2010-5-15
§ 19 - 6 相对论动力学基础
按照爱因斯坦的相对性原理，一切物理定律
在所有惯性系中都是一样的，在洛仑兹变换下形
式不变。对经典力学定律显然不能满足要求，这
就需要对其加以改造，就产生了相对论力学。
一、质量与速度的关系
在经典力学中，牛顿第二定律 F = ma 中质
量 m是一常数与速度无关。若在恒力作用下，恒定
加速度将使物体速度趋于无穷大,这与光速是速
度的极限相矛盾 。
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
2010-5-15
S’ 系 相对于 S系沿 x轴以速率 u运动,S’ 系中
有两个质点 A,B,观察者相对于他们静止时，测
得的质量均为 m0。
质点 A,B 在 S’ 系中以相同的速率 u 沿 x 轴
相向运动，碰撞后合为一质点 C，速率为 v’ =0：
下面我们找出具体的 质 量和 速 度的 关系,
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
S S
’
u u
A B
S S
’
C
2010-5-15
碰撞前后动量守恒,0)( ?????? vmummu
碰撞前后质量守恒,mm ??2
x
x
x cu
u
v
vv
??
???
)/(1 2
由相对论速度变换法则：
质点 A,B 在 S 系中的速率 v1,v2分别为：
ucu
u
ucu
uu
)/(1
2
)/(1 221 ???
??v
0)/(1 22 ?? ??? ucu uuv
质点 C在 S 系中的速率为：
ucu u ??? ?? 0)/(1 0 2v
①
2010-5-15
质点 A,B 在 S ’ 系中
uumm )0)( 11 (vv ???
0))(()( ?????? vmuumuum
质量守恒形式为：
动量守恒形式为：
mum ??)(2
质点 A,B 在 S 系中
质量守恒形式为：
动量守恒形式为：
设质量 m与速率 v的函数关系为：
)( vmm ? 0)0( mm ??v且
))( 10 ummm (v ???
②
从 ②中消去 m ’ （ u） 得到 u,代入 ① 可解得：
21
0
1
)(1
)(
c
mm
v
v
?
?
即：
2
0
)(1
)(
c
mm
v
v
?
?
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
上式指出：一个物体的质量 m 随其速率 v按公式
变化，则经典的动量原理仍然有效。
2
0
)(1
c
mm
v?
?
)/(1
)(
22
0
c
mm
v
v
?
?
静止质量
运动质量 物体运动速度
当 v <<c 时, m ? m0 此时物体质量可视为不
变。 如,v = 3 ?104 m/s, 静止质量为 m0 = 1 kg 的
物体的质量变为：
)kg(0 0 0 0 0 0 0 5.1
)/(1 2
0 ?
?
?
c
mm
v
（质量变化极小，可视为不变）
—— 相对论质、速关系式
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
当物体高速运动时就不同了，如当电子的速
度为 v = 0.98c 时，电子质量为：
02
0 5
)98.0(1
mmm ?
?
?
如果物体的速度
达到光速 c,则物体
的质量将变为无限大，
所以物体的速度不可
能达到光速。 m0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 v/c
m
2
0
)(1 c
mm
v?
?
2010-5-15
二、相对论力学的基本方程
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
2
0
)(1
c
v
v
v
?
??
?
?? m
mp
此即低速时的牛顿第二定律。
)
)(1
(
2
0
c
v
v
v
v
?
????
?
?
???
m
dt
d
dt
dm
dt
d
m
dt
pd
F
amdtdmmdtdF ?
???
000 )( ???
vv
以 v 运动的物体的动量为：
牛顿第二定律的形式：
v << c 时有 m = m0 则
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
经典力学观点 狭义相对论观点
力的作用：改变速度
力的方向与 的方向
一致
物体受力作用 v?大
永远受同一方向的力作
用 则 v ??
力的作用,改变速度
改变质量
力的方向与 和 的矢量
和的方向一致
物体受力作用,v?大
m ?大
不断受力 v? c,
因为当 v ? c 时 m ??
)( dtdmF v
??
? )( dtdmdtdmF vv ?
??
??
v? v?d
2
0
)/(1 c
mm
v?
?
c 是 v 的极限
v?d
2010-5-15
三、质量和能量的关系
由狭义相对论可以推导出另一个重要的关系
式 —— 质 量和 能 量的 关系 。
设有一自由质点，在某一惯性系中的静止质
量为 m0,当质点在外力 F 的作用下位移 ds时，由
质点的动能定理，动能的增量为：
dtFsdFdE k v???? ????
由动量定理：
)( v?? mddtF ?
vvvvvv ?????? ?????? )()()( dmmdmddE k
vvvvvvv 2 dddd ????? )(21)(21)( ????又因为
所以：
vvv 2 dmdmdE k ??动能的增量为：
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
又已知
,
)/(1 2
0
c
mm
v?
? 2202222 cmmcm ?? v可得：
两边求微分得：
即动能的增量为,dEk = c2 dm
代入初始条件积分：
，得：dmcdEkE mmk? ??0 2
0
202 cmmcE k ??
在式中令：
mc2 = E —— 物体的 总能量
m0c2 = E0 —— 物体的 静止能量
vvv dmdmdmc ?? 22
2010-5-15
E = m0c2 +Ek —— 物体的质能关系式
静止能量说明静止物体也具有巨大的能量，
比如 1公斤的物体的静止能量：
E0 =1×（ 3× 108） 2 = 9× 1016 J
若 v ≠ 0 时，物体的总能量为：
)
8
3
2
1
1(
)1(
)/(1
4
4
2
2
2
0
2/1
2
2
2
0
2
2
02
?????
??
?
??
?
cc
cm
c
cm
c
cm
mcE
vv
v
v
可见物体的动能等于物体的总能量和静止能量
之差。
???????? 242 312111 1 xxx
2010-5-15
当 v << c 时，略去高次项，上式近似为：
2
0
2
02
2
2
0
2
2
1)
2
11( vv mcm
ccmmc ????
kEEE ?? 0
0EEE k ??
回到经典物理的结果—2021 vmE k ?
由质能关系，物体能量改变伴随有质量的改
变，同样物体质量改变也伴随有能量的改变：
? E = c2 ? m
必须指出能量和质量的相应改变，并不意味
着二者可以相互转化，质量不可以转化为能量，
能量也不可以转化为质量。
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
质量和能量是物质不可分割的属性，物质有
质量同时也具有能量，质量是通过物体的惯性和
万有引力现象显示的，能量则是通过物质系统状
态变化时对外作功、传热等形式显示的。虽然表
现方式不同，但二者是密切相关的。
质量、能量不能被创造，也不能被消灭。在
一个封闭系统内，总质量和总能量永远是守恒的。
在封闭系统内能量转化的同时也伴随着系统内质
量的转化。这就是质能关系式所包含的深刻的物
理含义 。
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
在一般变化过程中，质量的改变是很微小的。
例如：使 0.001 kg 的水从 273 k 升到 373 k, 吸
收的热量为 418.6 J, 求其质量的增加量。
解：
)kg(1065.4
)103(
6.418
15
282
???
?
?
?
??
c
E
m
这样小的质量增加量是观察不出来的。但
在原子核反应中，质量的改变就不能忽略了。
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
在轻元素（氢或重氢）原子核相互结合成较
重的原子核（如氦）时，会发生质量的减少，这
时会有大量的能量释放；重元素（如铀）原子核
分裂成两个中等轻重的原子核时也会发生质量的
减少，也会有大量的能量释放，这就是 原子核能 。
中国广东大亚湾核电站
2010-5-15
1 kg 汽油燃烧
时释放的热能（由
化学能转化而来）
约为 5× 107 J, 它仅
仅相当于 1 kg 汽油
所具有的静止能量
的 20亿分之一。
原子反应堆就是利用重核分裂释放能量的
原理设计和建造的。足见狭义相对论的重要结
论已经在生产技术上和人类生活中发生了深刻
的影响。
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
例：一个静止质量为 m0 的粒子，当其速度由 0.6 c
增加到 0.8 c 时，外界对它所作的功 W=？
解：
2
0
2
0
22
2
0
2
1
2
0
2
2
2
0
2
0
2
1
2
0
2
2
4.0)
8.0
1
6.0
1
(
)
6.01
1
8.01
1
(
)/(1)/(1
)()(
cmcm
cm
c
cm
c
cm
cmcmcmcmW
???
?
?
?
?
?
?
?
?
????
vv
不能用这样的方法求解：
2
0
222
0
2
10
2
20
14.0)6.08.0(
2
1
2
1
2
1
cmcm
mmW
???
?? vv
2010-5-15
四、动量和能量的关系
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
由质能关系式
动量表达式
两式消去 v 可得动量和能量的关系：
)1(
)/(1 2
2
02 ?
c
cmmcE
v?
??
)2(
)/(1 2
0 ?
c
mmp
v
vv
?
??
22
0
2
22
222
0
2
22
0
22
022
22
)(
)/(1
)(
)2(]
)1(
[
cm
c
c
cm
c
mcm
p
c
E
c
?
?
?
?
?
?
??
?
v
v
v
v
得：
化简 得：
2220224202 pcEpccmE ????
这就是相对论中的动量和能量的关系式。
2010-5-15
光子的能量 E = p c = m c2
光子的运动质量：
光子的动量：
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
2c
Em ?
c
Ep ?
因为光子有质量，所以光子会受到星球的万
有引力作用而弯曲。因为光子有动量，所以当光
照射到物体表面上时，会产生光压。这一点已由
列别捷夫测出光压所证实。因为光子有能量，所
以当光照射到金属表面上时，会有光电子跑出来。
光照射的物体会发热等等。
光子永远以光速运动着,没有静止质量和静
止能量,但光子有运动质量、动量和能量，这是
光子物质性的具体表现。
例,m0为电子的静质量，求（ 1）电子的静能是多少电子伏特；
（ 2） 从静止开始加速到 0.60c的速度需作的功；（ 3）动量为
0.60 MeV/c 时的能量。
解：（ 1）电子的静能为,（ m0 = 9.1 × 10-31 kg）
)eV(1012.5)106.1/(101 9 9.8
)J(101 9 9.8)103(101.9
51914
1428312
00
?????
???????
??
??cmE
（ 2）加速到 0.60c 时电子的能量为：
)J(100 2 5.1
60.01
101 9 9.8
1
13
2
14
2
2
02 ?
?
??
?
??
?
??
?
cmmcE
需要作的功为：
)J(1005.2101 9 9.8100 2 5.1 1414130 ??? ???????? EEW
（ 1eV=1.6021892?10-19J）
（ 3） 当 p =0.60 MeV/c 时, 其能量为 E,则有
222
2
2
2
0
222
)M e V(622.0)M e V512.0(
)M e V60.0(
????
??
c
c
EcpE
E=0.789MeV
例 1、狭义相对论确认，时间和空间的测量值都是,它
们与观察者的 密切相关。
相对的
运动
例 2、质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的 4倍时，其
质量为静止质量的多少倍？ [ ]
（ A） 5倍 ； （ B） 6倍 ； （ C） 4倍 ； （ D） 8倍 。
A
)54( 202020202 cmcmcmcmEmc k ??????
例 3,边长为 a 的正方形薄板静止于惯性系 K的 xoy平面内，且
两边分别与 x,y轴平行。今有惯性系 K’ 以 0.8c（ c为真空中光
速）的速度相对于 K 系沿 x 轴作匀速直线运动，则从 K ’ 系测
得薄板的面积为,[ ]
（ A） a2 ； （ B） 0.6a2 ； （ C） 0.8a2 ； （ D） a2 / 0.6 。
B
aacll 6.08.01)/(1 22 ?????? v
26.06.0 aaaS ???
例 4、静止时边长为 50 cm 的立方体，当它沿着与它的一个棱边平
行 的方向相对于地面以匀速度 2.4× 108 m/s 运动时，在地面上测
得它的体积是多少？
)m(3.06.05.0)3/4.2(15.0)/(1 22 ????????? cll v
解：
)m(0 7 5.03.05.05.0 3?????V
例 5、一宇航员要到离地球为 5光年的星球去旅行，如果宇航员希
望把这路程缩短为 3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应
是,[ ]
（ A） v=（ 1/2） c （ B） v =（ 3/5） c
（ C） v =（ 4/5） c （ D） v =（ 9/10） c
（ 其中 c表示光速）
C
22222 /1/)/(1 cllcll vv ???????
cccllc 8.06.01)5/3(1)/(1 222 ????????? v
例 6、关于同时性有人提出以下一些结论，其中哪个是正确的？
[ ]
（ A） 在一惯性系同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同
时发生。
（ B） 在一惯性系不同地点同时发生的两个事件，在另一惯性系
一定同时发生。
（ C） 在一惯性系同一地点同时发生的两个事件，在另一惯性系
一定同时发生。
（ D） 在一惯性系不同地点不同时发生的两个事件，在另一惯性
系一定不同时发生。
C
0
1
)/(
1
)/(
2
2
2
2
?
?
??
?
?????
??
BBAA
BA
xcutxcuttt
0))(/()( 2 ???? BABA xxctt u
（不一定）（没说地点，不能确定）
不
0))(/()( 2 ???? BABA xxcutt （不能确定）
例 7、一个电子运动速度 v = 0.99 c,（ 电子的静止能量为 0.51
MeV） 它的动能是,[ ]
（ A） 3.5MeV （ B） 4.0MeV （ C） 3.1MeV （ D） 2.5MeV
C
M e V1.3)1
99.01
1
()1
)/(1
1
(
202
2
0
2
0
2
0
??
?
??
?
?
????
E
c
cm
cmmcEEE k
v
例 8、宇宙飞船相对于地面以速度 u作匀速直线飞行，某一时刻飞
船 头部的宇航员向飞船尾部发出一个光信号，经过 ?t（ 飞船上
的钟）时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长
度为,[ ]
（ A） c ?t （ B） u?t （ C） c ?t
（ D） c ?t /
2)/(1 cu?
2)/(1 cu?
A
例 9,?+介子是不稳定的粒子，在它自己的参照系中测得平均寿
命是 2.6× 10-8 s, 如果它相对实验室以 0.8c（ c为真空中光速）的
速度运动，那么实验室坐标系中测得 ?+介子的寿命是多少？
解：
8
2
8
2
1033.4
8.01
106.2
)/(1
?
?
??
?
??
?
??
cu
??
例 10、一火箭的固有长度为 L,相对于地面作匀速直线运动的速
度为 u1, 火箭上有一个人从火箭的后端向火箭的前端上的一个靶
子发射一颗相对于火箭的速度为 u2 的子弹。在火箭上测得子从射
出到击中靶的时间间隔是多少？
解：因为是在同一坐标系中研究所以
2/ uLt ??
若在地面上测又如何？
解：因是在不同地点、不同时刻发生的两件事，由洛仑兹变换得：
2
1
2
2
21
2
2
1
2
2
12
2
1
12
2
112
12
)(
/
)/()/(
)/(1
))(/()(
uccu
uucL
cuc
cLuuL
cu
xxcuttttt
?
??
?
??
?
???????????
§ 19 - 6 相对论动力学基础
按照爱因斯坦的相对性原理，一切物理定律
在所有惯性系中都是一样的，在洛仑兹变换下形
式不变。对经典力学定律显然不能满足要求，这
就需要对其加以改造，就产生了相对论力学。
一、质量与速度的关系
在经典力学中，牛顿第二定律 F = ma 中质
量 m是一常数与速度无关。若在恒力作用下，恒定
加速度将使物体速度趋于无穷大,这与光速是速
度的极限相矛盾 。
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
2010-5-15
S’ 系 相对于 S系沿 x轴以速率 u运动,S’ 系中
有两个质点 A,B,观察者相对于他们静止时，测
得的质量均为 m0。
质点 A,B 在 S’ 系中以相同的速率 u 沿 x 轴
相向运动，碰撞后合为一质点 C，速率为 v’ =0：
下面我们找出具体的 质 量和 速 度的 关系,
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
S S
’
u u
A B
S S
’
C
2010-5-15
碰撞前后动量守恒,0)( ?????? vmummu
碰撞前后质量守恒,mm ??2
x
x
x cu
u
v
vv
??
???
)/(1 2
由相对论速度变换法则：
质点 A,B 在 S 系中的速率 v1,v2分别为：
ucu
u
ucu
uu
)/(1
2
)/(1 221 ???
??v
0)/(1 22 ?? ??? ucu uuv
质点 C在 S 系中的速率为：
ucu u ??? ?? 0)/(1 0 2v
①
2010-5-15
质点 A,B 在 S ’ 系中
uumm )0)( 11 (vv ???
0))(()( ?????? vmuumuum
质量守恒形式为：
动量守恒形式为：
mum ??)(2
质点 A,B 在 S 系中
质量守恒形式为：
动量守恒形式为：
设质量 m与速率 v的函数关系为：
)( vmm ? 0)0( mm ??v且
))( 10 ummm (v ???
②
从 ②中消去 m ’ （ u） 得到 u,代入 ① 可解得：
21
0
1
)(1
)(
c
mm
v
v
?
?
即：
2
0
)(1
)(
c
mm
v
v
?
?
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
上式指出：一个物体的质量 m 随其速率 v按公式
变化，则经典的动量原理仍然有效。
2
0
)(1
c
mm
v?
?
)/(1
)(
22
0
c
mm
v
v
?
?
静止质量
运动质量 物体运动速度
当 v <<c 时, m ? m0 此时物体质量可视为不
变。 如,v = 3 ?104 m/s, 静止质量为 m0 = 1 kg 的
物体的质量变为：
)kg(0 0 0 0 0 0 0 5.1
)/(1 2
0 ?
?
?
c
mm
v
（质量变化极小，可视为不变）
—— 相对论质、速关系式
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
当物体高速运动时就不同了，如当电子的速
度为 v = 0.98c 时，电子质量为：
02
0 5
)98.0(1
mmm ?
?
?
如果物体的速度
达到光速 c,则物体
的质量将变为无限大，
所以物体的速度不可
能达到光速。 m0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 v/c
m
2
0
)(1 c
mm
v?
?
2010-5-15
二、相对论力学的基本方程
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
2
0
)(1
c
v
v
v
?
??
?
?? m
mp
此即低速时的牛顿第二定律。
)
)(1
(
2
0
c
v
v
v
v
?
????
?
?
???
m
dt
d
dt
dm
dt
d
m
dt
pd
F
amdtdmmdtdF ?
???
000 )( ???
vv
以 v 运动的物体的动量为：
牛顿第二定律的形式：
v << c 时有 m = m0 则
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
经典力学观点 狭义相对论观点
力的作用：改变速度
力的方向与 的方向
一致
物体受力作用 v?大
永远受同一方向的力作
用 则 v ??
力的作用,改变速度
改变质量
力的方向与 和 的矢量
和的方向一致
物体受力作用,v?大
m ?大
不断受力 v? c,
因为当 v ? c 时 m ??
)( dtdmF v
??
? )( dtdmdtdmF vv ?
??
??
v? v?d
2
0
)/(1 c
mm
v?
?
c 是 v 的极限
v?d
2010-5-15
三、质量和能量的关系
由狭义相对论可以推导出另一个重要的关系
式 —— 质 量和 能 量的 关系 。
设有一自由质点，在某一惯性系中的静止质
量为 m0,当质点在外力 F 的作用下位移 ds时，由
质点的动能定理，动能的增量为：
dtFsdFdE k v???? ????
由动量定理：
)( v?? mddtF ?
vvvvvv ?????? ?????? )()()( dmmdmddE k
vvvvvvv 2 dddd ????? )(21)(21)( ????又因为
所以：
vvv 2 dmdmdE k ??动能的增量为：
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
又已知
,
)/(1 2
0
c
mm
v?
? 2202222 cmmcm ?? v可得：
两边求微分得：
即动能的增量为,dEk = c2 dm
代入初始条件积分：
，得：dmcdEkE mmk? ??0 2
0
202 cmmcE k ??
在式中令：
mc2 = E —— 物体的 总能量
m0c2 = E0 —— 物体的 静止能量
vvv dmdmdmc ?? 22
2010-5-15
E = m0c2 +Ek —— 物体的质能关系式
静止能量说明静止物体也具有巨大的能量，
比如 1公斤的物体的静止能量：
E0 =1×（ 3× 108） 2 = 9× 1016 J
若 v ≠ 0 时，物体的总能量为：
)
8
3
2
1
1(
)1(
)/(1
4
4
2
2
2
0
2/1
2
2
2
0
2
2
02
?????
??
?
??
?
cc
cm
c
cm
c
cm
mcE
vv
v
v
可见物体的动能等于物体的总能量和静止能量
之差。
???????? 242 312111 1 xxx
2010-5-15
当 v << c 时，略去高次项，上式近似为：
2
0
2
02
2
2
0
2
2
1)
2
11( vv mcm
ccmmc ????
kEEE ?? 0
0EEE k ??
回到经典物理的结果—2021 vmE k ?
由质能关系，物体能量改变伴随有质量的改
变，同样物体质量改变也伴随有能量的改变：
? E = c2 ? m
必须指出能量和质量的相应改变，并不意味
着二者可以相互转化，质量不可以转化为能量，
能量也不可以转化为质量。
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
质量和能量是物质不可分割的属性，物质有
质量同时也具有能量，质量是通过物体的惯性和
万有引力现象显示的，能量则是通过物质系统状
态变化时对外作功、传热等形式显示的。虽然表
现方式不同，但二者是密切相关的。
质量、能量不能被创造，也不能被消灭。在
一个封闭系统内，总质量和总能量永远是守恒的。
在封闭系统内能量转化的同时也伴随着系统内质
量的转化。这就是质能关系式所包含的深刻的物
理含义 。
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
在一般变化过程中，质量的改变是很微小的。
例如：使 0.001 kg 的水从 273 k 升到 373 k, 吸
收的热量为 418.6 J, 求其质量的增加量。
解：
)kg(1065.4
)103(
6.418
15
282
???
?
?
?
??
c
E
m
这样小的质量增加量是观察不出来的。但
在原子核反应中，质量的改变就不能忽略了。
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
在轻元素（氢或重氢）原子核相互结合成较
重的原子核（如氦）时，会发生质量的减少，这
时会有大量的能量释放；重元素（如铀）原子核
分裂成两个中等轻重的原子核时也会发生质量的
减少，也会有大量的能量释放，这就是 原子核能 。
中国广东大亚湾核电站
2010-5-15
1 kg 汽油燃烧
时释放的热能（由
化学能转化而来）
约为 5× 107 J, 它仅
仅相当于 1 kg 汽油
所具有的静止能量
的 20亿分之一。
原子反应堆就是利用重核分裂释放能量的
原理设计和建造的。足见狭义相对论的重要结
论已经在生产技术上和人类生活中发生了深刻
的影响。
2010-5-15
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
例：一个静止质量为 m0 的粒子，当其速度由 0.6 c
增加到 0.8 c 时，外界对它所作的功 W=？
解：
2
0
2
0
22
2
0
2
1
2
0
2
2
2
0
2
0
2
1
2
0
2
2
4.0)
8.0
1
6.0
1
(
)
6.01
1
8.01
1
(
)/(1)/(1
)()(
cmcm
cm
c
cm
c
cm
cmcmcmcmW
???
?
?
?
?
?
?
?
?
????
vv
不能用这样的方法求解：
2
0
222
0
2
10
2
20
14.0)6.08.0(
2
1
2
1
2
1
cmcm
mmW
???
?? vv
2010-5-15
四、动量和能量的关系
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
由质能关系式
动量表达式
两式消去 v 可得动量和能量的关系：
)1(
)/(1 2
2
02 ?
c
cmmcE
v?
??
)2(
)/(1 2
0 ?
c
mmp
v
vv
?
??
22
0
2
22
222
0
2
22
0
22
022
22
)(
)/(1
)(
)2(]
)1(
[
cm
c
c
cm
c
mcm
p
c
E
c
?
?
?
?
?
?
??
?
v
v
v
v
得：
化简 得：
2220224202 pcEpccmE ????
这就是相对论中的动量和能量的关系式。
2010-5-15
光子的能量 E = p c = m c2
光子的运动质量：
光子的动量：
相
对
论
相
对
论
动
力
学
基
础
2c
Em ?
c
Ep ?
因为光子有质量，所以光子会受到星球的万
有引力作用而弯曲。因为光子有动量，所以当光
照射到物体表面上时，会产生光压。这一点已由
列别捷夫测出光压所证实。因为光子有能量，所
以当光照射到金属表面上时，会有光电子跑出来。
光照射的物体会发热等等。
光子永远以光速运动着,没有静止质量和静
止能量,但光子有运动质量、动量和能量，这是
光子物质性的具体表现。
例,m0为电子的静质量，求（ 1）电子的静能是多少电子伏特；
（ 2） 从静止开始加速到 0.60c的速度需作的功；（ 3）动量为
0.60 MeV/c 时的能量。
解：（ 1）电子的静能为,（ m0 = 9.1 × 10-31 kg）
)eV(1012.5)106.1/(101 9 9.8
)J(101 9 9.8)103(101.9
51914
1428312
00
?????
???????
??
??cmE
（ 2）加速到 0.60c 时电子的能量为：
)J(100 2 5.1
60.01
101 9 9.8
1
13
2
14
2
2
02 ?
?
??
?
??
?
??
?
cmmcE
需要作的功为：
)J(1005.2101 9 9.8100 2 5.1 1414130 ??? ???????? EEW
（ 1eV=1.6021892?10-19J）
（ 3） 当 p =0.60 MeV/c 时, 其能量为 E,则有
222
2
2
2
0
222
)M e V(622.0)M e V512.0(
)M e V60.0(
????
??
c
c
EcpE
E=0.789MeV
例 1、狭义相对论确认，时间和空间的测量值都是,它
们与观察者的 密切相关。
相对的
运动
例 2、质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的 4倍时，其
质量为静止质量的多少倍？ [ ]
（ A） 5倍 ； （ B） 6倍 ； （ C） 4倍 ； （ D） 8倍 。
A
)54( 202020202 cmcmcmcmEmc k ??????
例 3,边长为 a 的正方形薄板静止于惯性系 K的 xoy平面内，且
两边分别与 x,y轴平行。今有惯性系 K’ 以 0.8c（ c为真空中光
速）的速度相对于 K 系沿 x 轴作匀速直线运动，则从 K ’ 系测
得薄板的面积为,[ ]
（ A） a2 ； （ B） 0.6a2 ； （ C） 0.8a2 ； （ D） a2 / 0.6 。
B
aacll 6.08.01)/(1 22 ?????? v
26.06.0 aaaS ???
例 4、静止时边长为 50 cm 的立方体，当它沿着与它的一个棱边平
行 的方向相对于地面以匀速度 2.4× 108 m/s 运动时，在地面上测
得它的体积是多少？
)m(3.06.05.0)3/4.2(15.0)/(1 22 ????????? cll v
解：
)m(0 7 5.03.05.05.0 3?????V
例 5、一宇航员要到离地球为 5光年的星球去旅行，如果宇航员希
望把这路程缩短为 3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应
是,[ ]
（ A） v=（ 1/2） c （ B） v =（ 3/5） c
（ C） v =（ 4/5） c （ D） v =（ 9/10） c
（ 其中 c表示光速）
C
22222 /1/)/(1 cllcll vv ???????
cccllc 8.06.01)5/3(1)/(1 222 ????????? v
例 6、关于同时性有人提出以下一些结论，其中哪个是正确的？
[ ]
（ A） 在一惯性系同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同
时发生。
（ B） 在一惯性系不同地点同时发生的两个事件，在另一惯性系
一定同时发生。
（ C） 在一惯性系同一地点同时发生的两个事件，在另一惯性系
一定同时发生。
（ D） 在一惯性系不同地点不同时发生的两个事件，在另一惯性
系一定不同时发生。
C
0
1
)/(
1
)/(
2
2
2
2
?
?
??
?
?????
??
BBAA
BA
xcutxcuttt
0))(/()( 2 ???? BABA xxctt u
（不一定）（没说地点，不能确定）
不
0))(/()( 2 ???? BABA xxcutt （不能确定）
例 7、一个电子运动速度 v = 0.99 c,（ 电子的静止能量为 0.51
MeV） 它的动能是,[ ]
（ A） 3.5MeV （ B） 4.0MeV （ C） 3.1MeV （ D） 2.5MeV
C
M e V1.3)1
99.01
1
()1
)/(1
1
(
202
2
0
2
0
2
0
??
?
??
?
?
????
E
c
cm
cmmcEEE k
v
例 8、宇宙飞船相对于地面以速度 u作匀速直线飞行，某一时刻飞
船 头部的宇航员向飞船尾部发出一个光信号，经过 ?t（ 飞船上
的钟）时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长
度为,[ ]
（ A） c ?t （ B） u?t （ C） c ?t
（ D） c ?t /
2)/(1 cu?
2)/(1 cu?
A
例 9,?+介子是不稳定的粒子，在它自己的参照系中测得平均寿
命是 2.6× 10-8 s, 如果它相对实验室以 0.8c（ c为真空中光速）的
速度运动，那么实验室坐标系中测得 ?+介子的寿命是多少？
解：
8
2
8
2
1033.4
8.01
106.2
)/(1
?
?
??
?
??
?
??
cu
??
例 10、一火箭的固有长度为 L,相对于地面作匀速直线运动的速
度为 u1, 火箭上有一个人从火箭的后端向火箭的前端上的一个靶
子发射一颗相对于火箭的速度为 u2 的子弹。在火箭上测得子从射
出到击中靶的时间间隔是多少？
解：因为是在同一坐标系中研究所以
2/ uLt ??
若在地面上测又如何？
解：因是在不同地点、不同时刻发生的两件事，由洛仑兹变换得：
2
1
2
2
21
2
2
1
2
2
12
2
1
12
2
112
12
)(
/
)/()/(
)/(1
))(/()(
uccu
uucL
cuc
cLuuL
cu
xxcuttttt
?
??
?
??
?
???????????
