杨维纮
第四章 机械能守恒
在笛卡儿提出动量守恒原理后 42年，德国数学家、哲
学家莱布尼兹（ Leibniz,1646~1716）提出了“活力”概
念及“活力”守恒原理。和笛卡儿一样，莱布尼兹也相信
宇宙中运动的总量必须保持不变，不过和笛卡儿不同，他
认为应该用 mv2 表示这个量，而不是 mv。
莱布尼兹与笛卡儿关于 mv2 和 mv 之争，在历史上曾
经历相当长时期的混乱，一百多年后，人们逐渐明白，这
是两种不同的守恒规律，莱布尼兹的“活力” 守恒应归
结为机械能守恒。
下面我们从现代的观点对这些概念一一地予以重新定
义。
中
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第四章 机械能守恒
§ 4.1 能量守恒
§ 4.2 动能定理
§ 4.3 势能
§ 4.4 机械能守恒定律
§ 4.5 质心系
§ 4.6 碰撞
§ 4.7 对称性、因果关系与守恒律
中
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4.1.1 永动机不可能
4.2.2 重力势能
4.3.3 动能
4.4.4 弹性势能和其它能量形式
§ 4.1 能量守恒 中
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4.1.1 永动机不可能
实际上，永动机这个名词不太恰当。如飞轮之类，
运动一经开始，若无摩擦作用，则可永久继续运动，这
在实际上虽然不易实现，但于理说得通，可以看作一种
实际的极限情形，此时没有动力输出，若说什么也不消
耗，可以永久输出动力，此则非但不可实现，而且于理
也说不通。 所谓永动机，指的是人们幻想的一种机械装
置，它一经启动，就自行运转下去，不断作出有用的功。
企图制造永动机的最早记载，大约出现在 13世纪。此后
各种永动机的设计层出不穷，一直延续到 19世纪工业革
命后，势头才有所减弱。即使到今天，还不时有人提出
一些实质上是永动机的装置，只不过它们伪装得更好，
更不易被识破罢了。
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4.1.1 永动机不可能
千万次的失败并没有使所有的人认输，总有一些
人陷在永动机梦想的泥潭里不能自拔，并死死纠缠着
要别人接受他们的设计方案。在这种情况下巴黎科学
院在 1775年不得不通过决议，正式宣告拒绝受理永动
机方案。这说明在当时科学界，已经从长期所积累的
经验中，认识到制造永动机的企图是没有成功的希望
的。人们的原始概念，乃是,人力有限”,如果我们
能够没有任何消耗而得到永久工作，那将是人力无限
了！这种事情未免太好，好得令人难以置信。直到现
在，美英等许多国家的专利局都订有限制接受永动机
方案的条款。
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4.1.1 永动机不可能
现在人们常用能量守恒定律来否定永动
机，而 19世纪能量守恒定律的三个创始人之
一 ——亥姆霍兹（ 1821~1894）当年却是用不
可能有永动机来论证能量守恒定律的。他在
,论自然力的相互作用, 一文中写道：,……
鉴于前人试验的失败，人们 … 不再询问：我如
何能够利用各种自然力之间已知和未知的关系
来创造一种永恒的运动，而是问道：如果永恒
的运动（指永动机）是不可能的，在各种自然
力之间应该存在什么样的关系？”
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4.1.1 永动机不可能
人们造出机器，是为了让它作功。“功”的概念在一般人的感
觉中是现实的，具体的，它起源于早期工业革命中工程师们的需要，
当时他们需要一个用来比较蒸汽机的效率的办法。在实践中大家逐
渐同意用机器举起的物体的重量与行程之积来量度机器的输出，并
称之为功。
在 19世纪初期用机械功测量活力已引入动力技术著作中。
1820年后，力学论文开始强调功的概念。
1829年，法国工程师彭塞利（ Poneclet,1788~1867）在一本力
学著作中引进“功”这一名词。
之后，科里奥利在, 论刚体力学及机器作用的计算, 一文中，
明确地把作用力和受力点沿力的方向的可能位移的乘积叫做“运动
的功”。功与以后建立的能量概念具有相同的量度，功作为能量变
化的量度为研究能量转化过程奠定了一个定量分析的基础。
时至今日，物理学中并没有告诉我们能量究竟是什么，也没有
说出各种表达式的机理。
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4.1.2 重力势能
在下面的推理中，我们的前提是永动机不可能。它
的依据是从千千万万人的实践中总结出来的经验事实。
人们曾设想过各式各样的永动机，这里我们只讨论
举重机械。如果有这样一架举重机械，当人们运用它完
成一系列操作之后，装置回到了初始状态，在此过程中
产生的净效果，是把一定的重量提升了一定的高度，则
我们说，这就是一架永动机。有了这样一架举重的机械，
完成其它操作的永动机就都变为可能的了。因而我们只
需假设，这种举重式的永动机是不可能的。
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4.1.2 重力势能
作为最简单的举重
装置之一，我们追随斯
泰芬，也研究斜面装置。
不过为了简化讨论，我们把装置改为如图 4.1 所示的形式。设小
球重量为 mg，大球重量为 Mg，在摩擦力趋于零的情况下，静力学平
衡时，我们有 Mg sinθ= mg,如果小球拖得动大球的话，则以小球降低
高度 h 为代价，把大球提升高度 h/ = h sinθ,于是,
m g hM g hhMg ??? ?s i n
上面得到的式子是由斜面这个具体装置推导出来的，
我们的问题是,无论用什么举重机械，以重物下降一个高
度为代价，至多能够把多少重量上举一个高度？ 要普遍地
回答这个问题，用本课前面已有的力学知识就不行了。下
面我们从热学中卡诺（ Sadi Carnot,1796~1832）那里借来
一种绝妙的推理方法。
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4.1.2 重力势能
我们把各种机械装
置分成可逆的和不可逆
的两种。
所谓可逆装置，就是它既能够以重物 m 的高度降低 h 为代价，
把重物 M 提升一个高度 h/，又能够以重物 M 的高度降低 h/ 为代价，
把重物 m 提升一个高度 h。
我们说，理想的无摩擦装置是可逆的。显然，“可逆”和“不
可逆”的概念可以推广到任何装置。
结论是：在给定的情况下,
2,所有可逆装置的 M 都相等。
1,所有不可逆装置的 M 都不大于可逆装置；
下面用归谬法来论证这两个结论。
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4.1.2 重力势能
如果某个不可逆装置在同样的条件下举起的重量 M/g > 可逆装置
举起的重量 Mg，我们就能够从 M/ 中分出一部分 M 来，以它降低高
度 h/ 为代价，反向操作那个可逆装置，把不可逆装置中降下来的重物
mg 恢复到原来的高度 h。这样一来，在其它所有状态都复原的情况之
下，产生的净效果是把一个重量为 (M/－ M)g 的重物提升了一个高度
h/。这就导致永动机成为可能的荒谬结论。所以，上面的前提不能成
立，实际情况应该是，此即上述的结论 1。
如果有两个可逆装置 A 和 B，在重物 m 的高度降低 h 的同样条
件下，能够把重量分别为 MA 和 MB 的物体提升一个高度 h/，则利用
上述推理不难得知：由于装置 B可以反向运行，只要永动机不可能，
就应有 MA ≤ MB ；由于装置 A也可以反向运行，只要永动机不可能，
就应有 MB ≤ MA 。最后只能是 MA = MB,此即上述的结论 2。
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4.1.2 重力势能
无摩擦的斜面是一种可逆的举重装置，既然所有
的可逆装置提升的重量都一样，故 (4.1.1)式适用于一切
可逆装置。于是我们得到一条普遍的规律：在装置可
逆的条件下，重量和高度的乘积这个量是守恒的，它
代表一种潜在的作功本领，我们称它为物体的 重力势
能,记为，即,
m g hE p ?
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4.1.3 动能
我们利用无摩擦的单摆来求运动物体的动能，如图 4.2所示。
假定摆锤从某一高度自由下摆，便可来回摆动。当摆锤摆到最低点
时，势能将减少，这部分减少了的势能跑到哪里去了？观察摆锤运
动，可以看到它会再次爬上来，可见失去的重力势能必定转变为另
一种形式的能量，显然它是靠自己的运动才重新爬上来的，这是一
种由于摆锤的运动所具有的能量。
依能量守恒原理摆锤能够上升的
高度与上升机制无关，即与上升路径
无关。但动能一定等于初始自由下摆
时的重力势能。为写出动能的形式，
假如以最低点处同一速度竖直向上抛
出这个物体，达同样高度，依运动学
公式有关系式。所以这个动能 Ek 可写
为,
2
2
1 mvE
k ?
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4.1.3 动能
当然，物体因运动具有能量与物体是否处
于重力场中无关。只要物体运动，均有动能。
顺便指出，重力势能（重量与高度的乘积）的
表达式 mgh 和动能表达式 mv2/2 都是近似公式。
前者在高度很大时不正确，因为假定了重力为
常量；后者在高速运动时要给予相对论性修正，
因为假定了质量 m 是绝对量。然而，当考虑了
这些因素，给出精确表达式后，能量守恒定律
仍然正确。
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4.1.4 弹性势能和其它能量形式
)( 0xxkmgdtdvm ???
dxxxkm g d xm vd v )( 0???
dxxxkxdmgdvvm hxxhxx )( 0 0 0 0
0
0
0
??? ??? ??
对从 x = x0 到 x = x0+h
积分，在此过程的两头
速度 v 都等于零，有,
即,
2
2
1 khm g h ?
2
0 )(2
1 xxkE
p ??
我们得到弹性势能,
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4.1.4 弹性势能和其它能量形式
如果此装置是一个理想的可逆装置，弹簧一端的物体将
不断来回振动。实际情况是，振动将会逐渐减弱，直至趋于
静止。当弹簧不再振动时，能量又到哪里去了呢？因为能量
是守恒的。由此，可以发现另一种形式的能量：热能。
众所周知，在弹簧或一般机械装置中有着大量原子组成
的晶体。当弹簧运动或机器运转时，由于材料本身的缺陷，
产生撞击和跳动，材料中的原子加剧无规则摆动，与此同时，
发现机械运动减慢了，直至趋于静止，但动能依然存在，只
是它与看得见的机械运动没有联系。我们如何知道动能仍然
存在呢？这可以通过弹簧或机器变热加以判定。材料温度的
提高是材料内部原子无规则振动动能增加的证明。我们称这
种形式的能量为热能，它是材料内部原子无规则运动的动能。
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4.1.4 弹性势能和其它能量形式
以上分析可知,
1,能量守恒定律极其有用，上面分析的几个简单例子中
已经说明了这一点。
2,如果我们找到了各种能量的表达式，那么可以不必分
析物理过程的细节就可以知道应当发生的某些结论。
3,因此不仅是能量守恒定律，其它守恒定律也一样让我
们产生浓厚的兴趣，在下一章我们还要讲述角动量守
恒定律，这就是从大到小的研究顺序的独到之处。
4,目前我们并没有深刻理解守恒定律，本章末将说明，
能量守恒定律与时间平移对称性有关，动量守恒定律
与空间的平移对称性有关。由此可见，把握了大的总
体的方面，我们会对物理有深刻的理解。
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4.2.1 质点动能定理
4.2.2 功和功率
4.2.3 质点系动能定理
§ 4.2 动能定理 中
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4.2.1 质点动能定理
我们知道，力的冲量可以使物体（质点）的动量发生改变；力
又是如何使物体的动能发生改变的呢？为此，我们计算一下单位时
间动能的改变。
对于直线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我们有,
dt
dsFFv
dt
dvmvmv
dt
d
dt
dE k ????
?
??
?
?? 2
2
1
FvdtdE k ? F d sdE k ?即,
这是元过程的表达式，对于有限过程，则可以两边积分得,
????? ttkk F d smvmvEE 02020 2121
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4.2.1 质点动能定理
对于一般的曲线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我
们有,
dt
d
dt
dmmv
dt
d
dt
dE k rFvFvv ???????
?
??
?
?? 2
2
1
即,
vF ??dtdE k rF ddE k ??
由上式知，动能的时间变化率等于作用在物体上的作用力与速
度的标积。由于能量概念的重要性，我们把 mv2/2 称为动能，把
F﹡ v称作力传递给物体的功率。以 P 表示功率，有,
vF ??P
因此，上述结论又可以说成：一个物体动能的时间变化率等于作用
在该物体上的力传递给物体的功率。我们把 F﹡ dr 称作力对物体作
的元功。对 (4.2-6)式积分得,
?? ???????? tttkkk dsFdtmvtmvEEE t 0220 00 c o s )(21)(21 ?rF
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4.2.1 质点动能定理
?? ???????? tttkkk dsFdtmvtmvEEE t 0220 00 c o s )(21)(21 ?rF
此式右边的积分被称为作用于物体的力所做的功，通常把该式称为
质点动能定理,即作用于物体上的合力所做的功等于物体在此过程
中动能的增量。动能定理本质上是能量守恒定律在牛顿力学范畴内
的一种表述。上面所讨论的是 单质点动能定理,其对象是单质点系
统，如果与外界无相互作用，即既不输入能量，又不输出能量，系
统（质点）必保持能量不变，即动能不变。如果与外界有相互作用，
外界将以力对系统作功，输入（或输出）能量，其结果必然使质点
系统能量改变，即动能改变，动能的时间变化率等于外力传递给物
体的功率，或者动能的增量等于外力作的功。
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4.2.1 质点动能定理
由质点动能定理及其推导可知,
1,做功是通过力来实现的；
2,做功的多少与路径有关；
3,质点动能定理成立的参考系为惯性系。
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4.2.2 功和功率
物理学上的功定义为力 F 与位移元 dr 标积的线积分，
若以 A 表示功，有,
?? ??? ttt dsFdA t 00 c o s ?rF
其意思是：如果有一个力作用于物体上，同时物体在某
一方向上发生位移，则只有位移方向上的分力作了功，
与位移成直角的力不作功。
物理学上功的含义与一般情况下的工作含义是不同
的，按照物理学上功的定义，如果一个人把 40千克的重
物提在手中一段时间，他并没有做功，然而，他会感到
很累。显然，物理学上功的定义与生理学中功的定义不
一样。那么为什么我们要取现在的定义去计算功呢？这
是因为这样计算功是有意义的：作用在一个质点上的力
所作的功，恰好等于该质点动能的变化。
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4.2.2 功和功率
有时重要的问题不是能作多少功，而是作功的效率，
即在单位时间内作多少功。单位时间所做的功称为功率,
vF ??? dtdAP
简单机械可以省力，但功率是不能放大的。
在国际单位制中，力的单位是牛顿（ N），功的单
位则为牛顿 ·米（ N·m），通常把 1牛顿 ·米称作 1焦耳（ J），
由上面给出的势能、动能、功的定义不难验证，它们具
有相同的量纲。功率的单位是焦耳 /秒，也称瓦（ W）。
如果用瓦乘以时间就是所作的功，电力公司在计算每家
用电量时，常采用千瓦 ·小时来计量用电量的多少,1千
瓦 ·小时等于 1千瓦乘 3600秒，即 3.6× 106 焦耳。
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4.2.3 质点系动能定理
?
?
?
?
??
?
?
?
?????
?????
?????
?????
nnnnn
n
n
n
m
m
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m
Ffffr
fFffr
ffFfr
fffFr
???
??????????
???
???
???
321
3332313
2232212
1131211
dtdtdt
dtdtdtdtm
iin
t
tiii
t
tiii
t
t
ii
t
t
t
t ii
t
tii
t
tiii
vfvfvf
vfvfvFvv
???????
????????
???
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2
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000
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iniiiiiiikiki AAAAAAtEtE ????????? ?? ?? )1()1(210 )()(
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4.2.3 质点系动能定理
iniiiiiiikiki AAAAAAtEtE ????????? ?? ?? )1()1(210 )()(
其中,
dtA iitti vF ?? ?
0
dtA iijttij vf ?? ?
0
分别为作用于第 i 个质点上的合外力所作的功和第 j 个质
点对第 i 个质点的内力所作的功。将上式对所有的求和，
得,
内外 AAtEtE kk ??? )()( 0
其中 Ek,A外, A内 分别为质点系的总动能、外力和内力
对质点系作的总功,
?
?
?
n
i
kik EE
1
?
?
?
n
i
iAA
1
外 ij
n
ij
j
n
i
AA ??
?
??
?
11
内
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4.2.3 质点系动能定理
内外 AAtEtE kk ??? )()( 0
该式即为质点系动能定理，我们把它叙述如下,
作用于质点系的所有外力所作之功与所有内力所作之
功的总和等于质点系动能的增量。
需要注意的是，内力产生的总动量虽然为零，但
内力作的总功一般不等于零。
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4.2.3 质点系动能定理
质点系动能定理与质点系动量定理的比较,
1,质点系动量定理是矢量式，而质点系动能定理是标
量式。
2,质点系动量定理与质点系动能定理是相互独立的。
3,内力的作用不改变体系的总动量，但一般要改变体
系的总动能。
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功
4.3.2 保守力与非保守力、势能
4.3.3 势能曲线
§ 4.3 势 能 中
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§ 4.3 势 能
4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功
所谓“有心力”，即在空间中存在一个中心 O，物
体（质点） P 在任何位置上所受的力 F 都与 OP 方向相
同（排斥力）或相反（吸引力），其大小是距离 r = OP
的单值函数。万有引力就是一种有心力，万有引力为,
rF ?2rMmG??
其中 表示沿 方向的单位向量。 r? OP
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功
我们感兴趣的问题是，如果物体在有心力场中循
环运动一周，其动能会不会有所增加（或减少）呢？
或许有那么一条特殊的无摩擦的轨道从一点开始，经
过一个循环回到初始点，有心力在过程中不断作功，
使物体的动能有所增加？
我们可以肯定他说，这是不可能的。因为，如果存
在这样一个轨道，这个物体周而复始地沿此轨道作循环
往复运动，在每次回到初始点时，将会获得越来越大的
动能，而系统本身没有付出代价，这不符合能量守恒原
理。这就是一种永动机，因而是不可能的。因此，结论
是物体在有心力场中环绕任何封闭路径运行一周作的功
必为零。（物体回到初始点动能减少也是不可能的。如
果这样，可以沿原回路反向行进，必使动能增加。）
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功
下面用数学方法给
出验证。如图 4.4所示，
设想把质点沿任意路径
L 从 P 点搬运到 Q 点，
有心力所作的功为,
dsrFA
L
Q
PPQ
c o s)(
)(
???
drMKKMds ?????? KN co s co s ??
由于,
上式化为,
drrFA Q
P
r
rPQ
)(??
此式只与两端点到力心的距离 rp 和 rQ有关，与路径 L 无
关。上式表明，有心力作功可以化为沿任意半径的一维
问题。
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功
有心力的重要性质,
有心力作功只与始终点的位置有关，与路
径无关。
或,有心力沿闭合路径作功为零 。
0??? rF d
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4.3.2 保守力与非保守力、势能
由上述可知，存在一类重要的力场，在该力场中，
力对质点所作的功只与该质点的始、末位置有关，而与
该质点所经的具体路径无关。
我们称此力场为保守力场，物体在保守力场中所受
的力称为保守力。
显然，保守力场中力的环路积分必为零。
凡所功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关，
或沿任一闭合路径一周作功不为零的力称为 非保守力 。
沿闭合路径一周作功小于零的力称为 耗散力 。滑动
摩擦力是非保守力，而且还是耗散力。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能
为了比较容易地判断常见的力是否保守力，下面给
出保守力的一些充分条件。
1,对于一维运动，凡是位置单值函数的力都是保守力。
例如服从胡克定律的弹性力 f = f (x) = － k(x－ x0) 是 x
的单值函数，故它是保守力。
2,对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力，
如重力 f = mg 是保守力。
3,有心力是保守力。例如万有引力就是保守力。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能
定理,对于保守力场，可以定义一
个标量函数 V(r)，称为 势能 （或 势
函数、位能 ），使保守力作的功为：
A(rA→ rB) =V(rA) － V(rB) 。其中
A(rA→ rB)表示质点从空间 rA 点运
动到 rB 点保守力所作的功。
证,这样选择一个标量函数：如图
4.5，先任取一点 rC,令,
对空间任意点，定义,
0)( VV C ?r
)()( 0 rrr ??? CAVV
由于是保守力场，故 A(rC→ r) 唯一确定，与运动的路径
无关，于是对于空间中的任意点 r，我们定义的 V(r) 的值确
定并且唯一。
下面证明 V(r) 就是势能。
中
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大
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4.3.2 保守力与非保守力、势能
)()( 0 rrr ??? CAVV
对于空间中任意两点 rA 和 rB,
按照我们对的 V(r) 定义，有,
)()( 0 ACA AVV rrr ???
)()( 0 BCB AVV rrr ???
将上面两式相减，注意到保守
力作功与路径无关，可得,
)()( CABC AA rrrr ????
)()()()( ACBCBA AAVV rrrrrr ?????
)( BA rr ??
由于,)()()(
BABA VVA rrrr ???
故 V(r) 就是势能。 [证毕 ]
反之，存在势能的力一定是保守力。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
4.3.2 保守力与非保守力、势能
注,由证明可见，势能具有一个任意常数
0)( VV C ?r
势能 V(r) 与保守力 F 的关系,
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
???? ?
z
V
y
V
x
V
V
VdV
kjirF
rFr
r
r
)(
)( 0
0
一般我们规定 ∞ 点的势能为零。
中
国
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大
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维
纮
4.3.2 保守力与非保守力、势能
例 4-2：位于坐标原点的质量为 M 的质点的引力场对位于
r 点质量为 m 的质点的万有引力为,
rF ?2rMmG??
若规定无穷远点 ∞ 的引力势能为零，则空间 r 点质量
为 m 的质点的势能为,
rFr drV ??? ?? )( dr
r
MmG
r 2
?
???
r
GmM??
222 zyx
Gm M
??
??
当然，利用 (4.3.6)的第二式可反推得,
)( rV???F
? ? 2/3222 )( zyx zyxG m M ?? ???? kji rr
mMG r
2?? r?2r
mMG??
中
国
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技
术
大
学
杨
维
纮
几点注意,
1,引力势能实际上属于 m,M 两者组成的体系，地球与月
球间的相互引力势能应属地、月系统所共有。物体在
地球表面的重力势能原则上是物体与地球整个系统所
共有，鉴于在重力势能转化为动能时（物体下落重力
作功），物体所获得的动能几乎等于下落前后的引力
势能差，在这种情况下人们也常说物体具有重力势能，
这里已经把地球质量看成无穷大了。
2,自然界中的大部分能量，以引力势能形式存在。
3,保守力作功使其势能减少。
)]()([)()()( 00 0
0
rrrrrFrr rr VVVVdA ???????? ?
中
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纮
几点注意,
4,如果质点系内任意两点之间的作用力都是保守力，
则称该质点系为 保守体系 。对于保守体系，我们可
以这样定义势能，规定所有的质点都在无穷远处时
体系的势能为零，即让 V(∞) = 0,然后将 n 个质点
一个一个从无穷远点沿任意路径移至它们所在的点，
算出保守力所作的总功 A，利用 (4.3.8)式可知该保
守体系的势能为,
AV n ??),,,( 21 rrr ?
中
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4.3.3 势能曲线
一旦知道了势能的表达式，利用 (4.3.5)式即可求
得力的表达式。力是矢量，而势能是标量，一般情况
下，确定标量函数比确定矢量函数要容易。如果保守
力仅是两质点距离的函数，则势能是一维函数。在许
多实际问题中，特别是在微观领域内，确定势能往往
比确定力更方便，故用势能函数来了解力的性质是有
实际意义的。
表示势能与两质点相对关系的图形叫势能图。若
势能为一维函数，这时，势能图成为势能曲线。
中
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4.3.3 势能曲线
上面引出势能曲线进行讨论的原因还在
于力的概念对量子力学的微观理论来说不太
合适，而能量是对系统的恰当描述。当考察
原子核中各核子之间、分子中各原子之间的
相互作用时，力和速度等概念不用了，而能
量概念继续存在，因此在有关量子理论的书
中我们可以看到势能曲线，而很少看到微观
粒子间的作用力曲线，因为那里人们采用能
量，而不是采用力来分析问题。
中
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4.3.3 势能曲线
1,几种势能曲线
中
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4.3.3 势能曲线
2,势能曲线的用途
(1) 由势能曲线求保守力
x
VxF
?
???)(
(2) 求平衡位置及判断平衡的稳定性（该问题我们将在
第七章中再详细讨论）。
(3) 决定质点的运动范围（该问题我们将在第五章中再
详细讨论 ) 。
中
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能
守恒定律
4.4.2 保守系与时间反演不变性
4.4.3 两体问题
§ 4.4 机械能守恒定律 中
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律
由质点系的动能定理 (4.2.13)式,
内外 AAtEtE kk ??? )()( 0
在一般情况下，可以将内力所作的功分为保守力作
的功 A保内 和非保守力作的功 A非保内 两部分
非保内保内内 AAA ??
由 (4.3.8)式知,
)()( 0 tVtVA ??保内
于是,
非保内外 AAtVtEtVtE kk ????? )]()([)]()([ 00
用 E 表示体系动能与势能之和，称为体系的机械能。
)()()( tVtEtE k ??
非保内外 AAtEtE ??? )()( 0
则有,
该式表示：外力的功和非保守内力的功之和等于体系机
械能的增量，这就是 质点系的功能定理或功能原理 。
中
国
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技
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纮
4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律
非保内外 AAtEtE ??? )()( 0
若,体系机械能增加； 0??
非保内外 AA
若,体系机械能减少； 0??
非保内外 AA
若,体系机械能保持不变。 0??
非保内外 AA
该式表示：外力的功和非保守内力的功之和等于体系机
械能的增量，这就是 质点系的功能定理或功能原理 。
中
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律
非保内外 AAtEtE ??? )()( 0
重要特例,
0?外A
这有如下几种情况,
1,孤立体系，体系不受外力作用。
2,外力的作用点没有位移。如弹簧振子的固定端对弹簧
所施的外力。
3,各外力与其相应作用点的位移互相垂直。如固定支承
物的支承力。
中
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律
非保内外 AAtEtE ??? )()( 0
重要特例,
0?外A
此时，体系的机械能的变化仅由非保守力作的功确定，
因而有,
1,若,体系机械能增加；（如炸弹爆炸）
2,若,体系机械能减少；（如摩擦力，称
为耗散力）
3,若,体系机械能守恒。
0?非保内A
0?非保内A
0?非保内A
中
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术
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几点说明,
1,当摩擦力作为体系外力时，对体系可能作正功，
也可能作负功（也可以不作功）。摩擦力作为体
系内力时，必定是成对出现的，若摩擦力作为作
用力对一个物体作正功，则其反作用力对另一个
（与之发生摩擦的）物体必作负功，这一对摩擦
力对两个发生摩擦作用的物体所作的总功只能为
负（动摩擦）或零（静摩擦），因为一对内力的
功只与两物体的相对位移有关，而摩擦力总是与
两物体的相对位移反方向。因而 动摩擦总是消耗
体系的机械能，是一种耗散力。而静摩擦力不同，
它不消耗机械能。
中
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几点说明,
2,关于功与能的定理都是在牛顿定律基础
上导出来的，因而只在惯性系中成立。
在非惯性系中，如要应用牛顿定律，必
须引入惯性力，因而,如果要在非惯性
系中应用功与能的定理，必须计入惯性
力作功以及与惯性力相关的势能。 （由
于惯性力没有施力物，与惯性力相联系
的势能只能是指保守力场中的势能）。
中
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几点说明,
3,即使在惯性系中，应用功能定理时也要注意以下几点,
(1) 功并不是与参考系无关的不变量，内力所作的总功虽与参
考系无关（此结论即使对非惯性系也成立），但外力的功
一般与参考系有关。
(2) 动能并不是与参考系无关的不变量。物体的速度与参考系
有关，因而物体的动能也与参考系有关。
(3) 物体系的势能总是与物体系的相对位置相联系，因而物体
系的势能与参考系无关。
注意到这几点以后，不难看出，尽管在任何惯性系内动
能定理、功能原理和机械能守恒定律都可应用，但 力的
功，体系的动能，机械能的数值在不同参考系中并不相
同； 而且,一个体系在一个参考系内机械能守恒，在另
一个参考系内机械能未必守恒,因为在一个参考系内机
械能守恒条件成立，在另一个参考系内机械能守恒条件
未必成立。
中
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几点说明,
4,功总是与一个过程相联系，而能量（动能
和势能）总是与物体或物体系的状态，即
（相对）位置和速度相联系。因而 功是过
程量，能量是状态量。 在力学范围内，作
功的过程总是与体系能量的改变相联系。
中
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4.4.2 保守系与时间反演不变性
从对称性的角度看，保守力与非保守力的区别反映
在时间反演变换上。
时间 t→ ﹣ t 的变换，叫做 时间反演变换,这相当于
时间倒流。
在现实生活中时间是不会倒流的，但我们可以设想将现象用
录象机录下来，然后倒过来放演。若把无阻尼的单摆运动录下来，
正、反放演，看不出什么区别；把自由落体录下来反着放演，便
成为竖直上抛物体，在空气阻力可以忽略的情况下，两者同样真
实；斜抛物体的运动也是这样。武打电视片的摄制者常利用这一
点，让演员从高处跳下，拍摄下来倒着放演时，就可以表现一个
人从平地一跃而起跳上高墙的场面，看起来相当逼真。然而有了
阻力就不行了，阻尼单摆的振幅越来越小，反着放演它的录象，
振幅却越来越大，看起来不大像真的。如果上述武打演员穿的不
是紧身衣裤，而是宽大的袍子，观众就会看到，当他纵身上墙时，
袍子竟飘逸而起，倒拍的特技就露了破绽。
中
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维
纮
4.4.2 保守系与时间反演不变性
上面的例子告诉我们,保守系的运动规律具有时间
反演不变性,亦即，如果在某个时刻令物体系中的每个
质点 i 的速度反向，运动将逆转进行；耗散系则不具备
这种性质。要从理论上说明这一点，可看每个质点 i 所
服从的牛顿第二定律,
dt
dm i
ii
vf ?
作时间反演变换 t→ ﹣ t 时,vi→ ﹣ vi，上式右端不
变。因保守力只与质点的相对位置有关，它是时间反
演不变的，故上式左端也不变，即该式对正、反过程
同样成立。
在这种情况下，任何时刻只要速度反向，过程就会
逆转。
中
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维
纮
4.4.2 保守系与时间反演不变性
dt
dm i
ii
vf ?
然而，耗散力与速度的方向有关，作时间反演变
换时,fi =﹣ fi,上式左端变号，即正、反过程的运动方
程不同，速度反向时过程不沿原路返回，故耗散过程是
不可逆的。
如前所述，“耗散”是宏观的概念，微观过程几乎
都是时间反演不变的，不存在非保守力，这是因为事实
上自然界所有已知的基本力都是保守力。所以,几乎所
有的微观过程都是可逆的 。为什么从微观过渡到宏观，
过程就可能变为不可逆？
宏观的不可逆性来自概率统计性，并非源于微观动
力学，这问题深刻而复杂，属于统计物理学的范畴，我
们不在此处讨论。
中
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4.4.3 两体问题
考虑两个质点的孤立体系，
质点间的作用力是保守力，由两
质点的相对位置决定。如图 4.11
取一惯性系，设质量分别为 m1 和
m2 的两质点，位矢和速度分别为
r1,r2 和 v1,v2,质心的质量 位
矢分别为 mC和 rC，则有,
21 m?? mm C
21
2211
mm
mm
C ?
?? rrr
动力学方程为,
12221 fr 1 ?dtdm 12222 2fr ?
dt
dm
Fff ??? 2112
于是,
02
2
?dtdm CC r
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
4.4.3 两体问题
21 m?? mm C
21
2211
mm
mm
C ?
?? rrr
12221 fr 1 ?dtdm
12
2
2
2 2f
r ?
dt
dm
Fff ??? 2112
02
2
?dtdm CC r
该式表明质心作匀速运动。于是取质心为坐标原点
建立的参考系也是惯性系，我们称该参考系为 质心系 。
设 m1,m2 在质心系中的坐标分别为 rC1,rC2,有,
)( 21
21
2
21
2211
111 rr
rrrrrr ?
???
?????
mm
m
mm
mm
CC
)( 21
21
1
21
2211222 rrrrrrrr ?
????
?????
mm
m
mm
mm
CC
中
国
科
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技
术
大
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维
纮
4.4.3 两体问题
21 m?? mm C
21
2211
mm
mm
C ?
?? rrr
12221 fr 1 ?dtdm
12
2
2
2 2f
r ?
dt
dm
Fff ??? 2112
02
2
?dtdm CC r
)( 21
21
2
21
2211
111 rr
rrrrrr ?
???
?????
mm
m
mm
mm
CC
)( 21
21
1
21
2211222 rrrrrrrr ?
????
?????
mm
m
mm
mm
CC
于是知 rC1 // rC2,且可得如下结论,
1,质心在两质点的连线上；
2,质点与质心的距离反比于质点的质量。
中
国
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技
术
大
学
杨
维
纮
4.4.3 两体问题
21 m?? mm C
21
2211
mm
mm
C ?
?? rrr
12221 fr 1 ?dtdm
12
2
2
2 2f
r ?
dt
dm
Fff ??? 2112
02
2
?dtdm CC r
若 m1 << m2,考虑 m1 相对于 m2 的运动。选择与 m2 相对
静止的参考系,m2 位于原点，称该参考系为 S系，在 S系中，
m1 的位置为 r，速度为 v，我们有 r = r1﹣ r2, v = v1﹣ v2 。我
们知道,S 系为非惯性系，当然可以通过引入惯性力来列出运
动的牛顿方程，但是我们也可以通过上述方程导出的运动方程。
FFrr
21
21
21
212
2 11
)( mm mmmmdtd ????
?
?
???
? ???
中
国
科
学
技
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学
杨
维
纮
4.4.3 两体问题
FFrr
21
21
21
212
2 11
)( mm mmmmdtd ????
?
?
???
? ???
定义：,称为 约化质量，或折合质量 。
21
21
mm
mm
???
按此定义，上述方程可以写成,
Fr ?2
2
dt
d?
该方程与牛顿定律类似，我们认为大质量物体不动，
并认为 S 系是惯性系，其根据即在此。
中
国
科
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技
术
大
学
杨
维
纮
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
4.4.3 两体问题
为了求在质心系中的机械能，不妨设该系统的势能
为 V(r)，由 (4.4.13),(4.4.14)式可以求得在质心系中质点
m1,m2 的速度为,
vvvv
21
2
21
21
2
1 )( mm
m
mm
m
C ?????
vvvv
21
1
21
21
1
2 )( mm
m
mm
m
C ???????
在质心系中的机械能,
)(2121 222211 rVmmE ??? vv
)()(21)(21 22
21
2
1
2
2
2
21
2
2
1 rVmm
mm
mm
mm ?
???? vv
)( 21 2
21
21 rV
mm
mm ?
?? v
中
国
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4.4.3 两体问题
利用约化质量，可得在质心系中的机械能,
)( 21 2 rVE ?? v?
Fr ?2
2
dt
d?在 S 系中的运动方程,
由上述方程可知，只要将 m1 用约化质量代替，则不
仅可以认为 S 系是惯性系，而且在 S 系中求得的机械能
即为质心系中的机械能。
讨论,
1,即使 m2 不是很大时,m2 也运动，只要利用约化质量，
即可把两体问题化成单体问题；
2,其它质点动力学问题不能化成单体问题。即使三体问
题也未能一般解出。这类问题通常用摄动法解。
中
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远古时代人们对大自然的变幻无常怀着神秘莫测的
恐惧。几千年的文明进步使人类逐渐认识到，大自然是
有些规律可循的。经典力学在天文学上的预言获得辉煌
的成就，无疑给予了人们巨大的信心，以致在 18世纪里
把 宇宙看作一架庞大时钟的机械宇宙观 占了统治地位。
伟大的法国数学家拉普拉斯（ Pierre Simon de Laplace,
1749~1827）的一段名言把这种彻底的决定论思想发挥到
了顶峰,
设想有位智者在每一瞬间得知激励大自然的所有的
力，以及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者
如此博大精深，他能对这样众多的数据进行分析，把宇
宙间最庞大物体和最轻微原子的运动凝聚到一个公式之
中，对他来说没有什么事情是不确定的，将来就像过去
一样展现在他的眼前。
中
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牛顿力学在天文上处理得最成功的，是两
体问题，譬如地球和太阳的问题。两个天体在万
有引力的作用下，围绕它们共同的质心作严格的
周期运动。正因为如此，我们地球上的人类才有
个安宁舒适的家园。但是太阳系中远不只两个成
员，第三者的介人会不会动摇这种稳定与和谐？
长期以来天文学上用牛顿力学来处理这类问题，
用所谓,摄动法”,即把其它天体的作用看作是
微小的扰动，以计算对两体轨道的修正。拉普拉
斯用这种方法“证明”了三体的运动也是稳定的。
当拿破仑问他这个证明中上帝起了什么作用时，
他的回答是,陛下，我不需要这样的假设” 。 拉
普拉斯否定了上帝，然而他的结论却是错的，因
为他所用的摄动法级数不收敛。
中
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第一个意识到三体问题全部复杂性的也是位法国数
学家，他叫庞加莱（ Henri Poincare,1854~1912）。庞加
莱是 19,20世纪之交最伟大的数学家，当今有关“混沌”
理论最深刻的思想，都已经在他的头脑里形成了。只不
过那时没有强有力的计算机，把他的思想清晰地表达出
来。
1887年瑞典国王奥斯卡二世（ Oscar II）以 2500克
朗为奖金征文，题目是天文学上的基本问题：,太阳
系稳定吗？”
庞加莱是最渊博的数学家，他熟悉当时数学的每个
领域，对奥斯卡国王的问题自然要试一下身手。庞加莱
并没有最终解决它，事后表明，此问题的复杂性是人们
没有预料到的。但由于他的工作对这个领域产生的深刻
影响，庞加莱还是获得了奖。
中
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在万有引力作用下三体的运动方程，可以
按照牛顿定律严格地给出，但由于它们是非线
性的，谁也不会把它们的解表达成解析形式
（事后证明这是不可能的，不仅三体问题的运
动方程不可能，而绝大多数非线性微分方程的
解都不可能写成解析形式）。
庞加莱另辟溪径，发明了相图和拓扑学的
方法，在不求出解的情况下，通过直接考查微
分方程本身的结构去研究它的解的性质。庞加
莱开拓了整整一个数学的新领域 ——微分方程
的定性理论,至今有着极其深远的影响。
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十足的三体问题太复杂了，庞加莱采用了
美国数学家希尔（ Hill）提出的简化模型：假
定有两个天体，它们在万有引力作用下，围绕
共同的质心，沿着椭圆形的轨道，作严格的周
期性运动（这种运动叫做“开普勒运动”）；
另有一颗宇宙尘埃，在这两个天体的引力场中
游荡。两天体可完全不必理会这颗微粒产生的
引力对它们轨道的影响，更不会动摇它们之间
运动的和谐，因为微粒的质量相对它们自己来
说实在太小了。可是微粒的运动会是怎样的呢？
这简化模型现在称之为,限制性三体问题” 。
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庞加莱用自己发明的独特方法探寻着，这
微粒有没有周期性轨道。他在相空间的截面上
发现，微粒的运动竟是没完没了的自我缠结，
密密麻麻地交织成错综复杂的蜘蛛网。要知道，
当时并没有计算机把这一切显示在屏幕上，上
述复杂图象是庞加莱靠逻辑思维在自己的头脑
里形成的。他在论文中写道：“为这图形的复
杂性所震惊，我都不想把它画出来。”这样复
杂的运动是高度不稳定的，任何微小的扰动都
会使微粒的轨道在一段时间以后有显著的偏离。
因此，这样的运动在一段时间以后是不可预测
的，因为在初始条件或计算过程中任何微小的
误差，都会导致计算结果严重的失实。
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庞加菜的发现告诉我们，简单的物理模型（如限制
性三体问题）会产生非常复杂的运动，决定论的方程
（拉普拉斯意义下的）可导致无法预测的结果。
虽然庞加莱的发现已有 100多年了，而且在此期间
许多优秀的数学家继庞加莱之后作出了卓越的贡献，直
到 1975年学术界才创造了“混沌（ chaos）”这个古怪的
词儿，来刻画这类复杂的运动。
20世纪七八十年代在学术界掀起了混饨理论的热潮，
从数学、力学波及到物理学各个领域，乃至天文学、化
学、生物学等自然科学。在新闻媒体的报导下，又将
“混沌”一词传播到社会上，难免被渲染上几分神秘的
色彩。
中
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4.5.1 柯尼希定理
4.5.2 一般质心系中的功能原
理和机械能守恒定律
§ 4.5 质心系 中
国
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§ 4.5 质心系
4.5.1 柯尼希定理
取质心为坐标原点建立的参考系称为 质心
参考系 或 质心系 。在讨论孤立质点系的运动时，
采用质心系是方便的。在质心系里，体系的动
量恒为零，且孤立体系的质心系是惯性系，功
能定理和机械能守恒定律都能适用。即使讨论
非孤立体系的运动，采用质心系也是方便的，
可以证明,当质心系为非惯性参考系时，功能
定理和机械能守恒定律也仍然正确。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
4.5.1 柯尼希定理
设两参考系 K,KC 分别为惯性系和质心系。在惯性
系 K 中,n 个质点 mi ( i = 1,2,…,n ) 的位矢、速度、加
速度分别为 ri,vi,ai ( i = 1,2,…,n ),质心的位矢、速
度、加速度分别为 rC,vC,aC ；在质心系中个质点的位
矢、速度、加速度分别为 rCi,vCi,aCi ( i = 1,2,…,n ) 。
则有,
CiCi rrr ?? CiCi vvv ?? CiCi aaa ??
用 Ek,EkC 分别表示质点系在惯性系 K 和质心系 KC
中的动能，有,
??
i
iik vmE
2
2
1 ??
i
CiikC vmE
2
2
1
中
国
科
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技
术
大
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纮
4.5.1 柯尼希定理
?? ?????
i
iCCiCCi
i
iik mmE )()(2
1
2
1
2 vvvvv
? ?????
i
iCiCiCCCim )2(2
1
2 vvvvv
?? ??????????
i
Cii
i
iCiCCC mmm
2
2
2
1
2
1 vvvv
???
i
CiiCC mm
22
2
1
2
1 vv kCCC Evm ?? 2
2
1
即体系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之
和。此结论称为 柯尼希定理 。
我们知道质点系的动量等于质心的动量，但质点系
的动能，一般并不等于质心的动能。
由以上证明过程可见，不论质心系是惯性系还是非
惯性系，此定理都成立。
中
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4.5.2 一般质心系中的功能原理
和机械能守恒定律
我们知道，如果我们选取了非惯性参考系统，就
应计入惯性力，在动能定理中必须计及惯性力所作的
功。本节将证明，只要我们选择质心系，即使它不是
惯性系，也不需要考虑惯性力所作的功。
如质心的“绝对”加速度 aC = 0，则质心系也是
惯性系。如 aC ≠ 0,则质心系为非惯性系，它是具有
加速度 aC 的平动参考系。如选取质心系，则所有质
点都要受到惯性力。现在我们来计算这样的惯性力系
所作的功。
中
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4.5.2 一般质心系中的功能原理
和机械能守恒定律
作用于质点 mi 的惯性力为 ﹣ miaC,这个力对该质点
所作的功为
? ??tt CiCi dm 0 ra
惯性力所作的总功为,
?? ??? tt CiCii dmA 0 ra惯 ? ???? tt Cii iC dm 0 ra
? ? ????????? tt Ci
i
iC md
0 ra
0)(
0
???? ? CCCCtt md ra
其中为在质心系中所求的质心的位矢，它当然等于零。
于是结论为,
只要我们选择质心系，即使它不是惯性系，也不需要考
虑惯性力所作的功。
中
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在某些问题中，选用质心坐标系比选用惯性参考系
还要好。
例 4-3：在地面上将质量为 m = 1千克的物体以 v/ = 4米 /秒的速
率掷出，物体的速率从 0 变为 4米 /秒，动能的增长 =(1/2)·1·42
焦耳 = 8焦耳。由动能定理，须对它作功 8 焦耳。现在又在速
率为 v0 = 2米 /秒的轮船上将同一物体以同一速率 v/ 向前掷出。
如选用“静止”参考系，物体的速率从 2 米 /秒变为 6 米 /秒，
动能的增长 = (1/2)·1·62 ﹣ (1/2)·1·22焦耳 = 16焦耳。据动能定理，
须对它作功 16 焦耳。现在又在那只轮船上将同一物体以同一
速率向后掷出，即 v/ =﹣ 4米／秒，选用“静止”参考系，物
体的速率 v = v/ + v0 从 +2米 /秒变为 ﹣ 2米 /秒，动能的增长 = 0。
据动能定理，不需对它作功，由此可以得出结论,在轮船上
抛掷物体所需的功与在岸上抛掷物体所需的功完全不同，向
前掷与向后掷又是大不相同。 在轮船进行任何球类比赛都几
乎是不可能的，因为两方都是在完全不同的条件下向对方掷
球的。经验表明，以上结论与事实完全不符合。
中
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问题在于：由于作用与反作用定律，物体被抛掷出
去，轮船相对于“静止”参考系统的速率也随之而变。
轮船的速率将从 v0 变为 v0 + u,u 的确切数值可利用
“轮船 —抛掷体”系统的动量守恒原理算出，这里不去
算它了。 既然轮船的质量 M >>抛掷体的质量 m，不算也知道
u 是一个很小的量。另一方面，也正因为轮船的质量很
大，尽管速率的改变 u 很小，而动能的改变
uMvMuuMvMvuvM 0202020 2121)(21 ?????
却是颇为可观的，相对于“静止”参考系，物体动能的
增长诚然是 16 焦耳（向前掷的情况）或 0 焦耳（向后掷
的情况），然而这并不等于所需作的功，所需作的功应
等于“轮船 —抛掷体”系统的动能的增长；必须计及轮
船的动能的改变才可以得出正确的结果。
为了计算抛掷物体所需的功，竟需要计及轮船的运
动情况的改变，这无疑是很不方便的。
中
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选取“轮船 —抛掷体”系统的质心系则比较方便。
因为轮船质量远远超过物体的质量，“轮船 —抛掷体”
系统的质心实际上也就是轮船的质心，轮船相对于它
自己的质心，当然是始终静止的。在质心坐标系中，
轮船的动量始终是零，无需特别计及轮船动能，在质
心系中，物体的速率也就是它相对于轮船的速率，不
论向前掷或向后掷，物体的速率都是从 0 变为 4米 /秒，
动能的增长都是 8 焦耳。据动能定理，应对它作功 8
焦耳，与在岸上抛掷物体的情况相同。
这里可以看到质心坐标系的优越处：无需计算轮
船运动的改变就能得出正确的结果。
中
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例 4-4,计算第三宇宙速度。 从地面出发的火箭如具有第
三宇宙速度，那就不仅能够脱离地球，而且可以逸出太
阳系。
解：首先，按 (4.3-7)式，规定无穷远点的引力势能为零，
由于火箭的机械能守恒，火箭要逸出太阳系，其机械能
E 至少应等于零。这里的 E 指的是火箭的动能以及太
阳 —火箭的势能。在地球这样的距离上，这个判据成为
021
1
2 ??
R
MmGmv
这里 R1 为地球与太阳的距离。由上式解得,
秒千米 / 2.42/2 1 ?? RGMv
这就是说，在地球这样的距离上，一个物体必须具
有 42.2 千米 /秒的速率才可以逸出太阳系而飞往其他恒星。
但这里还没有计及地球的引力，上面的 42.2千米 /秒应当
是已脱离了地球引力范围时的速率。那么火箭从地面出
发时相对于地球的速率 v/ 应当多大呢？
中
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先选用“静止”（相对于太阳为静止）参考系，火
箭已脱离了地球引力范围时的动能应为 (1/2)mv2，这时火
箭 —地球势能为 0。为了用最小的速度达到目的，应当
沿地球公转方向发射火箭，以最大限度地利用地球的公
转动能。考虑到地球公转速率为 29.8千米 /秒，火箭以相
对速率从地面出发时的动能为 (1/2)m(v/+29.8)2 。因为万
有引力是保守力，我们可以运用机械能守恒原理,
2
2
2 )2.42(
2
1)8.29(
2
1 mm g Rvm
R
????
???
其中 R 为地球半径。由此求得,
秒千米 / 7.128.292.112.42 22 ?????v
但这结果是完全错误的。
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类似于前一个例子，在火箭逸出地球引力范围的过
程中，地球相对于“静止”参考系的速率也随之而变。
由于地球质量很大，这个速率变化很小。另一方面，正
因为地球质量很大，尽管速率变化很小，动能的改变却
颇为可观。必须考虑地球动能的改变才可以得出正确的
结果。 为了计算火箭的速率，竟需要考虑地球运动情况
的改变，这是太不方便了。
选取“地球 —火箭”系统的质心坐标系则比较方便，
因为地球的质量远远超过火箭的质量，“地球 —火箭”
系统的质心实际上也就是地球的质心。地球相对于它自
己的质心，当然是始终静止的。在质心坐标系中，地球
的动能始终为 0，无需特别计及地球的动能。
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在质心系中，火箭已脱离了地球引力范围的动能应
为 (1/2)m(42.2﹣ 29.8)2,其时“地球 —火箭”势能为零。
火箭以相对速率 v/ 从地面出发时的动能为 (1/2)mv / 2 。因
为万有引力是保守力，我们可以运用机械能守恒原理,
2
2
2 )8.292.42(
2
1
2
1 ????
?
mm g Rvm
R??
由此求得第三宇宙速度,
秒千米 / 7.162.11)8.292.42( 22 ?????v
这样，无需计算地球运动情况的改变，就能求得正
确的第三宇宙速度。
中
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4.6.1 正碰
4.6.2 斜碰
4.6.3 质心坐标系
§ 4.6 碰 撞 中
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§ 4.6 碰 撞
碰撞是相当广泛的一
类物体间的相互作用。碰
撞的特征是，极短的时间
和强烈的相互作用。“极
短的时间” 是指碰撞过
程所经历的时间远小于物
体产生明显运动所需要的
时间。
即使是需时最长的碰撞，如两个星系之间的碰撞
（图 4.12），可能需要历经数百万年，但和星系的演
化时间（数亿年）相比，仍然算是“一瞬间”。
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§ 4.6 碰 撞
,强烈的相互作用” 是指在碰撞过程中，相互冲击力
很大，其它作用力（如摩擦力、重力等）皆可忽略。在
碰撞问题中，一般都可以认为碰撞物体在碰前和碰后相
距甚远，没有相互作用，分别作惯性运动。只有在相互
接近的很短时间内才发生相互作用。
碰撞所研究的是碰前的
自由状态与碰后的自由状态
间的联系。显然，碰撞的中
间过程是很难讨论的，一方
面因为碰时物体之间的作用
很强，力的具体情况难以确
定，另一方面因为碰撞的细
节难以测量和记录。微观粒
子的碰撞更是如此。
中
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§ 4.6 碰 撞
根据碰前和碰后物体的性质，可以把碰撞分成弹性
碰撞和非弹性碰撞。
弹性碰撞 是指碰前碰后物体保持不变，既没有形状
大小的变化，也没有内部状态的变化。
如果碰后物体有剩余形变或状态变化，并且两体并
合以同一速度运动，则称为 完全非弹性碰撞 。
日常遇到的碰撞大多介于以上两者之间的非弹性碰
撞，即两物体碰后形状有变，但以不同速度分离运动。
从能量观点看，机械能守恒的碰撞是弹性碰撞，机
械能不守恒的碰撞是非弹性碰撞。不管是何种碰撞，动
量守恒均成立。
中
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4.6.1 正碰
如果碰前两小球速
度 u1,u2沿两球中心的连
线，这种碰撞被称为 正
碰（对心碰撞） 。
在正碰情况下，碰
后两小球的运动速度方
向仍沿连线方向。
因此，在正碰撞时，小球的速度只需用代数值表示
其大小和方向。如图 4.14，若要两球碰撞，必须 u1 > u2 。
由于两小球碰撞过程动量守恒，有方程
22112211 vmvmumum ???
为了求解 v1,v2,尚缺一个方程，必须对碰撞进行
细致分析。
中
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4.6.1 正碰
在碰撞的短暂时间
⊿ t 内，两小球首先相互
接触，接着相互挤压，
两球分别产生形变和试
图恢复形变的力。
在 u1 > u2 的情况下,m1 速度渐小,m2 速度渐大，
直至变为同一速度，达到最大压缩状态。这个阶段称为
压缩阶段 。
随后，由于两小球形变逐渐恢复,m1 速度继续减小,
m2 速度继续增大，两小球速度分别达到 v1 和 v2 后开始
分离。这是 恢复阶段 。
细致分析,
中
国
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技
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4.6.1 正碰
1,压缩阶段,两球速度
不等 → 两球速度相
等，弹性力作用，球
体变形。设弹性力对
m2 的冲量为 I，有,
222
111
??
?
??
???
Iumvm
Iumvm
消去 v，得,
???
?
???
? ????
21
21
11 )(
mmIuu
)( 21 uuI ?? ?或,
其中,称为 约化质量（折合质量） 。
21
21
mm
mm
???
中
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4.6.1 正碰
2,恢复阶段,两球速度
相等 → 两球分开，
变形逐逐渐恢复。设
弹性力对 m2 的冲量
为 J，有,
222
111
?
?
?
??
???
Jvmvm
Jvmvm
消去 v，得,
???
?
???
? ???
21
21
11
mmJvv
)( 12 vvJ ?? ?或,
中
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4.6.1 正碰
牛顿指出：只要两球的材料给定，不论运动速度怎
样，有,
eIJ ?:
我们称 e 为 恢复系数 。由 (4.6.3),(4.6.5),(4.6.6)可得,
)( 2112 uuevv ???
该式可用实验检验，并可用于测定恢复系数 e。对不同材
料的实验结果为,0 < e < 1。
中
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4.6.1 正碰
22112211 vmvmumum ???
)( 2112 uuevv ???
由方程组,
可求得解为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
中
国
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4.6.1 正碰
下面计算一下碰撞过程中的动能损失。由于碰撞过程
中动量守恒，质心动能不变，利用柯尼希定理 (4.5.6)，只
需计算在质心系中相对运动动能的改变。
碰撞前,
碰撞后,
动能损失,
2
21
2 )(
2
1
2
1 uuvE
kC ??? ??
2
21
22
12 )( 2
1)(
2
1 uuevvE
kC ????? ??
2
21
2 ))(1(
2
1 uueEEE
kCkCk ??????? ?
中
国
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结果讨论,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
1,e = 1，称为 完全弹性
碰撞,此时动量守恒、
能量守恒皆满足。
几种特殊情况为,
(1) m1 = m2 时，有,v1 > u2, v2 > u1,两球正好交换速度。
(2) u2 = 0，即受碰球开始时静止（高速粒子对靶粒子的碰
撞实验中出现的情况）。有,
(a) m1 > m2 时，有,v1 > 0, 入射球碰后仍向前运动；
(b) m1 < m2 时，有,v1 < 0, 入射球碰后反向运动；
(c) m1 << m2 时，有,v1 =﹣ u1,v2≈0,碰撞后，大球
仍保持静止，小球以相等的速率弹回；
(d) m1 >> m2 时，有,v1≈u1,v2≈2 u1，大球几乎以
原来的速度继续前进，小球以两倍于大球的速度
前进。
中
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大
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结果讨论,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
1,e = 1，称为 完全弹性
碰撞,此时动量守恒、
能量守恒皆满足。
几种特殊情况为,
(e) m2 所得到的动能 ⊿ Ek2与碰前 m1 的动能 Ek1 之比为,
2
21
21
2
21
21
2
11
2
22
1
2
)/1(
/4
)(
4
2
1
2
1
mm
mm
mm
mm
um
vm
E
E
k
k
?
?
?
??
?
当 m1/ m2 = 1 时，该式取到最大值。这说明，在 u2 = 0,
m2 越接近 m1 时,m1 丢失的动能越多。此结论，提供
了核反应堆中快中子减速剂选择的原则之一。通常选
择重水（含氘）和石墨作为中子减速剂。
中
国
科
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技
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大
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结果讨论,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
2,e = 0，称为 完全非弹
性碰撞,两球碰撞后粘
在一起。此时 E/kC=0,
动能损失最多，为,
2
21 )( 2
1 uuEEE
kCkCk ??????? ?
速度,
Cvmm
umumvv ?
?
???
21
2211
21
在实验室参考系内质心的动能是不参与粒子之间反应的，真正有用
的能量，即 资用能,只是高能粒子与靶粒子之间的相对动能。若
m1= m2,按照上面的公式计算,μ= m1/2,vC = u1/2,EC = EkC,
即资用能只占总能量的一半。这是按牛顿力学计算出来的，并不符
合高能粒子的实际。要按相对论力学来计算，资用能的比例远较这
个数目小。加速器的能量越高，能量的利用率越低，这是很不合算
的。所以现代的大加速器多采用对撞机的形式，让相同的高能粒子
沿相反方向运动，进行碰撞。这样一来，实验室系和质心系便统一
起来，，全部能量都是资用能。
中
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结果讨论,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
3,0 < e < 1，实际情况。
机械能守恒不满足，一
部分能量变为声能、振
动能及形变能。
若 m1 << m2,u2 = 0 时，有,v1 =﹣ eu1,v2 = 0
即弹回的小球 m1 的速度为碰前速度的 e 倍。这样，我
们获得一个测定物体与地面相碰的恢复系数的简便方
法。让物体从高度 H 自由落下，它落到地面的速度为
,即以此速度与地面相碰撞。碰撞后的反
跳速度难以直接测量，但可以观测其上升的最大高度
h。于是恢复系数为,
gHu 21 ?
H
h
u
ve ??
||
||
1
1
中
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技
术
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4.6.2 斜碰
碰撞前两球的速度 u1,u2 不在两球中心连线上的碰撞
叫 斜碰 。在一般情况下，斜碰为三维问题，碰撞后的速
度 v1,v2 不一定在 u1,u2 所组成的平面上。若碰撞前一个
小球处在静止状态，即 u2 =0，则这种碰撞是二维问题。
我们只讨论这种情况。
在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有,
221111 vvu mmm ??
2
22
2
11
2
11 2
1
2
1
2
1 vmvmum ??
中
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4.6.2 斜碰
取 u1 方向为 x 轴，碰撞所在
面为 x﹣ y 平面，上面的方程
化为（ 称为散射角）,
22211111 c o sc o s ?? vmvmum ??
2
22
2
11
2
11 2
1
2
1
2
1 vmvmum ??
222111 s i ns i n0 ?? vmvm ??
21,??
通常，应用实验方法测出四个未知数中的一个，才能
求出其余三个。
如果碰撞是非弹性的，那么只有前两个方程，未知量
有四个，所以必须用实验方法测出四个未知数中的两个，
才能求出其余两个。
中
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4.6.3 质心坐标系
上面讨论的碰撞所取的参考系是实验室系。但是，
对碰撞问题的分析常采用质心系，因为在质心系中，体
系的动量永远为零。质心系中描写碰撞，表达形式简单，
物理意义清晰。
设在实验室系中，碰撞前、后两质点的速度分别为
u1,u2 和 v1,v2,则质心速度为,
21
2211
mm
mm
C ?
?? uuv
在质心系中,碰撞前、后两质点的速度分别为 uC1,
uC2 和 vC1,vC2,则,
??
?
????
????
CCCC
CCCC
vvvvvv
vuuvuu
2211
2211
,
,
中
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技
术
大
学
杨
维
纮
1,正碰
对应于方程 (4.6.1),(4.6.7)有,
022112211 ???? CCCC vmvmumum
)( 2112 CCCC uuevv ???
由这两方程可得,
11 CC euv ?? 2 2 CC euv ??
这个结论表示，在质心系中每个质点碰后的速度为
其碰前速度的 – e 倍。
在质心系中，碰撞损失的动能为
)(21)(21 2 222 112 222 11 CCCCk vmvmumumE ?????
)(21)1( 2 222 112 CC umume ????
中
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2,斜 碰
我们仅讨论完全弹性碰撞，则由动量守恒和能量守恒
可得,
022112211 ???? CCCC mmmm vvuu
2
12
2
11
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
1
CCCC vmvmumum ???
由前一个方程知，碰前 uC1,uC2 在一条直线上，而碰
后 vC1,vC2 也在一条直线上，故可将该方程写成标量形式,
022112211 ???? CCCC vmvmumum
解得,
11 CC uv ? 22 CC uv ?
即在质心系中，两球碰撞后，它们的速度都只改变方向，
而不改变大小。可以用其入射方向和出射方向的夹角来表
示它们运动方向改变的程度，其值可在 0 到 π之间，与碰
撞参量有关。
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4.7.1 什么是对称性
4.7.2 因果关系和对称性原理
4.7.3 守恒率与对称性
§ 4.7 对称性、因果关系与守恒律 中
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§ 4.7 对称性、因果关系与守恒律
4.7.1 什么是对称性
在现代物理学中对称性是个很深刻的问题。在粒子
物理、固体物理、原子物理等许多领域里，对称性的概
念都很重要。描述对称性的数学语言是群论。这里不打
算涉及群论，只想介绍一下对称性原理，用以探讨与本
课水平相当的问题。
对称性的概念最初来源于生活。在艺术、建筑等领
域中，所谓“对称”，通常是指左右对称。人体本身就
有近似的左和右的对称性。各类建筑，特别是很多民族
的古代建筑，都有较高的左右对称性。我国古代的官殿、
庙宇和陵墓建筑尤为突出，而园林建筑的布局则错落有
致，于不对称中见对称。
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4.7.1 什么是对称性
我们把系统从一个状态变到另一个状态的过程叫做
“变换”，或者说，我们给它一个“操作”。如果一个操
作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，
状态在此操作下不变，我们就说这系统对于这一操作是
“对称的”，而这个操作叫做这系统的一个“对称操作”。
例如考虑一个圆对于围绕中心旋转任意角度的操作
来说都是对称的；或者说，旋转任意角度的操作都是这
圆的对称操作。如果我们在圆内加一对相互垂直的直径，
这个系统的对称操作就少多了。转角必须是 90度的整数
倍，操作才是对称的。
以上关于“对称性”的普遍定义，是德国大数学家
魏尔（ H,Weyl）首先提出来的。
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4.7.1 什么是对称性
最常见的对称操作是时空操作。空间操作有平移、
转动、镜象反射、空间反演、标度变换（尺度放大或缩
小），等等；时间操作有时间平移、时间反演，等等。
第二章 2.4.3节介绍的伽利略变换，则是时空联合变换。
除时空操作外，物理学中还涉及到许多其它的对称操作，
如置换、规范变换、正反粒子共轭变换和某些动力学变
换等，一般说来它们比时空变换抽象得多。
在物理学中讨论对称性问题时，要注意区分两类不
同性质的对称性，一类是某个系统或某件具体事物的对
称性，另一类是物理规律的对称性。由两质点组成的系
统具有轴对称性，属于前者；牛顿定律具有伽利略变换
不变性，则属于后者。
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4.7.2 因果关系和对称性原理
自然规律反映了事物之间的因果关系。所谓“因果
关系”，就是在一定条件下会出现一定的现象。在这种
情况下我们把前者（条件）称为“原因”，后者（现象）
称为“结果”。要构成一条稳定的因果关系，最重要的
需要有两条：可重复性和预见性。其实这就是科学本身
存在的必要前提。以上两条性质要求“相同的原因必定
产生相同的结果”。但宏观世界的事物没有绝对相同的，
我们可以把语气放宽一些，用“等价”一词代替“相
同”，把因果关系归结为,
等价的原因 → 等价的结果。
这里的箭头表示“必定产生”。这就是因果性的等价原理。
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4.7.2 因果关系和对称性原理
一个操作产生“相同”或“等价”的效果，就是不
变性，不变性也就是对称性。所以用对称性的语言来说，
上述等价原理可改写成下列公式,
对称的原因 → 对称的结果。
应注意，因果关系的等价原理中箭头是单向的，即
只有“等价的原因必定产生等价的结果”，但等价的结
果可能来源于不等价的原因。从而上列用对称性来表达
的因果关系中箭头也是单向的，即对称的结果也可能来
源于不对称的原因。所以我们说,
原因中的对称性必反映在结果中,
即结果中的对称性至少有原因中的对称性那么多。
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4.7.2 因果关系和对称性原理
反过来应该说,
结果中的不对称性必在原因中有反映,
即原因中的不对称性至少有结果中的不对称性那么多。
以上原理叫做 对称性原理,它是皮埃尔 ·居里
（ Pierre Curie,1859~1906）于 1894年首先提出的
中
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4.7.2 因果关系和对称性原理
当我们抛射一个物体时，若没有其它原因，抛体的轨迹
不会偏离其初速度与重力决定的竖直平面。如果我们发现抛
体的轨迹朝某一侧偏斜（结果中中现了不对称性），我们相
信，一定存在对此平面不对称的原因，譬如有横向的风。这
是上述对称性原理反过来的应用。在足球场上我们常会看到，
球员踢出的球会拐弯（特别是在罚角球时），这种球俗称
“香蕉球”。赛场上没有风，球偏斜的方向可以由踢球的人
控制。这是什么原因呢？即使我们不懂流体力学，但懂得对
称性原理，我们就敢肯定，在球离开球员的脚之前就已存在
不对称性了。仔细找找原因，我们会发现，香蕉球踢出时是
旋转的，它旋转的方向决定了球向哪边偏斜。旋转 ——这就
是对初始的竖直平面左右不对称的因素，轨迹的偏斜正是这
个不对称因素的反映。至于空气和旋转的球之间的相互作用
究竟怎样使之偏斜的，那就要靠流体力学的具体知识了。
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4.7.3 守恒率与对称性
首先看能量守恒定律。从宏观的角度看，物体系有保守
系和非保守系之分，前者机械能守恒，后者则不然。从微观
的角度看无所谓耗散力，在一切系统中，粒子与粒子之间的
相互作用可通过相互作用势（分子力势能）来表达。时间均
匀性，或者说，时间平移不变性意味着，这种相互作用势只
与两粒子的相对位置有关，亦即，对于同样的相对位置，粒
子间的相互作用势不应随时间而变。在这种情况下系统的总
能量（动能 + 势能）自然是守恒的。我们可以举一个例子来
说明，在相反的情况下能量可以不守恒。广东省从化县建设
了一个抽水蓄能电站，夜间用电低谷时抽水上山，白天用电
高峰时放水发电。利用昼夜能源的价值不同，可以获得很好
的经济效益。倘若昼夜变化的不仅是能源的价值，而且是重
力加速度（它代表着万有引力的强度），从而水库中同样水
位所蓄的重力势能作周期性的变化，则抽水蓄能电站获得的
不仅是经济效益，而且是能量的赢余。于是，永动机的梦想
实现了。时间的平移不变性不允许出现这种情况。
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4.7.3 守恒率与对称性
其次看动量守恒定律。
如图 4.18所示，考虑一对粒
子 A 和 B，它们的相互作用
势能为 V。现将 A 沿任意方
向移动到 A/（见图 4.18(a)，
这位移造成势能的改变（抵
抗对的力所作的功）,
sf ????? ? ABV
若 A 不动，将 B 沿反方向移动相等的距离到 B/ (图
4.18(b))，则势能的改变为 (抵抗 A给 B的力所作的功 ),
sfsf ?????????? ?? BABAV )(
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4.7.3 守恒率与对称性
上述两种情况终态的区
别仅在于由两粒子组成的系
统整体在空间有个平移，它
们的相对位置是一样的,
BABA ???
空间均匀性，或者说，空间平移不变性意味着，两
粒子之间的相互作用势能只与它们的相对位置有关，与
它们整体在空间的平移无关。从而两种情况终态的势能
应相等,
sfsf ??????????? ABBA VV
因为 ⊿ s 是任意的，故有,
BAAB ?? ?? ff 要知道，“作用力和反作用力大小相等，方向相反”
和“动量守恒”两种说法是等价的。于是，我们从空间
的平移不变性推出了动量守恒定律。
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4.7.3 守恒率与对称性
物理学各个领域里有那么多定理、定律和法则，但它
们的地位并不是平等的，而是有层次的。例如，力学中的
胡克定律，热学中的物态方程，电学中的欧姆定律，都是
经验性的，仅适用于一定的物料，一定的参量范围。这些
是较低层次的规律。
统帅整个经典力学的是牛顿定律，统帅整个电磁学
的是麦克斯韦方程，他们都是物理学中整整一个领域中的
基本规律，层次要高得多。
是否还有凌驾于这些基本规律之上更高层次的法则？
是的，对称性原理就是这样的法则，由时空对称性导出的
能量、动量等守恒定律，也是跨越物理学各个领域的普遍
法则。这就是为什么在不涉及一些具体定律之前，我们往
往有可能根据对称性原理和守恒定律作出一些定性的判断，
得到一些有用的信息。
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第四章 机械能守恒
在笛卡儿提出动量守恒原理后 42年，德国数学家、哲
学家莱布尼兹（ Leibniz,1646~1716）提出了“活力”概
念及“活力”守恒原理。和笛卡儿一样，莱布尼兹也相信
宇宙中运动的总量必须保持不变，不过和笛卡儿不同，他
认为应该用 mv2 表示这个量，而不是 mv。
莱布尼兹与笛卡儿关于 mv2 和 mv 之争，在历史上曾
经历相当长时期的混乱，一百多年后，人们逐渐明白，这
是两种不同的守恒规律，莱布尼兹的“活力” 守恒应归
结为机械能守恒。
下面我们从现代的观点对这些概念一一地予以重新定
义。
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第四章 机械能守恒
§ 4.1 能量守恒
§ 4.2 动能定理
§ 4.3 势能
§ 4.4 机械能守恒定律
§ 4.5 质心系
§ 4.6 碰撞
§ 4.7 对称性、因果关系与守恒律
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4.1.1 永动机不可能
4.2.2 重力势能
4.3.3 动能
4.4.4 弹性势能和其它能量形式
§ 4.1 能量守恒 中
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4.1.1 永动机不可能
实际上，永动机这个名词不太恰当。如飞轮之类，
运动一经开始，若无摩擦作用，则可永久继续运动，这
在实际上虽然不易实现，但于理说得通，可以看作一种
实际的极限情形，此时没有动力输出，若说什么也不消
耗，可以永久输出动力，此则非但不可实现，而且于理
也说不通。 所谓永动机，指的是人们幻想的一种机械装
置，它一经启动，就自行运转下去，不断作出有用的功。
企图制造永动机的最早记载，大约出现在 13世纪。此后
各种永动机的设计层出不穷，一直延续到 19世纪工业革
命后，势头才有所减弱。即使到今天，还不时有人提出
一些实质上是永动机的装置，只不过它们伪装得更好，
更不易被识破罢了。
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4.1.1 永动机不可能
千万次的失败并没有使所有的人认输，总有一些
人陷在永动机梦想的泥潭里不能自拔，并死死纠缠着
要别人接受他们的设计方案。在这种情况下巴黎科学
院在 1775年不得不通过决议，正式宣告拒绝受理永动
机方案。这说明在当时科学界，已经从长期所积累的
经验中，认识到制造永动机的企图是没有成功的希望
的。人们的原始概念，乃是,人力有限”,如果我们
能够没有任何消耗而得到永久工作，那将是人力无限
了！这种事情未免太好，好得令人难以置信。直到现
在，美英等许多国家的专利局都订有限制接受永动机
方案的条款。
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4.1.1 永动机不可能
现在人们常用能量守恒定律来否定永动
机，而 19世纪能量守恒定律的三个创始人之
一 ——亥姆霍兹（ 1821~1894）当年却是用不
可能有永动机来论证能量守恒定律的。他在
,论自然力的相互作用, 一文中写道：,……
鉴于前人试验的失败，人们 … 不再询问：我如
何能够利用各种自然力之间已知和未知的关系
来创造一种永恒的运动，而是问道：如果永恒
的运动（指永动机）是不可能的，在各种自然
力之间应该存在什么样的关系？”
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4.1.1 永动机不可能
人们造出机器，是为了让它作功。“功”的概念在一般人的感
觉中是现实的，具体的，它起源于早期工业革命中工程师们的需要，
当时他们需要一个用来比较蒸汽机的效率的办法。在实践中大家逐
渐同意用机器举起的物体的重量与行程之积来量度机器的输出，并
称之为功。
在 19世纪初期用机械功测量活力已引入动力技术著作中。
1820年后，力学论文开始强调功的概念。
1829年，法国工程师彭塞利（ Poneclet,1788~1867）在一本力
学著作中引进“功”这一名词。
之后，科里奥利在, 论刚体力学及机器作用的计算, 一文中，
明确地把作用力和受力点沿力的方向的可能位移的乘积叫做“运动
的功”。功与以后建立的能量概念具有相同的量度，功作为能量变
化的量度为研究能量转化过程奠定了一个定量分析的基础。
时至今日，物理学中并没有告诉我们能量究竟是什么，也没有
说出各种表达式的机理。
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4.1.2 重力势能
在下面的推理中，我们的前提是永动机不可能。它
的依据是从千千万万人的实践中总结出来的经验事实。
人们曾设想过各式各样的永动机，这里我们只讨论
举重机械。如果有这样一架举重机械，当人们运用它完
成一系列操作之后，装置回到了初始状态，在此过程中
产生的净效果，是把一定的重量提升了一定的高度，则
我们说，这就是一架永动机。有了这样一架举重的机械，
完成其它操作的永动机就都变为可能的了。因而我们只
需假设，这种举重式的永动机是不可能的。
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4.1.2 重力势能
作为最简单的举重
装置之一，我们追随斯
泰芬，也研究斜面装置。
不过为了简化讨论，我们把装置改为如图 4.1 所示的形式。设小
球重量为 mg，大球重量为 Mg，在摩擦力趋于零的情况下，静力学平
衡时，我们有 Mg sinθ= mg,如果小球拖得动大球的话，则以小球降低
高度 h 为代价，把大球提升高度 h/ = h sinθ,于是,
m g hM g hhMg ??? ?s i n
上面得到的式子是由斜面这个具体装置推导出来的，
我们的问题是,无论用什么举重机械，以重物下降一个高
度为代价，至多能够把多少重量上举一个高度？ 要普遍地
回答这个问题，用本课前面已有的力学知识就不行了。下
面我们从热学中卡诺（ Sadi Carnot,1796~1832）那里借来
一种绝妙的推理方法。
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4.1.2 重力势能
我们把各种机械装
置分成可逆的和不可逆
的两种。
所谓可逆装置，就是它既能够以重物 m 的高度降低 h 为代价，
把重物 M 提升一个高度 h/，又能够以重物 M 的高度降低 h/ 为代价，
把重物 m 提升一个高度 h。
我们说，理想的无摩擦装置是可逆的。显然，“可逆”和“不
可逆”的概念可以推广到任何装置。
结论是：在给定的情况下,
2,所有可逆装置的 M 都相等。
1,所有不可逆装置的 M 都不大于可逆装置；
下面用归谬法来论证这两个结论。
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4.1.2 重力势能
如果某个不可逆装置在同样的条件下举起的重量 M/g > 可逆装置
举起的重量 Mg，我们就能够从 M/ 中分出一部分 M 来，以它降低高
度 h/ 为代价，反向操作那个可逆装置，把不可逆装置中降下来的重物
mg 恢复到原来的高度 h。这样一来，在其它所有状态都复原的情况之
下，产生的净效果是把一个重量为 (M/－ M)g 的重物提升了一个高度
h/。这就导致永动机成为可能的荒谬结论。所以，上面的前提不能成
立，实际情况应该是，此即上述的结论 1。
如果有两个可逆装置 A 和 B，在重物 m 的高度降低 h 的同样条
件下，能够把重量分别为 MA 和 MB 的物体提升一个高度 h/，则利用
上述推理不难得知：由于装置 B可以反向运行，只要永动机不可能，
就应有 MA ≤ MB ；由于装置 A也可以反向运行，只要永动机不可能，
就应有 MB ≤ MA 。最后只能是 MA = MB,此即上述的结论 2。
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4.1.2 重力势能
无摩擦的斜面是一种可逆的举重装置，既然所有
的可逆装置提升的重量都一样，故 (4.1.1)式适用于一切
可逆装置。于是我们得到一条普遍的规律：在装置可
逆的条件下，重量和高度的乘积这个量是守恒的，它
代表一种潜在的作功本领，我们称它为物体的 重力势
能,记为，即,
m g hE p ?
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4.1.3 动能
我们利用无摩擦的单摆来求运动物体的动能，如图 4.2所示。
假定摆锤从某一高度自由下摆，便可来回摆动。当摆锤摆到最低点
时，势能将减少，这部分减少了的势能跑到哪里去了？观察摆锤运
动，可以看到它会再次爬上来，可见失去的重力势能必定转变为另
一种形式的能量，显然它是靠自己的运动才重新爬上来的，这是一
种由于摆锤的运动所具有的能量。
依能量守恒原理摆锤能够上升的
高度与上升机制无关，即与上升路径
无关。但动能一定等于初始自由下摆
时的重力势能。为写出动能的形式，
假如以最低点处同一速度竖直向上抛
出这个物体，达同样高度，依运动学
公式有关系式。所以这个动能 Ek 可写
为,
2
2
1 mvE
k ?
中
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4.1.3 动能
当然，物体因运动具有能量与物体是否处
于重力场中无关。只要物体运动，均有动能。
顺便指出，重力势能（重量与高度的乘积）的
表达式 mgh 和动能表达式 mv2/2 都是近似公式。
前者在高度很大时不正确，因为假定了重力为
常量；后者在高速运动时要给予相对论性修正，
因为假定了质量 m 是绝对量。然而，当考虑了
这些因素，给出精确表达式后，能量守恒定律
仍然正确。
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4.1.4 弹性势能和其它能量形式
)( 0xxkmgdtdvm ???
dxxxkm g d xm vd v )( 0???
dxxxkxdmgdvvm hxxhxx )( 0 0 0 0
0
0
0
??? ??? ??
对从 x = x0 到 x = x0+h
积分，在此过程的两头
速度 v 都等于零，有,
即,
2
2
1 khm g h ?
2
0 )(2
1 xxkE
p ??
我们得到弹性势能,
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4.1.4 弹性势能和其它能量形式
如果此装置是一个理想的可逆装置，弹簧一端的物体将
不断来回振动。实际情况是，振动将会逐渐减弱，直至趋于
静止。当弹簧不再振动时，能量又到哪里去了呢？因为能量
是守恒的。由此，可以发现另一种形式的能量：热能。
众所周知，在弹簧或一般机械装置中有着大量原子组成
的晶体。当弹簧运动或机器运转时，由于材料本身的缺陷，
产生撞击和跳动，材料中的原子加剧无规则摆动，与此同时，
发现机械运动减慢了，直至趋于静止，但动能依然存在，只
是它与看得见的机械运动没有联系。我们如何知道动能仍然
存在呢？这可以通过弹簧或机器变热加以判定。材料温度的
提高是材料内部原子无规则振动动能增加的证明。我们称这
种形式的能量为热能，它是材料内部原子无规则运动的动能。
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4.1.4 弹性势能和其它能量形式
以上分析可知,
1,能量守恒定律极其有用，上面分析的几个简单例子中
已经说明了这一点。
2,如果我们找到了各种能量的表达式，那么可以不必分
析物理过程的细节就可以知道应当发生的某些结论。
3,因此不仅是能量守恒定律，其它守恒定律也一样让我
们产生浓厚的兴趣，在下一章我们还要讲述角动量守
恒定律，这就是从大到小的研究顺序的独到之处。
4,目前我们并没有深刻理解守恒定律，本章末将说明，
能量守恒定律与时间平移对称性有关，动量守恒定律
与空间的平移对称性有关。由此可见，把握了大的总
体的方面，我们会对物理有深刻的理解。
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4.2.1 质点动能定理
4.2.2 功和功率
4.2.3 质点系动能定理
§ 4.2 动能定理 中
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4.2.1 质点动能定理
我们知道，力的冲量可以使物体（质点）的动量发生改变；力
又是如何使物体的动能发生改变的呢？为此，我们计算一下单位时
间动能的改变。
对于直线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我们有,
dt
dsFFv
dt
dvmvmv
dt
d
dt
dE k ????
?
??
?
?? 2
2
1
FvdtdE k ? F d sdE k ?即,
这是元过程的表达式，对于有限过程，则可以两边积分得,
????? ttkk F d smvmvEE 02020 2121
中
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术
大
学
杨
维
纮
4.2.1 质点动能定理
对于一般的曲线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我
们有,
dt
d
dt
dmmv
dt
d
dt
dE k rFvFvv ???????
?
??
?
?? 2
2
1
即,
vF ??dtdE k rF ddE k ??
由上式知，动能的时间变化率等于作用在物体上的作用力与速
度的标积。由于能量概念的重要性，我们把 mv2/2 称为动能，把
F﹡ v称作力传递给物体的功率。以 P 表示功率，有,
vF ??P
因此，上述结论又可以说成：一个物体动能的时间变化率等于作用
在该物体上的力传递给物体的功率。我们把 F﹡ dr 称作力对物体作
的元功。对 (4.2-6)式积分得,
?? ???????? tttkkk dsFdtmvtmvEEE t 0220 00 c o s )(21)(21 ?rF
中
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技
术
大
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杨
维
纮
4.2.1 质点动能定理
?? ???????? tttkkk dsFdtmvtmvEEE t 0220 00 c o s )(21)(21 ?rF
此式右边的积分被称为作用于物体的力所做的功，通常把该式称为
质点动能定理,即作用于物体上的合力所做的功等于物体在此过程
中动能的增量。动能定理本质上是能量守恒定律在牛顿力学范畴内
的一种表述。上面所讨论的是 单质点动能定理,其对象是单质点系
统，如果与外界无相互作用，即既不输入能量，又不输出能量，系
统（质点）必保持能量不变，即动能不变。如果与外界有相互作用，
外界将以力对系统作功，输入（或输出）能量，其结果必然使质点
系统能量改变，即动能改变，动能的时间变化率等于外力传递给物
体的功率，或者动能的增量等于外力作的功。
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4.2.1 质点动能定理
由质点动能定理及其推导可知,
1,做功是通过力来实现的；
2,做功的多少与路径有关；
3,质点动能定理成立的参考系为惯性系。
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4.2.2 功和功率
物理学上的功定义为力 F 与位移元 dr 标积的线积分，
若以 A 表示功，有,
?? ??? ttt dsFdA t 00 c o s ?rF
其意思是：如果有一个力作用于物体上，同时物体在某
一方向上发生位移，则只有位移方向上的分力作了功，
与位移成直角的力不作功。
物理学上功的含义与一般情况下的工作含义是不同
的，按照物理学上功的定义，如果一个人把 40千克的重
物提在手中一段时间，他并没有做功，然而，他会感到
很累。显然，物理学上功的定义与生理学中功的定义不
一样。那么为什么我们要取现在的定义去计算功呢？这
是因为这样计算功是有意义的：作用在一个质点上的力
所作的功，恰好等于该质点动能的变化。
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4.2.2 功和功率
有时重要的问题不是能作多少功，而是作功的效率，
即在单位时间内作多少功。单位时间所做的功称为功率,
vF ??? dtdAP
简单机械可以省力，但功率是不能放大的。
在国际单位制中，力的单位是牛顿（ N），功的单
位则为牛顿 ·米（ N·m），通常把 1牛顿 ·米称作 1焦耳（ J），
由上面给出的势能、动能、功的定义不难验证，它们具
有相同的量纲。功率的单位是焦耳 /秒，也称瓦（ W）。
如果用瓦乘以时间就是所作的功，电力公司在计算每家
用电量时，常采用千瓦 ·小时来计量用电量的多少,1千
瓦 ·小时等于 1千瓦乘 3600秒，即 3.6× 106 焦耳。
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4.2.3 质点系动能定理
?
?
?
?
??
?
?
?
?????
?????
?????
?????
nnnnn
n
n
n
m
m
m
m
Ffffr
fFffr
ffFfr
fffFr
???
??????????
???
???
???
321
3332313
2232212
1131211
dtdtdt
dtdtdtdtm
iin
t
tiii
t
tiii
t
t
ii
t
t
t
t ii
t
tii
t
tiii
vfvfvf
vfvfvFvv
???????
????????
???
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??
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2
1
000
00 00
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????
iniiiiiiikiki AAAAAAtEtE ????????? ?? ?? )1()1(210 )()(
中
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4.2.3 质点系动能定理
iniiiiiiikiki AAAAAAtEtE ????????? ?? ?? )1()1(210 )()(
其中,
dtA iitti vF ?? ?
0
dtA iijttij vf ?? ?
0
分别为作用于第 i 个质点上的合外力所作的功和第 j 个质
点对第 i 个质点的内力所作的功。将上式对所有的求和，
得,
内外 AAtEtE kk ??? )()( 0
其中 Ek,A外, A内 分别为质点系的总动能、外力和内力
对质点系作的总功,
?
?
?
n
i
kik EE
1
?
?
?
n
i
iAA
1
外 ij
n
ij
j
n
i
AA ??
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??
?
11
内
中
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4.2.3 质点系动能定理
内外 AAtEtE kk ??? )()( 0
该式即为质点系动能定理，我们把它叙述如下,
作用于质点系的所有外力所作之功与所有内力所作之
功的总和等于质点系动能的增量。
需要注意的是，内力产生的总动量虽然为零，但
内力作的总功一般不等于零。
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4.2.3 质点系动能定理
质点系动能定理与质点系动量定理的比较,
1,质点系动量定理是矢量式，而质点系动能定理是标
量式。
2,质点系动量定理与质点系动能定理是相互独立的。
3,内力的作用不改变体系的总动量，但一般要改变体
系的总动能。
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功
4.3.2 保守力与非保守力、势能
4.3.3 势能曲线
§ 4.3 势 能 中
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§ 4.3 势 能
4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功
所谓“有心力”，即在空间中存在一个中心 O，物
体（质点） P 在任何位置上所受的力 F 都与 OP 方向相
同（排斥力）或相反（吸引力），其大小是距离 r = OP
的单值函数。万有引力就是一种有心力，万有引力为,
rF ?2rMmG??
其中 表示沿 方向的单位向量。 r? OP
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功
我们感兴趣的问题是，如果物体在有心力场中循
环运动一周，其动能会不会有所增加（或减少）呢？
或许有那么一条特殊的无摩擦的轨道从一点开始，经
过一个循环回到初始点，有心力在过程中不断作功，
使物体的动能有所增加？
我们可以肯定他说，这是不可能的。因为，如果存
在这样一个轨道，这个物体周而复始地沿此轨道作循环
往复运动，在每次回到初始点时，将会获得越来越大的
动能，而系统本身没有付出代价，这不符合能量守恒原
理。这就是一种永动机，因而是不可能的。因此，结论
是物体在有心力场中环绕任何封闭路径运行一周作的功
必为零。（物体回到初始点动能减少也是不可能的。如
果这样，可以沿原回路反向行进，必使动能增加。）
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功
下面用数学方法给
出验证。如图 4.4所示，
设想把质点沿任意路径
L 从 P 点搬运到 Q 点，
有心力所作的功为,
dsrFA
L
Q
PPQ
c o s)(
)(
???
drMKKMds ?????? KN co s co s ??
由于,
上式化为,
drrFA Q
P
r
rPQ
)(??
此式只与两端点到力心的距离 rp 和 rQ有关，与路径 L 无
关。上式表明，有心力作功可以化为沿任意半径的一维
问题。
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4.3.1 有心力及其沿闭合路径作功
有心力的重要性质,
有心力作功只与始终点的位置有关，与路
径无关。
或,有心力沿闭合路径作功为零 。
0??? rF d
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4.3.2 保守力与非保守力、势能
由上述可知，存在一类重要的力场，在该力场中，
力对质点所作的功只与该质点的始、末位置有关，而与
该质点所经的具体路径无关。
我们称此力场为保守力场，物体在保守力场中所受
的力称为保守力。
显然，保守力场中力的环路积分必为零。
凡所功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关，
或沿任一闭合路径一周作功不为零的力称为 非保守力 。
沿闭合路径一周作功小于零的力称为 耗散力 。滑动
摩擦力是非保守力，而且还是耗散力。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能
为了比较容易地判断常见的力是否保守力，下面给
出保守力的一些充分条件。
1,对于一维运动，凡是位置单值函数的力都是保守力。
例如服从胡克定律的弹性力 f = f (x) = － k(x－ x0) 是 x
的单值函数，故它是保守力。
2,对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力，
如重力 f = mg 是保守力。
3,有心力是保守力。例如万有引力就是保守力。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能
定理,对于保守力场，可以定义一
个标量函数 V(r)，称为 势能 （或 势
函数、位能 ），使保守力作的功为：
A(rA→ rB) =V(rA) － V(rB) 。其中
A(rA→ rB)表示质点从空间 rA 点运
动到 rB 点保守力所作的功。
证,这样选择一个标量函数：如图
4.5，先任取一点 rC,令,
对空间任意点，定义,
0)( VV C ?r
)()( 0 rrr ??? CAVV
由于是保守力场，故 A(rC→ r) 唯一确定，与运动的路径
无关，于是对于空间中的任意点 r，我们定义的 V(r) 的值确
定并且唯一。
下面证明 V(r) 就是势能。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能
)()( 0 rrr ??? CAVV
对于空间中任意两点 rA 和 rB,
按照我们对的 V(r) 定义，有,
)()( 0 ACA AVV rrr ???
)()( 0 BCB AVV rrr ???
将上面两式相减，注意到保守
力作功与路径无关，可得,
)()( CABC AA rrrr ????
)()()()( ACBCBA AAVV rrrrrr ?????
)( BA rr ??
由于,)()()(
BABA VVA rrrr ???
故 V(r) 就是势能。 [证毕 ]
反之，存在势能的力一定是保守力。
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4.3.2 保守力与非保守力、势能
注,由证明可见，势能具有一个任意常数
0)( VV C ?r
势能 V(r) 与保守力 F 的关系,
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
???? ?
z
V
y
V
x
V
V
VdV
kjirF
rFr
r
r
)(
)( 0
0
一般我们规定 ∞ 点的势能为零。
中
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4.3.2 保守力与非保守力、势能
例 4-2：位于坐标原点的质量为 M 的质点的引力场对位于
r 点质量为 m 的质点的万有引力为,
rF ?2rMmG??
若规定无穷远点 ∞ 的引力势能为零，则空间 r 点质量
为 m 的质点的势能为,
rFr drV ??? ?? )( dr
r
MmG
r 2
?
???
r
GmM??
222 zyx
Gm M
??
??
当然，利用 (4.3.6)的第二式可反推得,
)( rV???F
? ? 2/3222 )( zyx zyxG m M ?? ???? kji rr
mMG r
2?? r?2r
mMG??
中
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几点注意,
1,引力势能实际上属于 m,M 两者组成的体系，地球与月
球间的相互引力势能应属地、月系统所共有。物体在
地球表面的重力势能原则上是物体与地球整个系统所
共有，鉴于在重力势能转化为动能时（物体下落重力
作功），物体所获得的动能几乎等于下落前后的引力
势能差，在这种情况下人们也常说物体具有重力势能，
这里已经把地球质量看成无穷大了。
2,自然界中的大部分能量，以引力势能形式存在。
3,保守力作功使其势能减少。
)]()([)()()( 00 0
0
rrrrrFrr rr VVVVdA ???????? ?
中
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几点注意,
4,如果质点系内任意两点之间的作用力都是保守力，
则称该质点系为 保守体系 。对于保守体系，我们可
以这样定义势能，规定所有的质点都在无穷远处时
体系的势能为零，即让 V(∞) = 0,然后将 n 个质点
一个一个从无穷远点沿任意路径移至它们所在的点，
算出保守力所作的总功 A，利用 (4.3.8)式可知该保
守体系的势能为,
AV n ??),,,( 21 rrr ?
中
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4.3.3 势能曲线
一旦知道了势能的表达式，利用 (4.3.5)式即可求
得力的表达式。力是矢量，而势能是标量，一般情况
下，确定标量函数比确定矢量函数要容易。如果保守
力仅是两质点距离的函数，则势能是一维函数。在许
多实际问题中，特别是在微观领域内，确定势能往往
比确定力更方便，故用势能函数来了解力的性质是有
实际意义的。
表示势能与两质点相对关系的图形叫势能图。若
势能为一维函数，这时，势能图成为势能曲线。
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4.3.3 势能曲线
上面引出势能曲线进行讨论的原因还在
于力的概念对量子力学的微观理论来说不太
合适，而能量是对系统的恰当描述。当考察
原子核中各核子之间、分子中各原子之间的
相互作用时，力和速度等概念不用了，而能
量概念继续存在，因此在有关量子理论的书
中我们可以看到势能曲线，而很少看到微观
粒子间的作用力曲线，因为那里人们采用能
量，而不是采用力来分析问题。
中
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4.3.3 势能曲线
1,几种势能曲线
中
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4.3.3 势能曲线
2,势能曲线的用途
(1) 由势能曲线求保守力
x
VxF
?
???)(
(2) 求平衡位置及判断平衡的稳定性（该问题我们将在
第七章中再详细讨论）。
(3) 决定质点的运动范围（该问题我们将在第五章中再
详细讨论 ) 。
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能
守恒定律
4.4.2 保守系与时间反演不变性
4.4.3 两体问题
§ 4.4 机械能守恒定律 中
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律
由质点系的动能定理 (4.2.13)式,
内外 AAtEtE kk ??? )()( 0
在一般情况下，可以将内力所作的功分为保守力作
的功 A保内 和非保守力作的功 A非保内 两部分
非保内保内内 AAA ??
由 (4.3.8)式知,
)()( 0 tVtVA ??保内
于是,
非保内外 AAtVtEtVtE kk ????? )]()([)]()([ 00
用 E 表示体系动能与势能之和，称为体系的机械能。
)()()( tVtEtE k ??
非保内外 AAtEtE ??? )()( 0
则有,
该式表示：外力的功和非保守内力的功之和等于体系机
械能的增量，这就是 质点系的功能定理或功能原理 。
中
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律
非保内外 AAtEtE ??? )()( 0
若,体系机械能增加； 0??
非保内外 AA
若,体系机械能减少； 0??
非保内外 AA
若,体系机械能保持不变。 0??
非保内外 AA
该式表示：外力的功和非保守内力的功之和等于体系机
械能的增量，这就是 质点系的功能定理或功能原理 。
中
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律
非保内外 AAtEtE ??? )()( 0
重要特例,
0?外A
这有如下几种情况,
1,孤立体系，体系不受外力作用。
2,外力的作用点没有位移。如弹簧振子的固定端对弹簧
所施的外力。
3,各外力与其相应作用点的位移互相垂直。如固定支承
物的支承力。
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4.4.1 质点系的功能原理和机械能守恒定律
非保内外 AAtEtE ??? )()( 0
重要特例,
0?外A
此时，体系的机械能的变化仅由非保守力作的功确定，
因而有,
1,若,体系机械能增加；（如炸弹爆炸）
2,若,体系机械能减少；（如摩擦力，称
为耗散力）
3,若,体系机械能守恒。
0?非保内A
0?非保内A
0?非保内A
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几点说明,
1,当摩擦力作为体系外力时，对体系可能作正功，
也可能作负功（也可以不作功）。摩擦力作为体
系内力时，必定是成对出现的，若摩擦力作为作
用力对一个物体作正功，则其反作用力对另一个
（与之发生摩擦的）物体必作负功，这一对摩擦
力对两个发生摩擦作用的物体所作的总功只能为
负（动摩擦）或零（静摩擦），因为一对内力的
功只与两物体的相对位移有关，而摩擦力总是与
两物体的相对位移反方向。因而 动摩擦总是消耗
体系的机械能，是一种耗散力。而静摩擦力不同，
它不消耗机械能。
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几点说明,
2,关于功与能的定理都是在牛顿定律基础
上导出来的，因而只在惯性系中成立。
在非惯性系中，如要应用牛顿定律，必
须引入惯性力，因而,如果要在非惯性
系中应用功与能的定理，必须计入惯性
力作功以及与惯性力相关的势能。 （由
于惯性力没有施力物，与惯性力相联系
的势能只能是指保守力场中的势能）。
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几点说明,
3,即使在惯性系中，应用功能定理时也要注意以下几点,
(1) 功并不是与参考系无关的不变量，内力所作的总功虽与参
考系无关（此结论即使对非惯性系也成立），但外力的功
一般与参考系有关。
(2) 动能并不是与参考系无关的不变量。物体的速度与参考系
有关，因而物体的动能也与参考系有关。
(3) 物体系的势能总是与物体系的相对位置相联系，因而物体
系的势能与参考系无关。
注意到这几点以后，不难看出，尽管在任何惯性系内动
能定理、功能原理和机械能守恒定律都可应用，但 力的
功，体系的动能，机械能的数值在不同参考系中并不相
同； 而且,一个体系在一个参考系内机械能守恒，在另
一个参考系内机械能未必守恒,因为在一个参考系内机
械能守恒条件成立，在另一个参考系内机械能守恒条件
未必成立。
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几点说明,
4,功总是与一个过程相联系，而能量（动能
和势能）总是与物体或物体系的状态，即
（相对）位置和速度相联系。因而 功是过
程量，能量是状态量。 在力学范围内，作
功的过程总是与体系能量的改变相联系。
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4.4.2 保守系与时间反演不变性
从对称性的角度看，保守力与非保守力的区别反映
在时间反演变换上。
时间 t→ ﹣ t 的变换，叫做 时间反演变换,这相当于
时间倒流。
在现实生活中时间是不会倒流的，但我们可以设想将现象用
录象机录下来，然后倒过来放演。若把无阻尼的单摆运动录下来，
正、反放演，看不出什么区别；把自由落体录下来反着放演，便
成为竖直上抛物体，在空气阻力可以忽略的情况下，两者同样真
实；斜抛物体的运动也是这样。武打电视片的摄制者常利用这一
点，让演员从高处跳下，拍摄下来倒着放演时，就可以表现一个
人从平地一跃而起跳上高墙的场面，看起来相当逼真。然而有了
阻力就不行了，阻尼单摆的振幅越来越小，反着放演它的录象，
振幅却越来越大，看起来不大像真的。如果上述武打演员穿的不
是紧身衣裤，而是宽大的袍子，观众就会看到，当他纵身上墙时，
袍子竟飘逸而起，倒拍的特技就露了破绽。
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4.4.2 保守系与时间反演不变性
上面的例子告诉我们,保守系的运动规律具有时间
反演不变性,亦即，如果在某个时刻令物体系中的每个
质点 i 的速度反向，运动将逆转进行；耗散系则不具备
这种性质。要从理论上说明这一点，可看每个质点 i 所
服从的牛顿第二定律,
dt
dm i
ii
vf ?
作时间反演变换 t→ ﹣ t 时,vi→ ﹣ vi，上式右端不
变。因保守力只与质点的相对位置有关，它是时间反
演不变的，故上式左端也不变，即该式对正、反过程
同样成立。
在这种情况下，任何时刻只要速度反向，过程就会
逆转。
中
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4.4.2 保守系与时间反演不变性
dt
dm i
ii
vf ?
然而，耗散力与速度的方向有关，作时间反演变
换时,fi =﹣ fi,上式左端变号，即正、反过程的运动方
程不同，速度反向时过程不沿原路返回，故耗散过程是
不可逆的。
如前所述，“耗散”是宏观的概念，微观过程几乎
都是时间反演不变的，不存在非保守力，这是因为事实
上自然界所有已知的基本力都是保守力。所以,几乎所
有的微观过程都是可逆的 。为什么从微观过渡到宏观，
过程就可能变为不可逆？
宏观的不可逆性来自概率统计性，并非源于微观动
力学，这问题深刻而复杂，属于统计物理学的范畴，我
们不在此处讨论。
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杨
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4.4.3 两体问题
考虑两个质点的孤立体系，
质点间的作用力是保守力，由两
质点的相对位置决定。如图 4.11
取一惯性系，设质量分别为 m1 和
m2 的两质点，位矢和速度分别为
r1,r2 和 v1,v2,质心的质量 位
矢分别为 mC和 rC，则有,
21 m?? mm C
21
2211
mm
mm
C ?
?? rrr
动力学方程为,
12221 fr 1 ?dtdm 12222 2fr ?
dt
dm
Fff ??? 2112
于是,
02
2
?dtdm CC r
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
4.4.3 两体问题
21 m?? mm C
21
2211
mm
mm
C ?
?? rrr
12221 fr 1 ?dtdm
12
2
2
2 2f
r ?
dt
dm
Fff ??? 2112
02
2
?dtdm CC r
该式表明质心作匀速运动。于是取质心为坐标原点
建立的参考系也是惯性系，我们称该参考系为 质心系 。
设 m1,m2 在质心系中的坐标分别为 rC1,rC2,有,
)( 21
21
2
21
2211
111 rr
rrrrrr ?
???
?????
mm
m
mm
mm
CC
)( 21
21
1
21
2211222 rrrrrrrr ?
????
?????
mm
m
mm
mm
CC
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
4.4.3 两体问题
21 m?? mm C
21
2211
mm
mm
C ?
?? rrr
12221 fr 1 ?dtdm
12
2
2
2 2f
r ?
dt
dm
Fff ??? 2112
02
2
?dtdm CC r
)( 21
21
2
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2211
111 rr
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???
?????
mm
m
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mm
CC
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21
1
21
2211222 rrrrrrrr ?
????
?????
mm
m
mm
mm
CC
于是知 rC1 // rC2,且可得如下结论,
1,质心在两质点的连线上；
2,质点与质心的距离反比于质点的质量。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
4.4.3 两体问题
21 m?? mm C
21
2211
mm
mm
C ?
?? rrr
12221 fr 1 ?dtdm
12
2
2
2 2f
r ?
dt
dm
Fff ??? 2112
02
2
?dtdm CC r
若 m1 << m2,考虑 m1 相对于 m2 的运动。选择与 m2 相对
静止的参考系,m2 位于原点，称该参考系为 S系，在 S系中，
m1 的位置为 r，速度为 v，我们有 r = r1﹣ r2, v = v1﹣ v2 。我
们知道,S 系为非惯性系，当然可以通过引入惯性力来列出运
动的牛顿方程，但是我们也可以通过上述方程导出的运动方程。
FFrr
21
21
21
212
2 11
)( mm mmmmdtd ????
?
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中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
4.4.3 两体问题
FFrr
21
21
21
212
2 11
)( mm mmmmdtd ????
?
?
???
? ???
定义：,称为 约化质量，或折合质量 。
21
21
mm
mm
???
按此定义，上述方程可以写成,
Fr ?2
2
dt
d?
该方程与牛顿定律类似，我们认为大质量物体不动，
并认为 S 系是惯性系，其根据即在此。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
4.4.3 两体问题
为了求在质心系中的机械能，不妨设该系统的势能
为 V(r)，由 (4.4.13),(4.4.14)式可以求得在质心系中质点
m1,m2 的速度为,
vvvv
21
2
21
21
2
1 )( mm
m
mm
m
C ?????
vvvv
21
1
21
21
1
2 )( mm
m
mm
m
C ???????
在质心系中的机械能,
)(2121 222211 rVmmE ??? vv
)()(21)(21 22
21
2
1
2
2
2
21
2
2
1 rVmm
mm
mm
mm ?
???? vv
)( 21 2
21
21 rV
mm
mm ?
?? v
中
国
科
学
技
术
大
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杨
维
纮
4.4.3 两体问题
利用约化质量，可得在质心系中的机械能,
)( 21 2 rVE ?? v?
Fr ?2
2
dt
d?在 S 系中的运动方程,
由上述方程可知，只要将 m1 用约化质量代替，则不
仅可以认为 S 系是惯性系，而且在 S 系中求得的机械能
即为质心系中的机械能。
讨论,
1,即使 m2 不是很大时,m2 也运动，只要利用约化质量，
即可把两体问题化成单体问题；
2,其它质点动力学问题不能化成单体问题。即使三体问
题也未能一般解出。这类问题通常用摄动法解。
中
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技
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大
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维
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远古时代人们对大自然的变幻无常怀着神秘莫测的
恐惧。几千年的文明进步使人类逐渐认识到，大自然是
有些规律可循的。经典力学在天文学上的预言获得辉煌
的成就，无疑给予了人们巨大的信心，以致在 18世纪里
把 宇宙看作一架庞大时钟的机械宇宙观 占了统治地位。
伟大的法国数学家拉普拉斯（ Pierre Simon de Laplace,
1749~1827）的一段名言把这种彻底的决定论思想发挥到
了顶峰,
设想有位智者在每一瞬间得知激励大自然的所有的
力，以及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者
如此博大精深，他能对这样众多的数据进行分析，把宇
宙间最庞大物体和最轻微原子的运动凝聚到一个公式之
中，对他来说没有什么事情是不确定的，将来就像过去
一样展现在他的眼前。
中
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牛顿力学在天文上处理得最成功的，是两
体问题，譬如地球和太阳的问题。两个天体在万
有引力的作用下，围绕它们共同的质心作严格的
周期运动。正因为如此，我们地球上的人类才有
个安宁舒适的家园。但是太阳系中远不只两个成
员，第三者的介人会不会动摇这种稳定与和谐？
长期以来天文学上用牛顿力学来处理这类问题，
用所谓,摄动法”,即把其它天体的作用看作是
微小的扰动，以计算对两体轨道的修正。拉普拉
斯用这种方法“证明”了三体的运动也是稳定的。
当拿破仑问他这个证明中上帝起了什么作用时，
他的回答是,陛下，我不需要这样的假设” 。 拉
普拉斯否定了上帝，然而他的结论却是错的，因
为他所用的摄动法级数不收敛。
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第一个意识到三体问题全部复杂性的也是位法国数
学家，他叫庞加莱（ Henri Poincare,1854~1912）。庞加
莱是 19,20世纪之交最伟大的数学家，当今有关“混沌”
理论最深刻的思想，都已经在他的头脑里形成了。只不
过那时没有强有力的计算机，把他的思想清晰地表达出
来。
1887年瑞典国王奥斯卡二世（ Oscar II）以 2500克
朗为奖金征文，题目是天文学上的基本问题：,太阳
系稳定吗？”
庞加莱是最渊博的数学家，他熟悉当时数学的每个
领域，对奥斯卡国王的问题自然要试一下身手。庞加莱
并没有最终解决它，事后表明，此问题的复杂性是人们
没有预料到的。但由于他的工作对这个领域产生的深刻
影响，庞加莱还是获得了奖。
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在万有引力作用下三体的运动方程，可以
按照牛顿定律严格地给出，但由于它们是非线
性的，谁也不会把它们的解表达成解析形式
（事后证明这是不可能的，不仅三体问题的运
动方程不可能，而绝大多数非线性微分方程的
解都不可能写成解析形式）。
庞加莱另辟溪径，发明了相图和拓扑学的
方法，在不求出解的情况下，通过直接考查微
分方程本身的结构去研究它的解的性质。庞加
莱开拓了整整一个数学的新领域 ——微分方程
的定性理论,至今有着极其深远的影响。
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十足的三体问题太复杂了，庞加莱采用了
美国数学家希尔（ Hill）提出的简化模型：假
定有两个天体，它们在万有引力作用下，围绕
共同的质心，沿着椭圆形的轨道，作严格的周
期性运动（这种运动叫做“开普勒运动”）；
另有一颗宇宙尘埃，在这两个天体的引力场中
游荡。两天体可完全不必理会这颗微粒产生的
引力对它们轨道的影响，更不会动摇它们之间
运动的和谐，因为微粒的质量相对它们自己来
说实在太小了。可是微粒的运动会是怎样的呢？
这简化模型现在称之为,限制性三体问题” 。
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庞加莱用自己发明的独特方法探寻着，这
微粒有没有周期性轨道。他在相空间的截面上
发现，微粒的运动竟是没完没了的自我缠结，
密密麻麻地交织成错综复杂的蜘蛛网。要知道，
当时并没有计算机把这一切显示在屏幕上，上
述复杂图象是庞加莱靠逻辑思维在自己的头脑
里形成的。他在论文中写道：“为这图形的复
杂性所震惊，我都不想把它画出来。”这样复
杂的运动是高度不稳定的，任何微小的扰动都
会使微粒的轨道在一段时间以后有显著的偏离。
因此，这样的运动在一段时间以后是不可预测
的，因为在初始条件或计算过程中任何微小的
误差，都会导致计算结果严重的失实。
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庞加菜的发现告诉我们，简单的物理模型（如限制
性三体问题）会产生非常复杂的运动，决定论的方程
（拉普拉斯意义下的）可导致无法预测的结果。
虽然庞加莱的发现已有 100多年了，而且在此期间
许多优秀的数学家继庞加莱之后作出了卓越的贡献，直
到 1975年学术界才创造了“混沌（ chaos）”这个古怪的
词儿，来刻画这类复杂的运动。
20世纪七八十年代在学术界掀起了混饨理论的热潮，
从数学、力学波及到物理学各个领域，乃至天文学、化
学、生物学等自然科学。在新闻媒体的报导下，又将
“混沌”一词传播到社会上，难免被渲染上几分神秘的
色彩。
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4.5.1 柯尼希定理
4.5.2 一般质心系中的功能原
理和机械能守恒定律
§ 4.5 质心系 中
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§ 4.5 质心系
4.5.1 柯尼希定理
取质心为坐标原点建立的参考系称为 质心
参考系 或 质心系 。在讨论孤立质点系的运动时，
采用质心系是方便的。在质心系里，体系的动
量恒为零，且孤立体系的质心系是惯性系，功
能定理和机械能守恒定律都能适用。即使讨论
非孤立体系的运动，采用质心系也是方便的，
可以证明,当质心系为非惯性参考系时，功能
定理和机械能守恒定律也仍然正确。
中
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4.5.1 柯尼希定理
设两参考系 K,KC 分别为惯性系和质心系。在惯性
系 K 中,n 个质点 mi ( i = 1,2,…,n ) 的位矢、速度、加
速度分别为 ri,vi,ai ( i = 1,2,…,n ),质心的位矢、速
度、加速度分别为 rC,vC,aC ；在质心系中个质点的位
矢、速度、加速度分别为 rCi,vCi,aCi ( i = 1,2,…,n ) 。
则有,
CiCi rrr ?? CiCi vvv ?? CiCi aaa ??
用 Ek,EkC 分别表示质点系在惯性系 K 和质心系 KC
中的动能，有,
??
i
iik vmE
2
2
1 ??
i
CiikC vmE
2
2
1
中
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术
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杨
维
纮
4.5.1 柯尼希定理
?? ?????
i
iCCiCCi
i
iik mmE )()(2
1
2
1
2 vvvvv
? ?????
i
iCiCiCCCim )2(2
1
2 vvvvv
?? ??????????
i
Cii
i
iCiCCC mmm
2
2
2
1
2
1 vvvv
???
i
CiiCC mm
22
2
1
2
1 vv kCCC Evm ?? 2
2
1
即体系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之
和。此结论称为 柯尼希定理 。
我们知道质点系的动量等于质心的动量，但质点系
的动能，一般并不等于质心的动能。
由以上证明过程可见，不论质心系是惯性系还是非
惯性系，此定理都成立。
中
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4.5.2 一般质心系中的功能原理
和机械能守恒定律
我们知道，如果我们选取了非惯性参考系统，就
应计入惯性力，在动能定理中必须计及惯性力所作的
功。本节将证明，只要我们选择质心系，即使它不是
惯性系，也不需要考虑惯性力所作的功。
如质心的“绝对”加速度 aC = 0，则质心系也是
惯性系。如 aC ≠ 0,则质心系为非惯性系，它是具有
加速度 aC 的平动参考系。如选取质心系，则所有质
点都要受到惯性力。现在我们来计算这样的惯性力系
所作的功。
中
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维
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4.5.2 一般质心系中的功能原理
和机械能守恒定律
作用于质点 mi 的惯性力为 ﹣ miaC,这个力对该质点
所作的功为
? ??tt CiCi dm 0 ra
惯性力所作的总功为,
?? ??? tt CiCii dmA 0 ra惯 ? ???? tt Cii iC dm 0 ra
? ? ????????? tt Ci
i
iC md
0 ra
0)(
0
???? ? CCCCtt md ra
其中为在质心系中所求的质心的位矢，它当然等于零。
于是结论为,
只要我们选择质心系，即使它不是惯性系，也不需要考
虑惯性力所作的功。
中
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在某些问题中，选用质心坐标系比选用惯性参考系
还要好。
例 4-3：在地面上将质量为 m = 1千克的物体以 v/ = 4米 /秒的速
率掷出，物体的速率从 0 变为 4米 /秒，动能的增长 =(1/2)·1·42
焦耳 = 8焦耳。由动能定理，须对它作功 8 焦耳。现在又在速
率为 v0 = 2米 /秒的轮船上将同一物体以同一速率 v/ 向前掷出。
如选用“静止”参考系，物体的速率从 2 米 /秒变为 6 米 /秒，
动能的增长 = (1/2)·1·62 ﹣ (1/2)·1·22焦耳 = 16焦耳。据动能定理，
须对它作功 16 焦耳。现在又在那只轮船上将同一物体以同一
速率向后掷出，即 v/ =﹣ 4米／秒，选用“静止”参考系，物
体的速率 v = v/ + v0 从 +2米 /秒变为 ﹣ 2米 /秒，动能的增长 = 0。
据动能定理，不需对它作功，由此可以得出结论,在轮船上
抛掷物体所需的功与在岸上抛掷物体所需的功完全不同，向
前掷与向后掷又是大不相同。 在轮船进行任何球类比赛都几
乎是不可能的，因为两方都是在完全不同的条件下向对方掷
球的。经验表明，以上结论与事实完全不符合。
中
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维
纮
问题在于：由于作用与反作用定律，物体被抛掷出
去，轮船相对于“静止”参考系统的速率也随之而变。
轮船的速率将从 v0 变为 v0 + u,u 的确切数值可利用
“轮船 —抛掷体”系统的动量守恒原理算出，这里不去
算它了。 既然轮船的质量 M >>抛掷体的质量 m，不算也知道
u 是一个很小的量。另一方面，也正因为轮船的质量很
大，尽管速率的改变 u 很小，而动能的改变
uMvMuuMvMvuvM 0202020 2121)(21 ?????
却是颇为可观的，相对于“静止”参考系，物体动能的
增长诚然是 16 焦耳（向前掷的情况）或 0 焦耳（向后掷
的情况），然而这并不等于所需作的功，所需作的功应
等于“轮船 —抛掷体”系统的动能的增长；必须计及轮
船的动能的改变才可以得出正确的结果。
为了计算抛掷物体所需的功，竟需要计及轮船的运
动情况的改变，这无疑是很不方便的。
中
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大
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维
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选取“轮船 —抛掷体”系统的质心系则比较方便。
因为轮船质量远远超过物体的质量，“轮船 —抛掷体”
系统的质心实际上也就是轮船的质心，轮船相对于它
自己的质心，当然是始终静止的。在质心坐标系中，
轮船的动量始终是零，无需特别计及轮船动能，在质
心系中，物体的速率也就是它相对于轮船的速率，不
论向前掷或向后掷，物体的速率都是从 0 变为 4米 /秒，
动能的增长都是 8 焦耳。据动能定理，应对它作功 8
焦耳，与在岸上抛掷物体的情况相同。
这里可以看到质心坐标系的优越处：无需计算轮
船运动的改变就能得出正确的结果。
中
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术
大
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维
纮
例 4-4,计算第三宇宙速度。 从地面出发的火箭如具有第
三宇宙速度，那就不仅能够脱离地球，而且可以逸出太
阳系。
解：首先，按 (4.3-7)式，规定无穷远点的引力势能为零，
由于火箭的机械能守恒，火箭要逸出太阳系，其机械能
E 至少应等于零。这里的 E 指的是火箭的动能以及太
阳 —火箭的势能。在地球这样的距离上，这个判据成为
021
1
2 ??
R
MmGmv
这里 R1 为地球与太阳的距离。由上式解得,
秒千米 / 2.42/2 1 ?? RGMv
这就是说，在地球这样的距离上，一个物体必须具
有 42.2 千米 /秒的速率才可以逸出太阳系而飞往其他恒星。
但这里还没有计及地球的引力，上面的 42.2千米 /秒应当
是已脱离了地球引力范围时的速率。那么火箭从地面出
发时相对于地球的速率 v/ 应当多大呢？
中
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先选用“静止”（相对于太阳为静止）参考系，火
箭已脱离了地球引力范围时的动能应为 (1/2)mv2，这时火
箭 —地球势能为 0。为了用最小的速度达到目的，应当
沿地球公转方向发射火箭，以最大限度地利用地球的公
转动能。考虑到地球公转速率为 29.8千米 /秒，火箭以相
对速率从地面出发时的动能为 (1/2)m(v/+29.8)2 。因为万
有引力是保守力，我们可以运用机械能守恒原理,
2
2
2 )2.42(
2
1)8.29(
2
1 mm g Rvm
R
????
???
其中 R 为地球半径。由此求得,
秒千米 / 7.128.292.112.42 22 ?????v
但这结果是完全错误的。
中
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类似于前一个例子，在火箭逸出地球引力范围的过
程中，地球相对于“静止”参考系的速率也随之而变。
由于地球质量很大，这个速率变化很小。另一方面，正
因为地球质量很大，尽管速率变化很小，动能的改变却
颇为可观。必须考虑地球动能的改变才可以得出正确的
结果。 为了计算火箭的速率，竟需要考虑地球运动情况
的改变，这是太不方便了。
选取“地球 —火箭”系统的质心坐标系则比较方便，
因为地球的质量远远超过火箭的质量，“地球 —火箭”
系统的质心实际上也就是地球的质心。地球相对于它自
己的质心，当然是始终静止的。在质心坐标系中，地球
的动能始终为 0，无需特别计及地球的动能。
中
国
科
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技
术
大
学
杨
维
纮
在质心系中，火箭已脱离了地球引力范围的动能应
为 (1/2)m(42.2﹣ 29.8)2,其时“地球 —火箭”势能为零。
火箭以相对速率 v/ 从地面出发时的动能为 (1/2)mv / 2 。因
为万有引力是保守力，我们可以运用机械能守恒原理,
2
2
2 )8.292.42(
2
1
2
1 ????
?
mm g Rvm
R??
由此求得第三宇宙速度,
秒千米 / 7.162.11)8.292.42( 22 ?????v
这样，无需计算地球运动情况的改变，就能求得正
确的第三宇宙速度。
中
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科
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技
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大
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4.6.1 正碰
4.6.2 斜碰
4.6.3 质心坐标系
§ 4.6 碰 撞 中
国
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技
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§ 4.6 碰 撞
碰撞是相当广泛的一
类物体间的相互作用。碰
撞的特征是，极短的时间
和强烈的相互作用。“极
短的时间” 是指碰撞过
程所经历的时间远小于物
体产生明显运动所需要的
时间。
即使是需时最长的碰撞，如两个星系之间的碰撞
（图 4.12），可能需要历经数百万年，但和星系的演
化时间（数亿年）相比，仍然算是“一瞬间”。
中
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科
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技
术
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维
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§ 4.6 碰 撞
,强烈的相互作用” 是指在碰撞过程中，相互冲击力
很大，其它作用力（如摩擦力、重力等）皆可忽略。在
碰撞问题中，一般都可以认为碰撞物体在碰前和碰后相
距甚远，没有相互作用，分别作惯性运动。只有在相互
接近的很短时间内才发生相互作用。
碰撞所研究的是碰前的
自由状态与碰后的自由状态
间的联系。显然，碰撞的中
间过程是很难讨论的，一方
面因为碰时物体之间的作用
很强，力的具体情况难以确
定，另一方面因为碰撞的细
节难以测量和记录。微观粒
子的碰撞更是如此。
中
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科
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技
术
大
学
杨
维
纮
§ 4.6 碰 撞
根据碰前和碰后物体的性质，可以把碰撞分成弹性
碰撞和非弹性碰撞。
弹性碰撞 是指碰前碰后物体保持不变，既没有形状
大小的变化，也没有内部状态的变化。
如果碰后物体有剩余形变或状态变化，并且两体并
合以同一速度运动，则称为 完全非弹性碰撞 。
日常遇到的碰撞大多介于以上两者之间的非弹性碰
撞，即两物体碰后形状有变，但以不同速度分离运动。
从能量观点看，机械能守恒的碰撞是弹性碰撞，机
械能不守恒的碰撞是非弹性碰撞。不管是何种碰撞，动
量守恒均成立。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
4.6.1 正碰
如果碰前两小球速
度 u1,u2沿两球中心的连
线，这种碰撞被称为 正
碰（对心碰撞） 。
在正碰情况下，碰
后两小球的运动速度方
向仍沿连线方向。
因此，在正碰撞时，小球的速度只需用代数值表示
其大小和方向。如图 4.14，若要两球碰撞，必须 u1 > u2 。
由于两小球碰撞过程动量守恒，有方程
22112211 vmvmumum ???
为了求解 v1,v2,尚缺一个方程，必须对碰撞进行
细致分析。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
4.6.1 正碰
在碰撞的短暂时间
⊿ t 内，两小球首先相互
接触，接着相互挤压，
两球分别产生形变和试
图恢复形变的力。
在 u1 > u2 的情况下,m1 速度渐小,m2 速度渐大，
直至变为同一速度，达到最大压缩状态。这个阶段称为
压缩阶段 。
随后，由于两小球形变逐渐恢复,m1 速度继续减小,
m2 速度继续增大，两小球速度分别达到 v1 和 v2 后开始
分离。这是 恢复阶段 。
细致分析,
中
国
科
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技
术
大
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维
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4.6.1 正碰
1,压缩阶段,两球速度
不等 → 两球速度相
等，弹性力作用，球
体变形。设弹性力对
m2 的冲量为 I，有,
222
111
??
?
??
???
Iumvm
Iumvm
消去 v，得,
???
?
???
? ????
21
21
11 )(
mmIuu
)( 21 uuI ?? ?或,
其中,称为 约化质量（折合质量） 。
21
21
mm
mm
???
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
4.6.1 正碰
2,恢复阶段,两球速度
相等 → 两球分开，
变形逐逐渐恢复。设
弹性力对 m2 的冲量
为 J，有,
222
111
?
?
?
??
???
Jvmvm
Jvmvm
消去 v，得,
???
?
???
? ???
21
21
11
mmJvv
)( 12 vvJ ?? ?或,
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
4.6.1 正碰
牛顿指出：只要两球的材料给定，不论运动速度怎
样，有,
eIJ ?:
我们称 e 为 恢复系数 。由 (4.6.3),(4.6.5),(4.6.6)可得,
)( 2112 uuevv ???
该式可用实验检验，并可用于测定恢复系数 e。对不同材
料的实验结果为,0 < e < 1。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
4.6.1 正碰
22112211 vmvmumum ???
)( 2112 uuevv ???
由方程组,
可求得解为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
4.6.1 正碰
下面计算一下碰撞过程中的动能损失。由于碰撞过程
中动量守恒，质心动能不变，利用柯尼希定理 (4.5.6)，只
需计算在质心系中相对运动动能的改变。
碰撞前,
碰撞后,
动能损失,
2
21
2 )(
2
1
2
1 uuvE
kC ??? ??
2
21
22
12 )( 2
1)(
2
1 uuevvE
kC ????? ??
2
21
2 ))(1(
2
1 uueEEE
kCkCk ??????? ?
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
结果讨论,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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?
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
1,e = 1，称为 完全弹性
碰撞,此时动量守恒、
能量守恒皆满足。
几种特殊情况为,
(1) m1 = m2 时，有,v1 > u2, v2 > u1,两球正好交换速度。
(2) u2 = 0，即受碰球开始时静止（高速粒子对靶粒子的碰
撞实验中出现的情况）。有,
(a) m1 > m2 时，有,v1 > 0, 入射球碰后仍向前运动；
(b) m1 < m2 时，有,v1 < 0, 入射球碰后反向运动；
(c) m1 << m2 时，有,v1 =﹣ u1,v2≈0,碰撞后，大球
仍保持静止，小球以相等的速率弹回；
(d) m1 >> m2 时，有,v1≈u1,v2≈2 u1，大球几乎以
原来的速度继续前进，小球以两倍于大球的速度
前进。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
结果讨论,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
1,e = 1，称为 完全弹性
碰撞,此时动量守恒、
能量守恒皆满足。
几种特殊情况为,
(e) m2 所得到的动能 ⊿ Ek2与碰前 m1 的动能 Ek1 之比为,
2
21
21
2
21
21
2
11
2
22
1
2
)/1(
/4
)(
4
2
1
2
1
mm
mm
mm
mm
um
vm
E
E
k
k
?
?
?
??
?
当 m1/ m2 = 1 时，该式取到最大值。这说明，在 u2 = 0,
m2 越接近 m1 时,m1 丢失的动能越多。此结论，提供
了核反应堆中快中子减速剂选择的原则之一。通常选
择重水（含氘）和石墨作为中子减速剂。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
结果讨论,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
2,e = 0，称为 完全非弹
性碰撞,两球碰撞后粘
在一起。此时 E/kC=0,
动能损失最多，为,
2
21 )( 2
1 uuEEE
kCkCk ??????? ?
速度,
Cvmm
umumvv ?
?
???
21
2211
21
在实验室参考系内质心的动能是不参与粒子之间反应的，真正有用
的能量，即 资用能,只是高能粒子与靶粒子之间的相对动能。若
m1= m2,按照上面的公式计算,μ= m1/2,vC = u1/2,EC = EkC,
即资用能只占总能量的一半。这是按牛顿力学计算出来的，并不符
合高能粒子的实际。要按相对论力学来计算，资用能的比例远较这
个数目小。加速器的能量越高，能量的利用率越低，这是很不合算
的。所以现代的大加速器多采用对撞机的形式，让相同的高能粒子
沿相反方向运动，进行碰撞。这样一来，实验室系和质心系便统一
起来，，全部能量都是资用能。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
结果讨论,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
)1(
)1(
u
mm
mem
u
mm
me
v
u
mm
me
u
mm
emm
v
3,0 < e < 1，实际情况。
机械能守恒不满足，一
部分能量变为声能、振
动能及形变能。
若 m1 << m2,u2 = 0 时，有,v1 =﹣ eu1,v2 = 0
即弹回的小球 m1 的速度为碰前速度的 e 倍。这样，我
们获得一个测定物体与地面相碰的恢复系数的简便方
法。让物体从高度 H 自由落下，它落到地面的速度为
,即以此速度与地面相碰撞。碰撞后的反
跳速度难以直接测量，但可以观测其上升的最大高度
h。于是恢复系数为,
gHu 21 ?
H
h
u
ve ??
||
||
1
1
中
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技
术
大
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杨
维
纮
4.6.2 斜碰
碰撞前两球的速度 u1,u2 不在两球中心连线上的碰撞
叫 斜碰 。在一般情况下，斜碰为三维问题，碰撞后的速
度 v1,v2 不一定在 u1,u2 所组成的平面上。若碰撞前一个
小球处在静止状态，即 u2 =0，则这种碰撞是二维问题。
我们只讨论这种情况。
在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有,
221111 vvu mmm ??
2
22
2
11
2
11 2
1
2
1
2
1 vmvmum ??
中
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杨
维
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4.6.2 斜碰
取 u1 方向为 x 轴，碰撞所在
面为 x﹣ y 平面，上面的方程
化为（ 称为散射角）,
22211111 c o sc o s ?? vmvmum ??
2
22
2
11
2
11 2
1
2
1
2
1 vmvmum ??
222111 s i ns i n0 ?? vmvm ??
21,??
通常，应用实验方法测出四个未知数中的一个，才能
求出其余三个。
如果碰撞是非弹性的，那么只有前两个方程，未知量
有四个，所以必须用实验方法测出四个未知数中的两个，
才能求出其余两个。
中
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术
大
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杨
维
纮
4.6.3 质心坐标系
上面讨论的碰撞所取的参考系是实验室系。但是，
对碰撞问题的分析常采用质心系，因为在质心系中，体
系的动量永远为零。质心系中描写碰撞，表达形式简单，
物理意义清晰。
设在实验室系中，碰撞前、后两质点的速度分别为
u1,u2 和 v1,v2,则质心速度为,
21
2211
mm
mm
C ?
?? uuv
在质心系中,碰撞前、后两质点的速度分别为 uC1,
uC2 和 vC1,vC2,则,
??
?
????
????
CCCC
CCCC
vvvvvv
vuuvuu
2211
2211
,
,
中
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纮
1,正碰
对应于方程 (4.6.1),(4.6.7)有,
022112211 ???? CCCC vmvmumum
)( 2112 CCCC uuevv ???
由这两方程可得,
11 CC euv ?? 2 2 CC euv ??
这个结论表示，在质心系中每个质点碰后的速度为
其碰前速度的 – e 倍。
在质心系中，碰撞损失的动能为
)(21)(21 2 222 112 222 11 CCCCk vmvmumumE ?????
)(21)1( 2 222 112 CC umume ????
中
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2,斜 碰
我们仅讨论完全弹性碰撞，则由动量守恒和能量守恒
可得,
022112211 ???? CCCC mmmm vvuu
2
12
2
11
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
1
CCCC vmvmumum ???
由前一个方程知，碰前 uC1,uC2 在一条直线上，而碰
后 vC1,vC2 也在一条直线上，故可将该方程写成标量形式,
022112211 ???? CCCC vmvmumum
解得,
11 CC uv ? 22 CC uv ?
即在质心系中，两球碰撞后，它们的速度都只改变方向，
而不改变大小。可以用其入射方向和出射方向的夹角来表
示它们运动方向改变的程度，其值可在 0 到 π之间，与碰
撞参量有关。
中
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4.7.1 什么是对称性
4.7.2 因果关系和对称性原理
4.7.3 守恒率与对称性
§ 4.7 对称性、因果关系与守恒律 中
国
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技
术
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§ 4.7 对称性、因果关系与守恒律
4.7.1 什么是对称性
在现代物理学中对称性是个很深刻的问题。在粒子
物理、固体物理、原子物理等许多领域里，对称性的概
念都很重要。描述对称性的数学语言是群论。这里不打
算涉及群论，只想介绍一下对称性原理，用以探讨与本
课水平相当的问题。
对称性的概念最初来源于生活。在艺术、建筑等领
域中，所谓“对称”，通常是指左右对称。人体本身就
有近似的左和右的对称性。各类建筑，特别是很多民族
的古代建筑，都有较高的左右对称性。我国古代的官殿、
庙宇和陵墓建筑尤为突出，而园林建筑的布局则错落有
致，于不对称中见对称。
中
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4.7.1 什么是对称性
我们把系统从一个状态变到另一个状态的过程叫做
“变换”，或者说，我们给它一个“操作”。如果一个操
作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，
状态在此操作下不变，我们就说这系统对于这一操作是
“对称的”，而这个操作叫做这系统的一个“对称操作”。
例如考虑一个圆对于围绕中心旋转任意角度的操作
来说都是对称的；或者说，旋转任意角度的操作都是这
圆的对称操作。如果我们在圆内加一对相互垂直的直径，
这个系统的对称操作就少多了。转角必须是 90度的整数
倍，操作才是对称的。
以上关于“对称性”的普遍定义，是德国大数学家
魏尔（ H,Weyl）首先提出来的。
中
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4.7.1 什么是对称性
最常见的对称操作是时空操作。空间操作有平移、
转动、镜象反射、空间反演、标度变换（尺度放大或缩
小），等等；时间操作有时间平移、时间反演，等等。
第二章 2.4.3节介绍的伽利略变换，则是时空联合变换。
除时空操作外，物理学中还涉及到许多其它的对称操作，
如置换、规范变换、正反粒子共轭变换和某些动力学变
换等，一般说来它们比时空变换抽象得多。
在物理学中讨论对称性问题时，要注意区分两类不
同性质的对称性，一类是某个系统或某件具体事物的对
称性，另一类是物理规律的对称性。由两质点组成的系
统具有轴对称性，属于前者；牛顿定律具有伽利略变换
不变性，则属于后者。
中
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4.7.2 因果关系和对称性原理
自然规律反映了事物之间的因果关系。所谓“因果
关系”，就是在一定条件下会出现一定的现象。在这种
情况下我们把前者（条件）称为“原因”，后者（现象）
称为“结果”。要构成一条稳定的因果关系，最重要的
需要有两条：可重复性和预见性。其实这就是科学本身
存在的必要前提。以上两条性质要求“相同的原因必定
产生相同的结果”。但宏观世界的事物没有绝对相同的，
我们可以把语气放宽一些，用“等价”一词代替“相
同”，把因果关系归结为,
等价的原因 → 等价的结果。
这里的箭头表示“必定产生”。这就是因果性的等价原理。
中
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4.7.2 因果关系和对称性原理
一个操作产生“相同”或“等价”的效果，就是不
变性，不变性也就是对称性。所以用对称性的语言来说，
上述等价原理可改写成下列公式,
对称的原因 → 对称的结果。
应注意，因果关系的等价原理中箭头是单向的，即
只有“等价的原因必定产生等价的结果”，但等价的结
果可能来源于不等价的原因。从而上列用对称性来表达
的因果关系中箭头也是单向的，即对称的结果也可能来
源于不对称的原因。所以我们说,
原因中的对称性必反映在结果中,
即结果中的对称性至少有原因中的对称性那么多。
中
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4.7.2 因果关系和对称性原理
反过来应该说,
结果中的不对称性必在原因中有反映,
即原因中的不对称性至少有结果中的不对称性那么多。
以上原理叫做 对称性原理,它是皮埃尔 ·居里
（ Pierre Curie,1859~1906）于 1894年首先提出的
中
国
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维
纮
4.7.2 因果关系和对称性原理
当我们抛射一个物体时，若没有其它原因，抛体的轨迹
不会偏离其初速度与重力决定的竖直平面。如果我们发现抛
体的轨迹朝某一侧偏斜（结果中中现了不对称性），我们相
信，一定存在对此平面不对称的原因，譬如有横向的风。这
是上述对称性原理反过来的应用。在足球场上我们常会看到，
球员踢出的球会拐弯（特别是在罚角球时），这种球俗称
“香蕉球”。赛场上没有风，球偏斜的方向可以由踢球的人
控制。这是什么原因呢？即使我们不懂流体力学，但懂得对
称性原理，我们就敢肯定，在球离开球员的脚之前就已存在
不对称性了。仔细找找原因，我们会发现，香蕉球踢出时是
旋转的，它旋转的方向决定了球向哪边偏斜。旋转 ——这就
是对初始的竖直平面左右不对称的因素，轨迹的偏斜正是这
个不对称因素的反映。至于空气和旋转的球之间的相互作用
究竟怎样使之偏斜的，那就要靠流体力学的具体知识了。
中
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纮
4.7.3 守恒率与对称性
首先看能量守恒定律。从宏观的角度看，物体系有保守
系和非保守系之分，前者机械能守恒，后者则不然。从微观
的角度看无所谓耗散力，在一切系统中，粒子与粒子之间的
相互作用可通过相互作用势（分子力势能）来表达。时间均
匀性，或者说，时间平移不变性意味着，这种相互作用势只
与两粒子的相对位置有关，亦即，对于同样的相对位置，粒
子间的相互作用势不应随时间而变。在这种情况下系统的总
能量（动能 + 势能）自然是守恒的。我们可以举一个例子来
说明，在相反的情况下能量可以不守恒。广东省从化县建设
了一个抽水蓄能电站，夜间用电低谷时抽水上山，白天用电
高峰时放水发电。利用昼夜能源的价值不同，可以获得很好
的经济效益。倘若昼夜变化的不仅是能源的价值，而且是重
力加速度（它代表着万有引力的强度），从而水库中同样水
位所蓄的重力势能作周期性的变化，则抽水蓄能电站获得的
不仅是经济效益，而且是能量的赢余。于是，永动机的梦想
实现了。时间的平移不变性不允许出现这种情况。
中
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4.7.3 守恒率与对称性
其次看动量守恒定律。
如图 4.18所示，考虑一对粒
子 A 和 B，它们的相互作用
势能为 V。现将 A 沿任意方
向移动到 A/（见图 4.18(a)，
这位移造成势能的改变（抵
抗对的力所作的功）,
sf ????? ? ABV
若 A 不动，将 B 沿反方向移动相等的距离到 B/ (图
4.18(b))，则势能的改变为 (抵抗 A给 B的力所作的功 ),
sfsf ?????????? ?? BABAV )(
中
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4.7.3 守恒率与对称性
上述两种情况终态的区
别仅在于由两粒子组成的系
统整体在空间有个平移，它
们的相对位置是一样的,
BABA ???
空间均匀性，或者说，空间平移不变性意味着，两
粒子之间的相互作用势能只与它们的相对位置有关，与
它们整体在空间的平移无关。从而两种情况终态的势能
应相等,
sfsf ??????????? ABBA VV
因为 ⊿ s 是任意的，故有,
BAAB ?? ?? ff 要知道，“作用力和反作用力大小相等，方向相反”
和“动量守恒”两种说法是等价的。于是，我们从空间
的平移不变性推出了动量守恒定律。
中
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维
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4.7.3 守恒率与对称性
物理学各个领域里有那么多定理、定律和法则，但它
们的地位并不是平等的，而是有层次的。例如，力学中的
胡克定律，热学中的物态方程，电学中的欧姆定律，都是
经验性的，仅适用于一定的物料，一定的参量范围。这些
是较低层次的规律。
统帅整个经典力学的是牛顿定律，统帅整个电磁学
的是麦克斯韦方程，他们都是物理学中整整一个领域中的
基本规律，层次要高得多。
是否还有凌驾于这些基本规律之上更高层次的法则？
是的，对称性原理就是这样的法则，由时空对称性导出的
能量、动量等守恒定律，也是跨越物理学各个领域的普遍
法则。这就是为什么在不涉及一些具体定律之前，我们往
往有可能根据对称性原理和守恒定律作出一些定性的判断，
得到一些有用的信息。
中
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杨
维
纮
