第三章 线性网络的一般分析方法
第一节 支路电流法
第二节 网孔电流法
第三节 节点电压法
第一节 支路电流法
前一章介绍了 电阻的串联和并联；电阻的星、三角连接的等
效变换两种实际电源模型的等效变换。这几种 方法都是利用等效
变换，逐步化简电路进行分析计算的方法。这些方法适用于具有
一定结构形式而且比较简单的电路。如要对较复杂的电路进行全
面的一般性的探讨，还需寻求一些系统化的方法 ——即不改变电
路结构，先选择电路变量（电流或电压），再根据 KCL,KVL建立
起电路变量的方程，从而求解变量的方法。支路电流法就是系统
化方法中的最基本的一种。
支路电流法是以每个支路的电流为求解的未知量，以基尔霍
夫一、二定理即 KCL,KVL 为依据，列方程求解电路的一种分析
方法。
为了便于讨论,先来复习几个名词。
（ 1）支路, 电路中流过同一电流的一个分支称为一条支路。
（ 2）节点, 三条或三条以上支路的联接点称为节点。
(3) 回路, 由若干支路组成的闭合路径,其中每个节点只经过一次,
这条闭合路径称为回路。
(4) 网孔, 网孔是回路的一种。将电路画在平面上,在回路内部不
另含有支路的回路称为网孔。
下面我们以 图 3.1所示的电路为例来说明支路电流法的应用。支路电流法以每个支
路的电流为求解的未知量。 如 图 3.1 所示的电路，从图中可看到电路共有六条支
路,a,b,c,d四个节点。不论电路如何连接，在电路的每一个节点基尔霍夫电
流定律和电路的每一个回路中 基尔霍夫 电压定律总是成立的。
对于含有六条支路的电路，我们来寻找一
种系统的解题方法。首先我们假设每条支路的
参考电流方向如图中箭头所示，并分别用 i1～
i6来表示，然后分别对节点 a,b,c,d 列写
KCL方程如下,
a,-I1+I2+I3 =0 b,-I2+I4+I6=0
c,-I3-I6+I5=0 d,-I5-I4+I1=0
-I1+I2+I3-I2+I4+I6-I3-I6+I5=0 <=>
-I5-I4+I1=0
-I2+I4+I6-I3-I6+I5 -I5-I4+I1=0 <=>
-I1+I2+I3 =0
i1
i2 i3
i4 i5
i6
图 3.1支路电流法举例
观察以上四个表达式，可看出其中的
任一个方程都可由其它三个方程得出。
说明这四个方程中只有三个方程是独
立的。对于更多节点的电路，情况也
一样。一般来讲，具有 n个节点的电
路，只能列出（ n-1）个独立的 KCL方
程。
以上三个回路方程中，没有哪个方程能从另外
两个方程中推出，所以都是独立的回路方程。
如果再用其它回路列方程，我们可以验证他
们都不是独立方程。
如果从外面绕一大圈，
有 i1 + 3i3 + 5i5 = 10
而 （ 1） +（ 2） -（ 3）有
I1 + 3i3 + 5i5 = 10
如,
3i3 + 5i5 - 4i4 - 2i2 = 0
而 （ 2） -（ 3）等于此式
i1
i2 i3
i4
i6
下面我们再来研究电路中的回路，对图 3.1
的电路，它的回路是很多的，因为只要 若干支
路组成的闭合路径,其中每个节点只经过一次,
这条闭合路径称为回路。那是不是我们必须
把所有的回路中电压方程都列出来，才能求
出电路中所要求的参量呢？下面我们就来研
究这个问题。对应于图中标出的三个回路，
应用 KVL，可以列出回路电压 方程如下,
回路 L1,i1 +2i2 +4i4 =10 （ 1）
回路 L2,-2i2+3i3 - 6i6 =8 （ 2）
回路 L3,-4i4 + 5i5 +6i6 =-8 （ 3）
L3
L1 L2
i5
-
+
?对于独立回路应如何选择, 原则上也是任意的 。 一般,
在每选一个回路时, 只要使这回路中至少具有一条新
支路在其它已选定的回路中未曾出现过, 那末这个回
路就一定是独立的 。 通常, 平面电路中的一个网孔就
是一个独立回路, 网孔数就是独立回路数, 所以可选
取所有的网孔列出一组独立的 KVL方程 。
可以证明，具有 n个节点,b条支路的电路具有 b-(n-1)个独立
的回路电压方程，与这些方程相对应的回路称为独立回路。
? 所以我们可以得出：具有 n个节点,b条支路的电路,独立的 KCL
方程：（ n-1）个，独立的 KVL方程,b-(n-1)个。
? 综上所述，对于具有 n个节点,b条支路的电路，根据 KCL能列出
（ n-1）个独立方程，根据 KVL能列出 b-(n-1)个独立方程，两种独
立方程的数目之和正好与所选待求变量的数目相同，联立求解即可
得到 b条支路的电流。
对我们研究的例题, 有 6条支路, 4个节点, 所以可列出 4-1=3个独
立的节点电流方程；列出 6-（ 4-1） =3个独立的回路电压方程, 而
这两组方程的数目正好等于电路的支路数 。
? 那么，我们可以考虑，如果对于一个电路，假设如图 3.1所示，
电路中所有的元件的取值都是已知的，只有电路中各条支路的电流
是未知的被求量，那么以支路电流为未知数列出的 KCL方程和 KVL方
程数正好等于支路数，而这些方程又都是关于支路电流的方程，所
以联立求解就可求出各支路电流。
?
通过上面分析,我们可总结出支路电流法分析计算电路的一
般步骤如下,
（ 1） 在电路图中选定各支路（ b个）电流的参考方向,
设出各支路电流。
（ 2） 对独立节点列出 (n-1)个 KCL方程。
（ 3） 取网孔列写 KVL方程,设定各网孔绕行方向,列出
b-(n-1)个 KVL方程。
（ 4） 联立求解上述 b个独立方程,便得出待求的各支路
电流。
例 1,求图示电路中各支路电流和各元件的功率。
解 以支路电流 I1,I2,I3为变量,应用 KCL,KVL列出等式
I1
I3 I2
(1)对于两节点 a,b,可列出一个独立的
节点电流方程。
a,-I1 + I3 + I2 = 0
(2) 列写网孔独立回路电压
方程：
10I1 + 5 I3= 30+10
15I2 -5 I3=35-30
(3)联立求解各支路电流得：
a
b
I1 = 3A I2 = 1A I3 = 2A
Us1 Us2
Us3
I1,I2,I3 均为正 值,表明它的实际方向
与所选参考方向相同,三个电压源全部是从正
极输出电流，所以全部输出功率。
Us1输出的功率为
Us1I1=10× 3=30W
Us2输出的功率为
Us2I2=35× 1=35W
Us3 输出的功率为
Us3I2=30× 2=60W
各电阻吸收的功率为 I× I× R
P =10× 3× 3+5× 2× 2+15× 1× 1=125w
功率平衡,表明计算正确。
I1 I2
a
b
Us1 Us2
Us3
I3
I1 = 3A,I2 = 1A, I3 = 2A
从前面分析可知，如果电路有 b条支路，用支路电流法至
少需要求解 b元一次方程组，在支路数较多时，计算量是很大
的。如能减少变量的数目，就能减少方程的个数，从这个目
的出发，还需探讨能减少方程个数的其它的系统分析方法。
我们下面所讲的网孔电流法就是其中之一，它是采用网孔电
流为电路的变量来列写方程,这种方法适合于回路数少，支
路数多的电路。
第二节 网孔电流法
设想在每个网孔中,都有一个电流沿网孔边界环流,其参考
方向如图所示,这样一个在网孔内环行的假想电流,叫做
网孔电流。如下图所示。
i1 = Ia i2=Ia - Ib
i3=Ib i4=Ia - Ic
i5=Ic i6=Ic - Ib
其中 Ia,Ib,Ic为假想的网孔电流如
图所示
所以，列电路方程的时，我们可以用支路电流来列，也可以用网孔电流
来列，这实际上是一个变量代换过程，区别就在于用上面的网孔电流来
替代支路电流结果不同，支路电流列出是六个未知数的方程，而网孔电
流列出的是三个未知数的方程。那也就是说，借助网孔这个假想的电流
来可以简化运算。这就是我们讲解网孔电流法的目的所在。下面用具体
的例子来推出网孔电流法的计算方法
可由网孔电流求得任一条支路电流 。
各网孔电流与各支路电流之间的关
系为：
i1 i2 i3
i4 i
5
从前面的分析我们看到,电路中可由网孔电流求得任一条支路电流。
所以，用支路电流表示的运算都可以用网孔电流来替代，即以网孔电
流为桥梁进行简化计算是可行的
i6
i1 = Ia
i2=Ia - Ib
i3=Ib
i4=Ia - Ic
i5=Ic
i6=Ic - Ib
节点 1,- i1 + i2 + i3=0
用 网孔电流表示, - Ia +(Ia - Ib) + Ib=0
网孔电流法的电路方程特点：
首先在三个网孔中列写回路电压
方程如下：
us6+IaR6-us5+ (Ia-Ic)R5+(Ia-Ib)R4=0
(Ib-Ia)R4+ (Ib-Ic)R2 + us2-us1+IbR1=0
(Ia-Ic)R5 + R3Ic + (Ic-Ib)R2 +us5-us2=0
3、解网孔电流；
4、求其它响应。
Ib Ic
Ia
方程数 = 网孔数；
(R 4+R 5+R 6) Ia-R4 Ib-R5Ic=us5-us6
自电阻 互电阻 互电阻 回路电压源电压升代数和
-R4 Ia + (R 4+R 1+R 2) Ib-R2Ic=us1-us2
-R5 Ia -R2 Ib + (R 5+R 3+R 2) Ic=us2-us5
例 1、图示电路利用网孔 电流法求电流 i。
I2 I3
I1
(1) 选择网孔电流,参考方
向取顺时针方向 ；
(2) 列写网孔电流方程：
I1 I2 I3 =20 -10 -8 -40
I1 I2 I3 =+24-10 -4 -20
I1 I2 I3 =+20-8 -4 20
i = I3= -0.956A
(3) 解网孔电流得：
I3=-0.956A
(4) 求响应 i
步骤：
2,列写网孔电流方程：
1,选择网孔电流及参考方向，一般
取顺时针方向 ；
例 2,求图示电路中
各支路电流。
I1 I2
I3
ia ib
(1) 选择网孔电流,参考
方向取顺时针方向 ；
(2) 列写网孔电流方程：
15ia - 5 ib = 40
- 5ia +20 ib = 5
(3) 解网孔电流
ia = 3A ib = 1A
(4) 求各支路电流
I1 =ia = 3A
I2 = ib = 1A
I3 = ia - ib = 2A
检验,可选择外网孔,列写 KVL方程, 10ia+ 15 ib – 35-10=0
3.6 节 点 电 压 法
节点电压法是以电路的节点电压为未知量来分析电路的一
种方法。
在电路的 n个节点中,任选一个为参考点,把其余 (n-1)个
各节点对参考点的电压叫做该节点的节点电压。 电路中所有
支路电压都可以用节点电压来表示。
对节点 1,2 KCL 列出节点电流方程,
?
?
?
?????
?????
0
0
32432
31431
ss
ss
IIIII
IIIII
设以节点 3为参考点,则节点 1,2的节点电压分别为 U1,U2。
将支路电流用节点电压表示为
24142141544
23132131233
222
111
)(
)(
UGUGUUGUGI
UGUGUUGUGI
UGI
UGI
?????
?????
?
?
代入两个节点电流方程中,经移项整理后得
?
?
?
???????
??????
322432143
312431431
)()(
)()(
ss
ss
IIUGGGUGG
IIUUGUGGG
（ 3,22）
将式（ 3.22）写成
?
?
?
?
??
222121
11212111
UGUG
IUGUG s
(3.23)
这就是当电路具有三个节点时电路的节点方程的一般形式。
式（ 2.23）中的左边 G11=(G1+G2+G3),G22=(G2+G3+G4) 分别是节点
1、节点 2 相连接的各支路电导之和,称为各节点的自电导,自
电导总是正的。 G12=G21=-(G3+G4)是连接在节点 1与节点 2之间的各
公共支路的电导之和的负值,称为两相邻节点的互电导,互电导
总是负的。式（ 2.23）右边 Is11=(Is1+Is3),Is22=(Is2-Is3)分别是
流入节点 1和节点 2的各电流源电流的代数和,称为节点电源电流,
流入节点的取正号,流出的取负号。
对具有 n个节点的电路,其节点方程的规范形式为
)1)(1(1)1)(1(22)1(11)1(
221)1(2222121
111)1(1212111
???????
??
??
???????
???????
???????
nnsnnnnn
snn
snn
IUUGUG
IUGUGUG
IUGUGUG
…
当电路中含有电压源支路时,这时可以采用以下措施,
（ 1） 尽可能取电压源支路的负极性端作为参考点。
（ 2） 把电压源中的电流作为变量列入节点方程,并将其
电压与两端节点电压的关系作为补充方程一并求解。
对于只有一个独立节点的电路,
4321
332211
4321
3
3
2
2
1
1
10 1111
GGGG
UGUGUG
RRRR
R
U
R
U
R
U
U sss
sss
???
??
?
???
??
?
写成一般形式
?
??
k
skk
G
UGU )(
10
式 (2.25)称为弥尔曼定理。
(3.25)
R
1
＋
－
U
s1
R
2
＋
－
U
s2
R
3
＋
－
U
s3
0
1
( a )
I
s1
G
1
I
s2
G
2
I
s3 G
3
0
1
( b )
R
4
G
4
图 3.22 弥尔曼定理举例
例 2.10 试用节点电压法求图 3.23所示电路中的各支路电
流。
图 3.23
7)
3
1
2
1
(
2
1
3
2
1
)
2
1
1
1
(
21
21
????
???
UU
UU
解之得
VUVU 12,6 21 ??
解 取节点 O为参考节点,节点 1,2的节点电压为 U1,U2,按
式（ 3.24）得
取各支路电流的参考方向,如图 2.23所示。 根
据支路电流与节点电压的关系,有
A
U
I
A
UU
I
A
U
I
4
3
12
3
3
2
126
2
6
1
6
1
2
3
21
2
1
1
???
??
?
?
?
?
???
例 3.11 应用弥尔曼定理求图 3.24所示电路中各支路电流。
解 本电路只有一个独立节点,设其电压为 U1,由式 (3.25)得
20 ??
0
10 V
I
1
10 ?? I
3
5 ??
20 V
＋
－
＋
－
1
I
2
图 3.23 例 3.10图
设各支路电流 I1,I2,I3的参考方向如图中所示,求得各支
路电流为
VU 3.14
10
1
20
1
5
1
10
10
5
20
1 ?
??
?
?
A
U
I
A
U
I
A
U
I
43.0
10
3.1410
10
10
72.0
20
3.14
20
14.1
5
3.1420
5
20
1
3
1
2
1
1
??
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
举例,
1、图示电路求电流 i。
2
40
2
1
10
1)
2
1
10
1
10
1( ?????
CBA ??? ?
A?
B? C?
4
20
8
1)
8
1
4
1
10
1(
10
1 ??????
CBA ???
2
40)
8
1
8
1
2
1(
8
1
2
1 ???????
CBA ???
（ 1 ） 选择参考节点，标
出其余节点电位变量 ；
（ 2） 列写节点电位方程：
205.01.07.0 ??? CBA ???
51 2 5.04 7 5.01.0 ???? CBA ???
2075.0125.05.0 ????? CBA ???
?C=-4.21416V 所求电流,i=-0.527A
整理方程为
解节点电位：
2,求图示电路中电流。
25.06.0 ?? BA ??
I1
I3
I2
?
A? B?
C?
选择参考节点，标出
其余节点电位变量 ；
列写节点电位方程：
17.02.25.0 ???? CBA ???
27.07.0 ???? CB ??
解得节点电位,VA 864.3??
VB 615.0?? VC 2 4 2.2???
所求电流：
I1 = 0.3864A
I2 = 0.615A
I3 = 1.4285A
检验,可选择参考节点,列写 KCL方程, -I1+2-I2+4-5=0
练习,求图示电路中各支路电流。
2
706.1)
2
1
4
1
10
1( ???? ?
I1
I2
I3
?
?
)
2
1
4
1
10
1
(
2
70
6.1
??
?
??
V588.43? 若电路只有一个独立节点，其节点电位
方程为：
选择参考节点，
列写方程：
?
??
k
sk
G
I?I1 =-4.05A
I2 = 10.765A ( 弥尔曼定理 )I3 = -13.471A
＊ 理想电压源的处
理方法 1,利用等效变换，使得理想电压源有串联电阻，利
用电源等效变换，使之变换为实际电流源模型 。
方法 2,不进行电源变换时，可选合适的参考节点使理想
电压源成为一个已知节点电位，列写其余节点电位方程。
方法 3,设理想电压源中的电流，将此电流暂当作电
流源电流列写方程，并利用理想电压源与相应节点电位关
系补充方程。
I
205.01.07.0 ??? CBA ???
20?B?
206 2 5.05.0 ???? ICA ??
4?? CB ??
VC 16??
VB 20??
VA 7300??
I2 I3
I4 I5
I6
A
B
例：求图示电路各支路电流。 I1
1
10
3
1
2
1)
3
1
2
11( ?????
DBA ???
C
1、选节点 C为参考节点
6)4
1
2
1(
2
1 I
BA ????? ??
6)5
1
3
1(
3
1 I
DA ???? ??
8?? DB ??
利用理想电压源与节点
电位关系补充方程：
2、选节点 D为参考节点，则
1
10
4
1
2
1)
3
1
2
11( ?????
CBA ???
8?B?
1
10)
3
1
2
11(
4
1 ???????
DBA ???
＊ 受控源的处理
基本步骤：
1） 先将受控源暂当独立电源列方
程；
2） 将控制量用节点电位表示；
3） 整理、化简方程，并求解。
注意：若需进行等效变换，切记：
控制支路保留。
1021)211( ???? CBA ???举例 1：
?
A? B? C?
3
12
3
1)
3
1
3
11( ??????
CBA ???
2
2)
3
1
2
1
2
1(
3
1
2
1 U
CBA ?????? ???
BAU ?? ??
整理、化简方程：
2023 ??? CBA ???
1253 ???? CBA ???
0849 ???? CBA ???解得：
VV BA 45.253.31 ?? ??
举例 2,用节点法求电压 U。
10?A?
?
A?
B? C?
选参考节点，列方程：
63
1)
3
1
2
11( U
CBA ?????? ???
0)31211(3121 ?????? CBA ???
（检查方程正确与否）
CBU ?? ??
整理、化简方程：
607 ?? CB ??
30112 ??? CB ??
解得：
VVV CBA 4.42.910 ??? ???
VU CB 8.4??? ??
A C
D
B
I
E
练习, 图示电路，求 u和 i。
1??A?
选节点 E为参考节点
232 ???? CBA ???
IuCB ???? 2??
IDA ??? ?? 3
iDC 4?? ??
ABu ?? ??
ADi ?? ??
联立方程，可解得,VVVV CCBA 313179171 ????? ????
第一节 支路电流法
第二节 网孔电流法
第三节 节点电压法
第一节 支路电流法
前一章介绍了 电阻的串联和并联；电阻的星、三角连接的等
效变换两种实际电源模型的等效变换。这几种 方法都是利用等效
变换，逐步化简电路进行分析计算的方法。这些方法适用于具有
一定结构形式而且比较简单的电路。如要对较复杂的电路进行全
面的一般性的探讨，还需寻求一些系统化的方法 ——即不改变电
路结构，先选择电路变量（电流或电压），再根据 KCL,KVL建立
起电路变量的方程，从而求解变量的方法。支路电流法就是系统
化方法中的最基本的一种。
支路电流法是以每个支路的电流为求解的未知量，以基尔霍
夫一、二定理即 KCL,KVL 为依据，列方程求解电路的一种分析
方法。
为了便于讨论,先来复习几个名词。
（ 1）支路, 电路中流过同一电流的一个分支称为一条支路。
（ 2）节点, 三条或三条以上支路的联接点称为节点。
(3) 回路, 由若干支路组成的闭合路径,其中每个节点只经过一次,
这条闭合路径称为回路。
(4) 网孔, 网孔是回路的一种。将电路画在平面上,在回路内部不
另含有支路的回路称为网孔。
下面我们以 图 3.1所示的电路为例来说明支路电流法的应用。支路电流法以每个支
路的电流为求解的未知量。 如 图 3.1 所示的电路，从图中可看到电路共有六条支
路,a,b,c,d四个节点。不论电路如何连接，在电路的每一个节点基尔霍夫电
流定律和电路的每一个回路中 基尔霍夫 电压定律总是成立的。
对于含有六条支路的电路，我们来寻找一
种系统的解题方法。首先我们假设每条支路的
参考电流方向如图中箭头所示，并分别用 i1～
i6来表示，然后分别对节点 a,b,c,d 列写
KCL方程如下,
a,-I1+I2+I3 =0 b,-I2+I4+I6=0
c,-I3-I6+I5=0 d,-I5-I4+I1=0
-I1+I2+I3-I2+I4+I6-I3-I6+I5=0 <=>
-I5-I4+I1=0
-I2+I4+I6-I3-I6+I5 -I5-I4+I1=0 <=>
-I1+I2+I3 =0
i1
i2 i3
i4 i5
i6
图 3.1支路电流法举例
观察以上四个表达式，可看出其中的
任一个方程都可由其它三个方程得出。
说明这四个方程中只有三个方程是独
立的。对于更多节点的电路，情况也
一样。一般来讲，具有 n个节点的电
路，只能列出（ n-1）个独立的 KCL方
程。
以上三个回路方程中，没有哪个方程能从另外
两个方程中推出，所以都是独立的回路方程。
如果再用其它回路列方程，我们可以验证他
们都不是独立方程。
如果从外面绕一大圈，
有 i1 + 3i3 + 5i5 = 10
而 （ 1） +（ 2） -（ 3）有
I1 + 3i3 + 5i5 = 10
如,
3i3 + 5i5 - 4i4 - 2i2 = 0
而 （ 2） -（ 3）等于此式
i1
i2 i3
i4
i6
下面我们再来研究电路中的回路，对图 3.1
的电路，它的回路是很多的，因为只要 若干支
路组成的闭合路径,其中每个节点只经过一次,
这条闭合路径称为回路。那是不是我们必须
把所有的回路中电压方程都列出来，才能求
出电路中所要求的参量呢？下面我们就来研
究这个问题。对应于图中标出的三个回路，
应用 KVL，可以列出回路电压 方程如下,
回路 L1,i1 +2i2 +4i4 =10 （ 1）
回路 L2,-2i2+3i3 - 6i6 =8 （ 2）
回路 L3,-4i4 + 5i5 +6i6 =-8 （ 3）
L3
L1 L2
i5
-
+
?对于独立回路应如何选择, 原则上也是任意的 。 一般,
在每选一个回路时, 只要使这回路中至少具有一条新
支路在其它已选定的回路中未曾出现过, 那末这个回
路就一定是独立的 。 通常, 平面电路中的一个网孔就
是一个独立回路, 网孔数就是独立回路数, 所以可选
取所有的网孔列出一组独立的 KVL方程 。
可以证明，具有 n个节点,b条支路的电路具有 b-(n-1)个独立
的回路电压方程，与这些方程相对应的回路称为独立回路。
? 所以我们可以得出：具有 n个节点,b条支路的电路,独立的 KCL
方程：（ n-1）个，独立的 KVL方程,b-(n-1)个。
? 综上所述，对于具有 n个节点,b条支路的电路，根据 KCL能列出
（ n-1）个独立方程，根据 KVL能列出 b-(n-1)个独立方程，两种独
立方程的数目之和正好与所选待求变量的数目相同，联立求解即可
得到 b条支路的电流。
对我们研究的例题, 有 6条支路, 4个节点, 所以可列出 4-1=3个独
立的节点电流方程；列出 6-（ 4-1） =3个独立的回路电压方程, 而
这两组方程的数目正好等于电路的支路数 。
? 那么，我们可以考虑，如果对于一个电路，假设如图 3.1所示，
电路中所有的元件的取值都是已知的，只有电路中各条支路的电流
是未知的被求量，那么以支路电流为未知数列出的 KCL方程和 KVL方
程数正好等于支路数，而这些方程又都是关于支路电流的方程，所
以联立求解就可求出各支路电流。
?
通过上面分析,我们可总结出支路电流法分析计算电路的一
般步骤如下,
（ 1） 在电路图中选定各支路（ b个）电流的参考方向,
设出各支路电流。
（ 2） 对独立节点列出 (n-1)个 KCL方程。
（ 3） 取网孔列写 KVL方程,设定各网孔绕行方向,列出
b-(n-1)个 KVL方程。
（ 4） 联立求解上述 b个独立方程,便得出待求的各支路
电流。
例 1,求图示电路中各支路电流和各元件的功率。
解 以支路电流 I1,I2,I3为变量,应用 KCL,KVL列出等式
I1
I3 I2
(1)对于两节点 a,b,可列出一个独立的
节点电流方程。
a,-I1 + I3 + I2 = 0
(2) 列写网孔独立回路电压
方程：
10I1 + 5 I3= 30+10
15I2 -5 I3=35-30
(3)联立求解各支路电流得：
a
b
I1 = 3A I2 = 1A I3 = 2A
Us1 Us2
Us3
I1,I2,I3 均为正 值,表明它的实际方向
与所选参考方向相同,三个电压源全部是从正
极输出电流，所以全部输出功率。
Us1输出的功率为
Us1I1=10× 3=30W
Us2输出的功率为
Us2I2=35× 1=35W
Us3 输出的功率为
Us3I2=30× 2=60W
各电阻吸收的功率为 I× I× R
P =10× 3× 3+5× 2× 2+15× 1× 1=125w
功率平衡,表明计算正确。
I1 I2
a
b
Us1 Us2
Us3
I3
I1 = 3A,I2 = 1A, I3 = 2A
从前面分析可知，如果电路有 b条支路，用支路电流法至
少需要求解 b元一次方程组，在支路数较多时，计算量是很大
的。如能减少变量的数目，就能减少方程的个数，从这个目
的出发，还需探讨能减少方程个数的其它的系统分析方法。
我们下面所讲的网孔电流法就是其中之一，它是采用网孔电
流为电路的变量来列写方程,这种方法适合于回路数少，支
路数多的电路。
第二节 网孔电流法
设想在每个网孔中,都有一个电流沿网孔边界环流,其参考
方向如图所示,这样一个在网孔内环行的假想电流,叫做
网孔电流。如下图所示。
i1 = Ia i2=Ia - Ib
i3=Ib i4=Ia - Ic
i5=Ic i6=Ic - Ib
其中 Ia,Ib,Ic为假想的网孔电流如
图所示
所以，列电路方程的时，我们可以用支路电流来列，也可以用网孔电流
来列，这实际上是一个变量代换过程，区别就在于用上面的网孔电流来
替代支路电流结果不同，支路电流列出是六个未知数的方程，而网孔电
流列出的是三个未知数的方程。那也就是说，借助网孔这个假想的电流
来可以简化运算。这就是我们讲解网孔电流法的目的所在。下面用具体
的例子来推出网孔电流法的计算方法
可由网孔电流求得任一条支路电流 。
各网孔电流与各支路电流之间的关
系为：
i1 i2 i3
i4 i
5
从前面的分析我们看到,电路中可由网孔电流求得任一条支路电流。
所以，用支路电流表示的运算都可以用网孔电流来替代，即以网孔电
流为桥梁进行简化计算是可行的
i6
i1 = Ia
i2=Ia - Ib
i3=Ib
i4=Ia - Ic
i5=Ic
i6=Ic - Ib
节点 1,- i1 + i2 + i3=0
用 网孔电流表示, - Ia +(Ia - Ib) + Ib=0
网孔电流法的电路方程特点：
首先在三个网孔中列写回路电压
方程如下：
us6+IaR6-us5+ (Ia-Ic)R5+(Ia-Ib)R4=0
(Ib-Ia)R4+ (Ib-Ic)R2 + us2-us1+IbR1=0
(Ia-Ic)R5 + R3Ic + (Ic-Ib)R2 +us5-us2=0
3、解网孔电流；
4、求其它响应。
Ib Ic
Ia
方程数 = 网孔数；
(R 4+R 5+R 6) Ia-R4 Ib-R5Ic=us5-us6
自电阻 互电阻 互电阻 回路电压源电压升代数和
-R4 Ia + (R 4+R 1+R 2) Ib-R2Ic=us1-us2
-R5 Ia -R2 Ib + (R 5+R 3+R 2) Ic=us2-us5
例 1、图示电路利用网孔 电流法求电流 i。
I2 I3
I1
(1) 选择网孔电流,参考方
向取顺时针方向 ；
(2) 列写网孔电流方程：
I1 I2 I3 =20 -10 -8 -40
I1 I2 I3 =+24-10 -4 -20
I1 I2 I3 =+20-8 -4 20
i = I3= -0.956A
(3) 解网孔电流得：
I3=-0.956A
(4) 求响应 i
步骤：
2,列写网孔电流方程：
1,选择网孔电流及参考方向，一般
取顺时针方向 ；
例 2,求图示电路中
各支路电流。
I1 I2
I3
ia ib
(1) 选择网孔电流,参考
方向取顺时针方向 ；
(2) 列写网孔电流方程：
15ia - 5 ib = 40
- 5ia +20 ib = 5
(3) 解网孔电流
ia = 3A ib = 1A
(4) 求各支路电流
I1 =ia = 3A
I2 = ib = 1A
I3 = ia - ib = 2A
检验,可选择外网孔,列写 KVL方程, 10ia+ 15 ib – 35-10=0
3.6 节 点 电 压 法
节点电压法是以电路的节点电压为未知量来分析电路的一
种方法。
在电路的 n个节点中,任选一个为参考点,把其余 (n-1)个
各节点对参考点的电压叫做该节点的节点电压。 电路中所有
支路电压都可以用节点电压来表示。
对节点 1,2 KCL 列出节点电流方程,
?
?
?
?????
?????
0
0
32432
31431
ss
ss
IIIII
IIIII
设以节点 3为参考点,则节点 1,2的节点电压分别为 U1,U2。
将支路电流用节点电压表示为
24142141544
23132131233
222
111
)(
)(
UGUGUUGUGI
UGUGUUGUGI
UGI
UGI
?????
?????
?
?
代入两个节点电流方程中,经移项整理后得
?
?
?
???????
??????
322432143
312431431
)()(
)()(
ss
ss
IIUGGGUGG
IIUUGUGGG
（ 3,22）
将式（ 3.22）写成
?
?
?
?
??
222121
11212111
UGUG
IUGUG s
(3.23)
这就是当电路具有三个节点时电路的节点方程的一般形式。
式（ 2.23）中的左边 G11=(G1+G2+G3),G22=(G2+G3+G4) 分别是节点
1、节点 2 相连接的各支路电导之和,称为各节点的自电导,自
电导总是正的。 G12=G21=-(G3+G4)是连接在节点 1与节点 2之间的各
公共支路的电导之和的负值,称为两相邻节点的互电导,互电导
总是负的。式（ 2.23）右边 Is11=(Is1+Is3),Is22=(Is2-Is3)分别是
流入节点 1和节点 2的各电流源电流的代数和,称为节点电源电流,
流入节点的取正号,流出的取负号。
对具有 n个节点的电路,其节点方程的规范形式为
)1)(1(1)1)(1(22)1(11)1(
221)1(2222121
111)1(1212111
???????
??
??
???????
???????
???????
nnsnnnnn
snn
snn
IUUGUG
IUGUGUG
IUGUGUG
…
当电路中含有电压源支路时,这时可以采用以下措施,
（ 1） 尽可能取电压源支路的负极性端作为参考点。
（ 2） 把电压源中的电流作为变量列入节点方程,并将其
电压与两端节点电压的关系作为补充方程一并求解。
对于只有一个独立节点的电路,
4321
332211
4321
3
3
2
2
1
1
10 1111
GGGG
UGUGUG
RRRR
R
U
R
U
R
U
U sss
sss
???
??
?
???
??
?
写成一般形式
?
??
k
skk
G
UGU )(
10
式 (2.25)称为弥尔曼定理。
(3.25)
R
1
＋
－
U
s1
R
2
＋
－
U
s2
R
3
＋
－
U
s3
0
1
( a )
I
s1
G
1
I
s2
G
2
I
s3 G
3
0
1
( b )
R
4
G
4
图 3.22 弥尔曼定理举例
例 2.10 试用节点电压法求图 3.23所示电路中的各支路电
流。
图 3.23
7)
3
1
2
1
(
2
1
3
2
1
)
2
1
1
1
(
21
21
????
???
UU
UU
解之得
VUVU 12,6 21 ??
解 取节点 O为参考节点,节点 1,2的节点电压为 U1,U2,按
式（ 3.24）得
取各支路电流的参考方向,如图 2.23所示。 根
据支路电流与节点电压的关系,有
A
U
I
A
UU
I
A
U
I
4
3
12
3
3
2
126
2
6
1
6
1
2
3
21
2
1
1
???
??
?
?
?
?
???
例 3.11 应用弥尔曼定理求图 3.24所示电路中各支路电流。
解 本电路只有一个独立节点,设其电压为 U1,由式 (3.25)得
20 ??
0
10 V
I
1
10 ?? I
3
5 ??
20 V
＋
－
＋
－
1
I
2
图 3.23 例 3.10图
设各支路电流 I1,I2,I3的参考方向如图中所示,求得各支
路电流为
VU 3.14
10
1
20
1
5
1
10
10
5
20
1 ?
??
?
?
A
U
I
A
U
I
A
U
I
43.0
10
3.1410
10
10
72.0
20
3.14
20
14.1
5
3.1420
5
20
1
3
1
2
1
1
??
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
举例,
1、图示电路求电流 i。
2
40
2
1
10
1)
2
1
10
1
10
1( ?????
CBA ??? ?
A?
B? C?
4
20
8
1)
8
1
4
1
10
1(
10
1 ??????
CBA ???
2
40)
8
1
8
1
2
1(
8
1
2
1 ???????
CBA ???
（ 1 ） 选择参考节点，标
出其余节点电位变量 ；
（ 2） 列写节点电位方程：
205.01.07.0 ??? CBA ???
51 2 5.04 7 5.01.0 ???? CBA ???
2075.0125.05.0 ????? CBA ???
?C=-4.21416V 所求电流,i=-0.527A
整理方程为
解节点电位：
2,求图示电路中电流。
25.06.0 ?? BA ??
I1
I3
I2
?
A? B?
C?
选择参考节点，标出
其余节点电位变量 ；
列写节点电位方程：
17.02.25.0 ???? CBA ???
27.07.0 ???? CB ??
解得节点电位,VA 864.3??
VB 615.0?? VC 2 4 2.2???
所求电流：
I1 = 0.3864A
I2 = 0.615A
I3 = 1.4285A
检验,可选择参考节点,列写 KCL方程, -I1+2-I2+4-5=0
练习,求图示电路中各支路电流。
2
706.1)
2
1
4
1
10
1( ???? ?
I1
I2
I3
?
?
)
2
1
4
1
10
1
(
2
70
6.1
??
?
??
V588.43? 若电路只有一个独立节点，其节点电位
方程为：
选择参考节点，
列写方程：
?
??
k
sk
G
I?I1 =-4.05A
I2 = 10.765A ( 弥尔曼定理 )I3 = -13.471A
＊ 理想电压源的处
理方法 1,利用等效变换，使得理想电压源有串联电阻，利
用电源等效变换，使之变换为实际电流源模型 。
方法 2,不进行电源变换时，可选合适的参考节点使理想
电压源成为一个已知节点电位，列写其余节点电位方程。
方法 3,设理想电压源中的电流，将此电流暂当作电
流源电流列写方程，并利用理想电压源与相应节点电位关
系补充方程。
I
205.01.07.0 ??? CBA ???
20?B?
206 2 5.05.0 ???? ICA ??
4?? CB ??
VC 16??
VB 20??
VA 7300??
I2 I3
I4 I5
I6
A
B
例：求图示电路各支路电流。 I1
1
10
3
1
2
1)
3
1
2
11( ?????
DBA ???
C
1、选节点 C为参考节点
6)4
1
2
1(
2
1 I
BA ????? ??
6)5
1
3
1(
3
1 I
DA ???? ??
8?? DB ??
利用理想电压源与节点
电位关系补充方程：
2、选节点 D为参考节点，则
1
10
4
1
2
1)
3
1
2
11( ?????
CBA ???
8?B?
1
10)
3
1
2
11(
4
1 ???????
DBA ???
＊ 受控源的处理
基本步骤：
1） 先将受控源暂当独立电源列方
程；
2） 将控制量用节点电位表示；
3） 整理、化简方程，并求解。
注意：若需进行等效变换，切记：
控制支路保留。
1021)211( ???? CBA ???举例 1：
?
A? B? C?
3
12
3
1)
3
1
3
11( ??????
CBA ???
2
2)
3
1
2
1
2
1(
3
1
2
1 U
CBA ?????? ???
BAU ?? ??
整理、化简方程：
2023 ??? CBA ???
1253 ???? CBA ???
0849 ???? CBA ???解得：
VV BA 45.253.31 ?? ??
举例 2,用节点法求电压 U。
10?A?
?
A?
B? C?
选参考节点，列方程：
63
1)
3
1
2
11( U
CBA ?????? ???
0)31211(3121 ?????? CBA ???
（检查方程正确与否）
CBU ?? ??
整理、化简方程：
607 ?? CB ??
30112 ??? CB ??
解得：
VVV CBA 4.42.910 ??? ???
VU CB 8.4??? ??
A C
D
B
I
E
练习, 图示电路，求 u和 i。
1??A?
选节点 E为参考节点
232 ???? CBA ???
IuCB ???? 2??
IDA ??? ?? 3
iDC 4?? ??
ABu ?? ??
ADi ?? ??
联立方程，可解得,VVVV CCBA 313179171 ????? ????
