杨维纮
第一章 质点运动学
§ 1.1 引言
§ 1.2 质点和参考系
§ 1.3 速度与加速度
§ 1.4 直角坐标系中运动的描述
§ 1.5 自然坐标系中运动的描述
§ 1.6 平面极坐标中的运动描述
§ 1.7 相对运动
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.1 力学的研究对象
1.1.2 时间、空间和牛顿力学的绝对量
1.1.3 宇宙的层次和数量级
§ 1.1 引 言 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
运动学,
动力学,
静力学,研究物体在力系作用下的平衡规律，同时也研究力的一般性质和力系的简化方法等。
（ 平衡方程的应用和受力分析 ）
研究物体运动的几何性质，而不研究引起物
体运动的原因 。（ 位移，速度，加速度，轨
迹等的描述和计算 ）
研究受力物体的运动变化与作用力之间的
关系 。（ 运动微分方程的建立和求解 ）
§ 1.1 引 言
经典力学适用范围,弱引力场中宏观物体的低速运动。
1.1.1 力学的研究对象
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
时间,
空间,
时间用以表述事物之间的顺序
空间用以表述事件相互之间的位形
在牛顿力学中，时间间隔和空间间隔（长度）被认为
是绝对量，是独立于所研究对象（物体）和运动而存
在的客观实在。时间的流逝与空间位置无关，空间为
欧几里德几何空间。而近代物理理论对此是否定的，
这个问题将在相对论一章中详细讨论。
没有满意的“严格”的理论定义，并不妨碍时间和空间二者
在物理中的使用，因为，物理学是一门基于实验的科学，在
考查物理学的概念或物理量的时候，首先应当注意它与实验
之间是否有明确的、不含糊的关系。对于时间和空间这两个
基本概念来说，首要的问题似不是去追究它们的“纯粹”定
义，而是应当了解它们是怎样量度的。
1.1.2 时间、空间和牛顿力学的绝对量 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
真太阳日,太阳视面中心连续两次出现在地面某处正
南方所需的时间
时间的测量,
平太阳日, 一年之内全部真太阳日的平均
秒,一个平均太阳日的 1/86,400，这种以地球
自转为基础的计时标准叫 世界时 （ UT）
1956年起改用以地球公转周期为基准的时间标准，
称为 历书时（ ET）,并规定 秒 为 1900年回归年的
1/31,556,925.9747
任何具有重复性的过程或现象，都可以作为测量时间
的一种钟 （例如，太阳的升没表示天；四季的循环
称作年；月亮的盈亏是农历的月。其他的循环过程，
如双星的旋转、人体的脉搏、吊灯的摆动、分子的振
动等等，也都可以用作测时的工具）
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
时间的测量,
1967年 10月在第十三届国际度量衡会议上规定,
位于海平面上的铯原子的基态的两个超精细能级
在零磁场中跃迁辐射的周期 T与 1秒的关系为
1秒 = 9,192,631,770 T
这样的时间标准称为 原子时
用铯钟作为计时标准，误差若按一个周期计算，测量
精度要比秒表作时计提高 倍，即误差下降到秒
表的 之一 1010
1010
自从人类发明机械计时的时钟以来,400年来时间计
量准确度的提高是惊人的，现代的原子钟的计时误差
已小于 秒 /天。目前,时间是测量得最准确的
一个基本量
1010?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
空间的测量,
长度是空间的一个基本性质
对长度的测量，在日常的范围中，是用各种各样
的尺，如米尺、千分尺、螺旋测微计等等。对于不能
用尺直接加以测量的小尺度，可以求助于光学方法。
在精密机床上常有光学测量装置；测定胰岛素中原子
的位置，是用调光衍射方法。对于大的尺度，也不能
直接用尺去测量，也要求助于光。测量月亮与地球的
距离可以用激光测距的方法，测量一些不太远的恒星，
可以用三角学方法。至于银河系之外的遥远天体的距
离，同样是用它们发光的一些特征来测定的。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
空间的测量,
米,规定为通过巴黎的自北极至赤道的子午线长度
的 1/10,000,000
1875年起，决定改用米原器（截面呈,X”形的
铂铱合金尺）作为长度标准。由于这样规定的标准米
不易复制，精度又不高
1960年在第十一届国际计量大会上规定,
1米等于氪 86原子的和能级之间跃迁时所对应的辐
射（橙色谱线）在真空中的波长 λ的 1,650,763.73倍。
这样规定的米叫 原子米
1983年 10月在第十七届国际计量大会上规定,
米是光在真空中在 1/299,792,458秒的时间间隔内所
传播的路程长度
光速,c = 299,792,458米／秒
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1,空间尺度：从极小到极大
最遥远星系
银河系
邻近恒星
太阳
地球
人类
细胞
原子
质子
夸克
1026 m
10-20 m
10-10 m
100 m
1010 m
1020 m
1.1.3 宇宙的层次和数量级 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
天体空间尺度 （ 1 光年 ～ 10
16
米）
? 地球直径 1,3 × 10
- 9
光年
? 太阳直径 1,47 × 10
- 7
光年
? 太阳系范围 1,2 × 10
- 3
光年
? 最近的恒星 4,3 光年
? 银河系范围 10
5
光年
? 最近的星系 10
6
光年
? 富星系团 10
7
光年
? 可测宇宙 1,5 × 10
10
光年
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
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1.1.3 宇宙的层次和数量级
星系的直径大约是 1021米
人造物体和自然物体的电子显
微镜照片，图中垂线是 20纳米
的聚合物纤维，有短尾的物体
是 T-4噬菌病毒
中
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科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
宇宙年龄
地球年龄
太阳绕银河系中心的轨道周期
古人类的出现
钚的半衰期
人的寿命
地球的公转周期 （ 1年 ）
地球的自转周期 （ 1天 ）
人的脉搏
人的神经系统反应时间
可听见的最高频率的声音周期
μ子的寿命
典型的分子转动周期
实验室能产生的最短光脉冲周期
π介子的半衰期
共振粒子寿命
从宇宙诞生到已知的物理定律可用的时间
6× 1017 秒
1.5× 1017 秒
8× 1015 秒
6× 1013 秒
8× 1011 秒
2× 109 秒
3× 107 秒
8.6× 104 秒
1 秒
1× 10-1 秒
5× 10-5 秒
2× 10-6 秒
1× 10-12 秒
1× 10-15 秒
2× 10-16 秒
1× 10-25 秒
1× 10-43 秒
一些典型的时间尺度
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
我们研究的对象跨越如此巨大的数量级范围，
单一的单位（如秒、米），用起来就很不方便了，
通常的做法是采用一些词冠来代表一个单位的十进
倍数或十进分数，如千（ kilo）代表倍数 103，厘
（ centi）代表分数 10-2，等等。在国际单位制中，原
来从 10-18到 1018的 36个数量级之间规定了 16个词冠，
最近又建议在大、小两头再各增加两个，共 20个词
冠，一并列在下表 1.1中。表内中译名在方括弧里的
字可以省略。这些词冠与各种物理量的单位组合在
一起，构成尺度相差甚为悬殊的大小各种单位，在
现代物理学中广泛使用着。其中有的已化作物理学
名词的一部分，如纳米（ nm）结构、飞秒（ fs）光
谱等，成为一些新兴技术的标志和象征。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
数量级
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
英文名
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
缩写符号
d
c
m
μ
n
p
f
a
z
y
中译名
分
厘
毫
微
纳 [诺 ]
皮 [可 ]
飞 [母托 ]
阿 [托 ]
仄 [普托 ]
幼 [克托 ]
国际单位制所用的词冠
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
数量级
10
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
英文名
deca
hecto
kilo
mega
giga
tera
peta
exa
zeta
yota
缩写符号
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
中译名
十
百
千
兆
吉 [咖 ]
太 [拉 ]
拍 [它 ]
艾 [克萨 ]
泽 [塔 ]
尤 [塔 ]
国际单位制所用的词冠（续）
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
目前，物理学中涉及的最长的时间是 1038 秒，它
是质子寿命的下限。宇宙的年龄大约是 6x1017秒，即
200亿年。牛顿力学所涉及的时间尺度大约是 10-5 ～
1015秒，即从声振动的周期到太阳绕银河中心转动的
周期。粒子物理的时间尺度都很小,μ子的寿命是
2x10-6秒，已经算是极长寿的了，最短寿的是一些共
振粒子，它们的寿命只约有 10-24秒，目前物理学中涉
及的最小的时间是 10-43秒，称为普朗克时间。普朗克
时间被认为是最小的时间，比普朗克时间还要小的范
围内，时间的概念可能就不再适用了。
最长的时间和最短的时间
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
目前，物理学中涉及的最大长度是 1028米，它是
宇宙曲率半径的下限；弱电统一的特征长度为 10-20米；
普朗克长度约为 10-35米，被认为是最小的长度，意思
是说，在比普朗克长度更小的范围内，长度的概念可
能就不再适用了。
最大的长度和最小的长度
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.2.1 质点和参考系
1.2.2 轨迹和运动方程
§ 1.2 质点和参考系 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
质点,
参考物,
参考坐标系, 固定在参考物上的坐标架（简称 参考系 ）
突出了“物体具有质量”、“物体占有位
置”
为了研究运动，固定坐标系的物体
§ 1.2 质点和参考系
参考系 = 参考物 + 坐标架 + 钟
1.2.1 质点和参考系
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.2.1 质点和参考系
质点 的 位置矢量 r（简
称 位矢 ）的大小为 OP
的长度，而方向从 O指
向 P。用这个矢量就完
全确定了质点 P的位置
kjir zyx ???
其中 i,j,k分别分别表示空间的三个坐标方向
（ 轴）上的单位矢量，称为坐标基矢 zyx,,
参考系的选择是任意的，对于同一个质点的位置，用
不同参考系来描写时，则具有不同的位置矢量。就这
一点，我们可以说，位置是具有相对性的物理量。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
质点在运动中所经过的各点在空间连成一条曲线，这
条曲线我们称之为 轨迹 。
一般曲线方程可以表示成,
轨迹可以利用曲线方程来描写。
譬如，曲线方程,
?
?
?
?
??
0
222
z
Ryx
就描写了在平面上半径为 R的圆周运动的轨迹。
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
2
1
zyxf
zyxf
1.2.2 轨迹和运动方程 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.2.2 轨迹和运动方程
在历史上很长一个时期内，人们只注重轨迹形状
的研究，例如行星走圆形，落体走直线。我们知道，
质点运动是位置的变化，它涉及空间和时间两方面。
轨迹形状只反映了运动的空间方面的性质，它对于研
究运动还是不够的，因为轨迹还没有把质点运动的情
况全部表述出来，特别是没有表述它的动态性质。百
米赛跑时，所有运动员的轨迹都是直线，但他们各自
的运动情况并不全同，否则就分不出名次了。我们不
仅应该知道轨迹，而且还应知道质点经过轨迹上各点
的时刻。 运动是在时间、空间里的现象，关键是把时
间描写和空间描写联系起来。 直到牛顿之前不久，才
特别强调了这一点。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.2.2 轨迹和运动方程
我们知道，可以利用矢量方法来描写质点 M 的位置。
质点的位置关于时间的函数称为 运动方程 或 运动解,
知道了这个方程等于知道了此质点运动的一切情况。
质点的运动方程可以表示成,
)(trr ?
当然，也可以用坐标系中
三个坐标分量来描述运动
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
并有关系式 kjir )()()()( tztytxt ???
从运动方程中消去时间 t 即得到轨迹的方程
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.2.2 轨迹和运动方程
应当指出，同一物体，相对于不同的参考系，显示出
不同的运动。风洞中的模型，相对于地面是静止的，相对
于空气（风），模型却在以高速度飞行。车刀，相对于车
床的床座，仅仅作直线运动；相对于工件，刀刃却在作螺
旋运动。所以，研究运动，必须首先选定参考系，由于运
动方程既包含质点的位矢，也包含时间，因而对于不同的
坐标原点与时间原点的选取，运动方程的形式将有所不同。
在日常生活中，我们习惯于认为地面是静止的，在讲
到“静止”、“运动”的时候总是对地面而言的。可是，
大家知道，地球以大约 30公里 /秒的速度绕太阳公转，根
本不是静止的。宇宙间没有一个绝对静止的物体。静止和
运动都是相对的，不存在“绝对静止”的参考系，只存在
描述某个运动较为方便的参考系。
中
国
科
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技
术
大
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维
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1.3.1 位移、路程与速度
1.3.2 加速度
§ 1.3 速度与加速度 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
瞬时速度 （简称 速度 ）定义为,
1,直线运动
§ 1.3 速度与加速度
通常称平均速度的绝对值为平均速率。类似地，瞬时
速度的绝对值被称为速率。
质点在 t1到 t2时间间隔内的 平均
速度
12
12 )()(
21 tt
txtxv
tt ?
????
?
dt
tdx
t
x
t
txttxtv
tt
)()()()( limlim
00
????? ????
????
1.3.1 位移、路程与速度
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
这个平均速度的定义表明，平
均速度是矢量。
2,三维曲线运动
1.3.1 位移、路程与速度
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时
间间隔内的 平均速度
ttt
tt
tt ?
??
?
????
?
rrrv
12
12 )()(
21
是在时间间隔 △ t 内质点位置矢量的改变量，称为 位
移矢量 （简称 位移 ）
)()( 12 tt rrr ???
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
2,三维曲线运动
1.3.1 位移、路程与速度
由右图很清楚知道，在 t1到 t2
时间间隔内质点的运动方向并非
总是沿着 1到 2的方向的，而是先
从 1向 4,3方向运动，然后从 3向 2
方向运动，这些运动方向并不平
行于 1到 2的方向。
所以平均速度所指的方向，只是质点真实运动方向的平均。
也就是说，平均速度不但对于运动快慢的描写是粗略的，而且对
于运动方向的描写也是粗略的。但当 △ t减小时，矢量相继从 1，
2变到 1,3，变到 1,4……,在 △ t→0 的极限情况下,△ r的方
向趋于轨迹曲线在点 1的切线方向，且位移与路程两者的大小近
似相等。这样，我们就得到一个结论,瞬时速度的方向，就是轨
迹曲线在相应点的切线方向；瞬时速度的大小，就是时平均速率
的大小。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
由此可以定义 平均速率,
2,三维曲线运动
1.3.1 位移、路程与速度
质点从 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时
间间隔内所走过的路程
路程函数 s(t),质点从 t1 =0 到
t2 = t 时刻所走过的路程长度
)()( 12 tstss ???
t
s
tt
tstsw
tt ?
??
?
????
?
12
12 )()(
21
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
(1) 位移与路程不同于位矢，
它们与坐标原点的选取无关。
2,三维曲线运动
(3) 位移不反映初位置到终位置中间的细节，也不反
映初位置或终位置本身，仅反映两者相对位置的改变。
1.3.1 位移、路程与速度
由右图可以看出，位移△ r与
路程△ s有如下的异同点,
(2) 路程△ s是由 M到 M′的曲线的
实际长度，是一个标量。而位移
是由始点至终点的有向线段，是
一个矢量。而且位移的大小通常
也不等于路程。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
瞬时速度 （简称 速度 ）定义为,
2,三维曲线运动
在国际单位制中，速度的单位是 米 /秒,常用的单位还
有 厘米 /秒、千米 /小时 等
1.3.1 位移、路程与速度
dt
d
tt
tttt
tt
rrrrv ?
?
??
?
????
???? l i ml i m 00
)()()(
速度的数值大小（绝对值）称
为 速率,由上式知,
dt
tds
t
s
ttttv ttt
)(|| |)(| )( limlimlim
000
???????????
??????
rrv
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
瞬时加速度 （简称 加速度 ）定义为,
1,直线运动
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时间间隔内的 平均加速度
t
tvttva
ttt ?
??????
???
)()(
2
2
00
)()()()()( limlim
dt
txd
dt
tdv
t
v
t
tvttvta
tt
?????? ????
????
1.3.2 加速度 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
瞬时加速度 （简称 加速度 ）定义为,
2,曲线运动
1.3.2 加速度
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时间
间隔内的 平均加速度
t
ttt
tttt
)() (
?
????
?
????
???
vvva
2
2
0 0
)( )(
t t
)() t( )( limlim
dt
td
dt
tdttt
tt
rvvvva ??
?
??
?
????
????
在国际单位制中，加速度的单位是 米 /秒 2，常用的
单位还有 厘米 /秒 2 等。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
? 质点做变速运动中各个时刻的速度、加速度不一
定相同，它具有瞬时性
? 速度、加速度是矢量，它具有矢量性
? 从运动学本身来考虑，没有足够的理由说明，为什
么我们应当到此为止，而不去讨论加加速度、加加
加速度 …… 。其中的原因在动力学，学过动力学后，
我们将看到，对力学的讨论几乎全部是基于位置矢
量、速度和加速度这三个量。
§ 1.3 速度与加速度
? 选取不同的参考系，质点的速度和加速度是不
同的，它具有相对性
小结,
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.4.1 直线运动
1.4.2 曲线运动
§ 1.4 直角坐标系中运动的描述 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 1.4 直角坐标系中运动的描述
运动方程,)(txx ?
平均速度,
0
0 )()(
0 tt
txtxv
tt ?
????
?
右图表示的是质点做直线运动时的位置、
速度和加速度关于时间的图形。由图上可
见，当位置最大时，速度为零（此时曲线
的斜率为零），同样当速度最大时，其加
速度为零。
瞬时速度,
dt
tdx
t
txttxtv
t
)(
)() ()( l i m
0
?? ????
??
1.4.1 直线运动
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.4.1 直线运动
平均加速度,
0
0 )()(
0 tt
tvtva
tt ?
????
?
瞬时加速度,220 )()( )() ()( lim dt txddt tdvt tvttvta t ??? ???? ??
瞬时速率,
dt
tdstvtw )(|)(|)( ??
由此可见，如知道运动方程，则速度、加速度等皆可求得。
故古希腊自然哲学家亚里士多德 (Aristotle,384~322 B.C.) 认
为：轨迹是最基本的，速度次之（当时并不知道加速度）。
这种方法的特点是先研究运动的大的整体方面，往往从对称
性入手，然后再涉及局部细节。就人类的认识过程来看，的
确是先看到轨迹的形状，然后有了运动快慢的概念，最后认
识到速度的变化，即加速度。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.4.1 直线运动
若再知道 t = 0 时刻质点的速度和位置,
利用,
如果已知质点运动的加速度,
可以解得,
运动学的反问题
)(taa ?
0)0( vtv ?? 0)0( xtx ??
dtdxtv /)( ?dtdvta /)( ?
tdtavtv t ???? ? )()( 0 0
tdtvxtx t ???? ? )()( 0 0
tdtvsts t ???? ? |)(|)( 0 0
可以完全描述运动。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.4.1 直线运动
牛顿认为：瞬时情况更基本，不要先探讨物体运动的
整体方面，而是先弄清局部细节，再积分得到整体性质。
这种方法，是现代物理学的一个基本方法，至今在大多数
情况下，物理学家们都采用牛顿这种方法。
从哲学上看，本小节处理运动问题的两种方法（正问
题和反问题）反映了人们的两种不同信念,一种认为整体
的大的方面简单些，因此，主张从大到小的研究顺序； 另
一种认为局部的单元过程更简单些，因此，主张从小到大
的研究顺序。 现在看来，这两种“简单性”可能是分不开
的，虽然在大多数情况下，我们偏爱第二种研究顺序，但
在某些局部过程不得要领的情况下，第一种研究顺序也有
其独到之处。在第四、五章我们再讨论这个问题。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1,运动方程
2,速度
kjir )()()()( tztytxt ???
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
)()()( txdt tdxtv x ??? )()()( tydt tdytv y ??? )()()( tzdt tdztv z ???
分量式,
速率,2/1222)(
)(
???
?
???
? ?
?
??
?
???
?
??
?
???
?
??
?
???
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
tdstv
其中,2222 dzdydxds ???
kjiv )()()()( tvtvtvt zyx ???
1.4.2 曲线运动 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
3,加速度
1.4.2 曲线运动
kjia )()()()( tatatat zyx ???
分量式,
)()()(
2
txdt txdta x ????
)()()( 2 tydt tydta y ????
)()()(
2
tzdt tzdta z ????
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
运动的重要性质,
运动的独立性
运动的独立性 的实验演示
1.4.2 曲线运动
由速度、加速度的分量表达式可以看到，描写一个质
点的复杂的曲线运动时，其方向的坐标、速度和加速
度与其它方向的坐标、速度和加速度无关；对方向和
方向也有这种性质，即三个方向相互无关。这种性质
称为运动的独立性。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
如果已知,
路程,
运动学的反问题
1.4.2 曲线运动
)( ),( ),( 00 ttt rva
可以完全描述运动。
tdtt tt ???? ? )()( 0
0
avv
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
?
?
?
t
t
zzz
t
t
yyy
t
t
xxx
tdtavtv
tdtavtv
tdtavtv
0
0
0
0
0
0
)()(
)()(
)()(
分量式,
tdtt tt ???? ? )()( 0
0
vrr
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
?
?
?
t
t
z
t
t
y
t
t
x
tdtvztz
tdtvyty
tdtvxtx
0
0
0
0
0
0
)()(
)()(
)()(
)()()( |)(| )()( 222 tvtvtvttvdt tds zyx ????? v
? ???????? tt yyx tdtvtvtvtsts 2220 0 )()()()()(
速度,
位矢,
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
1.5.2 自然坐标系
1.5.3 圆周运动
§ 1.5 自然坐标系中运动的描述 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 1.5 自然坐标系中运动的描述
有时直角坐标系不是最好的坐标系，这是因为,
? 若我们研究的运动是 受约束的运动,比如火车的行驶（它不能
离开铁轨），或穿在弯曲钢丝上的小环的运动等。这类运动往
往轨迹的形状是给定的，由于约束力的参与（本章中我们不讨
论力，仅研究运动），加速度往往与轨迹上点的位置有关（有
时还与质点在该点速度有关），此时运动的独立性往往失效。
沿轨迹的曲线坐标系有可能是更好的坐标系。
? 即使我们研究运动的独立性有效的运动，使用直角坐标系使得
数学计算简单了，但我们 对其中的一些物理细节却并不很清楚 。
比如，我们知道速度的方向是沿着轨迹上质点所在位置的切线
方向，但加速度的方向如何？加速度的方向对速度又有何影响？
于是，我们需要引入一种新的坐标系,自然坐标系 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 1.5 自然坐标系中运动的描述
1.5.1 切向加速度和法向加速度
我们现在考虑加速度的方向。对于沿
直线的运动，只有一个方向，故速度与加
速度的方向都与轨迹的方向平行（对于减
速运动，加速度的方向与运动方向相反，
我们仍视加速度与速度方向平行，有时也
称其为反平行），如图 1.11(a)；对于匀速
圆周运动，加速度与速度方向垂直，如图
1.11(b)；而对于一般的曲线运动，加速度
的方向比较复杂，它往往与速度的方向即
不平行又不垂直，如图 1.11(c)。
由于一维的直线运动非常简单，我们下面的讨论认为质
点的运动不是直线运动。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
速度矢量,)(?)()( ttvt vv ?
其中 是沿着轨道切向，
指向运动方向的单位矢量。
v(t)没有法向分量。
)(? tv
加速度,
t
t
dt
tdt
t ?
???
??
)()()( lim
0
vva
? ? ? ?? ?
tt
tttvttvttttv
t
t
ttvttttv
t
ttt
t
t
?
?
?
?
?
??????????
?
?
?
?????
?
?
???
?
?
?
21) (?)() ()(?) (?)(
1
)(?)() (?) (
)() ()(
vv
vvv
vvvvv
ttt tt ?
??
?
??
????
2
0
1
0 limlim
)( vva
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
)(?)() (? )() ( l i ml i ml i m
00
2
0
tdt tdvttt tvttvt
ttt
vvv ???? ?????? ?
??????
该项沿轨迹的切向，
也即是速度的方向，
我们称这一项为 切向
加速度 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
如图知，求瞬时加速度
至少需要在轨迹上取三个点。
在求加速度的过程中，每次只取三个点，而不在一条直线上
的三个点可以唯一确定一个平面（我们已假定了质点的运动不是
直线运动），在取极限的过程中，这三个点所确定的平面也会随
之变化，最后会趋于一个极限的平面。我们认为这个极限平面与
点附近的轨迹的关系最为密切，故称该极限平面为 密切平面 （简
称 密切面 ）。不仅如此，不在一条直线上的三个点还可以唯一确
定一个圆，于是，在我们的密切面上还有一个极限圆，我们认为
这个极限圆与点附近的轨迹的弯曲情况最为密切，故称该极限圆
为 密切圆,又称 曲率圆,这个圆的半经称为 曲率半径 。
设我们取三个点 P,Q、
Q1来求加速度。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
)(?
)(
)(?
?
)(
)(?) (?
)(
2
00
0
1
0
l i ml i m
l i ml i m
t
tR
tv
t
s
R
v
t
tv
t
ttt
tv
t
tt
tt
nnn
vvv
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
????
????
?
nvnva ??)( )()(?)()(?)(
2
nt aatR
tvt
dt
tdvtt ????
dt
tdva
t
)(? ??? va
)(
)(? 2
tR
tva
n ??? na
其中,
切向加速度，表示速度大小的变化
法向加速度，表示速度方向的变化
于是,
)(tR 曲率半径
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
nvnva ??)( )()(?)()(?)(
2
nt aatR
tvt
dt
tdvtt ????
加速度的大小（绝对值）,
加速度,
222
2
2222
22 1)(
???
?
???
?
?????????
?
?
???
??
???
?
???
???
?
??
?
????
dt
ds
Rdt
sd
R
v
dt
dvaata
nt
)(trr ?如果运动方程 已知,
可以求得,)(,)( tt av
可得轨迹上任意一点的曲率半径为,
|)()(|
)()( 3
tt
tvtR
va ??
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
如果以弧长 s 为坐标，则,
dt
dsv ?
2
2
dt
sd
dt
dva
t ??
dtavv ttt??? 0
0
dtdtavv d tss ttttttt ?????? ???? ??? 0 0
000
可得,
质点的运动在形式上与直线运动相仿，所不同的
是，质点走的实际上是曲线。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.2 自然坐标系
neve ??,?? 21 ??
bnve ???? 3 ???
这样构成的正
交坐标系称为 自然
坐标系 （有的书上
称为 内禀坐标系、
本性坐标系、路径
坐标系 等）
当质点作空间运动时，它的速度向量位于轨迹上
的切线方向，而加速度向量位于该点的密切平面上。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.3 圆周运动
0)(,1 RtR ?
2,轨道在一个平面上
则称为 匀速圆周运动 。
称这样的运动为 圆周运动 。
?? 0)( vtv若同时有 常数
)(? )(?,)(?)()( ttttvt rvvv ??
)(?)(?)(?)()(?)()(?)()(?)()(
0
2
tatatR tvtdt tdvdt tdtvtdt tdvt nt nvrvvva ??????
?
?
?
??
?
?
?
?
向心加速度
切向加速度
)(
)(
0
2
R
tv
a
dt
tdv
a
n
t
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.3 圆周运动
圆周运动的另一种描述法,
定义,角速度矢量,大
小为,方向按右手
系指向平行于转轴方向。
ω
dtd /?
有了上述定义，则当
坐标原点选在转轴上 时，如
图，有,
rωrv ??? dtd
dt
d
dt
d
dt
d rωrωva ????? )( rωωrω ?????
dt
d
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.3 圆周运动
我们曾指出，对于一个物理对象，用什
么数学语言来描写，这并不是一件很自然的
事情，任何一种数学只是一种逻辑体系，一
种逻辑体系能不能正确地描写我们的物理对
象，是要认真研究的。物理上，寻找那种能
正确地、简洁地描写物理对象的数学是一个
难点。在这里，我们定义了角速度矢量，这
似乎很自然，它又有大小，又有方向。这里
要提醒大家注意的是，有大小又有方向的量
可不一定就是矢量，若要是矢量还必须满足
矢量的运算法则。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.6.1 平面极坐标
1.6.2 位矢、速度和加速度
的极坐标表示
§ 1.6 平面极坐标中的运动描述 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 1.6 平面极坐标中的运动描述
1.6.1 平面极坐标
直角坐标系是最常用的坐标
系，但对有些运动，如圆周运动、
速度或加速度指向空间某固定点
的运动等，直角坐标就不那么方
便，而用平面极坐标（简称极坐
标）会有许多优点。
极坐标法 (只对平面曲线运动时可用 ),
极坐标的建立：规定极点，极轴，极径，极角
极角：极径和极轴的夹角称为极角
两个单位矢量 和,它们分别表示 r 增加的方向（称
为 径向 ）和 增加的方向（称为 横向 ）
r? ??
?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.6.1 平面极坐标
??? ? )(? ?dd r
r? )(? ?????dd
)( ),( ttrr ?? ??在极坐标系中，质点的运动方程为,
从该方程组中消去时间 t，可得轨迹方程为,
0),( ??rf
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示
)(?)()( ttrt rr ?
???? ? ?? ? limlim
00
?? rrtrtr
tt
????????
????
rr
前者叫 径向速度,用 vr表示；后
者叫 横向速度,用 表示，即,?v
?? ? vvrv ???? rr vv ??
??? ?,? ?? rrr ?? vrv
其中,
?? ? ? ????? rr rr
tt ?
??
??
rv lim
0
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示
???? ? ? ? ??? dtddddtd rr r? ? ? ????? ???? dtddddtd
?? ? ? ? )(?)(]?)([)()( ?? rrdtdtrdt tdrtrdtddt tdt ?????? rrrrrv
)? ? ()()( ???? rrdtddt tdt ??? rva
)? (?? ? ? rr ???????? ?????????? ?????? rrrrr
利用矢量的求导公式 推导,
由于,
可得,
ra ? )( 2???? rrr ??
???? ? )2( ???? rr ??a
径向加速度
横向加速度
dt
tdrrr
dt
tdrr )(??? )(?? ?????? ???????? ????? rr
???? ? )2(? )( 2 ??????? rrrr ???? r
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
例,设质点在匀速转动（角速度为）的水平转盘上从
开始自中心出发以恆定的速率沿一半径运动，求质点
的轨迹、速度和加速度。
解, 取质点运动所沿的半径在时的位置为极轴，得,
??
?
?
?
t
utr
?? ??
?
??
??
??? rdtrdv
udtdrv r
/
/
??? ? 2? )( 2 urt ??? ra
轨迹方程,
??ur ?
此曲线为阿基米德螺线
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
一般地，当加速度为常量（如重
力加速度），应选取直角坐标系；当
加速度总指向空间一点时（有心力情
形），选极坐标系较方便；当质点的
轨迹已知时（譬如限定在某曲线轨道
上滑动），则可选用自然坐标系。
总结,中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 1.7 相对运动
通常，把相对观察者静止的
参考系称为定参考系或 静参考系,
把相对观察者运动的参考系称为
动参考系 ； 把物体相对于动参考
系的运动称为 相对运动 （相应的
有相对速度和相对加速度），物
体相对静参考系的运动称为 绝对
运动 （相应的有绝对速度和绝对
加速度）。动参考系相对静参考
系的运动称为 牵连运动 （相应的
有牵连速度和牵连加速度）。
当相对作平动（如的坐标轴在运动中始终与的坐标轴保持平
行）时，牵连速度和牵连加速度不因物体在上的位置不同而异。
当相对转动时，牵连速度和牵连加速度均与物体的位置有关。为
了讨论问题简单起见，本节中动参考系和静参考系中的坐标系都
取直角坐标系。
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.1 动参考系作任意方式的平动
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
§ 1.7 相对运动 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.1 动参考系作任意方式的平动
注意：平动不一定是直线运动！
)()()( 0 ttt rrr ???
2
2 )()()(,)()(
dt
td
dt
tdt
dt
tdt rvarv ???
20
20
000
)()()(,)()( dt tddt tdtdt tdt rvarv ???
2
2 )()()(,)()(
dt
td
dt
tdt
dt
tdt rvarv ????????
)()()( 0 ttt vvv ??? )()()( 0 ttt aaa ???
对静参考系 K,
对动参考系 K/,
于是，我们有,
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
)()()( 0 ttt rrr ???
kjir )()()()( tztytxt ???
kjir ?????????? )()()()( tztytxt
kjir )()()()( 0000 tztytxt ???
P点在 K系的坐标,
P点在 K/系的坐标,
O/点在 K系的坐标、速度
和加速度,
2
0
2
0000 )()()(,)()(
dt
td
dt
tdt
dt
tdt rvarv ???
现在,和 不能象平动参考系那样称其为牵连速
度和牵连加速度
)(0 tv )(0 ta
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
除此之外，对坐标值（它们是标量）作用时 与 完
全相同。
定义,
在静参考系 K中对时间的微商称为 绝对微商,符号,
在动参考系 K/中对时间的微商称为 相对微商,符号,
DtD
dtd
它们之间差别表现在对坐标系的坐标基矢作用时不同
绝对微商视 为变量，视 为常量； kji ???,,kji,,
相对微商视 为变量，视 为常量； kji ???,,kji,,
DtD dtd
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
Dt
D
tD
D varv ??,
td
d
td
d
,
varv ??????
K 系,
K/ 系,
当 K/系只平动而不转动时，
坐标基矢 都是常
矢量，则 对它们作用
后结果为零；
kji ???,,
DtD/
而当 K/系只转动而不平动
时，坐标基矢 都
在以角速度 ω作圆周运动 kji ???,,
,,kωkjωjiωi ???????????? DtDDtDDtD
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
用 D/Dt作用于 K/系中任意
随时间 t变化的矢量,
kjib ?????????? )()()( tbtbtb zyx
)( kjib ?????????? zyx bbbtDDtDD
tD
Db
tD
Db
tD
Db
tD
bD
tD
bD
tD
bD
zyx
zyx
kji
kji
??
?
??
?
??
?
????
?
??
?
?
kωj ωi ωkji ????????????????????? zyxzyx bbbtd bdtd bdtd bd
)( )( kjiωkji ??????????????????? zyxzyx bbbbbbdtd b ωb ????? dtd
b ωbb ?????? tddtDD
即,
r ωrr ?????? tddtDD v ωvv ?????? tddtDD
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
1,相对于 K/系静止的点，向心加速度
)()()( 0 ttt rrr ???
0,,0000 ??? DtDDtDtDD ωvarv
由于 P点相对于 K/系静止，有,
0,0 ???????? tddtdd varv
)( 0 rrrvv ????? tDDtDDf
tD
D
tD
D
0 rr ??? r ωrr ??????
0
td
d
tD
D r ωv 0 ????
r ωvvv 0 ????? f即牵连速度,
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
1,相对于 K/系静止的点，向心加速度
r ωvvv 0 ????? f
) ( r ωvvaa 0 ?????? tDDtDDf
tD
D
tD
D
tD
D
0 r ωrωv ???????
) ( rωr ωa 0 ??????? tdd
) ( rωωa 0 ?????
若 K/系的原点相对于 K系静止，即,
0,0 00 ?? av
) ( r ω ωaa ????? f rrωω ????? ) ( 2?
由于牵连加速度的方向为由 P点垂直指向转轴方向，
故称该加速度为 向心加速度 。
有,
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度
)()()( 0 ttt rrr ???
0,,0000 ??? DtDDtDtDD ωvarv
P点相对于 K/系作匀速运动,有,
即,
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
0,???????? tddtdd varv 常量
)( 0 rrrv ???? tDDtDD
rωrr ?????? 0 tddtDD rωvv 0 ??????
fvvr ωvvv 0 ?????????
其中 是牵连速度 fv
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度
) ( r ωvvva 0 ??????? tDDtDD
tDDtDDtDDtdd 0 r ωrωvvωv ????????????
) ( rωr ωv ωaa 0 ???????????? tdd
) (2 r ω ωv ωa 0 ????????
) ( 0 r ω ωaa ?????f令,
v ωa ??? 2c o r
c o rf aaa ??则得,
其中 称为科里奥利加速度，这是法国人科里奥利
（ G.Coriolis）于 1835年提出的。 cora
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
第一章 质点运动学
§ 1.1 引言
§ 1.2 质点和参考系
§ 1.3 速度与加速度
§ 1.4 直角坐标系中运动的描述
§ 1.5 自然坐标系中运动的描述
§ 1.6 平面极坐标中的运动描述
§ 1.7 相对运动
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.1 力学的研究对象
1.1.2 时间、空间和牛顿力学的绝对量
1.1.3 宇宙的层次和数量级
§ 1.1 引 言 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
运动学,
动力学,
静力学,研究物体在力系作用下的平衡规律，同时也研究力的一般性质和力系的简化方法等。
（ 平衡方程的应用和受力分析 ）
研究物体运动的几何性质，而不研究引起物
体运动的原因 。（ 位移，速度，加速度，轨
迹等的描述和计算 ）
研究受力物体的运动变化与作用力之间的
关系 。（ 运动微分方程的建立和求解 ）
§ 1.1 引 言
经典力学适用范围,弱引力场中宏观物体的低速运动。
1.1.1 力学的研究对象
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
时间,
空间,
时间用以表述事物之间的顺序
空间用以表述事件相互之间的位形
在牛顿力学中，时间间隔和空间间隔（长度）被认为
是绝对量，是独立于所研究对象（物体）和运动而存
在的客观实在。时间的流逝与空间位置无关，空间为
欧几里德几何空间。而近代物理理论对此是否定的，
这个问题将在相对论一章中详细讨论。
没有满意的“严格”的理论定义，并不妨碍时间和空间二者
在物理中的使用，因为，物理学是一门基于实验的科学，在
考查物理学的概念或物理量的时候，首先应当注意它与实验
之间是否有明确的、不含糊的关系。对于时间和空间这两个
基本概念来说，首要的问题似不是去追究它们的“纯粹”定
义，而是应当了解它们是怎样量度的。
1.1.2 时间、空间和牛顿力学的绝对量 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
真太阳日,太阳视面中心连续两次出现在地面某处正
南方所需的时间
时间的测量,
平太阳日, 一年之内全部真太阳日的平均
秒,一个平均太阳日的 1/86,400，这种以地球
自转为基础的计时标准叫 世界时 （ UT）
1956年起改用以地球公转周期为基准的时间标准，
称为 历书时（ ET）,并规定 秒 为 1900年回归年的
1/31,556,925.9747
任何具有重复性的过程或现象，都可以作为测量时间
的一种钟 （例如，太阳的升没表示天；四季的循环
称作年；月亮的盈亏是农历的月。其他的循环过程，
如双星的旋转、人体的脉搏、吊灯的摆动、分子的振
动等等，也都可以用作测时的工具）
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
时间的测量,
1967年 10月在第十三届国际度量衡会议上规定,
位于海平面上的铯原子的基态的两个超精细能级
在零磁场中跃迁辐射的周期 T与 1秒的关系为
1秒 = 9,192,631,770 T
这样的时间标准称为 原子时
用铯钟作为计时标准，误差若按一个周期计算，测量
精度要比秒表作时计提高 倍，即误差下降到秒
表的 之一 1010
1010
自从人类发明机械计时的时钟以来,400年来时间计
量准确度的提高是惊人的，现代的原子钟的计时误差
已小于 秒 /天。目前,时间是测量得最准确的
一个基本量
1010?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
空间的测量,
长度是空间的一个基本性质
对长度的测量，在日常的范围中，是用各种各样
的尺，如米尺、千分尺、螺旋测微计等等。对于不能
用尺直接加以测量的小尺度，可以求助于光学方法。
在精密机床上常有光学测量装置；测定胰岛素中原子
的位置，是用调光衍射方法。对于大的尺度，也不能
直接用尺去测量，也要求助于光。测量月亮与地球的
距离可以用激光测距的方法，测量一些不太远的恒星，
可以用三角学方法。至于银河系之外的遥远天体的距
离，同样是用它们发光的一些特征来测定的。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
空间的测量,
米,规定为通过巴黎的自北极至赤道的子午线长度
的 1/10,000,000
1875年起，决定改用米原器（截面呈,X”形的
铂铱合金尺）作为长度标准。由于这样规定的标准米
不易复制，精度又不高
1960年在第十一届国际计量大会上规定,
1米等于氪 86原子的和能级之间跃迁时所对应的辐
射（橙色谱线）在真空中的波长 λ的 1,650,763.73倍。
这样规定的米叫 原子米
1983年 10月在第十七届国际计量大会上规定,
米是光在真空中在 1/299,792,458秒的时间间隔内所
传播的路程长度
光速,c = 299,792,458米／秒
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1,空间尺度：从极小到极大
最遥远星系
银河系
邻近恒星
太阳
地球
人类
细胞
原子
质子
夸克
1026 m
10-20 m
10-10 m
100 m
1010 m
1020 m
1.1.3 宇宙的层次和数量级 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
天体空间尺度 （ 1 光年 ～ 10
16
米）
? 地球直径 1,3 × 10
- 9
光年
? 太阳直径 1,47 × 10
- 7
光年
? 太阳系范围 1,2 × 10
- 3
光年
? 最近的恒星 4,3 光年
? 银河系范围 10
5
光年
? 最近的星系 10
6
光年
? 富星系团 10
7
光年
? 可测宇宙 1,5 × 10
10
光年
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
星系的直径大约是 1021米
人造物体和自然物体的电子显
微镜照片，图中垂线是 20纳米
的聚合物纤维，有短尾的物体
是 T-4噬菌病毒
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
宇宙年龄
地球年龄
太阳绕银河系中心的轨道周期
古人类的出现
钚的半衰期
人的寿命
地球的公转周期 （ 1年 ）
地球的自转周期 （ 1天 ）
人的脉搏
人的神经系统反应时间
可听见的最高频率的声音周期
μ子的寿命
典型的分子转动周期
实验室能产生的最短光脉冲周期
π介子的半衰期
共振粒子寿命
从宇宙诞生到已知的物理定律可用的时间
6× 1017 秒
1.5× 1017 秒
8× 1015 秒
6× 1013 秒
8× 1011 秒
2× 109 秒
3× 107 秒
8.6× 104 秒
1 秒
1× 10-1 秒
5× 10-5 秒
2× 10-6 秒
1× 10-12 秒
1× 10-15 秒
2× 10-16 秒
1× 10-25 秒
1× 10-43 秒
一些典型的时间尺度
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
我们研究的对象跨越如此巨大的数量级范围，
单一的单位（如秒、米），用起来就很不方便了，
通常的做法是采用一些词冠来代表一个单位的十进
倍数或十进分数，如千（ kilo）代表倍数 103，厘
（ centi）代表分数 10-2，等等。在国际单位制中，原
来从 10-18到 1018的 36个数量级之间规定了 16个词冠，
最近又建议在大、小两头再各增加两个，共 20个词
冠，一并列在下表 1.1中。表内中译名在方括弧里的
字可以省略。这些词冠与各种物理量的单位组合在
一起，构成尺度相差甚为悬殊的大小各种单位，在
现代物理学中广泛使用着。其中有的已化作物理学
名词的一部分，如纳米（ nm）结构、飞秒（ fs）光
谱等，成为一些新兴技术的标志和象征。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
数量级
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
英文名
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
缩写符号
d
c
m
μ
n
p
f
a
z
y
中译名
分
厘
毫
微
纳 [诺 ]
皮 [可 ]
飞 [母托 ]
阿 [托 ]
仄 [普托 ]
幼 [克托 ]
国际单位制所用的词冠
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
数量级
10
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
英文名
deca
hecto
kilo
mega
giga
tera
peta
exa
zeta
yota
缩写符号
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
中译名
十
百
千
兆
吉 [咖 ]
太 [拉 ]
拍 [它 ]
艾 [克萨 ]
泽 [塔 ]
尤 [塔 ]
国际单位制所用的词冠（续）
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
目前，物理学中涉及的最长的时间是 1038 秒，它
是质子寿命的下限。宇宙的年龄大约是 6x1017秒，即
200亿年。牛顿力学所涉及的时间尺度大约是 10-5 ～
1015秒，即从声振动的周期到太阳绕银河中心转动的
周期。粒子物理的时间尺度都很小,μ子的寿命是
2x10-6秒，已经算是极长寿的了，最短寿的是一些共
振粒子，它们的寿命只约有 10-24秒，目前物理学中涉
及的最小的时间是 10-43秒，称为普朗克时间。普朗克
时间被认为是最小的时间，比普朗克时间还要小的范
围内，时间的概念可能就不再适用了。
最长的时间和最短的时间
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.1.3 宇宙的层次和数量级
目前，物理学中涉及的最大长度是 1028米，它是
宇宙曲率半径的下限；弱电统一的特征长度为 10-20米；
普朗克长度约为 10-35米，被认为是最小的长度，意思
是说，在比普朗克长度更小的范围内，长度的概念可
能就不再适用了。
最大的长度和最小的长度
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.2.1 质点和参考系
1.2.2 轨迹和运动方程
§ 1.2 质点和参考系 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
质点,
参考物,
参考坐标系, 固定在参考物上的坐标架（简称 参考系 ）
突出了“物体具有质量”、“物体占有位
置”
为了研究运动，固定坐标系的物体
§ 1.2 质点和参考系
参考系 = 参考物 + 坐标架 + 钟
1.2.1 质点和参考系
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.2.1 质点和参考系
质点 的 位置矢量 r（简
称 位矢 ）的大小为 OP
的长度，而方向从 O指
向 P。用这个矢量就完
全确定了质点 P的位置
kjir zyx ???
其中 i,j,k分别分别表示空间的三个坐标方向
（ 轴）上的单位矢量，称为坐标基矢 zyx,,
参考系的选择是任意的，对于同一个质点的位置，用
不同参考系来描写时，则具有不同的位置矢量。就这
一点，我们可以说，位置是具有相对性的物理量。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
质点在运动中所经过的各点在空间连成一条曲线，这
条曲线我们称之为 轨迹 。
一般曲线方程可以表示成,
轨迹可以利用曲线方程来描写。
譬如，曲线方程,
?
?
?
?
??
0
222
z
Ryx
就描写了在平面上半径为 R的圆周运动的轨迹。
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
2
1
zyxf
zyxf
1.2.2 轨迹和运动方程 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.2.2 轨迹和运动方程
在历史上很长一个时期内，人们只注重轨迹形状
的研究，例如行星走圆形，落体走直线。我们知道，
质点运动是位置的变化，它涉及空间和时间两方面。
轨迹形状只反映了运动的空间方面的性质，它对于研
究运动还是不够的，因为轨迹还没有把质点运动的情
况全部表述出来，特别是没有表述它的动态性质。百
米赛跑时，所有运动员的轨迹都是直线，但他们各自
的运动情况并不全同，否则就分不出名次了。我们不
仅应该知道轨迹，而且还应知道质点经过轨迹上各点
的时刻。 运动是在时间、空间里的现象，关键是把时
间描写和空间描写联系起来。 直到牛顿之前不久，才
特别强调了这一点。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.2.2 轨迹和运动方程
我们知道，可以利用矢量方法来描写质点 M 的位置。
质点的位置关于时间的函数称为 运动方程 或 运动解,
知道了这个方程等于知道了此质点运动的一切情况。
质点的运动方程可以表示成,
)(trr ?
当然，也可以用坐标系中
三个坐标分量来描述运动
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
并有关系式 kjir )()()()( tztytxt ???
从运动方程中消去时间 t 即得到轨迹的方程
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.2.2 轨迹和运动方程
应当指出，同一物体，相对于不同的参考系，显示出
不同的运动。风洞中的模型，相对于地面是静止的，相对
于空气（风），模型却在以高速度飞行。车刀，相对于车
床的床座，仅仅作直线运动；相对于工件，刀刃却在作螺
旋运动。所以，研究运动，必须首先选定参考系，由于运
动方程既包含质点的位矢，也包含时间，因而对于不同的
坐标原点与时间原点的选取，运动方程的形式将有所不同。
在日常生活中，我们习惯于认为地面是静止的，在讲
到“静止”、“运动”的时候总是对地面而言的。可是，
大家知道，地球以大约 30公里 /秒的速度绕太阳公转，根
本不是静止的。宇宙间没有一个绝对静止的物体。静止和
运动都是相对的，不存在“绝对静止”的参考系，只存在
描述某个运动较为方便的参考系。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.3.1 位移、路程与速度
1.3.2 加速度
§ 1.3 速度与加速度 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
瞬时速度 （简称 速度 ）定义为,
1,直线运动
§ 1.3 速度与加速度
通常称平均速度的绝对值为平均速率。类似地，瞬时
速度的绝对值被称为速率。
质点在 t1到 t2时间间隔内的 平均
速度
12
12 )()(
21 tt
txtxv
tt ?
????
?
dt
tdx
t
x
t
txttxtv
tt
)()()()( limlim
00
????? ????
????
1.3.1 位移、路程与速度
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
这个平均速度的定义表明，平
均速度是矢量。
2,三维曲线运动
1.3.1 位移、路程与速度
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时
间间隔内的 平均速度
ttt
tt
tt ?
??
?
????
?
rrrv
12
12 )()(
21
是在时间间隔 △ t 内质点位置矢量的改变量，称为 位
移矢量 （简称 位移 ）
)()( 12 tt rrr ???
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
2,三维曲线运动
1.3.1 位移、路程与速度
由右图很清楚知道，在 t1到 t2
时间间隔内质点的运动方向并非
总是沿着 1到 2的方向的，而是先
从 1向 4,3方向运动，然后从 3向 2
方向运动，这些运动方向并不平
行于 1到 2的方向。
所以平均速度所指的方向，只是质点真实运动方向的平均。
也就是说，平均速度不但对于运动快慢的描写是粗略的，而且对
于运动方向的描写也是粗略的。但当 △ t减小时，矢量相继从 1，
2变到 1,3，变到 1,4……,在 △ t→0 的极限情况下,△ r的方
向趋于轨迹曲线在点 1的切线方向，且位移与路程两者的大小近
似相等。这样，我们就得到一个结论,瞬时速度的方向，就是轨
迹曲线在相应点的切线方向；瞬时速度的大小，就是时平均速率
的大小。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
由此可以定义 平均速率,
2,三维曲线运动
1.3.1 位移、路程与速度
质点从 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时
间间隔内所走过的路程
路程函数 s(t),质点从 t1 =0 到
t2 = t 时刻所走过的路程长度
)()( 12 tstss ???
t
s
tt
tstsw
tt ?
??
?
????
?
12
12 )()(
21
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
(1) 位移与路程不同于位矢，
它们与坐标原点的选取无关。
2,三维曲线运动
(3) 位移不反映初位置到终位置中间的细节，也不反
映初位置或终位置本身，仅反映两者相对位置的改变。
1.3.1 位移、路程与速度
由右图可以看出，位移△ r与
路程△ s有如下的异同点,
(2) 路程△ s是由 M到 M′的曲线的
实际长度，是一个标量。而位移
是由始点至终点的有向线段，是
一个矢量。而且位移的大小通常
也不等于路程。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
瞬时速度 （简称 速度 ）定义为,
2,三维曲线运动
在国际单位制中，速度的单位是 米 /秒,常用的单位还
有 厘米 /秒、千米 /小时 等
1.3.1 位移、路程与速度
dt
d
tt
tttt
tt
rrrrv ?
?
??
?
????
???? l i ml i m 00
)()()(
速度的数值大小（绝对值）称
为 速率,由上式知,
dt
tds
t
s
ttttv ttt
)(|| |)(| )( limlimlim
000
???????????
??????
rrv
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
瞬时加速度 （简称 加速度 ）定义为,
1,直线运动
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时间间隔内的 平均加速度
t
tvttva
ttt ?
??????
???
)()(
2
2
00
)()()()()( limlim
dt
txd
dt
tdv
t
v
t
tvttvta
tt
?????? ????
????
1.3.2 加速度 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
瞬时加速度 （简称 加速度 ）定义为,
2,曲线运动
1.3.2 加速度
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△ t 时间
间隔内的 平均加速度
t
ttt
tttt
)() (
?
????
?
????
???
vvva
2
2
0 0
)( )(
t t
)() t( )( limlim
dt
td
dt
tdttt
tt
rvvvva ??
?
??
?
????
????
在国际单位制中，加速度的单位是 米 /秒 2，常用的
单位还有 厘米 /秒 2 等。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
? 质点做变速运动中各个时刻的速度、加速度不一
定相同，它具有瞬时性
? 速度、加速度是矢量，它具有矢量性
? 从运动学本身来考虑，没有足够的理由说明，为什
么我们应当到此为止，而不去讨论加加速度、加加
加速度 …… 。其中的原因在动力学，学过动力学后，
我们将看到，对力学的讨论几乎全部是基于位置矢
量、速度和加速度这三个量。
§ 1.3 速度与加速度
? 选取不同的参考系，质点的速度和加速度是不
同的，它具有相对性
小结,
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.4.1 直线运动
1.4.2 曲线运动
§ 1.4 直角坐标系中运动的描述 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 1.4 直角坐标系中运动的描述
运动方程,)(txx ?
平均速度,
0
0 )()(
0 tt
txtxv
tt ?
????
?
右图表示的是质点做直线运动时的位置、
速度和加速度关于时间的图形。由图上可
见，当位置最大时，速度为零（此时曲线
的斜率为零），同样当速度最大时，其加
速度为零。
瞬时速度,
dt
tdx
t
txttxtv
t
)(
)() ()( l i m
0
?? ????
??
1.4.1 直线运动
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.4.1 直线运动
平均加速度,
0
0 )()(
0 tt
tvtva
tt ?
????
?
瞬时加速度,220 )()( )() ()( lim dt txddt tdvt tvttvta t ??? ???? ??
瞬时速率,
dt
tdstvtw )(|)(|)( ??
由此可见，如知道运动方程，则速度、加速度等皆可求得。
故古希腊自然哲学家亚里士多德 (Aristotle,384~322 B.C.) 认
为：轨迹是最基本的，速度次之（当时并不知道加速度）。
这种方法的特点是先研究运动的大的整体方面，往往从对称
性入手，然后再涉及局部细节。就人类的认识过程来看，的
确是先看到轨迹的形状，然后有了运动快慢的概念，最后认
识到速度的变化，即加速度。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.4.1 直线运动
若再知道 t = 0 时刻质点的速度和位置,
利用,
如果已知质点运动的加速度,
可以解得,
运动学的反问题
)(taa ?
0)0( vtv ?? 0)0( xtx ??
dtdxtv /)( ?dtdvta /)( ?
tdtavtv t ???? ? )()( 0 0
tdtvxtx t ???? ? )()( 0 0
tdtvsts t ???? ? |)(|)( 0 0
可以完全描述运动。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.4.1 直线运动
牛顿认为：瞬时情况更基本，不要先探讨物体运动的
整体方面，而是先弄清局部细节，再积分得到整体性质。
这种方法，是现代物理学的一个基本方法，至今在大多数
情况下，物理学家们都采用牛顿这种方法。
从哲学上看，本小节处理运动问题的两种方法（正问
题和反问题）反映了人们的两种不同信念,一种认为整体
的大的方面简单些，因此，主张从大到小的研究顺序； 另
一种认为局部的单元过程更简单些，因此，主张从小到大
的研究顺序。 现在看来，这两种“简单性”可能是分不开
的，虽然在大多数情况下，我们偏爱第二种研究顺序，但
在某些局部过程不得要领的情况下，第一种研究顺序也有
其独到之处。在第四、五章我们再讨论这个问题。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1,运动方程
2,速度
kjir )()()()( tztytxt ???
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
)()()( txdt tdxtv x ??? )()()( tydt tdytv y ??? )()()( tzdt tdztv z ???
分量式,
速率,2/1222)(
)(
???
?
???
? ?
?
??
?
???
?
??
?
???
?
??
?
???
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
tdstv
其中,2222 dzdydxds ???
kjiv )()()()( tvtvtvt zyx ???
1.4.2 曲线运动 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
3,加速度
1.4.2 曲线运动
kjia )()()()( tatatat zyx ???
分量式,
)()()(
2
txdt txdta x ????
)()()( 2 tydt tydta y ????
)()()(
2
tzdt tzdta z ????
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
运动的重要性质,
运动的独立性
运动的独立性 的实验演示
1.4.2 曲线运动
由速度、加速度的分量表达式可以看到，描写一个质
点的复杂的曲线运动时，其方向的坐标、速度和加速
度与其它方向的坐标、速度和加速度无关；对方向和
方向也有这种性质，即三个方向相互无关。这种性质
称为运动的独立性。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
如果已知,
路程,
运动学的反问题
1.4.2 曲线运动
)( ),( ),( 00 ttt rva
可以完全描述运动。
tdtt tt ???? ? )()( 0
0
avv
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
?
?
?
t
t
zzz
t
t
yyy
t
t
xxx
tdtavtv
tdtavtv
tdtavtv
0
0
0
0
0
0
)()(
)()(
)()(
分量式,
tdtt tt ???? ? )()( 0
0
vrr
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
?
?
?
t
t
z
t
t
y
t
t
x
tdtvztz
tdtvyty
tdtvxtx
0
0
0
0
0
0
)()(
)()(
)()(
)()()( |)(| )()( 222 tvtvtvttvdt tds zyx ????? v
? ???????? tt yyx tdtvtvtvtsts 2220 0 )()()()()(
速度,
位矢,
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
1.5.2 自然坐标系
1.5.3 圆周运动
§ 1.5 自然坐标系中运动的描述 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 1.5 自然坐标系中运动的描述
有时直角坐标系不是最好的坐标系，这是因为,
? 若我们研究的运动是 受约束的运动,比如火车的行驶（它不能
离开铁轨），或穿在弯曲钢丝上的小环的运动等。这类运动往
往轨迹的形状是给定的，由于约束力的参与（本章中我们不讨
论力，仅研究运动），加速度往往与轨迹上点的位置有关（有
时还与质点在该点速度有关），此时运动的独立性往往失效。
沿轨迹的曲线坐标系有可能是更好的坐标系。
? 即使我们研究运动的独立性有效的运动，使用直角坐标系使得
数学计算简单了，但我们 对其中的一些物理细节却并不很清楚 。
比如，我们知道速度的方向是沿着轨迹上质点所在位置的切线
方向，但加速度的方向如何？加速度的方向对速度又有何影响？
于是，我们需要引入一种新的坐标系,自然坐标系 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 1.5 自然坐标系中运动的描述
1.5.1 切向加速度和法向加速度
我们现在考虑加速度的方向。对于沿
直线的运动，只有一个方向，故速度与加
速度的方向都与轨迹的方向平行（对于减
速运动，加速度的方向与运动方向相反，
我们仍视加速度与速度方向平行，有时也
称其为反平行），如图 1.11(a)；对于匀速
圆周运动，加速度与速度方向垂直，如图
1.11(b)；而对于一般的曲线运动，加速度
的方向比较复杂，它往往与速度的方向即
不平行又不垂直，如图 1.11(c)。
由于一维的直线运动非常简单，我们下面的讨论认为质
点的运动不是直线运动。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
速度矢量,)(?)()( ttvt vv ?
其中 是沿着轨道切向，
指向运动方向的单位矢量。
v(t)没有法向分量。
)(? tv
加速度,
t
t
dt
tdt
t ?
???
??
)()()( lim
0
vva
? ? ? ?? ?
tt
tttvttvttttv
t
t
ttvttttv
t
ttt
t
t
?
?
?
?
?
??????????
?
?
?
?????
?
?
???
?
?
?
21) (?)() ()(?) (?)(
1
)(?)() (?) (
)() ()(
vv
vvv
vvvvv
ttt tt ?
??
?
??
????
2
0
1
0 limlim
)( vva
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
)(?)() (? )() ( l i ml i ml i m
00
2
0
tdt tdvttt tvttvt
ttt
vvv ???? ?????? ?
??????
该项沿轨迹的切向，
也即是速度的方向，
我们称这一项为 切向
加速度 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
如图知，求瞬时加速度
至少需要在轨迹上取三个点。
在求加速度的过程中，每次只取三个点，而不在一条直线上
的三个点可以唯一确定一个平面（我们已假定了质点的运动不是
直线运动），在取极限的过程中，这三个点所确定的平面也会随
之变化，最后会趋于一个极限的平面。我们认为这个极限平面与
点附近的轨迹的关系最为密切，故称该极限平面为 密切平面 （简
称 密切面 ）。不仅如此，不在一条直线上的三个点还可以唯一确
定一个圆，于是，在我们的密切面上还有一个极限圆，我们认为
这个极限圆与点附近的轨迹的弯曲情况最为密切，故称该极限圆
为 密切圆,又称 曲率圆,这个圆的半经称为 曲率半径 。
设我们取三个点 P,Q、
Q1来求加速度。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
)(?
)(
)(?
?
)(
)(?) (?
)(
2
00
0
1
0
l i ml i m
l i ml i m
t
tR
tv
t
s
R
v
t
tv
t
ttt
tv
t
tt
tt
nnn
vvv
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
????
????
?
nvnva ??)( )()(?)()(?)(
2
nt aatR
tvt
dt
tdvtt ????
dt
tdva
t
)(? ??? va
)(
)(? 2
tR
tva
n ??? na
其中,
切向加速度，表示速度大小的变化
法向加速度，表示速度方向的变化
于是,
)(tR 曲率半径
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
nvnva ??)( )()(?)()(?)(
2
nt aatR
tvt
dt
tdvtt ????
加速度的大小（绝对值）,
加速度,
222
2
2222
22 1)(
???
?
???
?
?????????
?
?
???
??
???
?
???
???
?
??
?
????
dt
ds
Rdt
sd
R
v
dt
dvaata
nt
)(trr ?如果运动方程 已知,
可以求得,)(,)( tt av
可得轨迹上任意一点的曲率半径为,
|)()(|
)()( 3
tt
tvtR
va ??
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.1 切向加速度和法向加速度
如果以弧长 s 为坐标，则,
dt
dsv ?
2
2
dt
sd
dt
dva
t ??
dtavv ttt??? 0
0
dtdtavv d tss ttttttt ?????? ???? ??? 0 0
000
可得,
质点的运动在形式上与直线运动相仿，所不同的
是，质点走的实际上是曲线。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.2 自然坐标系
neve ??,?? 21 ??
bnve ???? 3 ???
这样构成的正
交坐标系称为 自然
坐标系 （有的书上
称为 内禀坐标系、
本性坐标系、路径
坐标系 等）
当质点作空间运动时，它的速度向量位于轨迹上
的切线方向，而加速度向量位于该点的密切平面上。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.3 圆周运动
0)(,1 RtR ?
2,轨道在一个平面上
则称为 匀速圆周运动 。
称这样的运动为 圆周运动 。
?? 0)( vtv若同时有 常数
)(? )(?,)(?)()( ttttvt rvvv ??
)(?)(?)(?)()(?)()(?)()(?)()(
0
2
tatatR tvtdt tdvdt tdtvtdt tdvt nt nvrvvva ??????
?
?
?
??
?
?
?
?
向心加速度
切向加速度
)(
)(
0
2
R
tv
a
dt
tdv
a
n
t
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.3 圆周运动
圆周运动的另一种描述法,
定义,角速度矢量,大
小为,方向按右手
系指向平行于转轴方向。
ω
dtd /?
有了上述定义，则当
坐标原点选在转轴上 时，如
图，有,
rωrv ??? dtd
dt
d
dt
d
dt
d rωrωva ????? )( rωωrω ?????
dt
d
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.5.3 圆周运动
我们曾指出，对于一个物理对象，用什
么数学语言来描写，这并不是一件很自然的
事情，任何一种数学只是一种逻辑体系，一
种逻辑体系能不能正确地描写我们的物理对
象，是要认真研究的。物理上，寻找那种能
正确地、简洁地描写物理对象的数学是一个
难点。在这里，我们定义了角速度矢量，这
似乎很自然，它又有大小，又有方向。这里
要提醒大家注意的是，有大小又有方向的量
可不一定就是矢量，若要是矢量还必须满足
矢量的运算法则。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.6.1 平面极坐标
1.6.2 位矢、速度和加速度
的极坐标表示
§ 1.6 平面极坐标中的运动描述 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 1.6 平面极坐标中的运动描述
1.6.1 平面极坐标
直角坐标系是最常用的坐标
系，但对有些运动，如圆周运动、
速度或加速度指向空间某固定点
的运动等，直角坐标就不那么方
便，而用平面极坐标（简称极坐
标）会有许多优点。
极坐标法 (只对平面曲线运动时可用 ),
极坐标的建立：规定极点，极轴，极径，极角
极角：极径和极轴的夹角称为极角
两个单位矢量 和,它们分别表示 r 增加的方向（称
为 径向 ）和 增加的方向（称为 横向 ）
r? ??
?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.6.1 平面极坐标
??? ? )(? ?dd r
r? )(? ?????dd
)( ),( ttrr ?? ??在极坐标系中，质点的运动方程为,
从该方程组中消去时间 t，可得轨迹方程为,
0),( ??rf
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示
)(?)()( ttrt rr ?
???? ? ?? ? limlim
00
?? rrtrtr
tt
????????
????
rr
前者叫 径向速度,用 vr表示；后
者叫 横向速度,用 表示，即,?v
?? ? vvrv ???? rr vv ??
??? ?,? ?? rrr ?? vrv
其中,
?? ? ? ????? rr rr
tt ?
??
??
rv lim
0
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示
???? ? ? ? ??? dtddddtd rr r? ? ? ????? ???? dtddddtd
?? ? ? ? )(?)(]?)([)()( ?? rrdtdtrdt tdrtrdtddt tdt ?????? rrrrrv
)? ? ()()( ???? rrdtddt tdt ??? rva
)? (?? ? ? rr ???????? ?????????? ?????? rrrrr
利用矢量的求导公式 推导,
由于,
可得,
ra ? )( 2???? rrr ??
???? ? )2( ???? rr ??a
径向加速度
横向加速度
dt
tdrrr
dt
tdrr )(??? )(?? ?????? ???????? ????? rr
???? ? )2(? )( 2 ??????? rrrr ???? r
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
例,设质点在匀速转动（角速度为）的水平转盘上从
开始自中心出发以恆定的速率沿一半径运动，求质点
的轨迹、速度和加速度。
解, 取质点运动所沿的半径在时的位置为极轴，得,
??
?
?
?
t
utr
?? ??
?
??
??
??? rdtrdv
udtdrv r
/
/
??? ? 2? )( 2 urt ??? ra
轨迹方程,
??ur ?
此曲线为阿基米德螺线
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
一般地，当加速度为常量（如重
力加速度），应选取直角坐标系；当
加速度总指向空间一点时（有心力情
形），选极坐标系较方便；当质点的
轨迹已知时（譬如限定在某曲线轨道
上滑动），则可选用自然坐标系。
总结,中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 1.7 相对运动
通常，把相对观察者静止的
参考系称为定参考系或 静参考系,
把相对观察者运动的参考系称为
动参考系 ； 把物体相对于动参考
系的运动称为 相对运动 （相应的
有相对速度和相对加速度），物
体相对静参考系的运动称为 绝对
运动 （相应的有绝对速度和绝对
加速度）。动参考系相对静参考
系的运动称为 牵连运动 （相应的
有牵连速度和牵连加速度）。
当相对作平动（如的坐标轴在运动中始终与的坐标轴保持平
行）时，牵连速度和牵连加速度不因物体在上的位置不同而异。
当相对转动时，牵连速度和牵连加速度均与物体的位置有关。为
了讨论问题简单起见，本节中动参考系和静参考系中的坐标系都
取直角坐标系。
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.1 动参考系作任意方式的平动
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
§ 1.7 相对运动 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.1 动参考系作任意方式的平动
注意：平动不一定是直线运动！
)()()( 0 ttt rrr ???
2
2 )()()(,)()(
dt
td
dt
tdt
dt
tdt rvarv ???
20
20
000
)()()(,)()( dt tddt tdtdt tdt rvarv ???
2
2 )()()(,)()(
dt
td
dt
tdt
dt
tdt rvarv ????????
)()()( 0 ttt vvv ??? )()()( 0 ttt aaa ???
对静参考系 K,
对动参考系 K/,
于是，我们有,
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
)()()( 0 ttt rrr ???
kjir )()()()( tztytxt ???
kjir ?????????? )()()()( tztytxt
kjir )()()()( 0000 tztytxt ???
P点在 K系的坐标,
P点在 K/系的坐标,
O/点在 K系的坐标、速度
和加速度,
2
0
2
0000 )()()(,)()(
dt
td
dt
tdt
dt
tdt rvarv ???
现在,和 不能象平动参考系那样称其为牵连速
度和牵连加速度
)(0 tv )(0 ta
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
除此之外，对坐标值（它们是标量）作用时 与 完
全相同。
定义,
在静参考系 K中对时间的微商称为 绝对微商,符号,
在动参考系 K/中对时间的微商称为 相对微商,符号,
DtD
dtd
它们之间差别表现在对坐标系的坐标基矢作用时不同
绝对微商视 为变量，视 为常量； kji ???,,kji,,
相对微商视 为变量，视 为常量； kji ???,,kji,,
DtD dtd
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
Dt
D
tD
D varv ??,
td
d
td
d
,
varv ??????
K 系,
K/ 系,
当 K/系只平动而不转动时，
坐标基矢 都是常
矢量，则 对它们作用
后结果为零；
kji ???,,
DtD/
而当 K/系只转动而不平动
时，坐标基矢 都
在以角速度 ω作圆周运动 kji ???,,
,,kωkjωjiωi ???????????? DtDDtDDtD
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
用 D/Dt作用于 K/系中任意
随时间 t变化的矢量,
kjib ?????????? )()()( tbtbtb zyx
)( kjib ?????????? zyx bbbtDDtDD
tD
Db
tD
Db
tD
Db
tD
bD
tD
bD
tD
bD
zyx
zyx
kji
kji
??
?
??
?
??
?
????
?
??
?
?
kωj ωi ωkji ????????????????????? zyxzyx bbbtd bdtd bdtd bd
)( )( kjiωkji ??????????????????? zyxzyx bbbbbbdtd b ωb ????? dtd
b ωbb ?????? tddtDD
即,
r ωrr ?????? tddtDD v ωvv ?????? tddtDD
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
1,相对于 K/系静止的点，向心加速度
)()()( 0 ttt rrr ???
0,,0000 ??? DtDDtDtDD ωvarv
由于 P点相对于 K/系静止，有,
0,0 ???????? tddtdd varv
)( 0 rrrvv ????? tDDtDDf
tD
D
tD
D
0 rr ??? r ωrr ??????
0
td
d
tD
D r ωv 0 ????
r ωvvv 0 ????? f即牵连速度,
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
1,相对于 K/系静止的点，向心加速度
r ωvvv 0 ????? f
) ( r ωvvaa 0 ?????? tDDtDDf
tD
D
tD
D
tD
D
0 r ωrωv ???????
) ( rωr ωa 0 ??????? tdd
) ( rωωa 0 ?????
若 K/系的原点相对于 K系静止，即,
0,0 00 ?? av
) ( r ω ωaa ????? f rrωω ????? ) ( 2?
由于牵连加速度的方向为由 P点垂直指向转轴方向，
故称该加速度为 向心加速度 。
有,
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度
)()()( 0 ttt rrr ???
0,,0000 ??? DtDDtDtDD ωvarv
P点相对于 K/系作匀速运动,有,
即,
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
0,???????? tddtdd varv 常量
)( 0 rrrv ???? tDDtDD
rωrr ?????? 0 tddtDD rωvv 0 ??????
fvvr ωvvv 0 ?????????
其中 是牵连速度 fv
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
1.7.2 动参考系作任意方式的运动
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度
) ( r ωvvva 0 ??????? tDDtDD
tDDtDDtDDtdd 0 r ωrωvvωv ????????????
) ( rωr ωv ωaa 0 ???????????? tdd
) (2 r ω ωv ωa 0 ????????
) ( 0 r ω ωaa ?????f令,
v ωa ??? 2c o r
c o rf aaa ??则得,
其中 称为科里奥利加速度，这是法国人科里奥利
（ G.Coriolis）于 1835年提出的。 cora
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
