第四章 动量
§ 4-1 动量 冲量 动量原理
§ 4-2 动量守恒定律
§ 4-3 碰撞
§ 4-4 质点对定点的角动量
角动量守恒定律
? 明确冲量是力对时间的积累效应，掌握动量原理，
注意动量的瞬时性、矢量性和相对性。
? 掌握系统动量守恒定律，包括动量分量守恒的情
况，会分析动量守恒条件，包括当内力远大于外
力时的情况。
? 会用动量守恒定律、机械能守恒定律（或功能原
理）解决碰撞等质点在平面内运动的力学问题。
? 建立质点对定点的角动量（动量矩）概念，力对
定点的力矩概念，理解质点角动量守恒定律。
教学基本要求
上一章我们讨论了力对空间的
积累效应，本章讨论力对时间的积
累效应，冲量与质点运动状态的变
化、质点动量增量之间的关系。
§ 4-1 动量 冲量 动量原理
dt
pd
dt
mdF ??? ?? )( v
v?? mp ?
一、动量
从力的瞬间作用定律 ——牛顿第二定律出发，根据牛顿
自己提出的形式，第二定律为：
——合外力等于质点的动量对时间的变化率。
当 v << c（ 真空中光速）时 m 可视为常量：
注意：
（ 1）动量是描写运动状态的量,是状态的单值函数。
（ 2） 动量是矢量。
（ 3）动量有相对性（因为 v与参照系有关）。
当 m 不为常量时，牛顿第二定律应写为
二、冲量 动量原理
将（ 4-1）改写为 Fdt = dP,并对时间 t 积分可得
（ 4-2）
上式左边定义为力 F 从 t1 时刻到 t2 时刻的冲量，记为 I：
（ 4-3）
（ 4-2） 式可写为
12
2
1
vv ???? mmtdFI tt ??? ?
（ 4-4）
——质点的动量原理。
表明：作用于质点的合外的冲量等于质点在同一时间
间隔内动量的增量。
在 SI制中，动量的单位为千克米每秒，冲量的单位为
牛顿秒,动量和冲量的量纲均为 M LT-1。
标量式为 (4-5)
（ 2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。
即 I 的方向与 ?P 或 ?mv 的方向相同。
对于冲量 I 应注意,
（ 1）冲量是力对时间的积累作用。
?? 21tt dtFI ??
（ 2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。
（ 3） 动量原理用于惯性系。
对动量原理应注意,
（ 1） F 是指物体所受的合外力,I 是合外力的冲量。
mv2
mv1 ?mv
例 质量为 m 的质点作速率为 v 的匀速圆周运动,t1时刻位
于 A点，转过 π/2 后,t2 时刻到了 B点，求在这段时间
内，向心力的冲量。
P2
A(t1)0
B(t2)
P1
解：由动量原理，向心力的冲量为,
I 的方向 φ：
∵ tg φ=-1,Ix <0,Iy<0
∴ φ = -3 π/4
I 的大小为：
P2
P1
?P
?
2,平均力
在物体碰撞过程中，相互作用时间很短，而相互作用
力很大，这种力称为冲力。
冲力随时间变化的关系 F ( t ) 实际上是难确定的，但
可以引入平均力来近似地描述它们：
t2o tt1
F( t )
F
??? 2
112
1 t
t
dtF
tt
F
?? (4-6)
(4-7)
由（ 4-7）式可知，引起相同的动量改变，相互作
用时间愈短，平均力愈大。
标量式为
（ 4-8）
例 1、一质点的运动轨迹如图所示，已知质点的质量为 20 g，
在 A, B 两位置处的速率都是 20 m/s, vA与 x轴成 45 o角，
vB垂直于 y 轴。求质点由 A点到 B点这段时间内，作用
在质点上外力的总冲量。
解：由动量定理知质点所受外力
的总冲量为
由 A到 B,冲量的分量为
I的方向与 X轴正向夹角：
A
B
x
y
vA
vB
O
45o
202.5o
xI
mvB mvA
例 2,一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为
子弹从枪口射出时的速率为 300 m/s, 假设子弹离开枪
口时合力刚好为零，则
（ 1）子弹走完枪筒全长所用的时间 t = 。
（ 2） 子弹在枪筒中所受力的冲量 I = 。
（ 3） 子弹的质量 m = 。
解：
0,003 s
0,6 N.s
2 g
在质点动量原理的基础上，本节将讨论两个或两个以上
物体组成的系统的动量原理并由此导出动量守恒定律。
§ 4-2 动量守恒定律
1,系统动量原理
设有两个相互作用的物体组成系统,F 1和 F2分别为作
用于两个物体的外力,f21和 f12为它们之间互相作用的内力，
将动量原理分别用于这两个物体得：
m1 m
2
f12f21
F1
F2
将上两式相加，根据牛顿第三定律：
将上式推广到多个质点组成的系统可得,
( 4-9 )
系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量，称为
系统动量原理 。
可得,
（ 4-10）
2、动量守恒定律
在（ 4-10）式中，当 时
则有 或
?? ? 12 iiii mm vv ?? （ 4-11）
上式称为动量守恒定律。
它表明：当系统不受外力或合外力为零时，系统总动量
在运动中保持不变，内力的作用仅仅改变总动量在
各物体之间的分配。动量守恒定律是物理学中又一
条重要而又具有普遍性的定律。
动量守恒定律的分量式为：
当 时，有
当 时，有
（ 4-12）
注意：
有时合外力或它在某方向上的分量并不为零，但合外
力（或它在某方向上的分量）比系统内物体的相互作用力
（或内力在该方向上的分量）小得多而可忽略时，系统的
总动量（或动量在该方向的分量）仍可认为是守恒的，
（ 4-11） 或（ 4-12）式仍然适用。
所以动量守恒的条件可写为
（某方向上）或 内外外 fFF ????? 0?
即使系统所受合外力不为零，但如果合外力在某一方
向上的分量为零，则系统在该方向的分量也是守恒的。
（ 2）所有的物体的速度都要对同一惯性系而言。
（ 3）动量守恒定律常用其分量式。
（ 4）系统内各物体的动量不一定守恒，动量可以传递，一个
物体动量的减少必有另一个物体动量增加，但总动量保
持不变。
（ 5）动量守恒定律是一条最基本、最普遍的定律。应用最广
泛，无论宏观还是微观领域都可以使用。
对动量守恒定律应注意：
（ 1）动量守恒定律是用于物体系的。
例 1、炮车以 30° 的仰角发射一颗炮弹，已知炮车重 5000 kg,
炮弹 重 100 kg,炮弹对炮车的出口速度为 300 m/s,
（ 1） 求炮车的反冲速度 V,忽略炮车与缓冲垫间的摩擦
（ 2）设炮车倒退时与垫子的相互作用时间为 2s,求垫子受的
平均冲力
解,
(1)选质量为 M 的炮车和质量为 m
的炮弹组成的系统为研究对象。 在
水平方向上,垫子给炮车的阻力为外
力，炮车与炮弹的相互作用力为内
力，
∵ 外力 << 内力
∴ 总动量的水平分量守恒，
即 ∑mivix = 常量 （图 4-4）
v?
V?
v??
θ
V? x
① 炮车对地的 反冲速度为 V,方向向左，
以右为正方向，其动量为 – MV;
② 已知 炮弹对炮车的相对速度 为 v,仰角
为 θ,由 速度叠加原理, 炮弹对地的瞬
时速度 v’ 的水平分量为
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为
m (v cosθ - V) – MV
系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
发射炮弹前,∑mivix = 0
发射炮弹的瞬间：如（图 4- 4）所示，
（图 4-4）
v?
V?
v??
θ
V? x
由牛顿第三定律，垫子受的平均冲力为 - Fx = -12725N,方
向向左。
从上例可以总结出解动量守恒定律的问题步骤如下：
①选系统 ;
②分析外力、内力或它们的分力，判断是否满足动量守恒
条件 ;
③选取坐标系，确定相互作用前、后两时刻各物体的动量 ;
④列方程求解，（有时还要联系与系统能量相关的方程）。
动量守恒定律中个物体的速度是相对同一个惯性参照系的，
如果问题中有相对运动，要正确地运用速度叠加原理及它的分
量式。
( 2 ) 在炮车从反冲到静止的过程中，对炮车的应用原理：
由（ 4-1）式，垫子给炮车的平均冲力
应用动量守恒定律的标量式有：
x 方向：
mv11 + 0 = mv12 cosθ +Mv22cosβ ①
y方向：
0 = mv12sinθ – Mv22sinβ②
解得 α粒子散射的速度与其初速度之比
例 2,一个 α粒子与一静止的氧原子核碰撞后，沿着与最初运动
方向成 72°角的方向被散射出来，而氧原子则在另一边沿 41°
角的方向反冲，试求 α粒子散射的速度与其初速度之比。
解,α粒子 +氧原子核组成一个系统，在它们发生相互作用的过
程中,外力 = 0,故系统总动量守恒。
α θM
氧 核m
y
v11
v12
v22
?
x
以整个软链为研究对象，应用牛顿
第二定律,
解：
柔软链条自桌上小孔从静止开始下落，求下落速度与落
下距离之间关系,
例 3、
gm ?1
0
y
gm ?2
N?
y下垂部分，长度为 y, 受重力 m 1 g,
仍在桌面上的部分，受重力 m 2 g, 以及桌
子的支持力 N,于是有：
“机械运动确实有两种量度，每一种量度适用于某个界限十
分明确的范围之内的一系列现象。
如果已经存在着的机械运动保持着机械运动的形式而进行传
递，那么，它是依照质量和速度的乘积这一公式进行传递的。
但是，如果机械运动是这样传递，即它作为机械运动而消失，
并以位能、热、电等等形态重新出现，即如果它转变为另一种
形态的运动，那么，这一新形态的运动的量就同原来运动着的
物体的质量和速度的平方乘积成正比。
一句话 mv 是用机械运动来量度机械运动的 。 mv2/2 是以机
械运动所具有的变为一定量的其他形态的运动的能力来量度机
械运动的 。而如我们所知道的，这两种量度因为性质互不相同，
所以并不互相矛盾。,
为什么一个运动状态要用两个物理量（动能和动量）来描述
呢？ 它们的本质差异是什么？恩格斯在其“自然辩证法”中作
了精辟的论述：
§ 4-3 碰撞
碰撞的共同规律：
在碰撞过程中，碰撞物体间的相互作用力 >> 外力，所以
外力可以忽略不计,碰撞物体组成的系统动量守恒。
碰撞的分类：
（ 1） 动能守恒的 碰撞称为弹性碰撞。
（ 2） 动能不守恒的 碰撞称为非弹性碰撞，如果两物体碰撞
后合二为一，以共同的速度运动，则称为完全非弹性碰撞。
两个或两个以上的物体发生相互作用，使它们的运动状态
在极短的时间内发生了显著的变化，物理学上称这种相互作用
为碰撞。碰撞的物体可以直接接触，也可以不直接接触。
如 (图 4-6)，设有两个小球质量分别为 m1和 m2,碰撞前分别
以速度 v11 和 v21 沿它们的连心线运动，碰撞后两球分别以速度
v12 和 v22 沿同一直线运动，这种碰撞称为一维碰撞或对心碰撞。
由动量守恒定律（ 4- 11）式列方程得：
m1 v11 + m2 v21 = m1 v12 + m2 v22
取两球连心线为 x轴，向右为正，上式的标量式为：
m1 v11 + m2 v21 = m1 v12 + m2 v22 （ 4-13）
其中各速率均为代数值。
? 一维碰撞 （对心碰撞）
碰撞前 碰撞后碰撞
v11 v12v21 v22
( 图 4-6 )m1 m1m2 m2
x
( I ) 弹性碰撞的情况：
弹性碰撞的动能守恒，则有方程
?m1 v112 + ?m2 v21 2 = ?m1 v12 2 + ?m2 v22 2
m1 v112+ m2 v21 2 = m1 v12 2 + m2 v22 2 （ 4-14）
化简上两式并联立求解得两小球碰撞后的速率为：
（ 4-15）
碰撞前 碰撞后碰撞
v11 v12v21 v22
( 图 4-6 )m1 m1m2 m2
x
几种特例：
(a) 如果 m1 = m2
则有 v12 = v21 v22 = v11
(b) 如果 m2 >> m1, 且 v21 = 0，
则 v12 ≈ - v11 v22 = 0
(c) 如果 m2 << m1, 且 v21 = 0，
则 v12 ≈ v11 v22 ≈ 2v11
( II ) 完全非弹性碰撞的情况：
设两球碰撞后合二为一，以速度 v沿原方向运动，由动量守
恒定律 m1 v11 + m2 v21 = （ m1 + m2 ） v
得碰撞后的速度
（ 4-16）
碰撞前后动能不守恒，一部分动能转化为其他形式的能量。
21
2121121
12
2)(
mm
mmm
?
??
?
vvv
21
1112112
22
2)(
mm
mmm
?
??
?
vvv
如果两球碰撞后不沿一条直线运动则称为二维碰撞。图 4-7
表示二维弹性碰撞中最简单的一种情况，即 v21=0,由动量守恒
定律得 m1 v12 + m2 v22 = m1 v11 （ 4-17）
以 v11的方向为 x轴正向，上式的两个分量式为
x 方向,m1v12 cosθ1 +m2v22cos θ2 = m1v11
y 方向,m1v12 sinθ1 +m2v22sin θ2 = 0
因为弹性碰撞动能守恒，我们有
? m1 v122 + ? m2 v222 = ? m1 v112 （ 4-18）
如果给出以上三个方程中 7个物理量中的
4个，则可以确定碰撞后两球的运动。
( 图 4-7 )
二维弹性碰撞
m1
θ1
θ2
y
xm2
v11
v22
v12
解：按题义作 （图 4-8） 如右，由动量守恒定律，我们有
m1 v11 = m1 v12 + m1 v22
已知 m1 = m2
故 v11 = v12 + v22 ①
即矢量 v11,v12 和 v22 形成一个三角形，
φ为 v12 和 v22 的夹角，如（图 4-8）所示；
由碰撞前后动能守恒可得另一个方程，
1/2mv112 = 1/2m v122 + 1/2m v222
消去质量和系数得
v112 = v122 + v222 ②
综合①和②式，可知 φ = 90o
即两粒子碰撞后沿相互垂直的方向运动。
例 1、设两个质量完全相等的粒子在 x-y平面内发生弹性碰撞。
而且作为靶的粒子原来是静止的，试证明两粒子碰撞后的速度
互相垂直。
（图 4-8）
φ
y
xm1 m2
v11
v22
v12
v12
v11
v22
例 2、已知子弹质量 m =0.02 kg,木块质量 M =8.95 kg, 弹簧
的倔强系数 k =100 N/m 。 子弹以初速度 v0 射入木块后，弹簧
被压缩 10cm,求 v0 的大小。（设木块与平面间的滑动摩擦系数
μ = 0.2,不计空气阻力。）
解,两个物理过程：（ 1）子弹和
木块碰撞，（ 2）连体压缩弹
簧。对过程（ 1）动量守恒
（ 2）弹簧被压缩时受力如图所示 F = -μMg-kx, 由动能定理有：
x
0
m M
f = μMg f =kx
v0
§ 4-4 质点对定点的角动量 角动量守恒定律
质点对定点的角动量和角动量守恒定律对解决有心力场
中质点的运动问题十分方便，同时也是下一章相关概念和定
律的基础。
设 O 为空间一定点，质量 为 m
的质点某时刻位于 P点，速度为 v,其
动量 p = mv, 质点相对于 O点的位置
矢为 r, 则矢径 r与质点动量 P 的矢量
积定义为质点 P相对于 O点的角动量或
动量矩，记为 L：
(4-19)
O
z
L = r × p
r
θ
pP
y
x
一、质点对定点的角动量
显然，当定点 O 在质点速度沿长线上时，
质点对该点角动量为零；对圆周运动而言,
θ = 90o,
故质点对圆心的角动量大小为,L = mvr
在 SI制中，角动量的单位为 kg·m2/s,
量纲为 ML2T-1。
角动量的大小为：
L = P r sinθ = mvrsinθ (4-20)
方向为：
服从右手螺旋定则
写成矢量式：
L = r × p
O
z
L = r × p
r
θ
pP
yx
（图 4-9）
二、质点的角动量定理
对（ 4-19）两边求对时间的导数得
∵ ∴ 上式右边第二项为零，
有
将牛顿第二定律代入上式，得
上式右边的 r 也是力 F 的作用点相对点 O的矢径，定义矢量
积为力 F 对 O点的力矩，记为 M：
( 4-21 )
FrM ??? ?? ( 4-22 )
O
z
M = r × F
r
φ
FP
yx
图 4-10
力矩 M 的大小为：
M = F r sinφ (4-23)
φ为 r 和 F 的正方向之夹角
力矩 M 的方向为：
服从右手螺旋法则。
力矩具有与功相同的单位和量纲。
将（ 4-22）式代入（ 4-21）式，得
（ 4-24）
dt
LdM ?? ?
O
z
M = r × F
r
φ
FP
yx
图 4-10
上式表明：质点所受的合外力对定点 O的力矩等于质点相
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为 质点的角
动量定理。
其中 称为 dt 时间内力矩 对质点的 冲量矩。 两边
积分有：
LddtM ?? ?
质点的角动量定理可以写为
dtM? M?
上式表明：作用于质点的合外力矩 M 从 t1 到 t2 时间间隔
内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
12
2
1
LLdtMt
t
??? ???
三、质点的角动量守恒定律
如果作用于质点 P 的合外力对定点 O 的力矩 M 等于零，
即如果 M = 0, 则 dL / dt = 0,得
L = 常矢量。 （ 4 - 25）
这一结论称为 质点的角动量守恒定律。
如果一个力的方向永远指向空间的一定点，这种力就称为
有心力,该定点则称为力心。因为有心力对其力心的力矩为零，
故质点在有心力的作用下运动时，对其力心的角动量是守恒的。
力心
例 4、一质点在 x-y平面内运动，已知质点的质量为 20 g,在 A,
B 两位置处的速率都是 20 m/s, vA与 X轴成 45o角,vB垂
直于 y轴。求质点由 A点到 B点这段时间内，作用在质点
上外力对 O点的总冲量矩（已知 OA=2m,OB=4m）。
解,由 质点的角动量定理 知：
由 A到 B,角动量的方向均垂
直于 x-y平面向上
A
B
x
y
vA
vB
O
45o
外力的总冲量矩为：
例 5、在竖直平面内，一个质量为 m 的粒子从 P点被释放，如
图（ 4-11 ） 所示，试求：（ 1）粒子所受的重力相对于
定点 O的力矩,( 2 )粒子下落时，对 O点的角动量，并说
明结果符合角动量定理。
其方向由右螺旋法则确定为垂直纸面
向里。大小为
M = m g r sinφ = m g d
其中 d = r sin φ,为 O点到重力作用线
的垂距 。
解,（ 1）重力 作用 点对 O点的矢径
为, 这两个矢量的方向夹角为
φ, 重力对 O点的力矩为：
gm?
r?
gmrFrM ????? ????
φ
φ
d
P
r m
y （图 4-11）
0
gm?
LM ??,
其大小为 mgt,故任意时刻 t,粒 子
对 O点的角动量为：
（ 2）质点在时刻 t 的动量
p = mv = mgt,
φ
φ
d
P
r m
y （图 4-11）
0
gm?
LM ??,
其大小为
L = m g t r sin φ = m g t d
对 L 求一阶导数得
dL/dt = m g d = M
符合质点的角动量定理。
tgmrprL ????? ????
例 6、哈雷慧星围绕太阳作轨道为椭圆运动，慧星轨道上的近日
距离为, Rp为 0.885 × 1011 m,远日距离为, Ra为 52.5
× 1011 m 。 已知在近日点，慧星的速率为,vp为 5.4 × 104
m/s,计算慧星在其远日点处的速率 va 。
解：太阳对哈雷慧星的引力的作用线通
过力心（太阳），为有心力。引力
对力心的力矩为零，故慧星对太阳
中心的角动量守恒，设慧星质量为
m, 它在近日点和远日点的角动量
分别为 Lp 和 La有：
Lp = La 或 m vp Rp = mva Ra
慧星在远日点处的速率为
慧
星
太阳 R
a
Rp
（图 4-12）
av
?
pv
?
例 7,行星以太阳为一个焦点作椭圆运动，试证明开普勒第二
行星运动定律：行星对太阳的矢径在相等时间里扫过相
等的面积。
（ 1）它表明,L 的方向不变,L 垂直于
行星的轨道平面，因此行星的轨道
平面方位不变。
（ 2）行星对太阳的角动量大小为
证明：因为太阳对行星的引力通过从
太阳中心到行星的矢径（有心
力），力矩为零，行星对太阳
中心的角动量守恒：
L = 恒矢量
（图 4-13）
α ?sinr?
L
△ S
r?
rr ?? ??
r??
p?
②
①
③
（图 4-13）
α ?sinr?
L
△ S
r?
rr ?? ??
r??
p?
其中 m 为行星的质量,α为 r 与动量 p 正向之夹角，显
然当 △ t→ 0 时，
△ S 为图中阴影下的面积，将② 式代入① 式得
其中 ds/dt 为矢径 在单位时间内扫
过的面积，称为面积速率，因为 L为恒
量，故
ds/dt = L/2m = 恒量
这就是开普勒第二行星运动定律。
§ 4-1 动量 冲量 动量原理
§ 4-2 动量守恒定律
§ 4-3 碰撞
§ 4-4 质点对定点的角动量
角动量守恒定律
? 明确冲量是力对时间的积累效应，掌握动量原理，
注意动量的瞬时性、矢量性和相对性。
? 掌握系统动量守恒定律，包括动量分量守恒的情
况，会分析动量守恒条件，包括当内力远大于外
力时的情况。
? 会用动量守恒定律、机械能守恒定律（或功能原
理）解决碰撞等质点在平面内运动的力学问题。
? 建立质点对定点的角动量（动量矩）概念，力对
定点的力矩概念，理解质点角动量守恒定律。
教学基本要求
上一章我们讨论了力对空间的
积累效应，本章讨论力对时间的积
累效应，冲量与质点运动状态的变
化、质点动量增量之间的关系。
§ 4-1 动量 冲量 动量原理
dt
pd
dt
mdF ??? ?? )( v
v?? mp ?
一、动量
从力的瞬间作用定律 ——牛顿第二定律出发，根据牛顿
自己提出的形式，第二定律为：
——合外力等于质点的动量对时间的变化率。
当 v << c（ 真空中光速）时 m 可视为常量：
注意：
（ 1）动量是描写运动状态的量,是状态的单值函数。
（ 2） 动量是矢量。
（ 3）动量有相对性（因为 v与参照系有关）。
当 m 不为常量时，牛顿第二定律应写为
二、冲量 动量原理
将（ 4-1）改写为 Fdt = dP,并对时间 t 积分可得
（ 4-2）
上式左边定义为力 F 从 t1 时刻到 t2 时刻的冲量，记为 I：
（ 4-3）
（ 4-2） 式可写为
12
2
1
vv ???? mmtdFI tt ??? ?
（ 4-4）
——质点的动量原理。
表明：作用于质点的合外的冲量等于质点在同一时间
间隔内动量的增量。
在 SI制中，动量的单位为千克米每秒，冲量的单位为
牛顿秒,动量和冲量的量纲均为 M LT-1。
标量式为 (4-5)
（ 2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。
即 I 的方向与 ?P 或 ?mv 的方向相同。
对于冲量 I 应注意,
（ 1）冲量是力对时间的积累作用。
?? 21tt dtFI ??
（ 2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。
（ 3） 动量原理用于惯性系。
对动量原理应注意,
（ 1） F 是指物体所受的合外力,I 是合外力的冲量。
mv2
mv1 ?mv
例 质量为 m 的质点作速率为 v 的匀速圆周运动,t1时刻位
于 A点，转过 π/2 后,t2 时刻到了 B点，求在这段时间
内，向心力的冲量。
P2
A(t1)0
B(t2)
P1
解：由动量原理，向心力的冲量为,
I 的方向 φ：
∵ tg φ=-1,Ix <0,Iy<0
∴ φ = -3 π/4
I 的大小为：
P2
P1
?P
?
2,平均力
在物体碰撞过程中，相互作用时间很短，而相互作用
力很大，这种力称为冲力。
冲力随时间变化的关系 F ( t ) 实际上是难确定的，但
可以引入平均力来近似地描述它们：
t2o tt1
F( t )
F
??? 2
112
1 t
t
dtF
tt
F
?? (4-6)
(4-7)
由（ 4-7）式可知，引起相同的动量改变，相互作
用时间愈短，平均力愈大。
标量式为
（ 4-8）
例 1、一质点的运动轨迹如图所示，已知质点的质量为 20 g，
在 A, B 两位置处的速率都是 20 m/s, vA与 x轴成 45 o角，
vB垂直于 y 轴。求质点由 A点到 B点这段时间内，作用
在质点上外力的总冲量。
解：由动量定理知质点所受外力
的总冲量为
由 A到 B,冲量的分量为
I的方向与 X轴正向夹角：
A
B
x
y
vA
vB
O
45o
202.5o
xI
mvB mvA
例 2,一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为
子弹从枪口射出时的速率为 300 m/s, 假设子弹离开枪
口时合力刚好为零，则
（ 1）子弹走完枪筒全长所用的时间 t = 。
（ 2） 子弹在枪筒中所受力的冲量 I = 。
（ 3） 子弹的质量 m = 。
解：
0,003 s
0,6 N.s
2 g
在质点动量原理的基础上，本节将讨论两个或两个以上
物体组成的系统的动量原理并由此导出动量守恒定律。
§ 4-2 动量守恒定律
1,系统动量原理
设有两个相互作用的物体组成系统,F 1和 F2分别为作
用于两个物体的外力,f21和 f12为它们之间互相作用的内力，
将动量原理分别用于这两个物体得：
m1 m
2
f12f21
F1
F2
将上两式相加，根据牛顿第三定律：
将上式推广到多个质点组成的系统可得,
( 4-9 )
系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量，称为
系统动量原理 。
可得,
（ 4-10）
2、动量守恒定律
在（ 4-10）式中，当 时
则有 或
?? ? 12 iiii mm vv ?? （ 4-11）
上式称为动量守恒定律。
它表明：当系统不受外力或合外力为零时，系统总动量
在运动中保持不变，内力的作用仅仅改变总动量在
各物体之间的分配。动量守恒定律是物理学中又一
条重要而又具有普遍性的定律。
动量守恒定律的分量式为：
当 时，有
当 时，有
（ 4-12）
注意：
有时合外力或它在某方向上的分量并不为零，但合外
力（或它在某方向上的分量）比系统内物体的相互作用力
（或内力在该方向上的分量）小得多而可忽略时，系统的
总动量（或动量在该方向的分量）仍可认为是守恒的，
（ 4-11） 或（ 4-12）式仍然适用。
所以动量守恒的条件可写为
（某方向上）或 内外外 fFF ????? 0?
即使系统所受合外力不为零，但如果合外力在某一方
向上的分量为零，则系统在该方向的分量也是守恒的。
（ 2）所有的物体的速度都要对同一惯性系而言。
（ 3）动量守恒定律常用其分量式。
（ 4）系统内各物体的动量不一定守恒，动量可以传递，一个
物体动量的减少必有另一个物体动量增加，但总动量保
持不变。
（ 5）动量守恒定律是一条最基本、最普遍的定律。应用最广
泛，无论宏观还是微观领域都可以使用。
对动量守恒定律应注意：
（ 1）动量守恒定律是用于物体系的。
例 1、炮车以 30° 的仰角发射一颗炮弹，已知炮车重 5000 kg,
炮弹 重 100 kg,炮弹对炮车的出口速度为 300 m/s,
（ 1） 求炮车的反冲速度 V,忽略炮车与缓冲垫间的摩擦
（ 2）设炮车倒退时与垫子的相互作用时间为 2s,求垫子受的
平均冲力
解,
(1)选质量为 M 的炮车和质量为 m
的炮弹组成的系统为研究对象。 在
水平方向上,垫子给炮车的阻力为外
力，炮车与炮弹的相互作用力为内
力，
∵ 外力 << 内力
∴ 总动量的水平分量守恒，
即 ∑mivix = 常量 （图 4-4）
v?
V?
v??
θ
V? x
① 炮车对地的 反冲速度为 V,方向向左，
以右为正方向，其动量为 – MV;
② 已知 炮弹对炮车的相对速度 为 v,仰角
为 θ,由 速度叠加原理, 炮弹对地的瞬
时速度 v’ 的水平分量为
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为
m (v cosθ - V) – MV
系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
发射炮弹前,∑mivix = 0
发射炮弹的瞬间：如（图 4- 4）所示，
（图 4-4）
v?
V?
v??
θ
V? x
由牛顿第三定律，垫子受的平均冲力为 - Fx = -12725N,方
向向左。
从上例可以总结出解动量守恒定律的问题步骤如下：
①选系统 ;
②分析外力、内力或它们的分力，判断是否满足动量守恒
条件 ;
③选取坐标系，确定相互作用前、后两时刻各物体的动量 ;
④列方程求解，（有时还要联系与系统能量相关的方程）。
动量守恒定律中个物体的速度是相对同一个惯性参照系的，
如果问题中有相对运动，要正确地运用速度叠加原理及它的分
量式。
( 2 ) 在炮车从反冲到静止的过程中，对炮车的应用原理：
由（ 4-1）式，垫子给炮车的平均冲力
应用动量守恒定律的标量式有：
x 方向：
mv11 + 0 = mv12 cosθ +Mv22cosβ ①
y方向：
0 = mv12sinθ – Mv22sinβ②
解得 α粒子散射的速度与其初速度之比
例 2,一个 α粒子与一静止的氧原子核碰撞后，沿着与最初运动
方向成 72°角的方向被散射出来，而氧原子则在另一边沿 41°
角的方向反冲，试求 α粒子散射的速度与其初速度之比。
解,α粒子 +氧原子核组成一个系统，在它们发生相互作用的过
程中,外力 = 0,故系统总动量守恒。
α θM
氧 核m
y
v11
v12
v22
?
x
以整个软链为研究对象，应用牛顿
第二定律,
解：
柔软链条自桌上小孔从静止开始下落，求下落速度与落
下距离之间关系,
例 3、
gm ?1
0
y
gm ?2
N?
y下垂部分，长度为 y, 受重力 m 1 g,
仍在桌面上的部分，受重力 m 2 g, 以及桌
子的支持力 N,于是有：
“机械运动确实有两种量度，每一种量度适用于某个界限十
分明确的范围之内的一系列现象。
如果已经存在着的机械运动保持着机械运动的形式而进行传
递，那么，它是依照质量和速度的乘积这一公式进行传递的。
但是，如果机械运动是这样传递，即它作为机械运动而消失，
并以位能、热、电等等形态重新出现，即如果它转变为另一种
形态的运动，那么，这一新形态的运动的量就同原来运动着的
物体的质量和速度的平方乘积成正比。
一句话 mv 是用机械运动来量度机械运动的 。 mv2/2 是以机
械运动所具有的变为一定量的其他形态的运动的能力来量度机
械运动的 。而如我们所知道的，这两种量度因为性质互不相同，
所以并不互相矛盾。,
为什么一个运动状态要用两个物理量（动能和动量）来描述
呢？ 它们的本质差异是什么？恩格斯在其“自然辩证法”中作
了精辟的论述：
§ 4-3 碰撞
碰撞的共同规律：
在碰撞过程中，碰撞物体间的相互作用力 >> 外力，所以
外力可以忽略不计,碰撞物体组成的系统动量守恒。
碰撞的分类：
（ 1） 动能守恒的 碰撞称为弹性碰撞。
（ 2） 动能不守恒的 碰撞称为非弹性碰撞，如果两物体碰撞
后合二为一，以共同的速度运动，则称为完全非弹性碰撞。
两个或两个以上的物体发生相互作用，使它们的运动状态
在极短的时间内发生了显著的变化，物理学上称这种相互作用
为碰撞。碰撞的物体可以直接接触，也可以不直接接触。
如 (图 4-6)，设有两个小球质量分别为 m1和 m2,碰撞前分别
以速度 v11 和 v21 沿它们的连心线运动，碰撞后两球分别以速度
v12 和 v22 沿同一直线运动，这种碰撞称为一维碰撞或对心碰撞。
由动量守恒定律（ 4- 11）式列方程得：
m1 v11 + m2 v21 = m1 v12 + m2 v22
取两球连心线为 x轴，向右为正，上式的标量式为：
m1 v11 + m2 v21 = m1 v12 + m2 v22 （ 4-13）
其中各速率均为代数值。
? 一维碰撞 （对心碰撞）
碰撞前 碰撞后碰撞
v11 v12v21 v22
( 图 4-6 )m1 m1m2 m2
x
( I ) 弹性碰撞的情况：
弹性碰撞的动能守恒，则有方程
?m1 v112 + ?m2 v21 2 = ?m1 v12 2 + ?m2 v22 2
m1 v112+ m2 v21 2 = m1 v12 2 + m2 v22 2 （ 4-14）
化简上两式并联立求解得两小球碰撞后的速率为：
（ 4-15）
碰撞前 碰撞后碰撞
v11 v12v21 v22
( 图 4-6 )m1 m1m2 m2
x
几种特例：
(a) 如果 m1 = m2
则有 v12 = v21 v22 = v11
(b) 如果 m2 >> m1, 且 v21 = 0，
则 v12 ≈ - v11 v22 = 0
(c) 如果 m2 << m1, 且 v21 = 0，
则 v12 ≈ v11 v22 ≈ 2v11
( II ) 完全非弹性碰撞的情况：
设两球碰撞后合二为一，以速度 v沿原方向运动，由动量守
恒定律 m1 v11 + m2 v21 = （ m1 + m2 ） v
得碰撞后的速度
（ 4-16）
碰撞前后动能不守恒，一部分动能转化为其他形式的能量。
21
2121121
12
2)(
mm
mmm
?
??
?
vvv
21
1112112
22
2)(
mm
mmm
?
??
?
vvv
如果两球碰撞后不沿一条直线运动则称为二维碰撞。图 4-7
表示二维弹性碰撞中最简单的一种情况，即 v21=0,由动量守恒
定律得 m1 v12 + m2 v22 = m1 v11 （ 4-17）
以 v11的方向为 x轴正向，上式的两个分量式为
x 方向,m1v12 cosθ1 +m2v22cos θ2 = m1v11
y 方向,m1v12 sinθ1 +m2v22sin θ2 = 0
因为弹性碰撞动能守恒，我们有
? m1 v122 + ? m2 v222 = ? m1 v112 （ 4-18）
如果给出以上三个方程中 7个物理量中的
4个，则可以确定碰撞后两球的运动。
( 图 4-7 )
二维弹性碰撞
m1
θ1
θ2
y
xm2
v11
v22
v12
解：按题义作 （图 4-8） 如右，由动量守恒定律，我们有
m1 v11 = m1 v12 + m1 v22
已知 m1 = m2
故 v11 = v12 + v22 ①
即矢量 v11,v12 和 v22 形成一个三角形，
φ为 v12 和 v22 的夹角，如（图 4-8）所示；
由碰撞前后动能守恒可得另一个方程，
1/2mv112 = 1/2m v122 + 1/2m v222
消去质量和系数得
v112 = v122 + v222 ②
综合①和②式，可知 φ = 90o
即两粒子碰撞后沿相互垂直的方向运动。
例 1、设两个质量完全相等的粒子在 x-y平面内发生弹性碰撞。
而且作为靶的粒子原来是静止的，试证明两粒子碰撞后的速度
互相垂直。
（图 4-8）
φ
y
xm1 m2
v11
v22
v12
v12
v11
v22
例 2、已知子弹质量 m =0.02 kg,木块质量 M =8.95 kg, 弹簧
的倔强系数 k =100 N/m 。 子弹以初速度 v0 射入木块后，弹簧
被压缩 10cm,求 v0 的大小。（设木块与平面间的滑动摩擦系数
μ = 0.2,不计空气阻力。）
解,两个物理过程：（ 1）子弹和
木块碰撞，（ 2）连体压缩弹
簧。对过程（ 1）动量守恒
（ 2）弹簧被压缩时受力如图所示 F = -μMg-kx, 由动能定理有：
x
0
m M
f = μMg f =kx
v0
§ 4-4 质点对定点的角动量 角动量守恒定律
质点对定点的角动量和角动量守恒定律对解决有心力场
中质点的运动问题十分方便，同时也是下一章相关概念和定
律的基础。
设 O 为空间一定点，质量 为 m
的质点某时刻位于 P点，速度为 v,其
动量 p = mv, 质点相对于 O点的位置
矢为 r, 则矢径 r与质点动量 P 的矢量
积定义为质点 P相对于 O点的角动量或
动量矩，记为 L：
(4-19)
O
z
L = r × p
r
θ
pP
y
x
一、质点对定点的角动量
显然，当定点 O 在质点速度沿长线上时，
质点对该点角动量为零；对圆周运动而言,
θ = 90o,
故质点对圆心的角动量大小为,L = mvr
在 SI制中，角动量的单位为 kg·m2/s,
量纲为 ML2T-1。
角动量的大小为：
L = P r sinθ = mvrsinθ (4-20)
方向为：
服从右手螺旋定则
写成矢量式：
L = r × p
O
z
L = r × p
r
θ
pP
yx
（图 4-9）
二、质点的角动量定理
对（ 4-19）两边求对时间的导数得
∵ ∴ 上式右边第二项为零，
有
将牛顿第二定律代入上式，得
上式右边的 r 也是力 F 的作用点相对点 O的矢径，定义矢量
积为力 F 对 O点的力矩，记为 M：
( 4-21 )
FrM ??? ?? ( 4-22 )
O
z
M = r × F
r
φ
FP
yx
图 4-10
力矩 M 的大小为：
M = F r sinφ (4-23)
φ为 r 和 F 的正方向之夹角
力矩 M 的方向为：
服从右手螺旋法则。
力矩具有与功相同的单位和量纲。
将（ 4-22）式代入（ 4-21）式，得
（ 4-24）
dt
LdM ?? ?
O
z
M = r × F
r
φ
FP
yx
图 4-10
上式表明：质点所受的合外力对定点 O的力矩等于质点相
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为 质点的角
动量定理。
其中 称为 dt 时间内力矩 对质点的 冲量矩。 两边
积分有：
LddtM ?? ?
质点的角动量定理可以写为
dtM? M?
上式表明：作用于质点的合外力矩 M 从 t1 到 t2 时间间隔
内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
12
2
1
LLdtMt
t
??? ???
三、质点的角动量守恒定律
如果作用于质点 P 的合外力对定点 O 的力矩 M 等于零，
即如果 M = 0, 则 dL / dt = 0,得
L = 常矢量。 （ 4 - 25）
这一结论称为 质点的角动量守恒定律。
如果一个力的方向永远指向空间的一定点，这种力就称为
有心力,该定点则称为力心。因为有心力对其力心的力矩为零，
故质点在有心力的作用下运动时，对其力心的角动量是守恒的。
力心
例 4、一质点在 x-y平面内运动，已知质点的质量为 20 g,在 A,
B 两位置处的速率都是 20 m/s, vA与 X轴成 45o角,vB垂
直于 y轴。求质点由 A点到 B点这段时间内，作用在质点
上外力对 O点的总冲量矩（已知 OA=2m,OB=4m）。
解,由 质点的角动量定理 知：
由 A到 B,角动量的方向均垂
直于 x-y平面向上
A
B
x
y
vA
vB
O
45o
外力的总冲量矩为：
例 5、在竖直平面内，一个质量为 m 的粒子从 P点被释放，如
图（ 4-11 ） 所示，试求：（ 1）粒子所受的重力相对于
定点 O的力矩,( 2 )粒子下落时，对 O点的角动量，并说
明结果符合角动量定理。
其方向由右螺旋法则确定为垂直纸面
向里。大小为
M = m g r sinφ = m g d
其中 d = r sin φ,为 O点到重力作用线
的垂距 。
解,（ 1）重力 作用 点对 O点的矢径
为, 这两个矢量的方向夹角为
φ, 重力对 O点的力矩为：
gm?
r?
gmrFrM ????? ????
φ
φ
d
P
r m
y （图 4-11）
0
gm?
LM ??,
其大小为 mgt,故任意时刻 t,粒 子
对 O点的角动量为：
（ 2）质点在时刻 t 的动量
p = mv = mgt,
φ
φ
d
P
r m
y （图 4-11）
0
gm?
LM ??,
其大小为
L = m g t r sin φ = m g t d
对 L 求一阶导数得
dL/dt = m g d = M
符合质点的角动量定理。
tgmrprL ????? ????
例 6、哈雷慧星围绕太阳作轨道为椭圆运动，慧星轨道上的近日
距离为, Rp为 0.885 × 1011 m,远日距离为, Ra为 52.5
× 1011 m 。 已知在近日点，慧星的速率为,vp为 5.4 × 104
m/s,计算慧星在其远日点处的速率 va 。
解：太阳对哈雷慧星的引力的作用线通
过力心（太阳），为有心力。引力
对力心的力矩为零，故慧星对太阳
中心的角动量守恒，设慧星质量为
m, 它在近日点和远日点的角动量
分别为 Lp 和 La有：
Lp = La 或 m vp Rp = mva Ra
慧星在远日点处的速率为
慧
星
太阳 R
a
Rp
（图 4-12）
av
?
pv
?
例 7,行星以太阳为一个焦点作椭圆运动，试证明开普勒第二
行星运动定律：行星对太阳的矢径在相等时间里扫过相
等的面积。
（ 1）它表明,L 的方向不变,L 垂直于
行星的轨道平面，因此行星的轨道
平面方位不变。
（ 2）行星对太阳的角动量大小为
证明：因为太阳对行星的引力通过从
太阳中心到行星的矢径（有心
力），力矩为零，行星对太阳
中心的角动量守恒：
L = 恒矢量
（图 4-13）
α ?sinr?
L
△ S
r?
rr ?? ??
r??
p?
②
①
③
（图 4-13）
α ?sinr?
L
△ S
r?
rr ?? ??
r??
p?
其中 m 为行星的质量,α为 r 与动量 p 正向之夹角，显
然当 △ t→ 0 时，
△ S 为图中阴影下的面积，将② 式代入① 式得
其中 ds/dt 为矢径 在单位时间内扫
过的面积，称为面积速率，因为 L为恒
量，故
ds/dt = L/2m = 恒量
这就是开普勒第二行星运动定律。
