1
第四章
扭 转
2
标题
第四章 扭 转
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§ 4-1、概述
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
§ 4-4、圆轴扭转时的变形计算
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算
§ 4-6、材料扭转时的力学性质
§ 4-7、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
§ 4-8、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果
§ 4-9、扭转超静定问题
3一、概
述
汽车传动轴
§ 4-1,概述
4汽车方向盘
§ 4-1,概述
5丝锥攻丝
§ 4-1,概述
6
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向
相反且 作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,
使杆件的横截面绕轴线产生转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横
截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴
扭转。
§ 4-1,概述
7
直接计算
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
8
按输入功率和转速计算
电机每秒输入功：
外力偶作功完成：
)N,m(1 0 0 0?? kPW
602
nMW
e ??? ?
kP kP
已知
轴转速－ n 转 /分钟
输出功率－ Pk 千瓦
求：力偶矩 Me
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
9
T = Me
2.扭矩和扭矩图
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
10
T = Me
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
11
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
12
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
13
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正 (+),反之为 负 (-)
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
14
扭矩图
???
???
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
15
解,
(1)计算外力偶矩
由公式 Pk/n
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 例题 4-1
16
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
17
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
18
1、切应力计算
令 抗扭截面系数
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
19
2,Ip 与 Wp 的计算
实心轴
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
20
空心轴
令 则
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
21
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
22
已知,P＝ 7.5kW,n=100r/min,最
大切应力 不得超过 40MPa,空心圆轴
的内外直径之比 ? = 0.5。二轴长
度相同。
求, 实心轴的直径 d1和空心轴的外
直径 D2；确定二轴的重量之比。
解,首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
实心轴
31 61 6 7 1 6 2 0 0 4 5 m = 4 5 m m
π 4 0 1 0
.,d ???
??
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算 例题 4-2
759 5 4 9 9 5 4 9 7 1 6 2 N m
100
.,
x
PMT
n? ? ? ? ? ? ?
m a x 1 3
11
16 4 0 M P a
π
xx
P
MM
Wd? ? ? ?
T T
23
已知,P＝ 7.5kW,n=100r/min,最大
切应力 不得超过 40MPa,空心圆轴的
内外直径之比 ? = 0.5。二轴长度
相同。
求, 实心轴的直径 d1和空心轴的外
直径 D2；确定二轴的重量之比。
空心轴
d2＝ 0.5D2=23 mm
? ?32 46
1 6 7 1 6 2 0 0 4 6 m = 4 6 m m
π 1 - 4 0 1 0
.,D
?
???
??
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
? ?m a x 2 342 2
16 4 0 M Pa
π1
xx
P
MM
W D? ?? ? ??
T T
24
确定实心轴与空心轴的重量之比
空心轴
D2＝ 46 mm d2＝ 23 mm
实心轴
d1=45 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为
横截面面积之比：
? ? 28.15.01
1
1046
1045
1 2
2
3
3
22
2
2
1
2
1 ＝
????
??
?
?
?
??
?? ?
?
?D
d
A
A
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
25
已知,P1＝ 14kW,P2= P3=P1/2，
n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=
70mm,d 2=50mm,d3=35mm,
求,各 轴 横截面上的最大切应力 。
P1=14kW,P2= P3= P1/2=7 kW
n1=n2= 120r/min
3 6 0 r /m inr /m in1236120
3
1
13 ＝＝＝ ??
??
?
? ??
z
znn
解,1、计算各轴的功率与转速
M1=T1=1114 N.m
M2=T2=557 N.m
M3=T3=185.7 N.m
2、计算各轴的扭矩
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算 例题 4-3
3
26
? ? 1 6,5 4 M P aPa1070π 111416E 9-3
1P
1
m a x ???
??
?
?
??
???
W
T?
? ?,6 9 M P a22Pa1050π 55716H 9-3
2P
2
m a x ???
??
?
?
??
???
W
T?
? ?,9 8 M P a12Pa1053π 7.18516C 9-3
3P
3
m a x ???
??
?
?
??
???
W
T?
3、计算各轴的横截面上的
最大切应力
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
3
27
相对扭转角 抗扭刚度
四、圆轴扭转时的变形计算
§ 4-4、圆轴扭转时的变形计算
?
?
?
n
i Pi
ii
GI
lT
1
?
28
1,等截面圆轴,2,阶梯形圆轴：
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算
五、圆轴扭转时的强 刚度设计
29
单位长度扭转角
扭转刚度条件 许用单位扭转角
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算
30
扭转强度条件
扭转刚度条件
?已知 T, D 和 [τ], 校核强度
?已知 T 和 [τ], 设计截面
?已知 D 和 [τ], 确定许可载荷
?已知 T, D 和 [φ /],校核刚度
?已知 T 和 [φ /],设计截面
?已知 D 和 [φ /],确定许可载荷
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算
31
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算 例题 4-4
32
传动轴的转速为 n=500r/min，主动轮 A 输入功率
P1=400kW，从动轮 C,B 分别输出功率 P2=160kW,P3=240kW。
已知 [τ ]=70MPa,[φˊ ]=1° /m,G=80GPa。
(1)试确定 AC 段的直径 d1 和 BC 段的直径 d2；
(2)若 AC 和 BC 两段选同一直径，试确定直径 d；
(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
1eM
A B
C
2eM 3eM
1d 2d
?? nPM e 11 9 5 4 9 mN7 6 4 05 0 04 0 09 5 4 9 ???
mN3060400160 12 ??? ee MM mN4580400240 13 ??? ee MM
解,1.外力
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算 例题 4-5
33
2.扭矩图
mm2.82m102.821070π 7 6 4 016][π16 3
3
6
3
1 ?????
??? ?
?
Td
按刚度条件
mm4.86m104.861π1080 1807 6 4 032][π 18032 3
4
29
4
21 ??????
???
??
?? ?
?G
Td
3.直径 d1的选取
按强度条件
mN7640 ?
mN4580 ?
? ??
mm4.861 ?d
1eM
A B
C
2eM 3eM
1d 2d
? ???? ?? 3
1
m a x
16
d
T
? ????? ????? ?18032 4
1
m a x dG
T
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算
34
按刚度条件
4.直径 d2的选取
按强度条件
1eM
A B
C
2eM 3eM
1d 2d
mN7640 ?
mN4580 ?
? ??
mm3.69m103.69
1070π
458016
][π
16
3
3
6
3
2
???
??
?
??
?
?
T
d
mm76m10761π1080 1 8 04 5 8 032][π 1 8 032 3
4
29
4
22 ??????
???
??
?? ?
?G
Td
mm762 ?d
5.选同一直径时 mm4.861 ?? dd
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算
35
6.将 主动轮按装在
两从动轮之间
1eM
A B
C
2eM 3eM
1d 2d
mN7640 ?
mN4580 ?
? ??
2eM
C B
A
1eM 3eM
1d 2d
受力合理
mN3060 ?
mN4580 ?
? ??
? ??
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算
36
六、材料扭转时的力学性质
§ 4-6、材料扭转时的力学性质
37
§ 4-8、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果
38
自由扭转 约束扭转
截面翘曲不受约束 各截面翘曲不同
§ 4-8、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果
39
开口 /闭口薄壁杆件扭转比较
§ 4-8、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果
40
小结
1、受扭物体的受力和变形特点
2、扭矩计算，扭矩图绘制
3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算
? ??? ??
PW
T
m a x
PI
T?? ?
4、圆轴扭转时的变形及刚度计算
? ???? ????? 180
PGI
T
PGI
Tl??
41
第四章作业
4—2,4,7,15,25
第四章
扭 转
2
标题
第四章 扭 转
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§ 4-1、概述
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
§ 4-4、圆轴扭转时的变形计算
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算
§ 4-6、材料扭转时的力学性质
§ 4-7、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
§ 4-8、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果
§ 4-9、扭转超静定问题
3一、概
述
汽车传动轴
§ 4-1,概述
4汽车方向盘
§ 4-1,概述
5丝锥攻丝
§ 4-1,概述
6
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向
相反且 作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,
使杆件的横截面绕轴线产生转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横
截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴
扭转。
§ 4-1,概述
7
直接计算
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
8
按输入功率和转速计算
电机每秒输入功：
外力偶作功完成：
)N,m(1 0 0 0?? kPW
602
nMW
e ??? ?
kP kP
已知
轴转速－ n 转 /分钟
输出功率－ Pk 千瓦
求：力偶矩 Me
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
9
T = Me
2.扭矩和扭矩图
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
10
T = Me
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
11
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
12
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
13
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正 (+),反之为 负 (-)
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
14
扭矩图
???
???
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
15
解,
(1)计算外力偶矩
由公式 Pk/n
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 例题 4-1
16
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
17
§ 4-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
18
1、切应力计算
令 抗扭截面系数
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
19
2,Ip 与 Wp 的计算
实心轴
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
20
空心轴
令 则
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
21
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
22
已知,P＝ 7.5kW,n=100r/min,最
大切应力 不得超过 40MPa,空心圆轴
的内外直径之比 ? = 0.5。二轴长
度相同。
求, 实心轴的直径 d1和空心轴的外
直径 D2；确定二轴的重量之比。
解,首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
实心轴
31 61 6 7 1 6 2 0 0 4 5 m = 4 5 m m
π 4 0 1 0
.,d ???
??
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算 例题 4-2
759 5 4 9 9 5 4 9 7 1 6 2 N m
100
.,
x
PMT
n? ? ? ? ? ? ?
m a x 1 3
11
16 4 0 M P a
π
xx
P
MM
Wd? ? ? ?
T T
23
已知,P＝ 7.5kW,n=100r/min,最大
切应力 不得超过 40MPa,空心圆轴的
内外直径之比 ? = 0.5。二轴长度
相同。
求, 实心轴的直径 d1和空心轴的外
直径 D2；确定二轴的重量之比。
空心轴
d2＝ 0.5D2=23 mm
? ?32 46
1 6 7 1 6 2 0 0 4 6 m = 4 6 m m
π 1 - 4 0 1 0
.,D
?
???
??
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
? ?m a x 2 342 2
16 4 0 M Pa
π1
xx
P
MM
W D? ?? ? ??
T T
24
确定实心轴与空心轴的重量之比
空心轴
D2＝ 46 mm d2＝ 23 mm
实心轴
d1=45 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为
横截面面积之比：
? ? 28.15.01
1
1046
1045
1 2
2
3
3
22
2
2
1
2
1 ＝
????
??
?
?
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??
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?D
d
A
A
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
25
已知,P1＝ 14kW,P2= P3=P1/2，
n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=
70mm,d 2=50mm,d3=35mm,
求,各 轴 横截面上的最大切应力 。
P1=14kW,P2= P3= P1/2=7 kW
n1=n2= 120r/min
3 6 0 r /m inr /m in1236120
3
1
13 ＝＝＝ ??
??
?
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z
znn
解,1、计算各轴的功率与转速
M1=T1=1114 N.m
M2=T2=557 N.m
M3=T3=185.7 N.m
2、计算各轴的扭矩
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算 例题 4-3
3
26
? ? 1 6,5 4 M P aPa1070π 111416E 9-3
1P
1
m a x ???
??
?
?
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3P
3
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?
?
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T?
3、计算各轴的横截面上的
最大切应力
§ 4-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
3
27
相对扭转角 抗扭刚度
四、圆轴扭转时的变形计算
§ 4-4、圆轴扭转时的变形计算
?
?
?
n
i Pi
ii
GI
lT
1
?
28
1,等截面圆轴,2,阶梯形圆轴：
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算
五、圆轴扭转时的强 刚度设计
29
单位长度扭转角
扭转刚度条件 许用单位扭转角
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算
30
扭转强度条件
扭转刚度条件
?已知 T, D 和 [τ], 校核强度
?已知 T 和 [τ], 设计截面
?已知 D 和 [τ], 确定许可载荷
?已知 T, D 和 [φ /],校核刚度
?已知 T 和 [φ /],设计截面
?已知 D 和 [φ /],确定许可载荷
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算
31
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算 例题 4-4
32
传动轴的转速为 n=500r/min，主动轮 A 输入功率
P1=400kW，从动轮 C,B 分别输出功率 P2=160kW,P3=240kW。
已知 [τ ]=70MPa,[φˊ ]=1° /m,G=80GPa。
(1)试确定 AC 段的直径 d1 和 BC 段的直径 d2；
(2)若 AC 和 BC 两段选同一直径，试确定直径 d；
(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
1eM
A B
C
2eM 3eM
1d 2d
?? nPM e 11 9 5 4 9 mN7 6 4 05 0 04 0 09 5 4 9 ???
mN3060400160 12 ??? ee MM mN4580400240 13 ??? ee MM
解,1.外力
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算 例题 4-5
33
2.扭矩图
mm2.82m102.821070π 7 6 4 016][π16 3
3
6
3
1 ?????
??? ?
?
Td
按刚度条件
mm4.86m104.861π1080 1807 6 4 032][π 18032 3
4
29
4
21 ??????
???
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?G
Td
3.直径 d1的选取
按强度条件
mN7640 ?
mN4580 ?
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mm4.861 ?d
1eM
A B
C
2eM 3eM
1d 2d
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1
m a x
16
d
T
? ????? ????? ?18032 4
1
m a x dG
T
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算
34
按刚度条件
4.直径 d2的选取
按强度条件
1eM
A B
C
2eM 3eM
1d 2d
mN7640 ?
mN4580 ?
? ??
mm3.69m103.69
1070π
458016
][π
16
3
3
6
3
2
???
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?
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T
d
mm76m10761π1080 1 8 04 5 8 032][π 1 8 032 3
4
29
4
22 ??????
???
??
?? ?
?G
Td
mm762 ?d
5.选同一直径时 mm4.861 ?? dd
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算
35
6.将 主动轮按装在
两从动轮之间
1eM
A B
C
2eM 3eM
1d 2d
mN7640 ?
mN4580 ?
? ??
2eM
C B
A
1eM 3eM
1d 2d
受力合理
mN3060 ?
mN4580 ?
? ??
? ??
§ 4-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
圆轴的设计计算
36
六、材料扭转时的力学性质
§ 4-6、材料扭转时的力学性质
37
§ 4-8、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果
38
自由扭转 约束扭转
截面翘曲不受约束 各截面翘曲不同
§ 4-8、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果
39
开口 /闭口薄壁杆件扭转比较
§ 4-8、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果
40
小结
1、受扭物体的受力和变形特点
2、扭矩计算，扭矩图绘制
3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算
? ??? ??
PW
T
m a x
PI
T?? ?
4、圆轴扭转时的变形及刚度计算
? ???? ????? 180
PGI
T
PGI
Tl??
41
第四章作业
4—2,4,7,15,25
