第五章 刚体的转动
§ 5-1 刚体的平动、转动和定轴转动
§ 5-2 力矩 转动定律 转动惯量
§ 5-3 转动动能 力矩的功
§ 5-4 角动量 角动量守恒定律
? 理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质；
? 理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义；
? 掌握定轴转动的转动定律和角动量定理；
? 掌握定轴转动的机械能守恒定律和角动量守恒定律。
教学要求
§ 5-1 刚体的平动、转动和定轴转动
一、刚体（理想模型）
刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平
行的运动，叫做平动。
因为在平动时 刚体上各点的运动轨迹、各时刻的位移、
速度、加速度都相同，整个刚体可当作质点来处理。
二、平动和转动（刚体的二种基本运动形态）
1、平动
在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体 称为
刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。
1,理想模型；
2,在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移；
3,内力无穷大的特殊质点系。
A
B
刚体的平动
如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，
则称刚体作转动。
若轴线固定不动，则称定轴转动。
2,转动
刚体的一般运动可视为平动和转动的合成运动。
如：
滚动 — 轴心的平动 + 绕轴心的转动
抛体 — 质心的抛物线运动 + 绕质心的转动
进动 — 绕转轴转动 + 转轴绕定轴的转动
描述刚体定轴转动的物理量
1,角位置，角位移
y
x0
P(t)
P(t+dt)
?
d?
运动方程：
角位置 ?：位矢与 ox 轴夹角。
角位移 d?,dt 时间内角位置增量。
)(t?? ?
1,刚体上各质点的角位移，角速
度和角加速度均相同；
2,各质点都在垂直转轴的平面内
运动，且作圆周运动。圆心在
转轴上。
三、定轴转动
刚体定轴转动的特点：
定轴转动只有两个转动方向。
3,线量与角量的关系
2??
??
rara
rrs
nt ??
???? v
r??? ?? ?v
方向垂直 于 和 组成的平面v? ?? r?
2,角速度和角加速度
td
d?? ?
2
2
d
d
d
d
tt
??? ??
规定,位矢从 o x 轴逆时针方向转动时角位置 ? 为正，
反之，为负。
y
x0
??
v?
r? △ θ
△ s
若 是定值, 刚体的运动称为：?
若 是定值，刚体的运动称作：
匀角速转动
匀变速转动（或匀加速转动 )?
刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似：
为恒矢 为恒值
例 1、一飞轮作减速运动，其角加速度与角速度关系为
解：⑴
ω0
α= - kω,k为比例系数，设初始角速度为 ω0 。求：
⑴ 飞轮角速度与时间的关系；
⑵ 当角速度由 ω0→ω 0/2 时，在此时间内飞轮转过的圈数。
(2)当角速度由 ω0→ω 0/2 时,所需时间为 t,
在此时间内车轮转过的圈数 =
kt??
0
ln ??由：
一、力矩
1、定义：转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。
力矩的表示式,
大小：
FrM ??? ??
方向：
§ 5-2 力矩、转动定律、转动惯量
M?
F?
r?
?
nF
?
tF
?
F?
r?
注意：
2、注意：①合力矩 ≠ 合力的力矩
合力矩 =力矩的和 (矢量和）
（对定轴转动而言为代数和）
②合力为零，合力矩不一定为零
F1
F2 转轴
（ F1=F2）
合力矩为零，合力不一定为零
F1
F2
1r
2r
力矩
合力
③ 中心力（过转轴的力）的
力矩 ≡ 0。
r?
?F
?
//F?
问：一对作用力与反作用力的力
矩和等于多少？ 零
由此推知,质点组对任一轴的内力矩
之和为零。
④ 当力不在垂直于转轴的平面内，
只有 对转轴力矩有贡献。
//F
M?
F?
r?
F??
力 矩,FrM ??? ?? 垂直 和 构成的平面。M? F? r?
中学表为, dFM ?
合力矩,???? ??? 21 MMM
???? 2211 dFdFM z
M 只有两个方向，可用正、负表示。
而且有：
与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；
与转轴平行的力对转轴不产生力矩；
刚体内各质点间内力矩的合为零。
归结起来：
?
o
d
P
?
F? ∥
F?
F? ⊥
力矩是改变转动状态（即产生角加速度）的原因。
转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性 —— 转动惯
性，实验发现：物体的角加速度与力矩成正比，与转动惯性
成反比。若用 J 表示转动惯性（ J 称为转动惯量）则有：
??? kJMJM ??? 写成等式1
在国际单位制中,k = 1 则上式为
转动定律???JM ?
它说明了力矩的瞬时作用规律。
转动定律相当重要，其在转动中的地位就相当于质点
运动中的牛顿第二定律。
二、转动定律
把刚体看作质元 的集合，对 用牛顿第二定
律的切向式与法向式。
设一刚体绕定轴转动，某质元受内力 和外力
作用
转动定律可由牛顿第二定律推求：
矢量式：
法向式：
切向式：
ir
im?
外iF
?内if?
转轴
以 遍乘切向式两端：
将遍乘 后的切向式求和得：
刚体所受的合外力矩：
（内力不改变角动量）
定义, 为刚体的转动惯量2
ii rmJ ?? ?
为刚体所受的合外力矩其中 M
?JM ??
转动定律
注意,（ 1） M,J,? 均对同一轴而言，且具有瞬时性 ；
（ 2）改变刚体转动状态的是力矩；
（ 3）转动惯量是刚体转动惯性的度量。
)( ?iit ra ?注意到：
牛顿第二定律与转动定律的对应关系
物理量：质点 m
刚体 J M
规 律：质点 牛顿第二定律
刚体 转动定律
不一定
例：问：力矩 M 大，是否 ? 大？ 不一定
? 大，是否 M 大？
（ M 大,? 大,? 的变化大。 ? 可为 0）
（ ? 大，并不代表它的变化大，有可能它的
M = 0，匀角速转动。）
对分离的质点组：
2、转动惯量的物理意义,J是描述刚
体转动惯性大小的量度。
?? 2ii rmJ ?
?? dmrJ 2
三、转动惯量
1、转动惯量的定义：
对单个质点,
m1
r1
m2r2
m3 r3
转轴
对质量连续分布的刚体：
转轴
r dm
J=mr 2, r 为质点到转轴的距离。
① 与刚体的总质量有关
②与质量的分布有关
③与转轴的位置有关
4、转动惯量 J 的计算方法,（可将质量元变为线元、面元、
体元积分求得）
3,J与下列因素有关：
例 1、有一均匀细杆，杆长为 l,质量为 m, c 为杆的中点。
设转轴 oo’ 通过 c 点且与杆垂直，杆绕轴转动，求转
动惯量 Jc=？
解：取 x 轴方向如图，杆的线密度为
? = m/l,取小质元 dm = ?dx,则 0 x
o ’
o
x dxc
若将转轴移到 A点，求 JA=？
仍有小质元 dm= ? dx，（ ?=m/l）
x
o ’
x dxA
o
c
可见转轴不同，转动惯量是不同的。那么将转轴从
c点平行移到 A点转动惯量改变了多少？
移项得,JA= JC + md 2
x
o ’
x dxA
o
c
d
d是转轴 oo’ 到质心的距离。
刚体对某轴的转动惯量 J,等于刚体对通过质心
的 平行轴 的转动惯量 Jc, 加上刚体质量 m 乘以两
平行轴之间的距离 d的平方 。 即：
2mdJJ
cB ??
d
c
B
过质心平行轴
平行轴定理：
圆环
转轴通过中心
与环面垂直
圆环
转轴沿直径
圆盘
转轴通过中心
与盘面垂直
圆筒
转轴沿
几何轴
圆柱体
转轴沿
几何轴
圆柱体
转轴过
中心与几何轴相垂
细棒 转轴
过中心
与棒相垂
细棒 转轴
过端点
与棒相垂
球体
转轴沿直径
球壳
转轴沿直径
2mrJ ?
r r
2
2
1 mrJ ?
r
2
2
1 mrJ ? )(
2
2
2
2
1 rr
mJ ??
2
2
1 mrJ ?r r l
124
22 mlmr
J ??
几种常用简单几何形状、密度均匀物体的转动惯量
12
2ml
J ?l l
3
2ml
J ?
r2 2
5
2 mrJ ? r2 2
3
2 mrJ ?
1r
2r
例 2,质量为 m,长度为 l 的均质细直棍,对通过其中心 o且
与棍斜交成角的轴的转动惯量。
解：取 ox轴如图所示，则棍上任
一段元 dx的质量,
至转轴的距离
转动惯量：
?
?
22
2
2
s i n
12
1
)s i n(
2
2
ml
dx
l
m
x
dmrJ
l
l
?
?
?
?
?
?
x
o
r
?
② 过棒一端 o ’,仍与棍斜交成
角 ?的轴的转动惯量 Jo ’ 。
讨论：
①当 时,即为棍对于过它的中心且与
棍垂直的转轴的转动惯量。
x
d
o
r
?
o ’
由平行轴定理,
例 3、求质量为 m,半径为 R 的细圆环对过环心垂直于环面
的转轴的转动惯量。
解：圆环的线密度为 ?= m/(2?R)
环上取小质元 dm= ?dl = ?R d? 则
2
3
2
0
3
2
2
2
mR
R
m
R
dR
dmRJ
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
dl
d?
轴
例 4、求质量为 m,半径为 R 的薄圆盘对过圆心垂直于盘面
的转轴的转动惯量。
解：圆盘的面密度为 ? = m/(?R2)
取一半径为 r,宽为 dr 的圆环为质元
dm = ? 2?rdr
24
0
32
2
1
2
12 mRRdrrdmrJ R ???? ?? ????
注意：
转动惯量的计算只能对规则物体进行，不规则的物体
的转动惯量通常只能用实验的方法测量。
轴
即圆盘对其中心轴的转动惯量为 J =mR2/2 。
r
dr
例 5、如图所示，求大圆盘的实心部分对 o 轴（垂直于盘面）的
转动惯量。 （已知大盘半径 R = 2 r,质量为 M ）
解：先将小盘补上面密度相同的刚体，
使之质量变为 M ’，而小盘的质量为
m，由于转动惯量有可加性，可以
先分别求出大盘和小盘对 o 轴的转
动惯量，再把小盘的除去即得大盘
实心部分对 o轴的转动惯量。
补齐后大盘对 o轴的转动惯量：
J1 = M ’ R2/2
小盘对 o轴的转动惯量：
J2 = mr2/2 + mr2 = 3mr2/2
o
R
M
r r
m
所以实心部分对 o 轴的转动惯量为：
例 6、一质量为 M,半径为 R 的定滑轮上面绕有细绳，绳的
一端固定在滑轮上（略去轮轴处的摩檫，绳不可伸长不
计质量），另一端挂有一质量为 m 的物体而下垂。求物
体 m 由静止下落 h 高度时的速度和此时轮的角速度。
解：①对象,M 刚体 m 质点
② 受力分析：如图所示
③ 依牛顿第二定律与转动定律列
方程 （ 注意 T1 = T2 = T ）
对物体有,mg - T = m a
对滑轮有,TR = J ? = M R2 ? /2
角量和线量的关系,a = R ?
运动学关系,v2 = v02 + 2ah = 2ah
h
T1
T2
mg
m
m
M
④ 解方程得：
在该题中如果在滑轮上加一恒力矩，使
物体以 v0 的速度匀速上升，撤去力矩后，问
过多少时间后滑轮开始反向运动？
解：分析：撤去力矩后，滑轮和物体受力和
前面完全一样 。因此对物体应用牛顿第二定
律和对滑轮应用转动定律的形式完全一样。
T1
T2
mg
m
M
v0
?
对物体有,mg - T = m a ①
对滑轮有,TR = J ? = M R2 ? /2 ②
角量和线量的关系,a = R ? ③
运动学关系,v= v0 + at = 0 ④
由第 1,2,3个方程可解得：
由第 4个方程可解得：
)2(
2
mM
mga
??
mg
mM
at 2
)2( 00 vv ???
T1
T2
mg
m
M
v0
?
右图中，滑轮两边张力不相同,
两物体的加速度相同。（绳不可伸长）
M1
m1 m2
T2T1
T2T1
?2
aa
m1g m2g
M2
TT?1
M
m1 m2
T1
T1
?
aa
m1g m2g
T2
T2
解,（ 1） 选细杆, 刚体为研究对象
受力与受力矩分析如图
由转动定律有方程：
（ 2） 由于力矩 M= mg（ l/2） cos? 属变力矩，故由 ?求
角速度 ? 时用积分法。
?? c o s23 lg?得
例 7,质量 m, 长为 l 的均质细杆, 可绕过固定端 o的水平轴
转动, 将杆从水平位置由静止释放, 如图 。 试求,⑴
转到任一角 ? 时, 杆的角加速度 ? 等于多少？ ⑵ 此
时的角速度 ? 等于多少？
l
r ?
mg
???2
o
② 当 ? = ? /2 （ 杆转到竖直位置 ） 时,
l
g ?? s i n3?
讨论,① ? 越小, ? 值越小； ? 越大, ? 值越大 。
0,3 ??? ??? lgm
所以刚体的转动动能,
2
2
1 ?JE
k ?
一, 转动动能
刚体转动时, 各质点都绕定轴作圆运动, 都具有动能 。 刚
体的转动动能就等于刚体中所有质点的动能之和 。
第 i 个质点的动能为 1/2?mivi2 = 1/2?mi ri2?2
则刚体总动能为
? ? 222 2121 ?????
?
??
?
? ?? ??
iiiik rmmE v
与平动动能形式相同，量纲也相同，单位也相同。
[Ek] = [m][r2][?2] = ML2T-2
§ 5-3 转动动能、力矩的功
转轴
r dm
刚体转过 d?角,外力 F 作
的元功为,
?c o sF d ssdFdw ??? ??
??? s i nc o s,?? rdds?
?? dFrdw s i n??
?
?
Mddw
FrM
??
? s i n
:力矩的大小又 ?
二、力矩的功
M：
x
d?
?r
ds ??
0
F?
当刚体在 F 力作用下，从 ?1 转到 ?2 时所作的功为：
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
JJ
dJ
d
dt
d
JMddwW
??
?
???
?
???
因为外力的功也就是外力矩的功，所以有：
dt
dJJM ?? ??
转力矩或,kEW ??
转动动能定理,合外力 (矩 )对刚体所作的功，等于刚体
转动动能的增量。
使用中应注意,
2
1
2
2 2
1
2
1,2
1
????
?
JJMdW ??? ?力矩即
① E k转 是相对量；
② 转动动能定理的表达式为标量式。
③ 应用该定理时只需分析始态与末态。
解：对象：杆
由转动动能定理有：
021)2s i n (2 20 ????? ????? Jdlmg
l
r ?
mg
???2
O
下面用转动动能定理求解例 6
求解杆的角速度时，用转动动能定理比用转动定律简单。
可见：
ch
只有保守力作功时，机械能守恒，即
三、机械能守恒定律
质心转轴 ?
例 用机械能守恒定律求解例 6中的 ?
解：在杆转动的过程中，由于只有重力作功，故机械能守
恒。取杆的水平位置为势能零点，有
l
g ?? s i n3??
l
r ?
mg
???2
O
一、质点的角动量（动量矩）和角动量守恒定律
质点的角动量,
§ 5-4 角动量定理 角动量守恒定律
质点角动量原理：
LLLdtM ???? ????? 0
质点所受冲量矩 = 质点角动量的增量
当质点所受合外力矩 M =0 时，质点角动量守恒。
—— 质点角动量守恒定律。
例 1、一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿过中心的线拉
住 。开始时绳半径为 r1,小球速率为 v1 ；后来，往下拉
绳子，使半径变为 r2,小球速率变为 v2,求 v2 =？
解：受力分析如图。 mg = N 而
T 为小球圆运动的向心力，所
以合外力不等于 T,但过转
轴而无力矩。合外力矩为 0,
小球角动量守恒 。 有：
gm?
T?
N?L = mvr = 恒量
即,m v1 r1 =m v2 r2
二、绕定轴转动的刚体的角动量和角动量守恒定律
刚体对定轴转动的角动量等于刚体中所有质点对转轴的
角动量之和：
?JL ?
由刚体的转动定律：
z
0
?mi
iv
?
L?
ir?
① 刚体的角动量
② 刚体的角动量定律
刚体的角动量定理：
—— 刚体定轴转动的角动量守恒定律
常量??? 0)( ?? JJL
当 M = 0 时，
即：刚体受外力矩为零时，动量矩（角动量）保持不变。
③ 刚体定轴转动的角动量守恒定律
外力矩的冲量矩 = 角动量的增量。
ⅲ,推广至人：人非刚体，只要满足人所受的
则人的角动量也守恒。
2。 使用中的几种情况,
ⅰ,一个刚体（质点）,J 不变,不变,L = 恒量 。
④ 注意守恒定律的使用
1。 条件分析：,即力矩的和为零。
ⅱ,几个刚体（几个质点）,J 变,变,不变。
合力 = 0，合力矩不一定等于零。
合力矩 = 0，合力不一定等于零。但
例 2、一根长为 l,质量为 m 1 的均匀细棒，其一端挂在一
个水平光滑轴上而静止于竖直位置。今有一质量为 m 2
的子弹以水平速度 v0 射入棒下端距轴高度为 a 处如
图。子弹射入后嵌入其内并与棒一起转动偏离铅直位置
30o,求子弹水平速度 v0 的大小？
解：①对象,棒,刚体
子弹,质点
② 过程分析：
第一阶段,m2 与 m1 碰撞
第二阶段,m1 + m 2 一起转动
角动量守恒：
只有重力作功,故机械能守恒。
a
0?pE
0v
?
m2
m1
③ 列方程（ 取摆轴处为重力势能的零势点 ）
解得：
例 3、质量为 M,长为 L 的均匀直棒，可绕垂直于棒的一端
的水平轴 O无摩擦地转动。它原来静止在平衡位置上，
现在有一质量为 m 的弹性小球飞来，正好在棒下端与棒
垂直相碰撞，碰撞后，棒从平衡位置处摆动到最大角度
?=300，如图所示。
求：（ 1）小球碰撞前的速度 v0 =？
（ 2）碰撞时，小球受到多大的冲量？
解 （ 1） 选小球和棒为研究对象，
碰撞时系统所受合外力矩为 0，
系统角动量守恒，有,L
0?pE
m
O
由于是弹性碰撞，动能守恒有：
碰撞后棒从平衡位置摆到 ?
角的过程中，系统只有重力作功，
机械能守恒。有：
L
0?pE
m
O
（ 1）代入（ 2）中有
（ 1） +（ 4）得, L
0?pE
m
O
将（ 3）式代入得：
（ 2）碰撞时小球所受冲量等于小球动量的增量：
负号表示冲量方向与原方向相反。
例 4、在一质量为 M,半径为 R、角速度为 ?1 的旋转圆台上，
当一质量为 m 的人从 R/2 处走到边缘时，圆台的角速
度将变为多少？
解：选人和台为研究对象，因系统所受合外力矩为 0，所以系
统角动量守恒。
第一状态：人和台组成的系统的转动惯量为：
第二状态：人和台组成的系统的转动惯量为：
角动量守恒,L1=L2 即 J1?1=J2?2,
R/2
例 5、半径为 R,质量为 m的水平转台以角速度 ω0绕中心处的
铅直轴转动。台上站有 4人，质量各等于转台质量的 1/4；
2人站于台边 A处,2人站于台边距圆心 R/2的 B 处。今台
边 2人相对圆台以速度 循转台转向沿圆周走动，同时
另 2人相对圆台以速度 逆圆台转向沿圆周走动，求
圆台这时的角速度 ω等于多少？
解：①对象：转台 刚体
4个人 质点组
② 条件分析：由于系统
只受重力及轴的支托
力，且皆与转轴平行，
故系统角动量守恒。
R/2
AB
ω0
v?v
?2
③ 状态分析：以地面为参照系
转 台
人走动前 台边 2人
台中 2人
转 台
人走动后 台边 2人
台中 2人
④ 依角动量守恒定列方程
解得：
§ 5-1 刚体的平动、转动和定轴转动
§ 5-2 力矩 转动定律 转动惯量
§ 5-3 转动动能 力矩的功
§ 5-4 角动量 角动量守恒定律
? 理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质；
? 理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义；
? 掌握定轴转动的转动定律和角动量定理；
? 掌握定轴转动的机械能守恒定律和角动量守恒定律。
教学要求
§ 5-1 刚体的平动、转动和定轴转动
一、刚体（理想模型）
刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平
行的运动，叫做平动。
因为在平动时 刚体上各点的运动轨迹、各时刻的位移、
速度、加速度都相同，整个刚体可当作质点来处理。
二、平动和转动（刚体的二种基本运动形态）
1、平动
在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体 称为
刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。
1,理想模型；
2,在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移；
3,内力无穷大的特殊质点系。
A
B
刚体的平动
如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，
则称刚体作转动。
若轴线固定不动，则称定轴转动。
2,转动
刚体的一般运动可视为平动和转动的合成运动。
如：
滚动 — 轴心的平动 + 绕轴心的转动
抛体 — 质心的抛物线运动 + 绕质心的转动
进动 — 绕转轴转动 + 转轴绕定轴的转动
描述刚体定轴转动的物理量
1,角位置，角位移
y
x0
P(t)
P(t+dt)
?
d?
运动方程：
角位置 ?：位矢与 ox 轴夹角。
角位移 d?,dt 时间内角位置增量。
)(t?? ?
1,刚体上各质点的角位移，角速
度和角加速度均相同；
2,各质点都在垂直转轴的平面内
运动，且作圆周运动。圆心在
转轴上。
三、定轴转动
刚体定轴转动的特点：
定轴转动只有两个转动方向。
3,线量与角量的关系
2??
??
rara
rrs
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???? v
r??? ?? ?v
方向垂直 于 和 组成的平面v? ?? r?
2,角速度和角加速度
td
d?? ?
2
2
d
d
d
d
tt
??? ??
规定,位矢从 o x 轴逆时针方向转动时角位置 ? 为正，
反之，为负。
y
x0
??
v?
r? △ θ
△ s
若 是定值, 刚体的运动称为：?
若 是定值，刚体的运动称作：
匀角速转动
匀变速转动（或匀加速转动 )?
刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似：
为恒矢 为恒值
例 1、一飞轮作减速运动，其角加速度与角速度关系为
解：⑴
ω0
α= - kω,k为比例系数，设初始角速度为 ω0 。求：
⑴ 飞轮角速度与时间的关系；
⑵ 当角速度由 ω0→ω 0/2 时，在此时间内飞轮转过的圈数。
(2)当角速度由 ω0→ω 0/2 时,所需时间为 t,
在此时间内车轮转过的圈数 =
kt??
0
ln ??由：
一、力矩
1、定义：转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。
力矩的表示式,
大小：
FrM ??? ??
方向：
§ 5-2 力矩、转动定律、转动惯量
M?
F?
r?
?
nF
?
tF
?
F?
r?
注意：
2、注意：①合力矩 ≠ 合力的力矩
合力矩 =力矩的和 (矢量和）
（对定轴转动而言为代数和）
②合力为零，合力矩不一定为零
F1
F2 转轴
（ F1=F2）
合力矩为零，合力不一定为零
F1
F2
1r
2r
力矩
合力
③ 中心力（过转轴的力）的
力矩 ≡ 0。
r?
?F
?
//F?
问：一对作用力与反作用力的力
矩和等于多少？ 零
由此推知,质点组对任一轴的内力矩
之和为零。
④ 当力不在垂直于转轴的平面内，
只有 对转轴力矩有贡献。
//F
M?
F?
r?
F??
力 矩,FrM ??? ?? 垂直 和 构成的平面。M? F? r?
中学表为, dFM ?
合力矩,???? ??? 21 MMM
???? 2211 dFdFM z
M 只有两个方向，可用正、负表示。
而且有：
与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；
与转轴平行的力对转轴不产生力矩；
刚体内各质点间内力矩的合为零。
归结起来：
?
o
d
P
?
F? ∥
F?
F? ⊥
力矩是改变转动状态（即产生角加速度）的原因。
转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性 —— 转动惯
性，实验发现：物体的角加速度与力矩成正比，与转动惯性
成反比。若用 J 表示转动惯性（ J 称为转动惯量）则有：
??? kJMJM ??? 写成等式1
在国际单位制中,k = 1 则上式为
转动定律???JM ?
它说明了力矩的瞬时作用规律。
转动定律相当重要，其在转动中的地位就相当于质点
运动中的牛顿第二定律。
二、转动定律
把刚体看作质元 的集合，对 用牛顿第二定
律的切向式与法向式。
设一刚体绕定轴转动，某质元受内力 和外力
作用
转动定律可由牛顿第二定律推求：
矢量式：
法向式：
切向式：
ir
im?
外iF
?内if?
转轴
以 遍乘切向式两端：
将遍乘 后的切向式求和得：
刚体所受的合外力矩：
（内力不改变角动量）
定义, 为刚体的转动惯量2
ii rmJ ?? ?
为刚体所受的合外力矩其中 M
?JM ??
转动定律
注意,（ 1） M,J,? 均对同一轴而言，且具有瞬时性 ；
（ 2）改变刚体转动状态的是力矩；
（ 3）转动惯量是刚体转动惯性的度量。
)( ?iit ra ?注意到：
牛顿第二定律与转动定律的对应关系
物理量：质点 m
刚体 J M
规 律：质点 牛顿第二定律
刚体 转动定律
不一定
例：问：力矩 M 大，是否 ? 大？ 不一定
? 大，是否 M 大？
（ M 大,? 大,? 的变化大。 ? 可为 0）
（ ? 大，并不代表它的变化大，有可能它的
M = 0，匀角速转动。）
对分离的质点组：
2、转动惯量的物理意义,J是描述刚
体转动惯性大小的量度。
?? 2ii rmJ ?
?? dmrJ 2
三、转动惯量
1、转动惯量的定义：
对单个质点,
m1
r1
m2r2
m3 r3
转轴
对质量连续分布的刚体：
转轴
r dm
J=mr 2, r 为质点到转轴的距离。
① 与刚体的总质量有关
②与质量的分布有关
③与转轴的位置有关
4、转动惯量 J 的计算方法,（可将质量元变为线元、面元、
体元积分求得）
3,J与下列因素有关：
例 1、有一均匀细杆，杆长为 l,质量为 m, c 为杆的中点。
设转轴 oo’ 通过 c 点且与杆垂直，杆绕轴转动，求转
动惯量 Jc=？
解：取 x 轴方向如图，杆的线密度为
? = m/l,取小质元 dm = ?dx,则 0 x
o ’
o
x dxc
若将转轴移到 A点，求 JA=？
仍有小质元 dm= ? dx，（ ?=m/l）
x
o ’
x dxA
o
c
可见转轴不同，转动惯量是不同的。那么将转轴从
c点平行移到 A点转动惯量改变了多少？
移项得,JA= JC + md 2
x
o ’
x dxA
o
c
d
d是转轴 oo’ 到质心的距离。
刚体对某轴的转动惯量 J,等于刚体对通过质心
的 平行轴 的转动惯量 Jc, 加上刚体质量 m 乘以两
平行轴之间的距离 d的平方 。 即：
2mdJJ
cB ??
d
c
B
过质心平行轴
平行轴定理：
圆环
转轴通过中心
与环面垂直
圆环
转轴沿直径
圆盘
转轴通过中心
与盘面垂直
圆筒
转轴沿
几何轴
圆柱体
转轴沿
几何轴
圆柱体
转轴过
中心与几何轴相垂
细棒 转轴
过中心
与棒相垂
细棒 转轴
过端点
与棒相垂
球体
转轴沿直径
球壳
转轴沿直径
2mrJ ?
r r
2
2
1 mrJ ?
r
2
2
1 mrJ ? )(
2
2
2
2
1 rr
mJ ??
2
2
1 mrJ ?r r l
124
22 mlmr
J ??
几种常用简单几何形状、密度均匀物体的转动惯量
12
2ml
J ?l l
3
2ml
J ?
r2 2
5
2 mrJ ? r2 2
3
2 mrJ ?
1r
2r
例 2,质量为 m,长度为 l 的均质细直棍,对通过其中心 o且
与棍斜交成角的轴的转动惯量。
解：取 ox轴如图所示，则棍上任
一段元 dx的质量,
至转轴的距离
转动惯量：
?
?
22
2
2
s i n
12
1
)s i n(
2
2
ml
dx
l
m
x
dmrJ
l
l
?
?
?
?
?
?
x
o
r
?
② 过棒一端 o ’,仍与棍斜交成
角 ?的轴的转动惯量 Jo ’ 。
讨论：
①当 时,即为棍对于过它的中心且与
棍垂直的转轴的转动惯量。
x
d
o
r
?
o ’
由平行轴定理,
例 3、求质量为 m,半径为 R 的细圆环对过环心垂直于环面
的转轴的转动惯量。
解：圆环的线密度为 ?= m/(2?R)
环上取小质元 dm= ?dl = ?R d? 则
2
3
2
0
3
2
2
2
mR
R
m
R
dR
dmRJ
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
dl
d?
轴
例 4、求质量为 m,半径为 R 的薄圆盘对过圆心垂直于盘面
的转轴的转动惯量。
解：圆盘的面密度为 ? = m/(?R2)
取一半径为 r,宽为 dr 的圆环为质元
dm = ? 2?rdr
24
0
32
2
1
2
12 mRRdrrdmrJ R ???? ?? ????
注意：
转动惯量的计算只能对规则物体进行，不规则的物体
的转动惯量通常只能用实验的方法测量。
轴
即圆盘对其中心轴的转动惯量为 J =mR2/2 。
r
dr
例 5、如图所示，求大圆盘的实心部分对 o 轴（垂直于盘面）的
转动惯量。 （已知大盘半径 R = 2 r,质量为 M ）
解：先将小盘补上面密度相同的刚体，
使之质量变为 M ’，而小盘的质量为
m，由于转动惯量有可加性，可以
先分别求出大盘和小盘对 o 轴的转
动惯量，再把小盘的除去即得大盘
实心部分对 o轴的转动惯量。
补齐后大盘对 o轴的转动惯量：
J1 = M ’ R2/2
小盘对 o轴的转动惯量：
J2 = mr2/2 + mr2 = 3mr2/2
o
R
M
r r
m
所以实心部分对 o 轴的转动惯量为：
例 6、一质量为 M,半径为 R 的定滑轮上面绕有细绳，绳的
一端固定在滑轮上（略去轮轴处的摩檫，绳不可伸长不
计质量），另一端挂有一质量为 m 的物体而下垂。求物
体 m 由静止下落 h 高度时的速度和此时轮的角速度。
解：①对象,M 刚体 m 质点
② 受力分析：如图所示
③ 依牛顿第二定律与转动定律列
方程 （ 注意 T1 = T2 = T ）
对物体有,mg - T = m a
对滑轮有,TR = J ? = M R2 ? /2
角量和线量的关系,a = R ?
运动学关系,v2 = v02 + 2ah = 2ah
h
T1
T2
mg
m
m
M
④ 解方程得：
在该题中如果在滑轮上加一恒力矩，使
物体以 v0 的速度匀速上升，撤去力矩后，问
过多少时间后滑轮开始反向运动？
解：分析：撤去力矩后，滑轮和物体受力和
前面完全一样 。因此对物体应用牛顿第二定
律和对滑轮应用转动定律的形式完全一样。
T1
T2
mg
m
M
v0
?
对物体有,mg - T = m a ①
对滑轮有,TR = J ? = M R2 ? /2 ②
角量和线量的关系,a = R ? ③
运动学关系,v= v0 + at = 0 ④
由第 1,2,3个方程可解得：
由第 4个方程可解得：
)2(
2
mM
mga
??
mg
mM
at 2
)2( 00 vv ???
T1
T2
mg
m
M
v0
?
右图中，滑轮两边张力不相同,
两物体的加速度相同。（绳不可伸长）
M1
m1 m2
T2T1
T2T1
?2
aa
m1g m2g
M2
TT?1
M
m1 m2
T1
T1
?
aa
m1g m2g
T2
T2
解,（ 1） 选细杆, 刚体为研究对象
受力与受力矩分析如图
由转动定律有方程：
（ 2） 由于力矩 M= mg（ l/2） cos? 属变力矩，故由 ?求
角速度 ? 时用积分法。
?? c o s23 lg?得
例 7,质量 m, 长为 l 的均质细杆, 可绕过固定端 o的水平轴
转动, 将杆从水平位置由静止释放, 如图 。 试求,⑴
转到任一角 ? 时, 杆的角加速度 ? 等于多少？ ⑵ 此
时的角速度 ? 等于多少？
l
r ?
mg
???2
o
② 当 ? = ? /2 （ 杆转到竖直位置 ） 时,
l
g ?? s i n3?
讨论,① ? 越小, ? 值越小； ? 越大, ? 值越大 。
0,3 ??? ??? lgm
所以刚体的转动动能,
2
2
1 ?JE
k ?
一, 转动动能
刚体转动时, 各质点都绕定轴作圆运动, 都具有动能 。 刚
体的转动动能就等于刚体中所有质点的动能之和 。
第 i 个质点的动能为 1/2?mivi2 = 1/2?mi ri2?2
则刚体总动能为
? ? 222 2121 ?????
?
??
?
? ?? ??
iiiik rmmE v
与平动动能形式相同，量纲也相同，单位也相同。
[Ek] = [m][r2][?2] = ML2T-2
§ 5-3 转动动能、力矩的功
转轴
r dm
刚体转过 d?角,外力 F 作
的元功为,
?c o sF d ssdFdw ??? ??
??? s i nc o s,?? rdds?
?? dFrdw s i n??
?
?
Mddw
FrM
??
? s i n
:力矩的大小又 ?
二、力矩的功
M：
x
d?
?r
ds ??
0
F?
当刚体在 F 力作用下，从 ?1 转到 ?2 时所作的功为：
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
JJ
dJ
d
dt
d
JMddwW
??
?
???
?
???
因为外力的功也就是外力矩的功，所以有：
dt
dJJM ?? ??
转力矩或,kEW ??
转动动能定理,合外力 (矩 )对刚体所作的功，等于刚体
转动动能的增量。
使用中应注意,
2
1
2
2 2
1
2
1,2
1
????
?
JJMdW ??? ?力矩即
① E k转 是相对量；
② 转动动能定理的表达式为标量式。
③ 应用该定理时只需分析始态与末态。
解：对象：杆
由转动动能定理有：
021)2s i n (2 20 ????? ????? Jdlmg
l
r ?
mg
???2
O
下面用转动动能定理求解例 6
求解杆的角速度时，用转动动能定理比用转动定律简单。
可见：
ch
只有保守力作功时，机械能守恒，即
三、机械能守恒定律
质心转轴 ?
例 用机械能守恒定律求解例 6中的 ?
解：在杆转动的过程中，由于只有重力作功，故机械能守
恒。取杆的水平位置为势能零点，有
l
g ?? s i n3??
l
r ?
mg
???2
O
一、质点的角动量（动量矩）和角动量守恒定律
质点的角动量,
§ 5-4 角动量定理 角动量守恒定律
质点角动量原理：
LLLdtM ???? ????? 0
质点所受冲量矩 = 质点角动量的增量
当质点所受合外力矩 M =0 时，质点角动量守恒。
—— 质点角动量守恒定律。
例 1、一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿过中心的线拉
住 。开始时绳半径为 r1,小球速率为 v1 ；后来，往下拉
绳子，使半径变为 r2,小球速率变为 v2,求 v2 =？
解：受力分析如图。 mg = N 而
T 为小球圆运动的向心力，所
以合外力不等于 T,但过转
轴而无力矩。合外力矩为 0,
小球角动量守恒 。 有：
gm?
T?
N?L = mvr = 恒量
即,m v1 r1 =m v2 r2
二、绕定轴转动的刚体的角动量和角动量守恒定律
刚体对定轴转动的角动量等于刚体中所有质点对转轴的
角动量之和：
?JL ?
由刚体的转动定律：
z
0
?mi
iv
?
L?
ir?
① 刚体的角动量
② 刚体的角动量定律
刚体的角动量定理：
—— 刚体定轴转动的角动量守恒定律
常量??? 0)( ?? JJL
当 M = 0 时，
即：刚体受外力矩为零时，动量矩（角动量）保持不变。
③ 刚体定轴转动的角动量守恒定律
外力矩的冲量矩 = 角动量的增量。
ⅲ,推广至人：人非刚体，只要满足人所受的
则人的角动量也守恒。
2。 使用中的几种情况,
ⅰ,一个刚体（质点）,J 不变,不变,L = 恒量 。
④ 注意守恒定律的使用
1。 条件分析：,即力矩的和为零。
ⅱ,几个刚体（几个质点）,J 变,变,不变。
合力 = 0，合力矩不一定等于零。
合力矩 = 0，合力不一定等于零。但
例 2、一根长为 l,质量为 m 1 的均匀细棒，其一端挂在一
个水平光滑轴上而静止于竖直位置。今有一质量为 m 2
的子弹以水平速度 v0 射入棒下端距轴高度为 a 处如
图。子弹射入后嵌入其内并与棒一起转动偏离铅直位置
30o,求子弹水平速度 v0 的大小？
解：①对象,棒,刚体
子弹,质点
② 过程分析：
第一阶段,m2 与 m1 碰撞
第二阶段,m1 + m 2 一起转动
角动量守恒：
只有重力作功,故机械能守恒。
a
0?pE
0v
?
m2
m1
③ 列方程（ 取摆轴处为重力势能的零势点 ）
解得：
例 3、质量为 M,长为 L 的均匀直棒，可绕垂直于棒的一端
的水平轴 O无摩擦地转动。它原来静止在平衡位置上，
现在有一质量为 m 的弹性小球飞来，正好在棒下端与棒
垂直相碰撞，碰撞后，棒从平衡位置处摆动到最大角度
?=300，如图所示。
求：（ 1）小球碰撞前的速度 v0 =？
（ 2）碰撞时，小球受到多大的冲量？
解 （ 1） 选小球和棒为研究对象，
碰撞时系统所受合外力矩为 0，
系统角动量守恒，有,L
0?pE
m
O
由于是弹性碰撞，动能守恒有：
碰撞后棒从平衡位置摆到 ?
角的过程中，系统只有重力作功，
机械能守恒。有：
L
0?pE
m
O
（ 1）代入（ 2）中有
（ 1） +（ 4）得, L
0?pE
m
O
将（ 3）式代入得：
（ 2）碰撞时小球所受冲量等于小球动量的增量：
负号表示冲量方向与原方向相反。
例 4、在一质量为 M,半径为 R、角速度为 ?1 的旋转圆台上，
当一质量为 m 的人从 R/2 处走到边缘时，圆台的角速
度将变为多少？
解：选人和台为研究对象，因系统所受合外力矩为 0，所以系
统角动量守恒。
第一状态：人和台组成的系统的转动惯量为：
第二状态：人和台组成的系统的转动惯量为：
角动量守恒,L1=L2 即 J1?1=J2?2,
R/2
例 5、半径为 R,质量为 m的水平转台以角速度 ω0绕中心处的
铅直轴转动。台上站有 4人，质量各等于转台质量的 1/4；
2人站于台边 A处,2人站于台边距圆心 R/2的 B 处。今台
边 2人相对圆台以速度 循转台转向沿圆周走动，同时
另 2人相对圆台以速度 逆圆台转向沿圆周走动，求
圆台这时的角速度 ω等于多少？
解：①对象：转台 刚体
4个人 质点组
② 条件分析：由于系统
只受重力及轴的支托
力，且皆与转轴平行，
故系统角动量守恒。
R/2
AB
ω0
v?v
?2
③ 状态分析：以地面为参照系
转 台
人走动前 台边 2人
台中 2人
转 台
人走动后 台边 2人
台中 2人
④ 依角动量守恒定列方程
解得：
