1
第一节 正弦量的基本概念
第二节 正弦量的相量表示法
第三节 电阻元件伏安关系的向量形式
第四节 电感元件及其伏安关系的向量形式
第五节 电容元件及其伏安关系的向量形式
第六节 基尔霍夫定律的相量形式
第七节 R,L,C串联电路及复阻抗
第八节 R,L,C并联电路及复导纳
第九节 无源二端网络的等效复阻抗和复导纳
第十节 正弦电流电路的分析计算
第十一节 正弦交流电路的功率
第十二节 电路的谐振
第五章 正弦稳态电路
2
5-1 正弦量的基本概念
正弦稳态电路：
激励为正弦量，且加入激励的
时间为 t=-?时的电路。
正弦量,
随时间按正弦规律变化的电流
或电压或功率等。
?
?u(t)
t0
?
?i(t)
t0
3
一、正弦量的时域表示
2,函数表示,
u(t)=Umcos(?t+?u)
i(t)=Imcos(?t +?i) （瞬时值）
（三要素）
1,波形表示：
其中：
Um,Im?? 最大值
? ?? 角频率
?i, ?u ??初相位
?=2?f=2?/T ?
?
u(t)
t
0
?t
T
Um
-Um
2?
?
?
i(t)
0 2?
Im
-Im
?t
4? =0 同相 ? =± 90o 正交 ? =± 180o 反相
相位差,?=?u-?i
? ? ??? ? ?
u(t)=Umcos(?t+?u)
i(t)=Imcos(?t+?i)
? <0 滞后 ? >0 超前
3、相位差
5
4、有效值,周期信号一个周期内的方均根值。
对于正弦量：
??
T
dttu
T
U
0
2 )(1 ??
T
dtti
T
I
0
2 )(1
m
m III 707.0
2 ??
电流：电压：
物理意义：
在一个周期内与其产生相等热量的直流电量。
i(t)=Imcos(?t+?i)
u(t)=Umcos(?t+?)
m
m UUU 707.0
2 ??
6
5-2、正弦量的向量表示法
1,正弦稳态电路特点：
若所有激励为频率相同的 正弦量，则线性电路响
应为同频率的正弦量。
相量为一个复数，它可表示为极坐标形式，也可表示
为直角坐标形式。
2,正弦量相量表示：
i(t)=Imcos(?t+?i)
u(t)=Umcos(?t+?u)
iII ???
?
uUU ???
?
7
3、相量图,在一个复平面表示相量的图。
i(t)=Imcos(?t+?i)
iII ???
?
u(t)=Umcos(?t+?u)
uUU ???
?
?I
?U
+j
?
?
+10
复平面表示的相量意义
Re[?me
j?t]=Umcos(?t+?u)
▲
? Ime[?me
j?t]
=Umsin(?t+?u)
8
4、相量法,以相量表示正弦量对正弦稳态电路进行分析
的方法 。
例 1,写出下列正弦量的相量形式：
)1.53c o s (25)(1 ??? tti ?
)9.36c o s (210)(2 ??? tti ?
例 2,写出下列正弦量的时域形式,
431 jU ????
682 jU ???
???? 1.5351I ????? 9.36102I
43 j?? 68 j??
解：
)9.1 2 6c o s (25)(1 ??? ttu ?
)9.36c o s (210)(2 ??? ttu ?
9
5-3 电阻元件伏安关系的向量形式
一、时域分析：
)c o s (2 itIR ?? ??
∴ U=IR
?u=?i
)c o s (2)( itIti ?? ??
)c o s (2 utU ?? ??
（波形）
)()( tRitu ?
iII ???
?
uUU ???
?
iRI ???
?? ? IRU
(相量图 )
二、频域分析
+j
?
?
+10
10
三、功率
)c o s (2)( itIti ?? ??
)()()( titutp ?
?? T dttpTP 0 )(1
1）瞬时功率,
2）平均功率,
UI?
)2c o s ( ?? ??? tUIUI
)(
2
2 W
R
URI ??
)c o s (2)( utUtu ?? ??
)c o s (2)c o s (2)( ???? ??? tItUtp
?
?p(t)
?t
0
2UI
UI
11
5-4、电感元件及其 伏安关系的向量形式
1、定义,韦安特性为 ?-i平面一条
过原点直线的二端元件。 L
2,特性：
1） ?(t)=Li(t)；
2) WAR为 ?-i平面过原点的一
条直线；
3） VAR:
4) 无源元件
5) 储能元件
6） 动态元件
7） 记忆元件dt
td
iLtu
）()( ?
12
一、时域分析,
iII ????
)s i n (2 itLI ??? ???
∴ U= ?L I
)c o s (2)( itIti ?? ??
)c o s (2 utU ?? ??
)90c o s (2 ???? itLI ???
L
?u=?i+90o
(波形 )
LX L ?? (感抗 )
IXU L?
二、频域分析
uUU ???
?
)90( ???? iLI ??
iLIj ?? ??
??? ?? IjXILjU
L?
LjjX L ?? (复感抗 )
(相量图 )
+j
?
?
+10
dt
tdiLtu )()( ?
13
三、功率
)c o s (2)( itIti ?? ??
)()()( titutp ?
?? T dttpTP 0 )(1
1）瞬时功率,
2）平均功率, 0?
)c o s (2)( utUtu ?? ??
)c o s (2)c o s (2)( iu tItUtp ???? ???
UI
)902c o s ( ??? tUI ?
?
?p(t)
?t03）无功功率, UIQ ?
意义,反映电感元件与电源进行能量交换的最大速率,
)(
2
2 V a r
X
UIX
L
L ??
14
四、实际电感模型
例,如图所示实际电感模型中的 R=10?,L=50mH,
通过的 电流为：
6080 j??
Atti )9.36314c o s (210)( ???
求电压 uR(t),uL(t)和 u(t)。
解, ???? 9.3610I RIU
R
?? ? ??? 9.36100
??? ?? ILjIjXU
LL ? ??? 9.1 2 61 5 7
??? ??
LR UUU ??? 4.941.1 8 6
Vttu )4.94c o s (21.1 8 6)( ???? ?
55.1 2 527.94 j???
55.1 8 527.14 j???
Vttu R )9.36c o s (2100)( ??? ?
Vttu L )9.1 2 6c o s (21 5 7)( ??? ?
15
5-5 电容元件及其 伏安关系的向量形式
一、线性电容元件：
1、定义,库伏特性为 q-u平面一条
过原点直线的二端元件。
2,特性：
1） q(t)=Cu(t)；
2) 库伏特性为 q-u平面过原点的一
条直线；
3） VAR:
4) 无源元件
5） 储能元件
6） 动态元件
7） 记忆元件dt
tduCti ）()( ?
16
二、时域分析：
dt
tduCti )()( ?
)s i n (2 utCU ??? ???
∴ I=U?C
)c o s (2)( utItu ?? ??
)c o s (2 itI ?? ??
)90c o s (2 ???? utCU ???
?i=?u+90o (波形 )
三、频域分析
iII ???
?
uUU ???
?
???? 90uCU ??
(相量图 )
uCUj ?? ??
??? ??? UjBUCjI
C CBC ??
(容纳 ) ??? ???? IjXICj 1U C
CX C ?
1?
(容抗 )
或
+j
?
?
+10
17
四、功率
)c o s (2)( itIti ?? ??
)()()( titutp ?
?? T dttpTP 0 )(1
1）瞬时功率,
2）平均功率, 0?
)c o s (2)( utUtu ?? ??
)c o s (2)c o s (2)( iu tItUtp ???? ???
UI
)902c o s ( ??? tUI ?
?
?p(t)
?t03）无功功率, UIQ ?
意义,反映电容元件与电源进行能量交换的最大速率,
)(
2
2 V a r
X
UIX
C
C ??
18
五、应用举例
例 1,已知：图示电路中电压有效值 UR=6V,UL=18V,UC=10V。
求 U=？
解, ???? 0II设 （参考相量）
???? 06U R ???? 9018U L ????? 9010U C
???? ???
CLR UUUU
10186 jj ???
86 j??
V??? 1.5310
VU 10??
(相量图 )
+j
?
?
+10 U
R
UL
UC
19
例 2,已知,图示电路中电流表 A1,A2读数均为 10A。求电
流表 A的读数。
解, ???? 0UU设
????? 9010I1 ???? 9010I 2
21 III
??? ??
0?
所以，电流表 A的读数为零。
?
1I
?
2I
说明：
（ 1）参考相量选择：一般串联电路可选电流、并联电路
可选电压作为参考相量；
（ 2）有效值不满足 KCL,KVL。
20
5-6 基尔霍夫定律的相量形式
一,KCL：
0)(
1
??
?
tik
n
k
0)co s (2
1
???
? ikk
n
k
tI ??
0
1
?? ?
? k
n
k
I
时域,
频域,
对于任一集中参数电路，在任一时刻，流出 （或流入）
任一节点的电流代数和等于零。
以相量表示正弦量，有
在正弦稳态电路中,对于任一节点，流出（或流入）该
节点的电流相量代数和等于零。
21
二,KVL：
时域,
0)(
1
??
?
tu k
m
k
0)co s (2
1
???
? ukk
m
k
tU ??
频域,
0
1
??
?
?
k
m
k
U
对于任一集中参数电路，在任一时刻，对任一回路，按
一定绕行方向，其电压降的代数和等于零。
以相量表示正弦量，有
在正弦稳态电路中，对任一回路，按一定绕行方向，其
电压降相量的代数和等于零。
22
求：
例 1,)1.53c o s (25)(
1 ??? tti ?
)9.36c o s (210)(2 ??? tti ?
解,
)()()( 21 tititi ??
)(1 ti
)(2 ti
)(ti
???? 1.5351I 43 j??
????? 9.36102I 68 j??
21
??? ?? III 211 j?? ???? 3.1018.11
)3.10c o s (218.11)( ???? tti ?
正弦量以相量表示，有
23
例 2 图示电路，已知,
解,
)30c o s (26)(1 ??? ttu ?
)60c o s (24)(2 ??? ttu ?
)(3 tu求
+ u1(t) -
u3(t)
-
u2(t)
+
???? 3061U ???? 6042U
??? ??
213 UUU )45.32()319.5( jj ????
45.019.3 j?? ???? 03.822.3
)03.8c o s (222.3)(3 ???? ttu ?
正弦量以相量表示，有
24
5-7 R,L,C串联电路及复阻抗
一、复阻抗,
)()1( CL XXjRCLjRZ ?????? ??
jXRZ ??
XXXCL CL ???? ?? 1
令：
ZZ ???
其中,R：电阻 X：电抗
Z,复阻抗
|Z|— 阻抗模 ?Z— 阻抗角
?? ? IZU
22 XRZ ?? R
X
Z arctan??
R
X Z
Z?
阻抗三角形
25
讨论：
1,复阻抗 Z取决于电路结构、元件参
数和电路工作频率；
2,Z反映电路的固有特性,Z=R+jX
X=0 Z=R ?Z=0 电阻性
X>0 XL>XC ?Z>0 电感性
X<0 XL<XC ?Z<0 电容性
3,Z的物理意义：
)1( CLjRZ ?? ???jXRZ ??
I
UZ ? iuZ ??? ??
4,Z为复数，描述电路的频域模型，但不是相量。
26
举例, 图示电路中已知 R=15?,L=12mH,C=5?F,
解,
Z
UI
?
?
?
VRIU R ????? ?? 13.5360
VILjU L ???? ?? 87.362 4 0?
VU ???? 01 0 0
Vttu )5 0 0 0c o s (21 0 0)( ?
.,,,,和相量图求 ???? CLR UUUIZ
?? 60jLj? ???? 401 jCj ?
CjLjRZ ??
1??? ???? 1.5325
A???? 13.534
VICjU C ?????? ?? 13.1 4 31 6 01?
?I
?
RU
?
LU
?
CU
?U
60j
40j?
15?
27
其中,G：电导 B：电纳
Y,复导纳
|Y|— 导纳模 ?Y— 导纳角
5-8,R,L,C并
联电路及复导纳
令,
jBGY ??
ZY
1? （复导纳）
YY ???
Z
UI
?
?
?
)1( LCjGY ?? ???
例：
)( LC BBjG ???
22 BGY ??
G
B
Y arctan??
G
B
Y
Y?
导纳三角形：
28
讨论：
1,复导纳取决于电路结构、元件参数
和电路工作频率；
2,Y反映电路的固有特性,Y=G+jB
B=0 Y=G ?Y=0 电阻性
B>0 BL<BC ?Y>0 电容性
B<0 BL>BC ?Y<0 电感性
3,Y的物理意义：
U
IY ? uiY ??? ??
4,Y为复数，描述电路的频域模型，但不是相量。
)1( LCjGY ?? ???
jBGY ??
29
5-9,无源二端网络的等效
复阻抗和复导纳
1、已知复阻抗 jXRZ ??
jBG ??
则,
其中：
?
?
?
I
UZ
?
?
?
U
IY
Y
1?
Z
1?
2222
1
XR
Xj
XR
R
jXRY ?
??
????
22 XR
RG
?? 22 XR
XB
?
??
2、已知复导纳
意义：
jBGY ??
jXR ??
则,
其中：
2222
1
BG
Bj
BG
G
jBGZ ?
??
????
22 BG
GR
?? 22 BG
BX
?
??
30
例 1,已知 R=6?,X=8?,f=50Hz,求 G=? B=? 并求串
联和并联结构的元件参数分别为多少？
解,86 jZ ?? ??? 13.5310
ZY
1? ???? 13.531.0
08.006.0 j??
jBGY ??
SG 06.0? SB 08.0??
???? 67.161GR
mHL 8.39??
??6R mHL 48.25?
R’ L’
R
L
31
解：
例 2,图示二端网络，已知：
求频域 Z,Y及其等效元件参数。
Vttu )3010c o s (22)( 4 ???
mAtti )6010c o s (21 0 0)( 4 ???
VU ???? 302 mAI ???? 601 0 0
?
?
?
I
UZ ???? 3020
)(1032.17 ??? j
?? 32.17R
FC ?10??
?
?
U
IY ??? 3005.0
)(025.00433.0 Sj??
????? 1.231GR
FBC ?? 5.2????
32
5-10 正弦电流电路的分析计算
基本分析思路：
1) 从时域电路模型转化为频域模型,
正弦电流、电压用相量表示；
无源支路用复阻抗表示。
2） 选择适当的电路分析方法：
等效变换法（阻抗等效变换、电源等效变换） 网孔法、
节点法、应用电路定理分析法等；
3） 频域求解（复数运算）得到相量解；
4） 频域解转化为时域解 。
33
解：
例 1,图示电路。已知 Vttu )5 0 0 0c o s (22 1 0)( ?
求 i1 (t), i2 (t)和 i (t)以及对应 相量的相量图。
i2 (t)i1 (t)
20?F
?U
?I
20j
10j?
2
?I
1
?I
?A ?B
?????? ?? 02 1 0)2015()2023( BA IjIj
0)1025()2015( ????? ?? BA IjIj
???? 0210U
20jLj ??
101 jCj ??? ? AI A ???? 5.810
AIII BA ?????? ??? 3.5826.51
AII A ???? ?? 5.810
AII B ???? ?? 83.3929.92
AI B ???? 83.3929.9
Atti )5.85000c o s (210)( ????
34
例 2,图示电路。已知 Vttu )10c o s (260)( 4?
分别求 R=75?,25 ?时负载电流 i(t)。
解,移去待求支路的频域电路
模型如右。
1/3?F
1/3?F
VU oc ????? 45230 ?? 75oZ
当 R=75?时 AI ????? 45
2
2.0
Atti )4510c o s (2.0)( 4 ???
当 R=25 ? 时
Atti )4510c o s (3.0)( 4 ???
AI ????? 4523.0
对应等效频域电路模型如右。
35
例 3,图示电路,求电流 ?。 解,节点电位法
?
50 ?0 ?
1
??
2
??
3
??
??? ????? I0502
21 ??
???? ????? I2
2
1
2
3
321 ???
??? ???? Ij
32 )4
1
2
1(
2
1 ??
31
?? ? ??
539.21308.121 j????
8 4 7.332 3 1.92 j?????
11
50 121
???
? ?
??? ???I
A???? 75.2961.18
36
* 图示电路,求电流 ?。 解,网孔电流法
50 ?0 ?
?2 ?3
?1 023 321 ??? ??? III
??? ?????? UII 0502
21
??? ???? UIjI
31 )42(2
??? ?? III 2
32
AI ????? 75.2961.18
1
?? ?II
37
例 4,图示电路。已知 U=100V,R=20?,R1=6.5 ? 。
当调 C使得 Ucd达到最小值，此时 Ucd =30V Rac =4?时。求 Z=？
解,???? 01 0 0U设
)(155.3 ???? jZ
R1 ?? ? U
R
RU ac
ac
??
?? UZR
RU
ad
1
1
acadcd UUU
??? ??
??
?? UR
R
ZR
R ac )(
1
1
调 c点时,Rac变，若 Ucd最小，则
???? 01 00)2045.6 5.6( Z 30j??
38
* 图示电路。已知 U=100V,R=20?,R1=6.5 ? 。
ARUI R ????
?
? 05
当调 C使得 Ucd达到最小值，此时 Ucd =30V Rac =4?时。求 Z=？
?U
?I
a b
d
c
e
+j
?
?
0
???? 01 0 0U设
)(155.3 ???? jZ
VU ac 20? AI 55.55.6 1.36 ??
VU eb 1.83??
若 Z=Ro-jxo为容
性负载,I超前 U。
其余相量如图示。
R1IR ?
解：
若调 c点时，使 Ucd最小，则有
cdU
?
acU?
accd UU ?
VU cd 30? VU ad 1.36?
abeadc ????
ebcd
ad
U
U
U
U ?
VU ae 4.55?
???? 51.31RIUR aeo??? 15IUx ebo
)(155.3 ??? jZ同理
dbU
?
adU
?
39
例 5,图所示电路。用相量法证明当 ?从 0到 ?变化时，
U2=U1,?2从 180?+?1到 ?1变化。
?
1U
?
2U
证明：
???
?
?
?
? 112
1
1
1
U
Cj
R
Cj
U
Cj
R
R
U
?
?
?
?
?
?
? 1
1
1
U
Cj
R
Cj
R
?
?
?
?
??
11
1 U
CRj
CRj
?
?
)a r c t a n2180(12 ?CRUU ????? ??
222111,?? ????
?? UUUU设
)a r c ta n21 8 0( 11 ?? CRU ?????
40
* 图示电路。用相量法证明当 ?从 0到 ?变化时,U2=U1，
?2从 180?+?1到 ?1变化。
?
1U
?
2U
a
b
c
d
?
1U
?
2U
?I
证明,???? 0
11 UU设
则有相量图如下：
可见，当 ?在（ 0,?）变化时,d,b点的轨迹为一个
圆,bd为其直径，且 Ubd= U2 = U1。
即：当 ?从 0到 ?变化时,U2=U1,?2从 180?到 0?变化 。
41
练习 1：
图示电路。已知 U=100V，
求 Z=？
,31 0 0,31 0 0 ??? cc XVU
,60 ??Z?
解,AXUI
C
c 1?? ???? 01设 I
)(感性jXRZ ??
???????? 01)31 0 0( jXRjU )3100( ??? XjR
222 )31 0 0(1 0 0 ???? XR
7 32.160 ??? tgRX ?
?? ???? 501 0 0R ??? ??? 6.86 2.173X
??
?
??
???
6.8650
2.173100
j
jZ
3100j?
42
练习 2,右图所示电路。改变 R，要求电流 I不
变。求 L,C,?应满足何种关系？
解,当 R=0时：
?? ?? U
LCjI )
1(
??
?? ? UCjI ?
当 R=?时：
依题意，有
CLC ??? ?? 1
CLC ??? ?? 1 （无解）
CCL ??? ??1
LC2
1?? ?
43
练习 3,图示电路。 U=380V,f=50Hz。改变 C=80.95?F，电流
表 A读数最小为 2, 59A。求电流表 A1和 A2读数。
解,???? 03 8 0U设 则有相量图：
?U
1
?I
1
?I
2
?I
2
?I
若改变 C则 I2变化，当
I2 = I1 sin?1时 I最小。
?1
此时有
?I
22221 III ??
sfCUI ?22 ?且
A61.9?
2221 III ??? A952.9?
44
5-11 正弦交流电路的功率
一、无源单口网络功率
1）瞬时功率,
)()()( titutp ?
)c o s (2)c o s (2)( iu tItUtp ???? ???
)2c o s ()c o s ( iuiu tUIUI ????? ?????
)2co s (co s iutUIUI ???? ????
（恒定分量） （正弦分量,2?）
45
说明：
)(c o s)(1
0
WUIdttpTP T ??? ?
2）平均功率,
1) P = UI cos? ? UI；
2) cos? 称作功率因数；
3) ?— 功率因数角
4) P = P1 + P2 + P3……,；
5) P =I12R1 + I22 R2 + I32R3……,
(无源单口网络,? = ?Z):
46
说明：
4）视在功率,
定义：
3）无功功率,
)(s in V a rUIQ ??
1) Q > 0 ( 感性）； Q < 0 (容性）,
2) Q = Q1 + Q2 + Q3……,:
3) Q = I12X1 + I22 X2 + I32X3……,;
4) 反映网络与电源能量交换最大速率。
)(VAUIS ?
计算：
1） S=UI
2) 22 QPS ??注意,S ? S
1 + S2 + S3……,
47
有功功率、无功功率,视在功率之间的关系,
)(s in Va rUIQ ??)(c o s WUIP ??
22 QP ??)(VAUIS ?
?c o sS?
?tg
Q?
?sinS?
?Ptg?
?
功率三角形
例 1,图示电路,u=707cos10?t(V)，
i=1.41cos(?t-53.1?)(A)。求 P,Q,S。
解,UIS ? )(500 VA?
?cosSP ? )(300 W?
?sinSQ ? )(400Var?
48
例 2,图示电路，已知 f=50Hz，求 P,Q,S,cos?。
S=UI=500VA
?=53.1? cos?=0.6
P=Scos?=300W
Q=Ssin?=400Var
VU ???? 307.70
-j10
?1 ?2
?
VU ???? 307.70
解：
Z
UI ?? ?
???? 1.2307.7
????? 1.2307.71I ???? 1 2 007.72I
S=UI=316VA
?=-18.43? cos?=0.9487
P=Scos?=300W
Q=Ssin?=-100Var
21
??? ?? III
??? 43.4847.4
?
49
说明,并入电容后现象与结果
结果：
1） P不变条件下：
对输电线要求降低，
输电效率提高；
电源容量要求降低。
2） S不变条件下：
电路负载能力增大
现象,
1) 总电流 I减小 ;
2) 功率因数角 ?减小 ;
3) 功率因数 cos? 增大 ;
4) 有功功率 P不变 ;
5) 视在功率 S减小。
注意：
1）一般不要求提高到 1；
2） 并联电容要适当，才可提高。
)( 212 ??? tgtgUPC ??
50
二、有源单口网络功率
注意,功率因数角不等于网络的除源阻
抗角。
)()()( titutp ?
Ziu ???? ???
N
)(c o s WUIP ??
)(s in Va rUIQ ??
)(VAUIS ?
51
三、复功率 （功率与相量之间的关系）
?
??? ? IUS
)( iuUI ?? ???
2、物理意义：
为 ?的共轭相量。即若??I
iII ???
?
??? S
1、定义：
其中：
iII ????
?
?
则
iu IUIUS ?? ?????
?
???
∴ jQPjSSS ????? ?? s inc o s
52
3、计算：
222 jX IRIZIIUS ????
?
???
注意,
2）
1）
3）
????? ??? 21 SSS
1、复功率从频域反映了各功率关系；
2,P = P1 + P2 + P3……,
Q = Q1 + Q2 + Q3……,
但 S ? S1 + S2 + S3……,
jQPS ???
无任何物理意义。,?? IU3
53
例,已知 Is=10A,?=103rad/s，求各无源支路吸收的复功率和电流源发出的复功率。
?1 ?2
?s
解,设 ?s=10?0?A，则
?????? 0101015 1551 jjI
46.831.2 j???
12
??? ?? III
s 46.831.12 j??
???? ?
11 IUS 1 9 2 37 6 9 j??
3 3 4 71 1 1 6 j?????? ? 22 IUS ???? ? ss IUS 14241884 j??
?? ?
11 IZU
???? 27.10577.8
??? 5.3494.14
???? 07.371 7 7.2 3 6
54
5-12 谐振电路
谐振现象, 含有 RLC 的无源单口网络在正弦激励作用下,对
于某些频率出现端口电压、电流同相位。
X = XL - XC
=0
谐振分类：
1、串联谐振
2、并联谐振
3、串并谐振
4、耦合谐振 }
}
谐振条件：
或,
B= BC - BL
=0Z=R+jX 或 Y=G+jB
55
1 串联谐振 一、谐振条件与谐振频率,
谐振条件：
谐振频率：
或
CL XXX ??
01 ??? CL ??
LC
1??
0??
LCf ?2
1
0 ?
谐振产生方法：
1）信号源给定，改变电路参数；
2）电路给定，改变信号源频率。
56
R
CL /?
R
C0
1
??
二、谐振参数：
1、谐振阻抗,谐振时电路的输入阻抗 Z0
串联谐振电路,Z0=R
3、品质因数,
0Z
Q ??
2、特征阻抗,谐振时的感抗或容抗 ?。
串联谐振电路：
R
L0??
C
L
CL ??? 00
1
???
57
三、串联谐振特性
1） 阻抗最小,Z0=R
2) ?u-?i = 0
3) cos ?=1
4) 电流达到最大值：
Im=U/R
5) L,C端出现过电压,
UL=UC=QU
6) 相量图 （电流与电压同相位）
?
58
例 1,图示谐振电路中,L=300?H,R=10?,Us=100 ?V,
f=540kHz。 求电容 C、品质因数 Q、电压 U2。
解,
LCo
1???
L
C
o
2
1
?
?? pF292?
R
LQ 0?? 8.106?
UL=UC=QU =10.68mV U2=nUL=100.68mV
59
四、频率特性：
1、阻抗频率特性,
其中：
CX C ?
1?
CL XXX ??
jXRZ ??
22 XRZ ??
LX L ??
LXCX
X
Z
电路各个物理量随激励信号频率变化的特性。
60
2、导纳频率特性：
3、电流频率特性
其中：
Z
Y 1?
ZY ?? ??
YUI ?
Y
Y?
I
61
4、电压频率特性：
5、相对频率特性：
（通用频率特性、
归一化频率特性）
LIU L ??
CIU C ?
1?
RIU R ?
0RI
LU
RU
CU
1
1
20
0
20 )(1
1
?
?
?
? ??
?
QI
I
62
6,Q对频率特性的影响：
7、选择性：
选择有用信号,抑
制无用信号的能力。
200?Q
50?Q
20
0
20 )(1
1
?
?
?
? ??
?
QI
I
100?Q1
1
0Z
Q ?? R
CL /?
8、通频带：
2
1
Q
0?? ??
0
2??
0
1
?
?
12 ??? ???
Q
ff 0??或
63
例 1,图示谐振电路,已知 Us=1.0V,求 f0,Q,?f,UL0,I0。
250pF
10?
160?H
解,
LCf ?2
1
0 ? k H z796?
R
CL
Q
/
? 80?
Q
ff 0?? k H z95.9?
R
UI s
o ?
A1.0? sLo QUU ? V80?
64
例 2,图 2所示谐振电路,已知 Q =50,Us1=1mV,f1=540kHz；
Us2=1mV,f2 =600kHz,求 Uc。
解：
R
310?H
280pF
LCf ?2
1
0 ? k H z540?
可见,f1= fo 电路对 540kHz谐振
11 sC QUU ?
mV50?
Lf
UI L
o
0
1
1 2 ??
A?5.47?
A?48.4?电路对 600kHz处于失谐,2
0
0
2
0
)(1
f
f
f
f
Q
I
I
??
?
CfIU C 22 2
1
?? mV25.4?
+
uc
-
65
2,并联谐振
一、谐振条件与谐振频率
谐振条件：
谐振频率：
或
01 ?? LC ??
LC
1??
0??
LCf ?2
1
0 ?
电路模型 ( a), YUI
s
?? ?
)1(1 LCjRY ?? ???
谐振阻抗,RZ ?0
特征阻抗：
C
L??
66
电路模型 ( b),
谐振条件：
谐振频率：
或
LCo
1??
0??
LCf ?2
1
0 ?
YUI s ?? ?
LjrCjY ?? ???
1
22 )( Lr
LjrCj
?
??
?
???
0)( 22 ??? Lr LC ???
2)(1
L
r
LC ???
附近变化，故在很高,oorL ????,实际工程中,0 ??
谐振阻抗：
r
CLZ /
0 ?
C
L??特征阻抗：
67
二、并联谐振特性
（电流与电压同相位）
2) ?u-?i = 0
3) cos ?=1
4) 电压达到最大值：
U = Is Z0
5) L,C中出现过电流,
IL ? IC=Q Is
6) 相量图
1） 导纳 最小：
CL
rY
/0 ?
68
三、电路等效变换：
(a)
品质因数：
r
CLZ /
0 ?
r
CLR /?
CL
RQ
/? r
CLQ /?
(b)
等效参数：
谐振阻抗：
69
四、频率特性：
1、阻抗频率特性：
20
0
2
0
)(1
1
?
?
?
?
??
?
Q
Z
Z
1
1
Cj
Ljr
Cj
Ljr
Z
?
?
?
?
1
)(
1
)(
??
?
?
)
1
(
C
Ljr
C
L
?
? ??
?
70
2、电压频率特性：
五,Q对频率特性的影响：
Q增大，特性曲线尖锐；
Q减小，特性曲线平坦。
20
0
2 )(1
?
?
?
? ??
??
Q
IZZIU o
20
0
20 )(1
1
?
?
?
? ??
?
Q
U
U
1
1
0U
U
2
1
100?Q
200?Q
50?Q
71
可见,选择性与 Q成正比；
通频带与 Q 成反比。且：
Ri
Ri,称为展宽电阻
iR
Z
QQ
0
0
1 ?
?
六、并联电阻 Ri的影响：
Q
0?? ??
LC
1
0 ??
12 ??? ???
iR
Z
ZZ
0
0
1 ?
?
Q
0?? ??
品质因数、谐振阻抗下降；通频带增宽。
CL /??
72
例 1,图示谐振电路,已知 Us=12V,求 f0,?,Q,?f,U,Z0。
9?
60k? 90pF 54?H 10pF
60k?
+
-
?U
解,
LCf ?2
1
0 ?
M H z17.2?
C
L??? ?? 735
r
CLR /? ?? k60
?
oZQ?
30k?
?? kZ 200
21.27?
Q
ff 0?? k H z8.79?
soIZU ? V4?
20k? 100pF
73
例 2,图示谐振电路,已知 Is=1mA,Ri=40k ?,L=100 ?H,
C=100pF,r=25 ? 。 1）求谐振回路 ?0,?,Q,Z0,? ?; 2）
求整个电路 ?0,?,Qe,Z0e,??e; 3）求各支路电流和电压 U。
Ri
1）谐振回路：解, sr a d
LCo /10
1 7???
??? kCL 1? 40/ ?? r CLQ
??? kr CLZ 40/0 )/(2500 sr a dkQ ??? ??
2）整个回路,sr a d
LCo /10
1 7???
i
o
e
R
Z
QQ
?
?
1 20?
i
o
o
oe
R
Z
ZZ
?
?
1
?? k20
?? ???? )1(
i
o
e R
Z )/(500 sra dk?
3）各支路电流：
VIZU soe 20??
mAZUI
o
o 5.0??
mARUI
i
R i 5.0??
mAQIII oCL 20???
74
* 串、并联谐振
1
1
LC?串?
21
21
1
CC
CCL
?
?并?
求图示电路谐振频率：
)
1
(
1
)
1
(
1
12
12
C
Lj
C
j
C
Lj
C
j
Z
?
?
?
?
?
?
???
???
?
)]
11
([
)
1
(
1
21
12
CC
Lj
C
Lj
C
j
??
?
?
?
?
??
???
?
（谐振频率）
1
1
LC?并?
)
1
21 CCL ?
? （串?
2
1
1 1
1
1
C
j
Lj
C
j
Lj
C
j
Z
??
?
?
?
?
??
??
?
2
1
1 1
1 C
j
C
L
L
j
?
?
?
?
?
?
串联谐振,Z=0 ( 短路 ）；并联谐振,Z=?( 开路 ）
75
求图示电路谐振频率：
CL 1
1?
串?
21
21
1
LL
LLC
?
?串?
CL 1
1?
并?
CLL )(
1
21 ?
?并?
串联谐振,Z=0 ( 短路 ）；并联谐振,Z=?( 开路 ）
76
本 章小结,
1,正弦量的时域与频域表示；相位差、有效值
2,相量形式 KCL和 KVL
i(t)=Imcos(?t+?i) iII ????
01 ?? ?? knk I 0
1 ??
?
? k
m
k U
3,正弦交流电路中电阻、电感、电容元件伏安关系
4,复阻抗、复导纳及等效变换：
ZY
1?
元件性质 电 阻 电 感 电 容
时域关系 U=RI； ?=0 U= ?L I； ?=90° U=I/(?C) ?=-90°
频域关系
?? ? IRU ??? ?? IjXILjU
L?
??? ??
?? IjXICj 1U C
77
5,正弦稳态电路分析：
1) 从时域电路模型转化为频域模型,
正弦电流、电压用相量表示；
无源支路用复阻抗表示。
2） 选择适当的电路分析方法：
等效变换法（阻抗等效变换、电源等效变换） 网孔法、
节点法、应用电路定理分析法等；
3） 频域求解（复数运算）得到相量解；
4） 频域解转化为时域解。
6,正弦稳态电路功率：
1) p(t),P,Q,S,cos?； 功率因数提高；
第一节 正弦量的基本概念
第二节 正弦量的相量表示法
第三节 电阻元件伏安关系的向量形式
第四节 电感元件及其伏安关系的向量形式
第五节 电容元件及其伏安关系的向量形式
第六节 基尔霍夫定律的相量形式
第七节 R,L,C串联电路及复阻抗
第八节 R,L,C并联电路及复导纳
第九节 无源二端网络的等效复阻抗和复导纳
第十节 正弦电流电路的分析计算
第十一节 正弦交流电路的功率
第十二节 电路的谐振
第五章 正弦稳态电路
2
5-1 正弦量的基本概念
正弦稳态电路：
激励为正弦量，且加入激励的
时间为 t=-?时的电路。
正弦量,
随时间按正弦规律变化的电流
或电压或功率等。
?
?u(t)
t0
?
?i(t)
t0
3
一、正弦量的时域表示
2,函数表示,
u(t)=Umcos(?t+?u)
i(t)=Imcos(?t +?i) （瞬时值）
（三要素）
1,波形表示：
其中：
Um,Im?? 最大值
? ?? 角频率
?i, ?u ??初相位
?=2?f=2?/T ?
?
u(t)
t
0
?t
T
Um
-Um
2?
?
?
i(t)
0 2?
Im
-Im
?t
4? =0 同相 ? =± 90o 正交 ? =± 180o 反相
相位差,?=?u-?i
? ? ??? ? ?
u(t)=Umcos(?t+?u)
i(t)=Imcos(?t+?i)
? <0 滞后 ? >0 超前
3、相位差
5
4、有效值,周期信号一个周期内的方均根值。
对于正弦量：
??
T
dttu
T
U
0
2 )(1 ??
T
dtti
T
I
0
2 )(1
m
m III 707.0
2 ??
电流：电压：
物理意义：
在一个周期内与其产生相等热量的直流电量。
i(t)=Imcos(?t+?i)
u(t)=Umcos(?t+?)
m
m UUU 707.0
2 ??
6
5-2、正弦量的向量表示法
1,正弦稳态电路特点：
若所有激励为频率相同的 正弦量，则线性电路响
应为同频率的正弦量。
相量为一个复数，它可表示为极坐标形式，也可表示
为直角坐标形式。
2,正弦量相量表示：
i(t)=Imcos(?t+?i)
u(t)=Umcos(?t+?u)
iII ???
?
uUU ???
?
7
3、相量图,在一个复平面表示相量的图。
i(t)=Imcos(?t+?i)
iII ???
?
u(t)=Umcos(?t+?u)
uUU ???
?
?I
?U
+j
?
?
+10
复平面表示的相量意义
Re[?me
j?t]=Umcos(?t+?u)
▲
? Ime[?me
j?t]
=Umsin(?t+?u)
8
4、相量法,以相量表示正弦量对正弦稳态电路进行分析
的方法 。
例 1,写出下列正弦量的相量形式：
)1.53c o s (25)(1 ??? tti ?
)9.36c o s (210)(2 ??? tti ?
例 2,写出下列正弦量的时域形式,
431 jU ????
682 jU ???
???? 1.5351I ????? 9.36102I
43 j?? 68 j??
解：
)9.1 2 6c o s (25)(1 ??? ttu ?
)9.36c o s (210)(2 ??? ttu ?
9
5-3 电阻元件伏安关系的向量形式
一、时域分析：
)c o s (2 itIR ?? ??
∴ U=IR
?u=?i
)c o s (2)( itIti ?? ??
)c o s (2 utU ?? ??
（波形）
)()( tRitu ?
iII ???
?
uUU ???
?
iRI ???
?? ? IRU
(相量图 )
二、频域分析
+j
?
?
+10
10
三、功率
)c o s (2)( itIti ?? ??
)()()( titutp ?
?? T dttpTP 0 )(1
1）瞬时功率,
2）平均功率,
UI?
)2c o s ( ?? ??? tUIUI
)(
2
2 W
R
URI ??
)c o s (2)( utUtu ?? ??
)c o s (2)c o s (2)( ???? ??? tItUtp
?
?p(t)
?t
0
2UI
UI
11
5-4、电感元件及其 伏安关系的向量形式
1、定义,韦安特性为 ?-i平面一条
过原点直线的二端元件。 L
2,特性：
1） ?(t)=Li(t)；
2) WAR为 ?-i平面过原点的一
条直线；
3） VAR:
4) 无源元件
5) 储能元件
6） 动态元件
7） 记忆元件dt
td
iLtu
）()( ?
12
一、时域分析,
iII ????
)s i n (2 itLI ??? ???
∴ U= ?L I
)c o s (2)( itIti ?? ??
)c o s (2 utU ?? ??
)90c o s (2 ???? itLI ???
L
?u=?i+90o
(波形 )
LX L ?? (感抗 )
IXU L?
二、频域分析
uUU ???
?
)90( ???? iLI ??
iLIj ?? ??
??? ?? IjXILjU
L?
LjjX L ?? (复感抗 )
(相量图 )
+j
?
?
+10
dt
tdiLtu )()( ?
13
三、功率
)c o s (2)( itIti ?? ??
)()()( titutp ?
?? T dttpTP 0 )(1
1）瞬时功率,
2）平均功率, 0?
)c o s (2)( utUtu ?? ??
)c o s (2)c o s (2)( iu tItUtp ???? ???
UI
)902c o s ( ??? tUI ?
?
?p(t)
?t03）无功功率, UIQ ?
意义,反映电感元件与电源进行能量交换的最大速率,
)(
2
2 V a r
X
UIX
L
L ??
14
四、实际电感模型
例,如图所示实际电感模型中的 R=10?,L=50mH,
通过的 电流为：
6080 j??
Atti )9.36314c o s (210)( ???
求电压 uR(t),uL(t)和 u(t)。
解, ???? 9.3610I RIU
R
?? ? ??? 9.36100
??? ?? ILjIjXU
LL ? ??? 9.1 2 61 5 7
??? ??
LR UUU ??? 4.941.1 8 6
Vttu )4.94c o s (21.1 8 6)( ???? ?
55.1 2 527.94 j???
55.1 8 527.14 j???
Vttu R )9.36c o s (2100)( ??? ?
Vttu L )9.1 2 6c o s (21 5 7)( ??? ?
15
5-5 电容元件及其 伏安关系的向量形式
一、线性电容元件：
1、定义,库伏特性为 q-u平面一条
过原点直线的二端元件。
2,特性：
1） q(t)=Cu(t)；
2) 库伏特性为 q-u平面过原点的一
条直线；
3） VAR:
4) 无源元件
5） 储能元件
6） 动态元件
7） 记忆元件dt
tduCti ）()( ?
16
二、时域分析：
dt
tduCti )()( ?
)s i n (2 utCU ??? ???
∴ I=U?C
)c o s (2)( utItu ?? ??
)c o s (2 itI ?? ??
)90c o s (2 ???? utCU ???
?i=?u+90o (波形 )
三、频域分析
iII ???
?
uUU ???
?
???? 90uCU ??
(相量图 )
uCUj ?? ??
??? ??? UjBUCjI
C CBC ??
(容纳 ) ??? ???? IjXICj 1U C
CX C ?
1?
(容抗 )
或
+j
?
?
+10
17
四、功率
)c o s (2)( itIti ?? ??
)()()( titutp ?
?? T dttpTP 0 )(1
1）瞬时功率,
2）平均功率, 0?
)c o s (2)( utUtu ?? ??
)c o s (2)c o s (2)( iu tItUtp ???? ???
UI
)902c o s ( ??? tUI ?
?
?p(t)
?t03）无功功率, UIQ ?
意义,反映电容元件与电源进行能量交换的最大速率,
)(
2
2 V a r
X
UIX
C
C ??
18
五、应用举例
例 1,已知：图示电路中电压有效值 UR=6V,UL=18V,UC=10V。
求 U=？
解, ???? 0II设 （参考相量）
???? 06U R ???? 9018U L ????? 9010U C
???? ???
CLR UUUU
10186 jj ???
86 j??
V??? 1.5310
VU 10??
(相量图 )
+j
?
?
+10 U
R
UL
UC
19
例 2,已知,图示电路中电流表 A1,A2读数均为 10A。求电
流表 A的读数。
解, ???? 0UU设
????? 9010I1 ???? 9010I 2
21 III
??? ??
0?
所以，电流表 A的读数为零。
?
1I
?
2I
说明：
（ 1）参考相量选择：一般串联电路可选电流、并联电路
可选电压作为参考相量；
（ 2）有效值不满足 KCL,KVL。
20
5-6 基尔霍夫定律的相量形式
一,KCL：
0)(
1
??
?
tik
n
k
0)co s (2
1
???
? ikk
n
k
tI ??
0
1
?? ?
? k
n
k
I
时域,
频域,
对于任一集中参数电路，在任一时刻，流出 （或流入）
任一节点的电流代数和等于零。
以相量表示正弦量，有
在正弦稳态电路中,对于任一节点，流出（或流入）该
节点的电流相量代数和等于零。
21
二,KVL：
时域,
0)(
1
??
?
tu k
m
k
0)co s (2
1
???
? ukk
m
k
tU ??
频域,
0
1
??
?
?
k
m
k
U
对于任一集中参数电路，在任一时刻，对任一回路，按
一定绕行方向，其电压降的代数和等于零。
以相量表示正弦量，有
在正弦稳态电路中，对任一回路，按一定绕行方向，其
电压降相量的代数和等于零。
22
求：
例 1,)1.53c o s (25)(
1 ??? tti ?
)9.36c o s (210)(2 ??? tti ?
解,
)()()( 21 tititi ??
)(1 ti
)(2 ti
)(ti
???? 1.5351I 43 j??
????? 9.36102I 68 j??
21
??? ?? III 211 j?? ???? 3.1018.11
)3.10c o s (218.11)( ???? tti ?
正弦量以相量表示，有
23
例 2 图示电路，已知,
解,
)30c o s (26)(1 ??? ttu ?
)60c o s (24)(2 ??? ttu ?
)(3 tu求
+ u1(t) -
u3(t)
-
u2(t)
+
???? 3061U ???? 6042U
??? ??
213 UUU )45.32()319.5( jj ????
45.019.3 j?? ???? 03.822.3
)03.8c o s (222.3)(3 ???? ttu ?
正弦量以相量表示，有
24
5-7 R,L,C串联电路及复阻抗
一、复阻抗,
)()1( CL XXjRCLjRZ ?????? ??
jXRZ ??
XXXCL CL ???? ?? 1
令：
ZZ ???
其中,R：电阻 X：电抗
Z,复阻抗
|Z|— 阻抗模 ?Z— 阻抗角
?? ? IZU
22 XRZ ?? R
X
Z arctan??
R
X Z
Z?
阻抗三角形
25
讨论：
1,复阻抗 Z取决于电路结构、元件参
数和电路工作频率；
2,Z反映电路的固有特性,Z=R+jX
X=0 Z=R ?Z=0 电阻性
X>0 XL>XC ?Z>0 电感性
X<0 XL<XC ?Z<0 电容性
3,Z的物理意义：
)1( CLjRZ ?? ???jXRZ ??
I
UZ ? iuZ ??? ??
4,Z为复数，描述电路的频域模型，但不是相量。
26
举例, 图示电路中已知 R=15?,L=12mH,C=5?F,
解,
Z
UI
?
?
?
VRIU R ????? ?? 13.5360
VILjU L ???? ?? 87.362 4 0?
VU ???? 01 0 0
Vttu )5 0 0 0c o s (21 0 0)( ?
.,,,,和相量图求 ???? CLR UUUIZ
?? 60jLj? ???? 401 jCj ?
CjLjRZ ??
1??? ???? 1.5325
A???? 13.534
VICjU C ?????? ?? 13.1 4 31 6 01?
?I
?
RU
?
LU
?
CU
?U
60j
40j?
15?
27
其中,G：电导 B：电纳
Y,复导纳
|Y|— 导纳模 ?Y— 导纳角
5-8,R,L,C并
联电路及复导纳
令,
jBGY ??
ZY
1? （复导纳）
YY ???
Z
UI
?
?
?
)1( LCjGY ?? ???
例：
)( LC BBjG ???
22 BGY ??
G
B
Y arctan??
G
B
Y
Y?
导纳三角形：
28
讨论：
1,复导纳取决于电路结构、元件参数
和电路工作频率；
2,Y反映电路的固有特性,Y=G+jB
B=0 Y=G ?Y=0 电阻性
B>0 BL<BC ?Y>0 电容性
B<0 BL>BC ?Y<0 电感性
3,Y的物理意义：
U
IY ? uiY ??? ??
4,Y为复数，描述电路的频域模型，但不是相量。
)1( LCjGY ?? ???
jBGY ??
29
5-9,无源二端网络的等效
复阻抗和复导纳
1、已知复阻抗 jXRZ ??
jBG ??
则,
其中：
?
?
?
I
UZ
?
?
?
U
IY
Y
1?
Z
1?
2222
1
XR
Xj
XR
R
jXRY ?
??
????
22 XR
RG
?? 22 XR
XB
?
??
2、已知复导纳
意义：
jBGY ??
jXR ??
则,
其中：
2222
1
BG
Bj
BG
G
jBGZ ?
??
????
22 BG
GR
?? 22 BG
BX
?
??
30
例 1,已知 R=6?,X=8?,f=50Hz,求 G=? B=? 并求串
联和并联结构的元件参数分别为多少？
解,86 jZ ?? ??? 13.5310
ZY
1? ???? 13.531.0
08.006.0 j??
jBGY ??
SG 06.0? SB 08.0??
???? 67.161GR
mHL 8.39??
??6R mHL 48.25?
R’ L’
R
L
31
解：
例 2,图示二端网络，已知：
求频域 Z,Y及其等效元件参数。
Vttu )3010c o s (22)( 4 ???
mAtti )6010c o s (21 0 0)( 4 ???
VU ???? 302 mAI ???? 601 0 0
?
?
?
I
UZ ???? 3020
)(1032.17 ??? j
?? 32.17R
FC ?10??
?
?
U
IY ??? 3005.0
)(025.00433.0 Sj??
????? 1.231GR
FBC ?? 5.2????
32
5-10 正弦电流电路的分析计算
基本分析思路：
1) 从时域电路模型转化为频域模型,
正弦电流、电压用相量表示；
无源支路用复阻抗表示。
2） 选择适当的电路分析方法：
等效变换法（阻抗等效变换、电源等效变换） 网孔法、
节点法、应用电路定理分析法等；
3） 频域求解（复数运算）得到相量解；
4） 频域解转化为时域解 。
33
解：
例 1,图示电路。已知 Vttu )5 0 0 0c o s (22 1 0)( ?
求 i1 (t), i2 (t)和 i (t)以及对应 相量的相量图。
i2 (t)i1 (t)
20?F
?U
?I
20j
10j?
2
?I
1
?I
?A ?B
?????? ?? 02 1 0)2015()2023( BA IjIj
0)1025()2015( ????? ?? BA IjIj
???? 0210U
20jLj ??
101 jCj ??? ? AI A ???? 5.810
AIII BA ?????? ??? 3.5826.51
AII A ???? ?? 5.810
AII B ???? ?? 83.3929.92
AI B ???? 83.3929.9
Atti )5.85000c o s (210)( ????
34
例 2,图示电路。已知 Vttu )10c o s (260)( 4?
分别求 R=75?,25 ?时负载电流 i(t)。
解,移去待求支路的频域电路
模型如右。
1/3?F
1/3?F
VU oc ????? 45230 ?? 75oZ
当 R=75?时 AI ????? 45
2
2.0
Atti )4510c o s (2.0)( 4 ???
当 R=25 ? 时
Atti )4510c o s (3.0)( 4 ???
AI ????? 4523.0
对应等效频域电路模型如右。
35
例 3,图示电路,求电流 ?。 解,节点电位法
?
50 ?0 ?
1
??
2
??
3
??
??? ????? I0502
21 ??
???? ????? I2
2
1
2
3
321 ???
??? ???? Ij
32 )4
1
2
1(
2
1 ??
31
?? ? ??
539.21308.121 j????
8 4 7.332 3 1.92 j?????
11
50 121
???
? ?
??? ???I
A???? 75.2961.18
36
* 图示电路,求电流 ?。 解,网孔电流法
50 ?0 ?
?2 ?3
?1 023 321 ??? ??? III
??? ?????? UII 0502
21
??? ???? UIjI
31 )42(2
??? ?? III 2
32
AI ????? 75.2961.18
1
?? ?II
37
例 4,图示电路。已知 U=100V,R=20?,R1=6.5 ? 。
当调 C使得 Ucd达到最小值，此时 Ucd =30V Rac =4?时。求 Z=？
解,???? 01 0 0U设
)(155.3 ???? jZ
R1 ?? ? U
R
RU ac
ac
??
?? UZR
RU
ad
1
1
acadcd UUU
??? ??
??
?? UR
R
ZR
R ac )(
1
1
调 c点时,Rac变，若 Ucd最小，则
???? 01 00)2045.6 5.6( Z 30j??
38
* 图示电路。已知 U=100V,R=20?,R1=6.5 ? 。
ARUI R ????
?
? 05
当调 C使得 Ucd达到最小值，此时 Ucd =30V Rac =4?时。求 Z=？
?U
?I
a b
d
c
e
+j
?
?
0
???? 01 0 0U设
)(155.3 ???? jZ
VU ac 20? AI 55.55.6 1.36 ??
VU eb 1.83??
若 Z=Ro-jxo为容
性负载,I超前 U。
其余相量如图示。
R1IR ?
解：
若调 c点时，使 Ucd最小，则有
cdU
?
acU?
accd UU ?
VU cd 30? VU ad 1.36?
abeadc ????
ebcd
ad
U
U
U
U ?
VU ae 4.55?
???? 51.31RIUR aeo??? 15IUx ebo
)(155.3 ??? jZ同理
dbU
?
adU
?
39
例 5,图所示电路。用相量法证明当 ?从 0到 ?变化时，
U2=U1,?2从 180?+?1到 ?1变化。
?
1U
?
2U
证明：
???
?
?
?
? 112
1
1
1
U
Cj
R
Cj
U
Cj
R
R
U
?
?
?
?
?
?
? 1
1
1
U
Cj
R
Cj
R
?
?
?
?
??
11
1 U
CRj
CRj
?
?
)a r c t a n2180(12 ?CRUU ????? ??
222111,?? ????
?? UUUU设
)a r c ta n21 8 0( 11 ?? CRU ?????
40
* 图示电路。用相量法证明当 ?从 0到 ?变化时,U2=U1，
?2从 180?+?1到 ?1变化。
?
1U
?
2U
a
b
c
d
?
1U
?
2U
?I
证明,???? 0
11 UU设
则有相量图如下：
可见，当 ?在（ 0,?）变化时,d,b点的轨迹为一个
圆,bd为其直径，且 Ubd= U2 = U1。
即：当 ?从 0到 ?变化时,U2=U1,?2从 180?到 0?变化 。
41
练习 1：
图示电路。已知 U=100V，
求 Z=？
,31 0 0,31 0 0 ??? cc XVU
,60 ??Z?
解,AXUI
C
c 1?? ???? 01设 I
)(感性jXRZ ??
???????? 01)31 0 0( jXRjU )3100( ??? XjR
222 )31 0 0(1 0 0 ???? XR
7 32.160 ??? tgRX ?
?? ???? 501 0 0R ??? ??? 6.86 2.173X
??
?
??
???
6.8650
2.173100
j
jZ
3100j?
42
练习 2,右图所示电路。改变 R，要求电流 I不
变。求 L,C,?应满足何种关系？
解,当 R=0时：
?? ?? U
LCjI )
1(
??
?? ? UCjI ?
当 R=?时：
依题意，有
CLC ??? ?? 1
CLC ??? ?? 1 （无解）
CCL ??? ??1
LC2
1?? ?
43
练习 3,图示电路。 U=380V,f=50Hz。改变 C=80.95?F，电流
表 A读数最小为 2, 59A。求电流表 A1和 A2读数。
解,???? 03 8 0U设 则有相量图：
?U
1
?I
1
?I
2
?I
2
?I
若改变 C则 I2变化，当
I2 = I1 sin?1时 I最小。
?1
此时有
?I
22221 III ??
sfCUI ?22 ?且
A61.9?
2221 III ??? A952.9?
44
5-11 正弦交流电路的功率
一、无源单口网络功率
1）瞬时功率,
)()()( titutp ?
)c o s (2)c o s (2)( iu tItUtp ???? ???
)2c o s ()c o s ( iuiu tUIUI ????? ?????
)2co s (co s iutUIUI ???? ????
（恒定分量） （正弦分量,2?）
45
说明：
)(c o s)(1
0
WUIdttpTP T ??? ?
2）平均功率,
1) P = UI cos? ? UI；
2) cos? 称作功率因数；
3) ?— 功率因数角
4) P = P1 + P2 + P3……,；
5) P =I12R1 + I22 R2 + I32R3……,
(无源单口网络,? = ?Z):
46
说明：
4）视在功率,
定义：
3）无功功率,
)(s in V a rUIQ ??
1) Q > 0 ( 感性）； Q < 0 (容性）,
2) Q = Q1 + Q2 + Q3……,:
3) Q = I12X1 + I22 X2 + I32X3……,;
4) 反映网络与电源能量交换最大速率。
)(VAUIS ?
计算：
1） S=UI
2) 22 QPS ??注意,S ? S
1 + S2 + S3……,
47
有功功率、无功功率,视在功率之间的关系,
)(s in Va rUIQ ??)(c o s WUIP ??
22 QP ??)(VAUIS ?
?c o sS?
?tg
Q?
?sinS?
?Ptg?
?
功率三角形
例 1,图示电路,u=707cos10?t(V)，
i=1.41cos(?t-53.1?)(A)。求 P,Q,S。
解,UIS ? )(500 VA?
?cosSP ? )(300 W?
?sinSQ ? )(400Var?
48
例 2,图示电路，已知 f=50Hz，求 P,Q,S,cos?。
S=UI=500VA
?=53.1? cos?=0.6
P=Scos?=300W
Q=Ssin?=400Var
VU ???? 307.70
-j10
?1 ?2
?
VU ???? 307.70
解：
Z
UI ?? ?
???? 1.2307.7
????? 1.2307.71I ???? 1 2 007.72I
S=UI=316VA
?=-18.43? cos?=0.9487
P=Scos?=300W
Q=Ssin?=-100Var
21
??? ?? III
??? 43.4847.4
?
49
说明,并入电容后现象与结果
结果：
1） P不变条件下：
对输电线要求降低，
输电效率提高；
电源容量要求降低。
2） S不变条件下：
电路负载能力增大
现象,
1) 总电流 I减小 ;
2) 功率因数角 ?减小 ;
3) 功率因数 cos? 增大 ;
4) 有功功率 P不变 ;
5) 视在功率 S减小。
注意：
1）一般不要求提高到 1；
2） 并联电容要适当，才可提高。
)( 212 ??? tgtgUPC ??
50
二、有源单口网络功率
注意,功率因数角不等于网络的除源阻
抗角。
)()()( titutp ?
Ziu ???? ???
N
)(c o s WUIP ??
)(s in Va rUIQ ??
)(VAUIS ?
51
三、复功率 （功率与相量之间的关系）
?
??? ? IUS
)( iuUI ?? ???
2、物理意义：
为 ?的共轭相量。即若??I
iII ???
?
??? S
1、定义：
其中：
iII ????
?
?
则
iu IUIUS ?? ?????
?
???
∴ jQPjSSS ????? ?? s inc o s
52
3、计算：
222 jX IRIZIIUS ????
?
???
注意,
2）
1）
3）
????? ??? 21 SSS
1、复功率从频域反映了各功率关系；
2,P = P1 + P2 + P3……,
Q = Q1 + Q2 + Q3……,
但 S ? S1 + S2 + S3……,
jQPS ???
无任何物理意义。,?? IU3
53
例,已知 Is=10A,?=103rad/s，求各无源支路吸收的复功率和电流源发出的复功率。
?1 ?2
?s
解,设 ?s=10?0?A，则
?????? 0101015 1551 jjI
46.831.2 j???
12
??? ?? III
s 46.831.12 j??
???? ?
11 IUS 1 9 2 37 6 9 j??
3 3 4 71 1 1 6 j?????? ? 22 IUS ???? ? ss IUS 14241884 j??
?? ?
11 IZU
???? 27.10577.8
??? 5.3494.14
???? 07.371 7 7.2 3 6
54
5-12 谐振电路
谐振现象, 含有 RLC 的无源单口网络在正弦激励作用下,对
于某些频率出现端口电压、电流同相位。
X = XL - XC
=0
谐振分类：
1、串联谐振
2、并联谐振
3、串并谐振
4、耦合谐振 }
}
谐振条件：
或,
B= BC - BL
=0Z=R+jX 或 Y=G+jB
55
1 串联谐振 一、谐振条件与谐振频率,
谐振条件：
谐振频率：
或
CL XXX ??
01 ??? CL ??
LC
1??
0??
LCf ?2
1
0 ?
谐振产生方法：
1）信号源给定，改变电路参数；
2）电路给定，改变信号源频率。
56
R
CL /?
R
C0
1
??
二、谐振参数：
1、谐振阻抗,谐振时电路的输入阻抗 Z0
串联谐振电路,Z0=R
3、品质因数,
0Z
Q ??
2、特征阻抗,谐振时的感抗或容抗 ?。
串联谐振电路：
R
L0??
C
L
CL ??? 00
1
???
57
三、串联谐振特性
1） 阻抗最小,Z0=R
2) ?u-?i = 0
3) cos ?=1
4) 电流达到最大值：
Im=U/R
5) L,C端出现过电压,
UL=UC=QU
6) 相量图 （电流与电压同相位）
?
58
例 1,图示谐振电路中,L=300?H,R=10?,Us=100 ?V,
f=540kHz。 求电容 C、品质因数 Q、电压 U2。
解,
LCo
1???
L
C
o
2
1
?
?? pF292?
R
LQ 0?? 8.106?
UL=UC=QU =10.68mV U2=nUL=100.68mV
59
四、频率特性：
1、阻抗频率特性,
其中：
CX C ?
1?
CL XXX ??
jXRZ ??
22 XRZ ??
LX L ??
LXCX
X
Z
电路各个物理量随激励信号频率变化的特性。
60
2、导纳频率特性：
3、电流频率特性
其中：
Z
Y 1?
ZY ?? ??
YUI ?
Y
Y?
I
61
4、电压频率特性：
5、相对频率特性：
（通用频率特性、
归一化频率特性）
LIU L ??
CIU C ?
1?
RIU R ?
0RI
LU
RU
CU
1
1
20
0
20 )(1
1
?
?
?
? ??
?
QI
I
62
6,Q对频率特性的影响：
7、选择性：
选择有用信号,抑
制无用信号的能力。
200?Q
50?Q
20
0
20 )(1
1
?
?
?
? ??
?
QI
I
100?Q1
1
0Z
Q ?? R
CL /?
8、通频带：
2
1
Q
0?? ??
0
2??
0
1
?
?
12 ??? ???
Q
ff 0??或
63
例 1,图示谐振电路,已知 Us=1.0V,求 f0,Q,?f,UL0,I0。
250pF
10?
160?H
解,
LCf ?2
1
0 ? k H z796?
R
CL
Q
/
? 80?
Q
ff 0?? k H z95.9?
R
UI s
o ?
A1.0? sLo QUU ? V80?
64
例 2,图 2所示谐振电路,已知 Q =50,Us1=1mV,f1=540kHz；
Us2=1mV,f2 =600kHz,求 Uc。
解：
R
310?H
280pF
LCf ?2
1
0 ? k H z540?
可见,f1= fo 电路对 540kHz谐振
11 sC QUU ?
mV50?
Lf
UI L
o
0
1
1 2 ??
A?5.47?
A?48.4?电路对 600kHz处于失谐,2
0
0
2
0
)(1
f
f
f
f
Q
I
I
??
?
CfIU C 22 2
1
?? mV25.4?
+
uc
-
65
2,并联谐振
一、谐振条件与谐振频率
谐振条件：
谐振频率：
或
01 ?? LC ??
LC
1??
0??
LCf ?2
1
0 ?
电路模型 ( a), YUI
s
?? ?
)1(1 LCjRY ?? ???
谐振阻抗,RZ ?0
特征阻抗：
C
L??
66
电路模型 ( b),
谐振条件：
谐振频率：
或
LCo
1??
0??
LCf ?2
1
0 ?
YUI s ?? ?
LjrCjY ?? ???
1
22 )( Lr
LjrCj
?
??
?
???
0)( 22 ??? Lr LC ???
2)(1
L
r
LC ???
附近变化，故在很高,oorL ????,实际工程中,0 ??
谐振阻抗：
r
CLZ /
0 ?
C
L??特征阻抗：
67
二、并联谐振特性
（电流与电压同相位）
2) ?u-?i = 0
3) cos ?=1
4) 电压达到最大值：
U = Is Z0
5) L,C中出现过电流,
IL ? IC=Q Is
6) 相量图
1） 导纳 最小：
CL
rY
/0 ?
68
三、电路等效变换：
(a)
品质因数：
r
CLZ /
0 ?
r
CLR /?
CL
RQ
/? r
CLQ /?
(b)
等效参数：
谐振阻抗：
69
四、频率特性：
1、阻抗频率特性：
20
0
2
0
)(1
1
?
?
?
?
??
?
Q
Z
Z
1
1
Cj
Ljr
Cj
Ljr
Z
?
?
?
?
1
)(
1
)(
??
?
?
)
1
(
C
Ljr
C
L
?
? ??
?
70
2、电压频率特性：
五,Q对频率特性的影响：
Q增大，特性曲线尖锐；
Q减小，特性曲线平坦。
20
0
2 )(1
?
?
?
? ??
??
Q
IZZIU o
20
0
20 )(1
1
?
?
?
? ??
?
Q
U
U
1
1
0U
U
2
1
100?Q
200?Q
50?Q
71
可见,选择性与 Q成正比；
通频带与 Q 成反比。且：
Ri
Ri,称为展宽电阻
iR
Z
0
0
1 ?
?
六、并联电阻 Ri的影响：
Q
0?? ??
LC
1
0 ??
12 ??? ???
iR
Z
ZZ
0
0
1 ?
?
Q
0?? ??
品质因数、谐振阻抗下降；通频带增宽。
CL /??
72
例 1,图示谐振电路,已知 Us=12V,求 f0,?,Q,?f,U,Z0。
9?
60k? 90pF 54?H 10pF
60k?
+
-
?U
解,
LCf ?2
1
0 ?
M H z17.2?
C
L??? ?? 735
r
CLR /? ?? k60
?
oZQ?
30k?
?? kZ 200
21.27?
Q
ff 0?? k H z8.79?
soIZU ? V4?
20k? 100pF
73
例 2,图示谐振电路,已知 Is=1mA,Ri=40k ?,L=100 ?H,
C=100pF,r=25 ? 。 1）求谐振回路 ?0,?,Q,Z0,? ?; 2）
求整个电路 ?0,?,Qe,Z0e,??e; 3）求各支路电流和电压 U。
Ri
1）谐振回路：解, sr a d
LCo /10
1 7???
??? kCL 1? 40/ ?? r CLQ
??? kr CLZ 40/0 )/(2500 sr a dkQ ??? ??
2）整个回路,sr a d
LCo /10
1 7???
i
o
e
R
Z
?
?
1 20?
i
o
o
oe
R
Z
ZZ
?
?
1
?? k20
?? ???? )1(
i
o
e R
Z )/(500 sra dk?
3）各支路电流：
VIZU soe 20??
mAZUI
o
o 5.0??
mARUI
i
R i 5.0??
mAQIII oCL 20???
74
* 串、并联谐振
1
1
LC?串?
21
21
1
CC
CCL
?
?并?
求图示电路谐振频率：
)
1
(
1
)
1
(
1
12
12
C
Lj
C
j
C
Lj
C
j
Z
?
?
?
?
?
?
???
???
?
)]
11
([
)
1
(
1
21
12
CC
Lj
C
Lj
C
j
??
?
?
?
?
??
???
?
（谐振频率）
1
1
LC?并?
)
1
21 CCL ?
? （串?
2
1
1 1
1
1
C
j
Lj
C
j
Lj
C
j
Z
??
?
?
?
?
??
??
?
2
1
1 1
1 C
j
C
L
L
j
?
?
?
?
?
?
串联谐振,Z=0 ( 短路 ）；并联谐振,Z=?( 开路 ）
75
求图示电路谐振频率：
CL 1
1?
串?
21
21
1
LL
LLC
?
?串?
CL 1
1?
并?
CLL )(
1
21 ?
?并?
串联谐振,Z=0 ( 短路 ）；并联谐振,Z=?( 开路 ）
76
本 章小结,
1,正弦量的时域与频域表示；相位差、有效值
2,相量形式 KCL和 KVL
i(t)=Imcos(?t+?i) iII ????
01 ?? ?? knk I 0
1 ??
?
? k
m
k U
3,正弦交流电路中电阻、电感、电容元件伏安关系
4,复阻抗、复导纳及等效变换：
ZY
1?
元件性质 电 阻 电 感 电 容
时域关系 U=RI； ?=0 U= ?L I； ?=90° U=I/(?C) ?=-90°
频域关系
?? ? IRU ??? ?? IjXILjU
L?
??? ??
?? IjXICj 1U C
77
5,正弦稳态电路分析：
1) 从时域电路模型转化为频域模型,
正弦电流、电压用相量表示；
无源支路用复阻抗表示。
2） 选择适当的电路分析方法：
等效变换法（阻抗等效变换、电源等效变换） 网孔法、
节点法、应用电路定理分析法等；
3） 频域求解（复数运算）得到相量解；
4） 频域解转化为时域解。
6,正弦稳态电路功率：
1) p(t),P,Q,S,cos?； 功率因数提高；
