杨维纮
第 9 章 流体力学
流体力学研究流体（气体与液体）的宏观运动与平
衡，它以流体宏观模型作为基本假说。
显然，流体的运动取决于每个粒子的运动，但若求
解每个粒子的运动即不可能也无必要。对于宏观问题，
必须在微观与宏观之间建立一座桥梁。
流体宏观模型认为流体是由无数 流体元 （或称流体
微团）连续地组成的（即 连续介质 ）。所谓流体元指的
是这样的小块流体：它的大小与放置在流体中的实物比
较是微不足道的，但比分子的平均自由程却要大得多，
它包含足够多的分子，能施行统计平均求出宏观参量，
少数分子出入于流体元不会影响稳定的平均值。
中
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第 9 章 流体力学
另一方面，对于进行统计平均的时间也应选得
足够大，使得在这段时间内，微观的性质，例如分
子间的碰撞等已进行了许多次，在这段时间内进行
统计平均能够得到稳定的数值。于是，从统计物理
中得知，分子的物理量（质量、速度、动量和能量）
经过统计平均后变成了流体元的质量，速度，压力
和温度等宏观物理量，分子质量、动量和能量等输
运过程，经过统计平均后表现为扩散，粘性，热传
导等宏观性质。
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第 9 章 流体力学
上述微观上充分大、宏观上充分小的流体元称
为 流体质点,将流体运动的空间看作是由流体质点
连续地无空隙地充满着的假设称为 连续介质假设 。
应该指出，有了此假设才能把一个微观问题化成宏
观问题，且数学上容易处理。实验和经验也表明在
一般情况下这个假设总是成立的。
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第 9 章 流体力学
但是。在某些特殊问题中，连续介质的假设也
可以不成立。例如在稀薄气体力学中，分子间的距
离很大，它能和物体的特征尺度比拟，这样虽然获
得稳定平均值的流体元还是存在的，但是不能将它
看成一个质点。又如考虑激波内的气体运动，激波
的尺寸与分子平均自由程同阶，激波内的流体只能
看成分子而不能当作连续介质来处理了。
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第 9 章 流体力学
§ 9.1 流体的基本性质
§ 9.2 描写流体运动的两种方法
§ 9.3 应力张量
§ 9.4 流体力学基本方程
中
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§ 9.1 流体的基本性质
9.1.1 易流动性
9.1.2 粘性
9.1.3 压缩性
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9.1.1 易流动性
流体在静止时不能承受切向应力，不管多小的
切向应力，都会引起其中各流体元彼此间的相对位
移，而且取消力的作用后，流体元之间并不恢复其
原有位置。正是流体的这一基本特性使它能同刚体
和弹性体区别开来。刚体和弹性体也是连续介质，
但是刚体中质点之间的相互距离不论其上作用的外
力如何将保持不变；而在弹性体中，当作用力在数
值上达到某一界限时，系统中各点间的相互距离可
以改变，但消除了力的作用之后，各点相互关系又
恢复原有状态。相反地，流体能够有任意大的变形。
因此 流体在静止时只有法应力而没有切应力。流体
的这个宏观性质称为易流动性。
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9.1.2 粘性
流体在静止时虽不能承受切应力，但在运动时，对
相邻两层流体间的相对运动即相对滑动速度是有抵抗的，
这种抵抗力称为粘性应力，流体所具有的这种抵抗两层
流体相对滑动的性质称为粘性，粘性大小依赖于流体的
性质，并显著地随温度而变化。实验表明，粘性应力的
大小与粘性及相对速度成正比。
当流体的粘性较小，运动的相对速度也不大时，所
产生的粘性应力比起其它类型的力（如惯性力）可忽略
不计。此时，我们可以近似地把流体看成是无粘性的，
这样的流体称为 理想流体 。十分明显，理想流体对于切
向变形没有任何抗拒能力。这样对于粘性而言，我们可
以将流体分成理想流体和粘性流体两大类。应该强调指
出,真正的理想流体在客观实际中是不存在的。 它只是
客观流体在某种条件下的一种近似模型。
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9.1.2 粘性
除了粘性外，流体还有 热传导 及 扩散 等性
质。
流体的宏观性质，扩散，粘性，热传导等
是分子输运性质的统计平均。由于分子的不规
则运动，在各层流体间将交换着质量，动量和
能量，使不同流体层内的平均物理量均匀化，
这种性质称为 分子运动的输运性质 。质量输运
在宏观上表现为扩散现象，动量输运表现为粘
性现象，能量输运则表现为热传导现象。
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9.1.3 压缩性
流体质点的体积或密度在受到一定压力
或温度差的条件下可以改变，这个性质称为
压缩性。真实流体都是可以压缩的。它的压
缩程度依赖子流体的性质及外界的条件。液
体在通常的压力或温度下，压缩性很小。因
此在一般情形下液体可以近似地看成是不可
压缩的。
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§ 9.2 描写流体运动的两种方法
9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
9.2.2 欧拉方法（当地法）
9.2.3 两种方法的相互转换
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
在拉格朗日方法中，注意的中心即着眼点是流体
质点，确定所有流体质点的运动规律，即它们的位置
随时间变化的规律。十分明显，如果知道了所有流体
质点的运动规律，那么整个流体运动的状况也就清楚
了。
现在我们将描写运动的观点和方法用数学式子表达
出来，为此首先必须用某种数学方法区别不同的流体
质点。通常利用初始时刻流体质点的坐标作为区分不
同流体质点的标志。设初始时刻 t = t0 时，流体质点的
坐标是 a,b,c，它可以是曲线坐标，也可以是直角
坐标，重要的是给流体质点以标号而不在于采取什么
具体的方式。
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
我们约定采用 a,b,c 三个数的组合来区别流体质
点，不同的 a,b,c 代表不同的质点，于是流体质点的
运动规律可表为下列矢量形式,
),,;( cbatrr ?
其中 r 是流体质点的矢径。在直角坐标系中，有分量式,
?
?
?
?
?
?
?
?
),,;(
),,;(
),,;(
cbatzz
cbatyy
cbatxx
变数 t； a,b,c 称为拉格朗日变数。
中
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
在上式中，如果固定 a,b,c 而令 t 改
变，则得某一流体质点的运动规律，该流体
质点的运动轨迹称为 迹线 。如果固定时间 t
而令 a,b,c 改变，则上式表示某一时刻不
同流体质点的位置分布函数。应该指出，在
拉格朗日观点中，矢径函数 r 的定义区域不
是场，因为它不是空间坐标的函数，而是质
点标号的函数。
),,;( cbatrr ?
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
为了得到确定流体质点的速度,只要将 上 式对时间 t
微分而把起始坐标 a,b,c 当作常数就可以了，即
t
cbat
t ?
??
?
?? ),,;(rru
其分量式为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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t
cbatz
t
z
u
t
cbaty
t
y
u
t
cbatx
t
x
u
z
y
x
),,;(
),,;(
),,;(
),,;( cbatrr ?
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
同样可以得到确定流体质点的加速度,
2
2
2
2 ),,;(
t
cbat
t ?
??
?
?? rru?
其分量式为,
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
2
2
2
),,;(
),,;(
),,;(
t
cbatz
t
u
u
t
cbaty
t
u
u
t
cbatx
t
u
u
z
z
y
y
x
x
?
?
?
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
在以上各式中，如给 a,b,c 以不
同的值而令 t 不变，则得到在确定时刻 t
流体质点的位置、速度和加速度分布；
特别是，当 t = t0 而 a,b,c 可以改变，
则得各流体质点的起始位置、速度和加
速度分布。
t
cbat
t ?
??
?
?? ),,;(rru
2
2
2
2 ),,;(
t
cbat
t ?
??
?
?? rru?
),,;( cbatrr ?
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
欧拉方法不直接考虑个别流体质点如何运动，而
是用场的观点研究流体运动。它只集中注意力于那些
发生在空间给定点的流动情况；对于流体质点从什么
地方和如何在给定时刻达到这一点，经过这点以后又
会运行到别的什么地方和怎样运行到那些地方的，这
一切问题从欧拉方法观点看来并不是基本的。这样，
欧拉方法是把空间某一固定点 (x,y,z) 的流体质点的速
度当作时间的函数来研究的；显然，这个速度也是坐
标 (x,y,z) 的函数。因此,
)r ;( tuu ?
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
其分量为
变数 t； x,y,z 称为欧拉变数。如果在上式中把 t 当作可
变的，而把 x,y,z 当作常数，则对不同的 t 我们得到不同
时刻经过空间中确定点的不同流体质点的速度；而如把 t
当作常数,x,y,z 当作变数，则可得到对于确定时刻空间
中流体质点的速度分布。
?
?
?
?
?
?
?
?
),,;(
),,;(
),,;(
zyxtuu
zyxtuu
zyxtuu
zz
yy
xx
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
由于上式确定的速度函数是定义在空间点上的，
它们是空间点坐标 x,y,z 的函数，所以我们研究的是
场，如速度场等。因此当我们采用欧拉观点描述运动
时，就可以利用场论的知识。若场内函数不依赖矢径
r 则称之为 均匀场,反之称之为 非均匀场 ；若场内函
数不依赖时间则称为 定常场,反之称为 非定常场 。
)r ;( tuu ?
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu ?
描述场的几何
方法是引入所谓的
场线，就像静电场
中引入电力线，磁
场中引入磁力线一
样，在流速场中可
以引入流线。流线
是这样规定的,
流线为流体内的一条连续的有向曲线，流线上每一
点的切线方向代表流体内微粒经过该点时的速度方向。
图 (a) 给出了几种常见的流线。
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu ?
一般情况下空
间各点的流速随
时间 t 变化, 因此
流线也是随时间
变化的 。 由于流
线分布与一定的
瞬时相对应 (参见
图 (c) ),所以在一
般情况下, 流线
并不代表流体中
微粒运动的轨迹 。
只有在稳定流动中，流线不随时
间变化，此时流线才表示流体中微
粒实际经过的轨迹。只有此时流线
才与迹线重合。
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu ?
另外, 由于流
线的切线表示流
体内微粒运动的
方向, 所以流线
永远不会相交,
因为如果流线在
空间某处相交就
表示流体中的微
粒经过该点时同
时具有两个不同
的速度, 这当然
是不可能的 。
在流体内部取一微小的封闭曲
线, 通过曲线上各点的流线所围成
的细管就称为流管 。 如图 (b)所示 。
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu ?
由于流线不会
相交, 因此流管
内, 外的流体都
不具有穿过流管
的速度, 也就是
说流管内部的流
体不能流到流管
外面, 流管外的
流体也不能流入
流管内 。
流线的方程,
zyx u
dz
u
dy
u
dx ??
中
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
当过渡到推演流体质点的加速度时，我们要从两个
不同观点来考虑这个问题。如果我们的兴趣是在这样
的问题上：即当不同流体质点经过空间中给定点时，
该点的速度怎样随时间变化？那么为了回答这个问题，
只要把上式对时间微分并设 x,y,z 为常数就可以了。
这时得到的偏微分,
)r ;( tuu ?
t
u
t
u
t
u
t
zyx
?
?
?
?
?
?
?
? ; ; ;u
称为 局部微商 （或 当地微商 ）。
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
另一方面，可以提出关于计算在给定时刻经过空
间中 x,y,z 点的流体质点的加速度问题。在此情形，
坐标 x,y,z 就应视为可变的，因为在无限小的时间间
隔 dt 中，所考虑的流体质点正在从 x,y,z 点进入到新
位置。由于运动点本身的坐标 x,y,z 是时间 t 的函数，
因此上式对时间微分便得到流体质点加速度的下列表
示式,
)r ;( tuu ?
dt
dz
zdt
dy
ydt
dx
xtdt
d
?
??
?
??
?
??
?
?? uuuuu
但是
zyx udt
dzu
dt
dyu
dt
dx ???
故有
uuuuuuuu )( ?????????????????? tuzuyuxtdtd zyx
中
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
uuuuuuuu )( ?????????????????? tuzuyuxtdtd zyx
微商 du/dt 是沿着介质（物质）的流体质点的轨道计算
的，因此称为 个体微商 或 随体微商 。从解析方面看，
它就是 u =u(t; r) 对时间 t 的全微商。 (u·▽ )u 项是速度
对时间的 迁移微商 或 随流微商,它给出流体质点速度
由于该流体质点在空间位移而产生的变化。这样，在
给定时刻经过空间中指定点的流体质点的加速度，是
由在该点的速度矢量的改变（局部的改变）与流体质
点运行时的速度矢量的改变（迁移的改变）之和来决
定的。
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
上述将随体微商分解为局部微商和随流微商的方法可
以推广到与流体质点个别运动相联系的任何其它的时间
与坐标的函数 ——标量、矢量或张量。例如，在一定瞬间，
流体质点在空间的每一位置都对应着一个标量 p（如流
体质点的温度或密度），那么 p 的数值的集合构成某一
个标量场。当流体质点运动时，由于场的非定常性（ p
的局部改变）和流体质点随时间从一点到另一点的移动
（ p 的迂移改变）,p 在改变。量 p 对时间的全微商是,
ptpdtdp )( ?????? u
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
同样，对于与运动着的个别流体质点相联系的任
何矢量函数 a 或张量函数 T，我们得到,
auaa )( ?????? tdtd
TuTT )( ?????? tdtd
中
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9.2.3 两种方法的相互转换
虽然，拉格朗日方法和欧拉方法从不同
观点出发描绘了流体的运动，但是这两种方
法实质上是等价的，它们之间可以相互转换，
因此它们同样完全地描绘了一个流体的运动。
现在我们证明两种方法的等价性。
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9.2.3 两种方法的相互转换
(1) 拉格朗日法 ?欧拉法
设拉格朗日方法中的运动规律函数已知
)1( ),,;( cbatrr ?
则速度函数是
)2( ),,;( t cbatt ?????? rru
由 (1)式反解得
?
?
?
?
?
?
?
?
) ;(
) ;(
) ;(
r
r
r
tcc
tbb
taa
代入 (2)式即得欧拉方法中的速度函数,
)r ;( tuu ?
中
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9.2.3 两种方法的相互转换
(2) 欧拉法 ?拉格朗日法
设拉格朗日方法中的速度函数已知
) ;( ruu t?
将其写成,
) ;( rur tdtd ?
这是一个由三个方程组成的确定 r 的常微分方程组，解
之得
)1( ),,;( 321 ccctrr ?
其中 c1,c2,c3 是三个积分常数，由 t = t0 时 r = r0 的初始
条件确定。即,
)2( ),,;( 32100 ccctrr ?
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9.2.3 两种方法的相互转换
(2) 欧拉法 ?拉格朗日法
)1( ),,;( 321 ccctrr ?
)2( ),,;( 32100 ccctrr ?
反解得,
?
?
?
?
?
?
?
?
) ;(
) ;(
) ;(
0033
0022
0011
r
r
r
tcc
tcc
tcc
上式可视为确定曲线坐标 c1,c2,c3 的方程，将 c1,c2,c3
取为区别不同质点的曲线坐标 a,b,c，这样我们由 (1)得
到
),,;( cbatrr ?
这就是拉格朗日变数中的运动规律。
中
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§ 9.3 应力张量
作用于流体质点的力，可以分为两类：
体积力 和 表面力 。体积力是作用在流体所有
质点上的力，如重力，电磁力和惯性力；表
面力是只作用在所分出的流体侧面上的力，
如流体压力，内摩擦力。作用在单位侧面积
上的表面力称为 应力 。
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§ 9.3 应力张量
为了考察流体中某点 M 附
近应力的情况，我们可以通过
点取一小面元，而后求前方的
流体通过此面元对后方流体作
用力有多大，如图所示。用 df
表示这个作用力，则 ?dd fp ?
就代表作用在单位面积上的表面力，即应力。应力 p 在
法线 n 上的投影 pn，叫作 法应力,而应力在过同一点的
切面上的投影 pr 叫作 切应力 。由于流体中可以存在切应
力，故 p 的方向一般不与面元的方向（即 n的方向）相
同，当 n 的方向改变时,p 的大小和方向也随之改变。
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§ 9.3 应力张量
由此可见体积力和表面力的基本差异是：体积力分
布密度是空间点和时间的单值函数，也即它形成一个矢
量场，而应力则在空间每一点随受力面取向的不同而有
无穷多个值。我们可以说应力是两个矢量的函数：即空
间点的位置矢量 r 和该点处小面元的法线单位矢量 n 的
函数。
如果我们对于“通过 M 点、任意方向的小面元”所
相应的应力都清楚了，那么可以认为我们对这一点的应
力情况就完全清楚了。下面我们来证明，应力可以表示
成小面元的单位法线矢量与某个张量的乘积。这个张量
是空间点的位置的单值函数，也就是说，它将与小面元
的方向无关，而同时却可以用来确定应力 p。
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§ 9.3 应力张量
考虑在流体中割出的、
侧面平行于坐标面的一小四
面体 MABC，如图所示。则
这个面积的大小各为
xnx dd eσ ???
yny dd eσ ???
znz dd eσ ???
令 pn,px,py,pz 分别表示相应于上述四个小面元的应力，
则作用在这些小面元上的表面力就等于
zzyyxxn dddd ???? pppp,,,n
于是有,???????? dddddd czzyyxxn n uppppF ??????
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§ 9.3 应力张量
???????? dddddd czzyyxxn n uppppF ??????
在该方程中，包含体积元的第一和第二项是三阶无
穷小，它和其它与面积元成比例的各项比较起来可以舍
去，于是我们得到
znzynyxnx
zzyyxxn
ddd
dddd
epepep
pppp
??????
???
σσσ
????n
即
zyx pppp n ??? ???
这里 是斜面小面元 n 的法线的方向余弦。上式
在坐标轴上的投影是,
???,,
?
?
?
?
?
???
???
???
zzyzxznz
zyyyxy
zxyxxx
pppp
pppp
pppp
ny
nx
???
???
???
中
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术
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杨
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§ 9.3 应力张量
?
?
?
?
?
???
???
???
zzyzxznz
zyyyxy
zxyxxx
pppp
pppp
pppp
ny
nx
???
???
???
上式中九个应力的集合，构成一个二阶张量，称为 应力
张量,我们用大写字母 P 来表示它,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ppp
ppp
ppp
P
作用在任意以 n 为单位法矢量的斜面元上的应力，可以通
过用该单位矢量 n 和应力张量 P 的乘积表示，或写成
Pnp ??n
中
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科
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技
术
大
学
杨
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§ 9.3 应力张量
对于理想流体，因为假定它是无粘性的，故其应力
的切向分量都等于零，作用于任一面元上的应力只是正
压力。于是理想流体，或处于平衡的流体，其应力张量
P 可以表示为
I 为单位张量。
Pnp ??n
IP p
p
p
p
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00
00
00
中
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§ 9.3 应力张量
对于一般情况，应力张量 P 可以表示为
IuuSP )32(2 ????????? ??? p其中
?
称为 粘滞系数,它只取决于流体的物理性质和温度，
而与运动的性质无关。这就是所谓的牛顿应力定律。
??
称为 第二粘滞系数（ 或 体积粘滞系数）,它是由流体
的可压缩性带来的，它与受压缩时的内力有关；
S 为 变形
速度张量,
定义为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
u
z
u
y
u
z
u
x
u
z
u
y
u
y
u
y
u
x
u
z
u
x
u
y
u
x
u
x
u
zyzxz
yzyxy
xzxyx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
S
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 9.4 流体力学基本方程
9.4.1 连续性方程
9.4.2 运动方程
9.4.3 能量方程
中
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9.4.1 连续性方程
?? ? ????? σddt u ???? ? ??? ? ?? d ) ( u
由于体积的任意性，立即得到,
0) ( ?????? u??t 0???? u??dtd
该方程称为 连续性方程。 在定常流动情况
0 ??? t?连续性方程变为,
0) ( ??? u?
对于不可压缩流体
0?dtd?
连续性方程变为,0 ??? u
中
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9.4.2 运动方程
?????
??
ddddtd npgu ???
?
???????? ?? ???? ?? ??? dd Pg
由于体积的任意性，立即得到,
gPu ?? ????dtd
该方程称为 运动方程。 将 P 的具体形式代入可得,
guuuuu )(3)( ?????? ???????????? ??????????????? ?? pt
该方程通常称为纳维尔 -斯托克斯（ Navier-Stokes）方程。
中
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9.4.2 运动方程
guuuuu )(3)( ?????? ???????????? ??????????????? ?? pt
对于理想流体
guuu )( ??? ????????????? ?? pt
对于定常流动
Vt ?????? ?? g 0
V 为单位质量流体的势能。由于
uuuu )(21)( 2 ???????? u
故
)(21)( 2 uuuu ???????? u
运动方程为
01)(21 2 ?????????? Vpu ?uu
中
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9.4.2 运动方程
01)(21 2 ?????????? Vpu ?uu
称为涡量，对于无旋运动 u?? 0??? u
于是，对于不可压缩（ ρ= 常数）无旋定常流动，有,
0
2
1 2 ?
???
?
???
? ??? Vpv
?
即
常数??? Vpv
?
2
2
1
该方程称为伯努利定理。
中
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9.4.3 能量方程
略
中
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第 9 章 流体力学
流体力学研究流体（气体与液体）的宏观运动与平
衡，它以流体宏观模型作为基本假说。
显然，流体的运动取决于每个粒子的运动，但若求
解每个粒子的运动即不可能也无必要。对于宏观问题，
必须在微观与宏观之间建立一座桥梁。
流体宏观模型认为流体是由无数 流体元 （或称流体
微团）连续地组成的（即 连续介质 ）。所谓流体元指的
是这样的小块流体：它的大小与放置在流体中的实物比
较是微不足道的，但比分子的平均自由程却要大得多，
它包含足够多的分子，能施行统计平均求出宏观参量，
少数分子出入于流体元不会影响稳定的平均值。
中
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第 9 章 流体力学
另一方面，对于进行统计平均的时间也应选得
足够大，使得在这段时间内，微观的性质，例如分
子间的碰撞等已进行了许多次，在这段时间内进行
统计平均能够得到稳定的数值。于是，从统计物理
中得知，分子的物理量（质量、速度、动量和能量）
经过统计平均后变成了流体元的质量，速度，压力
和温度等宏观物理量，分子质量、动量和能量等输
运过程，经过统计平均后表现为扩散，粘性，热传
导等宏观性质。
中
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第 9 章 流体力学
上述微观上充分大、宏观上充分小的流体元称
为 流体质点,将流体运动的空间看作是由流体质点
连续地无空隙地充满着的假设称为 连续介质假设 。
应该指出，有了此假设才能把一个微观问题化成宏
观问题，且数学上容易处理。实验和经验也表明在
一般情况下这个假设总是成立的。
中
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第 9 章 流体力学
但是。在某些特殊问题中，连续介质的假设也
可以不成立。例如在稀薄气体力学中，分子间的距
离很大，它能和物体的特征尺度比拟，这样虽然获
得稳定平均值的流体元还是存在的，但是不能将它
看成一个质点。又如考虑激波内的气体运动，激波
的尺寸与分子平均自由程同阶，激波内的流体只能
看成分子而不能当作连续介质来处理了。
中
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第 9 章 流体力学
§ 9.1 流体的基本性质
§ 9.2 描写流体运动的两种方法
§ 9.3 应力张量
§ 9.4 流体力学基本方程
中
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§ 9.1 流体的基本性质
9.1.1 易流动性
9.1.2 粘性
9.1.3 压缩性
中
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9.1.1 易流动性
流体在静止时不能承受切向应力，不管多小的
切向应力，都会引起其中各流体元彼此间的相对位
移，而且取消力的作用后，流体元之间并不恢复其
原有位置。正是流体的这一基本特性使它能同刚体
和弹性体区别开来。刚体和弹性体也是连续介质，
但是刚体中质点之间的相互距离不论其上作用的外
力如何将保持不变；而在弹性体中，当作用力在数
值上达到某一界限时，系统中各点间的相互距离可
以改变，但消除了力的作用之后，各点相互关系又
恢复原有状态。相反地，流体能够有任意大的变形。
因此 流体在静止时只有法应力而没有切应力。流体
的这个宏观性质称为易流动性。
中
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9.1.2 粘性
流体在静止时虽不能承受切应力，但在运动时，对
相邻两层流体间的相对运动即相对滑动速度是有抵抗的，
这种抵抗力称为粘性应力，流体所具有的这种抵抗两层
流体相对滑动的性质称为粘性，粘性大小依赖于流体的
性质，并显著地随温度而变化。实验表明，粘性应力的
大小与粘性及相对速度成正比。
当流体的粘性较小，运动的相对速度也不大时，所
产生的粘性应力比起其它类型的力（如惯性力）可忽略
不计。此时，我们可以近似地把流体看成是无粘性的，
这样的流体称为 理想流体 。十分明显，理想流体对于切
向变形没有任何抗拒能力。这样对于粘性而言，我们可
以将流体分成理想流体和粘性流体两大类。应该强调指
出,真正的理想流体在客观实际中是不存在的。 它只是
客观流体在某种条件下的一种近似模型。
中
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9.1.2 粘性
除了粘性外，流体还有 热传导 及 扩散 等性
质。
流体的宏观性质，扩散，粘性，热传导等
是分子输运性质的统计平均。由于分子的不规
则运动，在各层流体间将交换着质量，动量和
能量，使不同流体层内的平均物理量均匀化，
这种性质称为 分子运动的输运性质 。质量输运
在宏观上表现为扩散现象，动量输运表现为粘
性现象，能量输运则表现为热传导现象。
中
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9.1.3 压缩性
流体质点的体积或密度在受到一定压力
或温度差的条件下可以改变，这个性质称为
压缩性。真实流体都是可以压缩的。它的压
缩程度依赖子流体的性质及外界的条件。液
体在通常的压力或温度下，压缩性很小。因
此在一般情形下液体可以近似地看成是不可
压缩的。
中
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§ 9.2 描写流体运动的两种方法
9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
9.2.2 欧拉方法（当地法）
9.2.3 两种方法的相互转换
中
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
在拉格朗日方法中，注意的中心即着眼点是流体
质点，确定所有流体质点的运动规律，即它们的位置
随时间变化的规律。十分明显，如果知道了所有流体
质点的运动规律，那么整个流体运动的状况也就清楚
了。
现在我们将描写运动的观点和方法用数学式子表达
出来，为此首先必须用某种数学方法区别不同的流体
质点。通常利用初始时刻流体质点的坐标作为区分不
同流体质点的标志。设初始时刻 t = t0 时，流体质点的
坐标是 a,b,c，它可以是曲线坐标，也可以是直角
坐标，重要的是给流体质点以标号而不在于采取什么
具体的方式。
中
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
我们约定采用 a,b,c 三个数的组合来区别流体质
点，不同的 a,b,c 代表不同的质点，于是流体质点的
运动规律可表为下列矢量形式,
),,;( cbatrr ?
其中 r 是流体质点的矢径。在直角坐标系中，有分量式,
?
?
?
?
?
?
?
?
),,;(
),,;(
),,;(
cbatzz
cbatyy
cbatxx
变数 t； a,b,c 称为拉格朗日变数。
中
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
在上式中，如果固定 a,b,c 而令 t 改
变，则得某一流体质点的运动规律，该流体
质点的运动轨迹称为 迹线 。如果固定时间 t
而令 a,b,c 改变，则上式表示某一时刻不
同流体质点的位置分布函数。应该指出，在
拉格朗日观点中，矢径函数 r 的定义区域不
是场，因为它不是空间坐标的函数，而是质
点标号的函数。
),,;( cbatrr ?
中
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
为了得到确定流体质点的速度,只要将 上 式对时间 t
微分而把起始坐标 a,b,c 当作常数就可以了，即
t
cbat
t ?
??
?
?? ),,;(rru
其分量式为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
cbatz
t
z
u
t
cbaty
t
y
u
t
cbatx
t
x
u
z
y
x
),,;(
),,;(
),,;(
),,;( cbatrr ?
中
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
同样可以得到确定流体质点的加速度,
2
2
2
2 ),,;(
t
cbat
t ?
??
?
?? rru?
其分量式为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
2
2
2
),,;(
),,;(
),,;(
t
cbatz
t
u
u
t
cbaty
t
u
u
t
cbatx
t
u
u
z
z
y
y
x
x
?
?
?
中
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法）
在以上各式中，如给 a,b,c 以不
同的值而令 t 不变，则得到在确定时刻 t
流体质点的位置、速度和加速度分布；
特别是，当 t = t0 而 a,b,c 可以改变，
则得各流体质点的起始位置、速度和加
速度分布。
t
cbat
t ?
??
?
?? ),,;(rru
2
2
2
2 ),,;(
t
cbat
t ?
??
?
?? rru?
),,;( cbatrr ?
中
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
欧拉方法不直接考虑个别流体质点如何运动，而
是用场的观点研究流体运动。它只集中注意力于那些
发生在空间给定点的流动情况；对于流体质点从什么
地方和如何在给定时刻达到这一点，经过这点以后又
会运行到别的什么地方和怎样运行到那些地方的，这
一切问题从欧拉方法观点看来并不是基本的。这样，
欧拉方法是把空间某一固定点 (x,y,z) 的流体质点的速
度当作时间的函数来研究的；显然，这个速度也是坐
标 (x,y,z) 的函数。因此,
)r ;( tuu ?
中
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
其分量为
变数 t； x,y,z 称为欧拉变数。如果在上式中把 t 当作可
变的，而把 x,y,z 当作常数，则对不同的 t 我们得到不同
时刻经过空间中确定点的不同流体质点的速度；而如把 t
当作常数,x,y,z 当作变数，则可得到对于确定时刻空间
中流体质点的速度分布。
?
?
?
?
?
?
?
?
),,;(
),,;(
),,;(
zyxtuu
zyxtuu
zyxtuu
zz
yy
xx
中
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
由于上式确定的速度函数是定义在空间点上的，
它们是空间点坐标 x,y,z 的函数，所以我们研究的是
场，如速度场等。因此当我们采用欧拉观点描述运动
时，就可以利用场论的知识。若场内函数不依赖矢径
r 则称之为 均匀场,反之称之为 非均匀场 ；若场内函
数不依赖时间则称为 定常场,反之称为 非定常场 。
)r ;( tuu ?
中
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu ?
描述场的几何
方法是引入所谓的
场线，就像静电场
中引入电力线，磁
场中引入磁力线一
样，在流速场中可
以引入流线。流线
是这样规定的,
流线为流体内的一条连续的有向曲线，流线上每一
点的切线方向代表流体内微粒经过该点时的速度方向。
图 (a) 给出了几种常见的流线。
中
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu ?
一般情况下空
间各点的流速随
时间 t 变化, 因此
流线也是随时间
变化的 。 由于流
线分布与一定的
瞬时相对应 (参见
图 (c) ),所以在一
般情况下, 流线
并不代表流体中
微粒运动的轨迹 。
只有在稳定流动中，流线不随时
间变化，此时流线才表示流体中微
粒实际经过的轨迹。只有此时流线
才与迹线重合。
中
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu ?
另外, 由于流
线的切线表示流
体内微粒运动的
方向, 所以流线
永远不会相交,
因为如果流线在
空间某处相交就
表示流体中的微
粒经过该点时同
时具有两个不同
的速度, 这当然
是不可能的 。
在流体内部取一微小的封闭曲
线, 通过曲线上各点的流线所围成
的细管就称为流管 。 如图 (b)所示 。
中
国
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术
大
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
)r ;( tuu ?
由于流线不会
相交, 因此流管
内, 外的流体都
不具有穿过流管
的速度, 也就是
说流管内部的流
体不能流到流管
外面, 流管外的
流体也不能流入
流管内 。
流线的方程,
zyx u
dz
u
dy
u
dx ??
中
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维
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
当过渡到推演流体质点的加速度时，我们要从两个
不同观点来考虑这个问题。如果我们的兴趣是在这样
的问题上：即当不同流体质点经过空间中给定点时，
该点的速度怎样随时间变化？那么为了回答这个问题，
只要把上式对时间微分并设 x,y,z 为常数就可以了。
这时得到的偏微分,
)r ;( tuu ?
t
u
t
u
t
u
t
zyx
?
?
?
?
?
?
?
? ; ; ;u
称为 局部微商 （或 当地微商 ）。
中
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
另一方面，可以提出关于计算在给定时刻经过空
间中 x,y,z 点的流体质点的加速度问题。在此情形，
坐标 x,y,z 就应视为可变的，因为在无限小的时间间
隔 dt 中，所考虑的流体质点正在从 x,y,z 点进入到新
位置。由于运动点本身的坐标 x,y,z 是时间 t 的函数，
因此上式对时间微分便得到流体质点加速度的下列表
示式,
)r ;( tuu ?
dt
dz
zdt
dy
ydt
dx
xtdt
d
?
??
?
??
?
??
?
?? uuuuu
但是
zyx udt
dzu
dt
dyu
dt
dx ???
故有
uuuuuuuu )( ?????????????????? tuzuyuxtdtd zyx
中
国
科
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技
术
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
uuuuuuuu )( ?????????????????? tuzuyuxtdtd zyx
微商 du/dt 是沿着介质（物质）的流体质点的轨道计算
的，因此称为 个体微商 或 随体微商 。从解析方面看，
它就是 u =u(t; r) 对时间 t 的全微商。 (u·▽ )u 项是速度
对时间的 迁移微商 或 随流微商,它给出流体质点速度
由于该流体质点在空间位移而产生的变化。这样，在
给定时刻经过空间中指定点的流体质点的加速度，是
由在该点的速度矢量的改变（局部的改变）与流体质
点运行时的速度矢量的改变（迁移的改变）之和来决
定的。
中
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技
术
大
学
杨
维
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9.2.2 欧拉方法（当地法）
上述将随体微商分解为局部微商和随流微商的方法可
以推广到与流体质点个别运动相联系的任何其它的时间
与坐标的函数 ——标量、矢量或张量。例如，在一定瞬间，
流体质点在空间的每一位置都对应着一个标量 p（如流
体质点的温度或密度），那么 p 的数值的集合构成某一
个标量场。当流体质点运动时，由于场的非定常性（ p
的局部改变）和流体质点随时间从一点到另一点的移动
（ p 的迂移改变）,p 在改变。量 p 对时间的全微商是,
ptpdtdp )( ?????? u
中
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科
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术
大
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杨
维
纮
9.2.2 欧拉方法（当地法）
同样，对于与运动着的个别流体质点相联系的任
何矢量函数 a 或张量函数 T，我们得到,
auaa )( ?????? tdtd
TuTT )( ?????? tdtd
中
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术
大
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杨
维
纮
9.2.3 两种方法的相互转换
虽然，拉格朗日方法和欧拉方法从不同
观点出发描绘了流体的运动，但是这两种方
法实质上是等价的，它们之间可以相互转换，
因此它们同样完全地描绘了一个流体的运动。
现在我们证明两种方法的等价性。
中
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维
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9.2.3 两种方法的相互转换
(1) 拉格朗日法 ?欧拉法
设拉格朗日方法中的运动规律函数已知
)1( ),,;( cbatrr ?
则速度函数是
)2( ),,;( t cbatt ?????? rru
由 (1)式反解得
?
?
?
?
?
?
?
?
) ;(
) ;(
) ;(
r
r
r
tcc
tbb
taa
代入 (2)式即得欧拉方法中的速度函数,
)r ;( tuu ?
中
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维
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9.2.3 两种方法的相互转换
(2) 欧拉法 ?拉格朗日法
设拉格朗日方法中的速度函数已知
) ;( ruu t?
将其写成,
) ;( rur tdtd ?
这是一个由三个方程组成的确定 r 的常微分方程组，解
之得
)1( ),,;( 321 ccctrr ?
其中 c1,c2,c3 是三个积分常数，由 t = t0 时 r = r0 的初始
条件确定。即,
)2( ),,;( 32100 ccctrr ?
中
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术
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杨
维
纮
9.2.3 两种方法的相互转换
(2) 欧拉法 ?拉格朗日法
)1( ),,;( 321 ccctrr ?
)2( ),,;( 32100 ccctrr ?
反解得,
?
?
?
?
?
?
?
?
) ;(
) ;(
) ;(
0033
0022
0011
r
r
r
tcc
tcc
tcc
上式可视为确定曲线坐标 c1,c2,c3 的方程，将 c1,c2,c3
取为区别不同质点的曲线坐标 a,b,c，这样我们由 (1)得
到
),,;( cbatrr ?
这就是拉格朗日变数中的运动规律。
中
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§ 9.3 应力张量
作用于流体质点的力，可以分为两类：
体积力 和 表面力 。体积力是作用在流体所有
质点上的力，如重力，电磁力和惯性力；表
面力是只作用在所分出的流体侧面上的力，
如流体压力，内摩擦力。作用在单位侧面积
上的表面力称为 应力 。
中
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§ 9.3 应力张量
为了考察流体中某点 M 附
近应力的情况，我们可以通过
点取一小面元，而后求前方的
流体通过此面元对后方流体作
用力有多大，如图所示。用 df
表示这个作用力，则 ?dd fp ?
就代表作用在单位面积上的表面力，即应力。应力 p 在
法线 n 上的投影 pn，叫作 法应力,而应力在过同一点的
切面上的投影 pr 叫作 切应力 。由于流体中可以存在切应
力，故 p 的方向一般不与面元的方向（即 n的方向）相
同，当 n 的方向改变时,p 的大小和方向也随之改变。
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
§ 9.3 应力张量
由此可见体积力和表面力的基本差异是：体积力分
布密度是空间点和时间的单值函数，也即它形成一个矢
量场，而应力则在空间每一点随受力面取向的不同而有
无穷多个值。我们可以说应力是两个矢量的函数：即空
间点的位置矢量 r 和该点处小面元的法线单位矢量 n 的
函数。
如果我们对于“通过 M 点、任意方向的小面元”所
相应的应力都清楚了，那么可以认为我们对这一点的应
力情况就完全清楚了。下面我们来证明，应力可以表示
成小面元的单位法线矢量与某个张量的乘积。这个张量
是空间点的位置的单值函数，也就是说，它将与小面元
的方向无关，而同时却可以用来确定应力 p。
中
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术
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纮
§ 9.3 应力张量
考虑在流体中割出的、
侧面平行于坐标面的一小四
面体 MABC，如图所示。则
这个面积的大小各为
xnx dd eσ ???
yny dd eσ ???
znz dd eσ ???
令 pn,px,py,pz 分别表示相应于上述四个小面元的应力，
则作用在这些小面元上的表面力就等于
zzyyxxn dddd ???? pppp,,,n
于是有,???????? dddddd czzyyxxn n uppppF ??????
中
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术
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纮
§ 9.3 应力张量
???????? dddddd czzyyxxn n uppppF ??????
在该方程中，包含体积元的第一和第二项是三阶无
穷小，它和其它与面积元成比例的各项比较起来可以舍
去，于是我们得到
znzynyxnx
zzyyxxn
ddd
dddd
epepep
pppp
??????
???
σσσ
????n
即
zyx pppp n ??? ???
这里 是斜面小面元 n 的法线的方向余弦。上式
在坐标轴上的投影是,
???,,
?
?
?
?
?
???
???
???
zzyzxznz
zyyyxy
zxyxxx
pppp
pppp
pppp
ny
nx
???
???
???
中
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§ 9.3 应力张量
?
?
?
?
?
???
???
???
zzyzxznz
zyyyxy
zxyxxx
pppp
pppp
pppp
ny
nx
???
???
???
上式中九个应力的集合，构成一个二阶张量，称为 应力
张量,我们用大写字母 P 来表示它,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ppp
ppp
ppp
P
作用在任意以 n 为单位法矢量的斜面元上的应力，可以通
过用该单位矢量 n 和应力张量 P 的乘积表示，或写成
Pnp ??n
中
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术
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§ 9.3 应力张量
对于理想流体，因为假定它是无粘性的，故其应力
的切向分量都等于零，作用于任一面元上的应力只是正
压力。于是理想流体，或处于平衡的流体，其应力张量
P 可以表示为
I 为单位张量。
Pnp ??n
IP p
p
p
p
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00
00
00
中
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§ 9.3 应力张量
对于一般情况，应力张量 P 可以表示为
IuuSP )32(2 ????????? ??? p其中
?
称为 粘滞系数,它只取决于流体的物理性质和温度，
而与运动的性质无关。这就是所谓的牛顿应力定律。
??
称为 第二粘滞系数（ 或 体积粘滞系数）,它是由流体
的可压缩性带来的，它与受压缩时的内力有关；
S 为 变形
速度张量,
定义为,
?
?
?
?
?
?
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z
u
z
u
y
u
z
u
x
u
z
u
y
u
y
u
y
u
x
u
z
u
x
u
y
u
x
u
x
u
zyzxz
yzyxy
xzxyx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
S
中
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§ 9.4 流体力学基本方程
9.4.1 连续性方程
9.4.2 运动方程
9.4.3 能量方程
中
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9.4.1 连续性方程
?? ? ????? σddt u ???? ? ??? ? ?? d ) ( u
由于体积的任意性，立即得到,
0) ( ?????? u??t 0???? u??dtd
该方程称为 连续性方程。 在定常流动情况
0 ??? t?连续性方程变为,
0) ( ??? u?
对于不可压缩流体
0?dtd?
连续性方程变为,0 ??? u
中
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9.4.2 运动方程
?????
??
ddddtd npgu ???
?
???????? ?? ???? ?? ??? dd Pg
由于体积的任意性，立即得到,
gPu ?? ????dtd
该方程称为 运动方程。 将 P 的具体形式代入可得,
guuuuu )(3)( ?????? ???????????? ??????????????? ?? pt
该方程通常称为纳维尔 -斯托克斯（ Navier-Stokes）方程。
中
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9.4.2 运动方程
guuuuu )(3)( ?????? ???????????? ??????????????? ?? pt
对于理想流体
guuu )( ??? ????????????? ?? pt
对于定常流动
Vt ?????? ?? g 0
V 为单位质量流体的势能。由于
uuuu )(21)( 2 ???????? u
故
)(21)( 2 uuuu ???????? u
运动方程为
01)(21 2 ?????????? Vpu ?uu
中
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9.4.2 运动方程
01)(21 2 ?????????? Vpu ?uu
称为涡量，对于无旋运动 u?? 0??? u
于是，对于不可压缩（ ρ= 常数）无旋定常流动，有,
0
2
1 2 ?
???
?
???
? ??? Vpv
?
即
常数??? Vpv
?
2
2
1
该方程称为伯努利定理。
中
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9.4.3 能量方程
略
中
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