杨维纮
第三章 动 量
有了力的定律和运动定律，动力学的根本任务，即在一定环境
下求物体的运动问题，似乎就成为求解运动方程的数学问题了。其
实，并非完全如此。
如果我们在动力学定律的基础上引进一些新的概念和新的物理
量，如动量、能量和角动量等，就可进而得到关于这些量的新的规
律（包括所谓运动定理以及由此引出的守恒定律），而直接用这些
规律去分析质点的运动问题，往往比从运动定律出发更为方便。
在力作为位置（或速度、时间）函数的具体形式不十分清楚的
情况下（约束力和碰撞中的力就是例子），这种方法也能为我们求
解问题提供一定的信息。
利用关于动量，能量和角动量的规律，却可以使我们获得关于
质点系运动的许多知识。
即使在牛顿定律不一定适用的许多场合，包括微观领域，守恒
定律仍然有效。这样，原来仅仅作为牛顿定律辅助工具而引入的运
动定理的推论 —— 守恒定律，却成为比牛顿定律更为基本的规律。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 3.1 动量守恒定律与动量定理
§ 3.2 质心运动定理
§ 3.3 变质量物体的运动
第三章 动 量 中
国
科
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技
术
大
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杨
维
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
3.1.2 冲量与质点的动量定理
3.1.3 质点系动量定理
§ 3.1 动量守恒定律与动量定理 中
国
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§ 3.1 动量守恒定律与动量定理
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
前面两章，我们讨论的是单个质点的运动。在这一
章里，我们要讨论由许多质点构成的体系的运动规律。
这种问题，常称为 质点系问题,或 多体问题 。
在质点系中有一类是特别的，即所有质点都没有受
到体系之外的物体的作用力。也可以简单他说，整个体
系不与外物相互作用，这种质点体系称为 孤立体系 。
中
国
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技
术
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
21
2
2
12
1
1
f
v
f
v
?
?
dt
d
m
dt
d
m
2112 ff ??
0)( 2211 ?? vv mmdtd
定义,
2211 vvP mm ??
0?dtdP
得,或 P =不变量
此式表明，对于两个质点构成的孤立体系，我们找
到了一个不变量 P，称它为 动量 。
中
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
在上述推导过程中，我们并没有用到作用力的具体
形式，只用了牛顿第二、三定律，所以，这个守恒律是
非常普遍的，与作用力的具体形式无关，对于任何力都
适用。
对于多个质点所构成的孤立体系，可以用完全类似
的方法证明体系的总动量不随时间变化，我们将它称为
动量守恒定律，表述如下,
在不受外力或所受外力的矢量和为零的体系中，每
个质点的动量都时刻在变，但它们的矢量和不变。
不变量? ?? iPP
其中 Pi 是第 i 个质点的动量。
中
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
几点说明,
1,与牛顿定律一样，动量守恒定律只适用于惯性系。
2,体系动量守恒并不是要求体系不受外力，只要所受
外力的矢量和为零。但不受外力的体系其动量必然
守恒，故孤立体系的动量守恒。
3,动量守恒是矢量式，它可以写成三个分量式,
若 Fx = 0,则 Px = 常量；
若 Fy = 0,则 Py = 常量；
若 Fz = 0,则 Pz = 常量；
中
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
几点说明,
4,动量守恒定律虽然由牛顿第三定律导出，但它比牛
顿第三定律适用范围更广。在牛顿第三定律不成立
时，只要计及场的动量，动量守恒定律仍然成立。
这是因为动量守恒定律可以不用牛顿定律，而直接
从空间的平移不变性（一种时空对称性）导出。时空对
称性原理是比牛顿定律更高层次的定律，我们将在下一
章中讨论。
中
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3.1.2 冲量与质点的动量定理
力作用到质点上，可以使质点的速度或动量发生变
化，我们将牛顿第二定律写成微分形式，即,
pF ddt ?
式中 dp 表示质点动量的改变量,Fdt表示合外力在 dt 时
间内的积累量，称为 dt 时间内质点所受合外力的 冲量
（又称为 元冲量 ），记为 dJ，即,dJ = Fdt 。
上式表明在时间内质点所受合外力的冲量等于同一
时间内质点动量的增量，这一关系叫做 质点动量定理的
微分形式 。 实际上它是牛顿第二定律的另一种形式。
中
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3.1.2 冲量与质点的动量定理
对 t0 到 t1 这段有限时间积分，即考虑力在某段时间
内的积累效果，则有,
01
1
0
ppFJ ??? ? dttt
式中 J 表示在到这段时间内合外力的冲量。冲量是矢量。
上式称为 质点动量定理的积分形式 。
值得注意的是，要产生同样的动量增量，力大力小都可以，力
大，时间可以短些，力小，时间需长些。只要力的时间积累冲量一
样，就产生同样的动量增量。
动量定理常用于碰撞过程。碰撞一般泛指物体间相互作用时间
很短的过程。在这一过程中，相互作用力往往很大而且随时间改变，
这种力通常叫做 冲力 。关于碰撞的研究我们留到下章进行。
在相对论中，质量随速率而变,F = m a 已不再正确，
但 Fdt = dp仍然正确。
中
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3.1.3 质点系动量定理
1,两质点系统（ n = 2）
??
?
??
??
2122
1211
fFp
fFp
?
?
2112 ff ??
2121 FFpp ??? ??得,
体系的总动量,
221121 vvppP mm ????
令,21 FFF ??ex
Fex为体系所受的外力的矢量和，称为体系所受的总外力。
dt
d
ex
PF ?
? ??tt ex dt 00 PPF
有,积分形式
微分形式
中
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3.1.3 质点系动量定理
2,多质点系统（ n > 2）
?
?
?
?
??
?
?
?
?????
?????
?????
?????
nnnnn
n
n
n
Ffffp
fFffp
ffFfp
fffFp
??
??????????
??
??
??
321
3332313
2232212
1131211
jiij ff ??
将方程组中的所有方程相加，由于所有内力的矢量和为零，得,
dt
d
ex
PF ?
其中,
i
n
i
ii
n
i
m vpP ??
??
??
11
i
n
i
ex FF ?
?
?
1
? ??tt ex dt 00 PPF
中
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3.1.3 质点系动量定理
2,多质点系统（ n > 2）
作用在体系上所有外力在一段时间内的总冲量等于
体系动量的增量。
dt
d
ex
PF ?
? ??tt ex dt 00 PPF
体系的动量定理,
积分形式
微分形式
中
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3.1.3 质点系动量定理
几点说明,
1,只有外力的冲量才对体系的总动量变化有贡献，内
力对体系的总动量变化没有贡献；但内力对动量在
体系内部的分配是有作用的。
2,动量定理与牛顿定律的关系,
(1) 对一个质点来说，牛顿定律说的是力的瞬时效果，
而动量定理说的是力对时间的积累效果。
(2) 牛顿定律只适用于质点，不能直接用于质点系；
而动量定理可适用于质点系。
中
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3.1.3 质点系动量定理
几点说明,
3,与牛顿定律一样，动量定理也只适用于惯性系，
要在非惯性系中应用动量定理，必须考虑惯性力
的冲量。
4,对于孤立体系，所受外力的矢量和为零，因而外力
的冲量也为零，此时体系的总动量守恒，这就是一
般情况下的孤立体系动量守恒定律。
5,动量定理的微分形式 (3.1.19)式与牛顿第二定律在形
式上相同，但其意义却是不一样的，关于这点，我
们在下节继续讨论。
中
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3.2.1 质心运动定理
3.2.2 质心坐标系
§ 3.2 质心运动定理 中
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3.2.1 质心运动定理
dt
d
ex
PF ?动量定理的微分形式,
牛顿第二定律,aF m?
形式上相同，但其含义并不相
同。牛顿第二定律是对质点而言，
但由于质点系内质点的运到情况各
不相同，加速度也各不相同 。
但对质点系而言，确实存在一个特殊点,这一点从图 3.3 可以
看得很清楚，尽管物体在上抛运动的同时还在旋转，物体（可以看
成质点系）上各点的运动比较复杂，但物体上的某一点（中间的小
孔处）的运动就简单得象一个质点的上抛一样，沿着抛物线的轨迹
运动。于是我们可以定义该特殊点为 质心,并认为体系的总质量都
集中在质心处 。
中
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3.2.1 质心运动定理
定义,
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
?????
?
?
?
n
nn
i
i
i
i
i
C
i
niC
mmm
mmm
m
m
mmmmm
?
?
?
21
2211
21
rrr
r
r
其中 mC,rC分别称为质心的质量和质心的坐标。于是动
量定理可以写成,
CCCCex mmdt
d arPF ??? ??
? ??tt CCCCex mmdt 00 vvF
上式分别称为 质心运动定理 和 质心动量定理,其中
vC,aC分别称为质心的速度和质心的加速度。
中
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3.2.1 质心运动定理
质心运动定理表明牛顿定律具有一种独
特的性质，即如果它在某一小尺度范围内是
正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。
回想一下，我们为什么可以在第一章引
入“质点”的概念，而把一个复杂的物体在
不考虑转动和内部运动时看成是一个“质
点”？其根据正是质心运动定理。
中
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关于质心运动定理，有下列几点需要说明,
1,质心运动定理实际上是矢量方程。 可以写成三个分
量方程，运动的独立性同样成立，即：若合外力在
某一分量上为零，则该分量满足动量守恒定律。
2,质心的位矢并不是各质点位矢的算术平均值，而是
它们的带权平均值。 质心的性质只有在体系的运动
与外力的关系中才体现出来。因而，质心并不是一
个几何学或运动学概念，而是一个动力学概念。这
一点在以后各章对质心性质的进一步讨论中将更充
分地体现出来。
3,体系质心的坐标（或位矢）与坐标原点的选取有关，
但质心与体系各质点（质元）的相对位置则与坐标
原点的选取无关 。
中
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关于质心运动定理，有下列几点需要说明,
4,对质量连续分布的物体，其质心质量和质心位矢为,
?
?
?
??
?
?
??
??
?
?
?
?
??
dV
dV
dm
dm
dVdmm
C
C
?
?
?
rr
r
5,质心是一个非常有用的物理量，但可能并不对应着一
个实际的东西。象这种具有抽象性质的物理量，以后
会越来越多地碰到。
6,质心运动定理和牛顿第三定律适用范围相同。
中
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关于质心运动定理，有下列几点需要说明,
7,质心的质量等于各质点的质量和，似乎是显然的结果。
但是，宏观物体由原子、分子组成，而原子、分子又
在各自不断运动，为什么总质量与这些复杂的运动无
关？（质心质量的表达式只是牛顿力学的一个结果，
并不是不证自明的）
8,质点组的动量等于质心动量。
注：在相对论中，质量与速度有关，且速度和动量不
服从经典力学的变换，而质点的质量在不同的参考系
中看来是不同的。所以，“质心”这个概念在相对论
中已没有多大意义。在相对论中用“动量中心系”来
取代质心系。
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3.2.2 质心坐标系
把原点取在质心上，坐标轴的方向始终与
某固定参考系（惯性系）的坐标轴保持平行的
平动坐标系叫 质心坐标系 （或 质心参考系 ），
简称 质心系 。质心坐标系在讨论质点系的力学
问题中，十分有用。对于不受外力作用的体系
（孤立体系）或所受外力的矢量和为零的体系，
其质心坐标系是惯性系。对于受外力作用的体
系，其质心系是非惯性系。
中
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3.3.1 变质量体系
3.3.2 运动方程
§ 3.3 变质量物体的运动 中
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3.3.1 变质量体系
我们来讨论体系动量定理的一个重要应用，即所谓
的变质量体系。这里所说的变质量并非指相对论中描述
的质量随运动物体速度而变化的相对论情况，而是指在
运动过程中不断与外界交换质量的物体的运动。
所讨论的体系有两个特征,
1,它的质量不是常数，而随时间变化，这种变化是由于
外界不断有新的质量进入体系，或是体系内部不断有
质量输送到外界；
2,体系中所有质点运动情况相同，因而仍可用一个质点
来描写体系的运动。
归纳起来，我们是研究一个质量随时间变化的质点的
运动，例如喷射高速气流的火箭、过饱和蒸汽不断凝
聚于水滴上的雨滴等。
中
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3.3.1 变质量体系
显然，这样的质点运动不能直接应用牛顿
定律，也不能把体系动量定理直接搬过来用，
因为无论牛顿定律或体系动量定理，都是指一
个确定组成的体系（或一个确定的质点）在给
定过程中所遵循的规律。只有当体系的组成是
确定的，所谓内力和外力才有确定的意义，变
质量体系是不断与外界交换质量的体系，体系
的组成随时间不断变化，对于这样的体系，牛
顿定律和体系动量定理不适用。
中
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3.3.1 变质量体系
我们可以把体系组成变化的过程分成一系列元过程，
在每个元过程的起始时刻，原来的体系（我们把它称为
主体）和即将进入主体的物体（我们不妨称它为附体）
是分离的，经过时间，在元过程的末了时刻，附体并入
主体构成一个新体系。
在该元过程中，体
系动量定理又适用。这
样，整个体系组成变化
的过程可看成一系列不
同组成的确定体系的元
过程的总和。在每一元
过程中，对相应的体系，
均可应用体系动量定理。
由此即可导出主体的运
动方程。
中
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3.3.2 运动方程
t 时刻,主体质量 m,速度 v，外力 Fm
附体质量△ m，速度 u，外力 F△ m
t + △ t 时刻：主体质量 m+ △ m,速度 v+△ v，外力 F = Fm+ F△ m
体系的动量定理,
tmmmm )() )(( ????????? Fuvvv
即,
t
m
t
m
tm
)(
?
????
?
???
?
? vFvuv
令△ t→ 0，则△ v→ 0,上
式取极限得,
Fvuv ??? dtdmdtdm )(
这就是变质量质点（即主体）
的运动方程。
中
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几点说明,
Fvuv ??? dtdmdtdm )(
1,方程中外力 F = Fm+ F△ m,附体对主体的作用
力 (u－ v)dm/dt，当 u = v时，上述方程与牛顿
第二定律虽然形式上一样，但要注意仍是变量。
2,当 u = 0 时，方程变为,
FPvvv ???? dtdmdtddtdmdtdm )(
这与牛顿第二定律一样。
3,上式虽然是在 dm/dt > 0 情况下导出的，但当
dm/dt < 0 时，结论依然正确，火箭就是这种情
况的例子。
中
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中
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几点说明,
Fvuv ??? dtdmdtdm )(
4,若主体与外界两种（或两种以上）质量交换过程
时，上述方程应改写为,
Fvuvuv ????? dtdmdtdmdtdm 2211 )()(
其中 u1,u2 分别表示附体 1和 2在并入主体前的速
度,dm1/dt 和 dm2/dt 则表示相应两种交换过程的
质量改变速率，而主体的质量改变为,
dt
dm
dt
dm
dt
dm 21 ??
例 3-5：雨滴开始自由下落时质量为 m0，在下落的过程中，单位时间
凝聚的水汽质量为 k，忽略空气阻力，求雨滴经时间 t 下落的距离。
解,设水汽附着于水滴前的速度 u = 0，由方程 (3.3-3)，得,
gktmvktmdtd )(])[( 00 ???
利用初始条件,t = 0 时,v = 0,由该方程可解得,
ktm
gkttm
v
?
?
?
0
2
0 )2
1(
)(222
1
0
2
00
ktmk
gm
k
gmgt
dt
dx
????
即,
积分，并利用初始条件,t = 0 时,x = 0,得,
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ??
?
??
?
???? t
m
k
k
mt
k
mtx
0
2
002 1ln
2
1
2
1
此即水滴经时间 t 下落的距离。
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第三章 动 量
有了力的定律和运动定律，动力学的根本任务，即在一定环境
下求物体的运动问题，似乎就成为求解运动方程的数学问题了。其
实，并非完全如此。
如果我们在动力学定律的基础上引进一些新的概念和新的物理
量，如动量、能量和角动量等，就可进而得到关于这些量的新的规
律（包括所谓运动定理以及由此引出的守恒定律），而直接用这些
规律去分析质点的运动问题，往往比从运动定律出发更为方便。
在力作为位置（或速度、时间）函数的具体形式不十分清楚的
情况下（约束力和碰撞中的力就是例子），这种方法也能为我们求
解问题提供一定的信息。
利用关于动量，能量和角动量的规律，却可以使我们获得关于
质点系运动的许多知识。
即使在牛顿定律不一定适用的许多场合，包括微观领域，守恒
定律仍然有效。这样，原来仅仅作为牛顿定律辅助工具而引入的运
动定理的推论 —— 守恒定律，却成为比牛顿定律更为基本的规律。
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§ 3.1 动量守恒定律与动量定理
§ 3.2 质心运动定理
§ 3.3 变质量物体的运动
第三章 动 量 中
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
3.1.2 冲量与质点的动量定理
3.1.3 质点系动量定理
§ 3.1 动量守恒定律与动量定理 中
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§ 3.1 动量守恒定律与动量定理
3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
前面两章，我们讨论的是单个质点的运动。在这一
章里，我们要讨论由许多质点构成的体系的运动规律。
这种问题，常称为 质点系问题,或 多体问题 。
在质点系中有一类是特别的，即所有质点都没有受
到体系之外的物体的作用力。也可以简单他说，整个体
系不与外物相互作用，这种质点体系称为 孤立体系 。
中
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
21
2
2
12
1
1
f
v
f
v
?
?
dt
d
m
dt
d
m
2112 ff ??
0)( 2211 ?? vv mmdtd
定义,
2211 vvP mm ??
0?dtdP
得,或 P =不变量
此式表明，对于两个质点构成的孤立体系，我们找
到了一个不变量 P，称它为 动量 。
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
在上述推导过程中，我们并没有用到作用力的具体
形式，只用了牛顿第二、三定律，所以，这个守恒律是
非常普遍的，与作用力的具体形式无关，对于任何力都
适用。
对于多个质点所构成的孤立体系，可以用完全类似
的方法证明体系的总动量不随时间变化，我们将它称为
动量守恒定律，表述如下,
在不受外力或所受外力的矢量和为零的体系中，每
个质点的动量都时刻在变，但它们的矢量和不变。
不变量? ?? iPP
其中 Pi 是第 i 个质点的动量。
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
几点说明,
1,与牛顿定律一样，动量守恒定律只适用于惯性系。
2,体系动量守恒并不是要求体系不受外力，只要所受
外力的矢量和为零。但不受外力的体系其动量必然
守恒，故孤立体系的动量守恒。
3,动量守恒是矢量式，它可以写成三个分量式,
若 Fx = 0,则 Px = 常量；
若 Fy = 0,则 Py = 常量；
若 Fz = 0,则 Pz = 常量；
中
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3.1.1 孤立体系与动量守恒定律
几点说明,
4,动量守恒定律虽然由牛顿第三定律导出，但它比牛
顿第三定律适用范围更广。在牛顿第三定律不成立
时，只要计及场的动量，动量守恒定律仍然成立。
这是因为动量守恒定律可以不用牛顿定律，而直接
从空间的平移不变性（一种时空对称性）导出。时空对
称性原理是比牛顿定律更高层次的定律，我们将在下一
章中讨论。
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3.1.2 冲量与质点的动量定理
力作用到质点上，可以使质点的速度或动量发生变
化，我们将牛顿第二定律写成微分形式，即,
pF ddt ?
式中 dp 表示质点动量的改变量,Fdt表示合外力在 dt 时
间内的积累量，称为 dt 时间内质点所受合外力的 冲量
（又称为 元冲量 ），记为 dJ，即,dJ = Fdt 。
上式表明在时间内质点所受合外力的冲量等于同一
时间内质点动量的增量，这一关系叫做 质点动量定理的
微分形式 。 实际上它是牛顿第二定律的另一种形式。
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3.1.2 冲量与质点的动量定理
对 t0 到 t1 这段有限时间积分，即考虑力在某段时间
内的积累效果，则有,
01
1
0
ppFJ ??? ? dttt
式中 J 表示在到这段时间内合外力的冲量。冲量是矢量。
上式称为 质点动量定理的积分形式 。
值得注意的是，要产生同样的动量增量，力大力小都可以，力
大，时间可以短些，力小，时间需长些。只要力的时间积累冲量一
样，就产生同样的动量增量。
动量定理常用于碰撞过程。碰撞一般泛指物体间相互作用时间
很短的过程。在这一过程中，相互作用力往往很大而且随时间改变，
这种力通常叫做 冲力 。关于碰撞的研究我们留到下章进行。
在相对论中，质量随速率而变,F = m a 已不再正确，
但 Fdt = dp仍然正确。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
3.1.3 质点系动量定理
1,两质点系统（ n = 2）
??
?
??
??
2122
1211
fFp
fFp
?
?
2112 ff ??
2121 FFpp ??? ??得,
体系的总动量,
221121 vvppP mm ????
令,21 FFF ??ex
Fex为体系所受的外力的矢量和，称为体系所受的总外力。
dt
d
ex
PF ?
? ??tt ex dt 00 PPF
有,积分形式
微分形式
中
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3.1.3 质点系动量定理
2,多质点系统（ n > 2）
?
?
?
?
??
?
?
?
?????
?????
?????
?????
nnnnn
n
n
n
Ffffp
fFffp
ffFfp
fffFp
??
??????????
??
??
??
321
3332313
2232212
1131211
jiij ff ??
将方程组中的所有方程相加，由于所有内力的矢量和为零，得,
dt
d
ex
PF ?
其中,
i
n
i
ii
n
i
m vpP ??
??
??
11
i
n
i
ex FF ?
?
?
1
? ??tt ex dt 00 PPF
中
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术
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3.1.3 质点系动量定理
2,多质点系统（ n > 2）
作用在体系上所有外力在一段时间内的总冲量等于
体系动量的增量。
dt
d
ex
PF ?
? ??tt ex dt 00 PPF
体系的动量定理,
积分形式
微分形式
中
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3.1.3 质点系动量定理
几点说明,
1,只有外力的冲量才对体系的总动量变化有贡献，内
力对体系的总动量变化没有贡献；但内力对动量在
体系内部的分配是有作用的。
2,动量定理与牛顿定律的关系,
(1) 对一个质点来说，牛顿定律说的是力的瞬时效果，
而动量定理说的是力对时间的积累效果。
(2) 牛顿定律只适用于质点，不能直接用于质点系；
而动量定理可适用于质点系。
中
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3.1.3 质点系动量定理
几点说明,
3,与牛顿定律一样，动量定理也只适用于惯性系，
要在非惯性系中应用动量定理，必须考虑惯性力
的冲量。
4,对于孤立体系，所受外力的矢量和为零，因而外力
的冲量也为零，此时体系的总动量守恒，这就是一
般情况下的孤立体系动量守恒定律。
5,动量定理的微分形式 (3.1.19)式与牛顿第二定律在形
式上相同，但其意义却是不一样的，关于这点，我
们在下节继续讨论。
中
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3.2.1 质心运动定理
3.2.2 质心坐标系
§ 3.2 质心运动定理 中
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3.2.1 质心运动定理
dt
d
ex
PF ?动量定理的微分形式,
牛顿第二定律,aF m?
形式上相同，但其含义并不相
同。牛顿第二定律是对质点而言，
但由于质点系内质点的运到情况各
不相同，加速度也各不相同 。
但对质点系而言，确实存在一个特殊点,这一点从图 3.3 可以
看得很清楚，尽管物体在上抛运动的同时还在旋转，物体（可以看
成质点系）上各点的运动比较复杂，但物体上的某一点（中间的小
孔处）的运动就简单得象一个质点的上抛一样，沿着抛物线的轨迹
运动。于是我们可以定义该特殊点为 质心,并认为体系的总质量都
集中在质心处 。
中
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3.2.1 质心运动定理
定义,
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
?????
?
?
?
n
nn
i
i
i
i
i
C
i
niC
mmm
mmm
m
m
mmmmm
?
?
?
21
2211
21
rrr
r
r
其中 mC,rC分别称为质心的质量和质心的坐标。于是动
量定理可以写成,
CCCCex mmdt
d arPF ??? ??
? ??tt CCCCex mmdt 00 vvF
上式分别称为 质心运动定理 和 质心动量定理,其中
vC,aC分别称为质心的速度和质心的加速度。
中
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3.2.1 质心运动定理
质心运动定理表明牛顿定律具有一种独
特的性质，即如果它在某一小尺度范围内是
正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。
回想一下，我们为什么可以在第一章引
入“质点”的概念，而把一个复杂的物体在
不考虑转动和内部运动时看成是一个“质
点”？其根据正是质心运动定理。
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关于质心运动定理，有下列几点需要说明,
1,质心运动定理实际上是矢量方程。 可以写成三个分
量方程，运动的独立性同样成立，即：若合外力在
某一分量上为零，则该分量满足动量守恒定律。
2,质心的位矢并不是各质点位矢的算术平均值，而是
它们的带权平均值。 质心的性质只有在体系的运动
与外力的关系中才体现出来。因而，质心并不是一
个几何学或运动学概念，而是一个动力学概念。这
一点在以后各章对质心性质的进一步讨论中将更充
分地体现出来。
3,体系质心的坐标（或位矢）与坐标原点的选取有关，
但质心与体系各质点（质元）的相对位置则与坐标
原点的选取无关 。
中
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关于质心运动定理，有下列几点需要说明,
4,对质量连续分布的物体，其质心质量和质心位矢为,
?
?
?
??
?
?
??
??
?
?
?
?
??
dV
dV
dm
dm
dVdmm
C
C
?
?
?
rr
r
5,质心是一个非常有用的物理量，但可能并不对应着一
个实际的东西。象这种具有抽象性质的物理量，以后
会越来越多地碰到。
6,质心运动定理和牛顿第三定律适用范围相同。
中
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关于质心运动定理，有下列几点需要说明,
7,质心的质量等于各质点的质量和，似乎是显然的结果。
但是，宏观物体由原子、分子组成，而原子、分子又
在各自不断运动，为什么总质量与这些复杂的运动无
关？（质心质量的表达式只是牛顿力学的一个结果，
并不是不证自明的）
8,质点组的动量等于质心动量。
注：在相对论中，质量与速度有关，且速度和动量不
服从经典力学的变换，而质点的质量在不同的参考系
中看来是不同的。所以，“质心”这个概念在相对论
中已没有多大意义。在相对论中用“动量中心系”来
取代质心系。
中
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3.2.2 质心坐标系
把原点取在质心上，坐标轴的方向始终与
某固定参考系（惯性系）的坐标轴保持平行的
平动坐标系叫 质心坐标系 （或 质心参考系 ），
简称 质心系 。质心坐标系在讨论质点系的力学
问题中，十分有用。对于不受外力作用的体系
（孤立体系）或所受外力的矢量和为零的体系，
其质心坐标系是惯性系。对于受外力作用的体
系，其质心系是非惯性系。
中
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3.3.1 变质量体系
3.3.2 运动方程
§ 3.3 变质量物体的运动 中
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3.3.1 变质量体系
我们来讨论体系动量定理的一个重要应用，即所谓
的变质量体系。这里所说的变质量并非指相对论中描述
的质量随运动物体速度而变化的相对论情况，而是指在
运动过程中不断与外界交换质量的物体的运动。
所讨论的体系有两个特征,
1,它的质量不是常数，而随时间变化，这种变化是由于
外界不断有新的质量进入体系，或是体系内部不断有
质量输送到外界；
2,体系中所有质点运动情况相同，因而仍可用一个质点
来描写体系的运动。
归纳起来，我们是研究一个质量随时间变化的质点的
运动，例如喷射高速气流的火箭、过饱和蒸汽不断凝
聚于水滴上的雨滴等。
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3.3.1 变质量体系
显然，这样的质点运动不能直接应用牛顿
定律，也不能把体系动量定理直接搬过来用，
因为无论牛顿定律或体系动量定理，都是指一
个确定组成的体系（或一个确定的质点）在给
定过程中所遵循的规律。只有当体系的组成是
确定的，所谓内力和外力才有确定的意义，变
质量体系是不断与外界交换质量的体系，体系
的组成随时间不断变化，对于这样的体系，牛
顿定律和体系动量定理不适用。
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3.3.1 变质量体系
我们可以把体系组成变化的过程分成一系列元过程，
在每个元过程的起始时刻，原来的体系（我们把它称为
主体）和即将进入主体的物体（我们不妨称它为附体）
是分离的，经过时间，在元过程的末了时刻，附体并入
主体构成一个新体系。
在该元过程中，体
系动量定理又适用。这
样，整个体系组成变化
的过程可看成一系列不
同组成的确定体系的元
过程的总和。在每一元
过程中，对相应的体系，
均可应用体系动量定理。
由此即可导出主体的运
动方程。
中
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3.3.2 运动方程
t 时刻,主体质量 m,速度 v，外力 Fm
附体质量△ m，速度 u，外力 F△ m
t + △ t 时刻：主体质量 m+ △ m,速度 v+△ v，外力 F = Fm+ F△ m
体系的动量定理,
tmmmm )() )(( ????????? Fuvvv
即,
t
m
t
m
tm
)(
?
????
?
???
?
? vFvuv
令△ t→ 0，则△ v→ 0,上
式取极限得,
Fvuv ??? dtdmdtdm )(
这就是变质量质点（即主体）
的运动方程。
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几点说明,
Fvuv ??? dtdmdtdm )(
1,方程中外力 F = Fm+ F△ m,附体对主体的作用
力 (u－ v)dm/dt，当 u = v时，上述方程与牛顿
第二定律虽然形式上一样，但要注意仍是变量。
2,当 u = 0 时，方程变为,
FPvvv ???? dtdmdtddtdmdtdm )(
这与牛顿第二定律一样。
3,上式虽然是在 dm/dt > 0 情况下导出的，但当
dm/dt < 0 时，结论依然正确，火箭就是这种情
况的例子。
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中
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几点说明,
Fvuv ??? dtdmdtdm )(
4,若主体与外界两种（或两种以上）质量交换过程
时，上述方程应改写为,
Fvuvuv ????? dtdmdtdmdtdm 2211 )()(
其中 u1,u2 分别表示附体 1和 2在并入主体前的速
度,dm1/dt 和 dm2/dt 则表示相应两种交换过程的
质量改变速率，而主体的质量改变为,
dt
dm
dt
dm
dt
dm 21 ??
例 3-5：雨滴开始自由下落时质量为 m0，在下落的过程中，单位时间
凝聚的水汽质量为 k，忽略空气阻力，求雨滴经时间 t 下落的距离。
解,设水汽附着于水滴前的速度 u = 0，由方程 (3.3-3)，得,
gktmvktmdtd )(])[( 00 ???
利用初始条件,t = 0 时,v = 0,由该方程可解得,
ktm
gkttm
v
?
?
?
0
2
0 )2
1(
)(222
1
0
2
00
ktmk
gm
k
gmgt
dt
dx
????
即,
积分，并利用初始条件,t = 0 时,x = 0,得,
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ??
?
??
?
???? t
m
k
k
mt
k
mtx
0
2
002 1ln
2
1
2
1
此即水滴经时间 t 下落的距离。
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