1
第五 章
弯曲内力
目录
2
第五章 弯曲内力
? § 5-1 概述
? § 5-2 梁的载荷与支座
? § 5-3 剪力和弯矩及其方程
? § 5-4 剪力图和弯矩图的绘制
? § 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
? § 5-6 用叠加法作弯矩图
? § 5-7 平面刚架和曲杆的内力
0 目录
3
?§ 5-1 概述
起重机大梁
1 目录
4
?§ 5-1 概述
镗刀杆
目录
5
?§ 5-1 概述
车削工件
目录
6
?§ 5-1 概述
火车轮轴
目录
7
弯曲特点
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
?§ 5-1 概述
目录
8
常见弯曲构件截面
?§ 5-1 概述
目录
9
平面弯曲
?具有纵向对称面
?外力都作用在此面内
?弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
?§ 5-1 概述
目录
10
梁的载荷与支座
?集中载荷
?分布载荷
?集中力偶
固定铰支座 活动铰支座
固定端
?§ 5-2 梁的载荷与支座
2 目录
11
§ 5-2 梁的载荷与支座
目录
12
火车轮轴简化
?§ 5-2 梁的载荷与支座
目录
13
§ 5-2 梁的载荷与支座
目录
14
吊车大梁简化
均匀分布载荷
简称 均布载荷
?§ 5-2 梁的载荷与支座
目录
15
非均匀分布载荷
?§ 5-2 梁的载荷与支座
目录
16
简支梁
外伸梁
悬臂梁
FAx
FAy FBy
FAx
FAy FBy
FAx
FAyMA
?§ 5-2 梁的载荷与支座
静定梁的基本形式
目录
17
FN
FS
M ? ? 0xF 0N ?? F
? ? 0yF 1AS FFF y ???
? ? 0McF )(1 axFxFM Ay ????
FS剪力,平行于
横截面的内力合力
M 弯矩,垂直于
横截面的内力系的
合力偶矩FBy
FN
FS
M
?§ 5-3 剪力和弯矩及其方程
3 目录
FAy
18
FAy
FN
FS
M
FBy
FN
FS
M
截面上的剪力对梁上任意
一点的矩为 顺时针 转向时，
剪力为正； 反之 为负。
+ _
截面上的弯矩
使得梁呈 凹形 为 正；
反之 为负。
?§ 5-3 剪力和弯矩及其方程
+ _
左上右下 为正； 反之 为负
左顺右逆 为正； 反之 为负
目录
19
解,1,确定支反力
FAy FBy
? ? 0yF FFF ByAy 2??
? ? 0AM
aFFaaF By ???? 23
3
FF
By ? 3
5FF
Ay ?
2,用截面法研究内力
FSE
ME
? ? 0yF 352 FFF SE ??
? ? 0EM 233522 aFMaF E ????
3
FF
SE ??
2
3FaM
E ?
?§ 5-3 剪力和弯矩及其方程
目录
例题 5-1
求图示简支梁 E 截面的内力
FAy
20
FBy
FByFAy
FSE
ME O
3
FF
By ? 3
5FF
Ay ?
分析右段得到：
FSE
MEO
? ? 0yF 0?? BySE FF
3
FFF
BySE ????
? ? 0oM FaaFM ByE ??? 23
2
3FaM
E ?
?§ 5-3 剪力和弯矩及其方程
目录
21
FAy FBy
3
FF
By ? 3
5FF
Ay ?
截面上的剪力等于截
面任一侧外力的代数和。
?§ 5-3 剪力和弯矩及其方程
目录
FAy
FSE
3
5FF
SE ?
2F
FSE
F2?
3
F??
22
FAy FBy
3
FF
By ? 3
5FF
Ay ?
截面上的弯矩等于截面任
一侧外力对截面形心力矩的代
数和。
?§ 5-3 剪力和弯矩及其方程
目录
ME
FAy
2
3
3
5 aFM
E ?? 2
2 aF ?? Fa
2
3?
2F
ME
23???
???
8/2ql
q 悬臂梁受均布载荷作用 。
试写出剪力和弯矩方程, 并
画出剪力 图 和弯矩 图 。
解,任选一截面 x, 写出
剪力和弯矩 方程
x
? ? ? ?lxqxxF S ??0＝
? ? ? ?lxqxxM ??02/2＝
依方程画出剪力 图 和弯矩 图
FS
x
M
x
ql
2/2ql
l
由剪力 图, 弯矩图可见 。 最
大剪力和弯矩分别为
qlF S ＝max 2/2m a x qlM ＝
§ 5-4 剪力图和弯矩图的绘制
4 目录
例题 5-2
q
x ? ?xM
? ?xFS
24
???
???
???
BA
lFAY F
BY
图示简支梁 C点受集中力作用 。
试写出剪力和弯矩方程, 并画
出剪力图和弯矩图 。
解,1,确定约束力
00 ＝，＝ ?? BA MM
FAy＝ Fb/l FBy＝ Fa/l
2,写出剪力和弯矩方程
x2
FS
x
M
x
lFb/
lFa/
lFab/
x1
AC ? ? ? ?axlFbxF S ?? 11 0/＝
? ? ? ?axlF b xxM ?? 111 0/＝
CB ? ? ? ?lxalFaxF S ??? 22 /＝
? ? ? ? ? ?lxalxlFaxM ??? 222 /＝
3,依方程画出剪力图和弯矩图 。
§ 5-4 剪力图和弯矩图的绘制
C
Fa b
目录
例题 5-3
25
???
???
???
BA
lFAY F
BY
图示简支梁 C点受集中力偶作用 。
试写出剪力和弯矩方程, 并画
出剪力图和弯矩图 。
解,1,确定约束力
00 ＝，＝ ?? BA MM
FAy＝ M / l FBy＝ -M / l
2,写出剪力和弯矩方程
x2
lMa/
x1
AC ? ? ? ?axlMxF S ?? 11 0/＝
? ? ? ?axlMxxM ?? 111 0/＝
CB ? ? ? ?bxlMxF S ?? 22 0/＝
? ? ? ?bxlMxxM ??? 222 0/＝
3,依方程画出 剪力图和弯矩图 。
lM/
lMb/
§ 5-4 剪力图和弯矩图的绘制
C
M
a b
目录
例题 5-4
26
???
???
32/3 2ql 32/3 2ql
BA
lFAY
q
FBY
简支梁受均布载荷作用
试写出剪力和弯矩方程, 并 画
出剪力 图 和弯矩 图 。
解,1,确定约束力
00 ＝，＝ ?? BA MM
FAy＝ FBy＝ ql/2
2,写出剪力和弯矩方程
y
xCx
? ? ? ?lxqxqlxF S ??? 02/＝
? ? ? ?lxqxq lxxM ??? 02/2/ 2＝
3,依方程画出剪力图和弯矩图 。
FS
x
M
x
2/ql
2/ql
8/2ql
???
§ 5-4 剪力图和弯矩图的绘制
目录
例题 5-5
27
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
载荷集度、剪力和弯矩关系,)()()(22 xqdx xdFdx xMd s ??
5 目录
28
载荷集度、剪力和弯矩关系,)()()(
2
2
xqdx xdFdx xMd s ??
1,q＝ 0,Fs=常数,剪力图为直线；
M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。
2.q＝ 常数,Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线；
M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。
分布载荷向上（ q > 0），抛物线呈凹形；
分布载荷向上（ q < 0），抛物线呈凸形。
3,剪力 Fs=0处，弯矩取极值。
4,集中力作用处，剪力图突变；
集中力偶作用处，弯矩图突变
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
29
微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：
? 根据载荷及约束力的作用位置, 确定控
制面 。
? 应用截面法确定控制面上的剪力和弯
矩数值 。
? 建立 FS一 x和 M一 x坐标系, 并将控制面上
的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中 。
? 应用平衡微分方程确定各段控制面之间
的剪力图和弯矩图的形状, 进而画出剪力图
与弯矩图 。
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
30
? 也可 通过积分方法确定剪力,弯矩图上各
点处的数值。
Sd
d F
x
M ? xFM dd
S?
?? ? baba xFM dd S
? ? ? ? ? ? baFAaMbM S??
qxF ?dd S xqF dd S ?
?? ? baba xqF dd S
? ? ? ? ? ? baSS qAaFbF ??
从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）
突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。
从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上
（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没
有变化。
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
31
BA
1.5m1.5m1.5mF
AY FBY
1kN.m
2kN
例题 5-6 简支梁受力的大
小和方向如图示 。
试画出其剪力图和弯矩图 。
解,1,确定约束力
00 ＝，＝ ?? BA MM
求得 A,B二处的约束力 FAy＝ 0.89 kN,FBy＝ 1.11 kN
根据力矩平衡方程
2,确定控制面
在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面 。 即 A,C,D,E,F,B截面 。
EDC F
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
32
(+)
(-)
BA
1.5m1.5m1.5mF
AY FBY
1kN.m
2kN
EDC F
M (kN.m)
xO
3,建立坐标系
建立 FS－ x 和 M－ x 坐标
系
5,根据微分关系连图线
4,应用截面法确定控制
面上的剪力和弯矩值, 并
将其标在 FS－ x和 M－ x
坐标系中 。0.89
1.11
1.335
1.67
(-) (-)
0.335
x
FS(kN)
O
0.89 kN=
＝ 1.11 kN
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
33
（ -）
（ +）
解法 2,1,确定约束力
FAy＝ 0.89 kN
FFy＝ 1.11 kN
2,确定控制面为 A,C
,D,B两侧截面 。
FBY
BA
1.5m1.5m1.5mF
AY
1kN.m
2kN
DC
3,从 A截面左测开始画
剪力图 。
Fs（ kN）
0.89
1.11
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
34
（ -）（ -）
4,从 A截面左测开始画
弯矩图 。
M（ kN.m）
从 A左到 A右
从 C左到 C右
从 D左到 D右
从 A右到 C左
1.330
0.330
从 C右到 D左
1.665
（ -）
（ +）
FBY
BA
1.5m1.5m1.5mF
AY
1kN.m
2kN
DC
Fs（ kN）
0.89
1.11
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
从 D右到 B左
从 B左到 B右
目录
35
q
BA
D
a4a
FAy FBy
例题 5-7试画出梁剪力图和
弯矩图 。
解,1,确定约束力
根据梁的整体平衡, 由 00 ＝，＝ ?? BA MM
求得 A,B 二处的约束力 qaFqaF ByAy 4349 ＝＝,
qa
2,确定控制面
由于 AB段上作用有连续分布载荷, 故 A,B两个截
面为控制面, 约束力 FBy右侧的截面, 以及集中力 qa
左侧的截面, 也都是控制面 。
C
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
36
（ +）
（ -）
（ +）
q
BA
D
a4a
FAy FBy qa
C 3,建立坐标系
建立 FS－ x和 M－ x
坐标系
O
FS
x
O
M
x
4．确定控制面上的
剪力值，并将其标
在 FS－ x中。
4/9qa
4/7qa
qa
32/81 2qa
4/9a
2qa
5．确定控制面上的
弯矩值，并将其标在
M－ x中。
?qa49
qa43＝
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
37
（ +）
（ -）
qaFqaF ByAy 4349 ＝＝,
q
BA
D
a4a
FAy FBy qa
解法 2,1,确定约束力
2,确定控制面, 即 A
,B,D两侧截面 。
3,从 A截面左测开始画
剪力图 。
Fs
9qa/4
7qa/4
qa
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
38
（ +）M
（ +）
（ -）
q
BA
D
a4a
FAy FBy qa
Fs
9qa/4
7qa/4
qa
4,求出剪力为零的点
到 A的距离 。
B点的弯矩为
-1/2× 7qa/4× 7a/4
+81qa2/32=qa2
AB段为上凸抛物线 。 且有
极大值 。 该点的弯矩为
1/2× 9qa/4× 9a/4
=81qa2/32
5,从 A截面左测开始画弯
矩图
4/9a
81qa2/32
qa2
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
39
（-）（-）
（+） （+）
（-）Fs
例题 5-8试画出图示有中间
铰梁的剪力图和弯矩图 。
解,1,确定约束力
2/qaFDy ?
从铰处将梁截开
qFDy
FDy
qa
FAy
FBy
MA
FAy
FBy
2/3qaFBy ?
2/qaFAy ? 2/2qaM A ?
qa/2
qa/2
qa
M
qa2/2 qa2/2
BA
a
qa
C
aa
D
q
MA
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
40
平面刚架：
某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆
在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节
点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为
平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。
7 目录
§ 5-7 平面刚架和曲杆的内力
41
B
ql
2
2
ql
yq
已知平面刚架上的均布载荷集度 q,长度 l。
B 试：画出刚架的内力图。
例题 5-9
ql
2
2
ql
解,1、确定约束力2
2
ql
2、写出各段的内力方程
FN(y)
FS(y)
M(y)
竖杆 AB,A点向上为 y
? ?
? ? ? ?lyqyqlyF
qlqyyFF
S
Sx
????
?????
0
00
? ?
? ? ? ?lyqlyF
qlyFF
N
Ny
???
????
02/
02/0
? ? ? ?
? ? ? ?lyqyq lyyM
q lyyqyyMyM
????
??????
02/
02/0
2
y
§ 5-7 平面刚架和曲杆的内力
目录
42
横杆 CB,C点向左为 x
? ?
? ? ? ?lxqlxF
qlxFF
S
Sy
????
????
02/
02/0
? ? ? ?lxxF
F
N
x
???
??
00
0
? ? ? ?
? ? ? ?lxq lxxM
q lxxMxM
???
????
02/
02/0
B
ql
2
2
ql
2
2
ql
y
B
2
2
ql
FN(x)
M(x)
x
FS(x)
x
§ 5-7 平面刚架和曲杆的内力
已知平面刚架上的均布载荷集度 q,长度 l。
试：画出刚架的内力图。
解,1、确定约束力
2、写出各段的内力方程
目录
43
竖杆 AB：
? ? qyqlyF S ??
? ? 2/qlyFN ?
? ? 2/2qyq lyyM ??
B
ql
2
2
ql
2
2
ql
y
3、根据各段的内力方程画内力图
横杆 CB：
? ? 2/qlxF S ??
? ? 0?xFN
? ? /qlxxM ?
MFN FS
ql
2
2ql
＋
－ 2
ql2
ql2
ql
2ql
＋
§ 5-7 平面刚架和曲杆的内力
目录
44
平面曲杆
某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为
平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，
曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。
目录
§ 5-7 平面刚架和曲杆的内力
45目录
画出该曲杆的内力图
? ? ?? s inFF N ??
解,写出曲杆的内力方程
F
R
?
m
m
F
?? ??NF
? ??SF
? ??M
? ? ?? c o sFF S ?
? ? ?? sinFRM ?
F
NF
???
F
SF
???
FR
M
§ 5-7 平面刚架和曲杆的内力 例题 5-10
46
小结
1、熟练求解各种形式静定梁的支
座反力
2、明确剪力和弯矩的概念，理解
剪力和弯矩的正负号规定
3、熟练计算任意截面上的剪力和
弯矩的数值
4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，
正确绘制剪力图和弯矩图
目录
47
第五章作业
5—1a,e,f,m,n,t,5—3f,5—4a
目录
第五 章
弯曲内力
目录
2
第五章 弯曲内力
? § 5-1 概述
? § 5-2 梁的载荷与支座
? § 5-3 剪力和弯矩及其方程
? § 5-4 剪力图和弯矩图的绘制
? § 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
? § 5-6 用叠加法作弯矩图
? § 5-7 平面刚架和曲杆的内力
0 目录
3
?§ 5-1 概述
起重机大梁
1 目录
4
?§ 5-1 概述
镗刀杆
目录
5
?§ 5-1 概述
车削工件
目录
6
?§ 5-1 概述
火车轮轴
目录
7
弯曲特点
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
?§ 5-1 概述
目录
8
常见弯曲构件截面
?§ 5-1 概述
目录
9
平面弯曲
?具有纵向对称面
?外力都作用在此面内
?弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
?§ 5-1 概述
目录
10
梁的载荷与支座
?集中载荷
?分布载荷
?集中力偶
固定铰支座 活动铰支座
固定端
?§ 5-2 梁的载荷与支座
2 目录
11
§ 5-2 梁的载荷与支座
目录
12
火车轮轴简化
?§ 5-2 梁的载荷与支座
目录
13
§ 5-2 梁的载荷与支座
目录
14
吊车大梁简化
均匀分布载荷
简称 均布载荷
?§ 5-2 梁的载荷与支座
目录
15
非均匀分布载荷
?§ 5-2 梁的载荷与支座
目录
16
简支梁
外伸梁
悬臂梁
FAx
FAy FBy
FAx
FAy FBy
FAx
FAyMA
?§ 5-2 梁的载荷与支座
静定梁的基本形式
目录
17
FN
FS
M ? ? 0xF 0N ?? F
? ? 0yF 1AS FFF y ???
? ? 0McF )(1 axFxFM Ay ????
FS剪力,平行于
横截面的内力合力
M 弯矩,垂直于
横截面的内力系的
合力偶矩FBy
FN
FS
M
?§ 5-3 剪力和弯矩及其方程
3 目录
FAy
18
FAy
FN
FS
M
FBy
FN
FS
M
截面上的剪力对梁上任意
一点的矩为 顺时针 转向时，
剪力为正； 反之 为负。
+ _
截面上的弯矩
使得梁呈 凹形 为 正；
反之 为负。
?§ 5-3 剪力和弯矩及其方程
+ _
左上右下 为正； 反之 为负
左顺右逆 为正； 反之 为负
目录
19
解,1,确定支反力
FAy FBy
? ? 0yF FFF ByAy 2??
? ? 0AM
aFFaaF By ???? 23
3
FF
By ? 3
5FF
Ay ?
2,用截面法研究内力
FSE
ME
? ? 0yF 352 FFF SE ??
? ? 0EM 233522 aFMaF E ????
3
FF
SE ??
2
3FaM
E ?
?§ 5-3 剪力和弯矩及其方程
目录
例题 5-1
求图示简支梁 E 截面的内力
FAy
20
FBy
FByFAy
FSE
ME O
3
FF
By ? 3
5FF
Ay ?
分析右段得到：
FSE
MEO
? ? 0yF 0?? BySE FF
3
FFF
BySE ????
? ? 0oM FaaFM ByE ??? 23
2
3FaM
E ?
?§ 5-3 剪力和弯矩及其方程
目录
21
FAy FBy
3
FF
By ? 3
5FF
Ay ?
截面上的剪力等于截
面任一侧外力的代数和。
?§ 5-3 剪力和弯矩及其方程
目录
FAy
FSE
3
5FF
SE ?
2F
FSE
F2?
3
F??
22
FAy FBy
3
FF
By ? 3
5FF
Ay ?
截面上的弯矩等于截面任
一侧外力对截面形心力矩的代
数和。
?§ 5-3 剪力和弯矩及其方程
目录
ME
FAy
2
3
3
5 aFM
E ?? 2
2 aF ?? Fa
2
3?
2F
ME
23???
???
8/2ql
q 悬臂梁受均布载荷作用 。
试写出剪力和弯矩方程, 并
画出剪力 图 和弯矩 图 。
解,任选一截面 x, 写出
剪力和弯矩 方程
x
? ? ? ?lxqxxF S ??0＝
? ? ? ?lxqxxM ??02/2＝
依方程画出剪力 图 和弯矩 图
FS
x
M
x
ql
2/2ql
l
由剪力 图, 弯矩图可见 。 最
大剪力和弯矩分别为
qlF S ＝max 2/2m a x qlM ＝
§ 5-4 剪力图和弯矩图的绘制
4 目录
例题 5-2
q
x ? ?xM
? ?xFS
24
???
???
???
BA
lFAY F
BY
图示简支梁 C点受集中力作用 。
试写出剪力和弯矩方程, 并画
出剪力图和弯矩图 。
解,1,确定约束力
00 ＝，＝ ?? BA MM
FAy＝ Fb/l FBy＝ Fa/l
2,写出剪力和弯矩方程
x2
FS
x
M
x
lFb/
lFa/
lFab/
x1
AC ? ? ? ?axlFbxF S ?? 11 0/＝
? ? ? ?axlF b xxM ?? 111 0/＝
CB ? ? ? ?lxalFaxF S ??? 22 /＝
? ? ? ? ? ?lxalxlFaxM ??? 222 /＝
3,依方程画出剪力图和弯矩图 。
§ 5-4 剪力图和弯矩图的绘制
C
Fa b
目录
例题 5-3
25
???
???
???
BA
lFAY F
BY
图示简支梁 C点受集中力偶作用 。
试写出剪力和弯矩方程, 并画
出剪力图和弯矩图 。
解,1,确定约束力
00 ＝，＝ ?? BA MM
FAy＝ M / l FBy＝ -M / l
2,写出剪力和弯矩方程
x2
lMa/
x1
AC ? ? ? ?axlMxF S ?? 11 0/＝
? ? ? ?axlMxxM ?? 111 0/＝
CB ? ? ? ?bxlMxF S ?? 22 0/＝
? ? ? ?bxlMxxM ??? 222 0/＝
3,依方程画出 剪力图和弯矩图 。
lM/
lMb/
§ 5-4 剪力图和弯矩图的绘制
C
M
a b
目录
例题 5-4
26
???
???
32/3 2ql 32/3 2ql
BA
lFAY
q
FBY
简支梁受均布载荷作用
试写出剪力和弯矩方程, 并 画
出剪力 图 和弯矩 图 。
解,1,确定约束力
00 ＝，＝ ?? BA MM
FAy＝ FBy＝ ql/2
2,写出剪力和弯矩方程
y
xCx
? ? ? ?lxqxqlxF S ??? 02/＝
? ? ? ?lxqxq lxxM ??? 02/2/ 2＝
3,依方程画出剪力图和弯矩图 。
FS
x
M
x
2/ql
2/ql
8/2ql
???
§ 5-4 剪力图和弯矩图的绘制
目录
例题 5-5
27
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
载荷集度、剪力和弯矩关系,)()()(22 xqdx xdFdx xMd s ??
5 目录
28
载荷集度、剪力和弯矩关系,)()()(
2
2
xqdx xdFdx xMd s ??
1,q＝ 0,Fs=常数,剪力图为直线；
M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。
2.q＝ 常数,Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线；
M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。
分布载荷向上（ q > 0），抛物线呈凹形；
分布载荷向上（ q < 0），抛物线呈凸形。
3,剪力 Fs=0处，弯矩取极值。
4,集中力作用处，剪力图突变；
集中力偶作用处，弯矩图突变
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
29
微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：
? 根据载荷及约束力的作用位置, 确定控
制面 。
? 应用截面法确定控制面上的剪力和弯
矩数值 。
? 建立 FS一 x和 M一 x坐标系, 并将控制面上
的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中 。
? 应用平衡微分方程确定各段控制面之间
的剪力图和弯矩图的形状, 进而画出剪力图
与弯矩图 。
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
30
? 也可 通过积分方法确定剪力,弯矩图上各
点处的数值。
Sd
d F
x
M ? xFM dd
S?
?? ? baba xFM dd S
? ? ? ? ? ? baFAaMbM S??
qxF ?dd S xqF dd S ?
?? ? baba xqF dd S
? ? ? ? ? ? baSS qAaFbF ??
从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）
突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。
从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上
（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没
有变化。
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
31
BA
1.5m1.5m1.5mF
AY FBY
1kN.m
2kN
例题 5-6 简支梁受力的大
小和方向如图示 。
试画出其剪力图和弯矩图 。
解,1,确定约束力
00 ＝，＝ ?? BA MM
求得 A,B二处的约束力 FAy＝ 0.89 kN,FBy＝ 1.11 kN
根据力矩平衡方程
2,确定控制面
在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面 。 即 A,C,D,E,F,B截面 。
EDC F
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
32
(+)
(-)
BA
1.5m1.5m1.5mF
AY FBY
1kN.m
2kN
EDC F
M (kN.m)
xO
3,建立坐标系
建立 FS－ x 和 M－ x 坐标
系
5,根据微分关系连图线
4,应用截面法确定控制
面上的剪力和弯矩值, 并
将其标在 FS－ x和 M－ x
坐标系中 。0.89
1.11
1.335
1.67
(-) (-)
0.335
x
FS(kN)
O
0.89 kN=
＝ 1.11 kN
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
33
（ -）
（ +）
解法 2,1,确定约束力
FAy＝ 0.89 kN
FFy＝ 1.11 kN
2,确定控制面为 A,C
,D,B两侧截面 。
FBY
BA
1.5m1.5m1.5mF
AY
1kN.m
2kN
DC
3,从 A截面左测开始画
剪力图 。
Fs（ kN）
0.89
1.11
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
34
（ -）（ -）
4,从 A截面左测开始画
弯矩图 。
M（ kN.m）
从 A左到 A右
从 C左到 C右
从 D左到 D右
从 A右到 C左
1.330
0.330
从 C右到 D左
1.665
（ -）
（ +）
FBY
BA
1.5m1.5m1.5mF
AY
1kN.m
2kN
DC
Fs（ kN）
0.89
1.11
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
从 D右到 B左
从 B左到 B右
目录
35
q
BA
D
a4a
FAy FBy
例题 5-7试画出梁剪力图和
弯矩图 。
解,1,确定约束力
根据梁的整体平衡, 由 00 ＝，＝ ?? BA MM
求得 A,B 二处的约束力 qaFqaF ByAy 4349 ＝＝,
qa
2,确定控制面
由于 AB段上作用有连续分布载荷, 故 A,B两个截
面为控制面, 约束力 FBy右侧的截面, 以及集中力 qa
左侧的截面, 也都是控制面 。
C
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
36
（ +）
（ -）
（ +）
q
BA
D
a4a
FAy FBy qa
C 3,建立坐标系
建立 FS－ x和 M－ x
坐标系
O
FS
x
O
M
x
4．确定控制面上的
剪力值，并将其标
在 FS－ x中。
4/9qa
4/7qa
qa
32/81 2qa
4/9a
2qa
5．确定控制面上的
弯矩值，并将其标在
M－ x中。
?qa49
qa43＝
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
37
（ +）
（ -）
qaFqaF ByAy 4349 ＝＝,
q
BA
D
a4a
FAy FBy qa
解法 2,1,确定约束力
2,确定控制面, 即 A
,B,D两侧截面 。
3,从 A截面左测开始画
剪力图 。
Fs
9qa/4
7qa/4
qa
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
38
（ +）M
（ +）
（ -）
q
BA
D
a4a
FAy FBy qa
Fs
9qa/4
7qa/4
qa
4,求出剪力为零的点
到 A的距离 。
B点的弯矩为
-1/2× 7qa/4× 7a/4
+81qa2/32=qa2
AB段为上凸抛物线 。 且有
极大值 。 该点的弯矩为
1/2× 9qa/4× 9a/4
=81qa2/32
5,从 A截面左测开始画弯
矩图
4/9a
81qa2/32
qa2
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
39
（-）（-）
（+） （+）
（-）Fs
例题 5-8试画出图示有中间
铰梁的剪力图和弯矩图 。
解,1,确定约束力
2/qaFDy ?
从铰处将梁截开
qFDy
FDy
qa
FAy
FBy
MA
FAy
FBy
2/3qaFBy ?
2/qaFAy ? 2/2qaM A ?
qa/2
qa/2
qa
M
qa2/2 qa2/2
BA
a
qa
C
aa
D
q
MA
§ 5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
目录
40
平面刚架：
某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆
在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节
点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为
平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。
7 目录
§ 5-7 平面刚架和曲杆的内力
41
B
ql
2
2
ql
yq
已知平面刚架上的均布载荷集度 q,长度 l。
B 试：画出刚架的内力图。
例题 5-9
ql
2
2
ql
解,1、确定约束力2
2
ql
2、写出各段的内力方程
FN(y)
FS(y)
M(y)
竖杆 AB,A点向上为 y
? ?
? ? ? ?lyqyqlyF
qlqyyFF
S
Sx
????
?????
0
00
? ?
? ? ? ?lyqlyF
qlyFF
N
Ny
???
????
02/
02/0
? ? ? ?
? ? ? ?lyqyq lyyM
q lyyqyyMyM
????
??????
02/
02/0
2
y
§ 5-7 平面刚架和曲杆的内力
目录
42
横杆 CB,C点向左为 x
? ?
? ? ? ?lxqlxF
qlxFF
S
Sy
????
????
02/
02/0
? ? ? ?lxxF
F
N
x
???
??
00
0
? ? ? ?
? ? ? ?lxq lxxM
q lxxMxM
???
????
02/
02/0
B
ql
2
2
ql
2
2
ql
y
B
2
2
ql
FN(x)
M(x)
x
FS(x)
x
§ 5-7 平面刚架和曲杆的内力
已知平面刚架上的均布载荷集度 q,长度 l。
试：画出刚架的内力图。
解,1、确定约束力
2、写出各段的内力方程
目录
43
竖杆 AB：
? ? qyqlyF S ??
? ? 2/qlyFN ?
? ? 2/2qyq lyyM ??
B
ql
2
2
ql
2
2
ql
y
3、根据各段的内力方程画内力图
横杆 CB：
? ? 2/qlxF S ??
? ? 0?xFN
? ? /qlxxM ?
MFN FS
ql
2
2ql
＋
－ 2
ql2
ql2
ql
2ql
＋
§ 5-7 平面刚架和曲杆的内力
目录
44
平面曲杆
某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为
平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，
曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。
目录
§ 5-7 平面刚架和曲杆的内力
45目录
画出该曲杆的内力图
? ? ?? s inFF N ??
解,写出曲杆的内力方程
F
R
?
m
m
F
?? ??NF
? ??SF
? ??M
? ? ?? c o sFF S ?
? ? ?? sinFRM ?
F
NF
???
F
SF
???
FR
M
§ 5-7 平面刚架和曲杆的内力 例题 5-10
46
小结
1、熟练求解各种形式静定梁的支
座反力
2、明确剪力和弯矩的概念，理解
剪力和弯矩的正负号规定
3、熟练计算任意截面上的剪力和
弯矩的数值
4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，
正确绘制剪力图和弯矩图
目录
47
第五章作业
5—1a,e,f,m,n,t,5—3f,5—4a
目录
