杨维纮
第七章 振动和波
人们习惯于按照物质运动的形态，把经典物理学
分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某
些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的
要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在
电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则
是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和
波，仅从微观理论的基石 —— 量子力学又称波动力学
这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重
要性了。尽管在物理学的各分支学科里振动和波的具
体内容不同，在形式上它们却具有极大的相似性。所
以，本章的意义绝不局限于力学，它将为学习整个物
理学打基础。
中
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科
学
技
术
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第七章 振动和波
§ 7.1 简谐振动
§ 7.2 阻尼振动
§ 7.3 受迫振动与共振
§ 7.4 二自由度振动 *
§ 7.5 机械波
§ 7.6 波在空间中的传播
§ 7.7 波的叠加
§ 7.8 多普勒效应
§ 7.9 非线性波简介
中
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7.1.1 平衡与振动
7.1.2 恢复力与弹性力
7.1.3 简谐振动的描述
7.1.4 谐振子的能量
7.1.5 振动的合成与分解
§ 7.1 简谐振动 中 国
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§ 7.1 简谐振动
7.1.1 平衡与振动
处于静止状态的物体，
我们称之为平衡，此时物体
不受力或所受的合力为零。
如果处于平衡位置的物体受
到某种扰动而离开了平衡位
置，则我们根据该物体以后
能否保持平衡而将平衡分为
以下四种：稳定平衡、亚稳
平衡、不稳平衡和随遇平衡，
如图 7.1所示。
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§ 7.1 简谐振动
7.1.1 平衡与振动
我们仅讨论处于稳定
平衡（严格地说，稳定平
衡是理想情况，绝对的稳
定平衡是没有的）或亚稳
平衡而扰动较小的情况，
此时物体将会发生振动。
我们把振动的物体称为 振
子 。
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7.1.2 恢复力与弹性力
图 7.2的“弹簧振子”有一个平衡位置 O，在那个位
置，弹簧既没有伸长也没有缩短，对物体不施加作用力，
物体得以平衡。试把物体从平衡位置移开，例如移到点，
然后放手，拉长的弹簧有收缩的趋势，它施加于物体的
作用力驱使物体向平衡位置移动。这种驱使物体向平衡
位置移动的力叫作 恢复力 。
恢复力和惯性这一对矛盾
不断斗争，它们的作用交替消
长，力学系统就在平衡位置左
右一定范围内来回振动。
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7.1.2 恢复力与弹性力
弹簧振子的恢复力是弹簧的弹性力，其大小正比于
弹簧的伸长或缩短。它满足胡克定律,
kxF ??
式中 x 是物体对平衡位置的位移,k 叫作 弹性系数 （或
倔强系数 ）,k 越大表示弹簧越硬。
由胡克定律可知弹性力有两个特点,
1,因为弹性力 F 的指向总与位移 x 的方向相反，故弹
性力 F 总是指向平衡位置，总是力图把质点拉回到
平衡位置；
2,因为 F 的数值大小正比于位移 x 的大小，所以物体
偏离平衡位置越远，则它受到的拉回平衡点的力也
越大。
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7.1.2 恢复力与弹性力
除了弹簧外，其他的力
也可能具有 (7.1.1)式的形式。
如图 7.3所示的单摆，如将小
球从平衡位置拉到点再松手，
小球将在平衡位置点附近往
复摆动。它的结构虽与上述
弹簧振子完全不同，但它们
的运动性质是十分相似的。
s i n ?? mgmgF ????
式中负号表示 F 与角位移方向相反。
可见，单摆所受的虽不是弹性力，但 (7.1.2)式在形式
上与 (7.1.1)式完全相似。我们把这种与弹性力具有相似表
达式的力，叫做 准弹性力 。
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7.1.2 恢复力与弹性力
准弹性力的实例，还可以举出许多。例如琴弦的颤
动，树木的摇曳，分子的振动等，都是在准弹性力作用
下的运动。一般质点在其稳定的平衡点附近的运动，大
都是准弹性力作用下的运动。
现在我们来证明,一维保守力在稳定平衡位置附近
一定是准弹性力。
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7.1.2 恢复力与弹性力
定理：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。
证,设 F(x) 是保守力，则它具有势能 V(x) 。
把势能函数 V(x) 在平衡点 x0 附近作泰勒展开
???????
??
2
02
2
00 )(2
1)()(
00
xxdx VdxxdxdVVxV
xxxx
因 F(x) =﹣ dV /dt,x0 是平衡点，在该点有 F(x0) = 0，故
?????
?
2
02
2
0 )(2
1)(
0
xxdx VdVxV
xx
???????
?
)( )( 02
2
0
xxdx VddxdVxF
xx
中
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7.1.2 恢复力与弹性力
???????
?
)( )( 02
2
0
xxdx VddxdVxF
xx令
0
2
2
xxdx
Vdk
?
?
由于 x0 是平衡点，故 k > 0。将 (7.1.6)式代入 (7.1.5)，只
保留第一项，得,
)( 0xxkF ???
可见，只要把平衡点 x0 取为原点，它的形式就与 (7.1.1)
式完全一样了。这就证明了 F(x) 是准弹性力。
[证毕 ]
中
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7.1.2 恢复力与弹性力
取 V0 =0,x0 = 0，在 (7.1.4)中只保留一项，得势能为,
2
2
1)( kxxV ?
势能的曲线示于图 7.4。
由图可见，在一个严格的弹
性力作用下的质点只可能作
束缚运动，对任何大的能量
E，质点都不能作自由运动，
而只能在下列有限范围内运
动，即,
m a xm i n xxx ??
其中,
k
Ex
k
Ex 2,2
m a xm i n ????
中
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7.1.3 简谐振动的描述
1,简谐振动解
如图 7.2所示，设弹簧振
子的质量为 m，弹簧的倔强
系数为 k，选取 x 轴，以平
衡位置 O 为原点，则振子的
运动方程为,
kxxm ????
令,
m
k?2?
解为,) co s (
0?? ?? tAx
其中 为待定常数，由初始条件确定。称这种运
动为 简谐振动 。 0
,?A
中
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7.1.3 简谐振动的描述
2,简谐振动的特征参量
描绘一个简谐振动的特征参量有三个：振幅、角频
率和相位。
(1) 振幅 A
) co s ( 0?? ?? tAx
A 代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，
它正比于 (E)1/2，即它的平方正比于系统的机械能，
A2 ∝ E ；
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7.1.3 简谐振动的描述
2,简谐振动的特征参量
(2) 角频率 ω（也称圆频率）
) co s ( 0?? ?? tAx
振动的特征之一是运动具有周期性。完成一次完整
的振动所经历的时间称为 周期,用 T 表示。由 (7.1.13)
可知周期 T 与角频率 ω的关系为,T = 2π /ω。周期的
倒数称为 频率 ν,ν= 1/T = ω/2π。周期的单位是
“秒”；频率的单位是“秒 -1”，这有个专门的名称
“赫兹（ Hz）”；角频率的单位是“弧度／秒
（ rad/s）”。对于弹簧振子，频率与周期为
k
mT
m
k ?
?? 2,2
1 ??
可见弹簧振子的频率（或周期）由其固有参量和决定，
而与初始条件无关，故称为振子的 固有频率 。
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7.1.3 简谐振动的描述
2,简谐振动的特征参量
(3) 相位 （或 位相 ）
) co s ( 0?? ?? tAx
0 ??? ?? t
其中时刻 t = 0 的相位，称为
初相位 。相位是相对的，通
过计时零点的选择，我们总
可以使初相位,
而多个简谐运动之间的 相位
差 是重要的。
00 ??
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7.1.3 简谐振动的描述
我们说振幅、角频率（或频率、周
期）和相位是描绘简谐振动的三个特征参
量，是因为有了它们就可以把一个简谐振
动完全确定下来。振幅和相位与频率不同，
它们不是振子的固有性质，而是由初始条
件决定的。
2,简谐振动的特征参量
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7.1.3 简谐振动的描述
3,简谐振动的描述
(1) x-t曲线图示法
简谐振动可以用三角函数表示，也可用图 7.6的曲线
图表示，图上已将振幅、周期和初相标出。
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7.1.3 简谐振动的描述
3,简谐振动的描述
(2) 振幅矢量法
简谐振动还可以用旋转振幅
矢量（也称相矢量）来表示。
自原点画一条长等于振幅的矢
量 A，开始时 ( t=0 )，让矢量 A
与 x 轴的夹角等于振动的初位
相，令 A 以角速度（就是振动
角频率）逆时针方向旋转，则
矢量在轴上的投影就是振动的
位移（如图 7.7）。
这种表示简谐振动的方法清晰明了，它能比较直观地把
振幅、频率和初位相表示出来，我们以后将经常用到这种表
示法。
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7.1.3 简谐振动的描述
3,简谐振动的描述
(3) 复数法
利用三角函数与复数的关系，简谐振动也可用复数表示
) ( 0?? ?? tiAex
tieAx ???或
0?iAeA ??
其中,
是复数，称 复振幅,它已包含了初位相。但要注意，有
意义的是 (7.1.15)式的实部。
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7.1.4 谐振子的能量
下面计算简谐振动的能量。振子的坐标和速度为,
) co s ( 0?? ?? tAx ) s i n ( 0??? ???? tA
dt
dxv
其中 mk /2 ??
动能,
)] (2c o s1[2121) (s in221 0202222 ????? ??????? tkAtmAmvE k
势能,
)] (2c o s1[2121) (c o s2121 020222 ???? ??????? tkAtkAkxV
机械能,
2
0
2
0
2
2
22
2
1)] (c o s) ([ s in
22
1
2
1 kAttkAkxmvE ??????? ????
此式表示简谐振动的机械能是守恒的。
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7.1.4 谐振子的能量
由 (7.1.17),(7.1.18)式可见动能和势能的变化频率都
是原振子振动频率的两倍。不难求出，一个周期内动能、
势能的时间平均值都等于总能量的二分之一。
dttkATdtETE TkTk )] (2c o s1[212111 0200 ?? ??????? ??
E21?
dttkATV d tTV TT )] (2c o s1[212111 0200 ?? ??????? ??
E21?
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7.1.5 振动的合成与分解
简谐振动是最简单、最基本的振动，任何
一个复杂的振动都可以看成若干个简谐振动的
合成。
1,方向、频率相同，初位相不同的两个简谐
振动的合成
2,方向相同，频率不同的两个简谐振动的合
成
3,方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合
成（二维振动）
4,方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合
成，利萨如图形
5,振动的分解、谐波分析（ Fourier分析）
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1,方向、频率相同，初位相不同
的两个简谐振动的合 成
设物体同时参与两个同方向、同频率的简谐振动，
每个振动的位移与时间关系可表为
?
?
?
??
??
) c o s (
) c o s (
222
111
??
??
tAx
tAx
利用振幅矢量法，由图 7.8不
难看出，合运动仍是同频率的简
谐振动，即
) co s (21 ?? ???? tAxxx
?
?
?
?
?
?
?
?
????
2211
2211
1221
2
2
2
1
c o sc o s
s ins in
t a n
)c o s (2
??
??
?
??
AA
AA
AAAAA
中
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1,方向、频率相同，初位相不同
的两个简谐振动的合 成
从图 7.8中或 (7.1.24)式可知，合振动的振幅取决于
两振动的位相差
?,2,1,0,2 )1( 12 ????? kk ???
则
21 AAA ??
?,2,1,0,)12( )2( 12 ?????? kk ???
|| 21 AAA ??
12 )3( ?? ?
为一般值
则
则
2121 || AAAAA ????
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2,方向相同，频率不同的两个简
谐振动的合成
设
??
?
??
??
) c o s (
) c o s (
2222
1111
??
??
tAx
tAx
为简单起见，设 AAA ??
21
?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
? ????
??????
22
c o s
22
c o s2
)]c o s ()[ c o s (
21212121
221121
????????
????
ttA
ttAxxx
若
2121,|| ???? ???
2121,2 ??
?? ??
有
?????? ???????? ???? 2c o s22c o s2 2112121 ??????? ttAx
中
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2,方向相同，频率不同的两个简
谐振动的合成
?????? ???????? ???? 2c o s22c o s2 2112121 ??????? ttAx
此简谐振动的频率与原来两振动频率几乎相等
21
21,
2 ??
?? ??
而振幅随时间的变化为
?????? ??? 22c o s2 2121 ???? tA
由于振幅所涉及的是绝对值，故其变化周期由下式决定
??? ?? T 2 21
故振幅变化频率,
|| || 2 1 2121 ???? ??? ??????? T
中
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2,方向相同，频率不同的两个简
谐振动的合成
|| || 2 1 2121 ???? ??? ??????? T
即两频率之差。这一
现象称为 拍, ⊿ v称
为 拍频,拍的振动曲
线如图 7.9所示。当
两振动的振幅不等，
即 A1 ≠ A2 时，也有
拍现象，此时合振幅
仍有时大时小的变化，
但不会达到零。
中
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2,方向相同，频率不同的两个简
谐振动的合成
校正乐器，例如校正钢琴，往往拿待校的钢
琴同已校好的钢琴作比较，弹奏两架钢琴的同一个
音键，细听有无拍的现象。如果听得出有拍的现象，
说明尚未校准，必须再校，使得拍频越来越小直到
拍完全消失为止，这一音键才算校准。
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3,方向垂直、频率相同的两个简
谐振动的合成（二维振动）
振动系统可以同时参与方向互相垂直的两个振动，
例如单摆，就可以同时参与这样的两个振动。设一个
振动沿 x 方向，一个沿 y 方向，即,
?
?
?
??
??
) c o s (
) c o s (
yy
xx
tAy
tAx
??
??
这实际上就是合振
动的坐标参量方程。
中
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4,方向垂直、频率不同的两个简
谐振动的合成，利萨如图形
如果 x 方向振动的频率 vx 和 y 方向振动的频率 vy 不
相等，它们的合成振动为,
?
?
?
??
??
) c o s (
) c o s (
yyy
xxx
tAy
tAx
??
??
当 ωx 与 ωy 成整数比时，
合振动的轨迹仍是一
些闭合曲线，如下图
所示，称为 利萨如图
形 。当 ωx 与 ωy的比例
一定时，初位相差不
同，对应的曲线形状
和走向也不同。图
7.11中给出了三种频
率比，五种初位相差
的图形。
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4,方向垂直、频率不同的两个简
谐振动的合成，利萨如图形
当 ωx 与 ωy 不成整数比时，合振动的轨
迹不再是闭合曲线。利用利萨如图形的这些
性质，可精确判定两种频率是否成整数比，
并可据此由己知频率确定未知频率。
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5,振动的分解、谐波分析
（ Fourier分析）
对于非简谐振动，直接分析它们往往较困难。如果把它们分
解为许多简谐振动的叠加，事情就好办得多，数学上称这种分解为
傅里叶 （ Fourier） 分析。我们不打算在这里讲数学的定理和相应的
推导，下面只给出一些定性的结论,
(1) 任何一个周期性的振动都可分解为一系列频率为原振动频率
（称为 基频 ）整数倍的简谐振动，在数学上这称为 谐波分析 。
以频率为横坐标、各谐频振幅为纵坐标所做的图解，叫做 频谱,
此时的频谱为分立谱。不同的乐器有不同的频谱，反映在它们
不同的音色上。
(2) 非周期振动也可以用频谱来表示。这时频谱不再为分立谱，而
是连续谱。不过，有些特殊的非周期振动可以分解为频率不可
通约的若干个分立的分振动。
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§ 7.2 阻尼振动
前面所讨论的振动，振幅保持不变，
振动能量也保持不变。这只是实际情况的一
种抽象，实际振动系统的振动，当无外界能
量补充时，振幅都要随时间逐渐衰减，衰减
的原因，一是有摩擦力存在，将振动能量逐
渐变为热能耗散了；二是振动能量以波的形
式向四周传播，使振动能量逐渐变为波的能
量，本节讨论有摩擦力存在的振动。
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7.2.1 运动方程及其解
7.3.2 欠阻尼振动
7.2.3 临界阻尼与过阻尼
§ 7.2 阻尼振动 中 国
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7.2.1 运动方程及其解
我们主要考虑摩擦力与速度成正比的情形。当速度
不大时，粘滞阻力就属这种情形。在考虑了粘滞阻力后，
弹簧振子的运动方程变为
xhkxxm ??? ???
其中称为 阻尼系数 。令,
m
k?2
0? m
h??2
ω0 是阻力不存在时振子的 固有角频率, β 称为 阻尼因数
或 衰减常数 。于是方程 (7.2.1)为,
0 2 20 ??? xxx ?? ???
这是常系数二阶线性微分方程。
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7.2.1 运动方程及其解
0 2 20 ??? xxx ?? ???
对于复杂问题，复数法能显示其优越性。该方程的解法
是，视 x 为复数，用试探解
rtex ?
代入，其中 r 为待定常数。可解得,
20222021,?????? ???????? rr
于是方程 (7.2.3)的解可写成如下形式,
trtr eAeAx 21 21 ??
其中 A1,A2 为待定常数，由初始条件决定。
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7.2.2 欠阻尼振动,
trtr eAeAx 21 21 ??
20222021,?????? ???????? rr
0?? ?
1,振动解
令 220 ??? ??f
将 (7.2.4)代入 (7.2.5)，得
ttiti eeAeAx ff 2 1 )( ??? ????
取上式的实部得,
) c o s ( 0 0 ??? ?? ? teAx ft
此时振子的运动严格讲己
不再是周期运动，但仍可
看作振幅逐渐衰减的周期
运动，其振幅和周期为 teAA 0 ??? ??2?T
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7.2.2 欠阻尼振动,
2,阻尼振子的能量
0?? ?
) c o s ( 0 0 ??? ?? ? teAx ft
)] s i n ( ) ( c o s[ 00 0 ??????? ?????? ? tteAdtdxv fft
动能,
2
00
22
0
2 )] s in () c o s ([
2
1
2
1 ??????? ????? ? ttemAmvE
ff
t
k
势能,
) (c o s)(
2
1
) (c o s
2
1
2
1
0
2 22
0
22
0
2 22
0
2
0
2
????
???
?
?
???
???
?
?
teAm
teAmkxV
f
t
f
f
t
机械能,
)] (c o s2) (2s in[
2
1
2
1
2
1
0
22
0
2 22
0
22
????????? ?????
??
? ttemA
kxmvE
fff
t
中
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技
术
大
学
杨
维
纮
7.2.2 欠阻尼振动,
2,阻尼振子的能量
0?? ?
)] (c o s2) (2s i n[21 02202 220 ????????? ????? ? ttemAE ffft
可见机械能并不守恒。当
0?? ??
时，有
0?? ?f
于是
2 22
0
2
0
22
0
2
2
1
2
1
2
1 kAeAmeAmE tt
f ???
?? ?? ??
对时间微商，得,
0)] s in ( ) ( c o s[2 200 220 ?????? ? ??????? ? tteAmdtdE ffft
和 (7.2.11)式比较知,
vhvhvdtdE )(2 ????
这是摩擦力的功率，即损失的能量用于克服摩擦力作功。
中
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技
术
大
学
杨
维
纮
7.2.2 欠阻尼振动,
3,品质因数
0?? ?
衰减常数的大小反映了阻尼的大小。我们也可用一
周中振子损失的能量在总能量中所占的比例来描写阻尼
的大小。通常将 t 时刻时振子的能量 E 与经一周后损失
的能量 ⊿ E 之比的 2π倍称为振子的 品质因数,并用 Q
表之,
E
EQ
?? ?2
小阻尼情况下，根据上面的能量表示式 (7.2.15)，可得
T
Tt
t
eeeAm
eAm
Q
2
2 22
0
2
0
22
0
2
0
1
1
2
)1(
2
1
2
1
2
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.2.2 欠阻尼振动,
3,品质因数
0?? ?
T
Tt
t
eeeAm
eAm
Q
2
2 22
0
2
0
22
0
2
0
1
1
2
)1(
2
1
2
1
2
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
因
T/20 ??? ???
所以
?
?
?
?
2 2
2 0??
TQ
可见,Q 仅由振动系统本身的性质决定。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.2.3 临界阻尼与过阻尼
过阻尼情况为
0?? ?
此时 r1,r2 皆为实数
0,0 20222021 ?????????? ?????? rr
由解的表达式 (7.2.5)知,
])e x p [ (])e x p [ ( 20222021 tAtAx ?????? ????????
其中 A1,A2 可由初条件决定，此时已没有振动现象。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.2.3 临界阻尼与过阻尼
临界阻尼情况为
0?? ?
此时 ???? 21 rr
我们只得到了阻尼方程 (7.2.3)的一个特解，为了求另
一个特解，可令
tetAx )( ???
代入阻尼方程 (7.2.3)，得阻尼方程 (7.2.3)的通解为,
tetAAx 21 )( ????
其中 A1,A2 可由初条件决定，此时也没有振动现象。
临界阻尼状态之所以重要，是因为它所对应的回复
时间，即由静止开始从偏离平衡位置的某处回复到平衡
位置（在一定观察精度内）所需的时间，比欠阻尼和过
阻尼状态都要短。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.2.3 临界阻尼与过阻尼
阻尼的作用,
0?? ?
0?? ?
0?? ?
欠阻尼,振动存在，但周期变长，振幅随时间
减小，最终振动停止；
临界阻尼,不可能振动，但趋于平衡最快；
过阻尼,不可能振动，但趋于平衡变慢。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 7.3 受迫振动与共振
只受弹性力或准弹性力和粘滞阻力作
用的振动系统，其振幅总是随时间衰减，
振动不能持久。如果要使振动持久不衰，
就必须由外界不断供给能量。振动系统在
外界强迫力作用下的振动，叫做 受迫振动 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.1 运动方程及其解
7.3.2 稳态解分析
7.3.3 共振
§ 7.3 受迫振动与共振 中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.1 运动方程及其解
1,受恒定外力作用
设外界的强迫力 F0 为常数，则阻尼振动系统满足
的方程为,
0Fxhkxxm ???? ???
该方程有一特解,kFx /
0?
令 kFXx /
0??
代入 (7.3.1)得,XhkXXm ??? ???
这就是阻尼运动的方程 (7.2.1)，只是平衡位置改变
了。即当外界的强迫力 F0 为常数时，不产生任何新的内
容，故我们以后不考虑恒定的外力作用。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用
任何非正弦型外力都可以看成正弦型外力的线性迭
加。研究了振动系统对正弦型外力的响应，也就原则上
解决了振动系统对任何外力的响应问题。下面我们仅考
虑简谐强迫力
tF co s0 ?
弹簧振子的运动方程为,
tFxhkxxm co s0 ????? ???
令
m
Ff
m
k
m
h 0
0
2
0,,2 ??? ??
上式变为,
tfxxx c o s 2 020 ??? ??? ???
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.1 运动方程及其解
tfxxx c o s 2 020 ??? ??? ???
2,受周期外力作用
下面求其特解。为此，将方程写成复数形式,
tiefxxx 020 ~~ 2~ ??? ??? ???
其中 xx ~Re? 令
rteBx ~~ ?
代入得,tirt eferrB
0202 ) 2(~ ??? ???
于是,
22222
0
22
00
2
0
2
0
2
0
2
0
4)(
] 2 )[(
2 2
~
????
????
??????
?
??
??
?
???
?
??
?
?
if
i
f
rr
f
B
ir
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用
) s in c o s() s in c o s(
)(~
tBtBitBtB
eiBBx
riir
ti
ir
????
?
????
??
方程 (7.3.5)的特解应为 (7.3.9)式的实部，即
) c o s ( s in c o s
s in c o s~Re
????
??
???
?
?
??
? ??
???
tBt
B
B
t
B
B
B
tBtBxx
ir
ir
其中
22222
0
022
4)( ???? ??
??? fBBB ir
22
0
2 t a n,s i n,c o s
??
?????
??????? B
B
B
B
B
B iir
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用
(7.3.10)式是方程 (7.3.5)的特解，该方程的通解等于该
方程的一个特解加上对应的齐次方程的通解。而在小阻尼
的情况下,(7.2.8)式即为对应的齐次方程的通解。于是方
程 (7.3.5)的通解为,
) c o s () c o s ( 0 0 ????? ???? ? tBteAx ft
22222
0
022
4)( ???? ??
??? fBBB ir
22
0
2 t a n,s i n,c o s
??
?????
??????? B
B
B
B
B
B iir
其中 为待定常数，由初始条件决定，的表达式见
(7.2.6)。 00,?A
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用
对 (7.3.13)式讨论如下,
) c o s () c o s ( 0 0 ????? ???? ? tBteAx ft
(1) 其中第一项即阻尼振动，它随着时间衰减，故称 暂
态解,第二项不随时间衰减，称为 稳态解 。开始时，
振子的运动比较复杂，为暂态解和稳态解的叠加，
经过一段时间以后，暂态解衰减掉了，只留下稳态
解。
(2) 稳态解的特点是它的频率与强迫力频率相同，它的
振幅及初位相与初始条件无关，完全由强迫力和系
统的固有参量决定，而暂态解的频率由系统本身性
质决定，振幅及初位相则由初始条件决定。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.2 稳态解分析
下面分析受迫振动
的稳态解，受迫振动的
运动方程为,
tfxxx c o s 2 020 ??? ??? ???
稳态解,
) c o s ( ?? ?? tBx
其中
22
0
2t a n
??
???
???? B
B i
注意到,
)2 c o s ( ) s i n ( ??????? ?????? tBtBx?
) co s (2 ??? ??? tBx??
故运动方程中各项可用旋转矢量表示如图 7.13所示，则
各量之间的相位关系一目了然。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.2 稳态解分析
我们只讨论的欠阻尼情况。
1,1
0
???? (频率甚低 )
此时 200,????? ????
?
?
?
?
?
?
?
??
???
? 0 2t a n
2
0
1
0
2
0
0
0
?
??
?
? k
Ff
BB
tkFx c o s0 ??
对应的矢量旋转图见图 7.14所示。我们可得如下结论,
(1) 频率甚低时，物体加速度和速度均很小，故物体的惯
性与阻力都可以忽略，弹力几乎时时与外力相平衡。
(2) 振幅矢量稍落后于矢量外力，振动与外力同位相。
tfxxx c o s 2 020 ??? ??? ???
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.2 稳态解分析
1,2
0
???? (频率甚高 )
???????,020 ?????
?
?
?
??
?
?
???
?
?
???
??
?
?
?
??
?
?
)0(t a n
2
t a n
0
1
2
1
2
0fBB
tfx c o s 20 ????
对应的矢量旋转图见图 7.15所示。我们可得如下结论,
(1) 因频率甚高，物体的惯性很重要。速度并不大，位移
更小，阻力和弹力均可忽略，物体几乎只在外力作用
下振动，而且振幅很小。此时 ) co s (0 tFxm ????
(2) 振幅矢量落后于矢量外力 f0，相位约为 π。
tfxxx c o s 2 020 ??? ??? ???
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
现在让我们来仔细讨论一下，受迫振动所给出的振
幅和相位随频率变化的情况。
22
0
22222
0
0 2 t a n
4)( ??
???
???? ?
?
??
? fB
上式中无论选 ω或 ω0 作变量，位移和速度的振幅都有一
个极大值。阻尼越小峰值越尖锐。这种现象叫做 共振 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
这里应注意到，在力学里和电学里考察的着眼点还
有所不同。在机械的振动系统里，往往系统的固有频率
ω0 是固定的，驱动力的频率 ω可以调节；此外，机械振
动系统中的位移是比较容易观察并产生直接效果的。
然而，在振荡电路里，固有频率 ω0 是可调的，驱动
力是外来的讯号，其频率 ω是给定的；此外，电路中重要
的变量是电流，它相当于这里的速度。
所以，在力学里应着重考察位移随驱动频率 ω的变
化，而在电学里应着重考察电流（速度）随固有频率 ω0
的变化。然而从功率的角度看，在任何情况里我们都应
着重考察速度。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
1,振幅共振
) c o s ( ?? ?? tBx
22
0222220
0 2 t a n
4)( ??
???
???? ?????
fB
当 dB/dω= 0 时,B 最大，由 (7.3.18)式知,
220 2 ???? ??? r
振幅 B 最大。此时称为达到 振幅共振 。
0?? ??
时，有
0?? ?r
共振时相移,
2t a n2
2t a n 1
2
1 ?
?
?
?
??? ??? ??
tBx
tBx
c o s
)
2
c o s (
??
?
?
?
??
?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
1,振幅共振
2t a n2
2t a n 1
2
1 ?
?
?
?
??? ??? ??
tBx
tBx
c o s
)
2
c o s (
??
?
?
?
??
?
即位移落后于驱动力 π/2 相位，而速度恰好与驱动力同
相位。
功率 = F0 v，故此时外力永远做正功。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
1,振幅共振
B-ω图常称
频率响应曲线
或称 共振曲线 。
当 Q > 1 时，所
有的曲线都有
一个峰，这就
是 共振峰 。品
质因素 Q 越大，
曲线的峰越明
显。共振峰 处
0?? ?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
2,能量共振
既然外力供给振子的能量等于阻力消耗的能量，则
振子得到的功率,
]4)[( 2) (2
11
22222
0
22
022
0 ????
??
????? ?
hfBhdtxh
TP
T ?
当 dP/dω= 0 时,P 最大，此时称为 能量共振 。由
(7.3.19)可得,ω=ω0 时能量共振。
共振时强迫力的功率时刻与阻力的功率相抵，因而振子
的机械能恒定不变。这时振子以固有频率振动，犹如一个不
受阻力的自由振子，故动能与势能之和与时间无关。同时，
共振时强迫力与速度同位相，因而时刻对体系作正功，这正
是共振开始时振幅急剧增大的原因所在。但随着振幅的增大，
阻力的功率也不断增大，最后与强迫力的功率相抵，遂使振
子的振幅保持恒定。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
2,能量共振
与振幅共振不同的
是，能量共振时 ω
和 ω0 严格相等，如
图 7.18所示。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
3,共振峰的锐度,Q 的第二种意义
通常用锐度来描
写共振曲线的尖锐程
度,共振峰锐度 定义
为,
12
0
12 ??
?
??
?
????
rS
2112 ???? ?????
称为 共振峰宽度 。
中
国
科
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技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
3,共振峰的锐度,Q 的第二种意义
当 β很小时，由
2/rBB ?
从 (7.3.18)式得
???? 2220 ???
?????? 2))(( 00 ????
???? ?????? 21
故
QS ???? ???? ? 2 0
12
0
于是共振峰锐度恰等于
品质因数。这是 Q 值的
第二种意义。
中
国
科
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技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
4,系统放大倍数,Q 的第三种意义
由 (7.3.14)式知，当 ω≈ 0 时，振幅
2000 / ?fBB ??
我们定义系统放大倍数
0B
BK r?
其中 Br 为共振时的振幅，由 (7.3.18)式知,
00 2/ ??fB r ?
代入 (7.3-23)式得
QffK ??? ????? 2/2/ 02
00
00
于是系统放大倍数恰等于品质因数。这是 Q 值的第三种
意义。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
据说,160多年前，不可一世的拿破仑率领法国军
队入侵西班牙时，部队行军经过一座铁链悬桥，随着
军官雄壮的口令，队伍跨着整齐的步伐趋向对岸。正
在这时，轰隆一声巨响，大桥坍塌，士兵、军官纷纷
坠水。几十年后，圣彼得堡卡但卡河上，一支部队过
桥时也发生了同样的惨剧。从此，世界各国的军队过
桥时都不准齐步走，必须改用凌乱无序的碎步通过。
一般认为，这是由于军队步伐的周期与桥的固有周期
相近，发生共振所致。
1940年，美国的一座大桥刚启用四个月，就在一
场不算太强的大风中坍塌了。风的作用不是周期性的，
这难道也是共振所致？其实，风有时也能产生周期性
的效果，君不见节日的彩旗迎风飘扬吗？
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 7.4 二自由度振动 *
略
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 7.5 机械波
如果在空间某处发生的扰动，以一定的速度由近
及远向四处传播，则称这种传播着的扰动为 波 。机械
扰动在弹性介质内的传播形成 机械波 （又称 弹性波 ），
电磁扰动在真空或介质内的传播形成 电磁波 。不同性
质的扰动的传播机制虽不相同，但由此形成的波却具
有共同的规律性，波是能量传播的形式之一。此外，
近代物理指出，微观粒子以至任何物体都具有波性，
这种波叫 物质波,尽管物质波与机械波或电磁波有本
质的不同（例如它并不传播能量），但在传播、叠加
等方面仍与上述两种波有着共同的性质。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.1 机械波的产生和传波
7.5.2 波的分类
7.5.3 平面简谐波
7.5.4 波动方程和波的传播速度
7.5.5 波的能量密度
§ 7.5 机械波 中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.1 机械波的产生和传播
由连续不断的、无穷个质点构成的系统，若其各部
分有相互作用力而且可以有相互运动，称为 连续媒质 。
若连续媒质之间的相互作用力是弹性力，则称为 弹性媒
质 。
机械波特点,
1,机械波是一种机械运动形式，必须具备两个条件：振
源和弹性媒质；
2,波是指媒质整体所表现的运动状态；
3,波的传播是质点振动状态的传播过程，亦即振动位相
的传播过程，而所有的质点都仍在各自的平衡位置附
近振动。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.1 机械波的产生和传播
在弹性媒质中，可以设想各质点（质元）有一个平
衡位置，它一离开平衡位置，即受到各附近质点的指向
平衡位置的合力。
质元间的相互作用（如弹性）使波得以传播，质元
的惯性使波以有限的速度传播。
引起媒质振动的振动物体称为 波源 。
弹性媒质形变分类,
1,切变,物体受力后层间发生位移的现象称为切变。切
变物体企图恢复原状而产生的弹性力称为 切变弹性 。
2,张变,媒质伸长或压缩这种变形称为张变。张变物体
企图恢复原状而产生的弹性力称为 张变弹性 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.2 波的分类
1,按传播方式 如果波源振动方向
与波的传
播方向垂
直，就会
形成周期
性峰、谷
的传播。
这样的波
称为 横波 。
其具体形
成过程如
图 7.21所
示。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.2 波的分类
1,按传播方式 横波传播条件：媒
质具有切
变弹性 。
液体
内部、气
体不能产
生切变弹
性力，故
液体内部
和气体中
不能传播
横波。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.2 波的分类
1,按传播方式 如果
波源振动
方向与波
的传播方
向平行，
就会形成
周期性疏、
密的传播，
这就是 纵
波 。纵波
的形成过
程如图
7.22所示。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.2 波的分类
1,按传播方式
在横波中，波
形曲线就是具
体的波形图。
在纵波中则不
是。纵波的波
形曲线在图
7.22中用细实
线表示，它与
横波的波形曲
线相似，图中
虚线为各质点
的振动曲线。
以质点的位置为横坐标，以质点的位移为纵坐标所画的曲
线称为 波形曲线 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.2 波的分类
2,按空间形状
如果波在各向同性的均匀无限介质中传播，那
么，从一个点波源发出的扰动，经过一定时间后，扰
动将到达一个球面上，如果扰动是周期性的，介质中
各处也相继发生同频率的周期性扰动。介质中振动位
相相同的点的轨迹称为 波阵面,简称 波面 。最前面的
波阵面称为 波前。 波阵面是球面的波称为 球面波,在
离波源足够远处，在观察的不大范围内，球面可看成
平面，这种波就称为 平面波,自波源出发且沿着波的
传播方向所画的线叫 波线,在各向同性介质中，波线
与波面互相垂直。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.2 波的分类
2,按空间形状
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.2 波的分类
3,按波源振动方式
波源作周期振动形成的波称为 周期波 。
波源作间歇振动形成的波称为 脉冲波 。
波源作简谐振动形成的波称为 简谐波 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.3 平面简谐波
如果波源作简谐振动，介质中各质点也将相继作同
频率的简谐振动，这样形成的波叫 简谐波 。如果波面为
平面,则这样的波称为 平面简谐波 。由于平面简谐波的波
面上每一点的振动和传播规律完全一样，故平面简谐波
可以用一维的方式来处理。
如图 7.24所示，
设一简谐波沿正 x 方
向传播，已知在 t 时
刻坐标原点 O 处振动
位移的表式为
) co s ( 0?? ?? tAy
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.3 平面简谐波
于是 P 点的位移为
]) (c o s [ 0?? ??? vxtAy
v 称为 波的位相速度,
也称为 波速,它表示
单位时间某一振动相
位所传播的距离。
(7.5.2)式就是简谐波的运动学方程。由于波是向右
传播的，又称为 右行波 。令
vT??
λ称为波长，它表示振动在一个周期中传播的距离。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.3 平面简谐波
]) (c o s [ 0?? ??? vxtAy
T/2?? ?由于
])(2c o s [ 0??? ??? xTtAy
令
?
?2?k
k 称为 波数,它表示在 2π米内所包含的波长数。于是简
谐波方程 (7.5.2)又可以写成,
) co s ( 0?? ??? kxtAy
(7.5.2),(7.5.4)和 (7.5.6)都是简谐波的方程。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.3 平面简谐波
]) (c o s [ 0?? ??? vxtAy
])(2c o s [ 0??? ??? xTtAy
) co s ( 0?? ??? kxtAy
T,? 是和时间有关的量
?,k 是和空间有关的量
其对应关系为,
时间 t,圆频率 ω 周期 T
空间 x,波数 k 波长 λ
而它们由波速相互联系,
kTv
?? ??
若 v 与 ω无关，则称波是 无色散 的 。
中
国
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技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义,
波的运动学方程是一个二元函数，位移既是时间 t
的函数，又是位置 x 的函数。
1,当 x 一定,y 仅为 t 的函数，例如 x = x1 时，即盯住
某一位置看,
] c o s []) (c o s [ 101 ???? ????? tAvxtAy
它表示 x = x1 这一质点随时间作简谐振动，时刻 t 和
t + T 的振动状态相同，说明波动过程在时间上具有
周期性，振动的周期（频率）和振幅与波源相同，
位相落后
??
??? 1
101 2
xx
v ???
中
国
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维
纮
7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义,
2,t 一定，则 y 仅为 x 的函数，当 t = t1 时
]co s [] co s [ 01 tkxAkxtAy ??? ?????
其中
01 ??? ?? tt
表示任一时刻各质点离开平衡位置的位移的分布。可以
看出，波动过程在空间上具有周期性，波长就是波动的
空间周期。
中
国
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维
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7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义,
3,y 一定，则波表达式的宗量 ) (
0?? ?? kxt
即波的位相一定,常数???
0 ?? kxt
则随着时间的增加，波必须在空间传播一定的距离。
将上式对时间求导，得
pvkdt
dxv ??? ?
vp 称为 波的位相速度,简称 相速 。它表示确定的位相
在单位时间内传播的距离。
中
国
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维
纮
7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义,
4,将以上各方程中的 v 换成 -v，即得向坐标轴负向传播
的平面简谐波的运动学方程为
] c o s []) (c o s [ 00 ???? ?????? kxtAvxtAy
该波又称为 左行波 。
中
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维
纮
7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义,
5,波速为波在媒质中传播的速度，它是振动位相在媒质
中传播的速度，它不同于波线上各质元绕平衡位置的
振动速度。波速对于各向同性媒质而言是一个常数，
而各质元的振动速度和加速度则是时间的函数，为,
]) (s i n [ 0??? ?????? vxtAty
]) (c o s [ 022
2
??? ?????? vxtAt y
中
国
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维
纮
7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义,
6,在空间中传播的平面简谐波的运动学方程为
) co s (),( 0?? ???? rkArB tt
其中 k 称为波矢，它是一个矢量，而它的绝对值就是
波数。
中
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纮
7.5.4 波动方程和波的传播速度
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速
设波在其中传播的介质是质量连续分布的弹性棒。
在棒中取横截面坐标为 x 到 x +⊿ x 的一段作为考察对象，
如图 7.25所示。令棒的截面积 S 为密度为 ρ。当棒中有纵
向扰动传播时，各截面的位移并不相同，棒中发生纵向
形变（张变），从而出现应力（弹性力）。所考察的这
段棒受到左方介质所施的弹力 F (x) 和右方介质所施弹
力 F (x +⊿ x)的作用,F (x) 由 x 处的相对形变决定。设
x 处的横截面的位移为 y,x + dx 处的横截面的位移为 y
+ dy，则 x 处的相对形变为 dy/dx。根据胡克定律，作用
在 x 处横截面上单位面积的正应力 T 与该处纵向相对形
变（应变）成正比,
中
国
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维
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速
dx
dyYT ?
式中 Y 称为 杨氏模量 。
于是,x 处的弹力,
xxdx
dySYxF
?
?)(
同理，在 x +⊿ x 处的弹力,
xxxdx
dySYxxF
???
??? )(
中
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维
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
当时 dy/dx > 0 为
伸长形变，应力是张力，
相应的 F (x) 应取负号,
F (x +⊿ x) 应取正号，
故所考察的这段棒的运
动方程为
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速
xdx ydSYdxdySYdxdySYdt ydxS
xxx
?????
??
2
2
2
2
?
两边除以 xS??
并将求导符号改为求偏导的符号，得,
中
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
2
2
2
2
x
yY
t
y
?
??
?
?
?
上式就是波动过程所满足的动力学方程，称为 波动方程,
这是一个线性偏微分方程。设其解为,
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速
)(c o s
||v
xtAy ?? ?
代入方程 (7.5.18)解得波速,
?
Yv ??
||
这就将波速与介质的常量 Y,ρ联系起来了,Y 反映介质
的弹性,ρ反映介质的惯性。由于所讨论的是纵波，故在
v 旁加了脚标, ||”。式中正号对应于右行波，负号对应
于左行波。
中
国
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
2,横波的传播速度
当介质中有横向拢动传播时，介质发生切向形变，
在与波传播方向相垂直的横截面上出现切应力，因而横
波的传播速度与介质的切向弹性模量有关，类似于上面
的推导，可以求得横波的波速为,
?
Nv ??
?
式中 N 称为 切变模量,它是切应力 T 与横向相对形变
dy/dx 之比，即,
dx
dyNT ?
中
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
3,一般形式的波动方程
将 (7.5.20)式代入 (7.5.18)，以 v 表示波的相速度，可
得一般形式的波动方程为,
2
2
2
2
2
x
yv
t
y
?
??
?
?
对于在三维空间中传播的波，若以 B (r,t) 表示其振幅矢
量，则波动方程为,
???
?
???
?
?
??
?
??
?
??
?
?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zyxvt
BBBB
如果弹性介质中的波速只与介质的参量有关，而与所传
播的简谐波的频率无关。这样的波为 无色散波 。
中
国
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
我们知道，空气中的声波为纵波，其传播速度应由
(7.5.21)式求得，空气的杨氏模量 Y 应为空气的压强 p，
于是由 (7.5.21)式可得声波的速度,
?
pv ?
代入上式得，而实验测得的声速约为 v = 289米 /秒，相差
竟达 20% 之多！这个矛盾一个世纪内竟无法解释。后来
才有人指出，不应该忽略了空气在传声中，一伸一缩，
其温度，因而其弹性，都有变化的缘故，该问题才告解
决。这个问题，我们留待热学中再探讨。
对于 15o，一个大气压的空气
325 / 2.1 / 10 米千克米牛顿 ?? ?p
中
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7.5.5 波的能量密度
略
中
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7.6.1 惠更斯原理
7.6.2 波的反射定律
7.6.3 波的折射定律
7.6.4 波的衍射
§ 7.6 波在空间中的传播 中 国
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7.6.1 惠更斯原理
波在行进过程中遇到小孔、
障碍物或两种介质的交界面时，
会发生衍射、反射、折射等各
中情况。在历史上，曾提出过
几种理论解释这些现象，其中
比较成功的是惠更斯原理
（ Huygens,1629~1695,荷兰物
理学家、天文学家、数学家 ） 。
惠更斯提出：在波的传播过程中，波前上的每一点
均可看成一个子波源，在 t 时刻的波前上的这些子波源
发出的子波，经 ⊿ t 时间后形成半径为 v⊿ t（ v为波速）
的球面，在波的前进方向上，这些子波的包迹就成为时
刻 t +⊿ t 的新波前，如图 7.27所示。这种借助于子波概
念解释波前怎样推进的原理叫作 惠更斯原理 。
中
国
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7.6.1 惠更斯原理
上述惠更斯原理，如果不加修饰，不仅给出
朝前推进的波前，而且给出倒退的波前。因此，
子波必须修饰为前后不对称的，在正前方最强，
正后方为零，其它方位则强度在这两极端之间。
经过修饰的惠更斯原理不仅能给出波前的推进，
而且可以用来计算波强的分布。而比较严谨的理
论是 基尔霍夫公式 。基尔霍夫公式已超出本书范
围，这将在后续课程中讲述。
中
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7.6.2 波的反射定律
略
中
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7.6.3 波的折射定律
略
中
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7.6.4 波的衍射
略
中
国
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§ 7.7 波的叠加
实验表明，当空间同时存在两列或两列以上的波时，
每列波在传播中将不受其他波的干扰而保持其原有特性
（频率、波长、振幅、振动方向和传播方向）不变，而
空间任一点的振动位移则等于各列波单独在该点引起的
振动位移的矢量和。这一表述称为 波的叠加原理 或 惠更
斯 — 菲涅尔原理 （ Fresnel,Auguston Jean,1788~1827，法
国物理学家）。
就像振动的叠加原理的基础是振动的动力学方程为
线性微分方程一样，波的叠加原理的基础是波动方程
(7.5-24)为线性微分方程。
中
国
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7.7.1 波的干涉
7.7.2 驻波
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
§ 7.7 波的叠加 中 国
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7.7.1 波的干涉
介质中同时传播着的两列波相遇时，
在它们重叠区域的某些点振动始终加
强，某些点振动始终减弱，形成稳定
的叠加图样，这种现象称为 波的干涉 。
能产生干涉现象的必要条件称为 波的
相干条件 。满足波的相干条件而能产
生干涉现象的两列波称为 相干波 。产
生相干波的波源称为 相干波源 。
中
国
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纮
7.7.1 波的干涉
如图 7.31所示，设两波源 S1
和 S2 的振动方程各为,
) co s ( 1110 ?? ?? tAy
) co s ( 2220 ?? ?? tAy
假定振动的方向都垂直于纸
面，由 S1,S2 发出的两列波在空
间 P 点引起的振动各为,
) co s ( 1111 krtAy ??? ?? ) c o s ( 2222 krtAy ??? ??
式中 k 为波数,r1,r2 为 P 点到 S1,S2 的距离。根据波
的叠加原理,P 点的合振动为,
) co s () co s ( 22211121 krtAkrtAyyy ???????? ????
中
国
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7.7.1 波的干涉
) co s () co s ( 22211121 krtAkrtAyyy ???????? ????
这是两个同方向、同频率的振动的合成。根据 7.1.5
节的讨论，当两振动的位相差
??? nrrk 2)( 1221 ?????? ),2,1,0( ????n
时,P 点振动的振幅为 A1+ A2，振动加强，这样的点称
为 干涉相长点 。当位相差
??? )12()( 1221 ??????? nrrk ),2,1,0( ????n
时,P 点振动的振幅为 |A1 - A2|,振动减弱，这样的点称
为 干涉相消点 。
位相差等于其它值的点的振幅介于 A1+ A2 与 |A1 -
A2| 之间。
中
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纮
7.7.1 波的干涉
要在空间维持稳定的干涉现象，各点的振幅应保持恒定。
由此知,波的相干条件 为,
1,两列波具有相同的频率；
2,两列波的相位相同，或相位差恒定；
3,两列波的振动方向相同。
维持两个波源满足相干条件，特别是相位差条件很
不易，常用同一波源产生的波通过两条狭缝后相干。
如果空间存在多个相干波源，也会产生干涉现象。
光学中的多缝干涉就是一例。这里暂不作讨论。
中
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7.7.2 驻波
介质中有反向行进的两个同频率的波存在时，这两
个波叠加后也将产生干涉现象。为简单起见，设弹性弦
上传播着具有相同的振幅、相反传播方向的两波，它们
的运动方程为
) co s ( 11 ?? ??? kxtAy
) c o s ( 22 ?? ??? kxtAy
右行波
左行波
合成后，弦上的运动成为
)2 c o s ()2c o s (2 121221 ????? ??????? tkxAyyy
在合成波的表式中，与和的关系分别出现在两个因
子之中，因此，合成波实际上是一种振动，不再是振动
的传播，故称为 驻波 。
位相逐点传播的波，即通常意义下的波称为 行波 。
中
国
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纮
7.7.2 驻波
驻波中，振动的振幅在空间有一定的分布规律,
)2 c o s ()2c o s (2 121221 ????? ??????? tkxAyyy
),2,1,0(,2,1 12 ??????? nnkx ???
即,
222 2
1212 ??
?
????? ?????? n
kk
nx
此时
1 )2c o s ( 12 ??? ??kx
振幅最大，这种位置称为 波腹,这时质点的振幅为分
波振幅的两倍。相邻波腹的距离为 λ/2。
中
国
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7.7.2 驻波
)2 c o s ()2c o s (2 121221 ????? ??????? tkxAyyy
即,
此时
振幅为零，这种位置称为 波节 。相邻波节的距离也为
λ/2。
),2,1,0(,22,2 12 ???????? nnkx ????
224
)12(
22
)12( 1212 ??
?
????? ???????? n
kk
nx
0 )2c o s ( 12 ??? ??kx
中
国
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7.7.2 驻波
驻波可
以用波
形曲线
具体地
表示出
来，如
图 7.32
所示。
中
国
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纮
7.7.2 驻波
由以上分析可知，驻波有以下几个特征,
1,没有位相的逐点不同和逐点的传播，在相邻两波节
之间，各点的振动位相相同，在波节两边，振动反
位相。
2,各点振幅不同，波腹处振幅最大，波节处振幅最小。
相邻波节间距、相邻波腹间距都为 λ/2。
3,如正向传播的波和反向传播的波振幅不等，仍然合
成驻波，但波节的振幅不为零而是振幅绝对值最小。
中
国
科
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技
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大
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维
纮
7.7.2 驻波
由以上分析可知，驻波有以下几个特征,
4,关于端点的反射问题。
设入射波 ) co s (1 kxtAy ?? ? 设端点为 x = l
(1) 对自由端点，反射波,
)2 co s ()]2( co s [2 klkxtAxlktAy ?????? ??
合成的驻波为,（端点为波腹）
) co s ()co s (221 kltklkxAyyy ????? ?
(2) 对固定端点，反射波应为,
)2 co s (2 ?? ???? klkxtAy
合成的驻波为,（端点为波节 ）
)2/ co s ()2/co s (221 ??? ??????? kltklkxAyyy
我们称波在端点具有 半波损失 。
中
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维
纮
7.7.2 驻波
5,波的总能流为零，因为反向行进的波的能流相反。
但由于瞬时能流密度与时间有关，两反向波的瞬
时能流密度并不时时相抵，从而使在两波节之间
的区域中，仍有净能量的传播。当波节两边各质
元的位移的数值最大时，能量全部为势能，主要
集中在波节附近；当它们通过平衡位置时，能量
全部为动能，主要集中在波腹附近。但在波节
（或波腹）两边，最终并无能量交换。因而，每
一个相邻的波节与波腹之间的区域，实际上构成
一个独立的振动系统，它与外界不交换能量。
由以上分析可知，驻波有以下几个特征,
中
国
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技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.2 驻波
和横波一样，纵波也可以形成驻波。
在纵驻波中，波节两边的质点在某一时刻
涌向波节，使波节附近成为质点密集区，
半周期后，又向两边散开，使波节附近成
为质点稀疏区，相邻节点附近质点的密集
和稀疏情况正好相反。
中
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杨
维
纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
设有两列在空间行进的波，它们均沿 x 方向传播。
为了讨论方便，可设振幅相等，即这两列波为,
)c o s ( 111 ?? ?? xktA )co s ( 222 ?? ?? xktA
假设它们传播的速度（相位传播速度，即相速）相同，
为 v，一路上两列波叠加为,
)co s ()co s ( 211111 ???? ????? xktAxktA
])(c o s [])(c o s [ 2211 ???? ?????? vxtAvxtA
]2)(2c o s []2)(2c o s [2 21212121 ???????? ????????? vxtvxtA
将 (7.7.12)与 7.1.5节的 (7.1.28)作一比较，相当于将 (7.1.28)
式中的 t 换成了 t – x/v。
中
国
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大
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杨
维
纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
]2)(2c o s []2)(2c o s [2 21212121 ???????? ???????? vxtvxtA
这说明，这样两列传播方向相同、波速相同、频
率不同的波相加，波线上每一点的振动情况都相同，
即相同的拍频振动以速度 v 沿 x 方向传播，或用无线电
学中的术语，即得到以速度 v 沿 x 方向传播的调制波。
而且在空间移动中，合成波与各分波以相同速率前进，
调制波也以此速率前进。这个速率等于每一个波的相
速，即
kv
??
拍
中
国
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大
学
杨
维
纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
)c o s ( 111 ?? ?? xktA )co s ( 222 ?? ?? xktA
现在考虑较复杂的情况。存在色散，即波速随频率
不同而有所不同。反映在波的圆频率 ω与波数 k 之间关系
不再那样简单。设两列波的波速有关系
21
2
2
2
1
1
1 vvkvkv ???
??
作为复杂情况的一个例子是，对于深水的水面波,
32 kTgk
?? ??
kTkgkv ?? ???
跟 k 有关，因而深水的水面波是色散波。
中
国
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技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
)c o s ( 111 ?? ?? xktA )co s ( 222 ?? ?? xktA
21
2
2
2
1
1
1 vvkvkv ???
??
现在再作两列色散波的叠加,
)co s ()co s ( 211111 ???? ????? xktAxktA
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
222
c o s
222
c o s2
212121
212121
????
????
x
kk
t
x
kk
tA
(7.7.17)式虽然与 (7.7.12)式相似，合成波也是沿方向传播
的调制波，但是由于原来的两列波的传播速度不同，合
成波包络线的传播速度既不是 v1，也不是 v2。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
合成波包络线的传播速度代表信号的传播速度，我
们称其为 群速度 。下面我们来求群速度，合成波包络线
为,
?????? ????? 222c o s2 212121 ???? xkktA
群速度可以认为是该包络线峰值的传播速度，在时刻 t
其峰值位于 x，且有关系,
????? nxkkt 2222 212121 ??????
其中 n 为任意整数。对上式微分得,
022 2121 ???? dxkkdt??
则可求得群速度为,
12
12
kkv g ?
?? ??
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
当两列波的频率差无限小时，波数差也无限小，在
此极限情况下有
dk
dv
g
??
为了和波的群速度区别，我们将波的相速度记为 vp，即,
kv p
??
利用
??? /2 ?? kkv p
代入 (7.7.21)式可得,
?? d
dvv
dk
dvkvv p
p
p
pg ????
此式就是著名的瑞利群速公式。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
?? d
dvv
dk
dvkvv p
p
p
pg ????
由此式可以判定
pg
p vv
d
dv ??,0
?
pg
p vv
d
dv ??,0
?
pg
p vv
d
dv ??,0
?
无色散；
正常色散；
反常色散。
中
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维
纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
这种相速与群速的区别大致可以作一些直观的理
解，两列波在空间以略为不同的频率传播，由于相速
稍有不同，于是就产生了某种新的情况。假设我们处
在其中一列波上去观察另一列波，如果这两列波的速
率相同，那么看到的另一列波是静止的。若处在一列
波的波峰上，而另一列波也正好是波峰，两者重叠在
一起，在静止参考系看到重叠处以原有的波速前进，
这就是我们一开始分析的情况。现在，两列波速率略
有不同，若仍处在一列波的波峰上，你会看到另一列
波的波峰就会缓慢地向前（或向后）移动。这导致合
成波的包络在两列波行进时会以不同的速率前进。反
映调制信号的包络的速度就是群速度。
中
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§ 7.8 多普勒效应
一辆汽车在我们身旁急驰而过，车上喇叭的音调有
一个从高到低的突然变化；站在铁路旁边听列车的汽笛
声也能够发现，列车迅速迎面而来时音调较静止时为高，
而列车迅速离去时则音调较静止时为低。此外，若声源
静止而观察者运动，或者声源和观察者都运动，也会发
生收听频率和声源频率不一致的现象。这种现象称为 多
普勒效应 。
下面推导多普勒频移的公式。为了简单，先讨论波
源 S 或观察者 D 的运动都在波源与观察者的连线上运动，
并以 vD 表示观察者相对介质的速度，以趋近波源为正；
以 vS 表示波源相对介质的速度，以趋近观察者为正；介
质中的波速为 v。
中
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7.8.1 波源静止，观察者运动
7.8.2 波源运动，观察者静止
7.8.3 波源和观察者都运动
7.8.4 一般情况
7.8.5 马赫锥
§ 7.8 多普勒效应 中 国
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7.8.1 波源静止，观察者运动
如图 7.33所示，静止点波
源发出的球面波波面是同心的，
若观察者以速度 vD 向波源运
动，则波动相对于观察者的传
播速度变为
Dvvv ???
于是观察者感受到的频率为,
???
Dvvv ?????
故它与波源频率之比为,
v
vv D???
?
?
上式中 vD 可正可负，当 vD < 0 时表示观察者向离开波源
的方向运动。
中
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7.8.2 波源运动，观察者静止
如图 7.34所示，
若波源以速度 vS 向着
观察者运动，它发出
的球面波波面不再同
心。由于波源的运动，
将使波长缩短。当波
源静止时，相邻两位
相相等的等相面之间
的距离为 λ。
波源运动时，当第一个等相面自波源发出后，该面
即以速度 v 向前行进，在第二个同位相的等相面发出时，
波源已向前移动了的距离 vST，而这时第一个等相面已向
前行进 vT =λ的距离，结果两同位相等相面之间的距离变
为
TvS??
中
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7.8.2 波源运动，观察者静止
即现在的波长
Tv S??? ??如图 7.34所示，于是
观察者接收到的频
率为,
SS
S
vv
v
Tvv
v
Tv
vv
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
)(
故它与波源频率之比为,
Svv
v
??
?
?
?
上式中 vS 可正可负，当 vS < 0 时表示波源向离开观察者
的方向运动。
中
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7.8.3 波源和观察者都运动
这时 0,0 ??
DS vv
只要把上述两种情况结合起来，即可得波源和观察者
都运动时观察者接收到的频率与波源频率之比为,
S
D
vv
vv
?
???
?
?
中
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7.8.4 一般情况
略
中
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7.8.5 马赫锥
略
中
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§ 7.9 非线性波简介
略
中
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第七章 振动和波
人们习惯于按照物质运动的形态，把经典物理学
分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某
些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的
要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在
电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则
是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和
波，仅从微观理论的基石 —— 量子力学又称波动力学
这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重
要性了。尽管在物理学的各分支学科里振动和波的具
体内容不同，在形式上它们却具有极大的相似性。所
以，本章的意义绝不局限于力学，它将为学习整个物
理学打基础。
中
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第七章 振动和波
§ 7.1 简谐振动
§ 7.2 阻尼振动
§ 7.3 受迫振动与共振
§ 7.4 二自由度振动 *
§ 7.5 机械波
§ 7.6 波在空间中的传播
§ 7.7 波的叠加
§ 7.8 多普勒效应
§ 7.9 非线性波简介
中
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7.1.1 平衡与振动
7.1.2 恢复力与弹性力
7.1.3 简谐振动的描述
7.1.4 谐振子的能量
7.1.5 振动的合成与分解
§ 7.1 简谐振动 中 国
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§ 7.1 简谐振动
7.1.1 平衡与振动
处于静止状态的物体，
我们称之为平衡，此时物体
不受力或所受的合力为零。
如果处于平衡位置的物体受
到某种扰动而离开了平衡位
置，则我们根据该物体以后
能否保持平衡而将平衡分为
以下四种：稳定平衡、亚稳
平衡、不稳平衡和随遇平衡，
如图 7.1所示。
中
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§ 7.1 简谐振动
7.1.1 平衡与振动
我们仅讨论处于稳定
平衡（严格地说，稳定平
衡是理想情况，绝对的稳
定平衡是没有的）或亚稳
平衡而扰动较小的情况，
此时物体将会发生振动。
我们把振动的物体称为 振
子 。
中
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7.1.2 恢复力与弹性力
图 7.2的“弹簧振子”有一个平衡位置 O，在那个位
置，弹簧既没有伸长也没有缩短，对物体不施加作用力，
物体得以平衡。试把物体从平衡位置移开，例如移到点，
然后放手，拉长的弹簧有收缩的趋势，它施加于物体的
作用力驱使物体向平衡位置移动。这种驱使物体向平衡
位置移动的力叫作 恢复力 。
恢复力和惯性这一对矛盾
不断斗争，它们的作用交替消
长，力学系统就在平衡位置左
右一定范围内来回振动。
中
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7.1.2 恢复力与弹性力
弹簧振子的恢复力是弹簧的弹性力，其大小正比于
弹簧的伸长或缩短。它满足胡克定律,
kxF ??
式中 x 是物体对平衡位置的位移,k 叫作 弹性系数 （或
倔强系数 ）,k 越大表示弹簧越硬。
由胡克定律可知弹性力有两个特点,
1,因为弹性力 F 的指向总与位移 x 的方向相反，故弹
性力 F 总是指向平衡位置，总是力图把质点拉回到
平衡位置；
2,因为 F 的数值大小正比于位移 x 的大小，所以物体
偏离平衡位置越远，则它受到的拉回平衡点的力也
越大。
中
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7.1.2 恢复力与弹性力
除了弹簧外，其他的力
也可能具有 (7.1.1)式的形式。
如图 7.3所示的单摆，如将小
球从平衡位置拉到点再松手，
小球将在平衡位置点附近往
复摆动。它的结构虽与上述
弹簧振子完全不同，但它们
的运动性质是十分相似的。
s i n ?? mgmgF ????
式中负号表示 F 与角位移方向相反。
可见，单摆所受的虽不是弹性力，但 (7.1.2)式在形式
上与 (7.1.1)式完全相似。我们把这种与弹性力具有相似表
达式的力，叫做 准弹性力 。
中
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7.1.2 恢复力与弹性力
准弹性力的实例，还可以举出许多。例如琴弦的颤
动，树木的摇曳，分子的振动等，都是在准弹性力作用
下的运动。一般质点在其稳定的平衡点附近的运动，大
都是准弹性力作用下的运动。
现在我们来证明,一维保守力在稳定平衡位置附近
一定是准弹性力。
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7.1.2 恢复力与弹性力
定理：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。
证,设 F(x) 是保守力，则它具有势能 V(x) 。
把势能函数 V(x) 在平衡点 x0 附近作泰勒展开
???????
??
2
02
2
00 )(2
1)()(
00
xxdx VdxxdxdVVxV
xxxx
因 F(x) =﹣ dV /dt,x0 是平衡点，在该点有 F(x0) = 0，故
?????
?
2
02
2
0 )(2
1)(
0
xxdx VdVxV
xx
???????
?
)( )( 02
2
0
xxdx VddxdVxF
xx
中
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7.1.2 恢复力与弹性力
???????
?
)( )( 02
2
0
xxdx VddxdVxF
xx令
0
2
2
xxdx
Vdk
?
?
由于 x0 是平衡点，故 k > 0。将 (7.1.6)式代入 (7.1.5)，只
保留第一项，得,
)( 0xxkF ???
可见，只要把平衡点 x0 取为原点，它的形式就与 (7.1.1)
式完全一样了。这就证明了 F(x) 是准弹性力。
[证毕 ]
中
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7.1.2 恢复力与弹性力
取 V0 =0,x0 = 0，在 (7.1.4)中只保留一项，得势能为,
2
2
1)( kxxV ?
势能的曲线示于图 7.4。
由图可见，在一个严格的弹
性力作用下的质点只可能作
束缚运动，对任何大的能量
E，质点都不能作自由运动，
而只能在下列有限范围内运
动，即,
m a xm i n xxx ??
其中,
k
Ex
k
Ex 2,2
m a xm i n ????
中
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7.1.3 简谐振动的描述
1,简谐振动解
如图 7.2所示，设弹簧振
子的质量为 m，弹簧的倔强
系数为 k，选取 x 轴，以平
衡位置 O 为原点，则振子的
运动方程为,
kxxm ????
令,
m
k?2?
解为,) co s (
0?? ?? tAx
其中 为待定常数，由初始条件确定。称这种运
动为 简谐振动 。 0
,?A
中
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7.1.3 简谐振动的描述
2,简谐振动的特征参量
描绘一个简谐振动的特征参量有三个：振幅、角频
率和相位。
(1) 振幅 A
) co s ( 0?? ?? tAx
A 代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，
它正比于 (E)1/2，即它的平方正比于系统的机械能，
A2 ∝ E ；
中
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7.1.3 简谐振动的描述
2,简谐振动的特征参量
(2) 角频率 ω（也称圆频率）
) co s ( 0?? ?? tAx
振动的特征之一是运动具有周期性。完成一次完整
的振动所经历的时间称为 周期,用 T 表示。由 (7.1.13)
可知周期 T 与角频率 ω的关系为,T = 2π /ω。周期的
倒数称为 频率 ν,ν= 1/T = ω/2π。周期的单位是
“秒”；频率的单位是“秒 -1”，这有个专门的名称
“赫兹（ Hz）”；角频率的单位是“弧度／秒
（ rad/s）”。对于弹簧振子，频率与周期为
k
mT
m
k ?
?? 2,2
1 ??
可见弹簧振子的频率（或周期）由其固有参量和决定，
而与初始条件无关，故称为振子的 固有频率 。
中
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7.1.3 简谐振动的描述
2,简谐振动的特征参量
(3) 相位 （或 位相 ）
) co s ( 0?? ?? tAx
0 ??? ?? t
其中时刻 t = 0 的相位，称为
初相位 。相位是相对的，通
过计时零点的选择，我们总
可以使初相位,
而多个简谐运动之间的 相位
差 是重要的。
00 ??
中
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7.1.3 简谐振动的描述
我们说振幅、角频率（或频率、周
期）和相位是描绘简谐振动的三个特征参
量，是因为有了它们就可以把一个简谐振
动完全确定下来。振幅和相位与频率不同，
它们不是振子的固有性质，而是由初始条
件决定的。
2,简谐振动的特征参量
中
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7.1.3 简谐振动的描述
3,简谐振动的描述
(1) x-t曲线图示法
简谐振动可以用三角函数表示，也可用图 7.6的曲线
图表示，图上已将振幅、周期和初相标出。
中
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7.1.3 简谐振动的描述
3,简谐振动的描述
(2) 振幅矢量法
简谐振动还可以用旋转振幅
矢量（也称相矢量）来表示。
自原点画一条长等于振幅的矢
量 A，开始时 ( t=0 )，让矢量 A
与 x 轴的夹角等于振动的初位
相，令 A 以角速度（就是振动
角频率）逆时针方向旋转，则
矢量在轴上的投影就是振动的
位移（如图 7.7）。
这种表示简谐振动的方法清晰明了，它能比较直观地把
振幅、频率和初位相表示出来，我们以后将经常用到这种表
示法。
中
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7.1.3 简谐振动的描述
3,简谐振动的描述
(3) 复数法
利用三角函数与复数的关系，简谐振动也可用复数表示
) ( 0?? ?? tiAex
tieAx ???或
0?iAeA ??
其中,
是复数，称 复振幅,它已包含了初位相。但要注意，有
意义的是 (7.1.15)式的实部。
中
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7.1.4 谐振子的能量
下面计算简谐振动的能量。振子的坐标和速度为,
) co s ( 0?? ?? tAx ) s i n ( 0??? ???? tA
dt
dxv
其中 mk /2 ??
动能,
)] (2c o s1[2121) (s in221 0202222 ????? ??????? tkAtmAmvE k
势能,
)] (2c o s1[2121) (c o s2121 020222 ???? ??????? tkAtkAkxV
机械能,
2
0
2
0
2
2
22
2
1)] (c o s) ([ s in
22
1
2
1 kAttkAkxmvE ??????? ????
此式表示简谐振动的机械能是守恒的。
中
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7.1.4 谐振子的能量
由 (7.1.17),(7.1.18)式可见动能和势能的变化频率都
是原振子振动频率的两倍。不难求出，一个周期内动能、
势能的时间平均值都等于总能量的二分之一。
dttkATdtETE TkTk )] (2c o s1[212111 0200 ?? ??????? ??
E21?
dttkATV d tTV TT )] (2c o s1[212111 0200 ?? ??????? ??
E21?
中
国
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纮
7.1.5 振动的合成与分解
简谐振动是最简单、最基本的振动，任何
一个复杂的振动都可以看成若干个简谐振动的
合成。
1,方向、频率相同，初位相不同的两个简谐
振动的合成
2,方向相同，频率不同的两个简谐振动的合
成
3,方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合
成（二维振动）
4,方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合
成，利萨如图形
5,振动的分解、谐波分析（ Fourier分析）
中
国
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1,方向、频率相同，初位相不同
的两个简谐振动的合 成
设物体同时参与两个同方向、同频率的简谐振动，
每个振动的位移与时间关系可表为
?
?
?
??
??
) c o s (
) c o s (
222
111
??
??
tAx
tAx
利用振幅矢量法，由图 7.8不
难看出，合运动仍是同频率的简
谐振动，即
) co s (21 ?? ???? tAxxx
?
?
?
?
?
?
?
?
????
2211
2211
1221
2
2
2
1
c o sc o s
s ins in
t a n
)c o s (2
??
??
?
??
AA
AA
AAAAA
中
国
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杨
维
纮
1,方向、频率相同，初位相不同
的两个简谐振动的合 成
从图 7.8中或 (7.1.24)式可知，合振动的振幅取决于
两振动的位相差
?,2,1,0,2 )1( 12 ????? kk ???
则
21 AAA ??
?,2,1,0,)12( )2( 12 ?????? kk ???
|| 21 AAA ??
12 )3( ?? ?
为一般值
则
则
2121 || AAAAA ????
中
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2,方向相同，频率不同的两个简
谐振动的合成
设
??
?
??
??
) c o s (
) c o s (
2222
1111
??
??
tAx
tAx
为简单起见，设 AAA ??
21
?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
? ????
??????
22
c o s
22
c o s2
)]c o s ()[ c o s (
21212121
221121
????????
????
ttA
ttAxxx
若
2121,|| ???? ???
2121,2 ??
?? ??
有
?????? ???????? ???? 2c o s22c o s2 2112121 ??????? ttAx
中
国
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大
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维
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2,方向相同，频率不同的两个简
谐振动的合成
?????? ???????? ???? 2c o s22c o s2 2112121 ??????? ttAx
此简谐振动的频率与原来两振动频率几乎相等
21
21,
2 ??
?? ??
而振幅随时间的变化为
?????? ??? 22c o s2 2121 ???? tA
由于振幅所涉及的是绝对值，故其变化周期由下式决定
??? ?? T 2 21
故振幅变化频率,
|| || 2 1 2121 ???? ??? ??????? T
中
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2,方向相同，频率不同的两个简
谐振动的合成
|| || 2 1 2121 ???? ??? ??????? T
即两频率之差。这一
现象称为 拍, ⊿ v称
为 拍频,拍的振动曲
线如图 7.9所示。当
两振动的振幅不等，
即 A1 ≠ A2 时，也有
拍现象，此时合振幅
仍有时大时小的变化，
但不会达到零。
中
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2,方向相同，频率不同的两个简
谐振动的合成
校正乐器，例如校正钢琴，往往拿待校的钢
琴同已校好的钢琴作比较，弹奏两架钢琴的同一个
音键，细听有无拍的现象。如果听得出有拍的现象，
说明尚未校准，必须再校，使得拍频越来越小直到
拍完全消失为止，这一音键才算校准。
中
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3,方向垂直、频率相同的两个简
谐振动的合成（二维振动）
振动系统可以同时参与方向互相垂直的两个振动，
例如单摆，就可以同时参与这样的两个振动。设一个
振动沿 x 方向，一个沿 y 方向，即,
?
?
?
??
??
) c o s (
) c o s (
yy
xx
tAy
tAx
??
??
这实际上就是合振
动的坐标参量方程。
中
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4,方向垂直、频率不同的两个简
谐振动的合成，利萨如图形
如果 x 方向振动的频率 vx 和 y 方向振动的频率 vy 不
相等，它们的合成振动为,
?
?
?
??
??
) c o s (
) c o s (
yyy
xxx
tAy
tAx
??
??
当 ωx 与 ωy 成整数比时，
合振动的轨迹仍是一
些闭合曲线，如下图
所示，称为 利萨如图
形 。当 ωx 与 ωy的比例
一定时，初位相差不
同，对应的曲线形状
和走向也不同。图
7.11中给出了三种频
率比，五种初位相差
的图形。
中
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大
学
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维
纮
4,方向垂直、频率不同的两个简
谐振动的合成，利萨如图形
当 ωx 与 ωy 不成整数比时，合振动的轨
迹不再是闭合曲线。利用利萨如图形的这些
性质，可精确判定两种频率是否成整数比，
并可据此由己知频率确定未知频率。
中
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纮
5,振动的分解、谐波分析
（ Fourier分析）
对于非简谐振动，直接分析它们往往较困难。如果把它们分
解为许多简谐振动的叠加，事情就好办得多，数学上称这种分解为
傅里叶 （ Fourier） 分析。我们不打算在这里讲数学的定理和相应的
推导，下面只给出一些定性的结论,
(1) 任何一个周期性的振动都可分解为一系列频率为原振动频率
（称为 基频 ）整数倍的简谐振动，在数学上这称为 谐波分析 。
以频率为横坐标、各谐频振幅为纵坐标所做的图解，叫做 频谱,
此时的频谱为分立谱。不同的乐器有不同的频谱，反映在它们
不同的音色上。
(2) 非周期振动也可以用频谱来表示。这时频谱不再为分立谱，而
是连续谱。不过，有些特殊的非周期振动可以分解为频率不可
通约的若干个分立的分振动。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 7.2 阻尼振动
前面所讨论的振动，振幅保持不变，
振动能量也保持不变。这只是实际情况的一
种抽象，实际振动系统的振动，当无外界能
量补充时，振幅都要随时间逐渐衰减，衰减
的原因，一是有摩擦力存在，将振动能量逐
渐变为热能耗散了；二是振动能量以波的形
式向四周传播，使振动能量逐渐变为波的能
量，本节讨论有摩擦力存在的振动。
中
国
科
学
技
术
大
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杨
维
纮
7.2.1 运动方程及其解
7.3.2 欠阻尼振动
7.2.3 临界阻尼与过阻尼
§ 7.2 阻尼振动 中 国
科
学
技
术
大
学
杨
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纮
7.2.1 运动方程及其解
我们主要考虑摩擦力与速度成正比的情形。当速度
不大时，粘滞阻力就属这种情形。在考虑了粘滞阻力后，
弹簧振子的运动方程变为
xhkxxm ??? ???
其中称为 阻尼系数 。令,
m
k?2
0? m
h??2
ω0 是阻力不存在时振子的 固有角频率, β 称为 阻尼因数
或 衰减常数 。于是方程 (7.2.1)为,
0 2 20 ??? xxx ?? ???
这是常系数二阶线性微分方程。
中
国
科
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7.2.1 运动方程及其解
0 2 20 ??? xxx ?? ???
对于复杂问题，复数法能显示其优越性。该方程的解法
是，视 x 为复数，用试探解
rtex ?
代入，其中 r 为待定常数。可解得,
20222021,?????? ???????? rr
于是方程 (7.2.3)的解可写成如下形式,
trtr eAeAx 21 21 ??
其中 A1,A2 为待定常数，由初始条件决定。
中
国
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7.2.2 欠阻尼振动,
trtr eAeAx 21 21 ??
20222021,?????? ???????? rr
0?? ?
1,振动解
令 220 ??? ??f
将 (7.2.4)代入 (7.2.5)，得
ttiti eeAeAx ff 2 1 )( ??? ????
取上式的实部得,
) c o s ( 0 0 ??? ?? ? teAx ft
此时振子的运动严格讲己
不再是周期运动，但仍可
看作振幅逐渐衰减的周期
运动，其振幅和周期为 teAA 0 ??? ??2?T
中
国
科
学
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术
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7.2.2 欠阻尼振动,
2,阻尼振子的能量
0?? ?
) c o s ( 0 0 ??? ?? ? teAx ft
)] s i n ( ) ( c o s[ 00 0 ??????? ?????? ? tteAdtdxv fft
动能,
2
00
22
0
2 )] s in () c o s ([
2
1
2
1 ??????? ????? ? ttemAmvE
ff
t
k
势能,
) (c o s)(
2
1
) (c o s
2
1
2
1
0
2 22
0
22
0
2 22
0
2
0
2
????
???
?
?
???
???
?
?
teAm
teAmkxV
f
t
f
f
t
机械能,
)] (c o s2) (2s in[
2
1
2
1
2
1
0
22
0
2 22
0
22
????????? ?????
??
? ttemA
kxmvE
fff
t
中
国
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7.2.2 欠阻尼振动,
2,阻尼振子的能量
0?? ?
)] (c o s2) (2s i n[21 02202 220 ????????? ????? ? ttemAE ffft
可见机械能并不守恒。当
0?? ??
时，有
0?? ?f
于是
2 22
0
2
0
22
0
2
2
1
2
1
2
1 kAeAmeAmE tt
f ???
?? ?? ??
对时间微商，得,
0)] s in ( ) ( c o s[2 200 220 ?????? ? ??????? ? tteAmdtdE ffft
和 (7.2.11)式比较知,
vhvhvdtdE )(2 ????
这是摩擦力的功率，即损失的能量用于克服摩擦力作功。
中
国
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7.2.2 欠阻尼振动,
3,品质因数
0?? ?
衰减常数的大小反映了阻尼的大小。我们也可用一
周中振子损失的能量在总能量中所占的比例来描写阻尼
的大小。通常将 t 时刻时振子的能量 E 与经一周后损失
的能量 ⊿ E 之比的 2π倍称为振子的 品质因数,并用 Q
表之,
E
EQ
?? ?2
小阻尼情况下，根据上面的能量表示式 (7.2.15)，可得
T
Tt
t
eeeAm
eAm
Q
2
2 22
0
2
0
22
0
2
0
1
1
2
)1(
2
1
2
1
2
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
中
国
科
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技
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7.2.2 欠阻尼振动,
3,品质因数
0?? ?
T
Tt
t
eeeAm
eAm
Q
2
2 22
0
2
0
22
0
2
0
1
1
2
)1(
2
1
2
1
2
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
因
T/20 ??? ???
所以
?
?
?
?
2 2
2 0??
TQ
可见,Q 仅由振动系统本身的性质决定。
中
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7.2.3 临界阻尼与过阻尼
过阻尼情况为
0?? ?
此时 r1,r2 皆为实数
0,0 20222021 ?????????? ?????? rr
由解的表达式 (7.2.5)知,
])e x p [ (])e x p [ ( 20222021 tAtAx ?????? ????????
其中 A1,A2 可由初条件决定，此时已没有振动现象。
中
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7.2.3 临界阻尼与过阻尼
临界阻尼情况为
0?? ?
此时 ???? 21 rr
我们只得到了阻尼方程 (7.2.3)的一个特解，为了求另
一个特解，可令
tetAx )( ???
代入阻尼方程 (7.2.3)，得阻尼方程 (7.2.3)的通解为,
tetAAx 21 )( ????
其中 A1,A2 可由初条件决定，此时也没有振动现象。
临界阻尼状态之所以重要，是因为它所对应的回复
时间，即由静止开始从偏离平衡位置的某处回复到平衡
位置（在一定观察精度内）所需的时间，比欠阻尼和过
阻尼状态都要短。
中
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7.2.3 临界阻尼与过阻尼
阻尼的作用,
0?? ?
0?? ?
0?? ?
欠阻尼,振动存在，但周期变长，振幅随时间
减小，最终振动停止；
临界阻尼,不可能振动，但趋于平衡最快；
过阻尼,不可能振动，但趋于平衡变慢。
中
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§ 7.3 受迫振动与共振
只受弹性力或准弹性力和粘滞阻力作
用的振动系统，其振幅总是随时间衰减，
振动不能持久。如果要使振动持久不衰，
就必须由外界不断供给能量。振动系统在
外界强迫力作用下的振动，叫做 受迫振动 。
中
国
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7.3.1 运动方程及其解
7.3.2 稳态解分析
7.3.3 共振
§ 7.3 受迫振动与共振 中 国
科
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7.3.1 运动方程及其解
1,受恒定外力作用
设外界的强迫力 F0 为常数，则阻尼振动系统满足
的方程为,
0Fxhkxxm ???? ???
该方程有一特解,kFx /
0?
令 kFXx /
0??
代入 (7.3.1)得,XhkXXm ??? ???
这就是阻尼运动的方程 (7.2.1)，只是平衡位置改变
了。即当外界的强迫力 F0 为常数时，不产生任何新的内
容，故我们以后不考虑恒定的外力作用。
中
国
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7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用
任何非正弦型外力都可以看成正弦型外力的线性迭
加。研究了振动系统对正弦型外力的响应，也就原则上
解决了振动系统对任何外力的响应问题。下面我们仅考
虑简谐强迫力
tF co s0 ?
弹簧振子的运动方程为,
tFxhkxxm co s0 ????? ???
令
m
Ff
m
k
m
h 0
0
2
0,,2 ??? ??
上式变为,
tfxxx c o s 2 020 ??? ??? ???
中
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7.3.1 运动方程及其解
tfxxx c o s 2 020 ??? ??? ???
2,受周期外力作用
下面求其特解。为此，将方程写成复数形式,
tiefxxx 020 ~~ 2~ ??? ??? ???
其中 xx ~Re? 令
rteBx ~~ ?
代入得,tirt eferrB
0202 ) 2(~ ??? ???
于是,
22222
0
22
00
2
0
2
0
2
0
2
0
4)(
] 2 )[(
2 2
~
????
????
??????
?
??
??
?
???
?
??
?
?
if
i
f
rr
f
B
ir
中
国
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7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用
) s in c o s() s in c o s(
)(~
tBtBitBtB
eiBBx
riir
ti
ir
????
?
????
??
方程 (7.3.5)的特解应为 (7.3.9)式的实部，即
) c o s ( s in c o s
s in c o s~Re
????
??
???
?
?
??
? ??
???
tBt
B
B
t
B
B
B
tBtBxx
ir
ir
其中
22222
0
022
4)( ???? ??
??? fBBB ir
22
0
2 t a n,s i n,c o s
??
?????
??????? B
B
B
B
B
B iir
中
国
科
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7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用
(7.3.10)式是方程 (7.3.5)的特解，该方程的通解等于该
方程的一个特解加上对应的齐次方程的通解。而在小阻尼
的情况下,(7.2.8)式即为对应的齐次方程的通解。于是方
程 (7.3.5)的通解为,
) c o s () c o s ( 0 0 ????? ???? ? tBteAx ft
22222
0
022
4)( ???? ??
??? fBBB ir
22
0
2 t a n,s i n,c o s
??
?????
??????? B
B
B
B
B
B iir
其中 为待定常数，由初始条件决定，的表达式见
(7.2.6)。 00,?A
中
国
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7.3.1 运动方程及其解
2,受周期外力作用
对 (7.3.13)式讨论如下,
) c o s () c o s ( 0 0 ????? ???? ? tBteAx ft
(1) 其中第一项即阻尼振动，它随着时间衰减，故称 暂
态解,第二项不随时间衰减，称为 稳态解 。开始时，
振子的运动比较复杂，为暂态解和稳态解的叠加，
经过一段时间以后，暂态解衰减掉了，只留下稳态
解。
(2) 稳态解的特点是它的频率与强迫力频率相同，它的
振幅及初位相与初始条件无关，完全由强迫力和系
统的固有参量决定，而暂态解的频率由系统本身性
质决定，振幅及初位相则由初始条件决定。
中
国
科
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7.3.2 稳态解分析
下面分析受迫振动
的稳态解，受迫振动的
运动方程为,
tfxxx c o s 2 020 ??? ??? ???
稳态解,
) c o s ( ?? ?? tBx
其中
22
0
2t a n
??
???
???? B
B i
注意到,
)2 c o s ( ) s i n ( ??????? ?????? tBtBx?
) co s (2 ??? ??? tBx??
故运动方程中各项可用旋转矢量表示如图 7.13所示，则
各量之间的相位关系一目了然。
中
国
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7.3.2 稳态解分析
我们只讨论的欠阻尼情况。
1,1
0
???? (频率甚低 )
此时 200,????? ????
?
?
?
?
?
?
?
??
???
? 0 2t a n
2
0
1
0
2
0
0
0
?
??
?
? k
Ff
BB
tkFx c o s0 ??
对应的矢量旋转图见图 7.14所示。我们可得如下结论,
(1) 频率甚低时，物体加速度和速度均很小，故物体的惯
性与阻力都可以忽略，弹力几乎时时与外力相平衡。
(2) 振幅矢量稍落后于矢量外力，振动与外力同位相。
tfxxx c o s 2 020 ??? ??? ???
中
国
科
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技
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维
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7.3.2 稳态解分析
1,2
0
???? (频率甚高 )
???????,020 ?????
?
?
?
??
?
?
???
?
?
???
??
?
?
?
??
?
?
)0(t a n
2
t a n
0
1
2
1
2
0fBB
tfx c o s 20 ????
对应的矢量旋转图见图 7.15所示。我们可得如下结论,
(1) 因频率甚高，物体的惯性很重要。速度并不大，位移
更小，阻力和弹力均可忽略，物体几乎只在外力作用
下振动，而且振幅很小。此时 ) co s (0 tFxm ????
(2) 振幅矢量落后于矢量外力 f0，相位约为 π。
tfxxx c o s 2 020 ??? ??? ???
中
国
科
学
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维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
现在让我们来仔细讨论一下，受迫振动所给出的振
幅和相位随频率变化的情况。
22
0
22222
0
0 2 t a n
4)( ??
???
???? ?
?
??
? fB
上式中无论选 ω或 ω0 作变量，位移和速度的振幅都有一
个极大值。阻尼越小峰值越尖锐。这种现象叫做 共振 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
这里应注意到，在力学里和电学里考察的着眼点还
有所不同。在机械的振动系统里，往往系统的固有频率
ω0 是固定的，驱动力的频率 ω可以调节；此外，机械振
动系统中的位移是比较容易观察并产生直接效果的。
然而，在振荡电路里，固有频率 ω0 是可调的，驱动
力是外来的讯号，其频率 ω是给定的；此外，电路中重要
的变量是电流，它相当于这里的速度。
所以，在力学里应着重考察位移随驱动频率 ω的变
化，而在电学里应着重考察电流（速度）随固有频率 ω0
的变化。然而从功率的角度看，在任何情况里我们都应
着重考察速度。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
1,振幅共振
) c o s ( ?? ?? tBx
22
0222220
0 2 t a n
4)( ??
???
???? ?????
fB
当 dB/dω= 0 时,B 最大，由 (7.3.18)式知,
220 2 ???? ??? r
振幅 B 最大。此时称为达到 振幅共振 。
0?? ??
时，有
0?? ?r
共振时相移,
2t a n2
2t a n 1
2
1 ?
?
?
?
??? ??? ??
tBx
tBx
c o s
)
2
c o s (
??
?
?
?
??
?
中
国
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术
大
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纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
1,振幅共振
2t a n2
2t a n 1
2
1 ?
?
?
?
??? ??? ??
tBx
tBx
c o s
)
2
c o s (
??
?
?
?
??
?
即位移落后于驱动力 π/2 相位，而速度恰好与驱动力同
相位。
功率 = F0 v，故此时外力永远做正功。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
1,振幅共振
B-ω图常称
频率响应曲线
或称 共振曲线 。
当 Q > 1 时，所
有的曲线都有
一个峰，这就
是 共振峰 。品
质因素 Q 越大，
曲线的峰越明
显。共振峰 处
0?? ?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
2,能量共振
既然外力供给振子的能量等于阻力消耗的能量，则
振子得到的功率,
]4)[( 2) (2
11
22222
0
22
022
0 ????
??
????? ?
hfBhdtxh
TP
T ?
当 dP/dω= 0 时,P 最大，此时称为 能量共振 。由
(7.3.19)可得,ω=ω0 时能量共振。
共振时强迫力的功率时刻与阻力的功率相抵，因而振子
的机械能恒定不变。这时振子以固有频率振动，犹如一个不
受阻力的自由振子，故动能与势能之和与时间无关。同时，
共振时强迫力与速度同位相，因而时刻对体系作正功，这正
是共振开始时振幅急剧增大的原因所在。但随着振幅的增大，
阻力的功率也不断增大，最后与强迫力的功率相抵，遂使振
子的振幅保持恒定。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
2,能量共振
与振幅共振不同的
是，能量共振时 ω
和 ω0 严格相等，如
图 7.18所示。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
3,共振峰的锐度,Q 的第二种意义
通常用锐度来描
写共振曲线的尖锐程
度,共振峰锐度 定义
为,
12
0
12 ??
?
??
?
????
rS
2112 ???? ?????
称为 共振峰宽度 。
中
国
科
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技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
3,共振峰的锐度,Q 的第二种意义
当 β很小时，由
2/rBB ?
从 (7.3.18)式得
???? 2220 ???
?????? 2))(( 00 ????
???? ?????? 21
故
QS ???? ???? ? 2 0
12
0
于是共振峰锐度恰等于
品质因数。这是 Q 值的
第二种意义。
中
国
科
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技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
4,系统放大倍数,Q 的第三种意义
由 (7.3.14)式知，当 ω≈ 0 时，振幅
2000 / ?fBB ??
我们定义系统放大倍数
0B
BK r?
其中 Br 为共振时的振幅，由 (7.3.18)式知,
00 2/ ??fB r ?
代入 (7.3-23)式得
QffK ??? ????? 2/2/ 02
00
00
于是系统放大倍数恰等于品质因数。这是 Q 值的第三种
意义。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.3.3 共振
0 ?? ?
据说,160多年前，不可一世的拿破仑率领法国军
队入侵西班牙时，部队行军经过一座铁链悬桥，随着
军官雄壮的口令，队伍跨着整齐的步伐趋向对岸。正
在这时，轰隆一声巨响，大桥坍塌，士兵、军官纷纷
坠水。几十年后，圣彼得堡卡但卡河上，一支部队过
桥时也发生了同样的惨剧。从此，世界各国的军队过
桥时都不准齐步走，必须改用凌乱无序的碎步通过。
一般认为，这是由于军队步伐的周期与桥的固有周期
相近，发生共振所致。
1940年，美国的一座大桥刚启用四个月，就在一
场不算太强的大风中坍塌了。风的作用不是周期性的，
这难道也是共振所致？其实，风有时也能产生周期性
的效果，君不见节日的彩旗迎风飘扬吗？
中
国
科
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技
术
大
学
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维
纮
§ 7.4 二自由度振动 *
略
中
国
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大
学
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维
纮
§ 7.5 机械波
如果在空间某处发生的扰动，以一定的速度由近
及远向四处传播，则称这种传播着的扰动为 波 。机械
扰动在弹性介质内的传播形成 机械波 （又称 弹性波 ），
电磁扰动在真空或介质内的传播形成 电磁波 。不同性
质的扰动的传播机制虽不相同，但由此形成的波却具
有共同的规律性，波是能量传播的形式之一。此外，
近代物理指出，微观粒子以至任何物体都具有波性，
这种波叫 物质波,尽管物质波与机械波或电磁波有本
质的不同（例如它并不传播能量），但在传播、叠加
等方面仍与上述两种波有着共同的性质。
中
国
科
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技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.1 机械波的产生和传波
7.5.2 波的分类
7.5.3 平面简谐波
7.5.4 波动方程和波的传播速度
7.5.5 波的能量密度
§ 7.5 机械波 中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.1 机械波的产生和传播
由连续不断的、无穷个质点构成的系统，若其各部
分有相互作用力而且可以有相互运动，称为 连续媒质 。
若连续媒质之间的相互作用力是弹性力，则称为 弹性媒
质 。
机械波特点,
1,机械波是一种机械运动形式，必须具备两个条件：振
源和弹性媒质；
2,波是指媒质整体所表现的运动状态；
3,波的传播是质点振动状态的传播过程，亦即振动位相
的传播过程，而所有的质点都仍在各自的平衡位置附
近振动。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.1 机械波的产生和传播
在弹性媒质中，可以设想各质点（质元）有一个平
衡位置，它一离开平衡位置，即受到各附近质点的指向
平衡位置的合力。
质元间的相互作用（如弹性）使波得以传播，质元
的惯性使波以有限的速度传播。
引起媒质振动的振动物体称为 波源 。
弹性媒质形变分类,
1,切变,物体受力后层间发生位移的现象称为切变。切
变物体企图恢复原状而产生的弹性力称为 切变弹性 。
2,张变,媒质伸长或压缩这种变形称为张变。张变物体
企图恢复原状而产生的弹性力称为 张变弹性 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.2 波的分类
1,按传播方式 如果波源振动方向
与波的传
播方向垂
直，就会
形成周期
性峰、谷
的传播。
这样的波
称为 横波 。
其具体形
成过程如
图 7.21所
示。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.2 波的分类
1,按传播方式 横波传播条件：媒
质具有切
变弹性 。
液体
内部、气
体不能产
生切变弹
性力，故
液体内部
和气体中
不能传播
横波。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.2 波的分类
1,按传播方式 如果
波源振动
方向与波
的传播方
向平行，
就会形成
周期性疏、
密的传播，
这就是 纵
波 。纵波
的形成过
程如图
7.22所示。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.2 波的分类
1,按传播方式
在横波中，波
形曲线就是具
体的波形图。
在纵波中则不
是。纵波的波
形曲线在图
7.22中用细实
线表示，它与
横波的波形曲
线相似，图中
虚线为各质点
的振动曲线。
以质点的位置为横坐标，以质点的位移为纵坐标所画的曲
线称为 波形曲线 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.2 波的分类
2,按空间形状
如果波在各向同性的均匀无限介质中传播，那
么，从一个点波源发出的扰动，经过一定时间后，扰
动将到达一个球面上，如果扰动是周期性的，介质中
各处也相继发生同频率的周期性扰动。介质中振动位
相相同的点的轨迹称为 波阵面,简称 波面 。最前面的
波阵面称为 波前。 波阵面是球面的波称为 球面波,在
离波源足够远处，在观察的不大范围内，球面可看成
平面，这种波就称为 平面波,自波源出发且沿着波的
传播方向所画的线叫 波线,在各向同性介质中，波线
与波面互相垂直。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.2 波的分类
2,按空间形状
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.2 波的分类
3,按波源振动方式
波源作周期振动形成的波称为 周期波 。
波源作间歇振动形成的波称为 脉冲波 。
波源作简谐振动形成的波称为 简谐波 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.3 平面简谐波
如果波源作简谐振动，介质中各质点也将相继作同
频率的简谐振动，这样形成的波叫 简谐波 。如果波面为
平面,则这样的波称为 平面简谐波 。由于平面简谐波的波
面上每一点的振动和传播规律完全一样，故平面简谐波
可以用一维的方式来处理。
如图 7.24所示，
设一简谐波沿正 x 方
向传播，已知在 t 时
刻坐标原点 O 处振动
位移的表式为
) co s ( 0?? ?? tAy
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.3 平面简谐波
于是 P 点的位移为
]) (c o s [ 0?? ??? vxtAy
v 称为 波的位相速度,
也称为 波速,它表示
单位时间某一振动相
位所传播的距离。
(7.5.2)式就是简谐波的运动学方程。由于波是向右
传播的，又称为 右行波 。令
vT??
λ称为波长，它表示振动在一个周期中传播的距离。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.3 平面简谐波
]) (c o s [ 0?? ??? vxtAy
T/2?? ?由于
])(2c o s [ 0??? ??? xTtAy
令
?
?2?k
k 称为 波数,它表示在 2π米内所包含的波长数。于是简
谐波方程 (7.5.2)又可以写成,
) co s ( 0?? ??? kxtAy
(7.5.2),(7.5.4)和 (7.5.6)都是简谐波的方程。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.5.3 平面简谐波
]) (c o s [ 0?? ??? vxtAy
])(2c o s [ 0??? ??? xTtAy
) co s ( 0?? ??? kxtAy
T,? 是和时间有关的量
?,k 是和空间有关的量
其对应关系为,
时间 t,圆频率 ω 周期 T
空间 x,波数 k 波长 λ
而它们由波速相互联系,
kTv
?? ??
若 v 与 ω无关，则称波是 无色散 的 。
中
国
科
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术
大
学
杨
维
纮
7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义,
波的运动学方程是一个二元函数，位移既是时间 t
的函数，又是位置 x 的函数。
1,当 x 一定,y 仅为 t 的函数，例如 x = x1 时，即盯住
某一位置看,
] c o s []) (c o s [ 101 ???? ????? tAvxtAy
它表示 x = x1 这一质点随时间作简谐振动，时刻 t 和
t + T 的振动状态相同，说明波动过程在时间上具有
周期性，振动的周期（频率）和振幅与波源相同，
位相落后
??
??? 1
101 2
xx
v ???
中
国
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维
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7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义,
2,t 一定，则 y 仅为 x 的函数，当 t = t1 时
]co s [] co s [ 01 tkxAkxtAy ??? ?????
其中
01 ??? ?? tt
表示任一时刻各质点离开平衡位置的位移的分布。可以
看出，波动过程在空间上具有周期性，波长就是波动的
空间周期。
中
国
科
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术
大
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杨
维
纮
7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义,
3,y 一定，则波表达式的宗量 ) (
0?? ?? kxt
即波的位相一定,常数???
0 ?? kxt
则随着时间的增加，波必须在空间传播一定的距离。
将上式对时间求导，得
pvkdt
dxv ??? ?
vp 称为 波的位相速度,简称 相速 。它表示确定的位相
在单位时间内传播的距离。
中
国
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维
纮
7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义,
4,将以上各方程中的 v 换成 -v，即得向坐标轴负向传播
的平面简谐波的运动学方程为
] c o s []) (c o s [ 00 ???? ?????? kxtAvxtAy
该波又称为 左行波 。
中
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维
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7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义,
5,波速为波在媒质中传播的速度，它是振动位相在媒质
中传播的速度，它不同于波线上各质元绕平衡位置的
振动速度。波速对于各向同性媒质而言是一个常数，
而各质元的振动速度和加速度则是时间的函数，为,
]) (s i n [ 0??? ?????? vxtAty
]) (c o s [ 022
2
??? ?????? vxtAt y
中
国
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7.5.3 平面简谐波
简谐波运动学方程的物理意义,
6,在空间中传播的平面简谐波的运动学方程为
) co s (),( 0?? ???? rkArB tt
其中 k 称为波矢，它是一个矢量，而它的绝对值就是
波数。
中
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速
设波在其中传播的介质是质量连续分布的弹性棒。
在棒中取横截面坐标为 x 到 x +⊿ x 的一段作为考察对象，
如图 7.25所示。令棒的截面积 S 为密度为 ρ。当棒中有纵
向扰动传播时，各截面的位移并不相同，棒中发生纵向
形变（张变），从而出现应力（弹性力）。所考察的这
段棒受到左方介质所施的弹力 F (x) 和右方介质所施弹
力 F (x +⊿ x)的作用,F (x) 由 x 处的相对形变决定。设
x 处的横截面的位移为 y,x + dx 处的横截面的位移为 y
+ dy，则 x 处的相对形变为 dy/dx。根据胡克定律，作用
在 x 处横截面上单位面积的正应力 T 与该处纵向相对形
变（应变）成正比,
中
国
科
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术
大
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杨
维
纮
7.5.4 波动方程和波的传播速度
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速
dx
dyYT ?
式中 Y 称为 杨氏模量 。
于是,x 处的弹力,
xxdx
dySYxF
?
?)(
同理，在 x +⊿ x 处的弹力,
xxxdx
dySYxxF
???
??? )(
中
国
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杨
维
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
当时 dy/dx > 0 为
伸长形变，应力是张力，
相应的 F (x) 应取负号,
F (x +⊿ x) 应取正号，
故所考察的这段棒的运
动方程为
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速
xdx ydSYdxdySYdxdySYdt ydxS
xxx
?????
??
2
2
2
2
?
两边除以 xS??
并将求导符号改为求偏导的符号，得,
中
国
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技
术
大
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维
纮
7.5.4 波动方程和波的传播速度
2
2
2
2
x
yY
t
y
?
??
?
?
?
上式就是波动过程所满足的动力学方程，称为 波动方程,
这是一个线性偏微分方程。设其解为,
1,弹性棒中纵波的波动方程和波速
)(c o s
||v
xtAy ?? ?
代入方程 (7.5.18)解得波速,
?
Yv ??
||
这就将波速与介质的常量 Y,ρ联系起来了,Y 反映介质
的弹性,ρ反映介质的惯性。由于所讨论的是纵波，故在
v 旁加了脚标, ||”。式中正号对应于右行波，负号对应
于左行波。
中
国
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
2,横波的传播速度
当介质中有横向拢动传播时，介质发生切向形变，
在与波传播方向相垂直的横截面上出现切应力，因而横
波的传播速度与介质的切向弹性模量有关，类似于上面
的推导，可以求得横波的波速为,
?
Nv ??
?
式中 N 称为 切变模量,它是切应力 T 与横向相对形变
dy/dx 之比，即,
dx
dyNT ?
中
国
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
3,一般形式的波动方程
将 (7.5.20)式代入 (7.5.18)，以 v 表示波的相速度，可
得一般形式的波动方程为,
2
2
2
2
2
x
yv
t
y
?
??
?
?
对于在三维空间中传播的波，若以 B (r,t) 表示其振幅矢
量，则波动方程为,
???
?
???
?
?
??
?
??
?
??
?
?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zyxvt
BBBB
如果弹性介质中的波速只与介质的参量有关，而与所传
播的简谐波的频率无关。这样的波为 无色散波 。
中
国
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7.5.4 波动方程和波的传播速度
我们知道，空气中的声波为纵波，其传播速度应由
(7.5.21)式求得，空气的杨氏模量 Y 应为空气的压强 p，
于是由 (7.5.21)式可得声波的速度,
?
pv ?
代入上式得，而实验测得的声速约为 v = 289米 /秒，相差
竟达 20% 之多！这个矛盾一个世纪内竟无法解释。后来
才有人指出，不应该忽略了空气在传声中，一伸一缩，
其温度，因而其弹性，都有变化的缘故，该问题才告解
决。这个问题，我们留待热学中再探讨。
对于 15o，一个大气压的空气
325 / 2.1 / 10 米千克米牛顿 ?? ?p
中
国
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7.5.5 波的能量密度
略
中
国
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技
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大
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7.6.1 惠更斯原理
7.6.2 波的反射定律
7.6.3 波的折射定律
7.6.4 波的衍射
§ 7.6 波在空间中的传播 中 国
科
学
技
术
大
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7.6.1 惠更斯原理
波在行进过程中遇到小孔、
障碍物或两种介质的交界面时，
会发生衍射、反射、折射等各
中情况。在历史上，曾提出过
几种理论解释这些现象，其中
比较成功的是惠更斯原理
（ Huygens,1629~1695,荷兰物
理学家、天文学家、数学家 ） 。
惠更斯提出：在波的传播过程中，波前上的每一点
均可看成一个子波源，在 t 时刻的波前上的这些子波源
发出的子波，经 ⊿ t 时间后形成半径为 v⊿ t（ v为波速）
的球面，在波的前进方向上，这些子波的包迹就成为时
刻 t +⊿ t 的新波前，如图 7.27所示。这种借助于子波概
念解释波前怎样推进的原理叫作 惠更斯原理 。
中
国
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大
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维
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7.6.1 惠更斯原理
上述惠更斯原理，如果不加修饰，不仅给出
朝前推进的波前，而且给出倒退的波前。因此，
子波必须修饰为前后不对称的，在正前方最强，
正后方为零，其它方位则强度在这两极端之间。
经过修饰的惠更斯原理不仅能给出波前的推进，
而且可以用来计算波强的分布。而比较严谨的理
论是 基尔霍夫公式 。基尔霍夫公式已超出本书范
围，这将在后续课程中讲述。
中
国
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7.6.2 波的反射定律
略
中
国
科
学
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大
学
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7.6.3 波的折射定律
略
中
国
科
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大
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纮
7.6.4 波的衍射
略
中
国
科
学
技
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大
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维
纮
§ 7.7 波的叠加
实验表明，当空间同时存在两列或两列以上的波时，
每列波在传播中将不受其他波的干扰而保持其原有特性
（频率、波长、振幅、振动方向和传播方向）不变，而
空间任一点的振动位移则等于各列波单独在该点引起的
振动位移的矢量和。这一表述称为 波的叠加原理 或 惠更
斯 — 菲涅尔原理 （ Fresnel,Auguston Jean,1788~1827，法
国物理学家）。
就像振动的叠加原理的基础是振动的动力学方程为
线性微分方程一样，波的叠加原理的基础是波动方程
(7.5-24)为线性微分方程。
中
国
科
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技
术
大
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维
纮
7.7.1 波的干涉
7.7.2 驻波
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
§ 7.7 波的叠加 中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.1 波的干涉
介质中同时传播着的两列波相遇时，
在它们重叠区域的某些点振动始终加
强，某些点振动始终减弱，形成稳定
的叠加图样，这种现象称为 波的干涉 。
能产生干涉现象的必要条件称为 波的
相干条件 。满足波的相干条件而能产
生干涉现象的两列波称为 相干波 。产
生相干波的波源称为 相干波源 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.1 波的干涉
如图 7.31所示，设两波源 S1
和 S2 的振动方程各为,
) co s ( 1110 ?? ?? tAy
) co s ( 2220 ?? ?? tAy
假定振动的方向都垂直于纸
面，由 S1,S2 发出的两列波在空
间 P 点引起的振动各为,
) co s ( 1111 krtAy ??? ?? ) c o s ( 2222 krtAy ??? ??
式中 k 为波数,r1,r2 为 P 点到 S1,S2 的距离。根据波
的叠加原理,P 点的合振动为,
) co s () co s ( 22211121 krtAkrtAyyy ???????? ????
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.1 波的干涉
) co s () co s ( 22211121 krtAkrtAyyy ???????? ????
这是两个同方向、同频率的振动的合成。根据 7.1.5
节的讨论，当两振动的位相差
??? nrrk 2)( 1221 ?????? ),2,1,0( ????n
时,P 点振动的振幅为 A1+ A2，振动加强，这样的点称
为 干涉相长点 。当位相差
??? )12()( 1221 ??????? nrrk ),2,1,0( ????n
时,P 点振动的振幅为 |A1 - A2|,振动减弱，这样的点称
为 干涉相消点 。
位相差等于其它值的点的振幅介于 A1+ A2 与 |A1 -
A2| 之间。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.1 波的干涉
要在空间维持稳定的干涉现象，各点的振幅应保持恒定。
由此知,波的相干条件 为,
1,两列波具有相同的频率；
2,两列波的相位相同，或相位差恒定；
3,两列波的振动方向相同。
维持两个波源满足相干条件，特别是相位差条件很
不易，常用同一波源产生的波通过两条狭缝后相干。
如果空间存在多个相干波源，也会产生干涉现象。
光学中的多缝干涉就是一例。这里暂不作讨论。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.2 驻波
介质中有反向行进的两个同频率的波存在时，这两
个波叠加后也将产生干涉现象。为简单起见，设弹性弦
上传播着具有相同的振幅、相反传播方向的两波，它们
的运动方程为
) co s ( 11 ?? ??? kxtAy
) c o s ( 22 ?? ??? kxtAy
右行波
左行波
合成后，弦上的运动成为
)2 c o s ()2c o s (2 121221 ????? ??????? tkxAyyy
在合成波的表式中，与和的关系分别出现在两个因
子之中，因此，合成波实际上是一种振动，不再是振动
的传播，故称为 驻波 。
位相逐点传播的波，即通常意义下的波称为 行波 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.2 驻波
驻波中，振动的振幅在空间有一定的分布规律,
)2 c o s ()2c o s (2 121221 ????? ??????? tkxAyyy
),2,1,0(,2,1 12 ??????? nnkx ???
即,
222 2
1212 ??
?
????? ?????? n
kk
nx
此时
1 )2c o s ( 12 ??? ??kx
振幅最大，这种位置称为 波腹,这时质点的振幅为分
波振幅的两倍。相邻波腹的距离为 λ/2。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.2 驻波
)2 c o s ()2c o s (2 121221 ????? ??????? tkxAyyy
即,
此时
振幅为零，这种位置称为 波节 。相邻波节的距离也为
λ/2。
),2,1,0(,22,2 12 ???????? nnkx ????
224
)12(
22
)12( 1212 ??
?
????? ???????? n
kk
nx
0 )2c o s ( 12 ??? ??kx
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.2 驻波
驻波可
以用波
形曲线
具体地
表示出
来，如
图 7.32
所示。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.2 驻波
由以上分析可知，驻波有以下几个特征,
1,没有位相的逐点不同和逐点的传播，在相邻两波节
之间，各点的振动位相相同，在波节两边，振动反
位相。
2,各点振幅不同，波腹处振幅最大，波节处振幅最小。
相邻波节间距、相邻波腹间距都为 λ/2。
3,如正向传播的波和反向传播的波振幅不等，仍然合
成驻波，但波节的振幅不为零而是振幅绝对值最小。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.2 驻波
由以上分析可知，驻波有以下几个特征,
4,关于端点的反射问题。
设入射波 ) co s (1 kxtAy ?? ? 设端点为 x = l
(1) 对自由端点，反射波,
)2 co s ()]2( co s [2 klkxtAxlktAy ?????? ??
合成的驻波为,（端点为波腹）
) co s ()co s (221 kltklkxAyyy ????? ?
(2) 对固定端点，反射波应为,
)2 co s (2 ?? ???? klkxtAy
合成的驻波为,（端点为波节 ）
)2/ co s ()2/co s (221 ??? ??????? kltklkxAyyy
我们称波在端点具有 半波损失 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.2 驻波
5,波的总能流为零，因为反向行进的波的能流相反。
但由于瞬时能流密度与时间有关，两反向波的瞬
时能流密度并不时时相抵，从而使在两波节之间
的区域中，仍有净能量的传播。当波节两边各质
元的位移的数值最大时，能量全部为势能，主要
集中在波节附近；当它们通过平衡位置时，能量
全部为动能，主要集中在波腹附近。但在波节
（或波腹）两边，最终并无能量交换。因而，每
一个相邻的波节与波腹之间的区域，实际上构成
一个独立的振动系统，它与外界不交换能量。
由以上分析可知，驻波有以下几个特征,
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.2 驻波
和横波一样，纵波也可以形成驻波。
在纵驻波中，波节两边的质点在某一时刻
涌向波节，使波节附近成为质点密集区，
半周期后，又向两边散开，使波节附近成
为质点稀疏区，相邻节点附近质点的密集
和稀疏情况正好相反。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
设有两列在空间行进的波，它们均沿 x 方向传播。
为了讨论方便，可设振幅相等，即这两列波为,
)c o s ( 111 ?? ?? xktA )co s ( 222 ?? ?? xktA
假设它们传播的速度（相位传播速度，即相速）相同，
为 v，一路上两列波叠加为,
)co s ()co s ( 211111 ???? ????? xktAxktA
])(c o s [])(c o s [ 2211 ???? ?????? vxtAvxtA
]2)(2c o s []2)(2c o s [2 21212121 ???????? ????????? vxtvxtA
将 (7.7.12)与 7.1.5节的 (7.1.28)作一比较，相当于将 (7.1.28)
式中的 t 换成了 t – x/v。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
]2)(2c o s []2)(2c o s [2 21212121 ???????? ???????? vxtvxtA
这说明，这样两列传播方向相同、波速相同、频
率不同的波相加，波线上每一点的振动情况都相同，
即相同的拍频振动以速度 v 沿 x 方向传播，或用无线电
学中的术语，即得到以速度 v 沿 x 方向传播的调制波。
而且在空间移动中，合成波与各分波以相同速率前进，
调制波也以此速率前进。这个速率等于每一个波的相
速，即
kv
??
拍
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
)c o s ( 111 ?? ?? xktA )co s ( 222 ?? ?? xktA
现在考虑较复杂的情况。存在色散，即波速随频率
不同而有所不同。反映在波的圆频率 ω与波数 k 之间关系
不再那样简单。设两列波的波速有关系
21
2
2
2
1
1
1 vvkvkv ???
??
作为复杂情况的一个例子是，对于深水的水面波,
32 kTgk
?? ??
kTkgkv ?? ???
跟 k 有关，因而深水的水面波是色散波。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
)c o s ( 111 ?? ?? xktA )co s ( 222 ?? ?? xktA
21
2
2
2
1
1
1 vvkvkv ???
??
现在再作两列色散波的叠加,
)co s ()co s ( 211111 ???? ????? xktAxktA
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
222
c o s
222
c o s2
212121
212121
????
????
x
kk
t
x
kk
tA
(7.7.17)式虽然与 (7.7.12)式相似，合成波也是沿方向传播
的调制波，但是由于原来的两列波的传播速度不同，合
成波包络线的传播速度既不是 v1，也不是 v2。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
合成波包络线的传播速度代表信号的传播速度，我
们称其为 群速度 。下面我们来求群速度，合成波包络线
为,
?????? ????? 222c o s2 212121 ???? xkktA
群速度可以认为是该包络线峰值的传播速度，在时刻 t
其峰值位于 x，且有关系,
????? nxkkt 2222 212121 ??????
其中 n 为任意整数。对上式微分得,
022 2121 ???? dxkkdt??
则可求得群速度为,
12
12
kkv g ?
?? ??
中
国
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学
技
术
大
学
杨
维
纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
当两列波的频率差无限小时，波数差也无限小，在
此极限情况下有
dk
dv
g
??
为了和波的群速度区别，我们将波的相速度记为 vp，即,
kv p
??
利用
??? /2 ?? kkv p
代入 (7.7.21)式可得,
?? d
dvv
dk
dvkvv p
p
p
pg ????
此式就是著名的瑞利群速公式。
中
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技
术
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纮
7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
?? d
dvv
dk
dvkvv p
p
p
pg ????
由此式可以判定
pg
p vv
d
dv ??,0
?
pg
p vv
d
dv ??,0
?
pg
p vv
d
dv ??,0
?
无色散；
正常色散；
反常色散。
中
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7.7.3 非相干波的叠加、波的群速度
这种相速与群速的区别大致可以作一些直观的理
解，两列波在空间以略为不同的频率传播，由于相速
稍有不同，于是就产生了某种新的情况。假设我们处
在其中一列波上去观察另一列波，如果这两列波的速
率相同，那么看到的另一列波是静止的。若处在一列
波的波峰上，而另一列波也正好是波峰，两者重叠在
一起，在静止参考系看到重叠处以原有的波速前进，
这就是我们一开始分析的情况。现在，两列波速率略
有不同，若仍处在一列波的波峰上，你会看到另一列
波的波峰就会缓慢地向前（或向后）移动。这导致合
成波的包络在两列波行进时会以不同的速率前进。反
映调制信号的包络的速度就是群速度。
中
国
科
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技
术
大
学
杨
维
纮
§ 7.8 多普勒效应
一辆汽车在我们身旁急驰而过，车上喇叭的音调有
一个从高到低的突然变化；站在铁路旁边听列车的汽笛
声也能够发现，列车迅速迎面而来时音调较静止时为高，
而列车迅速离去时则音调较静止时为低。此外，若声源
静止而观察者运动，或者声源和观察者都运动，也会发
生收听频率和声源频率不一致的现象。这种现象称为 多
普勒效应 。
下面推导多普勒频移的公式。为了简单，先讨论波
源 S 或观察者 D 的运动都在波源与观察者的连线上运动，
并以 vD 表示观察者相对介质的速度，以趋近波源为正；
以 vS 表示波源相对介质的速度，以趋近观察者为正；介
质中的波速为 v。
中
国
科
学
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术
大
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杨
维
纮
7.8.1 波源静止，观察者运动
7.8.2 波源运动，观察者静止
7.8.3 波源和观察者都运动
7.8.4 一般情况
7.8.5 马赫锥
§ 7.8 多普勒效应 中 国
科
学
技
术
大
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杨
维
纮
7.8.1 波源静止，观察者运动
如图 7.33所示，静止点波
源发出的球面波波面是同心的，
若观察者以速度 vD 向波源运
动，则波动相对于观察者的传
播速度变为
Dvvv ???
于是观察者感受到的频率为,
???
Dvvv ?????
故它与波源频率之比为,
v
vv D???
?
?
上式中 vD 可正可负，当 vD < 0 时表示观察者向离开波源
的方向运动。
中
国
科
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技
术
大
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杨
维
纮
7.8.2 波源运动，观察者静止
如图 7.34所示，
若波源以速度 vS 向着
观察者运动，它发出
的球面波波面不再同
心。由于波源的运动，
将使波长缩短。当波
源静止时，相邻两位
相相等的等相面之间
的距离为 λ。
波源运动时，当第一个等相面自波源发出后，该面
即以速度 v 向前行进，在第二个同位相的等相面发出时，
波源已向前移动了的距离 vST，而这时第一个等相面已向
前行进 vT =λ的距离，结果两同位相等相面之间的距离变
为
TvS??
中
国
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大
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杨
维
纮
7.8.2 波源运动，观察者静止
即现在的波长
Tv S??? ??如图 7.34所示，于是
观察者接收到的频
率为,
SS
S
vv
v
Tvv
v
Tv
vv
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
)(
故它与波源频率之比为,
Svv
v
??
?
?
?
上式中 vS 可正可负，当 vS < 0 时表示波源向离开观察者
的方向运动。
中
国
科
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技
术
大
学
杨
维
纮
7.8.3 波源和观察者都运动
这时 0,0 ??
DS vv
只要把上述两种情况结合起来，即可得波源和观察者
都运动时观察者接收到的频率与波源频率之比为,
S
D
vv
vv
?
???
?
?
中
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7.8.4 一般情况
略
中
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7.8.5 马赫锥
略
中
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§ 7.9 非线性波简介
略
中
国
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