§ 3-1 功 功率
§ 3-2 动能 动能定理
§ 3-3 势能
§ 3-4 功能原理 机械能守恒定律
§ 3-5 能量守恒与转换定律
第三章 功和能
? 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变力的功；
? 理解保守力作功特点及势能的概念；
? 掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律，熟练
地应用它们解决有关实际问题。
教学要求
1,功的概念和定义
功的概念是从大量的机械工作中总结抽象出来的：
（ 1） 机械给工作对象施以力的作用；
（ 2） 工作对象在力的作用下有位移 。
物体上力的作用点沿力的方向通过一段位移, 则说力
对物体作了功 。
功的定义, 功等于力和力方向上的位移的乘积 （ 或力
在位移方向的投影和位移的乘积 ） 。
§ 3-1 功 功率
rd?
F?
θ drFrdFdW ?c o s??? ??
一、功
功是描写 力对空间的积累 作用的物理量 。
Fcosθ是力 F 在位移方向上的投影
drcosθ是位移 dr在力方向上的位移
rd?
F?
θ
注意,功是标量，有正、负：
力对物体作正功时当 00c o s20 ???? W???
力对物体作负功时当 00c o s2 ???? W????
力对物体不作功时当 00c o s2 ??? W???
质点在变力的作用下沿曲线 从 a点运动到 b点，把路
径 ab分为很多小弧段,当小弧充分小时近似等于位移,
在这段位移视质点受恒力 力作用，恒力沿直线作功：
ir
??
i F
?
a
iF
?
ir??
b
?r?
r??
iii rFW ???? c o s? ii rF ?? ???
? ?? ii rFW ?? ?
变力沿曲线 L 对物体所作之总功为：
当 时求和变为积分，沿曲线 L
从 a→ b变力 作的总功为：
? ??
b
a
rdFW ?
?
0?ir??
F?
2、变力的功
?o
F?
ar? br?
a b
若 是恒力且物体沿直线运
动发生位移 a→ b,力对物体所作
的功：
F?
??? c o sc o s)(c o s?
?
????
??
b
a
b
a
r
r ab
r
r
abFrrFdrF
rdFW
?
?
??
3、恒力的功
在具体计算时，由于
??
?
?
?
???
???
kdzjdyidxrd
kFjFiFF zyx
????
????
)( dzFdyFdxFrdFW zyba xba ????? ?? ??
所以：
当几个力作用在质点上时，由于
kk
kk
dWdWrdFFdW
rdFdWrdFdW
???????
????
??
?
?
?
?????
11
11
)(
,,
即：每个外力所作 功的总和，等于合外力作的功 。
单位时间内所作的功称为功率。 若在时间 dt内作功
dW,则功率为：
单位为瓦特（ W） =焦耳 / 秒
由 得到
vv ?
???
???? Ft tFP d d
dtrd v?? ?
二,功率
dt
dWP ?
解,这是变力作功的问题。 以物体的起始位置为原点，向右
为正取坐标如图：
例 1、设作用在质量为 2kg 物体上的力 F= 6t 。 如果物体由
静止出发沿直线运动，求头 2 秒内该力所作的功？
0
F?
X
? ????
P Px x
xtrFW
o o
d6d ?
?
现需把 dx 换成 t 的函数才能积分。
tt
tmFa
3dd
3
??
??
v
?
J1441226
m1225.15.13
2
1
2
1
3
3322
0
??????
?????????
??
sFW
tttatts
t
m
F
a
v
常见错误之一：
J36
4
9
d
2
3
6
d
2
3
d
2
3
d
d
2
3
d3d
2
0
4
2
0
2
22
0 0
2
??
?
?
?
?
?
????
???
???
?
? ?
ttttW
ttxt
t
x
ttt
tv
vv
常见错误之二：
J48426
m42
2
1
2
1
d
2
3
d
3
0
3
2
0
??????
?????
??
?
?
sFW
tts
tta
t
t
v
v
两种错误 都是将变力视为恒力。
水桶在任意位置 y 时受的重力为：
P = -（ M0 - 0.2y） g
人的拉力 F= - P=（ M0 - 0.2y） g
人把水桶提高 dy 距离所作的元功为：
dW = Fdy = （ M0 - 0.2y） gdy
人把水桶由水面提到地面所作的总功为：
o
y
y
h
J8828.9100.9)1.0(
2
2.0
)2.0(
0
0
2
00
??????
?????? ? ?
hghM
ghghMdygyMdWW
h
解：作草图、取坐标如图：
例 2,有人用水桶提水，井水面离地面高 h = 10 m,桶盛满水总
重量 M0 =10 kg,由于桶底漏水，漏水量为
则人匀速提水到地面所作的功 W=？
)/(2.0 mkgym ????
4
2
0 0
2
82 Tm
bdt
m
btbtF d xW x T ????? ? ?
? ? ??? dxbtF d xW解：
例 3,物体由静止出发作直线运动，质量为 m,受力 bt，
b为常量，求在 T 秒内，此力所作的功。
根据牛顿定律和加速度的定义求 )(tv
dtmbta d td tt ??? ???
00
v
dt
d
m
bt
m
Fa v???
dtmbtdxmbt 22
22
???? v
例 4,一绳索跨过无摩擦的滑轮, 系在质量为 1.0千克的物体上
,物体静止在无摩擦的水平面上, 若用 5.0牛顿的恒力作用
在绳索的另一端使物体加速运动, 当绳索从与水平面成 300
角变为 370时, 力对物体所作的功为多少？ （ 已知滑轮与水
平面间的距离为 1m）
1m
5N?
解：建立如图坐标系
F?
?co sFF x ??
21 x
xF
?
??
m7 32.1301 01 ?? tgx
m3 2 7.1371 02 ?? tgx 0x x2x1
J69.1)11(
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
?????
?
??? ??
xxF
dx
x
x
FdxFW
x
x
x
x x
设质量为 m 的物体在合外力的作用下沿曲线 L 从 a→ b，
设 a,b 两点的速率分别为 v1,v2 物体在外力 作用下发生
位移 时，合外力所作的元功为：
描写物体运动状态的物理量，用 表示。动能是
标量，它只与速度的量值有关，与速度的方向无关。
2
2
1 vm
r?d
§ 3-2 动能 动能定理
F?
二、动能定理：
一,动能：
?c o sF d r
rdFdW
?
?? ?
?
2v
?
1v?
r?d
F?
Lb
a
?
tF
nF
注意到：
tFF ??c o s
dt
dmmaFF
tt
v????c o s所以：
vvv dmdrdtdmF d rdW ??? ?c o s得：
所以物体从 a→ b合外力 所作的总功为,F?
? ? ????
b
a
mmmWW
2
1
2
1
2
2 2
1
2
1dd v
v
vvvv
合外力对质点所作的功等于质点动能的增量
—— 动能定理 。
12 kk EEW ??外
1。 因为 中 v 与参照系的选择有关，所以动
能的数值与参考系的选择有关。
2
2
1 vmE
k ?
由于动能定理只论及合外力所作的总功及物体的始末
状态，与物体运动的细节无关，如物体是作曲线运动还是
直线运动、各时刻质点受力情况等无关,因此在求解速率
问题时，往往比直接用牛顿第二定理来得容易。
说明：
2。 动能定理由牛顿第二定理推出，所以只适用于质点。
本节讨论在由若干个物体组成的 系统 中，由于系统中各
物体有相互作用而存在的能量 — 势能。
一、重力所作的功 重力势能
取物体与地球组成一个 系统,重力是两者之间的内力，
物体从 a 点运动到 b 点的过程中，重力所作的功为：
)(c o s dymgm g d r
rdgmdW
???
??
?
??
)(
ab
y
y
b
a
ab
m g ym g y
m g d y
dWW
b
a
???
??
??
?
?
§ 3-3 势 能
y
x
dy
yb
ya
0
r?d
a
b
gm? θ
若物体再从 b点到 a点，重力所作的功为：
)( ba
y
y
a
bba
m g ym g ym g d y
dWW
a
b
?????
?
?
?
可见物体绕闭合路径一周：
Wa→ b→ a=Wab+Wba=0，
即,物体绕闭合路径一周，重力所作的总功为 0。
由上面讨论可见：
重力所作的功只与物体的始末位置有关, 与路径无
关, 且沿闭合路径一周重力所作的功为零 。 具有这种性质
的力称为 保守力 。
注意到 mgy 是与系统内物体之间相对位置（状态）
相关的物理量，称之为 重力势能,用 Ep（ y） 表示。上面
功的式子可写为：
)()( yEEEW pppab ab ??????
—— 重力的功等于重力势能增量的负值 。
如果 选定地面的重力势能为 0,则距离地面高 h 的
地方的重力势能等于从该点到势能 0点重力所作的功：
m g hm g d yhE hp ??? ? 0)(
保守力所作的功只与物体运动的始末位置有关，而与
所经过的路径无关； 沿任意闭合路径，所作的功为零。
? ??
L
lF 0d ??
由弹簧和质量为 m 的物体组成的 系统,置于光滑水平
面上，取弹簧不发生形变时物体的位置为坐标原点，当物体
从 a→ b时，弹性力所作的功求解如下：
在弹性限度内，弹簧作用于
物体的弹性力：
kxF ??
x xba0
kx
负号表示弹性力指向原长。弹力所作的功为：
?? ??????
b
a
b
a
x
x
ab
x
x
ab kxkxxkxxFW )2
1
2
1(dd 22
弹力的功与重力的功一样，只与始末位置有关，而且
如果物体回到原来位置，弹力所作的功为 0 。
二、弹簧弹性力的功 弹性势能
)()()2121( 22 xEEEkxkxW pPaPbabab ?????????
取弹簧的自然伸长位置为 势能零点,则拉伸或压缩 x
时，具有的弹性势能等于从该点到势能 0点弹力所作的功：
弹力的功也为弹性势能增量的负值（或弹性势能的减
少量）：
20
2
1)( kxk x d xxE
xp
??? ?
可见弹力也是保守力。 kx2/2 也是描写物体系内物体
之间相对位置（状态）的物理量，称之为 弹性势能,
2
2
1)( kxxE
p ?
r
r
Mm
G
r
r
r
Mm
GF
?
??
30
20
??
????
现 m 沿曲线 L从 a→ b, 万有引力
所作的功为：
三、万有引力的功 万有引力势能
万有引力为：
r?d
a
b
m
ar?
br?
dr
0 M
F?
θ
设质量为 M,m 的物体（视为质点）间有万有引力，
现以质量为 M 的物体为坐标原点,质量为 m 的物体的位矢
为, 方向的单位矢为, 的方向为 的负向。
rr
?r? r? F? r?
? ???
b
a
r
r
ab rrr
MmGW
?
?
?? d)(
30
? ???
b
a
r
r
ab rrr
MmGW
?
?
?? d)(
30
? ??
b
a
r
r
rrrMmG d30
)]1()1[(0
ab rr
MmG ?????
drdr
drrrdr
?
??
?
?
c o s
c o s
而
??
同样，引力作功也只与物体的始末位置有关。
也是描写物体系内物体间相对位置（状态）的物理
量，称之为 引力势能,用 Ep（ r） 表示。
rMmG
1
0?
（注意，是负值！）
由上面讨论可见，三种力作功特点：
1、所作的功只与物体运动的始末位置有关，而与所
经过的路径无关。
2、沿一闭合路径运动一周，所作的功为零。
3、都引入了势能的概念。
—— 这就是 保守力的特点。
选无穷远为引力势能 0点，则物体在 r 远处的引力势
能等于将物体从该点移到无穷远点引力势能所作的功：
r
MmGdr
r
MmGrE
rp 020
)( ???? ? ?
重力, 万有引力, 弹簧的弹性力均是 保守力 。
不具备上述作功特征的力称为 非保守力, 如摩擦力
,牵引力, 张力, 阻力等 。
（ 1） 必须是物体系 。
（ 2） 必须是保守内力 。
引入势能概念是有条件的：
四、势能
在保守力场 （ 任意点受保守力作用的空间区域 ） 引入
一个只与位置有关的函数, a,b 两点函数差值等于从 a 点
到 b 点保守力作的功, 这个与位置有关的函数 Ep 定义为
势能 。
ppapb
b
aab EEErdFW ???????? ? )(
??
? ?? 势能零点apa rFE ?? d
计算势能的一般方法：
上式只定义了势能的差值，要给出某点的势能值是多
少，必须规定 势能零点,势能等于零的位置。
注意：
1．势能是状态的单值函数,Ep=Ep(x,y,z)；
2,势能是相对的，但其差值与参考系的选择无关；
3．势能是属于系统的，取决于系统内物体之间的相互作
用和相对位置。
另外：
1．物体在两个位置间的势能之差有绝对的意义。
2．物体在某一位置具有的势能只有相对意义,势能零
点选取的不同,物体所具有的势能有不同的值。
3．势能属于由保守力相联系的物体组成的系统，我们
说物体具有势能只是物体系具有势能的习惯说法。
三种常见的势能：
重力（系统）势能, m g hhE
p ?)(
h=0处为势能零点
弹性（系统）势能：
2
2
1)( kxxE
p ?
x=0处为势能零点
引力（系统）势能：
r??处为势能零点
r
MmGrE
p ??)(
例：由引力势能推求重力势能：
解：若地球的半径为 R,a点在地球表面,b点在距地表面 h
高处，则据势能的定义
)1(1 00 RMmGhRMmGW ba ?????
a
R
h
b
R+h
PaPb EERhRMmG ????? )
11(
0
)(
)
11
(
0
0
hRR
h
MmG
RhR
MmG
?
?
?
?
??
即：
取 m 在地球表面的势能为零，即 时,0?PaERr
a ?
得
m g hE P ?
去掉脚标，得取地面为势能零点时，在距地面 h处物体
重力势能
m g hE Pb ?
PaPb
g
R
MG
Rh
EEm g h
m g h
h
R
MmG
hRR
h
MmG
???
?
?
?
?
??
)(
2
0
0
2
0
)(
而
一、物体系或质点组的动能定理
已知质点的动能定理是
2
1
2
2 2
1
2
1 vv mmW ??
质点组, 两个或两个以上物体组成的系统。
第 i 个质点受力：
外力：系统以外物体施于其的力；
内力：系统以内物体施于其的力。
对第 i 个质点应用 质点的动能定理 有
2
1
2
2 2
1
2
1
iiii
ii mmWW vv ???
内外
§ 3-4 功能原理 机械能守恒定律
内力
外力
对系统内各质点求和有
? ? ?? ??? 2 12 2 2121 iiiiii mmWW vv内外
令
?
?
?
?
i
i
WW
WW
内内
外外
有
12 KK EEWW ??? 内外
物体系所受的一切外力和一切内力所作之功的代数和
等于系统动能的增量 —— 质点组的动能定理。
若把与保守力相联系的物体选在系统内，物体系所受
的内力 保守内力；
非保守内力。
非保内保内内内力的功 WWW ???
质点组的动能定理写为
)( 12 PP EEW ???保内
(*)
我们已经把与保守力相联系的物体选为系统，所以
12 KK EEWWW ???? 非保内保内外
二,功能原理
? ? )( 1212 PPKK EEEEWW ????? 非保内外
总机械能 E,
物体系的动能与势能之和。
Pk EEE ??
12 EEWW ???? 非保内外
物体系所受到的外力和非保守内力所作功的代数和
等于系统总机械能的增量 —— 功能原理。
代入 (*)式，移项得,)(
12 PP EEW ???保内将
注意功和能的 区别 与 联系,
功是过程量, 能量是状态量；物体在任何状态下都
有能量, 但是只有在能量变化时才有功；二者用相同的
单位 。
从功能原理可以看出：
1。 功与能量密切联系,
2。 功是能量变化的度量,
3。 作功是能量传递的方式, 功是过程量 。
系统的机械能守恒必满足,外力所作之功为零，非
保守内力所作之功为零。 或者说 只有保守内力作功 。
三,机械能守恒定律
对一物体系若,,则据功能原理有0?
非保内W0?外W
12 EE ?
—— 系统的机械能守恒
在系统机械能守恒的情况下，系统中的保守内力可
以使物体的 动能 和 势能相互转化,但动能与势能之和不
变。
动能定理：
质 点：
物 体 系：
功能原理：
守恒条件
12 KK EEWW ??? 内外
12 kk EEW ??外
12 EEWW ??? 非保内外
cEW k ?? 0外
cEWW k ??? 0内外
cEWW ??? 0非保内外
归结起来：
定理
各种形式的能量可以相互转化，但无论如何转化，
能量既不能产生，也不能消灭。
研究守恒定律的 意义：
1,可以不究过程细节而能对系统的状态下结论；
2,守恒定律与自然界中某种对称性相联系。
能量守恒定律是自然界最基本、最普遍的规律，适
用于经典力学、相对论力学。
§ 3-5 能量转换守恒定律
本章讲了三个定理
动能定理
功能原理 牛顿第二定律
机械能守恒定律
所以三个定理中涉
及到的功、能量均
是对惯性系而言。
例 1 质量为 m=2kg 的物体从静止开始沿 1/4 圆弧从 A 滑到 B，
在 B处速度的大小 v= 6m/s 。 已知圆的半径 R= 4m 。 求物
体从 A到 B 摩擦力所作的功 。
解：物体受力如图
非保守力作功
是保守力作功
r
N
f
gm
WrN
?
?
??
0,d ??
解一,用功的定义计算，以 m 为研究对象,受变力，取自
然坐标如图。切向的牛顿第二定律方程为：
tmmafmg tr d
dc o s v????
R oA
B
rf
?
gm?
N?
θ
tmmgf r d
dc o s v?? ?
2
0
2
0
2
1
c o s
c o s
v
vv
v
v
mm g R
dmdm g R
dr
dt
d
mdrmg
f d rrdfW
B
A
B
A
B
A
B
A
f
???
???
???
????
??
??
??
?
??
?
?
?
= -44（ J）
R oA
B
rf
?
?
gm?
t?
n?
N?
rd?
解二,用质点动能定理计算
均为外力rfNgm ???,,
2
22
0
2
2
1
2
1
c o s
0
2
1
c o s
v
v
v
mm g R
mdm g RW
mdrmgW
f
B
A
f
???
????
???
?
?
?
??
?
= - 44（ J）
取 m为研究对象，,但 N不作功。
R oA
B
rf
?
?
gm?
t?
n?
N?
rd?
例 2 ( 书 P.28 例 3-7 )
证明例 2-3中物 m 与物 M 的相互作用力所作之功之和为 0。
解,M与 m的接触面光滑
受力分析如图
,m对 M 的压力
,M 对 m 的支持力
N??
N?
符号规定如下：
木块对地的位移
斜面向下木块对劈的相对速度沿
劈对地的位移
劈对地的速度水平向左
:
:
:
:
m
M
M
r
r
?
?
?
?
v
v
则木块对地的速度为
Mm vvv
??? ??
M
m
N??
N?
mv
?
Mv
?
v?
在 dt 时间内 一对力对惯性系 (地 )所作功之和为
NN ???,
tNWNN
tNtN
tNtNrNrNW
MM
MmMm
dd
dd)(
ddddd
v
vvv
vv
????
?
?????
????????
???????
??????
??????????
? ? ????
t
tNWW
0
dd v?
?
而,有,v?? ??N 0??? v??N 0?? W
即一对力 对惯性系 ( 地 ) 所作之功的和为零。NN ??,?
张三慧《力学》证明,两质点间的“一对力”所作之功的和等
于视其中一个质点受力且沿着它相对于另一个质点的路径移动
所作的功 。在上面的例子中，我们取劈为坐标原点，木块 所
受劈对它的支承力与木块对劈的相对位移垂直，支承力所作之
功为 0,所以 一对力所作之功为 0,NN ??,?
在有限 时间内 一对力对惯性系 (地 )所作功之和为
NN ???,
mv
?
Mv
?
v?
例 3,已知地球质量为 M,半径为 R,一质量为 m的火箭从
地面上升到距离地面高度为 2R处 。 在此过程中, 地球引
力对火箭作的功为：
R
MmG
R
MmG
R
MmG
3
2)
3(
000 ?????
R
MmG
RRMmGdrr
MmGW R
R 3
2)1
3
1( 0
0
3
20 ?????? ?
例 4、在如图所示系统中（滑轮质量不计，轴光滑），外
力 通过不可伸长的绳子和倔强系数 k=200N/m 的轻弹簧
缓慢地拉地面上的物体。物体质量 m=2kg,初始时弹簧
为自然长度，在把绳子拉下 20cm的过程中,所作的功（
取 g=10m/s2） [ ]
（ A） 2J （ B） 1J （ C） 3J
（ D） 4J （ E） 20J
F?
F?
M
l=20cm
F?
物体刚能离开地面有 kl0=mg,故 l0=mg/k=0.1m
m升高 l1=l-l0=0.1m
Jm g lklW F 30)21( 120 ????
C
例 5,质量为 m 的珠子系在线的一端，线的另一端梆
在墙上的钉子上，线长为 l 。 先拉动珠子使线保持水
平静止，然后松手使珠子下落。求摆下 ?角时这个珠
子的速率和线的张力。
O
l
?
?
d?
T?
T
v mg
d?
v?
ds
dr
B
A
k
B
AAB ErdgmTW ????? ?
??? )(
2
0 2
1c o s
?
? ?? vmdm g l ???
?? s i n2 gl?v得
对于珠子，牛顿第二定律的法线分量式为
lmmamgT n
2
s i n ?? ? v???
将 v?代入，得拉力为 ?
? s i n3 mgT ?
解一：应用质点的动能定理，
解二：应用机械能能量守恒定律，当摆下 ?角时有
2
2
1s i n
?? vmm g l ?
?? s i n22 gl?v
得
根据牛顿第二定律有：
lmmgT
2
s i n ?? ? v??
得 ?
? s i n3 mgT ?
例 6、一人造地球卫星绕地球作圆周运动，近地点为 A,远
地点为 B,A,B 两点距地心分别 为 r1,r2。 设卫星质量为
m,地球质量为 M, 万有引力常数为 G0,则卫星在 A,B
两处的万有引力势能之差 EPB - EPA =？ 卫星在 A,B 两处
的动能之差 EKB -EKA=？
1r 2rA B解：由万有引力势能公式：
r
MmGrE
p
0)( ??
得：
21
12
0
12
0 )
11(
rr
rrMmG
rrMmGEE pApB
??????
系统（地球 +卫星）机械能守恒，有：
kBpBkApA EEEE ???
21
21
0 rr
rrMmGEEEE
pBpAkAkB
??????
例 7,绳长 L,质量 M,t=0时绳悬下部分为 b,求绳全部
离开光滑桌子时的瞬时速度。
0
x
bM L
t=0,v=0
kEW ??
（ 1）
?? ???? Lb xxgLMrFW dd ??
其中
021 2 ??? vME k
上两式代入式 (1)中，得 )( 22 bL
L
g ??v
方向垂直向下。
解一：由动能定理（变质量、变
力问题）：
线密度 ?
)( 22 bLLg ??v
gLxx ?dd vvgLxtxx ?? dddd vgLxgMmt ??dd v
分离变量
x d x
L
gd ?vv
两边积分
?? ? Lb x d xLgdv vv0
)( 222 bLLg ??v
所以
tMmg d
d v? g
M
m
dt
d ?? v
解二：由牛顿第
二定律得：
0
x
bM L
t=0,v=0
例 8,一质点在重力作用下, 在半径为 R 的光滑球面上的
一点 A 由静止开始下滑, 在 B 点离开球面 。 证明,A,B
两点的高度差等于 A点和球心高度差的 1/3。
证明,质点的运动过程只有保守力作功, 所以机械能守
恒, 选 B点为势能零点
abmgm B ?221 v
又在 B点离开球面,N =0（ 支持力为 0）
RmmgF
B
2
c o s v?? ?向
（ 1）
（ 2）
由几何关系得：
R
ob??c o s
联立 (1)－ (3)式得：
3
1?
oa
ab
（ 3）
a
?RO
b
A
B
gm?
例 9,假定地球的密度是均匀的, 并沿地球的直径钻一个
洞, 质点从很高的位置 h 落入洞中, 求质点通过地
心的速度 。
故由动能定理有：
解：设通过地心的速度为 0v
drfdrfR hR R? ?? ??? 0 内外
? ?? ????? R hR R rdfrdfm 02 021 ???? 内外v
因为质点在地球内、外所
受的引力不同。 O
mh
R
32
3
3 3
4
3
4 R
G M m r
r
m
r
R
M
Gf ??? ?
?
内
质点在地球内、外所受引力大小为：
2r
G M mf ?
外
drRG M m rdrrG M mm RR hR ?? ????? ? 0 322 021 v
? ?
? ?hRR
hRGM m
?
?? 3
0v
地球质量密度 r
例 10、（习题 3-12）用弹簧将质量分别为 m1 和 m2 的两块木
板连接起来，必须加多大的力 F 压在上面的板 m1上，以便当
突然撤去 F 时，上面的板跳起来能使下面的板刚好被提离地
面？
弹簧原长
1m
2m
h
1x
2x
（ 1）
（ 2）
弹势 0点
重势 0点
解：选 m1+m2+弹簧 +地球为研
究对象, 撤去外力后, 系统
只受保守内力的作用, 系统机
械能守恒 。 选 （ 1）, （ 2） 状
态和重力势能 0点, 弹性势能 0
点如图 。 由 E1=E2有：
)(2121 2112221 xxgmkxkx ???
整理得
)1()(21 121 ??gmxxk ??
在外力 F 撤去之前,m1受力平衡的条件为
)2(11 ??kxgmF ??
gm11kx
F
m1弹起时,m2 刚好离开地面的条件为：
)3(22 ??kxgm ?
gm2
2kx
0?N
由（ 2） -（ 3）得
)()( 2121 xxkgmmF ????
)()( 2112 xxkgmmF ????
即
gmmgmgmgmF )(2 21112 ?????
gmmF )( 21 ??
将（ 1）式代入上式得：
即
F 至少要等于（ m1+m2） g 才能在 m1 跳起时将 m2 提起。
例 11、两粒子间的排斥力为, k 为常数，试求两粒
子相距为 r 时的势能。设力为零的地方，势能为零。
3rkf ?
解：因力为零的地方，势能为零，即为参考点对应 r = ∞ 处，
22 22 r
k
r
k
r ???
?
)(0)(
2
)()(:
2
参考点因
即
??
????
p
pp
E
r
k
rEE
22)(,r
krE
p ?得
?? ?? ???? rrpp drrkf d rErE 3)()(
§ 3-2 动能 动能定理
§ 3-3 势能
§ 3-4 功能原理 机械能守恒定律
§ 3-5 能量守恒与转换定律
第三章 功和能
? 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变力的功；
? 理解保守力作功特点及势能的概念；
? 掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律，熟练
地应用它们解决有关实际问题。
教学要求
1,功的概念和定义
功的概念是从大量的机械工作中总结抽象出来的：
（ 1） 机械给工作对象施以力的作用；
（ 2） 工作对象在力的作用下有位移 。
物体上力的作用点沿力的方向通过一段位移, 则说力
对物体作了功 。
功的定义, 功等于力和力方向上的位移的乘积 （ 或力
在位移方向的投影和位移的乘积 ） 。
§ 3-1 功 功率
rd?
F?
θ drFrdFdW ?c o s??? ??
一、功
功是描写 力对空间的积累 作用的物理量 。
Fcosθ是力 F 在位移方向上的投影
drcosθ是位移 dr在力方向上的位移
rd?
F?
θ
注意,功是标量，有正、负：
力对物体作正功时当 00c o s20 ???? W???
力对物体作负功时当 00c o s2 ???? W????
力对物体不作功时当 00c o s2 ??? W???
质点在变力的作用下沿曲线 从 a点运动到 b点，把路
径 ab分为很多小弧段,当小弧充分小时近似等于位移,
在这段位移视质点受恒力 力作用，恒力沿直线作功：
ir
??
i F
?
a
iF
?
ir??
b
?r?
r??
iii rFW ???? c o s? ii rF ?? ???
? ?? ii rFW ?? ?
变力沿曲线 L 对物体所作之总功为：
当 时求和变为积分，沿曲线 L
从 a→ b变力 作的总功为：
? ??
b
a
rdFW ?
?
0?ir??
F?
2、变力的功
?o
F?
ar? br?
a b
若 是恒力且物体沿直线运
动发生位移 a→ b,力对物体所作
的功：
F?
??? c o sc o s)(c o s?
?
????
??
b
a
b
a
r
r ab
r
r
abFrrFdrF
rdFW
?
?
??
3、恒力的功
在具体计算时，由于
??
?
?
?
???
???
kdzjdyidxrd
kFjFiFF zyx
????
????
)( dzFdyFdxFrdFW zyba xba ????? ?? ??
所以：
当几个力作用在质点上时，由于
kk
kk
dWdWrdFFdW
rdFdWrdFdW
???????
????
??
?
?
?
?????
11
11
)(
,,
即：每个外力所作 功的总和，等于合外力作的功 。
单位时间内所作的功称为功率。 若在时间 dt内作功
dW,则功率为：
单位为瓦特（ W） =焦耳 / 秒
由 得到
vv ?
???
???? Ft tFP d d
dtrd v?? ?
二,功率
dt
dWP ?
解,这是变力作功的问题。 以物体的起始位置为原点，向右
为正取坐标如图：
例 1、设作用在质量为 2kg 物体上的力 F= 6t 。 如果物体由
静止出发沿直线运动，求头 2 秒内该力所作的功？
0
F?
X
? ????
P Px x
xtrFW
o o
d6d ?
?
现需把 dx 换成 t 的函数才能积分。
tt
tmFa
3dd
3
??
??
v
?
J1441226
m1225.15.13
2
1
2
1
3
3322
0
??????
?????????
??
sFW
tttatts
t
m
F
a
v
常见错误之一：
J36
4
9
d
2
3
6
d
2
3
d
2
3
d
d
2
3
d3d
2
0
4
2
0
2
22
0 0
2
??
?
?
?
?
?
????
???
???
?
? ?
ttttW
ttxt
t
x
ttt
tv
vv
常见错误之二：
J48426
m42
2
1
2
1
d
2
3
d
3
0
3
2
0
??????
?????
??
?
?
sFW
tts
tta
t
t
v
v
两种错误 都是将变力视为恒力。
水桶在任意位置 y 时受的重力为：
P = -（ M0 - 0.2y） g
人的拉力 F= - P=（ M0 - 0.2y） g
人把水桶提高 dy 距离所作的元功为：
dW = Fdy = （ M0 - 0.2y） gdy
人把水桶由水面提到地面所作的总功为：
o
y
y
h
J8828.9100.9)1.0(
2
2.0
)2.0(
0
0
2
00
??????
?????? ? ?
hghM
ghghMdygyMdWW
h
解：作草图、取坐标如图：
例 2,有人用水桶提水，井水面离地面高 h = 10 m,桶盛满水总
重量 M0 =10 kg,由于桶底漏水，漏水量为
则人匀速提水到地面所作的功 W=？
)/(2.0 mkgym ????
4
2
0 0
2
82 Tm
bdt
m
btbtF d xW x T ????? ? ?
? ? ??? dxbtF d xW解：
例 3,物体由静止出发作直线运动，质量为 m,受力 bt，
b为常量，求在 T 秒内，此力所作的功。
根据牛顿定律和加速度的定义求 )(tv
dtmbta d td tt ??? ???
00
v
dt
d
m
bt
m
Fa v???
dtmbtdxmbt 22
22
???? v
例 4,一绳索跨过无摩擦的滑轮, 系在质量为 1.0千克的物体上
,物体静止在无摩擦的水平面上, 若用 5.0牛顿的恒力作用
在绳索的另一端使物体加速运动, 当绳索从与水平面成 300
角变为 370时, 力对物体所作的功为多少？ （ 已知滑轮与水
平面间的距离为 1m）
1m
5N?
解：建立如图坐标系
F?
?co sFF x ??
21 x
xF
?
??
m7 32.1301 01 ?? tgx
m3 2 7.1371 02 ?? tgx 0x x2x1
J69.1)11(
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
?????
?
??? ??
xxF
dx
x
x
FdxFW
x
x
x
x x
设质量为 m 的物体在合外力的作用下沿曲线 L 从 a→ b，
设 a,b 两点的速率分别为 v1,v2 物体在外力 作用下发生
位移 时，合外力所作的元功为：
描写物体运动状态的物理量，用 表示。动能是
标量，它只与速度的量值有关，与速度的方向无关。
2
2
1 vm
r?d
§ 3-2 动能 动能定理
F?
二、动能定理：
一,动能：
?c o sF d r
rdFdW
?
?? ?
?
2v
?
1v?
r?d
F?
Lb
a
?
tF
nF
注意到：
tFF ??c o s
dt
dmmaFF
tt
v????c o s所以：
vvv dmdrdtdmF d rdW ??? ?c o s得：
所以物体从 a→ b合外力 所作的总功为,F?
? ? ????
b
a
mmmWW
2
1
2
1
2
2 2
1
2
1dd v
v
vvvv
合外力对质点所作的功等于质点动能的增量
—— 动能定理 。
12 kk EEW ??外
1。 因为 中 v 与参照系的选择有关，所以动
能的数值与参考系的选择有关。
2
2
1 vmE
k ?
由于动能定理只论及合外力所作的总功及物体的始末
状态，与物体运动的细节无关，如物体是作曲线运动还是
直线运动、各时刻质点受力情况等无关,因此在求解速率
问题时，往往比直接用牛顿第二定理来得容易。
说明：
2。 动能定理由牛顿第二定理推出，所以只适用于质点。
本节讨论在由若干个物体组成的 系统 中，由于系统中各
物体有相互作用而存在的能量 — 势能。
一、重力所作的功 重力势能
取物体与地球组成一个 系统,重力是两者之间的内力，
物体从 a 点运动到 b 点的过程中，重力所作的功为：
)(c o s dymgm g d r
rdgmdW
???
??
?
??
)(
ab
y
y
b
a
ab
m g ym g y
m g d y
dWW
b
a
???
??
??
?
?
§ 3-3 势 能
y
x
dy
yb
ya
0
r?d
a
b
gm? θ
若物体再从 b点到 a点，重力所作的功为：
)( ba
y
y
a
bba
m g ym g ym g d y
dWW
a
b
?????
?
?
?
可见物体绕闭合路径一周：
Wa→ b→ a=Wab+Wba=0，
即,物体绕闭合路径一周，重力所作的总功为 0。
由上面讨论可见：
重力所作的功只与物体的始末位置有关, 与路径无
关, 且沿闭合路径一周重力所作的功为零 。 具有这种性质
的力称为 保守力 。
注意到 mgy 是与系统内物体之间相对位置（状态）
相关的物理量，称之为 重力势能,用 Ep（ y） 表示。上面
功的式子可写为：
)()( yEEEW pppab ab ??????
—— 重力的功等于重力势能增量的负值 。
如果 选定地面的重力势能为 0,则距离地面高 h 的
地方的重力势能等于从该点到势能 0点重力所作的功：
m g hm g d yhE hp ??? ? 0)(
保守力所作的功只与物体运动的始末位置有关，而与
所经过的路径无关； 沿任意闭合路径，所作的功为零。
? ??
L
lF 0d ??
由弹簧和质量为 m 的物体组成的 系统,置于光滑水平
面上，取弹簧不发生形变时物体的位置为坐标原点，当物体
从 a→ b时，弹性力所作的功求解如下：
在弹性限度内，弹簧作用于
物体的弹性力：
kxF ??
x xba0
kx
负号表示弹性力指向原长。弹力所作的功为：
?? ??????
b
a
b
a
x
x
ab
x
x
ab kxkxxkxxFW )2
1
2
1(dd 22
弹力的功与重力的功一样，只与始末位置有关，而且
如果物体回到原来位置，弹力所作的功为 0 。
二、弹簧弹性力的功 弹性势能
)()()2121( 22 xEEEkxkxW pPaPbabab ?????????
取弹簧的自然伸长位置为 势能零点,则拉伸或压缩 x
时，具有的弹性势能等于从该点到势能 0点弹力所作的功：
弹力的功也为弹性势能增量的负值（或弹性势能的减
少量）：
20
2
1)( kxk x d xxE
xp
??? ?
可见弹力也是保守力。 kx2/2 也是描写物体系内物体
之间相对位置（状态）的物理量，称之为 弹性势能,
2
2
1)( kxxE
p ?
r
r
Mm
G
r
r
r
Mm
GF
?
??
30
20
??
????
现 m 沿曲线 L从 a→ b, 万有引力
所作的功为：
三、万有引力的功 万有引力势能
万有引力为：
r?d
a
b
m
ar?
br?
dr
0 M
F?
θ
设质量为 M,m 的物体（视为质点）间有万有引力，
现以质量为 M 的物体为坐标原点,质量为 m 的物体的位矢
为, 方向的单位矢为, 的方向为 的负向。
rr
?r? r? F? r?
? ???
b
a
r
r
ab rrr
MmGW
?
?
?? d)(
30
? ???
b
a
r
r
ab rrr
MmGW
?
?
?? d)(
30
? ??
b
a
r
r
rrrMmG d30
)]1()1[(0
ab rr
MmG ?????
drdr
drrrdr
?
??
?
?
c o s
c o s
而
??
同样，引力作功也只与物体的始末位置有关。
也是描写物体系内物体间相对位置（状态）的物理
量，称之为 引力势能,用 Ep（ r） 表示。
rMmG
1
0?
（注意，是负值！）
由上面讨论可见，三种力作功特点：
1、所作的功只与物体运动的始末位置有关，而与所
经过的路径无关。
2、沿一闭合路径运动一周，所作的功为零。
3、都引入了势能的概念。
—— 这就是 保守力的特点。
选无穷远为引力势能 0点，则物体在 r 远处的引力势
能等于将物体从该点移到无穷远点引力势能所作的功：
r
MmGdr
r
MmGrE
rp 020
)( ???? ? ?
重力, 万有引力, 弹簧的弹性力均是 保守力 。
不具备上述作功特征的力称为 非保守力, 如摩擦力
,牵引力, 张力, 阻力等 。
（ 1） 必须是物体系 。
（ 2） 必须是保守内力 。
引入势能概念是有条件的：
四、势能
在保守力场 （ 任意点受保守力作用的空间区域 ） 引入
一个只与位置有关的函数, a,b 两点函数差值等于从 a 点
到 b 点保守力作的功, 这个与位置有关的函数 Ep 定义为
势能 。
ppapb
b
aab EEErdFW ???????? ? )(
??
? ?? 势能零点apa rFE ?? d
计算势能的一般方法：
上式只定义了势能的差值，要给出某点的势能值是多
少，必须规定 势能零点,势能等于零的位置。
注意：
1．势能是状态的单值函数,Ep=Ep(x,y,z)；
2,势能是相对的，但其差值与参考系的选择无关；
3．势能是属于系统的，取决于系统内物体之间的相互作
用和相对位置。
另外：
1．物体在两个位置间的势能之差有绝对的意义。
2．物体在某一位置具有的势能只有相对意义,势能零
点选取的不同,物体所具有的势能有不同的值。
3．势能属于由保守力相联系的物体组成的系统，我们
说物体具有势能只是物体系具有势能的习惯说法。
三种常见的势能：
重力（系统）势能, m g hhE
p ?)(
h=0处为势能零点
弹性（系统）势能：
2
2
1)( kxxE
p ?
x=0处为势能零点
引力（系统）势能：
r??处为势能零点
r
MmGrE
p ??)(
例：由引力势能推求重力势能：
解：若地球的半径为 R,a点在地球表面,b点在距地表面 h
高处，则据势能的定义
)1(1 00 RMmGhRMmGW ba ?????
a
R
h
b
R+h
PaPb EERhRMmG ????? )
11(
0
)(
)
11
(
0
0
hRR
h
MmG
RhR
MmG
?
?
?
?
??
即：
取 m 在地球表面的势能为零，即 时,0?PaERr
a ?
得
m g hE P ?
去掉脚标，得取地面为势能零点时，在距地面 h处物体
重力势能
m g hE Pb ?
PaPb
g
R
MG
Rh
EEm g h
m g h
h
R
MmG
hRR
h
MmG
???
?
?
?
?
??
)(
2
0
0
2
0
)(
而
一、物体系或质点组的动能定理
已知质点的动能定理是
2
1
2
2 2
1
2
1 vv mmW ??
质点组, 两个或两个以上物体组成的系统。
第 i 个质点受力：
外力：系统以外物体施于其的力；
内力：系统以内物体施于其的力。
对第 i 个质点应用 质点的动能定理 有
2
1
2
2 2
1
2
1
iiii
ii mmWW vv ???
内外
§ 3-4 功能原理 机械能守恒定律
内力
外力
对系统内各质点求和有
? ? ?? ??? 2 12 2 2121 iiiiii mmWW vv内外
令
?
?
?
?
i
i
WW
WW
内内
外外
有
12 KK EEWW ??? 内外
物体系所受的一切外力和一切内力所作之功的代数和
等于系统动能的增量 —— 质点组的动能定理。
若把与保守力相联系的物体选在系统内，物体系所受
的内力 保守内力；
非保守内力。
非保内保内内内力的功 WWW ???
质点组的动能定理写为
)( 12 PP EEW ???保内
(*)
我们已经把与保守力相联系的物体选为系统，所以
12 KK EEWWW ???? 非保内保内外
二,功能原理
? ? )( 1212 PPKK EEEEWW ????? 非保内外
总机械能 E,
物体系的动能与势能之和。
Pk EEE ??
12 EEWW ???? 非保内外
物体系所受到的外力和非保守内力所作功的代数和
等于系统总机械能的增量 —— 功能原理。
代入 (*)式，移项得,)(
12 PP EEW ???保内将
注意功和能的 区别 与 联系,
功是过程量, 能量是状态量；物体在任何状态下都
有能量, 但是只有在能量变化时才有功；二者用相同的
单位 。
从功能原理可以看出：
1。 功与能量密切联系,
2。 功是能量变化的度量,
3。 作功是能量传递的方式, 功是过程量 。
系统的机械能守恒必满足,外力所作之功为零，非
保守内力所作之功为零。 或者说 只有保守内力作功 。
三,机械能守恒定律
对一物体系若,,则据功能原理有0?
非保内W0?外W
12 EE ?
—— 系统的机械能守恒
在系统机械能守恒的情况下，系统中的保守内力可
以使物体的 动能 和 势能相互转化,但动能与势能之和不
变。
动能定理：
质 点：
物 体 系：
功能原理：
守恒条件
12 KK EEWW ??? 内外
12 kk EEW ??外
12 EEWW ??? 非保内外
cEW k ?? 0外
cEWW k ??? 0内外
cEWW ??? 0非保内外
归结起来：
定理
各种形式的能量可以相互转化，但无论如何转化，
能量既不能产生，也不能消灭。
研究守恒定律的 意义：
1,可以不究过程细节而能对系统的状态下结论；
2,守恒定律与自然界中某种对称性相联系。
能量守恒定律是自然界最基本、最普遍的规律，适
用于经典力学、相对论力学。
§ 3-5 能量转换守恒定律
本章讲了三个定理
动能定理
功能原理 牛顿第二定律
机械能守恒定律
所以三个定理中涉
及到的功、能量均
是对惯性系而言。
例 1 质量为 m=2kg 的物体从静止开始沿 1/4 圆弧从 A 滑到 B，
在 B处速度的大小 v= 6m/s 。 已知圆的半径 R= 4m 。 求物
体从 A到 B 摩擦力所作的功 。
解：物体受力如图
非保守力作功
是保守力作功
r
N
f
gm
WrN
?
?
??
0,d ??
解一,用功的定义计算，以 m 为研究对象,受变力，取自
然坐标如图。切向的牛顿第二定律方程为：
tmmafmg tr d
dc o s v????
R oA
B
rf
?
gm?
N?
θ
tmmgf r d
dc o s v?? ?
2
0
2
0
2
1
c o s
c o s
v
vv
v
v
mm g R
dmdm g R
dr
dt
d
mdrmg
f d rrdfW
B
A
B
A
B
A
B
A
f
???
???
???
????
??
??
??
?
??
?
?
?
= -44（ J）
R oA
B
rf
?
?
gm?
t?
n?
N?
rd?
解二,用质点动能定理计算
均为外力rfNgm ???,,
2
22
0
2
2
1
2
1
c o s
0
2
1
c o s
v
v
v
mm g R
mdm g RW
mdrmgW
f
B
A
f
???
????
???
?
?
?
??
?
= - 44（ J）
取 m为研究对象，,但 N不作功。
R oA
B
rf
?
?
gm?
t?
n?
N?
rd?
例 2 ( 书 P.28 例 3-7 )
证明例 2-3中物 m 与物 M 的相互作用力所作之功之和为 0。
解,M与 m的接触面光滑
受力分析如图
,m对 M 的压力
,M 对 m 的支持力
N??
N?
符号规定如下：
木块对地的位移
斜面向下木块对劈的相对速度沿
劈对地的位移
劈对地的速度水平向左
:
:
:
:
m
M
M
r
r
?
?
?
?
v
v
则木块对地的速度为
Mm vvv
??? ??
M
m
N??
N?
mv
?
Mv
?
v?
在 dt 时间内 一对力对惯性系 (地 )所作功之和为
NN ???,
tNWNN
tNtN
tNtNrNrNW
MM
MmMm
dd
dd)(
ddddd
v
vvv
vv
????
?
?????
????????
???????
??????
??????????
? ? ????
t
tNWW
0
dd v?
?
而,有,v?? ??N 0??? v??N 0?? W
即一对力 对惯性系 ( 地 ) 所作之功的和为零。NN ??,?
张三慧《力学》证明,两质点间的“一对力”所作之功的和等
于视其中一个质点受力且沿着它相对于另一个质点的路径移动
所作的功 。在上面的例子中，我们取劈为坐标原点，木块 所
受劈对它的支承力与木块对劈的相对位移垂直，支承力所作之
功为 0,所以 一对力所作之功为 0,NN ??,?
在有限 时间内 一对力对惯性系 (地 )所作功之和为
NN ???,
mv
?
Mv
?
v?
例 3,已知地球质量为 M,半径为 R,一质量为 m的火箭从
地面上升到距离地面高度为 2R处 。 在此过程中, 地球引
力对火箭作的功为：
R
MmG
R
MmG
R
MmG
3
2)
3(
000 ?????
R
MmG
RRMmGdrr
MmGW R
R 3
2)1
3
1( 0
0
3
20 ?????? ?
例 4、在如图所示系统中（滑轮质量不计，轴光滑），外
力 通过不可伸长的绳子和倔强系数 k=200N/m 的轻弹簧
缓慢地拉地面上的物体。物体质量 m=2kg,初始时弹簧
为自然长度，在把绳子拉下 20cm的过程中,所作的功（
取 g=10m/s2） [ ]
（ A） 2J （ B） 1J （ C） 3J
（ D） 4J （ E） 20J
F?
F?
M
l=20cm
F?
物体刚能离开地面有 kl0=mg,故 l0=mg/k=0.1m
m升高 l1=l-l0=0.1m
Jm g lklW F 30)21( 120 ????
C
例 5,质量为 m 的珠子系在线的一端，线的另一端梆
在墙上的钉子上，线长为 l 。 先拉动珠子使线保持水
平静止，然后松手使珠子下落。求摆下 ?角时这个珠
子的速率和线的张力。
O
l
?
?
d?
T?
T
v mg
d?
v?
ds
dr
B
A
k
B
AAB ErdgmTW ????? ?
??? )(
2
0 2
1c o s
?
? ?? vmdm g l ???
?? s i n2 gl?v得
对于珠子，牛顿第二定律的法线分量式为
lmmamgT n
2
s i n ?? ? v???
将 v?代入，得拉力为 ?
? s i n3 mgT ?
解一：应用质点的动能定理，
解二：应用机械能能量守恒定律，当摆下 ?角时有
2
2
1s i n
?? vmm g l ?
?? s i n22 gl?v
得
根据牛顿第二定律有：
lmmgT
2
s i n ?? ? v??
得 ?
? s i n3 mgT ?
例 6、一人造地球卫星绕地球作圆周运动，近地点为 A,远
地点为 B,A,B 两点距地心分别 为 r1,r2。 设卫星质量为
m,地球质量为 M, 万有引力常数为 G0,则卫星在 A,B
两处的万有引力势能之差 EPB - EPA =？ 卫星在 A,B 两处
的动能之差 EKB -EKA=？
1r 2rA B解：由万有引力势能公式：
r
MmGrE
p
0)( ??
得：
21
12
0
12
0 )
11(
rr
rrMmG
rrMmGEE pApB
??????
系统（地球 +卫星）机械能守恒，有：
kBpBkApA EEEE ???
21
21
0 rr
rrMmGEEEE
pBpAkAkB
??????
例 7,绳长 L,质量 M,t=0时绳悬下部分为 b,求绳全部
离开光滑桌子时的瞬时速度。
0
x
bM L
t=0,v=0
kEW ??
（ 1）
?? ???? Lb xxgLMrFW dd ??
其中
021 2 ??? vME k
上两式代入式 (1)中，得 )( 22 bL
L
g ??v
方向垂直向下。
解一：由动能定理（变质量、变
力问题）：
线密度 ?
)( 22 bLLg ??v
gLxx ?dd vvgLxtxx ?? dddd vgLxgMmt ??dd v
分离变量
x d x
L
gd ?vv
两边积分
?? ? Lb x d xLgdv vv0
)( 222 bLLg ??v
所以
tMmg d
d v? g
M
m
dt
d ?? v
解二：由牛顿第
二定律得：
0
x
bM L
t=0,v=0
例 8,一质点在重力作用下, 在半径为 R 的光滑球面上的
一点 A 由静止开始下滑, 在 B 点离开球面 。 证明,A,B
两点的高度差等于 A点和球心高度差的 1/3。
证明,质点的运动过程只有保守力作功, 所以机械能守
恒, 选 B点为势能零点
abmgm B ?221 v
又在 B点离开球面,N =0（ 支持力为 0）
RmmgF
B
2
c o s v?? ?向
（ 1）
（ 2）
由几何关系得：
R
ob??c o s
联立 (1)－ (3)式得：
3
1?
oa
ab
（ 3）
a
?RO
b
A
B
gm?
例 9,假定地球的密度是均匀的, 并沿地球的直径钻一个
洞, 质点从很高的位置 h 落入洞中, 求质点通过地
心的速度 。
故由动能定理有：
解：设通过地心的速度为 0v
drfdrfR hR R? ?? ??? 0 内外
? ?? ????? R hR R rdfrdfm 02 021 ???? 内外v
因为质点在地球内、外所
受的引力不同。 O
mh
R
32
3
3 3
4
3
4 R
G M m r
r
m
r
R
M
Gf ??? ?
?
内
质点在地球内、外所受引力大小为：
2r
G M mf ?
外
drRG M m rdrrG M mm RR hR ?? ????? ? 0 322 021 v
? ?
? ?hRR
hRGM m
?
?? 3
0v
地球质量密度 r
例 10、（习题 3-12）用弹簧将质量分别为 m1 和 m2 的两块木
板连接起来，必须加多大的力 F 压在上面的板 m1上，以便当
突然撤去 F 时，上面的板跳起来能使下面的板刚好被提离地
面？
弹簧原长
1m
2m
h
1x
2x
（ 1）
（ 2）
弹势 0点
重势 0点
解：选 m1+m2+弹簧 +地球为研
究对象, 撤去外力后, 系统
只受保守内力的作用, 系统机
械能守恒 。 选 （ 1）, （ 2） 状
态和重力势能 0点, 弹性势能 0
点如图 。 由 E1=E2有：
)(2121 2112221 xxgmkxkx ???
整理得
)1()(21 121 ??gmxxk ??
在外力 F 撤去之前,m1受力平衡的条件为
)2(11 ??kxgmF ??
gm11kx
F
m1弹起时,m2 刚好离开地面的条件为：
)3(22 ??kxgm ?
gm2
2kx
0?N
由（ 2） -（ 3）得
)()( 2121 xxkgmmF ????
)()( 2112 xxkgmmF ????
即
gmmgmgmgmF )(2 21112 ?????
gmmF )( 21 ??
将（ 1）式代入上式得：
即
F 至少要等于（ m1+m2） g 才能在 m1 跳起时将 m2 提起。
例 11、两粒子间的排斥力为, k 为常数，试求两粒
子相距为 r 时的势能。设力为零的地方，势能为零。
3rkf ?
解：因力为零的地方，势能为零，即为参考点对应 r = ∞ 处，
22 22 r
k
r
k
r ???
?
)(0)(
2
)()(:
2
参考点因
即
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E
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