 若 稍减小一点 ,以致 当 R 较大 L 释能时 还不能再使 C 充电 这 时电路响应不形成振 荡 25 则响应将为振荡的 (下面讲述 ) 因此 当符合 时 , 响应处于临界振荡状态 ,称为临界阻尼状态情况 三 RLC 串联电路的零输入响应──欠阻尼情况 当 即 时 固有频率 (特征根 )为共轭复数 可表示为 其中 在这种情况下 下面来确定 和 可得 (7) 其中 式 (7)说明 是衰减振荡 如图 6 6所示 它的振幅 是随时间 作为指数衰减的 为衰减系数 越大 衰减越快 是衰减振 荡的角频率 越大 振荡周期越小 振荡加快 综上所述 RLC电路零输入响应的性质取决于电路的固 有频率 p p 可以是复数 实数或虚数 从而决定了响应为衰减振荡过程 非 振荡过程或等幅振荡过程 在网络理论中 p 是一个重要的概念 四 直流 RLC 串联电路的完全响应 + uC - C i +uL - +uR - L R + US - 25 KVL (8) 这是一个二阶非齐次常系数常微分方程 解为 根据特征根的三种不同情况 有三 种形式 相应的完全解形 式为 1 当 在过阻尼情况下 (a) 2 当 在临界阻尼情况下 (b) 3 当 在欠阻尼情况下 (c) 和 可由初始值确定 例 P.134 例 6 6 五 直流 GLC 并 联电路的完全响应 GLC 并联电路是另一种简单的二阶电路 如图所示 由 KCL 代入上式 得 解这个非齐次二阶微分方程可求得 + u( t ) - C iS (t) iC (t) iG (t) iL (t) R L 25 P.136 式 6 34(略 ) 25 例 已知电感 电容无初始储能 t=0时 开关由 1打向 2 求 解 KVL KCL 得 (1) 而 (特解 L 短路 C 开路 ) 又 可得到 0+电路 L 相 当于开路 C 相当于短路 所以有 式 (1) 对应齐次方程对应的特征方程为 有特征根 所以 代入 得 解之 故 同理 2 iL IS =0.1A 400 0.1H 0.2 F + u c - S ( t =0) 1 25 得 作业 P.137 6 2 25 一阶动态电路例题 例 有一纯电阻网络 N 接成图 (a)时 测得 接成图 (b) 时 测得 如接成图 (c)时 并已知 试以求 时的 和 解 由图 (a)和 (b)可知电阻网络 N(包括电源 10V 在内 )的开路电压 为 6V 短路电流为 5mA 并由此求出等效有源二端网络的等效电阻 即 图 (c)的戴维南等效电路如图 (d)所示 用三要素法计算 (1)确定初始值 (2)确定稳态值 (3)确定时间常数 于是得 例 如图电路 时开关 S 闭合 已知 受控源 的控制系数为 g (1) 若 求电容电压 (2) 若 求 (3) 分析 判断电路的工作情况 解 这里只求电容电压 我们 将除电容以外部分的电路看作是一端 (d) 25 口电路 求出它的戴维南等效电路 设端口处电流 i 如图 (a)所示 求出其伏安特性 由下图 (a) 根 据 KVL 有 根据上式可作戴维南等效电路 如图 (b)所示 (1) 当 时 不难求得 由已知 按三要素法写出电路的响应 电路及其波形如下图 (2) 当 时 不难求得 25 由 已知 按三要素法写出电路的响应 电路及其波形如下图 由上图 (b)可见 电压 随着 的增加而无限增高 这在实际电 路中是不可能的 因为实际元件通常只在一定的工作电压 (或电流 ) 的范围内才能看作是线性的 超出一定范围 将受到元件非线性特 性的限制 甚至使元件损坏 电路不能正常工作 例 P.123 5 10 先 画出关于电容 C 的戴维南等效电路 例 P.123 5 11 先画出关于电容 C 的戴维南等效电路 例 P.124 5 18