杨维纮
§ 2.1 牛顿运动定律
§ 2.2 常见的力
§ 2.3 动力学问题的求解
§ 2.4 力学相对性原理和伽利略变换
§ 2.5 非惯性参考系、虚拟力
第二章 质点动力学 中
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学
技
术
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2.1.1 牛顿第一定律
2.1.2 牛顿第二定律
2.1.3 牛顿第三定律
§ 2.1 牛顿运动定律 中
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§ 2.1 牛顿运动定律
2.1.1 牛顿第一定律
一个物体，如果不受其它物体作用（或所受合力为
零），则它将保持静止或作匀速直线运动。
这就是牛顿第一定律，该定律的最初表述是伽利
略提出的，后经笛卡尔改进，牛顿使之进一步完善。
关于第一定律，有下列几点需要说明。
1,惯性定律是不能直接用实验严格地验证的，它
是理想化抽象思维的产物。
我们不妨改用下列较为现代化的说法来表述惯性定律,
自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态。
2,第一定律提出了力和惯性这两个重要概念。
中
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2.1.1 牛顿第一定律
3,第一定律是大量观察与实验事实的抽象与概括。
4,第一定律定义了一类重要的参考系 ——惯性系。
牛顿第一定律的意义,
一定存在这样的参考系，在该系中，所有不受
力的物体都保持自己的速度不变。这类参考系，称
为惯性参考系，或称惯性系。
即,惯性定律断言，惯性系一定存在。
5,惯性不是个别物体的性质，而是参考系的性质，或
者说，是时空的性质 。
虽然惯性定律保证了惯性系的存在，但惯性系究竟在哪里？牛顿给出了一
个原则的标准，他认为存在着绝对时间和绝对空间，那就是我们所需要的
一个最基本的惯性系。历史上，人们为了寻找这样“绝对静止”的“绝对
空间”曾多次努力，但最终失败了，绝对空间（或最优越的参考系）并不
存在。这个问题我们留到“相对论”一章中再来探讨。
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2.1.2 牛顿第二定律
运动的改变与所加的动力成正比，并发生在所加的力
的那个直线方向上。
这就是牛顿第二定律，该定律的主要思想在伽利略
对抛体和斜面运动的分析中已有体现，牛顿将其总结为
定律。关于第二定律，有下列几点需要说明。
1,第二定律的数学表述为,
)( vF mdtd? aF m?
其中 F是物体所受的作用力,m是质量，在牛顿力学
的范围内，它是常量。
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2.1.2 牛顿第二定律
2,质量 m 和力 F 的定义 。
牛顿认为：质量是物体所含“物质的量”。
然而，这不能作为定义。什么叫“物质的量”？
仍然是不确定的。在物理学中，一个物理量的定义，
必须同时给出利用其它能够量度的量来计算它的一
套规则。
定义,
质量就是质点所受外力与所产生的加速度之比。
作用在一个质点上的力就是它的质量乘以由于该力
所产生的加速度。
逻辑循环?
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2.1.2 牛顿第二定律
离开了具体的物理背景，去分析这两个定义，无
疑会出现逻辑循环。但对于我们所碰到的具体物理情
况，它是不混乱的。物理规律的作用在于把许多已知
的实验结果统一起来，联系起来，给出许多实验现象
的统一的解释，并且根据这种解释去预测一些新的现
象或实验结果。只要定义、定律确立的联系测量数据
的规则是明确的、不含糊的，那就没有任何混乱可言。
具体说来，牛顿第二定律给出了质量和力必须满足的
一个关系式，在质量和力这两个物理量中，如果我们
规定质量是基本量，则力可以看成是导出量。我们先
定出基本量，然后再来确定导出量。
2,质量 m 和力 F 的定义 。
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2.1.2 牛顿第二定律
在相同的力 F作用下的两个物体，质量与加速度成反比。
设这两个物体的质量分别为 m1,m2，加速度分别为 a1、
a2,则有,
2
1
12 a
amm ?
若取 m1 的质量为标准质量（可以取为 m1=1 ），由
于 a1,a2都是可以测量的，那么 m2 的质量可以完全
确定。一旦确定了质量，由 m1a1 或 m2a2 就可以完全
确定作为导出量的作用力 F。由此可见，我们并没有
逻辑循环或逻辑混乱。
2,质量 m 和力 F 的定义 。
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2.1.2 牛顿第二定律
质量的单位是千克，千克的标准是保存在巴黎国际计量
局中的一个铂铱圆柱体。在原子尺度上，利用原子质量
单位，用 12C作它的标准，国际协议规定 12C的原子质量精
确地等于 12个原子质量单位。原子质量单位与千克的关
系为
1原子质量单位 = 千克 27106 6 0 5 6 5 5.1 ??
我们这里定义的质量是用来描述物体的惯性的，所以我
们又称它为 惯性质量 。
有了质量的单位，我们可以定义力的单位为牛顿，
定义为,
1牛顿 = 1千克 × 1米 / 秒 2
2,质量 m 和力 F 的定义 。
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2.1.2 牛顿第二定律
3,质量 m 是绝对量。
aFm /?由于,
同一个质点在不同的惯性系中,a,F 不变，故 m 不变。
于是在牛顿力学中，是绝对量，与时间的选取无
关，与坐标系的选取无关。
实验表明，在高速运动中，质量会大大增加。这是
由于高速运动会导致时空变形，我们到相对论一章
再进行讨论。只是在牛顿力学中，质量才是绝对量。
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2.1.2 牛顿第二定律
4,质量具有可加性。
理由？ 不是来自于牛顿第二定律，而是来自实验。
实验,在足够光滑的水平平面上，如
图 2.2所示，我们做三个实验。
(1) 物体 A（质量 mA）与一弹簧相连，
把弹簧拉到长 L，然后释放物体 A，
在弹簧的牵动下,A作加速运动，
测量出开始时刻的加速度 aA；
(2) 用上述弹簧与物体 B相连，仍拉长
到 L，测出释放时刻的加速度 aB ；
(3) 仍是上述弹簧，拉长到 L，和捆绑
在一起的 A,B相连，测出释放时
刻的加速度 aAB 。
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2.1.2 牛顿第二定律
4,质量具有可加性。
?
?
?
?
?
?
?
?
ABAB
BB
AA
amF
amF
amF
B
B
A
A a
Fm
a
Fm ???,
BAAB mmm ??如果,
则,
BA
BA
BA
BA
AB aa
aa
a
F
a
F
F
mm
Fa
?
?
?
?
?
?
而 aA,aB,aAB都可以测量，如上式满足，则质量有可加性。
实验表明，在宏观低速运动时，质量具有可加性。
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2.1.2 牛顿第二定律
注意,
只依靠牛顿第二定律来分析运动性质，还是不够
的，必须扩充其它假定，如弹簧拉到同样长度产生
同样大小的弹力，这与数学不同。
外加的假设，反映了我们对客观世界的看法，
或说是客观世界的一种模型。在什么地方应当补充
些什么，或者说用什么模型去描述客观世界，是物
理的难点。
4,质量具有可加性。
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2.1.2 牛顿第二定律
5, 第二定律适用的参考系是惯性系。
6,第二定律是矢量式，因而力是矢量。
7,第二定律是瞬时关系式。
8,第二定律中的各量可直接测定，因而所给出的预
言是明确的，可以用实验证伪。
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2.1.2 牛顿第二定律
我们知道，任何实验都是有误差的。这样就会出现一
个问题，牛顿第二定律为什么不会是 F=ma1+△ 或 F=ma1-△,
△ =10-n 为一个正数？当 n 的值较大时（比方说 n > 20），那
么目前我们的任何实验都无法区分 F=ma1+△ 或 F=ma1-△ 与
F=ma 有什么差别。牛顿第二定律的形式为 F=ma,究竟理
由何在？
这是由于我们相信：自然规律是简单的、和谐的。如
果牛顿第二定律的形式为 F=ma1+△ 或 F=ma1-△,我们就要
问，这个△的物理意义是什么？为什么自然界会是这么一种
不和谐的样子？这里我们看到，物理学来自于自然哲学，在
物理学的发展过程中，一旦物理学的知识不够用了，它就要
到自然哲学中去寻找武器，到数学中去寻找工具。这一点，
相对论的发展给了我们极好的例子，我们到相对论一章中再
详谈。
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2.1.2 牛顿第二定律
9,物理学的量纲和量纲分析。
由于物理量之间有定义和定律相联系，所以在量度物理量时，
不必给所有的物理量规定单位，当少数几个物理量的单位规定后，
其他物理量的单位即可由它们导出。这些被选定并规定单位的物理
量叫 基本量,基本量的单位叫 基本单位,其余的物理量就叫 导出量,
它们的单位就叫 导出单位 。选定的基本量及其单位不同，对应的单
位制就不同。在国际单位制中，基本量是长度、质量、时间（及电
流、发光强度、温度和物质的量），速度、加速度、力等就是导出
量。
基本量选定以后，导出量的单位可从基本量的单位的组合而得
到。在国际单位制中，表示力学量只要三个基本量，即长度、质量、
时间，分别用 L,M,T 表示这三个基本量，则任何力学量 A（就其
单位量度来说）总可以写成 L,M,T 的一定幂次的组合,
上式右边就称为力学量 A 的 量纲 。
rqp TMLA ?][
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2.1.2 牛顿第二定律
只有量纲相同的物理量才能相加，相减和相等，这一法则叫
量纲法则 。量纲法则是量纲分析的基础。 量纲分析 是一种有用的方
法，它的主要用处有,
9,物理学的量纲和量纲分析。
(1) 在基本量相同的单位制之间进行单位换算 。
(2) 验证公式 。
(3) 为推导某些复杂公式提供线索或直接推导公式 。
例如，要知道牛顿与达因的换算关系，可由力的量纲
[F] = L M T-2得到。由 1米＝ 100厘米,1千克＝ 1000克，
得 1牛顿＝ 100× 1000 达因＝ 105 达因。
因为只有量纲相同的量才能相加，相减，相等，一个
物理公式只有在量纲正确的情况下才可能正确。
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2.1.2 牛顿第二定律
10,用定律作物理量定义式的注意事项。
(1) 因为物理定律不是绝对真理，有一定的适用范围，出了
适用范围，定律一般不再正确，这时的定义也就不再合
适了，因而不能再这样定义，解决方法为,
(a) 增加一个基本量；
(b) 用新的定律做定义式。
这一点和数学不同，数学上的定义没有这种情况。
(2) 用牛顿第二定律作力或质量的定义，并不排斥我们寻求不
依赖于牛顿第二定律的关于力和质量的定义。如果我们找
到了这样的新定律，则,
(a） 在牛顿第二定律适用范围内，新的定律等价于它；
(b) 若新的定律又是一个独立的定律，则又可以减少一个
基本量。
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2.1.3 牛顿第三定律
每一个作用总是有一个相等的反作用和它对抗；
或者说，两物体彼此之间的相互作用永远大小相等，
方向相反。
数学表达式,
ABBA ?? ?? FF
这就是牛顿第三定律，从动力学角度看，有了前两个
定律已经完整了。牛顿第三定律是关于力的性质的定律，
而不是动力学本身的定律，它是牛顿独立发现的。
关于牛顿第三定律，有下列几点需要说明,
1,作用力与反作用力性质相同。譬如都为万有引力、电磁力、
弹性力等。
2,作用力与反作用力作用在两个物体上，永远不会相互抵消。
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2.1.3 牛顿第三定律
3,适用范围
(1) 由于第三定律不涉及运动，因而它与第一、第二
定律不同，并不要求参考系是惯性系。
牛顿力学的时空观是绝对的，也就是说，时间
和空间是客观存在，并不因为在时空中是否存在物
质或者是否存在运动而改变时空的结构和性质，因
而空间可以用欧几里德空间来描述，它是处处“平
坦”的，是各向同性的。同一个力在不同的参考系
看来，其大小和绝对的方向都是不会改变的。牛顿
的这个宇宙观似乎是,显而易见” 的，几百年来都
无人怀疑，我们称之为“经典时空观”，相对论的
问世对此提出了质疑。
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2.1.3 牛顿第三定律
(2) 对于接触力，第三定律总是正确的。对于非
接触力，第三定律则不一定正确。
作用力与反作用力相等而反向是以力的传
递不需要时间即传递速度为无限大为前提的，
这是牛顿的超距作用的观点。如果力的传递速
度是有限的，作用与反作用就不一定相等。
设想物体 A静止不动，另一物体以一定速度向右运动,t时刻它
在 B点,t/ 时刻它在 B/ 点，如图 2.5。如果力的传递速度有限，当它处
在图中 B/ 点时，它在时刻 t 对 A的作用力刚传到 A物体上，方向向下，
而物体受到物体 A 的作用力则指向左上方，这是因为物体 A 静止不
动，它的作用早已传到空间各处。故
ABBA ?? ? FF
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2.1.3 牛顿第三定律
在通常的力学问题中，物体的运动速度往往不
大，即使力以有限的速度传递，但因传递速度比物
体运动的速度大得多（如引力以光速传递），力以
有限速度传递的效应并不显著，可不必考虑。但在
有些情况，如在较强电磁力作用下，粒子速度往往
可与光速相比拟，牛顿第三定律就不再正确了。 我
们将用动量守恒等一些守恒定律来代替牛顿第三定
律,这个问题的深入讨论可以参见第四章的对称性、
因果关系与守恒律一节。
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§ 2.2 常见的力
找到了动力学基本方程之后，关于运动
的定律已经有了。物理学的另一主要任务就
是要研究力，即根据给定物体和它周围环境
的性质来计算作用在该物体上的力，并寻找
各种不同类型的力的统一。如果弄清楚自然
界中的最基本的力，我们在原则上就能解释
自然界中各式各样的运动现象。这里，我们
先来简单介绍一些常见的力。
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1,弹性力
变形物体因形变而产生的恢复力称为弹性力。当形变不
大时，弹性力与形变成正比,
kxF ??
这就是胡克定律。其中 k 是一个常数，称为倔强系数或劲
度系数，为偏离平衡位置的位移，负号表示力与位移的方向相反
。胡克定律的成立是有一定限度的，当形变太大时，胡克定律将
不再成立，这时，即使撤去迫使形变的外力，形变物体也不能恢
复原状，这种形变不能恢复的性质称为范性，或称塑性。在塑性
阶段，金属具有类似液体的流动性质。
如物体的变形很轻微（不少情况如此），可近似认为不变形，
是刚性的，但弹性力仍来自形变。这样对同一物体会又使用刚性
又有弹性两个似乎矛盾的概念。
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2,摩擦力
当两物体的接触面有相对滑动或有相对滑动的趋
势时，会产生一种阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，
这种力叫摩擦力。前者称为滑动摩擦力（简称动摩擦
力），后者称为静摩擦力。
摩擦力是最常遇到的力，但是关于它的规律却是
复杂的。我们在这里仅谈几条简单的规律。
摩擦力分类,
（ 1） 干摩擦
（ 2） 湿摩擦
中
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2,摩擦力
（ 1） 干摩擦
两块干燥固体之间的摩擦力，称为干摩擦，服从以下的规律,
(a) 动摩擦力与正压力成正比，与两物体的表观接触面积无关；
(b) 当相对速度不很大时，动摩擦力与速度无关；
(c) 静摩擦力可在零与一个最大值（称最大静摩擦力）之间变化，
视相对滑动趋势的程度而定。最大静摩擦力也与正压力成正
比，在一般情况下它大于动摩擦力。
这三条规律通常称为 库仑摩擦定律,是库仑（ C.A.de,Coulomb，
1736一 1806）确立的。实际上早在库仑之前，阿蒙顿（ G,
Amontons 1663一 1705）已基本上确认了前两条定律。
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2,摩擦力
（ 1） 干摩擦
其中第一条和第三条定律，写成表式为,
Nf kk ??
Nf ss ??
式中 分别称为 动摩擦系数 和 静摩擦系数, 通常在 0.15～
0.5之间。 略大于 。
sk ??,
k?
s? k?
摩擦的起因相当复杂，主要与接触面的局部形变和表面的分子引力
有关。
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2,摩擦力
（ 2） 湿 摩擦
流体不同层之间由于相对滑动而造成的阻力叫 湿摩擦力 或 粘滞
阻力,当相对速度不很大时，粘滞阻力与速度的横向变化率、接触
面积及粘度成正比。固体与流体接触面发生相对运动时所产生的阻
力的起因与此相同，当相对运动速度不大时，与固体相对流体的速
度 v 成正比，即,
vF ???
其中 是粘滞系数。应该指出的是，此定律是一条粗糙的经验定律，
当速度较大时，比如飞机飞行中所受的阻力，它近似地与速度的平方
成正比，为,
?
2vF ???
通常湿摩擦比干摩擦要小得多，且不存在静摩擦力。利用润滑
油以减少固体间的摩擦，就是这个道理。
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3,重力
在地球表面附近，一个质量为 m 的物体受到的
重力方向垂直于水平面，大小为
mgF ?
其中 g 是重力加速度。重力主要是万有引力在地球表
面的表现形式。
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4,万有引力
任意两个质点 m1 和 m2 之间都存在着相互吸引力，
力的大小为,
2
21
r
mmGF ?
其中 m1 和 m2 称为引力质量,G 称为引力常数，以
后将专题讨论。
中
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5,库仑力
带电体之间的相互作用规律是由法国物理学家库仑
发现的，因而称之为库仑力。两个静止的点电荷之间的
作用力的大小与它们电荷 q1,q2 的乘积成正比，与它们
之间的距离 r 的平方成反比，方向沿着两点电荷的连线。
如果电荷是异号的，则为吸引力，如果是同号的，则是
排斥力。其表达式为,
2
21
r
qqkF ?
其中 k是比例系数，选取适当的单位，可以令 k = 1。
中
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6,分子力
分子间相互作用的规律较复杂，很
难用简单的数学公式来表示。一般在实
验的基础上，采用简化模型处理问题，
可近似地用下列的半经验公式来表示,
)( tsrrF ts ??? ??
式中 r 为两个分子中心之间的距离,都是正数
（需根据实验数据加以确定）。 上式中的第一项是正的，
代表斥力；第二项是负的，代表引力。由于 s 和 t 都比较
大，一般约为 6～ 7，所以分子力随分子间距离的增大而急
剧地减小。这种力可以认为具有一定的有效作用距离，超
出有效作用距离，作用力实际上可以完全忽略。由于 s > t，
所以斥力的有效作用距离比引力的小。力 F 随 r 的变化情
况大致如图 2.6 所示。
ts,,,??
中
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7,核力
核力是把原子核中的核子（质子和中子）束缚在一
起的力。这种力有效作用距离极短，对于大于约 10-13厘
米的距离，核力很快就变得很小，可略而不计了。但在
小尺度内，它却超过核子之间的一切其他形式的相互作
用而占支配地位。这是一种异常复杂类型的相互作用，
直到大约 0.4× 10-13厘米，它还是吸引力，大小可表示为,
0r
r
n er
CF ??
其中 C 为常数,r 是两个核子间的距离,r0 ≈ 10-13厘米。
但距离若再小，就成为强排斥力了。
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8,洛伦兹力
一个带电荷 q 的点电荷以速度 v 在磁感应强度为
B 的磁场中运动，要受到磁场的作用力，此种力称为洛
伦兹力，其表达式为,
BvF ?? q
以上我们列举了八种力，当然，还可以举出很多
种。在绪论中，我们指出，物理学并不仅仅满足于把
各式各样的力罗列出来，因为，物理学认为客观世界
的现象虽是复杂的，但原因却是简单的，从本质上讲，
自然界并不存在如此多种类型的力，我们希望寻求各
种现象的统一。
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力的统一
在目前的宇宙中，存
在着四类基本的相互作用，
所有的运动现象的原因都
逃不出这四类基本的力，
各式各样的力只不过是这
四类基本力在不同情况下
的不同表现而已。四类基
本作用是,引力作用、电
磁作用、强相互作用、
弱相互作用 。而在宇宙的
早期，这些力之间表现的
不同可能也不存在，它们
逐步合成最基本的力。例
如，在宇宙年龄约 1秒之
前，电磁作用和弱相互作
用的差别可能完全消失了。
中
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§ 2.3 动力学问题的求解
动力学的典型问题大致可以归结为以下三类,
1,已知质点的运动情况，求其他物体施于该质点的作
用力，即研究质点何以作这种运动；
2,已知其它物体施于这质点的作用力，求质点运动情
况；
3,已知质点运动情况与所受力的某些方面，求质点运
动情况与所受力的未知方面。
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质点动力学问题的求解 关键是力 。牛顿运动定律指
出，力使质点获得加速度。而质点在各个瞬时的加速度
（附以适当的初始条件）则完全确定了质点的运动情况，
这是我们在质点运动学中已研究过的问题。这样，力对
质点运动情况的影响是通过加速度表现出来的，因此，
加速度这个物理量起着很重要的“桥梁”作用,它将牛
顶运动定律与质点运动学结合起来，而牛顿运动定律与
质点运动学知识相结合，就提供了解决各种各样质点动
力学问题的原则依据。
§ 2.3 动力学问题的求解 中
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当质点运动时，常常受到预先给定的限制，如斜面上的物体
只能沿斜面运动，等等。我们把限制质点自由运动的条件称为约束，
通常用约束方程来表示质点所受的约束。
约束物体与被约束物体之间在接触点处互施作用力，我们把
作用在被约束物体上的这种力称为约束反力，或简称约束力；作用
在一个物体上的外力，如果它的大小和方向与约束无关，则称为主
动力。
约束反力以主动力的存在为前提，但主动力与约束反力存在根
本的差别。主动力要么大小、方向均已知，如重力等；要么大小、
方向与质点运动的某些瞬时量有关，如万有引力和弹簧的弹性力由
质点的瞬时相对位置决定，粘滞阻力则与质点的瞬时相对速度有关。
总之，主动力与约束条件无关，不管其运动服从什么样的微分方程，
也不管除了它以外还有别的力存在，它的变化规律是已知的。而约
束反力其大小和方向一般都是未知的，它既与约束条件有关，又与
物体的运动情况有关，必须通过求解运动微分方程才能确定。例如，
摩擦力与物体在接触面的正压力有关。
中
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科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
约束运动有以下两个明显的特点,
1,独立坐标的数目减少了；
2,由于运动微分方程中出现了未知的约束反力，使方
程式中未知量的个数增多了。
正因有如此特点，结果从牛顿定律所能得到的代
数方程的数目会少于未知量的个数。因此，必须引人
约束方程才能构成完备的方程组，以便达到求出未知
量的目的，这一点对求解约束运动非常重要。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
综上所述，求解质点动力学问题的步骤为,
1,隔离物体,如果所讨论的问题多于一个质点，可以把
几个物体分别隔离出来，对每个物体分别加以讨论。
2,受力分析,采用图示方法把质点受到的力（主动力与
约束力）全部示于图中，不得遗漏。为防止遗漏某些
力，应当注意掌握力的特性，即除了万有引力之外，
所有的力都是接触力，只有相互接触的物体才相互作
用（近代物理认为就连万有引力也不过是物体通过引
力场而相互作用）。因此，为考察某一物体受到哪些
力作用，除了重力之类的万有引力（这通常是不致遗
漏的）以外，只须注意这一物体与哪些物体相接触，
只有在与其他物体相接触处才受到其他物体的作用力，
而且作用力与反作用力总是成对出现的（重力的反作
用力作用在地球上），这样作就能有效地防止遗漏某
些作用力。
中
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纮
3,运动分析,对质点进行运动分析是十分必要的。必要
的运动分析，加上正确的受力分析，提供了给出动力
学方程的前提条件。
综上所述，求解质点动力学问题的步骤为,
4,选定坐标系、列出方程,动力学方程是矢量方程，为
了算出结果，一般应写出分量方程。在什么坐标下写
分量方程，往往应根据运动或受力进行选取，选取得
当可以使求解简洁，不易出错。对于约束运动往往还
需要列出约束方程。
5,方程求解、讨论,对分量方程进行数学求解，必须注
意结果的合理性，给出必要的讨论。
中
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例 2-2,阿脱武德机。图 2.8所示的装置称为阿脱武德机，左、右两
边原挂有质量均为 M 的物块，在右物块上又放有质量为 m 的小物块。
忽略滑轮和绳的质量及轮轴上的摩擦，求左物上升的加速度,m 与
M 之间的作用力及支点 A 所承受的力。
本例中有两点值得指出,
1,当把 M 与 m 看成一个
物体时,N 是内力，不
出现在运动方程中。要
求出 N，必须把 m（或
M ）隔离，这样，原来
的内力就成了外力，出
现于运动方程中。
2,A 点的支承力并不等于
三物体的重量之和，这
一点往往被忽视。这是
由于三物体都在作加速
运动的缘故。
中
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纮
解,把右物块 M 与 小物块 m
看成一个物体，设绳中张力
为 T，画出左右两物块的受
力分析图 2.8(b)，取向上为正
的竖直坐标，可列出下列方
程,
1MaMgT ??
2)()( amMgmMT ????
21 aa ??
gmM ma ?? 21
MgmM mMmM mMgagMT ???????? 2 )(2)21()( 1
解得,
A 点所受的支承力,
MgmM mMTF ???? 2 )(42
中
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阿脱武德机是阿脱武德（ G,
Atwood,1746~1807）为研究落
体定律而发明的一种著名装置，
它与伽利略所用的斜面一样，具
有减慢落体加速度的作用，使实
验易于观测。
中
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例 2-3：一动滑轮与一定滑轮连接，如图 2.9(a)，已知 m1=400 克,
m2=200克,m3=400克，略去摩擦及动、定滑轮质量，绳长不变、质
量可不计，求每个物体的加速度及各绳中的张力。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
??
21
214
43
3333
2222
1111
TT
TTT
TT
amTgm
amTgm
amTgm
解,
??
?
????
??
212
13
)()( lxxxx
lxx
??
?
???
??
02
0
12
3
aaa
aa
02 312 ??? aaa
中
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例 2-4：竖直上抛物体最小应具有多大速度 v0 才不再落回地面，不计
空气阻力，已知引力正比于 1/x2（ x 是物体到地心的距离）。
解：由于物体只受万有引力作用，引力的方向指向
地心，初速度的方向与之相反，这是直线运动，只
须取一维坐标，很自然以地球为参考系，如图 2.10
建立坐标系。
22 / xm g RP ??
初始条件,t=0 时, x=R,dx/dt=v0
列出运动方程为,
xmxRmg ???? 2
2
注意该方程的特点是并不显含时间 t，而题目也没有要求我们
去求坐标和时间的关系 x(t)，而只有当上抛的物体在某一时刻速度
变为零后，才有可能落回地面，故只须知道速度是否可能变为零即
可，无需求解 x(t) 。
中
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将上述方程两边同乘以 dx，可得,
m v d vxdxmdtxxmdxxmdxxRmg ????? ???????2
2
利用初始条件积分得,
v d vmxdxRgm xvxR ?? ???? ? 22
0
2
0
22
2
1
2
1 mvxmm g R
x
Rmg ??? ?
x
gRgRv
dt
dxv 22
0
22 ????
gRv 220 ?
2
0
2
2
2
vgR
gRx
??
若 v=0 时，物体这时折回
而向地面降落。
gRv 220 ?若
则永远有 v>0，物体永远向上运动，不再回到地
球。所以竖直上抛物体若要不回地球，它的初速
v0 最小应为,
秒米 /102.112 30 ??? gRv
中
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例 2-5：一质量为 m 的物块置于倾角为 的固定斜面上，如图 2.11，
物体与斜面的静摩擦系数为 。现用一水平外力 F 推物
块，欲使物块不滑动,F 的大小应满足什么条件？
?
??? t a n,?
此例有两点值得指出,
1,静摩擦力 f 并不是一个
定值，它可以取一个
到 之间的任一个值，
究竟取何值，由具体情
况而定，不要一提起静
摩擦力，就套上了的公
式 。
N??
N??
Nf ??
2,斜而上物体对斜面的正压力，也不能简单地套用,
而要由运动方程决定，如本例中,F 的垂直于斜面的分力使正压
力增大。
?co smg
中
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解：这是一个平衡问题，平衡问题可以看成动力学的特
例，即合力为零的情形。
平衡条件,
0g ???? FfNm
取图上所示的坐标，考
察即将下滑的情形
0s i nc o s ??? ?? mgfF
0c o ss i n ??? ?? mgFN
Nf ??
解得,
mgFF ??? ??? s inc o s c o ss in1 ????
即当作用力小于 F1 时，物块将下滑。但 F 也不能太大，
因为物体还可以上滑。
中
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解得,
当物体即将上滑时，平衡方程为,
0s i nc o s ??? ??? mgNF
0c o ss i n ??? ?? mgFN
mgFF ??? ??? s inc o s c o ss in2 ????
即 当 F > F2 时,物体上滑。综合以上结果，物块不滑
动的条件为
mgFmg ??? ?????? ??? s inc o s c o ss ins inc o s c o ss in ??????
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例 2-6：一种称为绞盘的装置，如图 2.12，绳索绕在绞盘
的固定圆柱上，当绳子承受负荷巨大的拉力 TA，人可以
用小得多的力 TB 拽住绳子。设绳与圆柱的摩擦系数为 μ，
绳子绕圆柱的张角为 Φ，求 TA 与 TB 的关系。
解：用隔离物体法，考虑在 θ 处对圆心张角 dθ 的一段
线元，分析它受力的情况。
中
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dNdTdT ????? ???? 2c o s)]()([
dNdTdT ??? 2s i n)]()([ ????
切向,
法向,
2/)2/s i n ( ?? dd ?
1)2/c o s ( ??d
dTTdT ??? )()( ???
TTdT 2)()( ??? ???
利用,
?? dTdT ??
可得,
?? ?? BABA ?? ?? dTdTTT
)ex p ( ??? ?AB TT
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2.4.1 力学相对性原理
2.4.2 时间和空间的绝对性
2.4.3 伽利略变换
§ 2.4 力学相对性原理和伽利略变换 中
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§ 2.4 力学相对性原理和伽利略变换
2.4.1 力学相对性原理
一切惯性系在力学上都是等价的。
在任何惯性系中，力学定律具有相同的形式。
以上两种描述意义是相同的，这称为 力学相对性原理 。
这里所说的，“一切惯性系在力学上都是等价
的”，并不是说人们在不同的惯性系中所看到的现象
都一样，比如在火车上的自由落体运动，站台上的观
察者看来，物体做的是平抛运动。“一切惯性系在力
学上都是等价的”这句话的意义是，不同惯性系中的
动力学规律（如牛顿的三个定律）都一样，从而都能
正确地解释所看到的现象。
中
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2.4.2 时间和空间的绝对性
当考虑两个坐标系之间的变换时，不随之而变的
量称为 绝对量 。
考虑两个相互运动的参考系 K 和 K/，牛顿认为,
?
?
?
??????????
??????????
|| || || || 1212
1212
rrrrrr
tttttt
即时间间隔和空间间隔不随坐标系的选取而改变。
特别地，若选取两坐标系的基矢,
kkjjii ??????,,
则有,
??
?
????
????
rr
tt
这称为 时间和空间的绝对性
中
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2.4.2 时间和空间的绝对性
??
?
????
????
rr
tt
这样的结果是相当平凡的，由日常生活的经验不难接受
这些结果，实际上，在第一章中我们一直在未加说明地用着
这些结果，而没有感觉到有什么不合理的地方，它们似乎很
“浅显”。
然而，物理学的特点之一，就是不放过任何一个“浅显”
的概念，总是力图找出这些“浅显”概念的根基是什么。的
确，在低速运动时，上式精确地成立。但是用这两式解释高
速运动（接近光速）的现象时遇到了难以克服的困难。当人
们去寻找这个十分平凡而“浅显”的结论的物理基础时发现，
其中隐含有更本质的东西，即时空的真正含义，我们到相对
论一章再详细讨论。
中
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2.4.3 伽利略变换
考虑两个相互作匀速直
线运动的参考系 K 和 K/,
设它们具有相同的坐标基矢，
如图，由于时间和空间的绝
对性，有,
?
?
?
???
???
0
0
rrr
ttt
设 t0=0，且当 t0 时刻，两坐标系的原点重合,K/ 系相对
于 K 系以速度 u 匀速运动，即
t 0 ur ?
??
?
???
??
t
tt
urr
于是,这称为 伽利略变换
中
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2.4.3 伽利略变换
??
?
???
??
t
tt
urr
伽利略变换,
分量形式为,
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
???
tt
zz
yy
utxx
??
?
??
???
aa
uvv
a
v
a
v
a
uv
r
v
r
v
?
?
?
???
??
?
?
???
td
d
dt
d
td
d
dt
d
,
,
由于,
可得,
中
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2.4.3 伽利略变换
结论：两个相互作匀速直线运动的参考系具有相同的加速度。
这就导致如果牛顿第一定律在 K 系中成立，则在 K/ 系中也成立的
结论。
在牛顿力学范围内,物体的质量是不变量,而力的定律中,力
几乎都表现为物体相对位置的函数或相对速度的函数,相对位置和
相对速度在伽利略变换下又是不变的，所以,F,m,a各量在不同的
惯性系中保持不变,这就导致运动定律在任何惯性系中具有相同形
式的结论 。即伽利略变换与力学相对性原理是一致的。通常所谓的
伽利略变换正是指两个惯性系之间的坐标变换。
将力学的相对性原理推广到更一般的相对性原理,在任何惯性
系中，物理学定律具有相同的形式 。 即不仅力学定律，所有的物理
学定律（包括电磁的定律等）都具有相同的形式，这种想法是自然
的。然而，一旦超出力学范围（比如对电磁过程），伽利略变换并
不正确，而应该用洛仑兹变换来取代。
中
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2.5.1 平动参考系
2.5.2 转动参考系
2.5.3 例题
2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和
惯性的起源
§ 2.5 非惯性参考系、虚拟力 中
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§ 2.5 非惯性参考系、虚拟力
2.5.1 平动参考系
设静参考系 K 为惯性系，在
任何时刻，动参考系 K/ 相对于
静参考系作平动，即动参考系的
坐标基矢相对于静参考系是常量。
为了在形式上用牛顿定律
解释物体在系中的运动，必须
认为物体除了受真实力 F的作用
外，还受一虚拟力的作用。在
真实力和虚拟力共同作用下，
物体的运动仍满足牛顿定律。
中
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2.5.1 平动参考系
在 K 系中物体的运动满足牛顿定律,F = m a。但
因 a ≠ a/，在 K/ 系看来物体的运动不满足牛顿定律，即
F ≠ m a/ 。
)()()( 0 ttt rrr ???
牵连速度,)(,)()()( 00 tttt vvvv ???
牵连加速度,)(,)()()( 00 tttt aaaa ???
aaaF ???? mmm 0
aaF ??? mm 0
afF i ??? m这就是说，在非惯性系里，有,
0aFaf i mm ?????
其中 虚拟力,
称为 平移惯性力,简称 惯性力 。
中
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2.5.1 平动参考系
真实力与惯性力的合力常称 表现力,记为 Feff，于是有,
aF ?? me ff
于是，我们将牛顿第二定律推广到了非惯性系之一
的平动参考系。在平动参考系中，只要引入虚拟力（平
移惯性力），则可以向惯性系一样，用牛顿定律讨论平
动参考系的问题。为了与虚拟力比较，我们将以前所考
虑的力称为,真实力” 。
FFf i ?? e ff
而虚拟力为表现力和真实力之差。
中
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2.5.1 平动参考系
“虚拟力”和“真实力”的区别,
1,不能指出是哪个物体作用；
2,没有反作用力；
3,所有质点都受力，其指向一律与“牵连”加速度
a0（坐标系的加速度）相反，且正比于质量（和
重力规则类似）；
4,原则上讲，只要选择惯性系，就可以消除惯性
力，而真实力一般不能这样来消除。
我们在“虚拟力”和“真实力”上加了引号，是
因为这只是牛顿力学的说法，在近代物理中，“虚拟
力”和“真实力”的界线已经不那么明显了。
下面我们深入地讨论这个问题。
中
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1,等效原理
如果电梯在重力场中自由下落，电梯内自由飘浮
于空中的物体，好象处于无重力场的太空中一样。爱
因斯坦指出，电梯向下的落体加速度恰好抵消了该处
的重力场，电梯内的观察者无法断定电梯是静止于太
空中还是在重力场中自由下落。
上述概念就是 等效原理,它是由爱因斯坦提出的
著名假设。它告诉我们，究竟是均匀重力加速度 g 还
是参考系的加速度 a0 =－ g，这在局部范围内是无法加
以区分的。一般情况下，要说出给定的力中有多少是
重力，有多少是惯性力是不可能的。
中
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1,等效原理
由于实际的重力场是非均匀的，它不可
能延伸到整个空间，即重力场具有局域性。
而加速系是非局域性的，可以均匀地延伸到
整个空间。因此，爱因斯坦指出，严格地说
每次只有在一个点上才可以把重力同时看成
惯性力，根据这个考虑，他认为世界的几何
性要比普通的欧几里德几何复杂得多。
中
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2,厄缶实验（验证引力质量与惯性质量成正比）
上述等效原理成立的基础是引力质量与
惯性质量相等，或引力质量与惯性质量成正
比。匈牙利物理学家厄缶在 1908年完成了一
个证明引力质量与惯性质量成正比的令人信
服的实验。狄克与他的合作者在厄缶的基础
上，对实验的方法和技术进行了改进。这里
简单介绍一下狄克的实验。
中
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2,厄缶实验（验证引力质量与惯性质量成正比）
图 2.17是这一实验的装置
示意图，不同质料的物体 A和
B系在一根棒的两端，并用细
丝将棒水平地悬挂起来，构成
一个扭秤。由于地球绕太阳公
转，在地球这一非惯性系中，
A,B不仅要受到太阳的引力 F
的作用，而且要受到惯性力 f
的作用，其中 F 与引力质量成
正比,f 与惯性质量成正比。
设想扭秤位于地球北极，太阳在水平方位，若取 A,B两物
体的引力质量相等，则 FA = FB。如果引力质量与惯性质量不成正
比，就有 FA ≠ FB,于是扭秤就要受一个合力矩作用。随着地球
的自转，太阳表观方位发生变化，此力矩以 24小时为周期而变化，
从而将使扭秤以相同周期而摆动。
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2,厄缶实验（验证引力质量与惯性质量成正比）
狄克的实验在 10-11
的相对精度内未观察到
扭秤的周期性偏转，由
此证明引力质量与惯性
质量在 10-11的精度上成
正比。
从设计思想上看，厄缶实验用的是,示零法”,
这种方法的灵敏度是很高的，近代物理经常用,示
零法” 来构造实验，以期得到高精度的,零结果” 。
中
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3,潮汐现象的解释。（引力的空间不均匀性）
每日两次的涨潮、落潮现象，是海水既受太阳（和
月亮）的引力作用，又在作公转的地球这一非惯性系中
受惯性力作用的结果。
在牛顿以前，地球上的潮汐还是一个谜，万有引力
发现后，开始认为月球把地球上的水吸上来，近月球处
形成一个高潮，背离月球处产生一个低潮。由于地球的
自转，使地球上一个地方潮水每天涨落一次。另一学派
则认为，高潮在背离月球的一面，他们争辩说，因为月
球把地球从水中拉向月球一面。同样，只能得出一天有
一次涨潮的结论。实际观测，每天有两次涨潮，究其原
因，是因为引力的空间不均匀性造成的。
中
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3,潮汐现象的解释。（引力的空间不均匀性） 中
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3,潮汐现象的解释。（引力的空间不均匀性）
太阳、月亮都会在地球上产生潮汐现象，虽然在地球处太阳的引
力远大于月亮的引力，但由于潮汐现象主要来自于引力的空间不均匀
性，由于月亮离地球要比太阳近得多，故月亮比太阳的引力不均匀性
大得多，月亮对潮汐的作用比太阳更大。
中
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2.5.2 转动参考系
1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力
)()()( 0 ttt rrr ???
0,,0000 ??? DtDDtDtDD ωvarv
由于 P点相对于 K/系静止，有,
0,0 ???????? tddtdd varv
)( 0 rrrvv ????? tDDtDDf
tD
D
tD
D
0 rr ??? r ωrr ??????
0
td
d
tD
D r ωv 0 ????
r ωvvv 0 ????? f即牵连速度,
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
中
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1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力
r ωvvv 0 ????? f
) ( r ωvvaa 0 ?????? tDDtDDf
tD
D
tD
D
tD
D
0 r ωrωv ???????
) ( rωr ωa 0 ??????? tdd
) ( rωωa 0 ?????
若 K/系的原点相对于 K系静止，即,
0,0 00 ?? av
) ( r ω ωaa ????? f rrωω ????? ) ( 2?
由于牵连加速度的方向为由 P点垂直指向转轴方向，
故称该加速度为 向心加速度 。
有,
中
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1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力
为了与平移惯性力区别，我们用 fc 表示该虚拟力，由图
2.20知它的方向为垂直于转轴向外的方向，因而我们称 fc 为 惯
性离心力,简称 离心力 。
于是虚拟力,
在转动参考系看来 P 静止不动，
为了在形式上用牛顿定律解释物体在
非惯性系上的运动，必须认为物体不
仅受真实力 F 作用，而且还受虚拟力
fc 作用,fc 正好与 F相抵消，即表现
力为,
在惯性系看来质点 P 具有向心加
速度，因而受力（真实力）为,
) ( r ω ωaF ????? mm
0??? ifFF e f f
) ( r ω ωFFf ??????? me f fc
中
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技
术
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1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力
) ( r ω ωFFf ??????? me f fc
惯性离心力的特点,
1,惯性离心力垂直于转轴，
并指向离开转轴的方向；
2,惯性离心力与物体质量
成正比。（我们以后会
看到，所有的惯性力都
与质量成正比）
中
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例 2-7：地球表面上物体的重力并不严格指向地心，且重力随纬度
的减小而减小。
离心力,?? c o s2 Rmf
C ?
表观重力,
???? 22 c o sc o s RmmgfPP C ????
), ( mgPf C ???注意到
Pθ与 P的夹角 Φ,
g
R
mg
Rm
P
f C
2
2s i ns i nc o ss i n 22 ?????? ????
可见 Φ在 45o处为最大,
6%15.02/2m a x ????? gR?
如果考虑到引力质量与惯性质量的不同,Φ的表达式应为,
引
惯
m
m
g
R ???
2
2s i n2 ??
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
如果惯性质量与引力
质量不成正比，此 Φ角将
因物体的质料不同而异，
因而，若用细线将不同质
料的物体悬挂起来，悬线
将取不同的方向。厄缶原
来的实验正是基于这一思
想，此实验在 1922年发表
时，精度达到 10-5。
引
惯
m
m
g
R ???
2
2s i n2 ??
中
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技
术
大
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纮
例 2-8：同步卫星可以定点于赤道上空。
要想物体静止于地球上空而成
为地球同步卫星，必须物体的表观
重力 Pθ为零。由图 2.21可见，仅当
θ=0 时，引力 P 和离心力的矢量和
才有可能为零，因此地球同步卫星
可以且只能定点于赤道上空，万有
引力为
220 / Rm g RP ?
???? 222
2
0 c o sc o s Rm
R
RmgfPP
C ????
其高度可求得为,
米7
3/1
2
2
0 102.4 ????
?
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2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利力
)()()( 0 ttt rrr ???
0,,0000 ??? DtDDtDtDD ωvarv
P点相对于 K/系作匀速运动,有,
即,
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
0,???????? tddtdd varv 常量
)( 0 rrrv ???? tDDtDD
rωrr ?????? 0 tddtDD rωvv 0 ??????
fvvr ωvvv 0 ?????????
其中 是牵连速度 fv
中
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2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利力
) ( r ωvvva 0 ??????? tDDtDD tDDtDDtDDtdd 0 r ωrωvavωv 0 ?????????????
) ( rωr ωv ωaa 0 ???????????? tdd
) (2 r ω ωv ωa 0 ????????
) ( 0 r ω ωaa ?????f令,
v ωa ??? 2c o r
c o rf aaa ??则得,
其中 称为科里奥利加速度，这是法国人科里奥利
（ G.Coriolis）于 1835年提出的。 cora
中
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2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利力
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
若,
c o rf aaa ??
在 K 系看,P点受到真实力 F 作用,
在 K/ 系看，为了能形式上使用牛顿定律，质点 P点所受的表
现力必须为零，故质点 P 除了受惯性离心力 fc 作用外，还受到另
一力 fcor 作用,
) ( 0 r ω ωaa ?????f
0a ?0
)2 r ( ω ωv ω
aF
???????
?
mm
m
v ωf ???? 2 mc o r
fcor称为 科里奥利力 。
中
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由科里奥利力的表达式可见，该力有三个特征,
1,与相对速度成正比，故只有当物体相对转动参考
系运动时才可能出现；
2,与转动参考系的角速度的一次方成正比，而离心力
与角速度的二次方成正比，故当参考系的转动角速
度较小时，科里奥利力比离心力更重要；
3,力的方向总是与相对速度垂直，放不会改变相对速
度的大小；在地球上当 ω方向向上（如地球的北半
球）时，力沿地面的分量指向相对运动的右方,ω
向下（如南半球）时，力沿地面的分量指向相对运
动的左方。
v ωf ???? 2 mc o r中
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科里奥利力在地球上有以下的表现,
1,地面上北半球河流冲刷右岸。火车对
右轨的偏压较大。（在南半球则对左
岸和左轨作用大。）
中
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科里奥利力在地球上有以下的表现,
2,自由落体因受科里奥
利力的作用，会向东
偏斜。这可以用实验
来演示，如图 2.22，
在旋转平台上装一个
斜坡，让小球从斜坡
的上方自由滚下，小
球的运动将向旋转的
前方偏斜，这就是落
体偏东的演示。
中
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科里奥利力在地球上有以下的表现,
3,在北半球的单摆由于受科里奥利力的作用，使摆球
轨迹每次都向运动方向的右方偏斜，最后使摆平面
沿顺时针方向转动，如图 2.23。转动角速度为,
1851年傅科（ J,L,
Foucault,1819~1868）
在巴黎伟人祠用长 67米
的摆做了实验，摆的振
动周期 T=16.5秒，每摆
动一次，摆面转动 0.05o，
经 32小时，摆面转动一
周，直接证明了地球在
自转。
?? s in???
中
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科里奥利力在地球上有以下的表现,
4,天气图上高、低气压环流能长期存在。
如图 2.24(a),(b)，是北
半球高空的情况，图中虚线
表示等压线，在高空摩擦力
可以忽略，气压梯度力 F 与
科里奥利力 fcor 正好平衡。
图 2.24(c),(d)，是北半球
地面的情况。在地面，由于
摩擦力 f 的加入，平衡时是气
压梯度力 F、科里奥利力 fcor
与摩擦力 f 三个力平衡。
图 2.24(d) 就是我们熟知
的台风的气体环流图。
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2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源
牛顿力学是讨论物体的运动状态及其改
变的，其描述脱离不开参考系。牛顿定律并
不适用于所有的参考系，后人把牛顿定律适
用的参考系叫做惯性参考系。然而，牛顿力
学的理论框架本身并不能明确给出什么是惯
性参考系。牛顿完全了解自己理论中存在的
这一薄弱环节，他的解决办法是引入一个客
观标准 ——绝对空间,用以判断各物体是处
于静止、匀速运动，还是加速运动状态。
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2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源
牛顿（ 1643~1727）承认，区分特定物体的绝对运动（即相
对于绝对空间的运动）和相对运动并非易事。不过，他还是提出了
判据。譬如，用绳子将两个球拴在一起，让它们保持在定距离上，
绕共同的质心旋转。从绳子张力可以得知绝对运动角速度的大小。
牛顿的绝对空间概念曾受到同时代的人，如惠更斯、莱布尼
兹等的非难和指责，但由于牛顿力学的巨大成就,200余年中一直
为人们普遍接受。其间也有反对的，代表性人物是英国主教贝克
莱，他说：“让我们设想有两个球，除此之外空无一物，说它们
围绕共同的中心作圆周运动，是不能想象的。但是，若天空上突
然产生恒星，我们就能够从两球与天空不同部分的相对位置想象
出它们的运动了。”如果宇宙中只有这两个球，而它们又象牛顿
所设想的那样，被一根绳子栓着，谁能回答它们是否绕共同的质
心旋转，以及绳中有没有张力？这的确是很难想象的。
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2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源
,水桶实验”是牛顿提出的另一个更著名的实验。
实验的大意如下：一个盛水的桶挂在有条扭得很紧的绳
子上，然后放手，于是如图 2.28所示。
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牛顿的“水桶实验”
(a) 开始时，桶旋转得很快，但
水几乎静止不动。在粘滞力
经过足够的时间使它旋转起
来之前，水面是平的，完全
与水桶转动前一样。
(b) 水和桶一起旋转，水面变成凹状的抛物面。
(c) 突然使桶停止旋转，但桶内的水还在转动，水面仍然保
持凹状的抛物面。
牛顿就此分析道，在 (a),(c) 阶段里，水和桶都有相对
运动，而前者水是平的，后者水面凹下；在 (b),(c) 阶段里，
无论水和桶有无相对运动，水面都是凹下的。牛顿由此得出
结论：桶和水的相对运动不是水面凹下的原因，这个现象的
根本原因是水在空间里绝对运动（即相对于牛顿的绝对空间
的运动）的加速度。
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绝对空间在哪里？
牛顿曾经设想，在恒星所在的遥远地方，或许在它
们之外更遥远的地方。他提出假设，宇宙的中心是不动
的，这就是他所想象的绝对空间。牛顿当时清楚地意识
到，要给惯性原理以一个确切的意义，那就必须把空间
作为独立于物体惯性行为之外的原因引进来。
爱因斯坦说：“对此，牛顿自己和他同时代的最有
批判眼光的人都是感到不安的；但是人们要想给力学以
清晰的意义，在当时却没有别的办法。”
爱因斯坦还认为，牛顿引入绝对空间，对于建立他
的力学体系是必要的。这是在那个时代“一位具有最高
思维能力和创造力的人所能发现的唯一道路”。
从现今的观点来看，牛顿的绝对时空观是不对的。
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绝对空间在哪里？
首先在物理学界产生巨大影响的是奥地利物理学家马赫
（ E,Mach,1838—1916）。
马赫认为，牛顿水桶实验中水面凹下，是它与宇宙远处存
在的大量物质之间有相对转动密切相关的。当水的相对转动停
止时，水面就变成平的了。反过来，如果水不动而周围的大量
物质相对于它转动，则水面也同样会凹下。如果设想把桶壁的
厚度增大到几公里甚至几十公里，没有人有资格说出，这实验
将会变成怎样。而他本人相信，这一怪桶的旋转将真的对桶内
的水产生一个等效的惯性离心力作用，即使其中的水并无公认
意义下的转动。马赫的思想归结为一切运动都是相对于某种物
质实体而言的，是相对于远方恒星（或者说是宇宙中全部物质
的分布）的加速度引起了惯性力和有关效应。
牛顿认为物体的惯性是绝对空间赋予的，而马赫则
认为惯性是物体与宇宙间众星体相互作用的结果。
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绝对空间在哪里？
马赫的深刻思想一时不为人们所理解，却给了爱因斯坦以极大启
发，引导他于 1915年创立了广义相对论。他设想若某一升降机是惯性
系，在其中的观测者会发现光线沿直线传播，但若该升降机作匀加速
运动，其中的观测者会发现光线沿抛物线传播，可是该观测者可以认
为升降机仍然作匀速运动，而只不过受到了一个引力的作用，于是
1913年 6月 25日爱因斯坦写信给马赫,
明年日食时将会证明，以参考系的加速度同引力场等效为基础
的基本假设是否真正站得住。果真如此，则您对力学基础所作的贴
切研究，将不顾普朗克不公正的批评而得到光辉的证实。因为完全
按照您对牛顿水桶实验的批判，一个必然的后果是：惯性来源于物
体的一种相互作用。这里的第一个推论写在我文章的第 6页上，再补
充二点：（ 1）如果加速一个很重的物质壳层，则包含在此壳层里的
质量会受到一个加速的力。（ 2）如果相对于恒星围绕中心轴旋转此
壳层，壳内将产生一个科里奥利力，亦即，傅科摆的摆面将被曳引
（实际上曳引的角速度小得无法测量）。
中
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绝对空间在哪里？
马赫的思想对广义相对论的建立影响如
此巨大，爱因斯坦于 1918年前后使用了“马
赫原理”的说法，以表达下列命题：时空的
局部结构（从而试探质点的惯性行为），仅
由质量和能量的分布所决定。爱因斯坦认为，
马赫原理应能在广义相对论中得到体现。
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绝对空间在哪里？
爱因斯坦从惯性质量等于引力质量这一事实看出，
引力和加速度产生的惯性力是等价的。我们可以把这两
个概念及其区别淡化起来，于是，把坐标原点固定在一
个在引力场中自由降落、或者说自由飞行的物体上，坐
标架由陀螺仪来定向，这便是一个相当理想的局部惯性
参考系。从牛顿力学的观点看，地面参考系才是惯性系，
而自由降落的升降机则不是。但我们也可认为自由降落
的升降机是惯性系；而在地面参考系内感觉到的重力，
反而是它相对于惯性系（自由降落的升降机）有向上加
速度的效果。这是广义相对论的观点。
中
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§ 2.1 牛顿运动定律
§ 2.2 常见的力
§ 2.3 动力学问题的求解
§ 2.4 力学相对性原理和伽利略变换
§ 2.5 非惯性参考系、虚拟力
第二章 质点动力学 中
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2.1.1 牛顿第一定律
2.1.2 牛顿第二定律
2.1.3 牛顿第三定律
§ 2.1 牛顿运动定律 中
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§ 2.1 牛顿运动定律
2.1.1 牛顿第一定律
一个物体，如果不受其它物体作用（或所受合力为
零），则它将保持静止或作匀速直线运动。
这就是牛顿第一定律，该定律的最初表述是伽利
略提出的，后经笛卡尔改进，牛顿使之进一步完善。
关于第一定律，有下列几点需要说明。
1,惯性定律是不能直接用实验严格地验证的，它
是理想化抽象思维的产物。
我们不妨改用下列较为现代化的说法来表述惯性定律,
自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态。
2,第一定律提出了力和惯性这两个重要概念。
中
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2.1.1 牛顿第一定律
3,第一定律是大量观察与实验事实的抽象与概括。
4,第一定律定义了一类重要的参考系 ——惯性系。
牛顿第一定律的意义,
一定存在这样的参考系，在该系中，所有不受
力的物体都保持自己的速度不变。这类参考系，称
为惯性参考系，或称惯性系。
即,惯性定律断言，惯性系一定存在。
5,惯性不是个别物体的性质，而是参考系的性质，或
者说，是时空的性质 。
虽然惯性定律保证了惯性系的存在，但惯性系究竟在哪里？牛顿给出了一
个原则的标准，他认为存在着绝对时间和绝对空间，那就是我们所需要的
一个最基本的惯性系。历史上，人们为了寻找这样“绝对静止”的“绝对
空间”曾多次努力，但最终失败了，绝对空间（或最优越的参考系）并不
存在。这个问题我们留到“相对论”一章中再来探讨。
中
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2.1.2 牛顿第二定律
运动的改变与所加的动力成正比，并发生在所加的力
的那个直线方向上。
这就是牛顿第二定律，该定律的主要思想在伽利略
对抛体和斜面运动的分析中已有体现，牛顿将其总结为
定律。关于第二定律，有下列几点需要说明。
1,第二定律的数学表述为,
)( vF mdtd? aF m?
其中 F是物体所受的作用力,m是质量，在牛顿力学
的范围内，它是常量。
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2.1.2 牛顿第二定律
2,质量 m 和力 F 的定义 。
牛顿认为：质量是物体所含“物质的量”。
然而，这不能作为定义。什么叫“物质的量”？
仍然是不确定的。在物理学中，一个物理量的定义，
必须同时给出利用其它能够量度的量来计算它的一
套规则。
定义,
质量就是质点所受外力与所产生的加速度之比。
作用在一个质点上的力就是它的质量乘以由于该力
所产生的加速度。
逻辑循环?
中
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2.1.2 牛顿第二定律
离开了具体的物理背景，去分析这两个定义，无
疑会出现逻辑循环。但对于我们所碰到的具体物理情
况，它是不混乱的。物理规律的作用在于把许多已知
的实验结果统一起来，联系起来，给出许多实验现象
的统一的解释，并且根据这种解释去预测一些新的现
象或实验结果。只要定义、定律确立的联系测量数据
的规则是明确的、不含糊的，那就没有任何混乱可言。
具体说来，牛顿第二定律给出了质量和力必须满足的
一个关系式，在质量和力这两个物理量中，如果我们
规定质量是基本量，则力可以看成是导出量。我们先
定出基本量，然后再来确定导出量。
2,质量 m 和力 F 的定义 。
中
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2.1.2 牛顿第二定律
在相同的力 F作用下的两个物体，质量与加速度成反比。
设这两个物体的质量分别为 m1,m2，加速度分别为 a1、
a2,则有,
2
1
12 a
amm ?
若取 m1 的质量为标准质量（可以取为 m1=1 ），由
于 a1,a2都是可以测量的，那么 m2 的质量可以完全
确定。一旦确定了质量，由 m1a1 或 m2a2 就可以完全
确定作为导出量的作用力 F。由此可见，我们并没有
逻辑循环或逻辑混乱。
2,质量 m 和力 F 的定义 。
中
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2.1.2 牛顿第二定律
质量的单位是千克，千克的标准是保存在巴黎国际计量
局中的一个铂铱圆柱体。在原子尺度上，利用原子质量
单位，用 12C作它的标准，国际协议规定 12C的原子质量精
确地等于 12个原子质量单位。原子质量单位与千克的关
系为
1原子质量单位 = 千克 27106 6 0 5 6 5 5.1 ??
我们这里定义的质量是用来描述物体的惯性的，所以我
们又称它为 惯性质量 。
有了质量的单位，我们可以定义力的单位为牛顿，
定义为,
1牛顿 = 1千克 × 1米 / 秒 2
2,质量 m 和力 F 的定义 。
中
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2.1.2 牛顿第二定律
3,质量 m 是绝对量。
aFm /?由于,
同一个质点在不同的惯性系中,a,F 不变，故 m 不变。
于是在牛顿力学中，是绝对量，与时间的选取无
关，与坐标系的选取无关。
实验表明，在高速运动中，质量会大大增加。这是
由于高速运动会导致时空变形，我们到相对论一章
再进行讨论。只是在牛顿力学中，质量才是绝对量。
中
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2.1.2 牛顿第二定律
4,质量具有可加性。
理由？ 不是来自于牛顿第二定律，而是来自实验。
实验,在足够光滑的水平平面上，如
图 2.2所示，我们做三个实验。
(1) 物体 A（质量 mA）与一弹簧相连，
把弹簧拉到长 L，然后释放物体 A，
在弹簧的牵动下,A作加速运动，
测量出开始时刻的加速度 aA；
(2) 用上述弹簧与物体 B相连，仍拉长
到 L，测出释放时刻的加速度 aB ；
(3) 仍是上述弹簧，拉长到 L，和捆绑
在一起的 A,B相连，测出释放时
刻的加速度 aAB 。
中
国
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技
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维
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2.1.2 牛顿第二定律
4,质量具有可加性。
?
?
?
?
?
?
?
?
ABAB
BB
AA
amF
amF
amF
B
B
A
A a
Fm
a
Fm ???,
BAAB mmm ??如果,
则,
BA
BA
BA
BA
AB aa
aa
a
F
a
F
F
mm
Fa
?
?
?
?
?
?
而 aA,aB,aAB都可以测量，如上式满足，则质量有可加性。
实验表明，在宏观低速运动时，质量具有可加性。
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2.1.2 牛顿第二定律
注意,
只依靠牛顿第二定律来分析运动性质，还是不够
的，必须扩充其它假定，如弹簧拉到同样长度产生
同样大小的弹力，这与数学不同。
外加的假设，反映了我们对客观世界的看法，
或说是客观世界的一种模型。在什么地方应当补充
些什么，或者说用什么模型去描述客观世界，是物
理的难点。
4,质量具有可加性。
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2.1.2 牛顿第二定律
5, 第二定律适用的参考系是惯性系。
6,第二定律是矢量式，因而力是矢量。
7,第二定律是瞬时关系式。
8,第二定律中的各量可直接测定，因而所给出的预
言是明确的，可以用实验证伪。
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2.1.2 牛顿第二定律
我们知道，任何实验都是有误差的。这样就会出现一
个问题，牛顿第二定律为什么不会是 F=ma1+△ 或 F=ma1-△,
△ =10-n 为一个正数？当 n 的值较大时（比方说 n > 20），那
么目前我们的任何实验都无法区分 F=ma1+△ 或 F=ma1-△ 与
F=ma 有什么差别。牛顿第二定律的形式为 F=ma,究竟理
由何在？
这是由于我们相信：自然规律是简单的、和谐的。如
果牛顿第二定律的形式为 F=ma1+△ 或 F=ma1-△,我们就要
问，这个△的物理意义是什么？为什么自然界会是这么一种
不和谐的样子？这里我们看到，物理学来自于自然哲学，在
物理学的发展过程中，一旦物理学的知识不够用了，它就要
到自然哲学中去寻找武器，到数学中去寻找工具。这一点，
相对论的发展给了我们极好的例子，我们到相对论一章中再
详谈。
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2.1.2 牛顿第二定律
9,物理学的量纲和量纲分析。
由于物理量之间有定义和定律相联系，所以在量度物理量时，
不必给所有的物理量规定单位，当少数几个物理量的单位规定后，
其他物理量的单位即可由它们导出。这些被选定并规定单位的物理
量叫 基本量,基本量的单位叫 基本单位,其余的物理量就叫 导出量,
它们的单位就叫 导出单位 。选定的基本量及其单位不同，对应的单
位制就不同。在国际单位制中，基本量是长度、质量、时间（及电
流、发光强度、温度和物质的量），速度、加速度、力等就是导出
量。
基本量选定以后，导出量的单位可从基本量的单位的组合而得
到。在国际单位制中，表示力学量只要三个基本量，即长度、质量、
时间，分别用 L,M,T 表示这三个基本量，则任何力学量 A（就其
单位量度来说）总可以写成 L,M,T 的一定幂次的组合,
上式右边就称为力学量 A 的 量纲 。
rqp TMLA ?][
中
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2.1.2 牛顿第二定律
只有量纲相同的物理量才能相加，相减和相等，这一法则叫
量纲法则 。量纲法则是量纲分析的基础。 量纲分析 是一种有用的方
法，它的主要用处有,
9,物理学的量纲和量纲分析。
(1) 在基本量相同的单位制之间进行单位换算 。
(2) 验证公式 。
(3) 为推导某些复杂公式提供线索或直接推导公式 。
例如，要知道牛顿与达因的换算关系，可由力的量纲
[F] = L M T-2得到。由 1米＝ 100厘米,1千克＝ 1000克，
得 1牛顿＝ 100× 1000 达因＝ 105 达因。
因为只有量纲相同的量才能相加，相减，相等，一个
物理公式只有在量纲正确的情况下才可能正确。
中
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2.1.2 牛顿第二定律
10,用定律作物理量定义式的注意事项。
(1) 因为物理定律不是绝对真理，有一定的适用范围，出了
适用范围，定律一般不再正确，这时的定义也就不再合
适了，因而不能再这样定义，解决方法为,
(a) 增加一个基本量；
(b) 用新的定律做定义式。
这一点和数学不同，数学上的定义没有这种情况。
(2) 用牛顿第二定律作力或质量的定义，并不排斥我们寻求不
依赖于牛顿第二定律的关于力和质量的定义。如果我们找
到了这样的新定律，则,
(a） 在牛顿第二定律适用范围内，新的定律等价于它；
(b) 若新的定律又是一个独立的定律，则又可以减少一个
基本量。
中
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2.1.3 牛顿第三定律
每一个作用总是有一个相等的反作用和它对抗；
或者说，两物体彼此之间的相互作用永远大小相等，
方向相反。
数学表达式,
ABBA ?? ?? FF
这就是牛顿第三定律，从动力学角度看，有了前两个
定律已经完整了。牛顿第三定律是关于力的性质的定律，
而不是动力学本身的定律，它是牛顿独立发现的。
关于牛顿第三定律，有下列几点需要说明,
1,作用力与反作用力性质相同。譬如都为万有引力、电磁力、
弹性力等。
2,作用力与反作用力作用在两个物体上，永远不会相互抵消。
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2.1.3 牛顿第三定律
3,适用范围
(1) 由于第三定律不涉及运动，因而它与第一、第二
定律不同，并不要求参考系是惯性系。
牛顿力学的时空观是绝对的，也就是说，时间
和空间是客观存在，并不因为在时空中是否存在物
质或者是否存在运动而改变时空的结构和性质，因
而空间可以用欧几里德空间来描述，它是处处“平
坦”的，是各向同性的。同一个力在不同的参考系
看来，其大小和绝对的方向都是不会改变的。牛顿
的这个宇宙观似乎是,显而易见” 的，几百年来都
无人怀疑，我们称之为“经典时空观”，相对论的
问世对此提出了质疑。
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2.1.3 牛顿第三定律
(2) 对于接触力，第三定律总是正确的。对于非
接触力，第三定律则不一定正确。
作用力与反作用力相等而反向是以力的传
递不需要时间即传递速度为无限大为前提的，
这是牛顿的超距作用的观点。如果力的传递速
度是有限的，作用与反作用就不一定相等。
设想物体 A静止不动，另一物体以一定速度向右运动,t时刻它
在 B点,t/ 时刻它在 B/ 点，如图 2.5。如果力的传递速度有限，当它处
在图中 B/ 点时，它在时刻 t 对 A的作用力刚传到 A物体上，方向向下，
而物体受到物体 A 的作用力则指向左上方，这是因为物体 A 静止不
动，它的作用早已传到空间各处。故
ABBA ?? ? FF
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2.1.3 牛顿第三定律
在通常的力学问题中，物体的运动速度往往不
大，即使力以有限的速度传递，但因传递速度比物
体运动的速度大得多（如引力以光速传递），力以
有限速度传递的效应并不显著，可不必考虑。但在
有些情况，如在较强电磁力作用下，粒子速度往往
可与光速相比拟，牛顿第三定律就不再正确了。 我
们将用动量守恒等一些守恒定律来代替牛顿第三定
律,这个问题的深入讨论可以参见第四章的对称性、
因果关系与守恒律一节。
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§ 2.2 常见的力
找到了动力学基本方程之后，关于运动
的定律已经有了。物理学的另一主要任务就
是要研究力，即根据给定物体和它周围环境
的性质来计算作用在该物体上的力，并寻找
各种不同类型的力的统一。如果弄清楚自然
界中的最基本的力，我们在原则上就能解释
自然界中各式各样的运动现象。这里，我们
先来简单介绍一些常见的力。
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1,弹性力
变形物体因形变而产生的恢复力称为弹性力。当形变不
大时，弹性力与形变成正比,
kxF ??
这就是胡克定律。其中 k 是一个常数，称为倔强系数或劲
度系数，为偏离平衡位置的位移，负号表示力与位移的方向相反
。胡克定律的成立是有一定限度的，当形变太大时，胡克定律将
不再成立，这时，即使撤去迫使形变的外力，形变物体也不能恢
复原状，这种形变不能恢复的性质称为范性，或称塑性。在塑性
阶段，金属具有类似液体的流动性质。
如物体的变形很轻微（不少情况如此），可近似认为不变形，
是刚性的，但弹性力仍来自形变。这样对同一物体会又使用刚性
又有弹性两个似乎矛盾的概念。
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2,摩擦力
当两物体的接触面有相对滑动或有相对滑动的趋
势时，会产生一种阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，
这种力叫摩擦力。前者称为滑动摩擦力（简称动摩擦
力），后者称为静摩擦力。
摩擦力是最常遇到的力，但是关于它的规律却是
复杂的。我们在这里仅谈几条简单的规律。
摩擦力分类,
（ 1） 干摩擦
（ 2） 湿摩擦
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2,摩擦力
（ 1） 干摩擦
两块干燥固体之间的摩擦力，称为干摩擦，服从以下的规律,
(a) 动摩擦力与正压力成正比，与两物体的表观接触面积无关；
(b) 当相对速度不很大时，动摩擦力与速度无关；
(c) 静摩擦力可在零与一个最大值（称最大静摩擦力）之间变化，
视相对滑动趋势的程度而定。最大静摩擦力也与正压力成正
比，在一般情况下它大于动摩擦力。
这三条规律通常称为 库仑摩擦定律,是库仑（ C.A.de,Coulomb，
1736一 1806）确立的。实际上早在库仑之前，阿蒙顿（ G,
Amontons 1663一 1705）已基本上确认了前两条定律。
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2,摩擦力
（ 1） 干摩擦
其中第一条和第三条定律，写成表式为,
Nf kk ??
Nf ss ??
式中 分别称为 动摩擦系数 和 静摩擦系数, 通常在 0.15～
0.5之间。 略大于 。
sk ??,
k?
s? k?
摩擦的起因相当复杂，主要与接触面的局部形变和表面的分子引力
有关。
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2,摩擦力
（ 2） 湿 摩擦
流体不同层之间由于相对滑动而造成的阻力叫 湿摩擦力 或 粘滞
阻力,当相对速度不很大时，粘滞阻力与速度的横向变化率、接触
面积及粘度成正比。固体与流体接触面发生相对运动时所产生的阻
力的起因与此相同，当相对运动速度不大时，与固体相对流体的速
度 v 成正比，即,
vF ???
其中 是粘滞系数。应该指出的是，此定律是一条粗糙的经验定律，
当速度较大时，比如飞机飞行中所受的阻力，它近似地与速度的平方
成正比，为,
?
2vF ???
通常湿摩擦比干摩擦要小得多，且不存在静摩擦力。利用润滑
油以减少固体间的摩擦，就是这个道理。
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3,重力
在地球表面附近，一个质量为 m 的物体受到的
重力方向垂直于水平面，大小为
mgF ?
其中 g 是重力加速度。重力主要是万有引力在地球表
面的表现形式。
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4,万有引力
任意两个质点 m1 和 m2 之间都存在着相互吸引力，
力的大小为,
2
21
r
mmGF ?
其中 m1 和 m2 称为引力质量,G 称为引力常数，以
后将专题讨论。
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5,库仑力
带电体之间的相互作用规律是由法国物理学家库仑
发现的，因而称之为库仑力。两个静止的点电荷之间的
作用力的大小与它们电荷 q1,q2 的乘积成正比，与它们
之间的距离 r 的平方成反比，方向沿着两点电荷的连线。
如果电荷是异号的，则为吸引力，如果是同号的，则是
排斥力。其表达式为,
2
21
r
qqkF ?
其中 k是比例系数，选取适当的单位，可以令 k = 1。
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6,分子力
分子间相互作用的规律较复杂，很
难用简单的数学公式来表示。一般在实
验的基础上，采用简化模型处理问题，
可近似地用下列的半经验公式来表示,
)( tsrrF ts ??? ??
式中 r 为两个分子中心之间的距离,都是正数
（需根据实验数据加以确定）。 上式中的第一项是正的，
代表斥力；第二项是负的，代表引力。由于 s 和 t 都比较
大，一般约为 6～ 7，所以分子力随分子间距离的增大而急
剧地减小。这种力可以认为具有一定的有效作用距离，超
出有效作用距离，作用力实际上可以完全忽略。由于 s > t，
所以斥力的有效作用距离比引力的小。力 F 随 r 的变化情
况大致如图 2.6 所示。
ts,,,??
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7,核力
核力是把原子核中的核子（质子和中子）束缚在一
起的力。这种力有效作用距离极短，对于大于约 10-13厘
米的距离，核力很快就变得很小，可略而不计了。但在
小尺度内，它却超过核子之间的一切其他形式的相互作
用而占支配地位。这是一种异常复杂类型的相互作用，
直到大约 0.4× 10-13厘米，它还是吸引力，大小可表示为,
0r
r
n er
CF ??
其中 C 为常数,r 是两个核子间的距离,r0 ≈ 10-13厘米。
但距离若再小，就成为强排斥力了。
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8,洛伦兹力
一个带电荷 q 的点电荷以速度 v 在磁感应强度为
B 的磁场中运动，要受到磁场的作用力，此种力称为洛
伦兹力，其表达式为,
BvF ?? q
以上我们列举了八种力，当然，还可以举出很多
种。在绪论中，我们指出，物理学并不仅仅满足于把
各式各样的力罗列出来，因为，物理学认为客观世界
的现象虽是复杂的，但原因却是简单的，从本质上讲，
自然界并不存在如此多种类型的力，我们希望寻求各
种现象的统一。
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力的统一
在目前的宇宙中，存
在着四类基本的相互作用，
所有的运动现象的原因都
逃不出这四类基本的力，
各式各样的力只不过是这
四类基本力在不同情况下
的不同表现而已。四类基
本作用是,引力作用、电
磁作用、强相互作用、
弱相互作用 。而在宇宙的
早期，这些力之间表现的
不同可能也不存在，它们
逐步合成最基本的力。例
如，在宇宙年龄约 1秒之
前，电磁作用和弱相互作
用的差别可能完全消失了。
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§ 2.3 动力学问题的求解
动力学的典型问题大致可以归结为以下三类,
1,已知质点的运动情况，求其他物体施于该质点的作
用力，即研究质点何以作这种运动；
2,已知其它物体施于这质点的作用力，求质点运动情
况；
3,已知质点运动情况与所受力的某些方面，求质点运
动情况与所受力的未知方面。
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质点动力学问题的求解 关键是力 。牛顿运动定律指
出，力使质点获得加速度。而质点在各个瞬时的加速度
（附以适当的初始条件）则完全确定了质点的运动情况，
这是我们在质点运动学中已研究过的问题。这样，力对
质点运动情况的影响是通过加速度表现出来的，因此，
加速度这个物理量起着很重要的“桥梁”作用,它将牛
顶运动定律与质点运动学结合起来，而牛顿运动定律与
质点运动学知识相结合，就提供了解决各种各样质点动
力学问题的原则依据。
§ 2.3 动力学问题的求解 中
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当质点运动时，常常受到预先给定的限制，如斜面上的物体
只能沿斜面运动，等等。我们把限制质点自由运动的条件称为约束，
通常用约束方程来表示质点所受的约束。
约束物体与被约束物体之间在接触点处互施作用力，我们把
作用在被约束物体上的这种力称为约束反力，或简称约束力；作用
在一个物体上的外力，如果它的大小和方向与约束无关，则称为主
动力。
约束反力以主动力的存在为前提，但主动力与约束反力存在根
本的差别。主动力要么大小、方向均已知，如重力等；要么大小、
方向与质点运动的某些瞬时量有关，如万有引力和弹簧的弹性力由
质点的瞬时相对位置决定，粘滞阻力则与质点的瞬时相对速度有关。
总之，主动力与约束条件无关，不管其运动服从什么样的微分方程，
也不管除了它以外还有别的力存在，它的变化规律是已知的。而约
束反力其大小和方向一般都是未知的，它既与约束条件有关，又与
物体的运动情况有关，必须通过求解运动微分方程才能确定。例如，
摩擦力与物体在接触面的正压力有关。
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约束运动有以下两个明显的特点,
1,独立坐标的数目减少了；
2,由于运动微分方程中出现了未知的约束反力，使方
程式中未知量的个数增多了。
正因有如此特点，结果从牛顿定律所能得到的代
数方程的数目会少于未知量的个数。因此，必须引人
约束方程才能构成完备的方程组，以便达到求出未知
量的目的，这一点对求解约束运动非常重要。
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综上所述，求解质点动力学问题的步骤为,
1,隔离物体,如果所讨论的问题多于一个质点，可以把
几个物体分别隔离出来，对每个物体分别加以讨论。
2,受力分析,采用图示方法把质点受到的力（主动力与
约束力）全部示于图中，不得遗漏。为防止遗漏某些
力，应当注意掌握力的特性，即除了万有引力之外，
所有的力都是接触力，只有相互接触的物体才相互作
用（近代物理认为就连万有引力也不过是物体通过引
力场而相互作用）。因此，为考察某一物体受到哪些
力作用，除了重力之类的万有引力（这通常是不致遗
漏的）以外，只须注意这一物体与哪些物体相接触，
只有在与其他物体相接触处才受到其他物体的作用力，
而且作用力与反作用力总是成对出现的（重力的反作
用力作用在地球上），这样作就能有效地防止遗漏某
些作用力。
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3,运动分析,对质点进行运动分析是十分必要的。必要
的运动分析，加上正确的受力分析，提供了给出动力
学方程的前提条件。
综上所述，求解质点动力学问题的步骤为,
4,选定坐标系、列出方程,动力学方程是矢量方程，为
了算出结果，一般应写出分量方程。在什么坐标下写
分量方程，往往应根据运动或受力进行选取，选取得
当可以使求解简洁，不易出错。对于约束运动往往还
需要列出约束方程。
5,方程求解、讨论,对分量方程进行数学求解，必须注
意结果的合理性，给出必要的讨论。
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例 2-2,阿脱武德机。图 2.8所示的装置称为阿脱武德机，左、右两
边原挂有质量均为 M 的物块，在右物块上又放有质量为 m 的小物块。
忽略滑轮和绳的质量及轮轴上的摩擦，求左物上升的加速度,m 与
M 之间的作用力及支点 A 所承受的力。
本例中有两点值得指出,
1,当把 M 与 m 看成一个
物体时,N 是内力，不
出现在运动方程中。要
求出 N，必须把 m（或
M ）隔离，这样，原来
的内力就成了外力，出
现于运动方程中。
2,A 点的支承力并不等于
三物体的重量之和，这
一点往往被忽视。这是
由于三物体都在作加速
运动的缘故。
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解,把右物块 M 与 小物块 m
看成一个物体，设绳中张力
为 T，画出左右两物块的受
力分析图 2.8(b)，取向上为正
的竖直坐标，可列出下列方
程,
1MaMgT ??
2)()( amMgmMT ????
21 aa ??
gmM ma ?? 21
MgmM mMmM mMgagMT ???????? 2 )(2)21()( 1
解得,
A 点所受的支承力,
MgmM mMTF ???? 2 )(42
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阿脱武德机是阿脱武德（ G,
Atwood,1746~1807）为研究落
体定律而发明的一种著名装置，
它与伽利略所用的斜面一样，具
有减慢落体加速度的作用，使实
验易于观测。
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例 2-3：一动滑轮与一定滑轮连接，如图 2.9(a)，已知 m1=400 克,
m2=200克,m3=400克，略去摩擦及动、定滑轮质量，绳长不变、质
量可不计，求每个物体的加速度及各绳中的张力。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
??
21
214
43
3333
2222
1111
TT
TTT
TT
amTgm
amTgm
amTgm
解,
??
?
????
??
212
13
)()( lxxxx
lxx
??
?
???
??
02
0
12
3
aaa
aa
02 312 ??? aaa
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例 2-4：竖直上抛物体最小应具有多大速度 v0 才不再落回地面，不计
空气阻力，已知引力正比于 1/x2（ x 是物体到地心的距离）。
解：由于物体只受万有引力作用，引力的方向指向
地心，初速度的方向与之相反，这是直线运动，只
须取一维坐标，很自然以地球为参考系，如图 2.10
建立坐标系。
22 / xm g RP ??
初始条件,t=0 时, x=R,dx/dt=v0
列出运动方程为,
xmxRmg ???? 2
2
注意该方程的特点是并不显含时间 t，而题目也没有要求我们
去求坐标和时间的关系 x(t)，而只有当上抛的物体在某一时刻速度
变为零后，才有可能落回地面，故只须知道速度是否可能变为零即
可，无需求解 x(t) 。
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将上述方程两边同乘以 dx，可得,
m v d vxdxmdtxxmdxxmdxxRmg ????? ???????2
2
利用初始条件积分得,
v d vmxdxRgm xvxR ?? ???? ? 22
0
2
0
22
2
1
2
1 mvxmm g R
x
Rmg ??? ?
x
gRgRv
dt
dxv 22
0
22 ????
gRv 220 ?
2
0
2
2
2
vgR
gRx
??
若 v=0 时，物体这时折回
而向地面降落。
gRv 220 ?若
则永远有 v>0，物体永远向上运动，不再回到地
球。所以竖直上抛物体若要不回地球，它的初速
v0 最小应为,
秒米 /102.112 30 ??? gRv
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例 2-5：一质量为 m 的物块置于倾角为 的固定斜面上，如图 2.11，
物体与斜面的静摩擦系数为 。现用一水平外力 F 推物
块，欲使物块不滑动,F 的大小应满足什么条件？
?
??? t a n,?
此例有两点值得指出,
1,静摩擦力 f 并不是一个
定值，它可以取一个
到 之间的任一个值，
究竟取何值，由具体情
况而定，不要一提起静
摩擦力，就套上了的公
式 。
N??
N??
Nf ??
2,斜而上物体对斜面的正压力，也不能简单地套用,
而要由运动方程决定，如本例中,F 的垂直于斜面的分力使正压
力增大。
?co smg
中
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解：这是一个平衡问题，平衡问题可以看成动力学的特
例，即合力为零的情形。
平衡条件,
0g ???? FfNm
取图上所示的坐标，考
察即将下滑的情形
0s i nc o s ??? ?? mgfF
0c o ss i n ??? ?? mgFN
Nf ??
解得,
mgFF ??? ??? s inc o s c o ss in1 ????
即当作用力小于 F1 时，物块将下滑。但 F 也不能太大，
因为物体还可以上滑。
中
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解得,
当物体即将上滑时，平衡方程为,
0s i nc o s ??? ??? mgNF
0c o ss i n ??? ?? mgFN
mgFF ??? ??? s inc o s c o ss in2 ????
即 当 F > F2 时,物体上滑。综合以上结果，物块不滑
动的条件为
mgFmg ??? ?????? ??? s inc o s c o ss ins inc o s c o ss in ??????
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例 2-6：一种称为绞盘的装置，如图 2.12，绳索绕在绞盘
的固定圆柱上，当绳子承受负荷巨大的拉力 TA，人可以
用小得多的力 TB 拽住绳子。设绳与圆柱的摩擦系数为 μ，
绳子绕圆柱的张角为 Φ，求 TA 与 TB 的关系。
解：用隔离物体法，考虑在 θ 处对圆心张角 dθ 的一段
线元，分析它受力的情况。
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dNdTdT ????? ???? 2c o s)]()([
dNdTdT ??? 2s i n)]()([ ????
切向,
法向,
2/)2/s i n ( ?? dd ?
1)2/c o s ( ??d
dTTdT ??? )()( ???
TTdT 2)()( ??? ???
利用,
?? dTdT ??
可得,
?? ?? BABA ?? ?? dTdTTT
)ex p ( ??? ?AB TT
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2.4.1 力学相对性原理
2.4.2 时间和空间的绝对性
2.4.3 伽利略变换
§ 2.4 力学相对性原理和伽利略变换 中
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§ 2.4 力学相对性原理和伽利略变换
2.4.1 力学相对性原理
一切惯性系在力学上都是等价的。
在任何惯性系中，力学定律具有相同的形式。
以上两种描述意义是相同的，这称为 力学相对性原理 。
这里所说的，“一切惯性系在力学上都是等价
的”，并不是说人们在不同的惯性系中所看到的现象
都一样，比如在火车上的自由落体运动，站台上的观
察者看来，物体做的是平抛运动。“一切惯性系在力
学上都是等价的”这句话的意义是，不同惯性系中的
动力学规律（如牛顿的三个定律）都一样，从而都能
正确地解释所看到的现象。
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2.4.2 时间和空间的绝对性
当考虑两个坐标系之间的变换时，不随之而变的
量称为 绝对量 。
考虑两个相互运动的参考系 K 和 K/，牛顿认为,
?
?
?
??????????
??????????
|| || || || 1212
1212
rrrrrr
tttttt
即时间间隔和空间间隔不随坐标系的选取而改变。
特别地，若选取两坐标系的基矢,
kkjjii ??????,,
则有,
??
?
????
????
rr
tt
这称为 时间和空间的绝对性
中
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大
学
杨
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2.4.2 时间和空间的绝对性
??
?
????
????
rr
tt
这样的结果是相当平凡的，由日常生活的经验不难接受
这些结果，实际上，在第一章中我们一直在未加说明地用着
这些结果，而没有感觉到有什么不合理的地方，它们似乎很
“浅显”。
然而，物理学的特点之一，就是不放过任何一个“浅显”
的概念，总是力图找出这些“浅显”概念的根基是什么。的
确，在低速运动时，上式精确地成立。但是用这两式解释高
速运动（接近光速）的现象时遇到了难以克服的困难。当人
们去寻找这个十分平凡而“浅显”的结论的物理基础时发现，
其中隐含有更本质的东西，即时空的真正含义，我们到相对
论一章再详细讨论。
中
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科
学
技
术
大
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杨
维
纮
2.4.3 伽利略变换
考虑两个相互作匀速直
线运动的参考系 K 和 K/,
设它们具有相同的坐标基矢，
如图，由于时间和空间的绝
对性，有,
?
?
?
???
???
0
0
rrr
ttt
设 t0=0，且当 t0 时刻，两坐标系的原点重合,K/ 系相对
于 K 系以速度 u 匀速运动，即
t 0 ur ?
??
?
???
??
t
tt
urr
于是,这称为 伽利略变换
中
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术
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2.4.3 伽利略变换
??
?
???
??
t
tt
urr
伽利略变换,
分量形式为,
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
???
tt
zz
yy
utxx
??
?
??
???
aa
uvv
a
v
a
v
a
uv
r
v
r
v
?
?
?
???
??
?
?
???
td
d
dt
d
td
d
dt
d
,
,
由于,
可得,
中
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2.4.3 伽利略变换
结论：两个相互作匀速直线运动的参考系具有相同的加速度。
这就导致如果牛顿第一定律在 K 系中成立，则在 K/ 系中也成立的
结论。
在牛顿力学范围内,物体的质量是不变量,而力的定律中,力
几乎都表现为物体相对位置的函数或相对速度的函数,相对位置和
相对速度在伽利略变换下又是不变的，所以,F,m,a各量在不同的
惯性系中保持不变,这就导致运动定律在任何惯性系中具有相同形
式的结论 。即伽利略变换与力学相对性原理是一致的。通常所谓的
伽利略变换正是指两个惯性系之间的坐标变换。
将力学的相对性原理推广到更一般的相对性原理,在任何惯性
系中，物理学定律具有相同的形式 。 即不仅力学定律，所有的物理
学定律（包括电磁的定律等）都具有相同的形式，这种想法是自然
的。然而，一旦超出力学范围（比如对电磁过程），伽利略变换并
不正确，而应该用洛仑兹变换来取代。
中
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2.5.1 平动参考系
2.5.2 转动参考系
2.5.3 例题
2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和
惯性的起源
§ 2.5 非惯性参考系、虚拟力 中
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§ 2.5 非惯性参考系、虚拟力
2.5.1 平动参考系
设静参考系 K 为惯性系，在
任何时刻，动参考系 K/ 相对于
静参考系作平动，即动参考系的
坐标基矢相对于静参考系是常量。
为了在形式上用牛顿定律
解释物体在系中的运动，必须
认为物体除了受真实力 F的作用
外，还受一虚拟力的作用。在
真实力和虚拟力共同作用下，
物体的运动仍满足牛顿定律。
中
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2.5.1 平动参考系
在 K 系中物体的运动满足牛顿定律,F = m a。但
因 a ≠ a/，在 K/ 系看来物体的运动不满足牛顿定律，即
F ≠ m a/ 。
)()()( 0 ttt rrr ???
牵连速度,)(,)()()( 00 tttt vvvv ???
牵连加速度,)(,)()()( 00 tttt aaaa ???
aaaF ???? mmm 0
aaF ??? mm 0
afF i ??? m这就是说，在非惯性系里，有,
0aFaf i mm ?????
其中 虚拟力,
称为 平移惯性力,简称 惯性力 。
中
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2.5.1 平动参考系
真实力与惯性力的合力常称 表现力,记为 Feff，于是有,
aF ?? me ff
于是，我们将牛顿第二定律推广到了非惯性系之一
的平动参考系。在平动参考系中，只要引入虚拟力（平
移惯性力），则可以向惯性系一样，用牛顿定律讨论平
动参考系的问题。为了与虚拟力比较，我们将以前所考
虑的力称为,真实力” 。
FFf i ?? e ff
而虚拟力为表现力和真实力之差。
中
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2.5.1 平动参考系
“虚拟力”和“真实力”的区别,
1,不能指出是哪个物体作用；
2,没有反作用力；
3,所有质点都受力，其指向一律与“牵连”加速度
a0（坐标系的加速度）相反，且正比于质量（和
重力规则类似）；
4,原则上讲，只要选择惯性系，就可以消除惯性
力，而真实力一般不能这样来消除。
我们在“虚拟力”和“真实力”上加了引号，是
因为这只是牛顿力学的说法，在近代物理中，“虚拟
力”和“真实力”的界线已经不那么明显了。
下面我们深入地讨论这个问题。
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1,等效原理
如果电梯在重力场中自由下落，电梯内自由飘浮
于空中的物体，好象处于无重力场的太空中一样。爱
因斯坦指出，电梯向下的落体加速度恰好抵消了该处
的重力场，电梯内的观察者无法断定电梯是静止于太
空中还是在重力场中自由下落。
上述概念就是 等效原理,它是由爱因斯坦提出的
著名假设。它告诉我们，究竟是均匀重力加速度 g 还
是参考系的加速度 a0 =－ g，这在局部范围内是无法加
以区分的。一般情况下，要说出给定的力中有多少是
重力，有多少是惯性力是不可能的。
中
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1,等效原理
由于实际的重力场是非均匀的，它不可
能延伸到整个空间，即重力场具有局域性。
而加速系是非局域性的，可以均匀地延伸到
整个空间。因此，爱因斯坦指出，严格地说
每次只有在一个点上才可以把重力同时看成
惯性力，根据这个考虑，他认为世界的几何
性要比普通的欧几里德几何复杂得多。
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2,厄缶实验（验证引力质量与惯性质量成正比）
上述等效原理成立的基础是引力质量与
惯性质量相等，或引力质量与惯性质量成正
比。匈牙利物理学家厄缶在 1908年完成了一
个证明引力质量与惯性质量成正比的令人信
服的实验。狄克与他的合作者在厄缶的基础
上，对实验的方法和技术进行了改进。这里
简单介绍一下狄克的实验。
中
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2,厄缶实验（验证引力质量与惯性质量成正比）
图 2.17是这一实验的装置
示意图，不同质料的物体 A和
B系在一根棒的两端，并用细
丝将棒水平地悬挂起来，构成
一个扭秤。由于地球绕太阳公
转，在地球这一非惯性系中，
A,B不仅要受到太阳的引力 F
的作用，而且要受到惯性力 f
的作用，其中 F 与引力质量成
正比,f 与惯性质量成正比。
设想扭秤位于地球北极，太阳在水平方位，若取 A,B两物
体的引力质量相等，则 FA = FB。如果引力质量与惯性质量不成正
比，就有 FA ≠ FB,于是扭秤就要受一个合力矩作用。随着地球
的自转，太阳表观方位发生变化，此力矩以 24小时为周期而变化，
从而将使扭秤以相同周期而摆动。
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2,厄缶实验（验证引力质量与惯性质量成正比）
狄克的实验在 10-11
的相对精度内未观察到
扭秤的周期性偏转，由
此证明引力质量与惯性
质量在 10-11的精度上成
正比。
从设计思想上看，厄缶实验用的是,示零法”,
这种方法的灵敏度是很高的，近代物理经常用,示
零法” 来构造实验，以期得到高精度的,零结果” 。
中
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3,潮汐现象的解释。（引力的空间不均匀性）
每日两次的涨潮、落潮现象，是海水既受太阳（和
月亮）的引力作用，又在作公转的地球这一非惯性系中
受惯性力作用的结果。
在牛顿以前，地球上的潮汐还是一个谜，万有引力
发现后，开始认为月球把地球上的水吸上来，近月球处
形成一个高潮，背离月球处产生一个低潮。由于地球的
自转，使地球上一个地方潮水每天涨落一次。另一学派
则认为，高潮在背离月球的一面，他们争辩说，因为月
球把地球从水中拉向月球一面。同样，只能得出一天有
一次涨潮的结论。实际观测，每天有两次涨潮，究其原
因，是因为引力的空间不均匀性造成的。
中
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3,潮汐现象的解释。（引力的空间不均匀性） 中
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3,潮汐现象的解释。（引力的空间不均匀性）
太阳、月亮都会在地球上产生潮汐现象，虽然在地球处太阳的引
力远大于月亮的引力，但由于潮汐现象主要来自于引力的空间不均匀
性，由于月亮离地球要比太阳近得多，故月亮比太阳的引力不均匀性
大得多，月亮对潮汐的作用比太阳更大。
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2.5.2 转动参考系
1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力
)()()( 0 ttt rrr ???
0,,0000 ??? DtDDtDtDD ωvarv
由于 P点相对于 K/系静止，有,
0,0 ???????? tddtdd varv
)( 0 rrrvv ????? tDDtDDf
tD
D
tD
D
0 rr ??? r ωrr ??????
0
td
d
tD
D r ωv 0 ????
r ωvvv 0 ????? f即牵连速度,
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
中
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1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力
r ωvvv 0 ????? f
) ( r ωvvaa 0 ?????? tDDtDDf
tD
D
tD
D
tD
D
0 r ωrωv ???????
) ( rωr ωa 0 ??????? tdd
) ( rωωa 0 ?????
若 K/系的原点相对于 K系静止，即,
0,0 00 ?? av
) ( r ω ωaa ????? f rrωω ????? ) ( 2?
由于牵连加速度的方向为由 P点垂直指向转轴方向，
故称该加速度为 向心加速度 。
有,
中
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1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力
为了与平移惯性力区别，我们用 fc 表示该虚拟力，由图
2.20知它的方向为垂直于转轴向外的方向，因而我们称 fc 为 惯
性离心力,简称 离心力 。
于是虚拟力,
在转动参考系看来 P 静止不动，
为了在形式上用牛顿定律解释物体在
非惯性系上的运动，必须认为物体不
仅受真实力 F 作用，而且还受虚拟力
fc 作用,fc 正好与 F相抵消，即表现
力为,
在惯性系看来质点 P 具有向心加
速度，因而受力（真实力）为,
) ( r ω ωaF ????? mm
0??? ifFF e f f
) ( r ω ωFFf ??????? me f fc
中
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1,相对于 K/系静止的点，惯性离心力
) ( r ω ωFFf ??????? me f fc
惯性离心力的特点,
1,惯性离心力垂直于转轴，
并指向离开转轴的方向；
2,惯性离心力与物体质量
成正比。（我们以后会
看到，所有的惯性力都
与质量成正比）
中
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例 2-7：地球表面上物体的重力并不严格指向地心，且重力随纬度
的减小而减小。
离心力,?? c o s2 Rmf
C ?
表观重力,
???? 22 c o sc o s RmmgfPP C ????
), ( mgPf C ???注意到
Pθ与 P的夹角 Φ,
g
R
mg
Rm
P
f C
2
2s i ns i nc o ss i n 22 ?????? ????
可见 Φ在 45o处为最大,
6%15.02/2m a x ????? gR?
如果考虑到引力质量与惯性质量的不同,Φ的表达式应为,
引
惯
m
m
g
R ???
2
2s i n2 ??
中
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如果惯性质量与引力
质量不成正比，此 Φ角将
因物体的质料不同而异，
因而，若用细线将不同质
料的物体悬挂起来，悬线
将取不同的方向。厄缶原
来的实验正是基于这一思
想，此实验在 1922年发表
时，精度达到 10-5。
引
惯
m
m
g
R ???
2
2s i n2 ??
中
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例 2-8：同步卫星可以定点于赤道上空。
要想物体静止于地球上空而成
为地球同步卫星，必须物体的表观
重力 Pθ为零。由图 2.21可见，仅当
θ=0 时，引力 P 和离心力的矢量和
才有可能为零，因此地球同步卫星
可以且只能定点于赤道上空，万有
引力为
220 / Rm g RP ?
???? 222
2
0 c o sc o s Rm
R
RmgfPP
C ????
其高度可求得为,
米7
3/1
2
2
0 102.4 ????
?
?
???
??
?
gRR
中
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2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利力
)()()( 0 ttt rrr ???
0,,0000 ??? DtDDtDtDD ωvarv
P点相对于 K/系作匀速运动,有,
即,
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
0,???????? tddtdd varv 常量
)( 0 rrrv ???? tDDtDD
rωrr ?????? 0 tddtDD rωvv 0 ??????
fvvr ωvvv 0 ?????????
其中 是牵连速度 fv
中
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2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利力
) ( r ωvvva 0 ??????? tDDtDD tDDtDDtDDtdd 0 r ωrωvavωv 0 ?????????????
) ( rωr ωv ωaa 0 ???????????? tdd
) (2 r ω ωv ωa 0 ????????
) ( 0 r ω ωaa ?????f令,
v ωa ??? 2c o r
c o rf aaa ??则得,
其中 称为科里奥利加速度，这是法国人科里奥利
（ G.Coriolis）于 1835年提出的。 cora
中
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2,相对于 K/系作匀速运动的点，科里奥利力
O
x
y
z
P
O ?
x ?
y ?
z ?
)( tr
)( tr ?
)(
0
tr
ω
系 K
系 K ?
若,
c o rf aaa ??
在 K 系看,P点受到真实力 F 作用,
在 K/ 系看，为了能形式上使用牛顿定律，质点 P点所受的表
现力必须为零，故质点 P 除了受惯性离心力 fc 作用外，还受到另
一力 fcor 作用,
) ( 0 r ω ωaa ?????f
0a ?0
)2 r ( ω ωv ω
aF
???????
?
mm
m
v ωf ???? 2 mc o r
fcor称为 科里奥利力 。
中
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由科里奥利力的表达式可见，该力有三个特征,
1,与相对速度成正比，故只有当物体相对转动参考
系运动时才可能出现；
2,与转动参考系的角速度的一次方成正比，而离心力
与角速度的二次方成正比，故当参考系的转动角速
度较小时，科里奥利力比离心力更重要；
3,力的方向总是与相对速度垂直，放不会改变相对速
度的大小；在地球上当 ω方向向上（如地球的北半
球）时，力沿地面的分量指向相对运动的右方,ω
向下（如南半球）时，力沿地面的分量指向相对运
动的左方。
v ωf ???? 2 mc o r中
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科里奥利力在地球上有以下的表现,
1,地面上北半球河流冲刷右岸。火车对
右轨的偏压较大。（在南半球则对左
岸和左轨作用大。）
中
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科里奥利力在地球上有以下的表现,
2,自由落体因受科里奥
利力的作用，会向东
偏斜。这可以用实验
来演示，如图 2.22，
在旋转平台上装一个
斜坡，让小球从斜坡
的上方自由滚下，小
球的运动将向旋转的
前方偏斜，这就是落
体偏东的演示。
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科里奥利力在地球上有以下的表现,
3,在北半球的单摆由于受科里奥利力的作用，使摆球
轨迹每次都向运动方向的右方偏斜，最后使摆平面
沿顺时针方向转动，如图 2.23。转动角速度为,
1851年傅科（ J,L,
Foucault,1819~1868）
在巴黎伟人祠用长 67米
的摆做了实验，摆的振
动周期 T=16.5秒，每摆
动一次，摆面转动 0.05o，
经 32小时，摆面转动一
周，直接证明了地球在
自转。
?? s in???
中
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科里奥利力在地球上有以下的表现,
4,天气图上高、低气压环流能长期存在。
如图 2.24(a),(b)，是北
半球高空的情况，图中虚线
表示等压线，在高空摩擦力
可以忽略，气压梯度力 F 与
科里奥利力 fcor 正好平衡。
图 2.24(c),(d)，是北半球
地面的情况。在地面，由于
摩擦力 f 的加入，平衡时是气
压梯度力 F、科里奥利力 fcor
与摩擦力 f 三个力平衡。
图 2.24(d) 就是我们熟知
的台风的气体环流图。
中
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2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源
牛顿力学是讨论物体的运动状态及其改
变的，其描述脱离不开参考系。牛顿定律并
不适用于所有的参考系，后人把牛顿定律适
用的参考系叫做惯性参考系。然而，牛顿力
学的理论框架本身并不能明确给出什么是惯
性参考系。牛顿完全了解自己理论中存在的
这一薄弱环节，他的解决办法是引入一个客
观标准 ——绝对空间,用以判断各物体是处
于静止、匀速运动，还是加速运动状态。
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2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源
牛顿（ 1643~1727）承认，区分特定物体的绝对运动（即相
对于绝对空间的运动）和相对运动并非易事。不过，他还是提出了
判据。譬如，用绳子将两个球拴在一起，让它们保持在定距离上，
绕共同的质心旋转。从绳子张力可以得知绝对运动角速度的大小。
牛顿的绝对空间概念曾受到同时代的人，如惠更斯、莱布尼
兹等的非难和指责，但由于牛顿力学的巨大成就,200余年中一直
为人们普遍接受。其间也有反对的，代表性人物是英国主教贝克
莱，他说：“让我们设想有两个球，除此之外空无一物，说它们
围绕共同的中心作圆周运动，是不能想象的。但是，若天空上突
然产生恒星，我们就能够从两球与天空不同部分的相对位置想象
出它们的运动了。”如果宇宙中只有这两个球，而它们又象牛顿
所设想的那样，被一根绳子栓着，谁能回答它们是否绕共同的质
心旋转，以及绳中有没有张力？这的确是很难想象的。
中
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2.5.4 牛顿绝对时空概念的困难和惯性的起源
,水桶实验”是牛顿提出的另一个更著名的实验。
实验的大意如下：一个盛水的桶挂在有条扭得很紧的绳
子上，然后放手，于是如图 2.28所示。
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牛顿的“水桶实验”
(a) 开始时，桶旋转得很快，但
水几乎静止不动。在粘滞力
经过足够的时间使它旋转起
来之前，水面是平的，完全
与水桶转动前一样。
(b) 水和桶一起旋转，水面变成凹状的抛物面。
(c) 突然使桶停止旋转，但桶内的水还在转动，水面仍然保
持凹状的抛物面。
牛顿就此分析道，在 (a),(c) 阶段里，水和桶都有相对
运动，而前者水是平的，后者水面凹下；在 (b),(c) 阶段里，
无论水和桶有无相对运动，水面都是凹下的。牛顿由此得出
结论：桶和水的相对运动不是水面凹下的原因，这个现象的
根本原因是水在空间里绝对运动（即相对于牛顿的绝对空间
的运动）的加速度。
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绝对空间在哪里？
牛顿曾经设想，在恒星所在的遥远地方，或许在它
们之外更遥远的地方。他提出假设，宇宙的中心是不动
的，这就是他所想象的绝对空间。牛顿当时清楚地意识
到，要给惯性原理以一个确切的意义，那就必须把空间
作为独立于物体惯性行为之外的原因引进来。
爱因斯坦说：“对此，牛顿自己和他同时代的最有
批判眼光的人都是感到不安的；但是人们要想给力学以
清晰的意义，在当时却没有别的办法。”
爱因斯坦还认为，牛顿引入绝对空间，对于建立他
的力学体系是必要的。这是在那个时代“一位具有最高
思维能力和创造力的人所能发现的唯一道路”。
从现今的观点来看，牛顿的绝对时空观是不对的。
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绝对空间在哪里？
首先在物理学界产生巨大影响的是奥地利物理学家马赫
（ E,Mach,1838—1916）。
马赫认为，牛顿水桶实验中水面凹下，是它与宇宙远处存
在的大量物质之间有相对转动密切相关的。当水的相对转动停
止时，水面就变成平的了。反过来，如果水不动而周围的大量
物质相对于它转动，则水面也同样会凹下。如果设想把桶壁的
厚度增大到几公里甚至几十公里，没有人有资格说出，这实验
将会变成怎样。而他本人相信，这一怪桶的旋转将真的对桶内
的水产生一个等效的惯性离心力作用，即使其中的水并无公认
意义下的转动。马赫的思想归结为一切运动都是相对于某种物
质实体而言的，是相对于远方恒星（或者说是宇宙中全部物质
的分布）的加速度引起了惯性力和有关效应。
牛顿认为物体的惯性是绝对空间赋予的，而马赫则
认为惯性是物体与宇宙间众星体相互作用的结果。
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绝对空间在哪里？
马赫的深刻思想一时不为人们所理解，却给了爱因斯坦以极大启
发，引导他于 1915年创立了广义相对论。他设想若某一升降机是惯性
系，在其中的观测者会发现光线沿直线传播，但若该升降机作匀加速
运动，其中的观测者会发现光线沿抛物线传播，可是该观测者可以认
为升降机仍然作匀速运动，而只不过受到了一个引力的作用，于是
1913年 6月 25日爱因斯坦写信给马赫,
明年日食时将会证明，以参考系的加速度同引力场等效为基础
的基本假设是否真正站得住。果真如此，则您对力学基础所作的贴
切研究，将不顾普朗克不公正的批评而得到光辉的证实。因为完全
按照您对牛顿水桶实验的批判，一个必然的后果是：惯性来源于物
体的一种相互作用。这里的第一个推论写在我文章的第 6页上，再补
充二点：（ 1）如果加速一个很重的物质壳层，则包含在此壳层里的
质量会受到一个加速的力。（ 2）如果相对于恒星围绕中心轴旋转此
壳层，壳内将产生一个科里奥利力，亦即，傅科摆的摆面将被曳引
（实际上曳引的角速度小得无法测量）。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
绝对空间在哪里？
马赫的思想对广义相对论的建立影响如
此巨大，爱因斯坦于 1918年前后使用了“马
赫原理”的说法，以表达下列命题：时空的
局部结构（从而试探质点的惯性行为），仅
由质量和能量的分布所决定。爱因斯坦认为，
马赫原理应能在广义相对论中得到体现。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
绝对空间在哪里？
爱因斯坦从惯性质量等于引力质量这一事实看出，
引力和加速度产生的惯性力是等价的。我们可以把这两
个概念及其区别淡化起来，于是，把坐标原点固定在一
个在引力场中自由降落、或者说自由飞行的物体上，坐
标架由陀螺仪来定向，这便是一个相当理想的局部惯性
参考系。从牛顿力学的观点看，地面参考系才是惯性系，
而自由降落的升降机则不是。但我们也可认为自由降落
的升降机是惯性系；而在地面参考系内感觉到的重力，
反而是它相对于惯性系（自由降落的升降机）有向上加
速度的效果。这是广义相对论的观点。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
