第二章
电路的等效变换
2 1 等效二端网络的定义 电阻串并联电路
一 等效二端网络的定义
1 二端网络的定义
在电路分析中 可以把互连的一组元件 看 作为一个整体 如图 (a)
所示 ( R3 R4 R5这一部分电路 ) 当这个整体只有两个端钮 与外部
电路相连接 则不管它的内部结构如何 我们统 称它为二端网络或
单口网络 可以用图 (b)中的 N 来表示
特点 二端网络 中 从一个端钮流进的电流必定等于另一端钮流
出的电流 该电流 I 称为端口电流 U 为端口电压
2 等效
二端网络 N1的 (VAR)与另一个二端网络 N2 的 (VAR)完全相同 则
称 N 1 N2 完全等效 这里的 等效是指对任意的 外电路 等效 对内部
不等效
目的 引入等效概念 可大大简化二端网络 以利分析
二 电阻的串联电路 (流 过同一电流 )及分压公式
在电路中 把几个电阻元件依次一个一个首尾连接起来 中间没
有分支 在电源的作用下流过各电阻的是同一电流 这种连接方式
叫做电阻的串联
图示电路表示几个电阻串联后由一个直流电源供电的电路 U 代
表总电压 I 为电流
N 1和 N2 两个二端网络 运用等效概念 1N 可等效为 N2 (一个电阻
Rab )
由 KVL U U U1 2+ + +Un
由 VAR U R I R I1 1 2 2+ + +R In n=(R R1 2+ + + R In )
对 N2 VAR IRU ab= 这里称 Rab为 等效电阻
串联 (n 个电阻 )等效电阻 R Rab k
k
n
=
=
∑
1
等效电阻如图 b
等效电阻必大于任一串联电阻 即 kab RR >
而第 k 个电阻上的电压为
下面再看 P UI R I R I1 2 2 2+ + +R I R In ab2 2=
此式表示 n 个串联电阻吸收的总功率等于它们的等效电阻所吸
收的功率
电阻串联时 各电阻上的电压为 此式称分压公
式
例 P. 23 例 2 1
三 电阻的并联 (加的是同一电压 )(及分流公式 )
图示为 n 个电阻并联 电阻并联时 各电阻上的电压相同
设 a b 两端电压为 U 总电流 I G G1 2, Gn为各电阻的电导
I I1 2, nI 为流过各电阻的电流
由 KCL GUUGGGRURURUIIII n
n
n =+++=+++=+++= )( 21
21
21 LLL
G G G= + +1 2 +G Gn k
k
n
=
=
∑
1
或 1 1
1R Rkk
n
=
=
∑
G 称为并联电阻的等效电导 等效电路如图 (b)
再由 P UI (G G1 2+ + +Gn )U 2 =GU 2 =P 总 得到 n 个并联
电阻吸收的总功率等于它们等效电阻所吸收的功率
U
R
RU
n
k
k
k
k ∑
=
=
1
── (分压公式 )
URRIRU
ab
k
kk ==
电阻并联时 各电阻中的电流为 IGGUGI kkk == 称为 分
流公式 可见 各个并联电阻中的电流与它们各自的电导值成正比
如图 两个电阻并联时 其等效电阻 R 可计算如下
此时分流公式为 I RR R I1 2
1 2
= + I RR R I2 1
1 2
= +
我们看 R R RR Rab = +1 2
1 2
有两个特例
1) R R1 2= 时 则 R Rab = 12
2) R R1 2<< 时 R Rab = 1
例 求图示电路中的 oI 及 oU
四 电阻的串并联 (混联 )
如图所示电路 中 既有电阻串联 又有电阻并联 这种连接方式
叫电阻的串并联 (混联 ) 这种电路称为简单电路 可利用一 二结论
逐步化简
21
21
21
21
//111 RRRR RRRRRR ab
ab
=+=?+=
?1 ?1?1
?5.0?90
A16
oI oI
oI2
oI2
oI4
?1 ?1?1
?5.0?90
A16
oI
?
+
oU
?
+
oU
例 求图示电路 Rab Rac
解 1) 求 Rab
2 8 被短路
Rab 4//[3+(6//6)]=4// )263( + =4//6=2.4
2) 求 Rac
原电路可改画为
Rac=[4//(3+3)]+1.6=2.4+1.6=4
在串并联电路中 对于给定的端钮 若已知电压 U(或电流 I) 欲
求各电阻上的电压和电流 其求解步骤一般是
1) 首先求出串并联电路对于给定端纽的等效电阻 R 或电导 G
2) 应用欧姆定律求出电流 (或电压 )
3) 应用电流分流 电压分压公式求出每个电阻上的电流和电压
例 图示电路 已知 ?== 50,2201 LRVU ?=100R
1) 当 ?= 502R 时 ?2 =U 分压器的输入功率 输出功率及分压器
本身消耗的功率为多少
2) 当 ?= 752R 时 输出电压是多少
解 1) 当 ?= 502R 时 a b 的等效电阻 abR 为 2R 和 RL并联后与 R1 串
联而成 所以
?=+×+=++= 75)5050 505050(
2
2
1
L
L
ab RR
RRRR
滑线变阻器 R1 段流过的电流
ARUI
ab
93.27522011 ===
负载电阻流过的电流可由分流公式得
AIRR RI
L
47.193.25050501
2
2
2 =×+=×+=
VIRU L 5.7347.15022 =×==
分压器的输入功率为 WIUP 6.64493.2220111 =×==
分压器的输出功率为 WIUP 10847.15.73222 =×==
分压器本身消耗的功率为
WIIRIRP 8.535)47.193.2(5093.250)( 222212211 =?×+×=?+=
2) 当 ?= 752R 时
AI 4.245075752 =×+= (分流公式 )
VU 1204.2502 =×=
五 梯形电路 (P. 28 自学 )
具有下图所示结构形式的电路称为梯形电路 本质为混联 (注
意分析该类电路的方法 线性处理 )
练习 老版 P. 44 2 4
作业 P. 41 2 1(a)(c) 2 2
AI
Rab
455220
55)5075 507525(
1 ==
?=+×+=
2 - 2 实际电源的两种模型及其等效变换
一 由电压源构成的实际电源模型
一般情况下 实际电压源的端电压常随输出电流而变 实际电压
源在一定范围内可用电压源 Us 串联电阻 Rs 作为模型 (如干电池 )
对此图 由欧姆定律及 KVL 可写出如 右 方程 IRUU ss ?=
当实际电源不接负载时 它处于开路状态 这时因 0=I 所以它
的端口电压等于定值电压 Us,这时的端电压称为开路电压 用 UOC
表示 Soc UU = 式中 Us为电源的开路电压 Rs 为电源内阻 又叫
电源的输出电阻
如果负载短路 实际电源处于短路状态 这时短路电流
s
oc
sc R
UI =
而端电压 0=U 由于实际电源内阻一般都很小 所以短路电流很大
以致会损坏电源 这是不允许的
实际电源的开路电压和短路电流的测量
实际电源的开路电压很容易测出 如果允许将电压源短路 只要
测出短路电流 就可以测定实际电源的内阻 R UIs s
sc
=
但对一般实际电压源是不允许短路的 那么有没有办法测出呢
如 右 下图
方法是 接上适当 R 测出 U I
则
I UUI UUR ocss ?=?=
(
s
s
sc R
UI = )
例 某直流电源的开路电压为 12V 与外电阻接通后 用电压表
测得 U 10V I 5A 求 R 及 Rs
?=?=?=
?===
4.051012
2510
I
UUR
I
UR
oc
s
二 实际电流源模型── 一般不得开路
理想电流源实际上是不存在的 总存在一定内阻 可以用理想电
流源 Is 和电导为 Gs的电阻相并联来构成实际电源的模型
由欧姆定律 KCL UGII ss ?= (VAR 曲线见 P. 32 图 2-14)
I s 为电源短路电流 sG 为电源内电导
oc
s
s U
IG =
实际电流源的 sG (内阻 sR 越大 )越小 内部分流越小 就越接近于
理想电流源
例 上图中 AI s 4= SGs 81= 当外接电阻 R=8 求 I U
ARUI
V
RG
IU
R
UUGII
s
s
ss
2816
16
8
1
8
1
4
1
===
=
+
=
+
=?=?=
解
解
三 实际电源两种模型的等效互换
在电路分析中 由等效电路 (如果两个电路对外电路的影响一致
则这两个电路等效 )的概念 电源的两种模型可等效互换 因为我们
关心的是电源对外电路的影响而不是电源内部的情况
根据等效定义 两种模型等效则它们的 VAR 完全相同 则有
ssssss RUIIRU /== 或 应注意
1 互换时要注意电压源 电压极性与电流源电流方向关系
2 两种模型中 Rs 相等 但联接方式不同
讨论
1) 当 Rs → 0 理想电压源
当 Gs → 0 理想电流源
彼此间是不能互换的 故电压源和电流源叫做独立源 有时简称电
源
2) 这种等效仅对端口外部等效 对模型内部 (虚线内部 )不等效
例 当 I 0 PRs = 0(内部 ) 而 0
2
≠=
S
s
GS G
IP (内部 ) 尽管
S
S GR
1=
但 P PRS GS≠ 然而对外部来说 它们吸收或发出的功率相等 在电
路分析中对电源用哪一种模型呢 这要视具体情况而定
例
此处讲一下电压源串联 电流源并联
例 P. 42 2 4
三 电源与支路的串并联
从外部性能等效的角度来看 任何一条支路 如图所示 电流源
sI 或电阻 R 与 Us 并联后 对外电路而言 总可用一个等效电压源替
代 电压仍为 Us
同理 任何一条支路与电流源 sI 串联后 对外电路总可用一个等
效电流源替代 等效电流源的电流仍为 sI 如下图
练习 老版 P. 45 2 8(a)(b) 2 10
作业 P. 41 2 3 2 4
2 3 运用等效 变换简化含受控源的电路
第一章中介绍了独立源和受控源 它们有不同之处 但在电路分
析中 分析方法有相似之处 对受控源也可进行电压源模型与电流
源模型的等效变换 下面通过例题来说明
注意 在化简过程中 若受控源还在 则应保留控制量
一 由受控源 电阻组成的二端网络简化
对于此类的二端网络 总能用一个 等效电阻 (或称为输入电阻 )来
等效 等效电阻该如何求呢
例 求图示含受控源一端口的等效电阻
解 这里不能简单地用串并联来处理 为求输入电阻 Ri 我们可
用欧姆定律 IURi 11 ′= 为此 我们不妨先假设在 11 ′? 端施加一激励
Us 则必有一响应──端口电流 I
这样就可以求出输入电阻 IUR si = (端口激励──响应法 ) 原电路
由 (a)→(b)→(c)等效变换
有
32
2
321 RR
IR
RR
U
R
UI ss
++++=
a
321
2131 )1(
RRR
RRRR
I
UR s
i ++
?+== a
对于上式分子中可能出现负值 故在一定条件下 含受控源的输
入电阻 Ri 可能为零 甚至为负值 (P. 34 标注 )
结论 对于一个不含独立源而只含受控源和电阻的二端网络 不
论其内部结构如何复杂 它的端口电压和电流恒成正比 即 Ri 为一
常数
分析方法 端口激励──响应法
上图中若 0=a 受控源开路 图 (a)则是简单的串并联电路
iR2a
下图中的 i 应
改为 I
二 由独立源 受控 源与电阻组成的二端网络简化
对于此类问题的简化 实际上也是寻求一个简单的等效电路
分析方法 同样可采用激励──响应法 先来看下面的例子
例 试简化图示的二端网络
对图 (b) 由 KVL 有 U I I I= ? + = +2000 500 10 10 1500 根据这个
VAR 表达式可以画出图 (c)
结论 一个 由独立源 受控源与电阻组成的二端网络 总可用 一
个电压源与一个电阻串联 来等效 (当然也可用电流源并联一个电阻
表示 ) 即
注意 含受控源电路化简 等效变换时 不能把 受控源的控制量
消除掉 例如 P. 35 例 2 12 中 I 3这条支路不能随意地化简掉
应保留 I 3支路 (请同学自学 )
例 图 (a)中虚线框内所示的电路 已知电压源电动势 VEE 3021 ==
电流源电流 AII ss 221 == 电阻 ?=?= 63 21 RR 试将这虚线框内的
电路简化为一个等效的电压源
练习 P. 42 2 8
作业 P. 42 2 6 2 7
2 4 非串 并联电路的简化
实际电路中 结构往往十分复杂 如 P. 36 图 2 23 所示惠斯顿
电桥电路 对于这种既非串联又非并联的简化如何处理呢 原则上
在特定条件下 通过局部电路的等效变换 转换为串 并联电路来
求解 下面介绍两种方法
一 具有一定对称性的电路
有些网络在电气结构上具有某种对称性质 正确地利用对称性
可大大简化分析
例 图示电阻网络 各电阻相等均为 R 求 ab 端口等效电阻 Rab
解 假设 a b 端 口加一电压源 Us 由于电路以 acb 为轴左右对
称 所以节点 p 与 p’ q 与 q’ o与 o’的电位分别相等 将等电位
点联接起来就成了图 (b)电路 相当于 acb 为轴将左右部分 对折
到左边 对应的电阻并联 (各电阻均为 R2 )
R R R RR R R Rab = + ×+ + =2 2 32 成为串并联电路
对于图 (a)还有另一种对称性 就是以 oco’为中心的上下对称
设 b点为零电位点 a点电位为 Us 则在中心线各点的电位均为 12 Us
即 o c o’三点等电位 也可联接起来 也方便求出
R R R R R Rab = + + + =2 4 4 2 32
结论 在电路分析中 如果已知或判断出电路中某两点或多点电
位 (节点电位 )相同 即可把这两个 (多个 )节点短接 来化简电路
同理 如果已知或预先判断出电路中某一支路没有电流通过 可
以把这一支路断开 即开路 (请大家自学 P. 36 图 2 24)
例 P. 37 例 2 14
二 Y 型和 D 型网络的等效变换
二者都是简单的三端网络 Y型网络和 ?型网络可以相互转换 (大
家自学 )
记住 R RY? = 3 或 R RY = ?3 (对称情况 )
练习 老版 P. 44 2 2 新版 P. 42 2 11
作业 P. 43 2 11 2 13
