杨维纮
第八章 相 对 论
爱因斯坦提出了相对论，相对论的核心是关于空间
和时间观念的论述，它指出，作为整个牛顿力学基础的
时间和空间的观念，尽管与人们已有的经验相符，实际
上并不是普遍正确的。相对论涉及的是物理学中的一些
最基本的观念，很难把它归属于物理学的哪一分支，相
反却以不同的程度影响物理学的所有内容。
与物理学中的其他理论不同，相对论既不是直接从
实验引出来的，也不是为消除分歧的观点而寻找到的。
相对论完全是在对已被普遍接受的物理概念进行慎密审
查的基础上提出的，狭义相对论以爱因斯坦的两条基本
假设为基础。
狭义相对论对空间和时间概念所进行的革命性的变
革，对整个物理学产生了深远的影响。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
第八章 相 对 论
狭义相对论也使牛顿的万有引力定律出现了新问
题。牛顿提出的万有引力被认为是一种超距作用，引
力以无穷大的速度传递，它的产生和到达是同时的，
这与光速是传播速度的极限相矛盾，而且与狭义相对
论关于同时性的相对性相抵触。因此必须对牛顿的万
有引力定律加以改造。根据物体的引力质量与惯性质
量成正比的事实，爱因斯坦认为万有引力效应是空间、
时间弯曲的一种表现，从而提出了广义相对论。在引
力较弱，空间和时间弯曲很小的情况下，广义相对论
的预言与牛顿的万有引力定律的预言趋向一致。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
第八章 相 对 论
§ 8.1 牛顿时空观的困难
§ 8.2 相对性原理
§ 8.3 洛仑兹变换
§ 8.4 相对论时空观
§ 8.5 狭义相对论力学
§ 8.6 狭义相对论中质量、动量和力的
变换公式
§ 8.7 四维时空
§ 8.8 广义相对论简介
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
8.1.2,以太, 理论及其困难
§ 8.1 牛顿时空观的困难 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
Litz提出光传播的射击理论：光如
同射出的子弹，其传播不需要借助任何
介质，光相对于光源所在的参考系以速
度（光速）运动。因此，光速只有在相
对于光源静止的参考系才是各向同性的。
对于不同的参考系，需要利用伽利略相
对性原理和他的坐标变换。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
1,超新星爆发
1731年英国一位天文学爱好者用望远镜在南方夜
空的金牛座上发现了一团云雾状的东西。外形象个螃
蟹，人们称它为“蟹状星云”。后来的观测表明，这
只“螃蟹”在膨胀，膨胀的速率为每年。到 1920年，
它的半径达到。推算起来，其膨胀开始的时刻应在
860年之前，即公元 1060年左右。人们相信，蟹状星
云到现在是 900多年前一次超新星爆发中抛出来的气
体壳层。这一点在我国的史籍里得到了证实。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
蟹状星云到地球的距离大约是 5千光年，而爆发中
抛射物的速度大约是 1500千米 /秒，用这些数据来计算，
t/ 比 t 短 25年。亦即，我们会在 25年内持续地看到超新
星开始爆发时所发出的强光。而史书明明记载着，客星
从出现到隐没还不到两年。这怎么解释？
1,超新星爆发
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
2,双星观测
双星轨道中运动的
半周期是
??? TT1
??? TT 2
222
22
c
vL
vc
vL
vc
L
vc
L ?
???????
其中 T 是双星轨道运动
的半周期。设 L 是地球
到双星的距离。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
W,de Sliter (1913) 首先讨论了上面的现象，指
出对许多双星（若假定是双星的轨道速度）来说,τ
具有 T 的量级。因此，如果光速与光源速度有关，
那么，以圆轨道运动的双星的多普勒效应对时间的
依赖性，就会相当于一个偏心轨道对时间的依赖性，
即双星运动规律不服从开普勒定律。但是，实际观
测到的双星轨道的偏心率是很小的。上述现象并没
有观测到。
2,双星观测
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
,以太”的提出，是为了解释光在真空中以及高速的
空间中都能传播这一事实。当时，认为光必须有一个载
体才能传播，而这种载体当光在真空中传播时更显得必
要，为了解释真空不空，笛卡儿（ 1596~1650）于十七世
纪第一个提出了“以太”的假说、并把“以太”描述为：
以太是充满整个空间的一种物质，真空中没有空气，但
却有这种无所不入的“以太”。
至十九世纪上半叶，当光具有波动性被大多数物理
学家承认时，以太假说又获得了新的支持，于是十九世
纪末的物理学界，牢固地确立了一种思想，认为有一种
到处存在的、能穿透一切的介质，并充满所有物质的内
部和它们之间的空间，它的作用是作为传播光波的基础。
惠更斯把它叫作“以太”（光以太），后来又被叫做法
拉第管（电磁以太），被认为是引起带电体和磁化物体
之间相互作用的原因。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
麦克斯韦的工作使这两种假想的介质统一起来
了。他指出光是传播的电磁波，并建立了一个优美
的数学理论，把所有涉及光、电和磁的现象结合在
一起。光以太也就是电磁以太。这时“以太”的存
在似乎无可置疑了。但是，如果用描写气体、固体
和液体这类常见介质的办法来描写以太那是不可能
的。这些都导致了难以解决的矛盾。不管对于光以
太还是电磁以太，这些矛盾都是显而易见的。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
首先，理论上遇到的困难是无法解释光为什么没有纵波。
因为光的传播速度很大，因此要求切变模量很大，即介
质刚性很强（很硬）。如果这样的介质（宇宙以太）充满了
我们周围整个空间的话，我们怎么能在地上跑来走去，行星
又怎能千百万年地绕太阳转动而丝毫不受阻力呢？因此这种
“光以太”本身就具有很大的矛盾性。
英国的物理学家开尔文爵士，为了解决以上矛盾，认为
宇宙以太有着类似鞋匠所用的鞋胶或鞋腊那样的性质，这类
物质具有一种“可塑性”，当快速加上强力作用时，它们能
象玻璃那样断开、但在很弱的力（例如它们本身的重力）的
作用下，它们会象液体那样流动。他认为在光波的情况下，
力的方向每秒要改变千百万次，这宇宙以太的行为就象硬的
弹性物质那样，而在人、行星或恒星的缓慢得多的运动情况
下，它实际上不会产生什么阻力。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
对于以太，人们往往以旧的观念加以认识。
如俄国化学家门捷列夫在他的元素周期表中曾
把宇宙以太列为周期表中原子序数等于零的物
质。
若以太真的存在，则相对于以太静止的
参考系是最精确的惯性参考系（绝对静止参
考系）。称以太参考系为绝对参考系，相对
于以太的运动为绝对运动。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
1,菲素实验
在菲素的原始实验
中，发现光在流水中的
速度不同于静水中的数
值，并且得出光在运动
液体中的速度一般地可
以用如下的经验公式表
示,
2
11,
nKKvn
cV ????
式中 n 是水的折射率,K 值正是 1817年由菲涅耳从理论
上推导出的结果。只不过菲索的实验值为 0.46，而理论
值为 0.44。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
地球上大气层的折射率 n≈ 1，故 K = 0。
因而地球运动时，大气层应完全不带动以
太，地球附近的以太仍保持静止。这一结
论被天文学家证实。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
2,光行差现象
所谓光行差，是指光线的视
方向与“真实”方向之间的夹角。
地球上的光行差有两种。其一是
周日光行差，它是由地球自转引
起的，其大小随观察者所在的纬
度不同而不同，由于自转速度很
小，所以这种周日光行差角很小。
另一种是周年光行差，它是由地
球的公转引起的，其数值在全球
各地都一样。如图可得
c
v??tan
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
地球公转速度 v = 29.75 公里 /秒，由上式可求出
周年光行差角的最大值为 α=20.47//。这个数值叫做 光
行差常数 。对各种恒星进行观测，所得到的光行差
角都与该值相符合。
以上两实验结果一致，地球运动不带动以太。故
只要测出地球相对于以太运动的速度就可以确定绝对
参考系。称这种测量为 测量“以太风” 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
3,迈克尔逊 —莫雷实验
当时估计应有 0.4条纹
的移动，但实验结果却只有
0.01条纹的移动，这一微小
的数值可以理解为实验中的
误差所引起，于是只能得出
以太被地球完全拖动，或者
根本不存在以太的结论。六
年之后，即 1887年，迈克尔
逊和莫雷（ Edward Williams
Morley,1838~1923）合作，
对原有仪器作了进一步改进，
又重复实验。但实验仍然得
出“零结果”。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
实验的“零结果”否定了绝对静止坐标系的存在，
同时对以太是否存在也提出了怀疑。这个结果是迈克尔
逊不愿得出的。他曾说过：想不到他的实验竟引导出一
个怪物（指相对论）。实验的零结果使物理学界感到震
惊，也被汤姆逊说成是经典物理学上空的“一朵乌云”，
因此引导不少物理学家在不同时间（春、夏、秋、冬）、
不同地点（地下室、棚屋、高空）重复类似的实验，历
时 50年之久。但实验都得出了同样的结果。
迈克尔逊实验的“零结果”，是建立相对论的前
奏。迈克尔逊由于这方面的贡献，荣获 1907年诺贝尔
物理奖。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
迈克尔逊实验公布之后，不少物理学家企图用各种
理论解释这一现象，其中以洛仑兹（ 1853~1928）的长度
收缩最为典型。 1892年，荷兰人洛仑兹提出了在以太中
以速度运动的物体，在沿运动的方向上，长度有所收缩，
那么就很容易解释迈克尔逊实验中条纹移动为零的结果。
洛仑兹和斐兹杰惹提出的收缩假说，是为了解释迈
克尔逊实验的以太零结果，从数学上凑出来的，他们对
牛顿的时空观仍是深信无疑，并加以采用。收缩假说存
在致命的弱点。首先,它没有说明收缩的原因是什么？
其次，又设有说明收缩因子为什么和物质结构毫无关系。
后者引导一些人改变迈克尔逊实验为木结构和钢结构，
但是却得到了同样的结果。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.2 相对性原理
“以太”观点带来的问题,
1,承认“以太”，即承认惯性系中，有一个惯性系地
位特殊，因而最重要，但从牛顿力学是不可能找到
这个惯性系的；
2,试图利用光学和电磁学的方法，测量真空中的光速
来确定绝对参考系，但实验结果是否定的；
3.,以太”观点有一系列自相矛盾的假设，不易回避。
4,惯性系优越于非惯性系，绝对参考系优越于惯性系。
尤其是后一优越极不自然，又没有实验验证。
“以太”观点的困难是无法克服的。我们知道，物理学的
基本思想是,宇宙应有更简明的描述方法 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.2 相对性原理
当别人忙着在经典物理的框架内用形形色色的理
论来修补“以太风”的学说时，爱因斯坦另辟溪径，
提出两个重要假设来,
1,相对性原理：所有惯性系都是平权的，在它们之中
所有的物理规律都一样。
2,光速不变原理：在所有的惯性系中测量到的真空光
速都是一样的。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.2 相对性原理
爱因斯坦的光速不变原理表明，真空中光沿任何方
向传播的速度都相等，这是爱因斯坦的一个大胆假设。
光速不变原理可以解释迈克耳逊 —莫雷实验的零结果，
但迈克耳逊 —莫雷实验并未证明光速不变原理。 因为在
这实验中涉及的是光线往返所经历的时间，故这类实验
不能作为单程光速不变性的依据，至多只是双程光速不
变性的实验依据。把光速作为普适常数而且放在重要地
位的含义是非常深刻的。
我们知道，机械振动在媒质中的传播过程是媒质中
各部分的质元相互作用的结果，研究媒质中的机械波，
可使我们获得媒质内部相互作用的某些信息，光能在真
空中传播，研究真空中光波将可获得空间特性的某些信
息。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.2 相对性原理
爱因斯坦提出这个假设
是非常大胆的。下面我们
即将看到，这个假设非同
小可，一系列违反“常识”
的结论就此产生了。
如图 8.6给出的两个惯性系 K 及 K/，设在某一时刻
（取为 t = 0）,K 与 K/ 的原点是重合的，并且在这时刻
位于原点的光源发出一个光讯号。
设 K/ 相对于 K 沿 x 方向以速率 v 运动。在 K 中，光
讯号的波前是以 K 的原点为心的球面，由于光速不变，
在 K/ 中，这个光讯号的波前应是以 K/ 的原点为心的球面。
或许你要问，光脉冲的波面到底是以 K 为中心的球面还
是以 K/ 为中心的球面？
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.2 相对性原理
期望得到只有相对于这两个参考系中的某一
个，光的波阵面才是球面的答案本身就期望存在
一个特殊的惯性系，这意味着你还没有完全摆脱
绝对参考系的影响。
尽管 O/ 相对于 O 作匀速直线运动，但相对
于各自的参考系光的波阵面都是以各自的原点为
中心的球面，这正是空间本身所具有的特性的一
种反映。这一点之所以难以理解，是因为在我们
的心目中，时间的流逝是绝对的，是与参考系无
关的观念在作怪。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.2 相对性原理
于是我们得到结论，“同时”是相对的，只有同一
个惯性系可以对钟，两个不同的惯性系，只有当两点重
合时才可以对钟，如图 8.7所示，只有当 C 与 C/ 重合时，
才能将这两点的钟拨到同一时刻。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.3 洛仑兹变换
从伽利略速度合成律
可以看到，光速不变原理与
伽利略变换是矛盾的。为了
满足光速不变原理的要求，
惯性系之间应当有不同于伽
利略变换的时空坐标变换关
系，现在我们就来寻求它。
如图 8.6给出的两个惯性系 K 及 K/,K/ 相对于 K 沿 x
方向以速率 v 运动。设在 K/ 与 K 的原点 O/,O 重合时，
将 O/,O 的钟都拨到零（对钟），即取 t/ = t = 0,并且
在这时刻位于原点的光源发出一个光讯号。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.3 洛仑兹变换
在 K 中，光讯号的波
前是以 K 的原点为心的球
面，由下列方程所决定
022222 ???? tczyx
由于光速不变，在 K/ 中，
这个光讯号的波前应是以 K/
的原点为心的球面，即
022222 ???????? tczyx这样，只要要求 (x,y,z,t ) 与 (x/,y /,z /,t/ )之间的变换关
系满足下式,
2222222222 tczyxtczyx ???????????
就可以与光速不变原理相适应。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.3 洛仑兹变换
2222222222 tczyxtczyx ???????????
首先我们注意到，因为只在 x 方向 K/ 与 K 有相对运
动,y,z 方向并没有相对运动，所以关于 y,z 的变换应
当是
zzyy ????,
另外，还应要求坐标变换是线性的，这个要求来源于
空间的均匀性，即空间中各点的性质都是一样的，没有
任何具有特别性质的点。这样,x,t 与 x/,t/ 之间的关系
应有下列的一般形式
??
?
???
???
etdxt
btaxx
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.3 洛仑兹变换
于是 (8.3.5)式应具有下列形式,
ch sh sh ch
??
?
????
???
??
??
ctxtc
ctxx
其中
1shch,2/)(sh,2/)(ch 22 ?????? ?? ???? ???? eeee
引入新参数 ?? th?
得
22 1/1ch,1/sh ????? ????
代入 (8.3.7)得,
1
,
1
22 ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?? c
x
t
t
ctx
x
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
现在，我们来确定系数 β 。对于 K/ 中的观察者,K 的
原点，即 x = y = z = 0 点的速度应是
0,0,?????????? td zdtd ydvtd xd
另一方面由式 (8.3.2),(8.3.6)可得
22 1
,0,0,
1
??
?
?
????
?
??? dttddzdyc d txd
故
0,???????????? td zdtd ydvctd xd ?
即有,
c
v??
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
由 (8.3.4),(8.3.8),(8.3.10)，得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
??
22
2
22
/1
/1
cv
x
c
v
t
t
zz
yy
cv
vtx
x
/1
/1
22
2
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
??
?
???
?
cv
x
c
v
t
t
zz
yy
cv
tvx
x
(8.3.11),(8.3.12)为惯性系 K 与 K/ 之间的时空坐标变换关
系，称为 洛伦兹变换。
在伽利略变换中，时间与空间是相互分开的，这正符
合我们按日常经验所建立起来的观念：时间与空间是“绝
对”分开的两个概念。但是，在洛伦兹变换式 (8.3.11),
(8.3.12)中，时间的变换不再与空间无关。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
显然，由洛伦兹变换所描写的时空性
质，是根本不同于经典的对空观念的。为
了弄清楚相对论时空观的特点，我们考查
一下在新的时空观下，哪些物理量是相对
的？哪些物理量是绝对的？亦即哪些度量
结果依赖于所选用的参考系？哪些结果则
与参考系无关？
§ 8.4 相对论时空观 中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.1 时间间隔的相对性
8.4.2 同时的相对性
8.4.3 长度的相对性
8.4.4 时序的相对性和因果关系
8.4.5 时空间隔的绝对性
8.4.6 速度合成律
8.4.7 角度变换公式
8.4.8 加速度变换公式
§ 8.4 相对论时空观 中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.1 时间间隔的相对性
假定有两个物理事件，对于参考系 K/ 发生于同一地点，
但不同的时间，即
),,,( ),,,,( 21 tzyxBtzyxA ????????
按照式 (8.3-12)，对于参考系 K,这两个事件分别发生
在下列时刻,
22
22
222
21
1
/1
,
/1 cv
x
c
vt
t
cv
x
c
vt
t
?
???
?
?
???
?
故有
/1 1222
12
12 ttcv
tttt ????
?
?????
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.1 时间间隔的相对性
),,,( ),,,,( 21 tzyxBtzyxA ????????
/1 1222
12
12 ttcv
tttt ????
?
?????
这表明，在 K 中的观察者。所测得事件 A 与 B 的
时间间隔大于在 K/ 中观察者的测量结果，换言之，对
K/ 静止的时钟，从 K 中的观察者看来，是走慢了。反
之，同样可以证明对 K 静止的时钟，从 K/ 中的观察者
看来，是走慢了。这就是说,在一个惯性系中，运动
的钟比静止的钟走得慢 。这种效应叫做 爱因斯坦延缓，
时间膨胀,或 钟慢效应 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.1 时间间隔的相对性
必须指出，这里所说的“钟”应该是标准钟，把
它们放在一起应该走得一样快。不是钟出了毛病，而
是运动参考系中的时间节奏变缓了，在其中一切物理、
化学过程，乃至观察者自己的生命节奏都变缓了。而
在运动参考系里的人认为一切正常，并不感到自己周
围发生的一切变得沉闷呆滞。还必须指出，运动是相
对的。在地面上的人看高速宇宙飞船里的钟慢了，而
宇宙飞船里的宇航员看地面站里的钟也比自己的慢。
今后我们把相对于物体（或观察者）静止的钟所显示
的时间间隔 ⊿ τ 叫做 该物体的固有时 。 (8.4.1)式中的
就是固有时。
12 ttt ??????
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.1 时间间隔的相对性
如何理解时间膨胀的概念
呢？用光速不变原理设计一种
非常简单的钟，称为光信号钟，
如图 8.8所示。图中相距两端各
有一面镜子，当我们在镜子间
发出一个光信号后，光信号将
一直来回传送着，每一个来回
相当于通常钟“滴答”响一次。
把这个钟固定于 K/ 系中，并一起以匀速 v 相对于 K 系沿
垂直于 d 的方向运动。在 K/ 系中，光信号一个来回经历距离，
它的时间间隔为,cdt /2???
但在 K 系中看，光信号沿之字形路径，光信号一个来回
在 K 系中经历两条斜线，设时间间隔为 ⊿ t，按光速不变性，
有,
22222 )
2
1()
2
1()
2
1()
2
1( tctvdtvtc ?????????
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.1 时间间隔的相对性
22
222
)
2
1
()
2
1
(
)
2
1
()
2
1
(
tctv
dtvtc
?????
????
解得,
/1 22 cv
tt
?
????
该式与 (8.4.1)是一致的。时间膨胀或相对观测者运动的
钟变慢的效应与钟的具体结构天关，如果仅仅是运动的
光信号钟变慢，别的类型的钟不变慢，那么车厢内的观
测者就可能利用两种类型的钟的不一致来确定车厢的运
动，这与相对性原理是相抵触的。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.2 同时的相对性
如果对于 K/ 系，当时刻 t/ 在两个点 x1/ 及 x2/ 处同时
发生了两个物理事件 A 及 B。按照经典观点，在 K/ 中同
时发生的两事件，在其它惯性系中来看，也是同时发生
的，即“同时”是绝对的概念。
但是，在相对论中却有完全不同的结论。由式 (8.3-
12)容易得到，对于 K 系，事件 A 及 B 发生的时间应是
22
22
222
12
1
/1
,
/1 cv
x
c
vt
t
cv
x
c
vt
t
?
???
?
?
???
?
所以对 K 而言，这两个事件不是同时发生的。它们相隔
的时间为
22
12
212 /1 cv
xx
c
vttt
?
???????
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.2 同时的相对性
22
12
212 /1 cv
xx
c
vttt
?
???????
⊿ t 可能为正，也可能为负，这取决于 x2/ - x1/ 的
符号。它表明，事件 A 可能发生于事件 B 之前，也可
能发生于 B 之后。这就是说，在相对论中同时是相对
的。
换句话说，只能在一个坐标系对钟，或两个坐标系
中两个相接触的点对钟。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.3 长度的相对性
假定有一直尺相对于 K/ 系是静止的，并且放置在沿
x 方向。如果直尺两端的坐标分别是 x1/ 及 x2/,则对于 K/
系中的观察者，直尺的长度是 L/ = | x2/ - x1/ |（称为 固有长
度 ）。如果在 K 系中有一个观察者，在时刻 t，对该直尺
进行测量，得到直尺两端的坐标为 x1 及 x2，则按式
(8.3.11)，有
22
2
222
1
1 /1,/1 cv
vtxx
cv
vtxx
?
???
?
???
所以对于 K 系，直尺的长度为,
LcvLxxcvxxL ???????????? 2
2
212
2
21 1|| 1 ||
这表明，在 K 系中的观察者所测得的直尺长度总小于在
K/ 系中的观察者所测得的结果。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.3 长度的相对性
换言之，对于 K/ 为静止的直尺，在 K 中的观察者看
来，是缩短了。反之，可以证明，对于 K 为静止的直尺，
在 K/ 中的观察者看来，是缩短了。总之，相对于观察者
运动着的直尺，总比静止着的直尺短一些。即,物体沿
运动方向的长度比其固有长度短 。这种效应叫做 洛仑兹
收缩,或 尺缩效应 。
关于这一点,K/ 系中的观察者认为,K 系中的观察
者并没有“同时”测尺的两端坐标。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.3 长度的相对性
这里顺便说一下直到
1955年以后才注意到的一个问
题，即应该区分,观察者” 和
“观看者” 的问题。
伽莫夫著的著名科普读
物, 物理世界奇遇记, 里有这
样一段描述：主人公汤普金斯
先生来到一座奇异的城市，由
于这城市里的光速异乎寻常地
小，当他骑自行车以接近光速
的高速行驶时，发现周围一切
都如图 8.9所示那样变扁了。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.3 长度的相对性
汤普金斯的见闻，几十年来被物理学家们认为是正确的。
即由于洛伦兹收缩，只要能以接近光速的速度运动，我们将看
到一个扁的世界。直到 1955年 James Torrell发表的一篇文章，才
开始纠正了这个错误认识。其实尺缩效应的形象是人们观测物
体上各点对观察者参考系同一时刻的位置构成的形象，可称为
“测量形象”，而不是物体产生的“视觉形象”，相对论中的
“观察者”指的就是这种“测量者”。我们看到的（或照相机
拍摄的）形象，是由物体上各点发出后“同时到达”眼睛（或
照相机）的光线所组成，而这些光线并不是同时自物体发出的，
这时我们是“观看者”而非“观察者”。运动物体上离开我们
较远的点较早发出的光子与离开我们较近的点较迟发出的光子
可能会同时到达视网膜或感光底片。所以我们看到的高速运动
物体的形状除了应考虑由相对论效应引起的畸变外，还应考虑
到由光学效应引起的畸变。有人通过分析和计算证明，高速运
动的立方体或球体看起来将仍然是立方体或球体，不过转过了
一个角度。具体分析牵涉到较复杂的计算，这里就不叙述了。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.3 长度的相对性
由上面的讨论，我们看到与一个物体（包
括时钟）固定在一起的参考系似乎特别重要，
我们称这参考系为 本征参考系,在本征参考系
进行的测量称为本征测量或原测量，测得的物
体长度为本征长度或固有长度，测得的时间间
隔是本征时间间隔或原时间隔、固有时。我们
强调本征参考系的重要性并未从相对论的观点
后退一步，尽管每个观测者或每个物体，都有
唯一的本征参考系，但并不存在一个对所有的
观测者或所有的物体都是本征的普适参考系。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.4 时序的相对性和因果关系
不仅同时是相对的，而且事件发生的时间次序也是
相对的。设事件 A 及 B 对 K/ 来说，发生的地点与时间
分别是 (x1/,t1/) 及 (x2/,t2/)，则对于 K 系，事件 A 及 B 发
生的时间是
22
222
222
121
1
/1
,
/1 cv
x
c
vt
t
cv
x
c
vt
t
?
???
?
?
???
?
故有,
22
21221
21
/1
)(
cv
xx
c
vtt
tt
?
???????
??
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.4 时序的相对性和因果关系
假定对于 K/,事件的时序是先 A 后 B，即 t1/- t2/ < 0，那
么当 v(x1/- x2/)/c2 足够大，以致下式成立
22
21221
21
/1
)(
cv
xx
c
vtt
tt
?
???????
??
0)( 21221 ???????? xxcvtt
或者
v
c
tt
xx 2
21
21 ?
???
???
则事件的时序在 K 中就颠倒过来了。是先 B 后 A，即,
021 ?? tt
这就证明了时序的相对性。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.4 时序的相对性和因果关系
乍一看来，时序的相对性与因果关系是
矛盾的。我们知道，原因总应该发生在结果
之前，如果事件与之间有因果联系，那么先
后的时序就应当是绝对的，即无论在哪个惯
性系中观察，总应该得到先后的结果。但是，
洛伦兹变换却可能使时序改变，亦即可能因
果倒置。怎样才能把因果关系的绝对性与时
序的相对性统一起来呢？
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.4 时序的相对性和因果关系
v
c
tt
xx 2
21
21 ?
???
???
为此，我们分析一下事件之间因果联系的必要条件，
倘使事件 A 与 B 之间有因果联系，就应当有某种作用从
x1/ 出发经过时间间隔 t2/- t1/ 传递到了 B。这种作用使原因
A 得以产生结果 B。亦即，因果事件之间相互作用的传
递速度至少应当为
12
12
tt
xxv
i ???
????
代入上式得,
2cvvi ?
这表明，只当 v1 或 v 之一大于 c 时，才会出现因果倒置
的情况。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.4 时序的相对性和因果关系
也就是说，只在下列两种情况之一成立时，才会观
察到先果后因的现象,
1,因果作用的传递速度 v1 超过光速；
2,事件对于观察者的运动速度超过光速。
但是，下面将讨论，在实际的情形中，我们永远不
可能把原来小于光速运动的物体加速到超过光速。所以
上述两种情况是不会发生的。这就统一了因果次序的绝
对性与时序的相对性。即,
1,可能有因果联系的两个事件的时序不会经洛伦兹变换
而改变；
2,没有因果联系的两个事件的时序是可以改变的。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.5 时空间隔的绝对性
在洛伦兹变换下，两个事件 (x1,y1,z1,t1 ) 与 (x2,y2,z2,
t2 )的时间间隔及空间间隔都是相对的，而它们的时空间
隔却是绝对的。 时空间隔 被定义为
2212212212212 )()()()( zzyyxxttcs ?????????
利用洛伦兹变换，容易证明
2
21
2
21
2
21
2
21
2
2
21
2
21
2
21
2
21
2
)()()()(
)()()()(
zzyyxxttc
zzyyxxttc
????????????????
???????
或 ss ????
这表明，对 ⊿ s 的测量结果不依赖于参考系的选择。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.5 时空间隔的绝对性
对于在时空上无限邻近的两个事件，其时空间隔可
以写成微分形式
22222 dzdydxdtcds ????
还常常利用如下定义的量
sc1??
或
1 dscd ??
它被称为 原时间隔 。由于光速是个绝对量，故原时间隔也
是个绝对量。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.5 时空间隔的绝对性
一个质点的运动可以看成一系列连续出现的物理事
件，这时，两个无限邻近的运动状态的原时间隔是
2
2222
2
22222
1
1
1
1
c
u
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx
c
dt
dzdydxdtc
c
d
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?????
其中 u 是质点相对于 K 系的速度大小。 dτ的绝对性表明，
若质点相对于 K/ 系的速度为 u/，就将有
2
2
2
2
11 cutdcudtd ???????
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.6 速度合成律
为了求得相对论
的速度合成公式，我
们首先把洛伦兹变换
式 (8.3-12)写成微分形
式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
??
?
???
?
22
2
22
/1
/1
cv
xd
c
v
td
dt
zddz
yddy
cv
tvdxd
dx
显然，对于 K 系，质点的速度
分量是
dt
dzu
dt
dyu
dt
dxu
zyx ???,,
对于 K/ 系，质点的速度分量是
td
zdu
td
ydu
td
xdu
zyx ?
???
?
???
?
???,,
利用式 (8.4.21)中最后一式除前
面三个式子，并且利用上述表
式，得
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.6 速度合成律
1
/1
,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
v
u
cvu
u
c
v
u
cvu
u
c
v
u
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
??
??
?
??
??
?
??
??
?
其逆变换为,
1
/1,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
vu
cvuu
c
vu
cvu
u
c
vu
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
?
???
?
?
??
?
?
??
上式称为爱因斯坦速度合成律。在低速情况 v << c，略
掉上式中含 v/c的顶，它就过渡为伽利略变换中的速度合
成律。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.6 速度合成律
爱因斯坦速度合成律 (8.4.24)有下列一些有趣的性质,
1,若 ux/ = c/n,则
2
1
c
v
n
c
v
n
c
u x
?
?
? )1)((
nc
vv
n
c ??? )11(
2 nc
v
nvn
c ???? Kv
n
c ??
其中
2
11
nK ??
即得到菲索实验结果 (8.1.8)。
1
/1
,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
v
u
cvu
u
c
v
u
cvu
u
c
v
u
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
??
??
?
??
??
?
??
??
?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.6 速度合成律
2,若 v 与 两者中有一个为光速 c，则
其合速度为 c，有下列几种情况,
1
/1
,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
v
u
cvu
u
c
v
u
cvu
u
c
v
u
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
??
??
?
??
??
?
??
??
?
222 zyx uuuu ???????
(1) v = c,可得,0,0,???
zyx uucu
(2) 若
0,0,?????? zyx uucu
可得,0,0,??? zyx uucu
(3) 若 u/ = c，有
2222 zyx uuuu ???
22
2222
)/1(
/2
cvu
cvuvuc
x
xx
??
?????
2
2
2
2
2222
)1(
)(2
c
v
u
c
v
uuvvuu
x
zyx
??
????????
?
2c?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.6 速度合成律
3,两个小于或等于 c 的速度之和，永远不能超过 c。
若 cucv ???,
有
2
2
2
2
2222
2222
)1(
)(2
c
v
u
c
v
uuvvuu
uuuu
x
zyx
zyx
??
????????
????
2
2
2
2
2222
2
2
22
)1(
)()2(
c
v
u
c
v
uvcu
c
v
uvuc
x
xx
??
??????????
?
2
2
2
2222
2
2
2
2
)1(
))((
1
)1(
c
c
v
u
vcuc
cc
v
uc
x
x
?
??
??????
?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.6 速度合成律
故两速度的合成，只要有一个
速度为光速，则合速度为光速；若
两速度皆小于光速，则合速度也小
于光速。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.7 角度变换公式
略
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.8 加速度变换公式
在经典力学中，加速度对于伽利略变换
是不变量，即质点运动的加速度相对一切惯
性参考系都相等，这就导致了伽利略的力学
相对性原理。但是加速度经过洛仑兹变换后
要改变，即在狭义相对论中，加速度并不是
不变量。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.8 加速度变换公式
对速度变换公式 (8.4.24)微分，得
x
x
x
x
x
x
x
x ud
c
v
u
c
v
c
uvd
c
v
u
vu
c
v
u
ud
du ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
?
2
2
2
2
22
2
2 1
1
11
22
2
22
2
22
1
/1
1
/1
c
uvd
c
v
u
cvu
c
v
u
cvud
du x
x
y
x
y
y
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
??
??
?
22
2
22
2
22
1
/1
1
/1
c
uvd
c
v
u
cvu
c
v
u
cvud
du x
x
z
x
z
z
?
?
?
?
?
?
? ??
??
?
??
??
?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.8 加速度变换公式
由 (8.4.21)的第四式得
td
cv
c
uv
cv
c
uvdtd
dt
xx
?
?
?
?
?
?
?
??
?
22
2
22
2
/1
1
/1
由于,
dt
dua
dt
dua
dt
dua z
z
y
y
x
x ???,,
td
uda
td
uda
td
uda z
z
y
y
x
x ?
???
?
???
?
???,,
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.8 加速度变换公式
得,x
x
x a
c
uv
c
v
a ?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
3
2
2/3
2
2
1
1
x
x
y
y
x
y
a
c
uv
c
v
c
uv
a
c
uv
c
v
a ?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
x
x
z
z
x
z a
c
uv
c
v
c
uv
a
c
uv
c
v
a ?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.8 加速度变换公式
在相对论中，加速度不是不变
量，其变换公式冗长而复杂，各分
量的变换式也极不一样。加速度在
牛顿力学中所具有的那种优越地位，
在相对论中不复存在。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.5.1 相对论动量和质量
8.5.2 相对论中的力
8.5.3 质能公式
§ 8.5 狭义相对论力学 中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.5 狭义相对论力学
8.5.1 相对论动量和质量
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.5.2 相对论中的力 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.5.3 质能公式 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.6.1 质量的变换公式
8.6.2 动量和能量的变换公式
8.6.3 力的变换公式
§ 8.6 狭义相对论中质量,
动量和力的变换公式
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.6 狭义相对论中质量,
动量和力的变换公式
8.6.1 质量的变换公式
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.6.2 动 量和能量的变换公式 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.6.3 力的变换公式 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.7.1 四维矢量
8.7.2 时空间隔
8.7.3 四维速度矢量
8.7.4 四维动量矢量
8.7.5 多普勒效应
8.7.6 孪生子佯谬
§ 8.7 四维时空 中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.7 四维时空
8.7.1 四维矢量
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.7.2 时空间隔 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.7.3 四维速度矢量 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.7.4 四维动量矢量 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.7.5 多普勒效应 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.7.6 孪生子佯谬 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.8.1 等效原理和广义相对性原理
8.8.2 光在引力场中的弯曲
8.8.3 引力时间延缓、引力红移
8.8.4 弯曲时空、水星的进动
§ 8.8 广义相对论简介 中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.8 广义相对论简介
8.8.1 等效原理和广义相对性原理
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.8.2 光在引力场中的弯曲 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.8.3 引力时间延缓、引力红移 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.8.4 弯曲时空、水星的进动 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
第八章 相 对 论
爱因斯坦提出了相对论，相对论的核心是关于空间
和时间观念的论述，它指出，作为整个牛顿力学基础的
时间和空间的观念，尽管与人们已有的经验相符，实际
上并不是普遍正确的。相对论涉及的是物理学中的一些
最基本的观念，很难把它归属于物理学的哪一分支，相
反却以不同的程度影响物理学的所有内容。
与物理学中的其他理论不同，相对论既不是直接从
实验引出来的，也不是为消除分歧的观点而寻找到的。
相对论完全是在对已被普遍接受的物理概念进行慎密审
查的基础上提出的，狭义相对论以爱因斯坦的两条基本
假设为基础。
狭义相对论对空间和时间概念所进行的革命性的变
革，对整个物理学产生了深远的影响。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
第八章 相 对 论
狭义相对论也使牛顿的万有引力定律出现了新问
题。牛顿提出的万有引力被认为是一种超距作用，引
力以无穷大的速度传递，它的产生和到达是同时的，
这与光速是传播速度的极限相矛盾，而且与狭义相对
论关于同时性的相对性相抵触。因此必须对牛顿的万
有引力定律加以改造。根据物体的引力质量与惯性质
量成正比的事实，爱因斯坦认为万有引力效应是空间、
时间弯曲的一种表现，从而提出了广义相对论。在引
力较弱，空间和时间弯曲很小的情况下，广义相对论
的预言与牛顿的万有引力定律的预言趋向一致。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
第八章 相 对 论
§ 8.1 牛顿时空观的困难
§ 8.2 相对性原理
§ 8.3 洛仑兹变换
§ 8.4 相对论时空观
§ 8.5 狭义相对论力学
§ 8.6 狭义相对论中质量、动量和力的
变换公式
§ 8.7 四维时空
§ 8.8 广义相对论简介
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
8.1.2,以太, 理论及其困难
§ 8.1 牛顿时空观的困难 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
Litz提出光传播的射击理论：光如
同射出的子弹，其传播不需要借助任何
介质，光相对于光源所在的参考系以速
度（光速）运动。因此，光速只有在相
对于光源静止的参考系才是各向同性的。
对于不同的参考系，需要利用伽利略相
对性原理和他的坐标变换。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
1,超新星爆发
1731年英国一位天文学爱好者用望远镜在南方夜
空的金牛座上发现了一团云雾状的东西。外形象个螃
蟹，人们称它为“蟹状星云”。后来的观测表明，这
只“螃蟹”在膨胀，膨胀的速率为每年。到 1920年，
它的半径达到。推算起来，其膨胀开始的时刻应在
860年之前，即公元 1060年左右。人们相信，蟹状星
云到现在是 900多年前一次超新星爆发中抛出来的气
体壳层。这一点在我国的史籍里得到了证实。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
蟹状星云到地球的距离大约是 5千光年，而爆发中
抛射物的速度大约是 1500千米 /秒，用这些数据来计算，
t/ 比 t 短 25年。亦即，我们会在 25年内持续地看到超新
星开始爆发时所发出的强光。而史书明明记载着，客星
从出现到隐没还不到两年。这怎么解释？
1,超新星爆发
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
2,双星观测
双星轨道中运动的
半周期是
??? TT1
??? TT 2
222
22
c
vL
vc
vL
vc
L
vc
L ?
???????
其中 T 是双星轨道运动
的半周期。设 L 是地球
到双星的距离。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.1 光传播的射击理论的困难
W,de Sliter (1913) 首先讨论了上面的现象，指
出对许多双星（若假定是双星的轨道速度）来说,τ
具有 T 的量级。因此，如果光速与光源速度有关，
那么，以圆轨道运动的双星的多普勒效应对时间的
依赖性，就会相当于一个偏心轨道对时间的依赖性，
即双星运动规律不服从开普勒定律。但是，实际观
测到的双星轨道的偏心率是很小的。上述现象并没
有观测到。
2,双星观测
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
,以太”的提出，是为了解释光在真空中以及高速的
空间中都能传播这一事实。当时，认为光必须有一个载
体才能传播，而这种载体当光在真空中传播时更显得必
要，为了解释真空不空，笛卡儿（ 1596~1650）于十七世
纪第一个提出了“以太”的假说、并把“以太”描述为：
以太是充满整个空间的一种物质，真空中没有空气，但
却有这种无所不入的“以太”。
至十九世纪上半叶，当光具有波动性被大多数物理
学家承认时，以太假说又获得了新的支持，于是十九世
纪末的物理学界，牢固地确立了一种思想，认为有一种
到处存在的、能穿透一切的介质，并充满所有物质的内
部和它们之间的空间，它的作用是作为传播光波的基础。
惠更斯把它叫作“以太”（光以太），后来又被叫做法
拉第管（电磁以太），被认为是引起带电体和磁化物体
之间相互作用的原因。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
麦克斯韦的工作使这两种假想的介质统一起来
了。他指出光是传播的电磁波，并建立了一个优美
的数学理论，把所有涉及光、电和磁的现象结合在
一起。光以太也就是电磁以太。这时“以太”的存
在似乎无可置疑了。但是，如果用描写气体、固体
和液体这类常见介质的办法来描写以太那是不可能
的。这些都导致了难以解决的矛盾。不管对于光以
太还是电磁以太，这些矛盾都是显而易见的。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
首先，理论上遇到的困难是无法解释光为什么没有纵波。
因为光的传播速度很大，因此要求切变模量很大，即介
质刚性很强（很硬）。如果这样的介质（宇宙以太）充满了
我们周围整个空间的话，我们怎么能在地上跑来走去，行星
又怎能千百万年地绕太阳转动而丝毫不受阻力呢？因此这种
“光以太”本身就具有很大的矛盾性。
英国的物理学家开尔文爵士，为了解决以上矛盾，认为
宇宙以太有着类似鞋匠所用的鞋胶或鞋腊那样的性质，这类
物质具有一种“可塑性”，当快速加上强力作用时，它们能
象玻璃那样断开、但在很弱的力（例如它们本身的重力）的
作用下，它们会象液体那样流动。他认为在光波的情况下，
力的方向每秒要改变千百万次，这宇宙以太的行为就象硬的
弹性物质那样，而在人、行星或恒星的缓慢得多的运动情况
下，它实际上不会产生什么阻力。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
对于以太，人们往往以旧的观念加以认识。
如俄国化学家门捷列夫在他的元素周期表中曾
把宇宙以太列为周期表中原子序数等于零的物
质。
若以太真的存在，则相对于以太静止的
参考系是最精确的惯性参考系（绝对静止参
考系）。称以太参考系为绝对参考系，相对
于以太的运动为绝对运动。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
1,菲素实验
在菲素的原始实验
中，发现光在流水中的
速度不同于静水中的数
值，并且得出光在运动
液体中的速度一般地可
以用如下的经验公式表
示,
2
11,
nKKvn
cV ????
式中 n 是水的折射率,K 值正是 1817年由菲涅耳从理论
上推导出的结果。只不过菲索的实验值为 0.46，而理论
值为 0.44。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
地球上大气层的折射率 n≈ 1，故 K = 0。
因而地球运动时，大气层应完全不带动以
太，地球附近的以太仍保持静止。这一结
论被天文学家证实。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
2,光行差现象
所谓光行差，是指光线的视
方向与“真实”方向之间的夹角。
地球上的光行差有两种。其一是
周日光行差，它是由地球自转引
起的，其大小随观察者所在的纬
度不同而不同，由于自转速度很
小，所以这种周日光行差角很小。
另一种是周年光行差，它是由地
球的公转引起的，其数值在全球
各地都一样。如图可得
c
v??tan
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
地球公转速度 v = 29.75 公里 /秒，由上式可求出
周年光行差角的最大值为 α=20.47//。这个数值叫做 光
行差常数 。对各种恒星进行观测，所得到的光行差
角都与该值相符合。
以上两实验结果一致，地球运动不带动以太。故
只要测出地球相对于以太运动的速度就可以确定绝对
参考系。称这种测量为 测量“以太风” 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
3,迈克尔逊 —莫雷实验
当时估计应有 0.4条纹
的移动，但实验结果却只有
0.01条纹的移动，这一微小
的数值可以理解为实验中的
误差所引起，于是只能得出
以太被地球完全拖动，或者
根本不存在以太的结论。六
年之后，即 1887年，迈克尔
逊和莫雷（ Edward Williams
Morley,1838~1923）合作，
对原有仪器作了进一步改进，
又重复实验。但实验仍然得
出“零结果”。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
实验的“零结果”否定了绝对静止坐标系的存在，
同时对以太是否存在也提出了怀疑。这个结果是迈克尔
逊不愿得出的。他曾说过：想不到他的实验竟引导出一
个怪物（指相对论）。实验的零结果使物理学界感到震
惊，也被汤姆逊说成是经典物理学上空的“一朵乌云”，
因此引导不少物理学家在不同时间（春、夏、秋、冬）、
不同地点（地下室、棚屋、高空）重复类似的实验，历
时 50年之久。但实验都得出了同样的结果。
迈克尔逊实验的“零结果”，是建立相对论的前
奏。迈克尔逊由于这方面的贡献，荣获 1907年诺贝尔
物理奖。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.1.2,以太, 理论及其困难
迈克尔逊实验公布之后，不少物理学家企图用各种
理论解释这一现象，其中以洛仑兹（ 1853~1928）的长度
收缩最为典型。 1892年，荷兰人洛仑兹提出了在以太中
以速度运动的物体，在沿运动的方向上，长度有所收缩，
那么就很容易解释迈克尔逊实验中条纹移动为零的结果。
洛仑兹和斐兹杰惹提出的收缩假说，是为了解释迈
克尔逊实验的以太零结果，从数学上凑出来的，他们对
牛顿的时空观仍是深信无疑，并加以采用。收缩假说存
在致命的弱点。首先,它没有说明收缩的原因是什么？
其次，又设有说明收缩因子为什么和物质结构毫无关系。
后者引导一些人改变迈克尔逊实验为木结构和钢结构，
但是却得到了同样的结果。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.2 相对性原理
“以太”观点带来的问题,
1,承认“以太”，即承认惯性系中，有一个惯性系地
位特殊，因而最重要，但从牛顿力学是不可能找到
这个惯性系的；
2,试图利用光学和电磁学的方法，测量真空中的光速
来确定绝对参考系，但实验结果是否定的；
3.,以太”观点有一系列自相矛盾的假设，不易回避。
4,惯性系优越于非惯性系，绝对参考系优越于惯性系。
尤其是后一优越极不自然，又没有实验验证。
“以太”观点的困难是无法克服的。我们知道，物理学的
基本思想是,宇宙应有更简明的描述方法 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.2 相对性原理
当别人忙着在经典物理的框架内用形形色色的理
论来修补“以太风”的学说时，爱因斯坦另辟溪径，
提出两个重要假设来,
1,相对性原理：所有惯性系都是平权的，在它们之中
所有的物理规律都一样。
2,光速不变原理：在所有的惯性系中测量到的真空光
速都是一样的。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.2 相对性原理
爱因斯坦的光速不变原理表明，真空中光沿任何方
向传播的速度都相等，这是爱因斯坦的一个大胆假设。
光速不变原理可以解释迈克耳逊 —莫雷实验的零结果，
但迈克耳逊 —莫雷实验并未证明光速不变原理。 因为在
这实验中涉及的是光线往返所经历的时间，故这类实验
不能作为单程光速不变性的依据，至多只是双程光速不
变性的实验依据。把光速作为普适常数而且放在重要地
位的含义是非常深刻的。
我们知道，机械振动在媒质中的传播过程是媒质中
各部分的质元相互作用的结果，研究媒质中的机械波，
可使我们获得媒质内部相互作用的某些信息，光能在真
空中传播，研究真空中光波将可获得空间特性的某些信
息。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.2 相对性原理
爱因斯坦提出这个假设
是非常大胆的。下面我们
即将看到，这个假设非同
小可，一系列违反“常识”
的结论就此产生了。
如图 8.6给出的两个惯性系 K 及 K/，设在某一时刻
（取为 t = 0）,K 与 K/ 的原点是重合的，并且在这时刻
位于原点的光源发出一个光讯号。
设 K/ 相对于 K 沿 x 方向以速率 v 运动。在 K 中，光
讯号的波前是以 K 的原点为心的球面，由于光速不变，
在 K/ 中，这个光讯号的波前应是以 K/ 的原点为心的球面。
或许你要问，光脉冲的波面到底是以 K 为中心的球面还
是以 K/ 为中心的球面？
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.2 相对性原理
期望得到只有相对于这两个参考系中的某一
个，光的波阵面才是球面的答案本身就期望存在
一个特殊的惯性系，这意味着你还没有完全摆脱
绝对参考系的影响。
尽管 O/ 相对于 O 作匀速直线运动，但相对
于各自的参考系光的波阵面都是以各自的原点为
中心的球面，这正是空间本身所具有的特性的一
种反映。这一点之所以难以理解，是因为在我们
的心目中，时间的流逝是绝对的，是与参考系无
关的观念在作怪。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.2 相对性原理
于是我们得到结论，“同时”是相对的，只有同一
个惯性系可以对钟，两个不同的惯性系，只有当两点重
合时才可以对钟，如图 8.7所示，只有当 C 与 C/ 重合时，
才能将这两点的钟拨到同一时刻。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.3 洛仑兹变换
从伽利略速度合成律
可以看到，光速不变原理与
伽利略变换是矛盾的。为了
满足光速不变原理的要求，
惯性系之间应当有不同于伽
利略变换的时空坐标变换关
系，现在我们就来寻求它。
如图 8.6给出的两个惯性系 K 及 K/,K/ 相对于 K 沿 x
方向以速率 v 运动。设在 K/ 与 K 的原点 O/,O 重合时，
将 O/,O 的钟都拨到零（对钟），即取 t/ = t = 0,并且
在这时刻位于原点的光源发出一个光讯号。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.3 洛仑兹变换
在 K 中，光讯号的波
前是以 K 的原点为心的球
面，由下列方程所决定
022222 ???? tczyx
由于光速不变，在 K/ 中，
这个光讯号的波前应是以 K/
的原点为心的球面，即
022222 ???????? tczyx这样，只要要求 (x,y,z,t ) 与 (x/,y /,z /,t/ )之间的变换关
系满足下式,
2222222222 tczyxtczyx ???????????
就可以与光速不变原理相适应。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.3 洛仑兹变换
2222222222 tczyxtczyx ???????????
首先我们注意到，因为只在 x 方向 K/ 与 K 有相对运
动,y,z 方向并没有相对运动，所以关于 y,z 的变换应
当是
zzyy ????,
另外，还应要求坐标变换是线性的，这个要求来源于
空间的均匀性，即空间中各点的性质都是一样的，没有
任何具有特别性质的点。这样,x,t 与 x/,t/ 之间的关系
应有下列的一般形式
??
?
???
???
etdxt
btaxx
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.3 洛仑兹变换
于是 (8.3.5)式应具有下列形式,
ch sh sh ch
??
?
????
???
??
??
ctxtc
ctxx
其中
1shch,2/)(sh,2/)(ch 22 ?????? ?? ???? ???? eeee
引入新参数 ?? th?
得
22 1/1ch,1/sh ????? ????
代入 (8.3.7)得,
1
,
1
22 ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?? c
x
t
t
ctx
x
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
现在，我们来确定系数 β 。对于 K/ 中的观察者,K 的
原点，即 x = y = z = 0 点的速度应是
0,0,?????????? td zdtd ydvtd xd
另一方面由式 (8.3.2),(8.3.6)可得
22 1
,0,0,
1
??
?
?
????
?
??? dttddzdyc d txd
故
0,???????????? td zdtd ydvctd xd ?
即有,
c
v??
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
由 (8.3.4),(8.3.8),(8.3.10)，得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
??
22
2
22
/1
/1
cv
x
c
v
t
t
zz
yy
cv
vtx
x
/1
/1
22
2
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
??
?
???
?
cv
x
c
v
t
t
zz
yy
cv
tvx
x
(8.3.11),(8.3.12)为惯性系 K 与 K/ 之间的时空坐标变换关
系，称为 洛伦兹变换。
在伽利略变换中，时间与空间是相互分开的，这正符
合我们按日常经验所建立起来的观念：时间与空间是“绝
对”分开的两个概念。但是，在洛伦兹变换式 (8.3.11),
(8.3.12)中，时间的变换不再与空间无关。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
显然，由洛伦兹变换所描写的时空性
质，是根本不同于经典的对空观念的。为
了弄清楚相对论时空观的特点，我们考查
一下在新的时空观下，哪些物理量是相对
的？哪些物理量是绝对的？亦即哪些度量
结果依赖于所选用的参考系？哪些结果则
与参考系无关？
§ 8.4 相对论时空观 中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.1 时间间隔的相对性
8.4.2 同时的相对性
8.4.3 长度的相对性
8.4.4 时序的相对性和因果关系
8.4.5 时空间隔的绝对性
8.4.6 速度合成律
8.4.7 角度变换公式
8.4.8 加速度变换公式
§ 8.4 相对论时空观 中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.1 时间间隔的相对性
假定有两个物理事件，对于参考系 K/ 发生于同一地点，
但不同的时间，即
),,,( ),,,,( 21 tzyxBtzyxA ????????
按照式 (8.3-12)，对于参考系 K,这两个事件分别发生
在下列时刻,
22
22
222
21
1
/1
,
/1 cv
x
c
vt
t
cv
x
c
vt
t
?
???
?
?
???
?
故有
/1 1222
12
12 ttcv
tttt ????
?
?????
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.1 时间间隔的相对性
),,,( ),,,,( 21 tzyxBtzyxA ????????
/1 1222
12
12 ttcv
tttt ????
?
?????
这表明，在 K 中的观察者。所测得事件 A 与 B 的
时间间隔大于在 K/ 中观察者的测量结果，换言之，对
K/ 静止的时钟，从 K 中的观察者看来，是走慢了。反
之，同样可以证明对 K 静止的时钟，从 K/ 中的观察者
看来，是走慢了。这就是说,在一个惯性系中，运动
的钟比静止的钟走得慢 。这种效应叫做 爱因斯坦延缓，
时间膨胀,或 钟慢效应 。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.1 时间间隔的相对性
必须指出，这里所说的“钟”应该是标准钟，把
它们放在一起应该走得一样快。不是钟出了毛病，而
是运动参考系中的时间节奏变缓了，在其中一切物理、
化学过程，乃至观察者自己的生命节奏都变缓了。而
在运动参考系里的人认为一切正常，并不感到自己周
围发生的一切变得沉闷呆滞。还必须指出，运动是相
对的。在地面上的人看高速宇宙飞船里的钟慢了，而
宇宙飞船里的宇航员看地面站里的钟也比自己的慢。
今后我们把相对于物体（或观察者）静止的钟所显示
的时间间隔 ⊿ τ 叫做 该物体的固有时 。 (8.4.1)式中的
就是固有时。
12 ttt ??????
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.1 时间间隔的相对性
如何理解时间膨胀的概念
呢？用光速不变原理设计一种
非常简单的钟，称为光信号钟，
如图 8.8所示。图中相距两端各
有一面镜子，当我们在镜子间
发出一个光信号后，光信号将
一直来回传送着，每一个来回
相当于通常钟“滴答”响一次。
把这个钟固定于 K/ 系中，并一起以匀速 v 相对于 K 系沿
垂直于 d 的方向运动。在 K/ 系中，光信号一个来回经历距离，
它的时间间隔为,cdt /2???
但在 K 系中看，光信号沿之字形路径，光信号一个来回
在 K 系中经历两条斜线，设时间间隔为 ⊿ t，按光速不变性，
有,
22222 )
2
1()
2
1()
2
1()
2
1( tctvdtvtc ?????????
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.1 时间间隔的相对性
22
222
)
2
1
()
2
1
(
)
2
1
()
2
1
(
tctv
dtvtc
?????
????
解得,
/1 22 cv
tt
?
????
该式与 (8.4.1)是一致的。时间膨胀或相对观测者运动的
钟变慢的效应与钟的具体结构天关，如果仅仅是运动的
光信号钟变慢，别的类型的钟不变慢，那么车厢内的观
测者就可能利用两种类型的钟的不一致来确定车厢的运
动，这与相对性原理是相抵触的。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.2 同时的相对性
如果对于 K/ 系，当时刻 t/ 在两个点 x1/ 及 x2/ 处同时
发生了两个物理事件 A 及 B。按照经典观点，在 K/ 中同
时发生的两事件，在其它惯性系中来看，也是同时发生
的，即“同时”是绝对的概念。
但是，在相对论中却有完全不同的结论。由式 (8.3-
12)容易得到，对于 K 系，事件 A 及 B 发生的时间应是
22
22
222
12
1
/1
,
/1 cv
x
c
vt
t
cv
x
c
vt
t
?
???
?
?
???
?
所以对 K 而言，这两个事件不是同时发生的。它们相隔
的时间为
22
12
212 /1 cv
xx
c
vttt
?
???????
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.2 同时的相对性
22
12
212 /1 cv
xx
c
vttt
?
???????
⊿ t 可能为正，也可能为负，这取决于 x2/ - x1/ 的
符号。它表明，事件 A 可能发生于事件 B 之前，也可
能发生于 B 之后。这就是说，在相对论中同时是相对
的。
换句话说，只能在一个坐标系对钟，或两个坐标系
中两个相接触的点对钟。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.3 长度的相对性
假定有一直尺相对于 K/ 系是静止的，并且放置在沿
x 方向。如果直尺两端的坐标分别是 x1/ 及 x2/,则对于 K/
系中的观察者，直尺的长度是 L/ = | x2/ - x1/ |（称为 固有长
度 ）。如果在 K 系中有一个观察者，在时刻 t，对该直尺
进行测量，得到直尺两端的坐标为 x1 及 x2，则按式
(8.3.11)，有
22
2
222
1
1 /1,/1 cv
vtxx
cv
vtxx
?
???
?
???
所以对于 K 系，直尺的长度为,
LcvLxxcvxxL ???????????? 2
2
212
2
21 1|| 1 ||
这表明，在 K 系中的观察者所测得的直尺长度总小于在
K/ 系中的观察者所测得的结果。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.3 长度的相对性
换言之，对于 K/ 为静止的直尺，在 K 中的观察者看
来，是缩短了。反之，可以证明，对于 K 为静止的直尺，
在 K/ 中的观察者看来，是缩短了。总之，相对于观察者
运动着的直尺，总比静止着的直尺短一些。即,物体沿
运动方向的长度比其固有长度短 。这种效应叫做 洛仑兹
收缩,或 尺缩效应 。
关于这一点,K/ 系中的观察者认为,K 系中的观察
者并没有“同时”测尺的两端坐标。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.3 长度的相对性
这里顺便说一下直到
1955年以后才注意到的一个问
题，即应该区分,观察者” 和
“观看者” 的问题。
伽莫夫著的著名科普读
物, 物理世界奇遇记, 里有这
样一段描述：主人公汤普金斯
先生来到一座奇异的城市，由
于这城市里的光速异乎寻常地
小，当他骑自行车以接近光速
的高速行驶时，发现周围一切
都如图 8.9所示那样变扁了。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.3 长度的相对性
汤普金斯的见闻，几十年来被物理学家们认为是正确的。
即由于洛伦兹收缩，只要能以接近光速的速度运动，我们将看
到一个扁的世界。直到 1955年 James Torrell发表的一篇文章，才
开始纠正了这个错误认识。其实尺缩效应的形象是人们观测物
体上各点对观察者参考系同一时刻的位置构成的形象，可称为
“测量形象”，而不是物体产生的“视觉形象”，相对论中的
“观察者”指的就是这种“测量者”。我们看到的（或照相机
拍摄的）形象，是由物体上各点发出后“同时到达”眼睛（或
照相机）的光线所组成，而这些光线并不是同时自物体发出的，
这时我们是“观看者”而非“观察者”。运动物体上离开我们
较远的点较早发出的光子与离开我们较近的点较迟发出的光子
可能会同时到达视网膜或感光底片。所以我们看到的高速运动
物体的形状除了应考虑由相对论效应引起的畸变外，还应考虑
到由光学效应引起的畸变。有人通过分析和计算证明，高速运
动的立方体或球体看起来将仍然是立方体或球体，不过转过了
一个角度。具体分析牵涉到较复杂的计算，这里就不叙述了。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.3 长度的相对性
由上面的讨论，我们看到与一个物体（包
括时钟）固定在一起的参考系似乎特别重要，
我们称这参考系为 本征参考系,在本征参考系
进行的测量称为本征测量或原测量，测得的物
体长度为本征长度或固有长度，测得的时间间
隔是本征时间间隔或原时间隔、固有时。我们
强调本征参考系的重要性并未从相对论的观点
后退一步，尽管每个观测者或每个物体，都有
唯一的本征参考系，但并不存在一个对所有的
观测者或所有的物体都是本征的普适参考系。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.4 时序的相对性和因果关系
不仅同时是相对的，而且事件发生的时间次序也是
相对的。设事件 A 及 B 对 K/ 来说，发生的地点与时间
分别是 (x1/,t1/) 及 (x2/,t2/)，则对于 K 系，事件 A 及 B 发
生的时间是
22
222
222
121
1
/1
,
/1 cv
x
c
vt
t
cv
x
c
vt
t
?
???
?
?
???
?
故有,
22
21221
21
/1
)(
cv
xx
c
vtt
tt
?
???????
??
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.4 时序的相对性和因果关系
假定对于 K/,事件的时序是先 A 后 B，即 t1/- t2/ < 0，那
么当 v(x1/- x2/)/c2 足够大，以致下式成立
22
21221
21
/1
)(
cv
xx
c
vtt
tt
?
???????
??
0)( 21221 ???????? xxcvtt
或者
v
c
tt
xx 2
21
21 ?
???
???
则事件的时序在 K 中就颠倒过来了。是先 B 后 A，即,
021 ?? tt
这就证明了时序的相对性。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.4 时序的相对性和因果关系
乍一看来，时序的相对性与因果关系是
矛盾的。我们知道，原因总应该发生在结果
之前，如果事件与之间有因果联系，那么先
后的时序就应当是绝对的，即无论在哪个惯
性系中观察，总应该得到先后的结果。但是，
洛伦兹变换却可能使时序改变，亦即可能因
果倒置。怎样才能把因果关系的绝对性与时
序的相对性统一起来呢？
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.4 时序的相对性和因果关系
v
c
tt
xx 2
21
21 ?
???
???
为此，我们分析一下事件之间因果联系的必要条件，
倘使事件 A 与 B 之间有因果联系，就应当有某种作用从
x1/ 出发经过时间间隔 t2/- t1/ 传递到了 B。这种作用使原因
A 得以产生结果 B。亦即，因果事件之间相互作用的传
递速度至少应当为
12
12
tt
xxv
i ???
????
代入上式得,
2cvvi ?
这表明，只当 v1 或 v 之一大于 c 时，才会出现因果倒置
的情况。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.4 时序的相对性和因果关系
也就是说，只在下列两种情况之一成立时，才会观
察到先果后因的现象,
1,因果作用的传递速度 v1 超过光速；
2,事件对于观察者的运动速度超过光速。
但是，下面将讨论，在实际的情形中，我们永远不
可能把原来小于光速运动的物体加速到超过光速。所以
上述两种情况是不会发生的。这就统一了因果次序的绝
对性与时序的相对性。即,
1,可能有因果联系的两个事件的时序不会经洛伦兹变换
而改变；
2,没有因果联系的两个事件的时序是可以改变的。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.5 时空间隔的绝对性
在洛伦兹变换下，两个事件 (x1,y1,z1,t1 ) 与 (x2,y2,z2,
t2 )的时间间隔及空间间隔都是相对的，而它们的时空间
隔却是绝对的。 时空间隔 被定义为
2212212212212 )()()()( zzyyxxttcs ?????????
利用洛伦兹变换，容易证明
2
21
2
21
2
21
2
21
2
2
21
2
21
2
21
2
21
2
)()()()(
)()()()(
zzyyxxttc
zzyyxxttc
????????????????
???????
或 ss ????
这表明，对 ⊿ s 的测量结果不依赖于参考系的选择。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.5 时空间隔的绝对性
对于在时空上无限邻近的两个事件，其时空间隔可
以写成微分形式
22222 dzdydxdtcds ????
还常常利用如下定义的量
sc1??
或
1 dscd ??
它被称为 原时间隔 。由于光速是个绝对量，故原时间隔也
是个绝对量。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.5 时空间隔的绝对性
一个质点的运动可以看成一系列连续出现的物理事
件，这时，两个无限邻近的运动状态的原时间隔是
2
2222
2
22222
1
1
1
1
c
u
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx
c
dt
dzdydxdtc
c
d
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?????
其中 u 是质点相对于 K 系的速度大小。 dτ的绝对性表明，
若质点相对于 K/ 系的速度为 u/，就将有
2
2
2
2
11 cutdcudtd ???????
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.6 速度合成律
为了求得相对论
的速度合成公式，我
们首先把洛伦兹变换
式 (8.3-12)写成微分形
式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
??
?
???
?
22
2
22
/1
/1
cv
xd
c
v
td
dt
zddz
yddy
cv
tvdxd
dx
显然，对于 K 系，质点的速度
分量是
dt
dzu
dt
dyu
dt
dxu
zyx ???,,
对于 K/ 系，质点的速度分量是
td
zdu
td
ydu
td
xdu
zyx ?
???
?
???
?
???,,
利用式 (8.4.21)中最后一式除前
面三个式子，并且利用上述表
式，得
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.6 速度合成律
1
/1
,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
v
u
cvu
u
c
v
u
cvu
u
c
v
u
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
??
??
?
??
??
?
??
??
?
其逆变换为,
1
/1,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
vu
cvuu
c
vu
cvu
u
c
vu
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
?
???
?
?
??
?
?
??
上式称为爱因斯坦速度合成律。在低速情况 v << c，略
掉上式中含 v/c的顶，它就过渡为伽利略变换中的速度合
成律。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.6 速度合成律
爱因斯坦速度合成律 (8.4.24)有下列一些有趣的性质,
1,若 ux/ = c/n,则
2
1
c
v
n
c
v
n
c
u x
?
?
? )1)((
nc
vv
n
c ??? )11(
2 nc
v
nvn
c ???? Kv
n
c ??
其中
2
11
nK ??
即得到菲索实验结果 (8.1.8)。
1
/1
,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
v
u
cvu
u
c
v
u
cvu
u
c
v
u
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
??
??
?
??
??
?
??
??
?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.6 速度合成律
2,若 v 与 两者中有一个为光速 c，则
其合速度为 c，有下列几种情况,
1
/1
,
1
/1
,
1 2
22
2
22
2 c
v
u
cvu
u
c
v
u
cvu
u
c
v
u
vu
u
x
z
z
x
y
y
x
x
x
??
??
?
??
??
?
??
??
?
222 zyx uuuu ???????
(1) v = c,可得,0,0,???
zyx uucu
(2) 若
0,0,?????? zyx uucu
可得,0,0,??? zyx uucu
(3) 若 u/ = c，有
2222 zyx uuuu ???
22
2222
)/1(
/2
cvu
cvuvuc
x
xx
??
?????
2
2
2
2
2222
)1(
)(2
c
v
u
c
v
uuvvuu
x
zyx
??
????????
?
2c?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.6 速度合成律
3,两个小于或等于 c 的速度之和，永远不能超过 c。
若 cucv ???,
有
2
2
2
2
2222
2222
)1(
)(2
c
v
u
c
v
uuvvuu
uuuu
x
zyx
zyx
??
????????
????
2
2
2
2
2222
2
2
22
)1(
)()2(
c
v
u
c
v
uvcu
c
v
uvuc
x
xx
??
??????????
?
2
2
2
2222
2
2
2
2
)1(
))((
1
)1(
c
c
v
u
vcuc
cc
v
uc
x
x
?
??
??????
?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.6 速度合成律
故两速度的合成，只要有一个
速度为光速，则合速度为光速；若
两速度皆小于光速，则合速度也小
于光速。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.7 角度变换公式
略
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.8 加速度变换公式
在经典力学中，加速度对于伽利略变换
是不变量，即质点运动的加速度相对一切惯
性参考系都相等，这就导致了伽利略的力学
相对性原理。但是加速度经过洛仑兹变换后
要改变，即在狭义相对论中，加速度并不是
不变量。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.8 加速度变换公式
对速度变换公式 (8.4.24)微分，得
x
x
x
x
x
x
x
x ud
c
v
u
c
v
c
uvd
c
v
u
vu
c
v
u
ud
du ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
?
2
2
2
2
22
2
2 1
1
11
22
2
22
2
22
1
/1
1
/1
c
uvd
c
v
u
cvu
c
v
u
cvud
du x
x
y
x
y
y
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
??
??
?
22
2
22
2
22
1
/1
1
/1
c
uvd
c
v
u
cvu
c
v
u
cvud
du x
x
z
x
z
z
?
?
?
?
?
?
? ??
??
?
??
??
?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.8 加速度变换公式
由 (8.4.21)的第四式得
td
cv
c
uv
cv
c
uvdtd
dt
xx
?
?
?
?
?
?
?
??
?
22
2
22
2
/1
1
/1
由于,
dt
dua
dt
dua
dt
dua z
z
y
y
x
x ???,,
td
uda
td
uda
td
uda z
z
y
y
x
x ?
???
?
???
?
???,,
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.8 加速度变换公式
得,x
x
x a
c
uv
c
v
a ?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
3
2
2/3
2
2
1
1
x
x
y
y
x
y
a
c
uv
c
v
c
uv
a
c
uv
c
v
a ?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
x
x
z
z
x
z a
c
uv
c
v
c
uv
a
c
uv
c
v
a ?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.4.8 加速度变换公式
在相对论中，加速度不是不变
量，其变换公式冗长而复杂，各分
量的变换式也极不一样。加速度在
牛顿力学中所具有的那种优越地位，
在相对论中不复存在。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.5.1 相对论动量和质量
8.5.2 相对论中的力
8.5.3 质能公式
§ 8.5 狭义相对论力学 中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.5 狭义相对论力学
8.5.1 相对论动量和质量
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.5.2 相对论中的力 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.5.3 质能公式 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.6.1 质量的变换公式
8.6.2 动量和能量的变换公式
8.6.3 力的变换公式
§ 8.6 狭义相对论中质量,
动量和力的变换公式
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.6 狭义相对论中质量,
动量和力的变换公式
8.6.1 质量的变换公式
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.6.2 动 量和能量的变换公式 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.6.3 力的变换公式 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.7.1 四维矢量
8.7.2 时空间隔
8.7.3 四维速度矢量
8.7.4 四维动量矢量
8.7.5 多普勒效应
8.7.6 孪生子佯谬
§ 8.7 四维时空 中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.7 四维时空
8.7.1 四维矢量
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.7.2 时空间隔 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.7.3 四维速度矢量 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.7.4 四维动量矢量 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.7.5 多普勒效应 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.7.6 孪生子佯谬 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.8.1 等效原理和广义相对性原理
8.8.2 光在引力场中的弯曲
8.8.3 引力时间延缓、引力红移
8.8.4 弯曲时空、水星的进动
§ 8.8 广义相对论简介 中 国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 8.8 广义相对论简介
8.8.1 等效原理和广义相对性原理
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.8.2 光在引力场中的弯曲 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.8.3 引力时间延缓、引力红移 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
8.8.4 弯曲时空、水星的进动 中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
