第一章 质点运动学
第一篇 力 学
第二章 牛顿运动定律 第三章 功和能
第四章 动量和角动量 第五章 刚体的转动
第三篇 电场和磁场
第八章 真空中的静电场 第九章 静电场中的导体和电介质
第二篇 气体动理论和热力学基础
本学期教学内容
第六章 气体动理论 第七章 热力学基础
第十九章 狭义相对论基础
第五篇 近代物理学基础
第一章 质点运动学
第二章 牛顿运动定律
第三章 功和能
第四章 动量和角动量
第五章 刚体的转动
第一篇 力 学
力学是研究物体机械运动的规律及其应用的学科。
机械运动：物体在空间的位置随时间变化的过程。
运动学,只从几何观点研究物体的运动（位置、
速度、加速度、轨迹等）。（第 1章）
力学 动力学,联系产生或改变运动的原因一起研究。
（力、力矩、冲量、质量、转动惯量、
加速度、动量、角动量等）。（第 2,3
,4,5章）
静力学,研究作用在物体上的力的平衡条件。
（本课程内不讨论）
引 言
§ 1-1 参考系 质点
§ 1-2 质点的位移 速度和加速度
§ 1-3 相对运动
§ 1-4 圆周运动
第一章 质点运动学
1,掌握位矢（位置矢量）、位移、速度、加速度、
角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的
物理量的定义及其矢量性、相对性和瞬时性；
2,能借助直角坐标系用微积分方法计算质点在平面
内运动的速度、加速度和轨道方程；
3,能计算质点作抛体运动和圆周运动时的角速度、
角加速度、切向加速度和法向加速度。
教学要求
物体运动是绝对的，对运动的描述是相对的。
一、参考系、坐标系
参考系：为了研究一个物体的运动，必须另选一物
体作参考，这个被选作参考的物体称为 参考系 。
坐标系：定量地表示某一物体相对于参考系的位置。
物体的运动对不同的
参考系有不同的描述。这
个事实称为 运动描述的相
对性。
§ 1-1 参考系 质点
x
y
z
参考系
O
运动物体
坐标系
例,车厢在地面上向右匀速运动，甲在地面上，乙在车
厢内，同时观察螺钉从车顶落下的过程。
甲：螺钉作平抛运动。
乙：螺钉作自由落体运动。
可见参考系不同对运动的描述也不同。 即对运动的描述
是相对的。
甲
乙
二、质点（理想模型）
质点：具有质量而没有形状和大小的理想物体。
一个物体能否看作质点，要根据问题的性质来决定。
例如，
地球绕太阳运动,而研究地球的自转时，
地球可以当作质点； 地球就不能当作质点。
两条原则,1、物体的线度大大地小于它的运动空间；
2、物体作平动。
平 动
三、时间和时刻
任何一个物理过程 （包括机械运动 ）都必须经历一段
时间。
人们常用一个物理过程来定义时间。例如，地球自转
一周所经历的时间为一天，等于 86400秒。
时间趋于无限小的时候，就是时刻 。
时间对应于物理过程。 { 路程，位移 }
时刻对应于物理状态。 { 位置 }
一、质点的运动方程、轨道
1、质点的运动方程
一质点在空间中运动，任
意时刻 t 其位置可以由坐标
x,y,z 来确定（如图）它们是
时间的函数：
上式称为 质点的运动方程 。
运动方程,描述质点的位置随时间变化的方程。
运动学的问题，归根结底就是求质点的运动方程。
??
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
§ 1-2 质点的位移 速度和加速度
(1-1) x
y
z
x(t)y(t)
z(t)
o
2、轨道
轨道方程,描述质点运动路线的方程 。（如直线运动,
曲线运动、圆、椭圆、抛物线运动等）
由 运动方程消去时间 t 就得到质点的 轨道方程。
例如，平抛运动：
轨道为一抛物线：
,0),( ?yxf
2
2
0
2
0
2
2
1
)(
)(
x
g
y
gtty
ttx
v
v
?
?
?
tAt
tAtx
s i n)y(
c o s)(
?
?
?
?
又比如一个圆周运动，若运动方程为：
222 Ayx ??
则轨道为一圆心在原点，半径为 A 的圆：
x
y
v
0
3、位置矢量：
从坐标原点到质点所在位置 P 的矢量 称为 位置矢量 。
（ 1-1)和 (1-3)是等效的，他们都称
为 质点的运动方程 。
（为方便计，下面我们以讨论二
维问题为例）
r?
ktzjtyitxr ???? )()()( ???
)( trr ?? ?
i, j, k 是 x,y,z 轴上的单位矢量。 是时间的函数。
(1-2)
(1-3)
r?
运动方程（ 1-1）式也可以表示为：
r?
P
x
y
z
x(t)y(t)
z(t)
0
二、位移：
质点沿轨道运动,t 时刻在 点,时刻到达
点。则在 t 到 这段时间间隔内，质点从 位移到
□ 点,到 的矢量 称为质点在 时间内的 位移 。
1P tt ?? 2Ptt ??
1P
1P2P 2P r?? t?
12 rrr
??? ???
而 到 的轨道的几何长
度称为 时间内质点运动
的 路程,
1P 2P
y
x
O
1r
?
2r
?
r??
s?
1P
2P
s?
rs ??? ?
t?
注意,一般情况下
位移 是矢量,路程 是标量，且大小也不等。
1、平均速度：
位移 与发生这段位移所用时间 之比，称为 质点在时
间 内的 平均速度：
大小为：
平均速度与所选取的时间段（或
位移段）有关，故必须说明是哪一
段时间间隔内的平均速度。
t?
t
r
?
?? ??v
方向为,的方向。r??
t
r
?
?? |||| ??v
r??
t?
三、速度：
速度是描述质点运动快慢程度和运动方向的物理量。
y
x
O
1r
?
2r
?
r??
s?
1P
2P
2、瞬时速度：
当 趋近于 0时,也趋近于 0,点无限接近 点,此时的
平均速度就是在 t 时刻（或 位置）的 瞬时速度，简称速度。
从矢量代数可得：
的方向：
沿曲线在 点的切线方向，指向移动一方。
t? r?? 1P2P
1P
dt
rd
t
rt
t
???
????
??
l i m
0
)(v
1P
jdtdyidtdxdt rdt
????
???)(v
v?
P4
r??v?
v?
P3P
2
P1
2222 )
d
d
()
d
d
(
t
y
t
x
yx ?????
??
vvv
vvv yx
???
?
t
x
t
y
d
d
d
d
ant ??
x
y
v
v
?
的方向：
该点切线方向，与 x 轴正方向间的夹角为：
的数值,v?
v?
y
xO r
?
P ?
v?
3,平均速率 速率
在 内的 平均速率 定义为：t?
时间
路程?
?
??
t
sv
平均速率 与平均速度是不相同的。例如在 内质点刚好沿
圆运动一周，则平均速度,而平均速率
0?v?
t
r
??
?2v
t?
瞬时速率 定义为：平均速率在 0 时的极限：t?
dt
ds
t
s
t
????
?? 0
limv
平均速率, 速率都是 标量。
y
x
O
1r
?
2r
?
r??
s?
1P
2P
dt
dr?v
dt
rd ??v
dt
ds?v
22
?
?
??
?
???
?
??
?
??
dt
dy
dt
dxv
请判断下列式子的对错：
4,t 时刻的瞬时速率与瞬时速度大小之间的关系
dt
ds
t
s
sr
t
t
r ?
?
?
???
??
?
??
??
?
?
?? limlim 0t0t ||
0|| 时
v
可见：
瞬时速率与瞬时速度的大小相同,尽管平均速率一般
不等于平均速度的大小。
r?
rdr ?? ?
rd?
||rd ?
tRytRx ?? s i n),c o s21( ??? )11( ?
tRRx ?c o s2 ??
tRy ?s i n?
222)
2( Ry
Rx ???
这就是轨道的正交坐标方程，上式表示质点的轨道是半
径为 R 的圆周，圆心在点 处。
)0,2( R
例题 1-1 已知质点的运动方程为：
其中 R及 为常量，求质点的轨道及速度。
解：将（ 1-1）式改为：
将以上二式两边平方及相加得：
?
x
y
R
?
O
tRdtdxx ?? s i n???v
tRdtdyy ?? c o s??v
RttRyx ???? ????? 2222 c o ss i nvvv
t
x
y ?? c o tt a n ???
v
v
由此得速度的大小,
为一常量，所以质点的运动为匀速圆周运动。
速度 v与 x 轴所成的角 由下式决定：
v
?
由（ 1-1）式求得的速度分量为：
四、加速度：
1．平均加速度：
加速度是描述质点速度变化快慢的物理量，是矢量。
设质点 t 时刻时在 P点，速度为 v1，经过 后，质点运动到
Q点，速度为,则在 时间内速度的增量为：
则 内的平均加速度为：
称为在 t 到 t+ 时间间隔内的 平均
加速度。
t?
2v
1vvv
??? ???
2
t
a
?
?? v??
a? t?
t?
t?
Q
y
x
)(tr?
P
)( ttr ???
2v
?
1v
?
P
v??
1v
?
2v
?
0
2、瞬时加速度：
当,即 时，可以得到 质点在 P点时的瞬时
加速度：
0??t PQ?
dt
rd
dt
d
t
a
t
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
v
vv
0
lim
2
2
2
2
,dt ydadt xda yx ??
jdt ydidt xddt rdta
????
2
2
2
2
2
2
)( ???
加速度的大小为：
加速度 与 X 轴所成的角为,则：
加速度是速度对时间的变化率，所以无论速度的大小
改变或方向改变，都有加速度。
2
2
22
2
2
22
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
???
dt
yd
dt
xd
aaa yx
2
2
2
2
t a n
dt
xd
dt
yd
dt
d
dt
d
a
a
x
y
x
y
???
v
v
?
?a?
书中例题 1-2 设质点的运动方程仍由例题 1-1中（ 1-1）式
表示，求加速度。
解：利用例题 1-1的结果可得
由此得加速度的大小：
tR
dt
d
dt
yd
a
tR
dt
d
dt
xd
a
y
y
x
x
??
??
s i n
c o s
2
2
2
2
2
2
????
????
v
v
R
RttR
aaa
yx
2
2222
22
s i nc o s
v
????
??
????
如果把加速度写成矢量式，则有：
令 表示从圆心 到质点（ x,y）的矢径，得：
得到
可见加速度的方向为沿半径指向圆心的方向。
])
2
[(
)s i nc o s(
2
22
jyi
R
x
jtRitRa
??
???
????
???
?
????
? ),( 02
R
jyiRx
???
??? )
2
(?
?? ?? 2??a
x
y
?
O
?? a?
已知质点的运动方程，用微分的方法可以求得质点运动
的速度和加速度。
反之，已知质点运动的加速度和初始条件也可以用积分
的方法求得速度和运动方程。
例：一质点作匀变速直线运动，加速度为 a（常数），已知
t=0 时,x = x0,v = v0,求质点的速度及运动方程。
av ??? ??r
r??? ?? va
解：
adtdadtd ??? vv?
两边积分得：
? ??? 1cata d tv
x00 x
0v
再由
dtcatdxcatdtdx )( 11 ????? v
得
? ????? 2121 21)( ctcatdtcatx
两边积分得：
当 t = 0 时 x = x0, v = v0 可以求得 c1 = v0, c2 = x0
2
00
2
00
0
)2/1(
)2/1(
attxx
attxx
at
???
???
??
v
v
vv
速 度：
运动方程：
位移公式：
—— 匀变速直线运动公式
所以得：
解：（１）由平均速度的定义式，在 t＝ １ s,t ＝４ s 内
的平均速度为：
)sm(25.1
14
25.26
14
36
)()(
1
112212
?
???
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
ji
ji
t
jyixjyix
t
rr
t
r
??
??
???????
?
v
例 1,设质点的运动方程为
（１）计算在 t＝１ s到 t＝４ s 这段时间间隔内的平均速度；
jtyitxtr ??? )()()( ??
241)(,2)( 2 ???? ttyttx其中
)m, s(80.1)5.11( 1212222 ??????? yx vvvv?
解（２）：由题意知，速度的分量式为：
tdtdydtdx yx 21,1 ???? vv
故 t＝ 3 s 时速度分量为
11 sm5.1,sm1 ?? ???? yx vv
故 t＝ 3 s 时速度为
)sm(5.1 1???? ji ???v
而在 t＝ 3 s 时的速率为：
（ ２ ）求 t＝ 3 s 时的速度和速率；
（３）作出质点运动的轨迹图。
由运动方程可分别作 x - t,y - t 和 y - x 图。
2 4 6
2
4
6 x y
00 2 4 6
2
4
6x - t y - t
0 x
y
2 4 6-2-4-6
2
4
6
y - x
t t
2
4
1
)(
2)(
2 ??
??
tty
ttx
32141 2 ??? xxy
例 2、一质点运动轨迹为抛物线
24
2
2 tty
tx
???
?? ===> xxy 22 ???
(z = 0 )
求,x = -4 时 （ t > 0 ) 粒子的速度、速率、加速度。
分析,由 x = -4,
得 t = 2
x
y
v?
0
解,4|2
2 ????? ?tx tdt
dxv 24|44
2
3 ??????
?ty ttdt
dyv
ji ??? 244 ???v
37422 ??? yx vvv速率：
44412 222
2
?????? ?ty tdt yda
22 22
2
?????? ?txx dt xddtda v
jia ??? 442 ???
加速度：
例 3,已知 0,0,23
00 ???? vxjtia
???
求,r??,v
则,jtit ??? 23 ??v
解,a 是 t 的函数，由相应的公式得：
tdtddtad
dt
da
x
t
xxx
x
x
x
x
3,3,,
0 0
????? ? ? vvvv
v
v
2
0
,2,,
0
ttd tddtad
dt
d
a y
t
yyy
y
y
y
y
????? ?? vvv
v v
v
jtitr
??? 22
3
1
2
3 ??
位置矢量为：
2
0
2
0
0
2
00
0
3
1
2
3
3
tdttdtyy
tt d tdtxx
tt
y
tt
x
????
????
??
??
v
v
根据速度的定义得：
dtdydtdx yx vv ??
例 4,已知质点运动方程为 x=2t,y=19?2t2,式中 x,y以米计,t以
秒计，试求：（ 1）轨道方程；（ 2） t=1s 时的速度和加速度；
（ 3）何时质点位矢与速度矢量垂直？
2
2
119 xy ??
（ 2）对运动方程求导，得到任意时刻的速度
t
t
y
t
x
y
x
4
d
d
2
d
d
???
??
v
v
对速度求导，得到任意时刻的加速度：
（ 1）
4
d
d
0
d
d
???
??
t
a
t
a
y
y
x
x
v
v
（ 2）
解：（ 1）运动方程联立，消去时间 t得到轨道方程
将时间 t=1s代入速度和加速度分量式 (1),(2)中，求出时间 t=1s
对应的速度和加速度：
jiji
t
y
t
x
yx
y
x ?????
42
4
d
d
2
d
d
????
?
?
?
??
?
?
???
??
vvv
v
v
jjaiaa
t
a
t
a
yx
y
y
x
x ???
?
4
4
d
d
0
d
d
????
?
?
?
??
?
?
???
??
v
v
速度大小
)m, s(47.4 122 ???? yx vvv
加速度大小,
与 x 轴夹角
6263a r c t a n 0 ?????
?
?
???
??
x
y
v
v
?
)m, s(4 222 ???? yx aaa
0??v??r（ 3）质点位矢与速度矢量相互垂直的条件为
与 y 轴正方向相反。
矢量的乘积有两种：标积（点乘积），两矢量点积后为标量。
矢积（叉乘积），两矢量叉积后为矢量。
矢量的标积（点乘积）：
矢量方向间的夹角、为 BA
ABBA
??
??
?
?c o s??
A?
B?
?
0872
)()(
3 ??????
?????
ttyx
jijyixr
yx
yx
vv
vvv
??????
)s(3,0 ??t
t = ?3s 舍去，所以质点位矢与速度矢量在 t = 0s 和 t = 3s
时相互垂直。
解得：
由
矢量加法,BAC ??? ?? 矢量减法,ACB ??? ??
A?
B?
C?
A?
B? C?
A??
例 5,离水平面高为 h 的岸边，有人用绳以恒定速率 v0拉船靠岸。
求：船靠岸的速度、加速度随船至岸边距离变化的关系式？
jhixjyixr ????? ????
对时间求导得到速度和加速度：
itxtr
???
d
d
d
d ??v i
t
x
ta
???
2
2
d
d
d
d ?? v( 1 ) ( 2 )
由题意知：
t
r
d
d
0 ??v
h
0v
( 3 )
解：在如图所示的坐标系中，船的位矢为：
22 hrx ??又
x
hx
dt
dr
hr
r
dt
dx
x
22
022
???
?
??? vvv
3
2
2
02/322
2
2
0 )( x
h
xr
h
dt
daa x
x vv
v ??
?????
( 4 )
r?
o
y
x
x
将 (5) 式代入 (1)和 (2) 式中得：
i
x
h
t
x
a
i
x
h
t
x
?
?
?
?
?
?
3
22
0
2
2
2
0
d
d
1
d
d
v
vv
???
?
?
?
?
?
?
????
分析船的运动特点：
虽然收绳速率是均匀的, 但船的前进方向并不是绳子的
方向, 运动是变速的, 加速度也是变化的 。
3
22
0
2
22
0 d
d1
d
d
x
h
t
x
x
h
t
x vv ???
?
??
?
????即 （ 5）
例 6 一小球沿斜面向上运动，其运动方程为 S=5+4t-t2 （ SI）
则小球运动到最高点的时刻是：［ ］
例 7、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为：
（其中 a,b为常量）则该质点作 [ ]
（ A）匀速直线运动。 （ B）变速直线运动。
（ C）抛物线运动。 （ D）一般曲线运动。
jbtiatr ??? 22 ??
sttdtds 2024 ??????v
B
直线方程得消去 xabytbtyatx ??? 22
有关，变速与 tjbtiatdt rd ??
??
22 ???v
B
（ A） t=4 s （ B） t=2 s
（ C） t=8 s （ D） t=5 s
例 8、一质点沿 x 轴运动，其加速度 a与位置坐标 x 的关系为
a = 2 +6 x2 （ SI） 如果质点在原点处的速度为零，试求
其在任意位置处的速度。
解：
dx
d
dt
dx
dx
d
dt
da vvvv ???
??? ??? xx dxxadxd 0 200 )62(v vv
分离变量两边积分
332 2,22
2
1 xxxx ????? vv
例 9、一质点在平面上作曲线运动，其速率 v与路程 s的关系为
v=1+s2 （ SI）求其切向加速度用路程 s来表示的表达式？
32222 sss
dt
dss
dt
da
t ????? v
v解,即,322 ssa t ??
一、相对运动的速度
物体的运动速度和加速度是相对于某个参考系的,参
照系选取的不同，则物体的速度和加速度也不同 。
一个物体的运动,在两个不同的参考系中的描述之间有
何关系呢？ 我们讨论一种简单的情形。
设地球为参考系 E,称为
静止参考系,相对于地球作平
动的坐标系为 M 称为 运动参考
系 。如图所示。
y?
o ? x?
r?
P
o x
r??
y
E
M
0r?
§ 1－ 3 相对运动
oxy 为坐标系 E, o ? x ? y ?为坐标系 M, 质点 P 对两个
坐标系的位置矢量分别为,则,
0rrr
??? ???
rr ???和
0r
? 为 o ? 对 o 的位置矢量。
两边同时微分：
dt
d
d
d
d
d 0r
t
r
t
r ??? ???
dt
rd ?? ?
PEv
质点对参考系 E 的速度 （绝对速度）
dt
rd ?? ??
PMv
质点对参考系 M 的速度 （相对速度）
dt
rd 0?? ?
MEv
参考系 M相对于参考系 E 的速度 （牵连速度）
y?
o ? x?
r?
P
o x
r??
y
E
M
0r?
MEPMPE vvv
??? ??
即：质点的绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。
（速度合成定律）
二、相对运动的加速度
将速度合成定律再对时间 t 微分，得：
2
0
2
2
2
2
2
dt
d
d
d
d
d r
t
r
t
r ??? ???
2
2
dt
rd ?? ?
PEa 质点对参考系 E 的加速度（ 绝对加速度 ）
2
2
dt
rd ?? ??
PMa
质点对参考系 M 的加速度（ 相对加速度 ）
2
0
2
dt
rd ?? ?
MEa
参考系 M 相对于参考系 E 的加速度（ 牵连加速度 ）
MEPMPE aaa
??? ??
即：质点的绝对加速度等于相对加速度与牵连加速度的
矢量和。（加速度合成定律）
不同参考系下对运动的描述不同（描述运动是相对的）。
而物体的运动可以视为两种运动的合成。即物体同时参与两种
运动。
“同时参与两种运动”有两个含义：
1,物体的运动是由两个原因引起的。
如平抛运动：（ 1）由于惯性：水平方向匀速运动。
（ 2）由于受力：竖直方向匀加速运动。
2,变换了参考系。 参考系之间有相对运动。
例 1、飞机相对于空气的速度为 200 Km/h,风速为 56 Km/h,
方向从西向东，地面上雷达测得飞机速度的大小为 192 Km/h
，方向是多少？
解,三矢量构成三角形
空地机空机地,vvv ??? ??
由余弦定律有：
三者构成直角三角形
空地机地
机空空地机地
空地机地空地机地机空
2
0
561 9 22
2 0 0561 9 2
2
c o s
c o s2
222222
222
?
?
?
?
???
?
??
??
?
??
?
???
vv
vvv
vvvvv
飞机向正南或正北方向飞行
机地v
?
机空v
?
空地v
?
?
东
南
西
北
?机地v?
机空v
?
空地v
?
?
空地v
?
机地v
?
机空v
?
例 2、江水由西向东，流速为 V1 = 3 m/s，江宽为 b = 2.4× 103m
要让汽艇在 t = 10 min 内，垂直渡过江，问：应使艇在什么方
向航行？艇对水的航速 V2 =？
解：已知岸是静止参考系，江
水是运动参考系。
又艇相对于岸的速度（绝对速
度）为：
方向如图sm41060 104.2
3
????V
现要求相对速度 V2 =？
)(12 牵连速度相对速度绝对速度 ???? VVV ????
??
?
?
?
???
????
?
?
?
?
??
??
s
m40
s
m330
0
2
2
2
21
yy
x
yy
xxx
VV
V
VV
VVV
V?
2V
?
1V
?
?
东
南
西
北
x
y
即：艇相对于
水的速度应为
5 m/s，方向 西
偏北 5307’48’’。
84753a r c t a nsm5 0
2
2
2 ????????
x
y
V
VV ?，
例 3、某人骑摩托车向东前进，其速率为 10 ms?1时觉得有南
风，当速率增大到 15 ms?1时，又觉得有东南风。试求风的
速度？
解：在如图所示的坐标系中, K系是地面参考系； K?系
是建立在运动的人身上的参考系 。
AKv?
为风对地的速度；
KKKK ?? ?vv ??,
分别为两种条件下人对地的速度；
KAKA ?? ?vv ??,
分别为两种条件下风对人的速度，
由相对运动速度变化式有：
KKKAKKKAAK ???? ?????? vvvvv ?????
y
x?
AKv
?
KA ??v
?
KA ?v
?
KK?v
?
KK??v
?
045东
南
西
北
??
?
?
?
???
??? ?
4326)10/5a r c t a n (
)sm(510
0
1
?
jiAK
???
v得
风速的大小为：
)m / s(18.11510 22 ???Akv
由题知：
??
?
?
?
?
????
?
???
i
jj
KK
KKKKKA ?
?
?????
10
545t a n)( 0
v
vvv
y
x?
AKv
?
KA ??v
?
KA ?v
?
KK?v
?
KK??v
?
045东
南
西
北
圆运动是曲线运动的特例。曲线运动总伴随有速度变化。
大小变化，方向不变。 —— 直线运动
大小不变，方向变化。
大小变化，方向变化。
速度变化
—— 曲线运动
加速度是反映速度变化的物理量。而速度的变化又包含大小
和方向的变化 。
反映速度方向变化快慢 — 法向加速度。
反映速度大小变化快慢 — 切向加速度。
这种法向、切向的分析方法叫自然法（或称 自然坐标法 ）。
下面就用这种方法来讨论圆周运动。
§ 1－ 4 圆周运动
y
z
o
自然坐标
一、匀速圆周运动 向心加速度
质点在一个圆周上运动，它的速度大小保持不变，称为匀
速圆周运动，由于 方向随时变化，所以质点有加速度。
设质点在半径为 r 的圆周上作匀速率圆周运动。 t 时刻质点
在 P点速度为,经过时间 ?t 后运动到 Q 点，速度变为,
则速度的增量为：
v?
vvv ??? ??? 1
其加速度为：
ta t ?
??
??
v??
0
lim
1v
?
o r
v?
v??
o′
??
??
Q
P
v?
1v
?
1v
?
之间的夹角等于 OP 和 OQ 之间的夹角 ??,于是
?????Q?与 ???Q 相似：
r
PQ
r
PQ vv
v
v ?????
当 ?t??时, v?? 趋近于与 垂直，即指向圆心,故 的方向v? a?
指向圆心，因此 称为向心加速度或法向加速度。a?
rt
PQ
r
t
PQ
rt
a
t
tt
2
0
00
lim
limlim
vv
vv
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
o r
1v
?
v??
o ’
??
??
Q
P
P ’
Q ’
v?
v?
1v
?
vv ?? 及1
二、变加速圆周运动，切向加速度和法向加速度
质点作圆周运动，其速度的大小随时间而变化，则称为变速
圆周运动。
其中
设在 t 时刻质点位于 P点，速度
为,经过时间 ?t 后运动到 Q点
，速度为, BC表示在 ?t 时间
内的速度的增量 。
在 AC上取一点 D，令 AD=AB，
则矢量 分为两个矢量 和
：
v??
1v?
v?
nv
??
tv
??
tn vvv
??? ?????
nv
??
tv
??
为因速度的方向改变而产生的速度增量 。
为因速度的大小改变而产生的速度增量 。
v??
1v
?
P
Q
O ??
v?
v?
B
nv??tv??
A
C
D ??
v??
1v
?
平均加速度,
ttta
tn
?
??
?
??
?
?? vvv ????
瞬时加速度为：
tn
t
t
n
tt
aa
ttt
a ??
????
??
?
??
?
??
?
??
??????
vvv
000
l i ml i ml i m
ra n
2v
?
ttta t
t
tt d
dl i ml i m
00
vvv ?
?
??
?
??
????
加速度的大小为：
222
22
d
d
?
?
??
?
??
???
?
???
?
???
tr
aaa tn
vv
|| vv ??这里，
加速度的方向定义为 与 之间的方向角 ?：v?a?
t
n
a
a??t a n
归纳起来,法向加速度
na
?
大小：
方向：沿半径指向圆心。
切向加速度
大小：
方向：沿圆周切向。
ra n
2v
?
ta
? dt
da
t
v?
总加速度
tn aaa
??? ??
大小：
方向：
22
tn aaa ??
t
n
a
aa r c t a n??
na?
ta?
a?
?
a?
三、圆周运动的角量描述
当质点作圆周运动时它的运动也可以用角位移、角速度和
角加速度等 角量 来描述。
1、角坐标 — 描述质点在圆周运动中
的位置，用 表示。
2、角位移 — 描述质点角位置变化的物
理量，用 表示。
角位移是矢量,其
方向,由右手螺旋确定，
大小：
o ?
r?
?
P
o 0?
r?
?
P?
?
??
0??? ???
一般规定：
逆 时针转动，角位移为 正，
顺 时针转动，角位移为 负，
3、角速度 — 描述质点角位移变化快慢
的物理量，用 表示。
4、角加速度 — 描述质点角速度变化快
慢的物理量，用 表示。?
?
质点作圆周运动,t 时刻处于 P点，经 ?t 时间后到 Q 点，
? t 时间内的角位移为 ??。
以 代表质点运动的 平均角速度,?
t?
?? ?? P
Q
O ??
瞬时角速度 为：
ttt d
dl i m
0
??? ?
?
??
??
?的单位为, 弧度 /秒（ rad/s）
以 代表质点运动的 平均角加速度,?
tt ?
??
?
?? ???? 12
瞬时角加速度 为：
2
2
0 d
d
d
dlim
tttt
???? ??
?
??
??
?的单位为,弧度 /秒 2（ rad /s2）
P
Q
O ??
P
Q
O ?? ?1
?2
当 ? = 恒量时，质点作匀变速圆周运动（与匀变速直线运动
的公式相似）：
t??? ?? 0
2
0 2
1 tt ??? ??
???? 2202 ?? ?
?
?
?
?
?
???
?
a
x
x
v
四、线量与角量之间的关系
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2
?
?
?
?
ra
ra
r
rs
n
t
v
线量 角量 关系
s? ??
?
?
v
ta
na
P
Q
O ??
s?
解：在最高处的加速度 g 就是向心加速度，即
?
2
水平v?g
例 1、以初速率为 抛射角为 抛出一物体，问在其抛物线轨
道最高处的曲率半径 为多少？0v
0?
?
00 c o s?vv ?水平?
gg
0
22
0
2 c o s ?
? vv ??? 水平
0v
?
g
v水平
0?
例 2,一质点沿半径为 R 的圆周按 2
0 2
1 btts ?? v
规律运动, v0,b 是正值常数 。 求,（ 1） t时刻总加速度？
（ 2） t 为何值时总加速度大小等于 b？
btts ??? 0dd vv
速度方向与圆周相切并指向前方，
n
n
e
R
bt
eba
R
bt
R
a
b
t
a
???
2
0
2
0
2
)(
)(
d
d
?
????
?
?
?
??
?
?
?
??
???
v
vv
v
?
?
b
R
btbaaa
n ?
?????
2
4
0222 )( v
?
（ 2）由
得
bt
0v?
解：（ 1）已知运动轨道的问题，选用自然坐标系。
例 3,试计算地球自转时地面上各点的速度和加速度？
P点的纬度为 ?
,在半径为 R′且与
赤道平面平行的平
面内作圆周运动,
其速度和向心加速
度分别为
)m / s(co s1065.4co s 2 ???? ????? RRv
)m /s(c o s1037.3c o s 2222 ???? ?????? RRa n
15 s1027.72 ?????
T
??
解：由自转周期 T=24?60 ? 60s 有自转角速度为
地球半径 R=6.4?106m
?
P
van
Ro
R ′
?
广州纬度 0023 0 ???
)( m / s1010.3m / s )(428 22???? na，v
?
P
van
Ro
R ′
?
将北京、上海、广州纬度代入上式得：
)( m / s1058.2m / s )(356 22???? na，v7539 0 ???
上海纬度 2131
0 ??? )( m / s1089.2m / s )(398 22???? na，v
北京纬度
例 4、一质点沿半径为 R的圆运动，其路程 S 随时间 t 变化的规
律为 S = b t -c t2/2 （ SI），式中 b,c 为大于零的常数，
且 b2 >Rc。求：（ 1）质点运动的切向加速度 at 和法向加
速度 an 。（ 2）质点运动经过 t =？时,at = an 。
解：（ 1）
ctbdtds ???v:速度的大小为
R
ctb
Racdt
da
nt
22 )( ?
????? vv
（ 2）当 时有 Rcctbaa
nt ??? 2)(
c
R
c
btRcctb ??????
解：取如图的坐标系，则
例 5、一质点从距地面 h 处 以 V0 的速度水平抛出，求以后各时
刻的 。
tn aa ?? 和
??
?
?
?
??
?
2
0
2
1
gthy
tVx
tn
yx
aajga
gtVVVt
???? ????
????
而总加速度为：
时刻速度为,0
222
0
2
222
0
2
222
0
22
2
2
,
tgV
tg
tgV
tg
dt
d
a
tgVVVt
t
yx
?
?
?
???
????
v
v速度大小为：任意时刻
y
x
V0→
h
222
0
24
222
2222,:
tgV
tg
gaaa
gaaa
tn
tn
?
????
???
所以
又
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
222
0
2
222
0
0
tgV
tg
a
tgV
gV
a
t
n
θ
R
例 6、质点沿半径为 R的圆运动，运动方程为 θ = 3 +2 t2（ SI），
求：（ 1） t 时刻质点的法向加速度 an,（ 2） t 时刻质点
的角加速度 。?
t 时刻质点的角速度 为：?
所以 222
n m / s16 RtRa ?? ?
r a d / s4 tdtd ?? ??
2
2
2
r a d/s4?? dtd ??
而 t 时刻质点的角加速度 为：?
解,已知质点的运动方程
??? ??因为，由,而法向加速度 an=ω
2R
第一篇 力 学
第二章 牛顿运动定律 第三章 功和能
第四章 动量和角动量 第五章 刚体的转动
第三篇 电场和磁场
第八章 真空中的静电场 第九章 静电场中的导体和电介质
第二篇 气体动理论和热力学基础
本学期教学内容
第六章 气体动理论 第七章 热力学基础
第十九章 狭义相对论基础
第五篇 近代物理学基础
第一章 质点运动学
第二章 牛顿运动定律
第三章 功和能
第四章 动量和角动量
第五章 刚体的转动
第一篇 力 学
力学是研究物体机械运动的规律及其应用的学科。
机械运动：物体在空间的位置随时间变化的过程。
运动学,只从几何观点研究物体的运动（位置、
速度、加速度、轨迹等）。（第 1章）
力学 动力学,联系产生或改变运动的原因一起研究。
（力、力矩、冲量、质量、转动惯量、
加速度、动量、角动量等）。（第 2,3
,4,5章）
静力学,研究作用在物体上的力的平衡条件。
（本课程内不讨论）
引 言
§ 1-1 参考系 质点
§ 1-2 质点的位移 速度和加速度
§ 1-3 相对运动
§ 1-4 圆周运动
第一章 质点运动学
1,掌握位矢（位置矢量）、位移、速度、加速度、
角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的
物理量的定义及其矢量性、相对性和瞬时性；
2,能借助直角坐标系用微积分方法计算质点在平面
内运动的速度、加速度和轨道方程；
3,能计算质点作抛体运动和圆周运动时的角速度、
角加速度、切向加速度和法向加速度。
教学要求
物体运动是绝对的，对运动的描述是相对的。
一、参考系、坐标系
参考系：为了研究一个物体的运动，必须另选一物
体作参考，这个被选作参考的物体称为 参考系 。
坐标系：定量地表示某一物体相对于参考系的位置。
物体的运动对不同的
参考系有不同的描述。这
个事实称为 运动描述的相
对性。
§ 1-1 参考系 质点
x
y
z
参考系
O
运动物体
坐标系
例,车厢在地面上向右匀速运动，甲在地面上，乙在车
厢内，同时观察螺钉从车顶落下的过程。
甲：螺钉作平抛运动。
乙：螺钉作自由落体运动。
可见参考系不同对运动的描述也不同。 即对运动的描述
是相对的。
甲
乙
二、质点（理想模型）
质点：具有质量而没有形状和大小的理想物体。
一个物体能否看作质点，要根据问题的性质来决定。
例如，
地球绕太阳运动,而研究地球的自转时，
地球可以当作质点； 地球就不能当作质点。
两条原则,1、物体的线度大大地小于它的运动空间；
2、物体作平动。
平 动
三、时间和时刻
任何一个物理过程 （包括机械运动 ）都必须经历一段
时间。
人们常用一个物理过程来定义时间。例如，地球自转
一周所经历的时间为一天，等于 86400秒。
时间趋于无限小的时候，就是时刻 。
时间对应于物理过程。 { 路程，位移 }
时刻对应于物理状态。 { 位置 }
一、质点的运动方程、轨道
1、质点的运动方程
一质点在空间中运动，任
意时刻 t 其位置可以由坐标
x,y,z 来确定（如图）它们是
时间的函数：
上式称为 质点的运动方程 。
运动方程,描述质点的位置随时间变化的方程。
运动学的问题，归根结底就是求质点的运动方程。
??
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
§ 1-2 质点的位移 速度和加速度
(1-1) x
y
z
x(t)y(t)
z(t)
o
2、轨道
轨道方程,描述质点运动路线的方程 。（如直线运动,
曲线运动、圆、椭圆、抛物线运动等）
由 运动方程消去时间 t 就得到质点的 轨道方程。
例如，平抛运动：
轨道为一抛物线：
,0),( ?yxf
2
2
0
2
0
2
2
1
)(
)(
x
g
y
gtty
ttx
v
v
?
?
?
tAt
tAtx
s i n)y(
c o s)(
?
?
?
?
又比如一个圆周运动，若运动方程为：
222 Ayx ??
则轨道为一圆心在原点，半径为 A 的圆：
x
y
v
0
3、位置矢量：
从坐标原点到质点所在位置 P 的矢量 称为 位置矢量 。
（ 1-1)和 (1-3)是等效的，他们都称
为 质点的运动方程 。
（为方便计，下面我们以讨论二
维问题为例）
r?
ktzjtyitxr ???? )()()( ???
)( trr ?? ?
i, j, k 是 x,y,z 轴上的单位矢量。 是时间的函数。
(1-2)
(1-3)
r?
运动方程（ 1-1）式也可以表示为：
r?
P
x
y
z
x(t)y(t)
z(t)
0
二、位移：
质点沿轨道运动,t 时刻在 点,时刻到达
点。则在 t 到 这段时间间隔内，质点从 位移到
□ 点,到 的矢量 称为质点在 时间内的 位移 。
1P tt ?? 2Ptt ??
1P
1P2P 2P r?? t?
12 rrr
??? ???
而 到 的轨道的几何长
度称为 时间内质点运动
的 路程,
1P 2P
y
x
O
1r
?
2r
?
r??
s?
1P
2P
s?
rs ??? ?
t?
注意,一般情况下
位移 是矢量,路程 是标量，且大小也不等。
1、平均速度：
位移 与发生这段位移所用时间 之比，称为 质点在时
间 内的 平均速度：
大小为：
平均速度与所选取的时间段（或
位移段）有关，故必须说明是哪一
段时间间隔内的平均速度。
t?
t
r
?
?? ??v
方向为,的方向。r??
t
r
?
?? |||| ??v
r??
t?
三、速度：
速度是描述质点运动快慢程度和运动方向的物理量。
y
x
O
1r
?
2r
?
r??
s?
1P
2P
2、瞬时速度：
当 趋近于 0时,也趋近于 0,点无限接近 点,此时的
平均速度就是在 t 时刻（或 位置）的 瞬时速度，简称速度。
从矢量代数可得：
的方向：
沿曲线在 点的切线方向，指向移动一方。
t? r?? 1P2P
1P
dt
rd
t
rt
t
???
????
??
l i m
0
)(v
1P
jdtdyidtdxdt rdt
????
???)(v
v?
P4
r??v?
v?
P3P
2
P1
2222 )
d
d
()
d
d
(
t
y
t
x
yx ?????
??
vvv
vvv yx
???
?
t
x
t
y
d
d
d
d
ant ??
x
y
v
v
?
的方向：
该点切线方向，与 x 轴正方向间的夹角为：
的数值,v?
v?
y
xO r
?
P ?
v?
3,平均速率 速率
在 内的 平均速率 定义为：t?
时间
路程?
?
??
t
sv
平均速率 与平均速度是不相同的。例如在 内质点刚好沿
圆运动一周，则平均速度,而平均速率
0?v?
t
r
??
?2v
t?
瞬时速率 定义为：平均速率在 0 时的极限：t?
dt
ds
t
s
t
????
?? 0
limv
平均速率, 速率都是 标量。
y
x
O
1r
?
2r
?
r??
s?
1P
2P
dt
dr?v
dt
rd ??v
dt
ds?v
22
?
?
??
?
???
?
??
?
??
dt
dy
dt
dxv
请判断下列式子的对错：
4,t 时刻的瞬时速率与瞬时速度大小之间的关系
dt
ds
t
s
sr
t
t
r ?
?
?
???
??
?
??
??
?
?
?? limlim 0t0t ||
0|| 时
v
可见：
瞬时速率与瞬时速度的大小相同,尽管平均速率一般
不等于平均速度的大小。
r?
rdr ?? ?
rd?
||rd ?
tRytRx ?? s i n),c o s21( ??? )11( ?
tRRx ?c o s2 ??
tRy ?s i n?
222)
2( Ry
Rx ???
这就是轨道的正交坐标方程，上式表示质点的轨道是半
径为 R 的圆周，圆心在点 处。
)0,2( R
例题 1-1 已知质点的运动方程为：
其中 R及 为常量，求质点的轨道及速度。
解：将（ 1-1）式改为：
将以上二式两边平方及相加得：
?
x
y
R
?
O
tRdtdxx ?? s i n???v
tRdtdyy ?? c o s??v
RttRyx ???? ????? 2222 c o ss i nvvv
t
x
y ?? c o tt a n ???
v
v
由此得速度的大小,
为一常量，所以质点的运动为匀速圆周运动。
速度 v与 x 轴所成的角 由下式决定：
v
?
由（ 1-1）式求得的速度分量为：
四、加速度：
1．平均加速度：
加速度是描述质点速度变化快慢的物理量，是矢量。
设质点 t 时刻时在 P点，速度为 v1，经过 后，质点运动到
Q点，速度为,则在 时间内速度的增量为：
则 内的平均加速度为：
称为在 t 到 t+ 时间间隔内的 平均
加速度。
t?
2v
1vvv
??? ???
2
t
a
?
?? v??
a? t?
t?
t?
Q
y
x
)(tr?
P
)( ttr ???
2v
?
1v
?
P
v??
1v
?
2v
?
0
2、瞬时加速度：
当,即 时，可以得到 质点在 P点时的瞬时
加速度：
0??t PQ?
dt
rd
dt
d
t
a
t
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
v
vv
0
lim
2
2
2
2
,dt ydadt xda yx ??
jdt ydidt xddt rdta
????
2
2
2
2
2
2
)( ???
加速度的大小为：
加速度 与 X 轴所成的角为,则：
加速度是速度对时间的变化率，所以无论速度的大小
改变或方向改变，都有加速度。
2
2
22
2
2
22
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
???
dt
yd
dt
xd
aaa yx
2
2
2
2
t a n
dt
xd
dt
yd
dt
d
dt
d
a
a
x
y
x
y
???
v
v
?
?a?
书中例题 1-2 设质点的运动方程仍由例题 1-1中（ 1-1）式
表示，求加速度。
解：利用例题 1-1的结果可得
由此得加速度的大小：
tR
dt
d
dt
yd
a
tR
dt
d
dt
xd
a
y
y
x
x
??
??
s i n
c o s
2
2
2
2
2
2
????
????
v
v
R
RttR
aaa
yx
2
2222
22
s i nc o s
v
????
??
????
如果把加速度写成矢量式，则有：
令 表示从圆心 到质点（ x,y）的矢径，得：
得到
可见加速度的方向为沿半径指向圆心的方向。
])
2
[(
)s i nc o s(
2
22
jyi
R
x
jtRitRa
??
???
????
???
?
????
? ),( 02
R
jyiRx
???
??? )
2
(?
?? ?? 2??a
x
y
?
O
?? a?
已知质点的运动方程，用微分的方法可以求得质点运动
的速度和加速度。
反之，已知质点运动的加速度和初始条件也可以用积分
的方法求得速度和运动方程。
例：一质点作匀变速直线运动，加速度为 a（常数），已知
t=0 时,x = x0,v = v0,求质点的速度及运动方程。
av ??? ??r
r??? ?? va
解：
adtdadtd ??? vv?
两边积分得：
? ??? 1cata d tv
x00 x
0v
再由
dtcatdxcatdtdx )( 11 ????? v
得
? ????? 2121 21)( ctcatdtcatx
两边积分得：
当 t = 0 时 x = x0, v = v0 可以求得 c1 = v0, c2 = x0
2
00
2
00
0
)2/1(
)2/1(
attxx
attxx
at
???
???
??
v
v
vv
速 度：
运动方程：
位移公式：
—— 匀变速直线运动公式
所以得：
解：（１）由平均速度的定义式，在 t＝ １ s,t ＝４ s 内
的平均速度为：
)sm(25.1
14
25.26
14
36
)()(
1
112212
?
???
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
ji
ji
t
jyixjyix
t
rr
t
r
??
??
???????
?
v
例 1,设质点的运动方程为
（１）计算在 t＝１ s到 t＝４ s 这段时间间隔内的平均速度；
jtyitxtr ??? )()()( ??
241)(,2)( 2 ???? ttyttx其中
)m, s(80.1)5.11( 1212222 ??????? yx vvvv?
解（２）：由题意知，速度的分量式为：
tdtdydtdx yx 21,1 ???? vv
故 t＝ 3 s 时速度分量为
11 sm5.1,sm1 ?? ???? yx vv
故 t＝ 3 s 时速度为
)sm(5.1 1???? ji ???v
而在 t＝ 3 s 时的速率为：
（ ２ ）求 t＝ 3 s 时的速度和速率；
（３）作出质点运动的轨迹图。
由运动方程可分别作 x - t,y - t 和 y - x 图。
2 4 6
2
4
6 x y
00 2 4 6
2
4
6x - t y - t
0 x
y
2 4 6-2-4-6
2
4
6
y - x
t t
2
4
1
)(
2)(
2 ??
??
tty
ttx
32141 2 ??? xxy
例 2、一质点运动轨迹为抛物线
24
2
2 tty
tx
???
?? ===> xxy 22 ???
(z = 0 )
求,x = -4 时 （ t > 0 ) 粒子的速度、速率、加速度。
分析,由 x = -4,
得 t = 2
x
y
v?
0
解,4|2
2 ????? ?tx tdt
dxv 24|44
2
3 ??????
?ty ttdt
dyv
ji ??? 244 ???v
37422 ??? yx vvv速率：
44412 222
2
?????? ?ty tdt yda
22 22
2
?????? ?txx dt xddtda v
jia ??? 442 ???
加速度：
例 3,已知 0,0,23
00 ???? vxjtia
???
求,r??,v
则,jtit ??? 23 ??v
解,a 是 t 的函数，由相应的公式得：
tdtddtad
dt
da
x
t
xxx
x
x
x
x
3,3,,
0 0
????? ? ? vvvv
v
v
2
0
,2,,
0
ttd tddtad
dt
d
a y
t
yyy
y
y
y
y
????? ?? vvv
v v
v
jtitr
??? 22
3
1
2
3 ??
位置矢量为：
2
0
2
0
0
2
00
0
3
1
2
3
3
tdttdtyy
tt d tdtxx
tt
y
tt
x
????
????
??
??
v
v
根据速度的定义得：
dtdydtdx yx vv ??
例 4,已知质点运动方程为 x=2t,y=19?2t2,式中 x,y以米计,t以
秒计，试求：（ 1）轨道方程；（ 2） t=1s 时的速度和加速度；
（ 3）何时质点位矢与速度矢量垂直？
2
2
119 xy ??
（ 2）对运动方程求导，得到任意时刻的速度
t
t
y
t
x
y
x
4
d
d
2
d
d
???
??
v
v
对速度求导，得到任意时刻的加速度：
（ 1）
4
d
d
0
d
d
???
??
t
a
t
a
y
y
x
x
v
v
（ 2）
解：（ 1）运动方程联立，消去时间 t得到轨道方程
将时间 t=1s代入速度和加速度分量式 (1),(2)中，求出时间 t=1s
对应的速度和加速度：
jiji
t
y
t
x
yx
y
x ?????
42
4
d
d
2
d
d
????
?
?
?
??
?
?
???
??
vvv
v
v
jjaiaa
t
a
t
a
yx
y
y
x
x ???
?
4
4
d
d
0
d
d
????
?
?
?
??
?
?
???
??
v
v
速度大小
)m, s(47.4 122 ???? yx vvv
加速度大小,
与 x 轴夹角
6263a r c t a n 0 ?????
?
?
???
??
x
y
v
v
?
)m, s(4 222 ???? yx aaa
0??v??r（ 3）质点位矢与速度矢量相互垂直的条件为
与 y 轴正方向相反。
矢量的乘积有两种：标积（点乘积），两矢量点积后为标量。
矢积（叉乘积），两矢量叉积后为矢量。
矢量的标积（点乘积）：
矢量方向间的夹角、为 BA
ABBA
??
??
?
?c o s??
A?
B?
?
0872
)()(
3 ??????
?????
ttyx
jijyixr
yx
yx
vv
vvv
??????
)s(3,0 ??t
t = ?3s 舍去，所以质点位矢与速度矢量在 t = 0s 和 t = 3s
时相互垂直。
解得：
由
矢量加法,BAC ??? ?? 矢量减法,ACB ??? ??
A?
B?
C?
A?
B? C?
A??
例 5,离水平面高为 h 的岸边，有人用绳以恒定速率 v0拉船靠岸。
求：船靠岸的速度、加速度随船至岸边距离变化的关系式？
jhixjyixr ????? ????
对时间求导得到速度和加速度：
itxtr
???
d
d
d
d ??v i
t
x
ta
???
2
2
d
d
d
d ?? v( 1 ) ( 2 )
由题意知：
t
r
d
d
0 ??v
h
0v
( 3 )
解：在如图所示的坐标系中，船的位矢为：
22 hrx ??又
x
hx
dt
dr
hr
r
dt
dx
x
22
022
???
?
??? vvv
3
2
2
02/322
2
2
0 )( x
h
xr
h
dt
daa x
x vv
v ??
?????
( 4 )
r?
o
y
x
x
将 (5) 式代入 (1)和 (2) 式中得：
i
x
h
t
x
a
i
x
h
t
x
?
?
?
?
?
?
3
22
0
2
2
2
0
d
d
1
d
d
v
vv
???
?
?
?
?
?
?
????
分析船的运动特点：
虽然收绳速率是均匀的, 但船的前进方向并不是绳子的
方向, 运动是变速的, 加速度也是变化的 。
3
22
0
2
22
0 d
d1
d
d
x
h
t
x
x
h
t
x vv ???
?
??
?
????即 （ 5）
例 6 一小球沿斜面向上运动，其运动方程为 S=5+4t-t2 （ SI）
则小球运动到最高点的时刻是：［ ］
例 7、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为：
（其中 a,b为常量）则该质点作 [ ]
（ A）匀速直线运动。 （ B）变速直线运动。
（ C）抛物线运动。 （ D）一般曲线运动。
jbtiatr ??? 22 ??
sttdtds 2024 ??????v
B
直线方程得消去 xabytbtyatx ??? 22
有关，变速与 tjbtiatdt rd ??
??
22 ???v
B
（ A） t=4 s （ B） t=2 s
（ C） t=8 s （ D） t=5 s
例 8、一质点沿 x 轴运动，其加速度 a与位置坐标 x 的关系为
a = 2 +6 x2 （ SI） 如果质点在原点处的速度为零，试求
其在任意位置处的速度。
解：
dx
d
dt
dx
dx
d
dt
da vvvv ???
??? ??? xx dxxadxd 0 200 )62(v vv
分离变量两边积分
332 2,22
2
1 xxxx ????? vv
例 9、一质点在平面上作曲线运动，其速率 v与路程 s的关系为
v=1+s2 （ SI）求其切向加速度用路程 s来表示的表达式？
32222 sss
dt
dss
dt
da
t ????? v
v解,即,322 ssa t ??
一、相对运动的速度
物体的运动速度和加速度是相对于某个参考系的,参
照系选取的不同，则物体的速度和加速度也不同 。
一个物体的运动,在两个不同的参考系中的描述之间有
何关系呢？ 我们讨论一种简单的情形。
设地球为参考系 E,称为
静止参考系,相对于地球作平
动的坐标系为 M 称为 运动参考
系 。如图所示。
y?
o ? x?
r?
P
o x
r??
y
E
M
0r?
§ 1－ 3 相对运动
oxy 为坐标系 E, o ? x ? y ?为坐标系 M, 质点 P 对两个
坐标系的位置矢量分别为,则,
0rrr
??? ???
rr ???和
0r
? 为 o ? 对 o 的位置矢量。
两边同时微分：
dt
d
d
d
d
d 0r
t
r
t
r ??? ???
dt
rd ?? ?
PEv
质点对参考系 E 的速度 （绝对速度）
dt
rd ?? ??
PMv
质点对参考系 M 的速度 （相对速度）
dt
rd 0?? ?
MEv
参考系 M相对于参考系 E 的速度 （牵连速度）
y?
o ? x?
r?
P
o x
r??
y
E
M
0r?
MEPMPE vvv
??? ??
即：质点的绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。
（速度合成定律）
二、相对运动的加速度
将速度合成定律再对时间 t 微分，得：
2
0
2
2
2
2
2
dt
d
d
d
d
d r
t
r
t
r ??? ???
2
2
dt
rd ?? ?
PEa 质点对参考系 E 的加速度（ 绝对加速度 ）
2
2
dt
rd ?? ??
PMa
质点对参考系 M 的加速度（ 相对加速度 ）
2
0
2
dt
rd ?? ?
MEa
参考系 M 相对于参考系 E 的加速度（ 牵连加速度 ）
MEPMPE aaa
??? ??
即：质点的绝对加速度等于相对加速度与牵连加速度的
矢量和。（加速度合成定律）
不同参考系下对运动的描述不同（描述运动是相对的）。
而物体的运动可以视为两种运动的合成。即物体同时参与两种
运动。
“同时参与两种运动”有两个含义：
1,物体的运动是由两个原因引起的。
如平抛运动：（ 1）由于惯性：水平方向匀速运动。
（ 2）由于受力：竖直方向匀加速运动。
2,变换了参考系。 参考系之间有相对运动。
例 1、飞机相对于空气的速度为 200 Km/h,风速为 56 Km/h,
方向从西向东，地面上雷达测得飞机速度的大小为 192 Km/h
，方向是多少？
解,三矢量构成三角形
空地机空机地,vvv ??? ??
由余弦定律有：
三者构成直角三角形
空地机地
机空空地机地
空地机地空地机地机空
2
0
561 9 22
2 0 0561 9 2
2
c o s
c o s2
222222
222
?
?
?
?
???
?
??
??
?
??
?
???
vv
vvv
vvvvv
飞机向正南或正北方向飞行
机地v
?
机空v
?
空地v
?
?
东
南
西
北
?机地v?
机空v
?
空地v
?
?
空地v
?
机地v
?
机空v
?
例 2、江水由西向东，流速为 V1 = 3 m/s，江宽为 b = 2.4× 103m
要让汽艇在 t = 10 min 内，垂直渡过江，问：应使艇在什么方
向航行？艇对水的航速 V2 =？
解：已知岸是静止参考系，江
水是运动参考系。
又艇相对于岸的速度（绝对速
度）为：
方向如图sm41060 104.2
3
????V
现要求相对速度 V2 =？
)(12 牵连速度相对速度绝对速度 ???? VVV ????
??
?
?
?
???
????
?
?
?
?
??
??
s
m40
s
m330
0
2
2
2
21
yy
x
yy
xxx
VV
V
VV
VVV
V?
2V
?
1V
?
?
东
南
西
北
x
y
即：艇相对于
水的速度应为
5 m/s，方向 西
偏北 5307’48’’。
84753a r c t a nsm5 0
2
2
2 ????????
x
y
V
VV ?，
例 3、某人骑摩托车向东前进，其速率为 10 ms?1时觉得有南
风，当速率增大到 15 ms?1时，又觉得有东南风。试求风的
速度？
解：在如图所示的坐标系中, K系是地面参考系； K?系
是建立在运动的人身上的参考系 。
AKv?
为风对地的速度；
KKKK ?? ?vv ??,
分别为两种条件下人对地的速度；
KAKA ?? ?vv ??,
分别为两种条件下风对人的速度，
由相对运动速度变化式有：
KKKAKKKAAK ???? ?????? vvvvv ?????
y
x?
AKv
?
KA ??v
?
KA ?v
?
KK?v
?
KK??v
?
045东
南
西
北
??
?
?
?
???
??? ?
4326)10/5a r c t a n (
)sm(510
0
1
?
jiAK
???
v得
风速的大小为：
)m / s(18.11510 22 ???Akv
由题知：
??
?
?
?
?
????
?
???
i
jj
KK
KKKKKA ?
?
?????
10
545t a n)( 0
v
vvv
y
x?
AKv
?
KA ??v
?
KA ?v
?
KK?v
?
KK??v
?
045东
南
西
北
圆运动是曲线运动的特例。曲线运动总伴随有速度变化。
大小变化，方向不变。 —— 直线运动
大小不变，方向变化。
大小变化，方向变化。
速度变化
—— 曲线运动
加速度是反映速度变化的物理量。而速度的变化又包含大小
和方向的变化 。
反映速度方向变化快慢 — 法向加速度。
反映速度大小变化快慢 — 切向加速度。
这种法向、切向的分析方法叫自然法（或称 自然坐标法 ）。
下面就用这种方法来讨论圆周运动。
§ 1－ 4 圆周运动
y
z
o
自然坐标
一、匀速圆周运动 向心加速度
质点在一个圆周上运动，它的速度大小保持不变，称为匀
速圆周运动，由于 方向随时变化，所以质点有加速度。
设质点在半径为 r 的圆周上作匀速率圆周运动。 t 时刻质点
在 P点速度为,经过时间 ?t 后运动到 Q 点，速度变为,
则速度的增量为：
v?
vvv ??? ??? 1
其加速度为：
ta t ?
??
??
v??
0
lim
1v
?
o r
v?
v??
o′
??
??
Q
P
v?
1v
?
1v
?
之间的夹角等于 OP 和 OQ 之间的夹角 ??,于是
?????Q?与 ???Q 相似：
r
PQ
r
PQ vv
v
v ?????
当 ?t??时, v?? 趋近于与 垂直，即指向圆心,故 的方向v? a?
指向圆心，因此 称为向心加速度或法向加速度。a?
rt
PQ
r
t
PQ
rt
a
t
tt
2
0
00
lim
limlim
vv
vv
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
o r
1v
?
v??
o ’
??
??
Q
P
P ’
Q ’
v?
v?
1v
?
vv ?? 及1
二、变加速圆周运动，切向加速度和法向加速度
质点作圆周运动，其速度的大小随时间而变化，则称为变速
圆周运动。
其中
设在 t 时刻质点位于 P点，速度
为,经过时间 ?t 后运动到 Q点
，速度为, BC表示在 ?t 时间
内的速度的增量 。
在 AC上取一点 D，令 AD=AB，
则矢量 分为两个矢量 和
：
v??
1v?
v?
nv
??
tv
??
tn vvv
??? ?????
nv
??
tv
??
为因速度的方向改变而产生的速度增量 。
为因速度的大小改变而产生的速度增量 。
v??
1v
?
P
Q
O ??
v?
v?
B
nv??tv??
A
C
D ??
v??
1v
?
平均加速度,
ttta
tn
?
??
?
??
?
?? vvv ????
瞬时加速度为：
tn
t
t
n
tt
aa
ttt
a ??
????
??
?
??
?
??
?
??
??????
vvv
000
l i ml i ml i m
ra n
2v
?
ttta t
t
tt d
dl i ml i m
00
vvv ?
?
??
?
??
????
加速度的大小为：
222
22
d
d
?
?
??
?
??
???
?
???
?
???
tr
aaa tn
vv
|| vv ??这里，
加速度的方向定义为 与 之间的方向角 ?：v?a?
t
n
a
a??t a n
归纳起来,法向加速度
na
?
大小：
方向：沿半径指向圆心。
切向加速度
大小：
方向：沿圆周切向。
ra n
2v
?
ta
? dt
da
t
v?
总加速度
tn aaa
??? ??
大小：
方向：
22
tn aaa ??
t
n
a
aa r c t a n??
na?
ta?
a?
?
a?
三、圆周运动的角量描述
当质点作圆周运动时它的运动也可以用角位移、角速度和
角加速度等 角量 来描述。
1、角坐标 — 描述质点在圆周运动中
的位置，用 表示。
2、角位移 — 描述质点角位置变化的物
理量，用 表示。
角位移是矢量,其
方向,由右手螺旋确定，
大小：
o ?
r?
?
P
o 0?
r?
?
P?
?
??
0??? ???
一般规定：
逆 时针转动，角位移为 正，
顺 时针转动，角位移为 负，
3、角速度 — 描述质点角位移变化快慢
的物理量，用 表示。
4、角加速度 — 描述质点角速度变化快
慢的物理量，用 表示。?
?
质点作圆周运动,t 时刻处于 P点，经 ?t 时间后到 Q 点，
? t 时间内的角位移为 ??。
以 代表质点运动的 平均角速度,?
t?
?? ?? P
Q
O ??
瞬时角速度 为：
ttt d
dl i m
0
??? ?
?
??
??
?的单位为, 弧度 /秒（ rad/s）
以 代表质点运动的 平均角加速度,?
tt ?
??
?
?? ???? 12
瞬时角加速度 为：
2
2
0 d
d
d
dlim
tttt
???? ??
?
??
??
?的单位为,弧度 /秒 2（ rad /s2）
P
Q
O ??
P
Q
O ?? ?1
?2
当 ? = 恒量时，质点作匀变速圆周运动（与匀变速直线运动
的公式相似）：
t??? ?? 0
2
0 2
1 tt ??? ??
???? 2202 ?? ?
?
?
?
?
?
???
?
a
x
x
v
四、线量与角量之间的关系
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2
?
?
?
?
ra
ra
r
rs
n
t
v
线量 角量 关系
s? ??
?
?
v
ta
na
P
Q
O ??
s?
解：在最高处的加速度 g 就是向心加速度，即
?
2
水平v?g
例 1、以初速率为 抛射角为 抛出一物体，问在其抛物线轨
道最高处的曲率半径 为多少？0v
0?
?
00 c o s?vv ?水平?
gg
0
22
0
2 c o s ?
? vv ??? 水平
0v
?
g
v水平
0?
例 2,一质点沿半径为 R 的圆周按 2
0 2
1 btts ?? v
规律运动, v0,b 是正值常数 。 求,（ 1） t时刻总加速度？
（ 2） t 为何值时总加速度大小等于 b？
btts ??? 0dd vv
速度方向与圆周相切并指向前方，
n
n
e
R
bt
eba
R
bt
R
a
b
t
a
???
2
0
2
0
2
)(
)(
d
d
?
????
?
?
?
??
?
?
?
??
???
v
vv
v
?
?
b
R
btbaaa
n ?
?????
2
4
0222 )( v
?
（ 2）由
得
bt
0v?
解：（ 1）已知运动轨道的问题，选用自然坐标系。
例 3,试计算地球自转时地面上各点的速度和加速度？
P点的纬度为 ?
,在半径为 R′且与
赤道平面平行的平
面内作圆周运动,
其速度和向心加速
度分别为
)m / s(co s1065.4co s 2 ???? ????? RRv
)m /s(c o s1037.3c o s 2222 ???? ?????? RRa n
15 s1027.72 ?????
T
??
解：由自转周期 T=24?60 ? 60s 有自转角速度为
地球半径 R=6.4?106m
?
P
van
Ro
R ′
?
广州纬度 0023 0 ???
)( m / s1010.3m / s )(428 22???? na，v
?
P
van
Ro
R ′
?
将北京、上海、广州纬度代入上式得：
)( m / s1058.2m / s )(356 22???? na，v7539 0 ???
上海纬度 2131
0 ??? )( m / s1089.2m / s )(398 22???? na，v
北京纬度
例 4、一质点沿半径为 R的圆运动，其路程 S 随时间 t 变化的规
律为 S = b t -c t2/2 （ SI），式中 b,c 为大于零的常数，
且 b2 >Rc。求：（ 1）质点运动的切向加速度 at 和法向加
速度 an 。（ 2）质点运动经过 t =？时,at = an 。
解：（ 1）
ctbdtds ???v:速度的大小为
R
ctb
Racdt
da
nt
22 )( ?
????? vv
（ 2）当 时有 Rcctbaa
nt ??? 2)(
c
R
c
btRcctb ??????
解：取如图的坐标系，则
例 5、一质点从距地面 h 处 以 V0 的速度水平抛出，求以后各时
刻的 。
tn aa ?? 和
??
?
?
?
??
?
2
0
2
1
gthy
tVx
tn
yx
aajga
gtVVVt
???? ????
????
而总加速度为：
时刻速度为,0
222
0
2
222
0
2
222
0
22
2
2
,
tgV
tg
tgV
tg
dt
d
a
tgVVVt
t
yx
?
?
?
???
????
v
v速度大小为：任意时刻
y
x
V0→
h
222
0
24
222
2222,:
tgV
tg
gaaa
gaaa
tn
tn
?
????
???
所以
又
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
222
0
2
222
0
0
tgV
tg
a
tgV
gV
a
t
n
θ
R
例 6、质点沿半径为 R的圆运动，运动方程为 θ = 3 +2 t2（ SI），
求：（ 1） t 时刻质点的法向加速度 an,（ 2） t 时刻质点
的角加速度 。?
t 时刻质点的角速度 为：?
所以 222
n m / s16 RtRa ?? ?
r a d / s4 tdtd ?? ??
2
2
2
r a d/s4?? dtd ??
而 t 时刻质点的角加速度 为：?
解,已知质点的运动方程
??? ??因为，由,而法向加速度 an=ω
2R
