1
第八章
应力状态分析
2
第八章 应力状态分析
? 应力状态的概念
? 用解析法分析二向应力状态
? 用图解法分析二向应力状态
? 主应力迹线
? 三向应力状态
? 广义胡克定律
? 三向应力状态下的应变能密度
? 弹性常数 E,G,u 间的关系
目
录
3
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
铸 铁
1、问题的提出
8— 1 应力状态的概念
4
脆性材料扭转时为什么沿 45o螺旋面断开？
低碳钢 铸 铁
8— 1 应力状态的概念
5
F
l
a
S
1
pW
Tτ ?
z
zWMσ ? 3
pW
Tτ ?
z
zWMσ ??
S平面
z
Mz
T 4
3
2
1
y
x
M ??
?
Fl
T ? ??
Fa
目录
8— 1 应力状态的概念
6
1?
2?
3?
yx
z
?x ?y
?z
?xy ?yx
?yz
?zy?zx
?xz
单元体上没有切应力的面称为 主平面 ；主平面上的正应力
称为 主应力,分别用 表示，并且
该单元体称为 主应力单元。
321,,??? 321 ??? ??
8— 1 应力状态的概念
7
1?
2?
3?
空间（ 三向）应力状态：三个主应力均不为零
平面（二向）应力状态：一个主应力为零
单向应力状态：两个主应力为零
8— 1 应力状态的概念
8
x
y
?x
?y
?yx
?xy
a
? ? 0 nF ? ? 0 tF
1.斜截面上的应力
?y
a?
a?
?xy dA
α
n
t
x?
yx?
8-2 解析法分析二向应力状态
9
? ? 0 nF
0s in)s in(c o s)s in(
c o s)c o s(s in)c o s(
??
???
??????
??????? ?
dAdA
dAdAdA
yyx
xxy
列平衡方程
? ? 0 tF
0c o s)s in(s in)s in(
s in)c o s(c o s)c o s(
??
???
??????
??????? ?
dAdA
dAdAdA
yyx
xxy
?y
a?
a?
?xy dA
α
n
t
x?
yx?
8-2 解析法分析二向应力状态
10
利用三角函数公式
)2c os1(21c os 2 ?? ??
)2c o s1(21s i n 2 ?? ??
??? 2s i nc o ss i n2 ?{
并注意到 化简得
xyyx ?? ?
???????? ? 2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx ?????
?????? ? 2c o s2s i n)(21 xyyx ???
8-2 解析法分析二向应力状态
11
x
y
?x
?y
?yx
?xy
a
2.正负号规则
正应力：拉为正；反之为负
切应力,使微元顺时针方向
转动为正；反之为负。
α 角,由 x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反
之为负。
?y
a?
a?
?xy
α
n
t
x?
yx?
x
8-2 解析法分析二向应力状态
12
???????? ? 2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx ?????
确定正应力极值
??????? ? 2c o s22s i n)( xyyxdd ????
设 α ＝ α 0 时，上式值为零，即
02c o s22s in)( 00 ???? ????? xyyx
3,正 应力极值和方向
02τc o s 2 ατs i n 2 α2 )σ(σ2
0α0xy0
yx ????
?
?
??
? ???
即 α ＝ α 0 时，切应力为零
8-2 解析法分析二向应力状态
13
yx
xy
??
??
???
22t a n
0
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别
为最大正应力和最小正应力所在平面。
所以，最大和最小正应力分别为：
? ? 22m a x 4212 xyyxyx ?????? ?????
? ? 22m i n 4212 xyyxyx ?????? ?????
主应力 按代数值 排序,σ 1 ? σ 2 ? σ 3
8-2 解析法分析二向应力状态
14
试求 （ 1） ? 斜面上的应力；
（ 2）主应力、主平面；
（ 3）绘出主应力单元体。
例题 1,一点处的平面应力状态如图所示。
y?
?
x?
xy?
。?30???
MP a，60?x? M P a,30??xy?
,M P a40??y?
已知
8-2 解析法分析二向应力状态
15
解,（ 1） ? 斜面上的应力
???????? ? 2s in2c o s22 xyyxyx ?????
)60s i n (30)60c o s (2 40602 4060 ?? ???????
M P a02.9?
?????? ? 2c o s2s in2 xyyx ???
)60c o s (30)60s i n (2 4060 ?? ?????
M P a3.58??
y?
?
x?
xy?
8-2 解析法分析二向应力状态
16
（ 2）主应力、主平面
2
yx ?? ??
xy
yx 22)
2
( ?
??
?
?
?max
?
M P a3.68?
2
yx ?? ??
xy
yx 22)
2
( ?
??
?
?
?min
?
M P a3.48??
M P a3.48,0M P a,3.68 321 ???? ???
y?
?
x?
xy?
8-2 解析法分析二向应力状态
17
主平面的方位：
yx
xytg
??
?
?
?
??
2
2 0
6.04060 60 ?????
,5.150 ???
??? 5.105905.150 ????
y?
?
x?
xy?
代入 表达式可知??
主应力 方向：
1? ?5.150 ??
主应力 方向：
3? ?5.1050 ??
8-2 解析法分析二向应力状态
18
（ 3）主应力单元体：
y?
?
x?
xy?
?5.15
1?
3?
8-2 解析法分析二向应力状态
19
???????? ? 2s i n2c o s)(21)(21 xyyxyx ?????
?????? ? 2c o s2s i n)(21 xyyx ???
xy
yxyx 2222 )
2
()
2
( ??????? ?? ??????
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
8-3 图解法分析二向应力状态
20
xy
yxyx 2222 )
2()2( ?
??????
?? ?
?????
?
?
R
C
xy
yxR 22)
2( ?
?? ???
2
yx ?? ?
1,应力圆：
8-3 图解法分析二向应力状态
21
2.应力圆的画法
?
?
D (?x,?xy)
D/(?
y,?yx)
c
? ?x y?
2
R
xy
yxR 22)
2( ?
?? ???
y?
?yx
?xy
A
D x
y
x?
8-3 图解法分析二向应力状态
22
点面对应 —— 应力圆上某一点的坐标值对应着
微元某一截面上的正应力和切应力
3、几种对应关系
?
?
D (?x,?xy)
D/(?
y,?yx)
c
? ?x y?
2
?y
?yx
?xy
?x
x
y
H
n
?
),( aa ??H
?2
8-3 图解法分析二向应力状态
23
1.定义
2?
3?
1?
三个主应力都不为零的应力状态
8-5 三向应力状态
24
由三向应力圆可以看出：
2
31
m a x
??? ??
结论：
代表单元体任意斜
截面上应力的点，
必定在三个应力圆
圆周上或圆内。
2
1
3?
3
2? 1?
?
?
0
8-5 三向应力状态
25
1,基本变形时的胡克定律
xx E ?? ?
E
x
xy
????? ????
x?
y
x
1）轴向拉压胡克定律
横向变形
2）纯剪切胡克定律
?? G?
?
8-6 广义胡克定律
26
2、三向应力状态的广义胡克定律 －叠加法
2?
3?
1?
? ?? ?3211 1 ????? ???
E
1?
2?
3?
1?
E
1?
E
2???
E
3???
8-6 广义胡克定律
27
2?
3?
1?
? ?? ?3211 1 ????? ???
E
? ?? ?1322 1 ????? ???
E
? ?? ?2133 1 ????? ???
E
8-6 广义胡克定律
28
)]([1 zyxx E ????? ???
G
xy
xy
?? ?
3、广义胡克定律的一般形式
)]([1 xzyy E ????? ???
)]([1 yxzz E ????? ???
G
yz
yz
?? ?
G
zx
zx
?? ?
?x ?y
?z
?xy ?yx
?yz
?zy?zx
?xz
8-6 广义胡克定律