第三章 电路的一般分析法
前面讲的等效变换法可用来
分析简单电路
使复杂电路的局部得到简化
而对于复杂电路的一般分析 就要采用 系统化 的普遍方法
系统化──便于编制程序
普遍性──适用于任何线性电路
总的思路 (步骤 )
1) 选择一组完备的独立变量 可选的 电路变量 有 电流 电压
独立性──各变量不能相互表示
完备性──其它电压 电流可由它们表示
2) 由 KVL KCL 及元件的 VAR 建立方程
3) 求解方程 得到这些独 立变量 进而解出其它待求量
电路的一般分析法主要有
支路法 (支路电流法 ) 以支路的电流为变量 列写方程
回路法 (网孔法 ) 以网孔电流为变量
结点 法 以 结点 电压为变量
3 1 支路电流法
以图示电路为例来说明支路法的应用 图中 支路数 b=3 结点
数 n=2 回路数 l=3 网孔数 m=2
原则 以支路的电流为变量 列写方程 求解电路 参数
支路电流法的步骤
1) 在图中标出支路电流的参考方向
2) 列出 (n 1)个独立 结点 的 KCL 方程 这里 即
? ? + =I I I1 2 3 0 (1)
3) 列出 m b n 1个独立回路的 KVL 方程 (每选一回路 均有
新支路 通常可选网孔 )
这里即
??
?
=+
?=?
(3)
(2)
23322
212211
s
ss
UIRIR
UUIRIR
4) 联立求解这 b 个方程 得出支路电流 进而由支路 VAR 求出
各元件电压降 功率等变量
例 上图中 ??=?=== 24 6.0 1 117 130 321s21 RRRVUVUs
求 吸吸 2121 UsUs PPII
解
? ? + =
? = ?
+ =
?
??
??
I I I
I I
I I
1 2 3
1 2
2 3
0
06 130 117
0 6 24 117
.
.
I A
I A
I A
1
2
3
10
5
5
=
= ?
=
?
??
??
Pus1 吸 WIUs 130011 ?=?=
Pus2 吸 WIUs 58522 =?=
电路中存在电流源 如下图 由于电流源所在支路的电流为已知
则待求支路电流少一个 为 b 1 3个
处理方法
1) 列出 (n 1) 1个 结点 的 KCL 方程 0231 =++? IIII S
2) 选一组独立回路 使电流源仅包含在其中的一个回路中 即
l l l1 2 3列方程时 先列出 l1和 3l 的 KVL 方程
233223
133111
:
:
s
s
URIRIl
URIRIl
?=??
=+
联立上面的 3个方程 求出未知量 321 , , III
此外 也可以采用 P. 45 例 3 1中的方法 增设 SI 的端电压 XU 为
未知量 再按一般支路法列出 b 个方程求解
当电流源有一电阻与之并联 (称有伴电流源 )通过电源等效变
换成有伴电压源来取代 然后再列 KCL KVL 方程 本图可首先求
出 1I 2I 回到原图 由 KCL 求出 3I
例 电路如图所示 试求流经 15 电阻的电流 I
解 先指定各支路电流的参考方向 2I 即为电流源的电流值 所
以 AI 12 =
对 结点 a 列 KCL 方程 有
01121 =+??=+?? IIIII
对左面的网孔列 KVL 方程 有 201510 1 =+ II
解上述两个方程 有 AI 2.1=
例 P. 45 例 3 2
作业 P. 62 3 1(1)
1A 15
25 10 a
I + 20V
-
I1 I2
3 2 电路方程的独立电流变量和独立电压变量
电路约束 元件 VAR
支路连接约束 网络拓扑──网络图论
这里介绍一些概念 从而了解一下电路方程的独立性
一 电路的图 (线图 )
电路的图是支路与 结点 构成的集合 其支路用线段表示 如
P. 49 图 3 10 可用如下的图分析其拓扑结构
连通图 (主要研究 ) 概念 P. 46
非连通图 图 3 4 (c)
二 树 树支 连支
1 树 不包含回路 关联所有 结点 的支路集合 如上图的树有
同一网络的线图 树的结构很多 如上例 共有 16 个树
2 树支 构成树的支路 树支数 n 1
3 树余 对应一个树的其余支路的集合
4 连支 树余的支路 可见连支数 l=b (n 1) b n 1
三 割集的概念 (用 fQ 表示 )
割集是指连通图中符合下列条件的支路的集合
1 当将该集合除去时 使连通图成为两个分离的部分
2 如只是少移去其中任何一条支路 图形仍然连通
如下图
),,( ),,,( 21` fdaQcbaQ 构成割集 但 ),(3 ecQ 不是割集
1
2 4 3
1
2
3
4
1
2 3 4
1
2 3 4
四 独立电压变量
只要选定一树 就可确定一组基本回路 (单连支回路 ) 从而得到
一组独立的回路 即可选树支电压为变量 n 1个
五 独立电流变量
全部的连支电流为一组电路变量 b n 1个
练习 P. 64 3 14
1
2 4 3
1Q
3Q
2Q
a c
d e
f
b
3 3 网孔分析法和回路分析法
一 网孔分析法
1 网孔电流
1) 可以证明 在平面网络中的网孔数 1+?= nbm
2) 网孔电流──是一种沿着网孔边界流动的假想电流 如下图
所示的 I l1 I l2 这里网孔电流数 网孔数 电路中所有的支路电流
都可以用网孔电流来表示 即 I I l1 1= I I l3 2= ? I I Il l2 1 2= ? 此外 所
有支路的电压都可以由网孔电流表示 所以网孔电流可 做为独立的
电路变量 个数为 1+?= nbm 个 比支路电流法 (n 1)个 网孔
方程少 (只剩下 KVL) 便于求解
为了求出网孔电流 关键要列出网孔方程
2 网孔方程的规律
如上图 沿回路 (网孔 )绕行方向列写 KVL 得
R I R I R I U U
R I R I R I U U
l l l s s
l l l s s
1 1 2 1 2 2 1 2
2 2 3 2 2 1 2 3
+ ? = ?
+ ? = ?
??
?
(* )
经整理得
??
?
?=++
?=?+
3223212
2122121
)(
)(
ssll
ssll
UUIRRIR
UUIRIRR (** )
上式也可写成下面的形式
R I R I U
R I R I U
l l s
l l s
11 1 12 2 11
21 1 22 2 22
=
+ =
??
?
(*** )
式中 R R11 22分别成为网孔 1 网孔 2 的自电阻 (恒正 ) 它们分
别是各自网孔内所有电阻的总和 例如 2111 RRR R R R22 2 3
而 R12称为网孔 1 和网孔 2 的互电阻 (可正 可负 ) 它是该两个网孔
的公有电阻 即 R R12 2 这里出现 是由于网孔电流 I l1和 I l2 方
向相反 如果 I l1和 I l2 同方向流过互电阻取
对于 m 个网孔的电路 可得网孔方程的一般形式
?
?
?
???
?
=+
=+
=
smmmmmlmlm
smmll
smmll
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
22211
2222222121
111212111
如何确定各系数呢 各系数有何规律呢
1) R11 R22 Rmm──网孔 1 2 m 的自电阻 ( )
2) R12 R21──网孔 1 2的公有电阻 为互电阻 仅当 I l1和 I l2 在
此电阻同方向时取 反之取 无受控源时 R R12 21 R Rm m2 2=
等等
3) U s11 U s22 U smm ──网孔 1 2 m 沿 I l1 I l2 I lm方
向的电压源的电位升的代数和
下面通过 例 子 来具体说明网孔分析法的具体步骤 讲解如何直接
利用 自电阻 互电阻 电压源的电位升代数和 来列方程
例 图示电路 已知 VUs 211 = VUs 142 = VUs 63 = VUs 24 = VUs 25 =
R1 3= ? R2 2= ? R3 3= ? R4 6= ? R5 2= ? R6 1= ? 求各支路电
流
解 由概念直接列网孔方程
1lI ( )R R R I R I R I U Ul l l s s1 4 6 1 6 2 4 3 1 4+ + ? ? = ?
I l2 ? + + + ? ?R I R R R I R I U Ul l l s s6 1 2 5 6 2 5 3 5 2( )
I l3 ? ? + + + = ? +R I R I R R R I U U Ul l l s s s4 1 5 2 3 4 5 3 3 5 4( )
代入数据
10 6 19
5 2 12
6 2 11 6
1 2 3
1 2 3
1 2 3
I I I
I I I
I I I
l l l
l l l
l l l
? ? =
? + ? = ?
? ? + =
?
??
??
解得 AIl 31 = I Al2 1= ? I Al3 2=
由已知网孔电流求取各支路电流
I I Al1 1 3= I I Al2 2 1= I I Al3 3 2=
I I I Al l4 1 3 1= I I I Al l5 2 3 3= ? I I I Al l6 1 2 4=
1lI
3lI
2lI
3 电路中含受控源的处理
处理方法实际上相同 把受控源当作独立源来处理 并追加确定
受控源的方程
例 P. 51 例 3 5
4 含电流源 sI 的处理
1) 如果电路中含有电流源和电阻的并联组合 则把它们等效变
换为电压源和电阻串联组合 然后再列方程 即 I s 有伴 →Us 有
伴 →基本步骤
2) I s 无伴 增设电流源的电压 U I 为方程变量 列写 KVL 方程
时 路过 I s 就以 U I 代入 最后增补与 I s 有关网孔电流的关系式
例 列出图示电路 (a)的网孔方程
解 增设 IU 设网孔电流 I1 I 2 I 3 沿顺时针方向
?
?
?
???
?
=?
=+??
=?+?
?=??
7
632
036
723
31
321
321
321
II
UIII
III
UIII
I
I
例 上图 (b)为晶体管低频小信号放大的电路模型 已知电路参数
为 R Kb = 1 ? ?= KRe 50 R Kf = 200 ? R KLd = 10 ? m= × ?2 10 4
á=50 设输入信号电压 Ui 10mv 求输出电压 U o
解 本题说明用网孔电流法分析计算含受控源电路的一般步骤
电路中有两 个受控源 U o 是 VCVS 可将其等效转换为 CCVS 即
m m mU R I R Io Ld c Ld c= =( )
aI b是 CCCS 可将它连同并联电阻 Rc 转换为 eRa Ib 串联电阻 eR
成为 CCVS 如图 (c)所示 设网孔电流 I1 I 2 I 3 沿顺时针方向
列网孔电流方程 并注意到 Ib I1 I 2 I c I 3 该电路的网孔方程
为
回路 1 R I R I U R Ib b i Ld1 2 3? = ? m
回路 2 )()( 213321 IIRIRIRIRRRIR eLdecfbb ?+=?+++? am
回路 3 )()( 2132 IIRIRRIR eLdee ??=++? a
将元件量值代入并整理 得
I I I
I I I
I I I
1 2
3
3
3
1 2 3
1 2 3
2 10 10 10
2501 2751 50 002 0
2500 2550 60 0
? + × = ×
? + ? =
? + =
?
??
??
? ?
.
解得 mAI 4347.03 ?=
V 347.43 ?== IRU Ldo
二 回路分析法 (自学 )
作业 P. 62 3 2 3 3 3 4
3 4 结点 分析法
一 结点 电压
先说明 结点 电压是一组独立电压变量
结点 电压──电路 结点 与参考 结点 (零电位 )之间的电压 数目 (n
1)个
支路电压 两 结点 电压之差
如图 (a)
n 3 需要假设的 结点 电压数 n 1 2 UG1 U1 UG 2 U1 U 2
UG 3 U 2
I G U1 1 1 2122 UUGI I G U3 3 2
二 结点 方程的规律与列写步骤
如图 (a) 由 KCL 得 独立 结点 数 n 1
n1 11UG )( 212 UUG I s1
n2 23212 )( UGUUG +? Is3
??
?
323212
122121
)(
)(
s
s
IUGGUG
IUGUGG G U G U I
G U G U I
s
s
11 1 12 2 11
21 1 22 2 22
+ =
+ =
??
?
这里 1) G11── n1 关联的所有电导之和 自电导 ≥0
2) G12 G21── n1 n2 共有电导之和的负值 互电导 ≤0
3) I s11──注入 结点 n1 的电流源代数和 (流入为 流出
为 ) 如果电路中存在有伴电压源 先转为有伴电流源
对于 n 个 结点 (独立 )一般形式
?
?
?
???
?
=+
=+
=+
snnnnnnn
snn
snn
IUGUGUG
IUGUGUG
IUGUGUG
2211
222222121
111212111
列写步骤
1) 指定参考 结点 (零电位点 ) 标出 结点 号 (选取变量 )
2) 直接按 自电导 互电导 注入某 结点 电流源代数
和 的概念列写 结点 方程 (有伴电压源 ?有伴电流源 )
3) 求解 结点 电压 再求取其它量
例 列出图示 (b)电路 结点 方程
解
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1
1 2 6
1
2
2
6
3
1
1
2
1
2 3 4
2
4
3
6
1
4
2
4 5 6
3
R R R U R U R U
U
R I
R U R R R U R U
R U R U R R R U I
n n n s
n n n
n n n s
?
??
?
?? = ?
+ ??? ??? =
+ ??? ??? =
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
结点 分析法的讨论
1) 特例 n 2 (n 1 1)时 弥尔曼定理 只含一个 结点 电压
方程
对图 b 结点 方程为
33221114321 )( sssn UGUGUGUGGGG ++=+++
有 U GUGn s1 ∑ ∑
例 P. 69 3 12(考虑 K 闭合时 )
2) 含独立无伴电压源
法 1 尽量以无伴电压源的某一极作为参考点 则另一极电位已
知 不必列该 结点 方程
例 P. 63 3 12列出图示电路的 结点 电压方程
解 V51 =nU
3Un1+(2 3)Un2 3+10 I1
I1 =2Un2
法 2 当无伴电压源多于 1个且无公共端时 要将多余的 (或全部 )
无伴电压源的电流作为变量 相应地再补充无伴电压源与其两端 结
点 电压的关系式
例 P. 58 例 3 11 图 (b) (比较参考点的选择 )
3) 含受控源
把受控源作为独立源看待 再处理控制变量
例 P. 59 例 3 13
4) 利用 结点 电压法求解运算放大电路
对电路中的 结点 进行分析 列出 结点 方 程 由于运放输出端的电
流无法确定 故不能对输出端 结点 列方程 这一方程可由虚 短 方程
ba UU = 弥补
例 用 结点 法求图示电路的 UUo
i
(输出电压与输入电压之比 )
解 用 结点 法列写 结点 方程 用 虚 短 规则
结点 ( )G G G G U G U G U G Un o n i1 2 3 4 1 3 4 2 1+ + + ? ? =
结点 ? + + ? =G U G G U G Un n o4 1 4 5 2 5 0( )
由 虚 短 ba UU = 得 U Ua n= =2 0
1 2 3
1 2
上方程变为
( )G G G G U G U G UG U G U n o i
n o
1 2 3 4 1 3 1
4 1 5 0
+ + + ? =
? ? =
??
?
则 UUo
i 4354321
41
)( GGGGGGG
GG
++++
?
不能对输出点列 结点 方程
例 求图示电路
i
o
U
U
解 ionn URURURURRR
13
3
2
1
321
111111 =??
???
?
???
? ++
0111
5
2
54
=???
?
?
???
? +
on URURR
由 虚短路 规则 23 nn UU = 01 =nU
ion URURUR
13
2
2
111 =?? 消去
oU
0111
5
2
54
=???
?
?
???
? +
on URURR
( )
( )5242431
5432
RRRRRRR
RRRR
U
U
i
o
++
+=
练习 P. 57 例 3 10
作业 P. 63 3 6 3 8 3 9 3 10 3 16
R1
R2 R3
R4
R5
+
U i
-
+
-
Uo
3 5 电路的对偶性
在以上的研究中 我们可以发现 电路中的许多变量 元件 结
构及定律都是成对出现 并且存在相类似的一一对应特性 这种特
性就称为电路的对偶性 譬如 对电阻元件 其 元件约束 关系是欧姆
定律 即 RIU = 或 GUI = 如果将一个表达式中的 U 与 I 对换
R 与 G 对换 就得到另一个表达式 电路中 结构约束 是基尔霍夫定
律 在平面电路中 对于每个 结点 可列一个 KCL 方程
∑ = 0kI
而对每个网孔可列一个 KVL 方程
∑ = 0kU
这里 结点 与网孔对应 KCL 与 KVL 对应 电压与电流对应
具有这样一一对应性质的一对元素 (电路变量 元件 参数 结构
定律等 ) 可称为对偶元素 电路中的一切公式和定理都是从电路的
结构约束和元件约束推导出来的 既然这两种约束都具有对偶的特
性 那么由它们推导出的关系显然也会有对偶特性
从上述讨论中可知 如果电路中某一定理 公式或方程的表述是
成立的 则将其中的元素用其相应对偶元素置换所得到的对偶表述
也成立
电路的对偶特性是电路的一个普遍性质 电路中存在大量对偶元
素 以下是一些常用的互为对偶的元素
电压 电流
磁链 电荷
电阻 电导
电感 电容
电压源 电流源
开路 短路
CCVS VCCS
VCVS CCCS
串联 并联
网孔 结点
回路 割集
树支 连支
KVL KCL
例如
对于上图中的电路 图 (a)的网孔方程 (网孔电流均为顺时方向 )和
图 (b)的 结点 方程分别为
比较这两组方程 可看出 它们的形式相同 对应变量为对偶元
素 所以通常把这两组方程称为对偶方程组 电路中把像这样一个
电路的 结点 方程与另一个电路的网孔方程对偶的两电路称为对偶电
路 显然 上图中 (a)和 (b)两电路是对偶电路
